Ejercicios de Control Estadistico de Calidad.arvelo

1 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES, Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”.


EJERCICIOS DE CONTROL ESTADISTICO DE CALIDAD UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

Texto: Control Estadístico de la Calidad

Douglas Montgomery Editorial Limusa Wiley, 3ª Edición Ejercicios de Revisión Capítulos 2 y 3: Los siguientes ejercicios complementan

a los que se encuentran en los referidos capítulos del texto, que también deben ser resueltos en su totalidad. 1º) El contenido de jabón en unas cajas sigue una distribución normal. Si el 80% de las cajas contienen menos de 429,20 gramos de jabón , y el 90% de las cajas contienen más de 418,60 gramos: a) Determine la media y la desviación típica de la distribución. b) ¿Cual es el porcentaje de cajas cuyo contenido se encuentra en el intervalo (420 ± 5 ) gramos? Solución: a) µ =425 grms , σ =5 grms b) 47,72 % . 2º) Una pieza debe caer dentro de la especificación (200 ± 4) mm., para que sea considerada como buena. Las piezas que caen por debajo del límite inferior de la especificación, son consideradas como defectuosas y deben ser desechadas; mientras que, las que caen por encima del límite superior de la especificación, pueden ser corregidas, y llevadas a los límites de la especificación. Para producir estas piezas, se dispone de una máquina que las fabrica según una Distribución Normal, con media 200 mm., y desviación típica de 5 mm . El costo de producción para una pieza es de Bs. 7 , y el costo de la corrección es de Bs.2 ; mientras que el precio de venta de la pieza, es de Bs. 15 . a) ¿Cual es el ganancia esperada en la producción de una pieza? . b) ¿Cual es la probabilidad de que en un lote de 10 piezas, alguna caiga fuera de los límites de especificación ? . Solución : a) Bs. 4,40 b) 0,9960 3º) El proceso de llenado de unas botellas de refresco, sigue una distribución normal con media 220 cc . a) Determine la desviación típica del proceso, si el 8% de las botellas resultan con un contenido inferior a 200 cc. b) ¿Cual es la probabilidad de que una botella resulte con un contenido superior a 250 cc. ? . Solución: a) 14,23 cc b) 0,0174 4º) El consumo diario de un cierto producto sigue una distribución gamma con media 6 y varianza 18. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día, el consumo sea más de 9 ?. Solución: 0,1991


5°) La distribución de Weibull corresponde a una variable aleatoria con función de

densidad: 1 x

xf(x) e ; x

en donde > 0, > 0 y - < < son parámetros, que se denominan “de forma”, “de escala” y “origen” respectivamente. Suponga que la vida de una componente sigue una Distribución de Weibull con parámetros:

= 0, = 1000 horas , = ½ . Calcule la probabilidad de que una componente sobreviva las 4000 horas de uso. Solución: 0,1353 6°) El contenido de refresco en una botella sigue una Distribución Normal con media 200 cc y desviación típica 20 cc. Al final del proceso de producción existe un dispositivo de control que rechaza las botellas con un contenido inferior a 180 cc. a) ¿Qué porcentaje de la producción resultará rechazada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella que aprobó el control , contenga más de 210 cc ? Solución: a) 15,87 % b) 0,3667 7°) La duración de unas pilas sigue una Distribución Normal con media 20 horas. Se sabe que el 80% de estas pilas sobrepasan las 15 horas de funcionamiento. Un radio lleva 4 pilas conectadas en serie, es decir, que si falla alguna, entonces falla el radio. ¿Cuál es la probabilidad de que el radio falle antes de las 18 horas de uso? . ¿ Por cuánto tiempo podría garantizarse la operación del radio, para tener probabilidad 0,95 , de cumplir con lo garantizado ? . Solución : a) 0,8393 b) 6,70 horas aproximadamente 8º) El proceso de llenado de ciertas cajas sigue una Distribución Normal, y se exige que la desviación típica no exceda de 25 gramos. Con el objeto de mantenerlo controlado, se toman muestras periódicas de 12 cajas, y si la desviación típica de la muestra es de 30 gramos ó más, se detiene el proceso. a) ¿Cual es el nivel de significación de esta prueba ?. b) Si el proceso se desajusta, y pasa a llenar las cajas con una desviación típica de 40 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba no lo detecte ? 9º) El contenido de unas cajas de cereal sigue una Distribución Normal con una desviación típica de 25 gramos. Una muestra aleatoria de 36 cajas arrojó una media de 500 gramos. ¿ Con qué nivel de confianza puede decirse que el contenido medio de todas las cajas de cereal, está entre 495 y 505 gramos . Solución: 76,99 %


10°) El siguiente diagrama de tallo y hoja representa el resultado de una muestra de 40 estudiantes, al medir el peso de cada uno de ellos: Frecuencia Tallo Hoja 3 4 o 678 1 5 * 4 4 5 o 5579 9 6 * 022233344 7 6 o 5556688 7 7 * 0111334 5 7 o 56678 2 8 * 14 2 8 o 69 Asumiendo normalidad , encuentre intervalos del 99% de confianza para la media y para la desviación estándar de la población. 11º) En el pasado un cierto proceso industrial producía un 6% de piezas defectuosas . Después de introducir ciertos cambios, se encuentra que en una muestra de 300 piezas, solo hay 10 defectuosas. ¿ Puede afirmarse a un nivel de significación del 5%, que los cambios han sido efectivos para mejorar la calidad del proceso ? .

12º) Los siguientes datos representan la resistencia en Kg /cm2 , de cierto tipo de concreto según sea el tipo de arena usada en su fabricación : Arena de grano ordinario : 208 203 229 215 220 223 233 228 209 Arena de grano fino : 208 181 207 173 165 190 181 184 212 A un nivel de significación del 5%, ¿se puede concluir que el tipo de arena es un factor influyente en la calidad del concreto ? . Solución: t = 4,531 . Si es significativamente influyente 13º) Un fabricante de radios recibe periódicamente de su proveedor un lote de pilas alcalinas, el cual examina por muestreo. Este fabricante exige que la duración promedio de estas pilas sea de 50 horas como mínimo. Una muestra aleatoria dio el siguiente resultado: Duración (Horas) 46-48 48-50 50-52 52-54 Frecuencia 2 3 4 1 Asumiendo normalidad en la duración de las pilas. a) ¿Aconsejaría Ud., a un nivel de significación del 5%,que se acepte el lote? . b) Al mismo nivel de significación anterior. ¿Aceptaría Ud., la hipótesis de que la desviación típica en la duración de estas pilas es de 1 hora como máximo?


14º) Un fabricante de equipos electrónicos, desea someter a dos empresas proveedores de transistores a una prueba comparativa rápida. De 80 transistores de la primera empresa, 25 fallan en la prueba; mientras que de 50 transistores de la segunda empresa, 21 fallan en la misma prueba. A un nivel de significación del 5%. ¿ Podría decirse que existe diferencia significativa ,entre las calidades de las dos empresas proveedoras de transistores?. 15º) Se afirma, que al añadir un cierto aditivo en el proceso de fabricación de una sustancia química, se logrará un producto mas homogéneo; es decir, que dicha aditivo reducirá las fluctuaciones que se presentan en el pH del producto final, sin alterar su pH medio. Para probar tal afirmación, se realiza un experimento que consiste en preparar muestras del producto, con y sin el aditivo; obteniéndose los siguientes resultados: Con el aditivo Sin el aditivo Tamaño de la muestra 10 8 pH medio 7.8 8.0 Desviación típica muestral en el pH 0.21 0.32 A un nivel de significación del 5%, y asumiendo que el pH de las sustancias químicas, con y sin el aditivo, siguen en cada caso una distribución normal independientes, pruebe las siguientes hipótesis: a) El aditivo hace que el pH de la sustancia, sea más homogéneo. b) El aditivo no afecta al pH medio de la sustancia. 16º) Se toman 10 parcelas de terreno de igual área, se dividen por la mitad, y se siembran de arroz. Una de las mitades se abona con un cierto fertilizante y la otra no. Al final de la cosecha, se observa el rendimiento obtenido en cada parcela: Parcela Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Con fertilizante 6.0 5.8 6.5 6.2 5.7 6.3 5.7 6.0 6.0 5.8 Sin fertilizante 5.7 5.7 5.6 5.6 5.9 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5 Asumiendo normalidad en el rendimiento de las parcelas: ¿ Puede afirmarse a un nivel de significación del 5%, que el uso del fertilizante , incrementa el rendimiento medio de las parcelas? . 17º) El proceso de producción de una cierta pieza mecánica sigue una Distribución Normal, y se exige por razones de precisión, que la desviación típica del proceso no exceda de 0,10 centímetros. El proceso va a ser controlado mediante muestras periódicas de tamaño 20, y se quiere que la probabilidad de detenerlo innecesariamente sea de apenas 0,01.

Una muestra aleatoria de 20 piezas arroja: ( )X Xi

i

i

1

202 = 0,225 .

¿Qué recomendaría Ud. : continuar o detener el proceso ? 18º) Una muestra de cuerdas fabricadas con un cierto material, arrojó la siguiente resistencia a la tensión:


Resistencia Frecuencia 80 - 100 4 100 - 120 8 120 - 140 9 140 - 160 3 160 - 180 1 a) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para la resistencia media de estas cuerdas. b) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para su desviación típica. c) A un 5% de significación, pruebe la hipótesis de que la resistencia media de estas cuerdas es de 135 por lo menos. Asuma normalidad en la resistencia de las cuerdas. 19°) La vida de una componente sigue una distribución exponencial con media 10 horas. Se dispone de 30 componentes que serán usadas una tan pronto falle la anterior. a) Calcule la confiabilidad para un servicio de 335 horas. b) ¿Cuántas componentes se necesitan para que la confiabilidad sea de 0,99 por lo menos? Solución : a) 0,25 20°) Una orden de producción establece que las especificaciones para una pieza deben ser de (20.00 ± 1.00 ) mm. El ingeniero de producción debe decidir entre dos máquinas para ejecutar esta orden. La siguiente tabla da los parámetros de producción para cada máquina y sus costos: Media ( mm) Desviación típica

(m m) Costo ($ / pieza)

Máquina A 19,95 0,85 1,00 Máquina B 20,02 0,50 1,20 Si la pieza es defectuosa, el fabricante pierde el costo de producirla; y si resulta conforme a las especificaciones la puede vender en $ 1,80 ¿Cuál de las dos máquinas debe elegir para producir las piezas?. Solución: Conviene la máquina “B” porque da una ganancia esperada mayor. $ 0,52 para B y $ 0, 37 para A. 21°) Un fabricante anuncia que la resistencia media a la compresión de unos

bloques marca "A", excede a la media de otros bloques marca "B" en 12 Kgs/cm2, como mínimo. Para demostrarlo, ensaya bajo condiciones similares 21 bloques marca "A" y 31 bloques marca "B" . La muestra de los bloques marca "A" ,arrojó una resistencia

media a la compresión de 86,7 Kgs/cm2 , con una desviación típica muestral de de

6,28 Kgs/cm2 , mientras que la muestra de los bloques marca "B" dio una


resistencia media de 77,8 Kgs/cm2, con una desviación típica muestral de 5,61

Kgs/cm2 . Asumiendo que la resistencia de los bloques de cada una de las marcas, se distribuye normalmente e independencia. a) Pruebe a un nivel de significación del 5% , si las varianzas en las resistencias de las dos marcas son iguales . b) Pruebe a un nivel de significación del 5% ,la afirmación enunciada por el fabricante. . 22°) Un Ingeniero Industrial afirma que si una cierta operación se efectúa por un cierto método, se logrará una economía en tiempo de 10 segundos en promedio, por lo menos. Se realizan observaciones de tiempos sobre grupos diferentes de obreros, por los dos procedimientos, el convencional y el propuesto por él, obteniendo: Método convencional (seg.) : 180,1 176,3 183,6 185,4 179,2 Método propuesto (seg.):173,4 170,7 175,4 169,6 170,1 168,4 172,9 Asumiendo que el tiempo de ejecución por ambos métodos, sigue cada uno, una Distribución Normal, y a un nivel de significación del 5%: a) ¿Puede afirmarse que sus varianzas son iguales? . b) ¿Puede aceptarse como cierta, la afirmación hecha por el Ingeniero Industrial ? 23°) Se afirma que al añadir un cierto aditivo a la gasolina, aumentará el rendimiento en el consumo de la misma, obteniéndose como mínimo 1 Kilómetro por litro más, en promedio . Se seleccionaron 12 automóviles, que en primer lugar usaron gasolina sin el aditivo, y posteriormente, sin cambiar de conductores ni de ruta, usaron gasolina con el aditivo. Se observó el rendimiento en cada caso, obteniéndose los siguientes resultados en Kilómetros por litro: Automóvil: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sin el aditivo: 4,1 4,9 6,2 6,9 6,8 4,4 5,7 5,8 6,9 4,9 6,0 4,9 Con el aditivo:5,2 5,7 7,6 8,0 7,7 5,5 6,7 6,5 7,4 5,3 7,0 5,6 Asumiendo que el consumo de gasolina en cada caso sigue una Distribución Normal: a) ¿Podría aceptarse como cierto, a un nivel de significación del 5%, que el uso del aditivo, aumenta el rendimiento medio en el consumo de combustible, en 1 kilómetro por litro, por lo menos ? . b) Dé un intervalo del 95% de confianza para en incremento en el rendimiento medio, dado por el aditivo. 24°) Para una cierta etapa de un proceso de producción es necesario adquirir una máquina, y hay que decidir entre dos modelos "A" y "B" . Puesto que el modelo "B" es más económico, la empresa preferiría seleccionarlo, a menos de que exista una evidencia significativa de que fabrica una mayor proporción de piezas defectuosas, en cuyo caso preferiría seleccionar el modelo "A", a pesar de ser más cara.


Ud. como Ingeniero de Producción, decide tomar sendas muestras de cada máquina, obteniendo como resultado: Modelo "A" Modelo "B" Piezas Producidas 400 600 Piezas Defectuosas 12 21 ¿ Cual modelo recomendaría Ud. ? .Seleccione un nivel de significación del 5%. Texto: Control Estadístico de la Calidad

Douglas Montgomery Editorial Limusa Wiley, 3ª Edición Ejercicios de Revisión Capítulo 5 y 7 : Resolver la totalidad de los Ejercicios del Capítulo 5 , y los Ejercicios del 7.1 al 7.10 del Capítulo 7.

1º) Se quiere construir un gráfico de control ( X , S ) para una importante característica de calidad. Se toman del proceso de producción, 40 subgrupos racionales de tamaño 12 cada

uno, a intervalos regulares de tiempo, y se les calcula su media X y su desviación estándar S.

El resumen de los resultados obtenidos es: X i

i

i

1

40

2980 Si

i

i

1

40

120

a) Encuentre los límites de control para el gráfico (X , S ).

b) ) Encuentre los límites de advertencia para el gráfico X c) Suponga que todos los puntos en ambas gráficas , caen entre los límites de control ,y que la decisión de detener al proceso se toma al encontrar la segunda muestra fuera de los límites de control. De ocurrir un deslizamiento en la media del proceso en 2 unidades hacia la derecha, ¿cuál es la probabilidad de detener al proceso en la quinta muestra subsiguiente o antes. d) Si las especificaciones son 75 ± 4, estime el porcentaje de piezas defectuosas que actualmente fabrica el proceso, calcule los índices de capacidad Cp y Cpk , y diga sus conclusión acerca de la capacidad del proceso , para producir artículos conformes a estas especificaciones . Solución: c) 0,3180 b). Cp = 0,4343 Cpk = 0,38 2º) En algunos textos de “Control Estadístico de Calidad”, existen tablas como la Tabla 7.3 Pag. 360 del libro de Douglas Montgomery , que permiten estimar la proporción de piezas no conformes, para ciertos valores del coeficiente de capacidad potencial Cp ; y así por ejemplo, en esa tabla se lee que para Cp = 0,50, la proporción estimada de piezas no conformes es de 66.800 y de 133.600 piezas no conformes por cada millón de piezas producidas, para especificaciones unilaterales y bilaterales respectivamente. Justifique dichas estimaciones.


3°) Los límites de control para un gráfico ( X , R ) , con subgrupos de tamaño 8 son:

Diagrama para X Diagrama para R Límite Superior 615 21 Línea Central 610 15 Límite Inferior 605 9 a) Analice si este gráfico está correctamente construido con criterio tres sigma, y en caso de no estarlo, halle los límites correctos. b) El departamento de control de calidad ha sugerido que es más conveniente

controlar el proceso con un gráfico ( X , S ), y subgrupos de tamaño 20. Halle los límites de control para este nuevo gráfico. c) Si las especificaciones para una pieza son: 600 ± 20 , estime el porcentaje de piezas no conformes que actualmente produce el proceso, halle los coeficientes CP , CPK, y obtenga sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso. d) De ocurrir un desajuste que deslice la media hacia 606, ¿Cuál es la

probabilidad de que el nuevo gráfico ( X , S ) lo detecte en la primera muestra subsecuente?. Solución: c) p = 2,87 % Cp = 1,27 Cpk = 0,63 d) 0.6517 4º) La profundidad de una ranura es una importante característica de calidad en una pieza. Del proceso se toman cada día muestras de tamaño 5 cada una. La tabla siguiente resume los resultados obtenidos con 20 muestras:

Muestra N° Media Rango Muestra N° Media Rango

1 139.7 1.1 11 138.4 0.8

2 139.8 1.4 12 138.5 0.9

3 140.0 1.3 13 137.9 1.2

4 140.1 1.6 14 138.5 1.1

5 139.8 0.9 15 140.8 1.0

6 139.9 1.0 16 140.5 1.3

7 139.7 1.4 17 139.4 1.4

8 140.2 1.2 18 139.9 1.0

9 139.3 1.1 19 137.5 1.5

10 140.7 1.0 20 139.2 1.3

X = 139.49 ; R = 1.175

Calcule los límites de control para la gráfica ( X , R) , y analice si el proceso ha estado bajo control estadístico durante este lapso. De ocurrir un deslizamiento en la media del proceso hacia 139.00 , ¿ cual es la probabilidad de detectarlo, a lo más en la segunda muestra después de ocurrido?.

Suponga que las especificaciones son 140 2. Estime el porcentaje de piezas fuera de especificación.


Estime los índices de capacidad del proceso, y haga las recomendaciones que considere conveniente. Solución: b) 0,3653 , c) 0,16% d) Cp = 1,32 Cpk = 0,98

5°) Para elaborar un gráfico de control ( X , R ) se tomaron 30 muestras cada una

de tamaño 4 , de una soldadura por puntos . Se midió la resistencia al esfuerzo cortante, y para cada una de las 30 muestras se calculó su media y su rango ,

encontrándose : Xi

i

i

1

30

= 15450 N , Ri

i

i

1

30

= 1206N.

Suponiendo que el proceso está bajo control, determine:

a) Los límites para el gráfico ( X , R ).

b) Si la especificación establece que la resistencia mínima de la soldadura por puntos es de 400 N. ¿ Qué porcentaje de las soldaduras cumple con esa especificación mínima ? . c) Analice si el proceso es capaz de cumplir con esta especificación. Calcule su coeficiente de capacidad Cpk. Solución: c) Cpk = 1,96 6°) Una empresa industrial suministra la siguiente información, con relación a un proceso de producción bajo control estadístico:

Especificaciones: 50.00 0.30 . Cp = 0.80 CpU = 0.40 CpL=1.20 Cpk= 0.40 Al hacer una auditoría se detecta que las especificaciones estaban mal calculadas,

y que las correctas son: 50.00 0.48. Estime en cuanto se reduce el porcentaje de piezas fuera de especificación como consecuencia de esta ampliación en las especificaciones, recalcule los nuevos índices de capacidad, y haga las recomendaciones que considere convenientes. Solución: Cp = 1,28 Cpk = 0,88 . p se reduce a 0,41%

7°) Se quiere construir un gráfico de control ( X , R ) para una importante característica de calidad. Se toman del proceso de producción, 40 subgrupos racionales de tamaño 4 a intervalos regulares de tiempo, y a cada uno se le

calcula su media X y su rango R.

El resumen de los resultados obtenidos es: X i

i

i

1

40

708 Ri

i

i

1

40

11120,

a) Encuentre los límites de control para el gráfico (X , R ). b) Suponga que todos los puntos en ambas gráficas caen entre los límites de control ,y que luego ocurre un desajuste que provoca un deslizamiento en la media del proceso en 1 unidad hacia la izquierda, ¿cuál es la probabilidad de que

el gráfico de control para X detecte este corrimiento, a más tardar en la cuarta muestra subsiguiente?.


c) Si las especificaciones son 17,50 ± 2,50 , estime el porcentaje de piezas defectuosas que actualmente fabrica el proceso, calcule los índices de capacidad Cp y Cpk , y diga sus conclusión acerca de la capacidad del proceso , para producir artículos conformes a estas especificaciones . Solución: b) 0,2292 , c) 6,74% d) Cp = 0,6173 Cpk = 0,5679 Ejercicios de Revisión Capítulos 6 y 14: Los siguientes ejercicios complementan a los que se encuentran en los referidos capítulos del texto. 1º) Se quiere construir un gráfico “NP” para controlar la fracción de piezas no conformes en un proceso, y para ello se toman 50 subgrupos de tamaño 200 cada uno. a) Si en esos 50 subgrupos se encontraron en total 350 piezas no conformes, determine los límites probabilísticos de control para el gráfico “NP”. b) Suponiendo que el proceso se encuentra bajo control con los límites calculados anteriormente, y que ocurre un desajuste que eleva la fracción no conforme a 8 %, ¿cuál es la probabilidad de detectarlo después de la tercera muestra subsecuente?. c) ¿Cuál debería ser el tamaño del subgrupo?, para que un cambio en la fracción disconforme hacia 8% , sea detectado con probabilidad 0.99 Solución : a)1 y 14 b) 0,0465 c) 691 2º) Un gráfico de control para el número de disconformidades, presenta los

siguientes límites de control:

L.S.C 21,00

Central 15,40

L.I.C 9,80

Analice si este gráfico esta correctamente construido bajo el criterio tres-sigma, y en caso de no estarlo, determine cuales deberían ser los límites de control. Si se utilizara el criterio probabilístico, ¿Cuál serían los límites de control?) De ocurrir un desajuste que ocasione un incremento en el número promedio de disconformidades hacia 19,8, ¿Cuál es la probabilidad de que el gráfico de control construido con criterio tres-sigma lo detecte después de la cuarta muestra subsecuente ?. Solución : a) 4 y 27 b) 7 y 26 c) 0,8228 3º) Un fabricante quiere establecer un diagrama de control para el número de disconformidades, en la estación de inspección final de un calentador de gas para agua. Se verifican los defectos en la fabricación y calidad de aspecto. En los últimos 22 días laborables se revisaron 176 calentadores y se encontraron 924 disconformidades.


Utilizando dos calentadores como unidad de inspección, encuentre con criterio 3 sigma los límites de control y la línea central para el número de disconformidades ¿Cuál la probabilidad del error tipo I en el gráfico de control anterior?. Solución: a) 1 y 20 b) 0,00283 4°) Lotes de tamaño 100 fabricados por un proveedor nuevo, van a ser examinado con un plan de muestreo simple para la aceptación por atributos. El AQL convenido es de 1.5% , a) ¿ Cual es el plan sugerido por la Norma MIL STD 105 D, utilizando un nivel general de inspección II. ?. b) ¿Cuál es el riesgo del productor para este plan?. c) Suponga que bajo la vigencia de este plan, las muestras de los últimos 10 lotes examinados han arrojado el siguiente número de defectuosas: 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 Aplique los criterios establecidos en la norma MIL STD 105 D, para decidir bajo qué tipo de inspección debe ser examinado el próximo lote. Solución: a) n = 32 c = 1 b) 0,0830 c) Reducida n =13 Ac = 0 Re = 2 5°) A un proveedor de larga trayectoria se le ha venido aplicando muestreo simple con Inspección Reducida y nivel general de inspección II. , según lo establecido en la norma MILSTD 105D . Este proveedor envía su producto en lotes de tamaño 120 y el AQL exigido es de 1,5% a) ¿Cuál es el riesgo del productor para este plan ?. b) Si el proveedor envía un lote con 3% de defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la inspección, pero el próximo lote deba ser examinado bajo Inspección Normal? Solución: a) 0,0157 b) 0,3270 6°) Se quiere diseñar un plan de muestreo simple para la aceptación, para un producto cuyo AQL = 1% y cuyo LTPD = 5% ,con un riesgo del productor de 0,05 y un riesgo de consumidor de 0,01. a) Encuentre el plan de muestreo simple correspondiente. b) Con el plan de muestreo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 2% de defectuosos, apruebe la inspección. Solución: a) n = 281 c = 5 b) 0,48 aproximadamente 7º) Un lote de tamaño 400 fabricado por un proveedor a quien le han le han rechazado ya varios lotes precedentes, va a ser examinado para la aceptación mediante un plan de muestreo. El AQL convenido es de 1 % , el LTPD 5% y las especificaciones establecen

20.00 0,15 para una cierta característica de calidad. a) ¿Cuál es el plan simple sugerido por la Norma MIL STD 105 E, bajo el nivel general II?


b) Calcule el riesgo del consumidor para este plan. Escriba la expresión exacta, y luego aproxímela. c) Suponga que Ud. considera que este riesgo es muy alto, y Ud. quisiera que el riesgo fuera de 0.05 para el productor, y 0,10 para el consumidor. ¿Cuál debería ser el plan simple correspondiente? d) Si se decide aplicar un plan de muestreo doble, ¿cuál es el sugerido por la norma MIL STD 105 E? e) ¿Cuál es el riesgo del consumidor para este plan?. Escriba la expresión exacta, y luego aproxímela. f) Suponga que Ud. considera que este riesgo es muy alto, y Ud. quisiera que el riesgo fuera de 0.05 para el productor, y 0,10 para el consumidor. ¿Cuál debería ser el plan doble correspondiente g) Si se decide aplicar un plan de muestreo por variables, ¿ cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 414, bajo el nivel general IV?

h) Si la muestra sugerida en h) arroja: X = 19,95 , S = 0,06 . Analice, si este lote debe o no ser aceptado g) Si se decidiera aplicar un plan con inspección rectificadora, tal que a un lote con 5% de defectuosas le conceda apenas una probabilidad 0,10 de ser aceptado, ¿Cuál es el plan simple que minimiza la inspección total media?. Asuma que el proveedor cumple con el AQL convenido del 1%. h) ¿Cual es el máximo porcentaje promedio de defectuosos que pudiera ingresar al proceso bajo la vigencia del plan hallado en g) i) Calcule la inspección total media para el plan hallado en g) 8°) A un proveedor nuevo se le va a examinar el primer lote que envía, a nivel general de inspección II, según lo establecido en la norma MIL STD 105 E . Este proveedor envía su producto en lotes de tamaño 2500 y el AQL convenido es de 0,25%, mientras que el LTPD es del 1,5% a) ¿Cuál es el plan simple sugerido? . b) Calcule el riesgo del productor y el del consumidor, para este plan. c) Suponga que Ud. considera que estos niveles de riesgo son muy altos, y Ud. quisiera reducirlos a 0,05 para el productor, y a 0,10 para el consumidor aplicando un plan de muestreo doble con n2 = 2 n1. ¿Cuál debería ser el plan doble? d) ¿Cual es la probabilidad de que un lote con 1% de defectuosos apruebe la inspección con este plan de muestreo doble?

e) Suponga que las especificaciones para este producto exigen 10.00 0.08, y Ud. decide un plan por variables en lugar de uno por atributos, con Nivel General III, ¿ cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 414


f) Si la muestra sugerida en e) , arroja: X = 10,04 , S = 0,02 . ¿ Qué decisión debe tomarse respecto al lote ? . Solución: a) n= 200 , c= 1 b) 0,09 y 0,1969 c) n1= 240 n2 = 480 c1 = 0 c2 = 3 e) n= 30 M= 0,897 f) Se rechaza 9º) Un primer lote de tamaño 4000 fabricado por un proveedor nuevo, va a ser sometido a un plan de muestreo para la aceptación. El AQL convenido es de 0,15 %, mientras que el LTPD es de 1%.

Las especificaciones exigidas para el producto son 80.00 0.50 a) Si se decide un plan simple por atributos, ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 105 D, utilizando un nivel general de inspección II. ?. b) ¿Cuál es el riesgo del productor para este plan simple?. Escriba la expresión exacta, y luego aproxímela. c) Si se decide un plan doble por atributos, ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 105 D, utilizando este mismo nivel general de inspección II. ?. d) ¿Cuál es el riesgo del consumidor para este plan doble?. e) Suponga que Ud. considera que estos riesgos no resultan convenientes, y Ud. quisiera que fuesen de 0,05 para el productor, y de 0,10 para el consumidor. e.1) Diseñe el plan de muestreo simple correspondiente. e.2) Diseñe el plan de muestreo doble correspondiente, con n2 = 2 n1. f) Si se decide un plan por variables, ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 414 bajo el nivel de inspección IV?

g) Si la muestra sugerida en f), arroja: X = 79,80, S = 0,16. ¿ Qué decisión debe tomarse respecto al lote ?. Solución: a) n= 315, c= 1 b) 0,0819 c) n1 = n2 = 200 c1 = 0 c2 = 2 d) 0,1702 e.1) n= 507 c= 2 e.2) n1= 400 n2 = 800 c1 = 1 c2 = 3 f) n= 50 M= 0,503 g) Se rechaza el lote 10°) Lotes de tamaño 700 provienen de un proceso que tiene un porcentaje promedio estimado del 0,15 % de defectuosos, y van a ser sometidos a un plan de muestreo doble por atributos, con inspección rectificadora. Se quiere que en caso de llegar un lote con 1% de defectuosos, su probabilidad de aceptación sea de apenas 0,10 a) ¿Cual es el plan de muestreo recomendado, para minimizar la inspección total media? b) Con este plan, ¿qué garantía se le podría ofrecer al consumidor, sobre el porcentaje promedio de defectuosas que recibirá ?. c) Suponga que ocurre un desajuste, y el porcentaje promedio de defectuosos del proceso cambia a 0,7%. Para esta nueva situación:


Encuentre la inspección total media

Verifique que a pesar del desajuste se sigue cumpliendo con lo garantizado. Solución: a) n1= 235 n2 = 125 c1 = 0 c2 = 1 b) AOQL = 0,16% c ) ATI = 565,75 AOQ = 0,13% < 0,16% 11) Un proveedor que estaba siendo inspeccionado bajo Inspección Normal acaba de ser pasado a Inspección Estricta. Los lotes enviados por este proveedor son de tamaño 1.000, y el AQL convenido es de 0,65 % , a) Si se decide un plan por atributos, con muestreo simple ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 105 E, utilizando un nivel general de inspección II. ?. b) Bajo la vigencia de este plan, y suponiendo que el proveedor está cumpliendo con el AQL convenido, ¿cuál es la probabilidad de que después de habérsele examinado los cinco lotes subsiguientes, aún deba permanecer bajo Inspección Estricta ?. c) Si se decide un plan por variables, y las especificaciones establecen que la

pieza debe medir 40.00 0.10 , ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 414 para Inspección Estricta, con un nivel general IV?

d) Si la muestra sugerida en c) , arroja: X = 40,01 , S = 0,04 . ¿Qué decisión debe tomarse respecto al lote ? Solución: a) n=125 c=1 b) 0,6630 c) n= 35 M= 1,23 d) Se acepta el lote

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