PonticiaUniversidadCatolicadeChileFacultaddeFsicaTeoraElectromagneticaConejerciciosresueltosFabianC adiz2ParteIElectrostatica3Captulo1ElementosdeCalculovectorial1.1.AlgrebradeVectoresenR3Estaesunalistadeidentidadeselementalesdel algebravectorial, quesesupondranbienconocidas

A

B= AxBx + AyBy + AzBz

A

B= (AyBzAzBy)i + (AzBxAxBz)j + (AxByAyBz)k

A

A = 0

A _

A

B_= 0

A _

B

C_=_

A

B_

C

A _

B

C_=_

A

C_

B _

A

B_

C1.2. CalculodiferencialenR3Sea f: [R3] R una funcion real. Tambien es llamada campoescalar, pues a cada puntodel espacio (R3) le asocia un n umero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede serlatemperaturaenciertaregiondelespacioT: [ R3R]Fig.1.1:T(x, y, z)representauncampoescalarsobreAdemas delaexistenciadecamposescalares, tambienexistencampos vectoriales. Laideaesbiensimple,acadapuntodelespacioseleasociaunvector.EnR3,eltipodecamposvectorialesquenosinteresaransondelaforma

F: [ R3] R3.5Fig.1.2:Lavelocidaddelosatomosdeunobjetoquerotaesunejemplodecampovectorial1.2.1. DerivadasdeuncampoescalarSi f es uncampoescalar diferenciable (ypor lotantounafuncioncontinua) sobre undominioD R3,entoncesestadenidoelGradientedef

f(x, y, z) =_f(x, y, z)x+f(x, y, z)y+f(x, y, z)y_El gradiente es uncampovectorial, pues a cada puntoenDle asociaunvector. Esinmediatonotar queel gradienteesperpendicular acurvasendondeel campoescalar f esconstante,comolascurvasquesemuestranenlagura1.(Llamadasisotermasenelcasodequeelcampoescalarsealatemperatura).Enefecto,lacurvaf(x, y, z) = Cpuedeserparametrizadaf(x(t), y(t), z(t)) = CDerivandoconrespectoat,seobtienefxx

(t) +fyy

(t) +fzz

(t) = 0_f(x, y, z)x+f(x, y, z)y+f(x, y, z)y_ (x

(t), y

(t), z

(t)) = 0y entonces el gradiente es perpendicular a la direccion tangente a la curva. Mas a un, si u esunvectorunitario,sedeneladerivadadireccionaldefenladireccion ucomoD uf(x, y, z) =

f(x, y, z) uSepuededemostrarqueladerivadadireccional semaximizaenladirecciondel gradiente,esdecir,elgradienteentregaladirecciondemaximavariaciondef.61.3.

comounoperadorConviene considerar al gradiente como algo independiende de que funcion se esta derivando.Llamamos

aloperador

=_x,y,z_Porsupuestoqueesteoperadoras escritonosignicanada. El operador

debeoperarsobreunafuncion,porejemplo

f=_fx, fy, fz_Tienecompletosentidoenestecaso. Hemosmultiplicadoal operadorporunacantidadescalar.Hayquetenerciertasprecaucionesconestetipodenotacion,porejemplo,delalgebradevectoresessabidoquesiesunescalar

A =

Asinembargo,f

notienesentidoporsimismo,enefecto,esunnuevooperadorf

=_fx, fy, fz_1.3.1. DivergenciayRotorSi

Fesuncampovectorial,entonces

Fdebeser unescalar, ypor lotantopuedetener unsentidofsico. Entendiendo

comounoperadorvectorial,setiene

F=_x,y,z_ (Fx, Fy, Fz)

F=xFx +yFy +zFzAestacantidadescalarasociadaauncampovectorialselellamadivergencia de

F.Veamos que mas es posible denir a partir del operador gradiente. Que ocurre con

F?.Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy util en el analisis defuncionesvectoriales.Desarrollandoesteproductocruzseg unelalgebradevectores_

F_x=FzyFyz_

F_y=FxzFzx_

F_z=FyxFxyA esta combinacion se le llama rotor. En resumen, hemos denido las siguientes cantidades7

f Vector

F Escalar

F Vector81.3.2. SegundasderivadasHasta ahora hemos denido cantidades que involucran unicamente primeras derivadas.Veamosqueocurreconlassiguientescombinaciones(a)

_

f_(b)

_

f_(c)

_

F_(d)

_

F_(e)

_

F_Veamoslaprimeradeellas,esclaroquedebeobtenerseuncampoescalar.Desarrollando

_

f_=

_fx, fy, fz_

_

f_=2fx2+2fy2+2fz2Sevequeestosepuedereescribircomo

_

f_=

f=_

_f=

2fVemos a

2como un nuevo operador, y como aparece mucho en fsica, tiene un nombre. EsllamadoLaplacianoLaplaciano

2=2x2+2y2+2z2debidoaqueelLaplacianoesunoperadorescalar,podraaplicarsesobreunvector

2

FporsupuestoestosignicaqueeloperadorLaplacianooperasobrecadacomponentede

F

2

F=_

2Fx, 2Fy, 2Fz_Veamosqueocurreconlaexpresion(b).Notemosquetienelasiguienteforma

A _

Af_=_

A

A_f= 0Esperamosque

_

f_seaceroparacualquiercampoescalarf. Podemosvericarlotomandoalgunadelascompo-nentes9[

f]x=

z_

f_y

y_

f_z[

f]x=z_fy_y_fz_= 0DelmismomodosemuestraparalasdemascomponentesLaexpresion(c)esporsupuestouncampovectorial

_

F_Sinembargo, nohaynadamuyespecial quedeciracercadeel. EssimplementeuncampovectorialquepodraaparecerenelfuturoLaexpresion(d)tienelaforma

A _

A

B_= 0Esdecir,esperamosque

_

F_= 0Paracualquiercampovectorial

F.Esas,yesfacildevericarPor ultimo,veamosquesucedeconlaexpresion(e)

_

F_Estatienelaformade

A _

B

C_=

B_

A

C__

A

B_

CPodramosseguirutilizandoestaexpresionyescribir

_

F_=

_

F__

_ FEl ultimoterminoeselLaplaciano

_

F_=

_

F_

2

FEnresumen,hemosencontrado

_

f_=

2f Laplacianosobref,campoescalar

_

f_= 0

_

F_Campovectorial

_

F_= 0

_

F_=

_

F_

2

F campovectorial101.3.3. DosteoremasadicionalesEnmuchos problemas fsicos, sucedequeundeterminadocampovectorial

Ftienerotornulo.Esdecir

F= 0Hemosvistoqueel rotordeungradienteessiemprecero. Podrasercientoentonces, que

Ffuerael gradientedealg uncampoescalar, deestaformasurotor serasiemprenulo. Lointeresanteesqueestoessiempreas,yenunciaremoselsiguenteteoremaSi

F= 0Existeuncampoescalar,talque

F=

Delmismomodo,hemosvistoqueladivergenciadeunrotoressiemprecero.Luego,siladivergenciadeuncampovectorial

Fesnula,podriatenerseque

Ffueraelrotordeuncampovectorial.Deseras,estaragarantizadoquesudivergenciaseanula.Enefecto,enunciamoselsegundoteoremaSi

F= 0Existeuncampovectorial

A,talque

F=

A1.4. CalculoIntegralenR31.4.1. IntegraldelneadeuncampovectorialSea

F: [ R3] R3Consideremosunacurvacontenidaen.Seax0, x1, ...xnunaparticionde,(xk, yk)unpuntoeneltrazodequevadexk1axk,yxk= xkxk1.Sedenelaintegraldelneade

F(x)pordx

F(x) =lmn

F(xk, yk)xkEstosepuedereescribircomodx

F(x) =lmn

F(xk, yk) xk[ xk [ [ xk [=dsT(x)

F(x)dondeT(x)eslatangenteunitariaalacurvaen x.Asdx

F(x) =dsT(x)

F(x)Laintegral de lneade uncampovectorial sobre unacurvacorresponde asumar lasproyecccionesde

F(x)enladirecciontangentealacurvaentodopunto.111.4.2. IntegraldesuperciedeuncampovectorialSea

F: [ R3] R3ySunasuperciecontenidaen.Sedenelaintegraldeujodelcampo

FsobreScomoSd

S(x)

F(x) =SdS(x) n(x)

F(x)correspondeasumarlaproyecciondel campo

Fsobrelanormal alasupercieSencadapunto.1.4.3. TeoremadelaDivergenciaSea R3unaregion.Sea

Funcampovectorialcontinuoydiferenciableen.Entoncesd3x

F=d

S(x)

F(x)1.4.4. TeoremadeStokesSea Suna supercie en R3. Sea

Fun campo vectorial continuo y diferenciable en una regionquecontieneaS.EntoncesSd

S(x) _

F(x)_=Sdx

F(x)dondeSeselcontornodeS(unacurvaenR3)12Captulo2IntroduccionEste curso trata sobre los fundamentos de la teora Electromagnetica, una teora realmenteexitosayquees capazdeexplicar ypredecir unagrancantidaddefenomenos. Unadelasdicultades en su construccion fue la gran cantidad de fenomenos complejos, que en un principioaparentementenotenanrelacionunosconotros. Sinembargounodelosmayoreslogrosdelaelectrodinamicaesmostrarqueenrealidadestantodosrelacionados,ademasdepermitirlacreaciondenuevasaplicaciones, quenoaparecendeformainmediataenlanaturalezayquehancambiadolavidadetodoelmundo.Absolutamentetodalateoraseencuentraresumidaenunconjuntodecuatroecuacionesdiferenciales,llamadasEcuacionesdeMaxwellEstas4ecuacionesresumentodoslosresultadosempricosacumuladosdurantea nosporlosestudiosdelosfsicosCoulomb, Gauss, Amp`ere, Faradayymuchosotros. Fueronpresen-tadasen1873porel matematicoinglesJamesClerkMaxwell1. Ademasdeexplicartodoslosfenomenoselectricosymagneticosconocidoshastalaepoca, muestranqueelectricidadymagnetismo no son fenomenos independientes, y explica la forma en como ambos se relacionan.LasecuacionesdeMaxwellfueroncapacesdepredecirlacreaciondeondaselectromagneticasde energa cuya velocidad de propagacion teorica coincida con la velocidad de la luz (hecho quecorroboro Heinrich Hertz en 1887). Hoy se sabe que la luz es un tipo de onda electromagnetica,luego, todaslasleyesdelaoptica, tambiensonexplicadasdeformaconsistenteporlasecua-cionesdeMaxwell. Estofueungransucesopueslogromostrarquefenomenosqueparecantotalmentediferentesprovenandelosmismosprincipiosfsicos. Radiacioninfraroja, luzvisi-ble, radiacion ultravioleta, rayos x, rayos gama, son todos diferentes tipos de ondas oscilatorias,ysolosediferencianensusfrecuencias. Todasrecibenel nombrederadiacion, debidoaquepropagan(irradian)energa.Enestecursosepretendendesarrollar las bases empricas paralas ecuaciones deMaxwell,mediantelaintroducciondelcampoelectrico

Eymagnetico

B.1ADynamicalTheoryoftheElectromagneticField,JamesClerkMaxwell13Primeramenteestudiaremosel casoestatico, endondeloscamposnotienendependenciatemporal.EnestecasolasecuacionesdeMaxwellsetransformanen:

E=

o

E= 0

B= 0

B= o

JNotemos que ahora hay 2 ecuaciones para cada campo totalmente independientes entre s, enotraspalabras,electricidadymagnetismosonfenomenosabsolutamenteindependientesmien-trasloscamposseanestaticos. LasdosprimerasecuacionescorrespondenalaElectrostatica,mientrasquelas2 ultimasalaMagnetostatica. Desarollaremoslasideasyprincipiosfunda-mentalesdeamboscasosestaticos, paraluegoestudiarloscamposvariantesenel tiempoyderivarlasecuacionesdeMaxwell.Fig.2.1:JamesClerkMaxwellJames Maxwell (1831-1879) Fsico Escoces. Es el creador de la electrodinamica modernayelfundadordelateoriacineticadelosgases.Susteorasconstituyeronelprimerintentodeunicar dos campos delafsicaque, antes desus trabajos, seconsiderabancompletamenteindependientes: la electricidad y el magnetismo (conocidos como electromagnetismo). Ademas,enela no1859Maxwellformulolaexpresiontermodinamicaqueestablecelarelacionentrelatemperaturadeungasylaenergacineticadesusmoleculas.14Captulo3ElectrostaticaUnadelaspropiedadesfundamentalesdelamateriacorrespondealoqueseconocecomocargaelectrica. Estapropiedadesel origendelasfuerzaselectricas. Considereunsistemadedoscargaspuntualesyenreposo, q1yq2, separadasporunadistanciarenel vaco. Pordoscargaspuntuales, nosreferimosporsupuestoaobjetoscuyodiametromaximoesmuchsimomenorquelaseparacionentreellos.LasfuerzaentrecargasestaticasfueestudiadaporCharlesAugustindeCoulomb, (FsicoeIngeniero frances), encontrando una gran similitud entre la forma de las fuerzas electrostaticasylas de gravitacion, peronotandoque, adiferenciade lafuerzagravitacional, las fuerzaselectrostaticastambienpuedenserrepulsivas.Fig.3.1:FuerzaentrecargaspuntualespuedeserrepulsivayatractivaLafuerzaqueejerceq

sobreqestadadaporlaleydeCoulomb

Fq=140qq

[ x x

[3(x x

)15Esdecir, lafuerzaelectrostaticaesproporcional al productodelascargaseinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaentreellas.Notarqueladireccion(x x

)[ x x

[va siempre desde la carga q

hacia la carga q. El signo de la fuerza estara determinado entoncesporelproductodelascargas,as,siambassoniguales,lafuerzaserarepulsiva,mientrasquesisondesignoopuesto,lafuerzaseraatractiva.EnelsistemaS.I.,laconstantedeproporcionalidadestadadaporK=14o= 8, 9875 109Nm2/C2Donde0seconocecomolapermitividaddelvaco.Similarmente,lafuerzasobreq

debidoaqestadadapor

Fq =

Fq,comodebeserporlaterceraleydeNewton. LaleydeCoulombdescribeperfectamentelasfuerzasentre2cargaspuntuales, luego, resulta de interes estudiar que sucede cuando hay mas de dos cargas presentes.SupongamosqueexistenNcargasqjconj=1, 2, ...N. Supongamosquehayunacargaqenlaposicion xyquelaposiciondelacargaqjes xj.LafuerzaqueejercenlasNcargassobreqestadadaporelprincipiodesuperposicion

Fq=N

j=1140qqj[ x xj [3(x xj)Esdecir, lasumadecadafuerzaporseparado. El principiodesuperposicionimplicaquelafuerzanetaentre2cargasesindependientedelaprescenciadeotrascargas. Estoesciertosiempre y cuando las cargas esten en posiciones jas (recordar que son fuerzas electrostaticas).Podrannotarinmediatamente,quecomoestamosconsiderandocargasestaticasqueseejercenfuerzas entre s, deben necesariamente existir fuerzas externas que las mantengan en equilibrio.Supondremos entonces que las cargas estan forzadas a mantenerse en su posicion, de forma quelasleyesquehemosestablecidohastaahorasonvalidas.Fig.3.2:Charles-AugustindeCoulomb(1736-1806)163.1. CampoElectricoLafuerzaelectrostatica, comolafuerzagravitacional, es unafuerzaqueact uaadistan-cia, es decir, norequierequelos objetos estenencontactoentres. Entonces, si tenemos 2cargaspuntuales, digamos, qyq0, podemosmedirlafuerzaqueejerceqsobreq0. Aq0selellamaracargadeprueba,ylaposicionaremosendiferenteslugaresdelespacioymediremoslafuerzaquesientedebidoalapresenciadelacargajaq. Enestesentido, sepiensaqueq generaalgoentodoel espacioquedebeser independientedesi colocamos onolacargadepruebaq0.Sedicequeunacargaelectricagenerauncampoelectrico(matematicamentedescrito por un campo vectorial) en todo el espacio, el cual es capaz de actuar sobre otras cargas.Justamenteparacuanticarlamagnituddelcampocreadoporlacarga,podemosmedirlafuerzaqueexperimentaunacargapositivadepruebaqoenalg unpuntodelespacio.Elcampoelectrico

Esedeneformalmentecomo

E=lmq00

Fq0q0Esdecir, el campoexisteentodoel espacioyesindependientedelacargadeprueba. Lasutilezadeelegirunacargadepruebainnitamentepeque naesparaqueelcampoproducidoporq0noalteredeningunaformaalafuentedelcampoquequeremoscuanticar.Diremosentoncesconestenuevoenfoquequelacargaq esunafuente(crea) uncampoelectrico

Equeejerceunafuerza

Fq0= q0

E(x)sobreunacargaq0ubicadaen xUsando la denicion de Campo Electrico y la Ley de Coulomb, se obtiene que el campo electricoaunadistanciardelacargapuntualqestadadopor

E=140qr2 rdonde resladireccionradialdesdelacargaqFig.3.3:Representaciongracadelcampovectorial

Eparaunacargapositiva(izq)ynegativa(der)17Logicamente,elprincipiodesuperposicionestambienvalidoparaelcampoelectrico,bajolas mismas condiciones mencionadas anteriormente. As, el campoenxdeunadistribuciondiscretadeNcargaspuntualesubicadasenqj,j= 1, 2, ...Nestadadopor

E(x) =N

j=1140qj[ x xj [3(x xj) (3.1)LaleydeCoulombyel principiodesuperposicionsonlasleyesempricasfundamentalesde laElectrostatica. Mas adelante, veremos que las ecuaciones de Maxwell parael campoElectrostatico

E(x) =

0

E(x) = 0contienen exactamente la misma informacion que acabamos de presentar (y por supuesto, con-tienenmuchsimainformacionadicional!), perodeunaformamuchomas general, simpleyelegante.3.2. Distribuciones continuas de carga - Integrales deCoulombSe pueden extender estas ideas para cuando se tiene una gran cantidad de cargas distribudasenunaregiondel espacio. Supongamosunadistribucioncontinuadecargaencerradaenunvolumen V , por esto entendemos una region del espacio en donde se puede denir una densidadvolumetricadecargaencadapunto,digamos(x)(C/m3)Enelcasodeobtenerunadistribucioncontinuadecarga,seutilizaunaparticiondelvolumenVen celdas de volumen innitesimal d3x

. En la posicion x

, se encuentra un peque no volumenconcargadadapordq(x

) = d3x

(x

)Comoestaesunacargainnitesimal,elcampoquegeneraen xseraeldeunacargapuntuald

E(x

) =d3x

(x

)40x x

[ x x

[318Para obtener el campo generado por toda la distribucion de carga, basta con sumar (integrar)sobreelvolumenV lascontribucionesindividualesdecadaelementodevolumen,luego

E(x) =140Vd3x

(x

)[ x x

[3(x x

)Enel casode obtener unasupercie Sde carga, endonde paracadax

enSse tieneunadensidadsupercial decarga(quedenotaremos(x

)paradiferenciarladeunadensidadvolumetrica),seobtiene

E(x) =140Sds

(x

)[ x x

[3(x x

)Por ultimo, para una distribucion lineal , en donde para cada x

en se tiene una densidadlinealdecarga,denotada(x

)entonceselcampoen xestadadopor

E(x) =140dx

(x

)[ x x

[3(x x

)Estas son las integrales de Coulomb y son una extension al caso de una distribucion discretadecargas,adistribucionescontinuasenelespacioEjemplo:CampodeunanillodecargaConsideremosunanillocondensidadlineal decargaconstanteydadapor. El objetivoescalcularelcampoelectricogeneradoporestadistribuciondecargaenunpuntosobreelejedesimetraadistanciazdelorigenUnelementodiferencial delongitudsobreel anilloestadadopordl =Rddondeeselangulo polar. Este elemento posee una carga dq= dl = Rd, de forma que el campo electricoenunpunto xdebidoaestacargainnitesimalestadadoporlaleydeCoulomb

E(x) =dq40x x

[ x x

[3=dR40x x

[ x x

[3donde x

eslaposiciondelelementodecarga,enestecasox

= R r = R_cos i + sin j_19deformaqueelcampototalseobtieneintegrandosobretodoelanillo(abarcandotodoelrangode)

E(x) =R4020dx R r[ x R r [3ahora, se desea el campo en un punto sobre el eje simetra del anillo, a distancia z del origen,deformaquex = zkyqueda

E(zk) =R4020dzk R r[ zk R r [3porsupuestoque[ zk R r [=_z2+ R2_1/2

E(zk) =R4020dzk Rcos i Rsin j(z2+ R2)3/2Deestastresintegrales(en i,j,k), la unicaquenoesnulaeslaseg unk. Estoesfacil deverapelandoalasimetradeladistribuciondecarga

E(zk) =Rz4020d1(z2+ R2)3/2k

E(zk) =2R40z(z2+ R2)3/2kesto se puede escribir de otra forma considerando que Q = 2R es la carga total del anillo

E(zk) =Q40z(z2+ R2)3/2k20Si zessucientementegrandeencomparacionconlasdimensionesdel anillo(z >>R),entonces

E(zk) Q40z2kqueseraelcampoadistanciazdeunacargapuntualQenelorigen21ProblemaDospeque nasesferasdeigualmasamycargaq,cuelganpor2hilossinmasa,sincargaydelargol.Cadaesferaformaunanguloconelejevertical,comosemuestraenlaguraCalculelacargaqSolucionDebidoalasimetradelsistema,bastaraconhaceranalisisdefuerzasparaunadelascargas.Consideramos el equilibrioentrelas tres fuerzas queact uan: lafuerzaderepulsion(las doscargas sonde igualsigno)electrostatica Fe,latensionsobreelhilo T,ylafuerzagravitacionalmg.DelasegundaleydeNewtonparalaesferaFx= Tsin Fe = max= 0Fy= Tcos mg= may= 0Comoel sistemaseencuentraenequilibrio, ax=ay=0, entonces laprimeraecuacionequivaleaT sin =q240r2dondereslaseparacionentrelas2cargasq2= 40T sin r2Oequivalentemente,q= r_40T sin 22DelequilibriodefuerzasparaelejeverticalobtenemosT=mgcosYademas,r = 2l sin .Finalmenteseobtieneqeq= 2lsin_40mgtg = 4lsin_0mgtan23ProblemaSetieneunalneahomogeneadecargacondensidadlineal,ydelongitudnitaa.CalcularelcampoelectricoenelpuntoPadistanciaxdelextremoSolucionTomamos un peque no elemento d de la lnea de carga, situado a una distancia del punto A,yobtenemoselcampoelectricoenelpuntoPdebidoaesteelementodiferenciald

E(P) =140d(a + x )2iYelcampoelectricototalseobtieneintegrandoparatodalalneadecarga.Estoes

E(P) =140a0d(a + x )2iSeaz= a + x ,as,dz= dyelcampoqueda

E=40xa+xdzz2i =401zxa+xi =_40x 40(a + x)_i

E=(x + a) x40x(x + a)i =a40x(x + a)i =140Qx(x + a)iConQlacargatotaldelalnea.Notarquesix a

E Q40x2iqueconcuerdaconelcampodeunacargapuntual24ProblemaUnabarradelgadacondensidaddecargauniformesedoblaconlaformadeunarcodecrculoderadioR.Elarcosubiendeunangulototal20,simetricoconrespectoalejex,comosemuestraenlagura.Cualeselcampoelectrico

EenelorigenO?.Veaquesucedecuando0 SolucionConsidereunelementodiferencialdelongituddl=Rd,queformaunanguloconrespectoalejex.Lacantidaddecargaquecontieneesteelementoesdq= dl = RdSucontribucionalcampoelectricoenOesd

E= 140dqr2 r =140dqR2(cos i sin j) =140dR(cos i sin j)Integrandoparaentre 0y0,seobtiene

E=140R00d(cos i sin j)

E=140R(sin i + cos j)00= 1402sin 0RiVemosqueel campoelectricosolotienecomponenteenel ejex, loqueconcuerdaconlasimetradelproblema.25Si tomamosel lmitecuando0 , el arcosetransformaenunanillocircular. Yaquesin = 0,la ecuacion anteriorimplicaque elcampoelectricoenelcentro de unanillode cargaesnulo.Estoseesperaraporargumentosdesimetra.(Compararademasconelcampodeunanillodecargacalculadoenestecaptulo)Porotrolado,paraangulosmuypeque nos,sin0 0,recuperamoselcasodeunacargapuntual

E 14020Ri = 14020RR2i = 140QR2iDondelacargatotaldelarcoesQ = l = (2R0)26ProblemaUnrecipientehemisfericonoconductorderadiointerioratieneunacargatotal Qrepartidauniformemente en su supercie interior. Encuentre el campo electrico en el centro de curvaturaSolucionTomamoscomoorigenel centrodecurvaturadelasemiesfera. Apartirdeestopodemosde-terminar la contribucion de un elemento diferencial de carga en la supercie al campo electricoen el eje que pasa por el centro de curvatura, que coincide con la direccionk(El campo

E, porsimetra,solotendracomponenteenk).d

E(x) =140(x x

)[x x

[3ds

Unelementodiferencialdesuperciesobrelaesferaestadadopords = a2sin ddycomolacargaestadistribudauniformemente,ladensidadsupercialessimplemente=Q2a2Conesto,podemosdeterminarelcampototalintegrandosobretodalasupercie

E(x) =140a220d/2dsin Q2a2(x x

)[x x

[3Evaluandoen x=0obtenemoselcampoenelcentrodecurvatura

E(0) =14020/2Q2a2x

[ x

[3a2sin dd

E(0) =14020Q2a2/2x

[ x

[3a2sin ddElvector x

querecorrelasupercieestadadoporx

= a cos k + a sin cos i + a sin sin j27Por el argumentodesimetra, solointeresalacomponenteseg unk. Detodas formas sepuedevericarcalculandoexplcitamentelasintegralesen iyj.Conesto

E(0) =Q40a2/2a cos a3a2sin dk

E(0) =Q40a2/2cos sin dk =Q80a2/2sin(2)dkFinalmenteelcampoenelcentrodecurvaturaes

E(0) =Q80a2k28ProblemaConsidereunalambremuydelgadocomoel delagura, esteestacompuestopordosrectasinnitasyunarcodecrculode135grados. El alambretieneunadensidadlineal decargaconstante.EncuentreelcampoelectricoproducidoenelpuntoPSolucionEste problemase resuelve mediante integrales de Coulombyel principiode superposicion.Descomponemoselproblemaensubproblemasmassimples,unadistribuciondecargalinealyotra en un arco de crculo (ya visto en el problema anterior). Resolvamos entonces el problemadeunadistribucionlinealinnitadecargaUnelementodelongituddx

adistanciax

delorigengeneraunacontribucionalcampoenPdadapord

E(P) =dx

40x x

[ x x

[3donde x = Rj es el vector posicion del punto P, y x

= x

i el vector que recorre la distribuciondecarga(parametrox

).Porelprincipiodesuperposicion,elcampoelectricoenPseobtienesumandosobretodaladistribucion

E(P) =400dx

Rj x

i(x2+ R2)3/2

E(P) = 400dx

x

(x2+ R2)3/2i +R400dx

(x2+ R2)3/2jCalculemosprimerolaintegralI1=0dx

x

(x2+ R2)3/2coneltrivialcambiodevariableu = x2,du = 2x

dx

29I1=120du(u + R2)3/2=120du(u + R2)3/2= 2 12(u + R2)1/20I1=1RAhora,obtenemosI2=0dx

(x2+ R2)3/2yutilizamoslaconocidasustitucionx

=Rtan , dx

=Rsec2d. ConestolaintegralquedadelaformaI=dRsec2(R2tan2 + R2)3/2=dRsec3R3sec3=1R2dsec=1R2dcos I=1R2 sin Utilizandoquex

/R = tan sin =x

x2+ R2deformaqueI2=1R2x

x2+ R20=1R2lmx

x

x2+ R2I2=1R2lmx

1_12+ (R/x

)2=1R2LuegoelcampoelectricodebidoalalambreenelpuntoPes

E1(P) =140_Ri +Rj_

E1(P) =240R_12(i + j)_La contribucion del sector de arco de crculo ya fue obtenida en un problema anterior, uegoesinmediatoque

E2(P) =240R sin_38_i30Finalmente, el campototal enPseobtieneporsuperposicion. VeamosqueocurreconelcampoqueproduceelsegmentorectilneosuperiorEl campo

E1 en Pforma un angulo de 3/8 con la horizontal. De esta forma, la superposiciondelos3camposescomosigue

E(P) =_[

E2 [ 2 [

E1 [ cos_38__i

E(P) =140_2Rsin_38_2R2 cos_38__i

E(P) =20R_sin_38_2 cos_38__i31ProblemaSepidecalcularel campoelectricoadistanciardel centrodeunadistribucionuniformedecarga0localizadadentrodeunaesferaderadioR, mediantelaintegral deCoulomb, osea,calcule

E(x) =040Vd3x

x x

[ x x

[3puestoque(x

) =_0si [ x

[ R0 si [ x

[> Rparar > RSolucionUbiquemoselcentrodelaesferaenelorigenSea xunpuntoadistanciardelorigenx = r ry x

unpuntodentrodeladistribuciondecargar

= r

r

ElcampoelectricoestadadoporlaintegraldeCoulombsobreladistribuciondecarga

E(x) =140Vd3x

(x

)x x

[ x x

[3=040Vd3x

x x

[ x x

[3

E(x) =04020d

0d

sin

R0dr

r2 rr r

r[ rr r

r

[3Delasimetradeladistribuciondecarga,esclaroqueelcampoelectricoserasolofunciondeladistanciarysudireccionseraradial,esdecir

E(x) = E(r) restonospermiteademasorientarelvector xseg unladireccionk,deformaque[ rr r

r

[=_r2+ r22rr

cos

_1/2

E(x) =04020d

0d

sin

R0dr

r2 rr r

r(r2+ r22rr

cos

)3/2= E(r) r32E(r) = r

E=20400d

sin

R0dr

r2r r

cos

(r2+ r22rr

cos

)3/2Hastaahora,estaexpresionesabsolutamentegeneral. Sinembargo, el valordelaintegraldependerasielpunto xseencuentradentroofueradeladistribucionCampoexterno,r > Rsetiener = r

cos

+ [ x x

[ cos Seas =[ x x

[,luegor r

cos

(r2+ r22rr

cos

)3/2=s cos s3=cos s2delarelacionr2+ r22rr

cos

= s2sepuedeobtenerparacos

cos

=r2+ r2s22rr

yutilizandoelteoremadelcosenoparar

r2+ s22rs cos = r2deaquobtenemosquecos =r2+ s2r22rsPor ultimos cos

= sin

d

ds= 2s2rr

= srr

33LuegoR0dr

0d

sin

r2r r

cos

(r2+ r22rr

cos

)3/2=R0dr

r+r

rr

dssrr

r2r2+ s2r22rs3=R0dr

r+r

rr

dsr

2r2_1 +r2r2s2_=12r2R0dr

r

r+r

rr

ds_1 +r2r2s2_yr+r

rr

ds_1 +r2r2s2_=r+r

rr

ds + (r2r2)r+r

rr

dss2= (r + r

) (r r

) +r2r22 + 1_1r + r

1r r

_= 2r

(r2r2)(r r

) (r + r

)r2r2= 4r

As12r2R0dr

r

r+r

rr

ds_1 +r2r2s2_=2r2R0dr

r2=2R33r2deformaqueE(r) =20400d

sin

R0dr

r2r r

cos

(r2+ r22rr

cos

)3/2=R330r2As,parar > R

E(x) =R330r2 rsiQ =43R30eslacargatotaldelaesfera,entonces

E(x) =Q40r2 resdecir, fueradelaesfera, el campoelectricoesigual al campodeunacargapuntual decargatotalQubicadaenelorigen34Laintegral deCoulombparar 1/nFig.3.4:Primeras3funcionesdadasporlasucesionn(x)Notarqueamedidaqueaumentan, lafuncionseasemejaaunrectangulocadavezmasangostoentornoal origenydemayoramplitud. Sinembargo, siempreel areabajon(x)esuno. Fsicamente usaremos la delta de Dirac para modelar distribuciones de carga que son nulasexceptoenunpuntodelespacioVeamosqueenefecton(x)deneunasucesiondefuncionesdecuadradointegrable(n(x), n(x)) =dx[n(x)]2=1/n1/ndx_n2_2=_n2_2_2n_=n2Ademasdxn(x) =1/n1/ndx(n2) =n22n= 1Veamosqueocurrecondxn(x)f(x)dondef(x)escualquierfunciondecuadradointegrable.SetienequeFig.3.5:Utilizandoelteoremadelvalormediointegral37dxn(x)f(x) =n21/n1/ndxf(x) =n22nfn= fndondefneselvalordelafuncionparaalg unxentre 1/n 1/nseaIj= [x1j, x2j],j= 1, 2, ...talque x Ij, 1/n f(x) 1/n(x2j x1j)ytalqueIj

Ii= i ,= j(intervalosdisjuntos).As,porelteoremadelvalormediointegraldxhn(x)y(x) =

ix2ix1idxn2y(x) =

in2y(xi) (x2ix1i)conxi Ii.Ademas,estagarantizadalaexistenciadeunx

i Iitalque[df(x)dx[x=x

i=[ 2/n [x2ix1i=2/nx2ix1iLuegodxhn(x)y(x) =(2/n) (2/n) y(xi)[df(x)dx[x=x

iSin ,Ij= xjtalquef(xj) = 0.Aslmndxhn(x)y(x) =dxh(x)y(x) =y(xi)[df(x)dx[x= xiPorlotanto,sehademostradolaigualdadentrelasfuncionesgeneralizadas[f(x)] =

i(x xi)[df(x)dx[x=xi44Captulo4LeydeGaussEn el captulo anterior hemos visto las leyes empricas fundamentales de la electrostatica enelespaciovaco(sinunmediomaterialpresente),lascualessepuedenresumirenlosiguiente1)Lascargaselectricasestaticassonfuentesdecamposelectricos,loscualesact uansobreotrascargas2) El campo de una carga puntual esta dado por la LeydeCoulomb, esto es, su magnitudes proporcional a la magnitud de la carga y decrece seg un el inverso del cuadrado de la distancia3) Si hay mas de una carga presente, el campo total sera la suma vectorial de los campos debidoacadacargaindividual(PrincipiodeSuperposicion)Estasleyessontodalaelectrostatica! Si combinamoslaleydeCoulombyel principiodesuperposicion, no necesitamos (en teora) saber nada mas. A partir de estas leyes vimos ademasque si se tiene una distribucion continua de carga encerrada en un volumen V , el campo electricoenunpunto xseobtieneevaluandolaintegraldeCoulomb

E(x) =140Vd3x

(x

)(x x

)[ x x

[3Masadelantenoutlizaremosdemasiadoestaformula, laescribimossoloparaenfatizarelhecho de que hemos resuelto completamente el problema de la electrostatica en que conocemosexactamenteladistribucionespacialdetodaslascargas.Esdecir,conocemos(x

)entodoelespacio.45Problemaquehemosresuelto:Dadaslascargas,comosonloscampos?Nuestrarespuestaes:Resuelvaestaintegral

E(x) =140Vd3x

(x

)(x x

)[ x x

[3Asqueaparentementenohaynadamasqueresolver,todosetratadecalcularintegralesen3dimensiones.(queenlapracticapuedensernadadesencillas).ConlasintegralesdeCoulombpodemos encontrar deformarelativamentesencillalos campos producidos por unplanodecarga, deunalneadecarga, deunacascaraesfericadecarga, odealgunaotradistribucionmasomenossimple.El granproblemaes, queenmuchassituacionesrealesdelaelectrostatica, ladistribucionesmascompleja, opeora un, noconocemosinicialmentecomoestandistribudaslascargas,luegolas cosas senos complican. Las posiciones delas cargas puedendepender del campoelectrico, yel campoelectricoasuvezdependeradelaposiciondelascargas. Porejemplo,veremos mas adelantequesi acercamos uncuerpocargadoaunconductor (es unmaterialquecumpleciertaspropiedades),loselectronesenelconductorsemoveranhastaalcanzarunequilibrioelectrostatico. Ladensidaddecargapuedeserconocidaenparte, (lacargaquehemos acercado), pero habra otra parte debida a las cargas que se mueven en el conductor quedenitivamentenoconocemosinicialmente. Yparacalcularlaintegral deCoulomb, todaladistribuciondecargasedebeconocer.Luego, deberemos introducir otras leyes yherramientas matematicas necesarias parare-solver los problemas de Electrostatica, y veremos que la situacion no siempre es tan facil comosepodrapensar4.1. LeydeGaussdelaElectrostaticaComensaremospordenirunacantidadescalarllamadaujodeuncampovectorial.Considerelasupercieplanadelagura. Se dene

S =S ncomoel vector de area, cuyamagnitudesel areadelasupercie, S, yapuntaenladireccionnormal n(perpendicularentodopuntoalasupercie). Si lasupercie se encuentrasumergidaenuncampoelectricouniforme

Equeapuntasiempreenlamismadireccionde n(perpendicularalasupercieS),elujosobrelasupercieeslaproyeccionde

Esobreelvector

SE=

E

S=

E nS= ESAhora, si el campoelectricosiguesiendouniformeperoformaunangulocon n, el ujosera46E=

E

S= EScosEs decir, el ujo de un campo vectorial sobre una supercie mide en cierta forma la componentenormal alasupercie. Notarqueseg unladeniciondel vectornormal n, el ujoelectricoespositivo si las lneas de campo electrico estan saliendo a traves de la supercie, y sera negativosilaslneasentranatravesdelasupercie.GeneralizacionHemosdenidoel ujodel campoelectricosobreunasuperciemuysimple(plana). Ademashemossupuestoqueel campoesuniforme(magnitudydireccionconstantes). Engeneral,unasupercieSpuedesercurva,yelcampoelectrico

Epuedevariarsobrelasupercie(tantoenmagnitudcomoendireccion).Nosresultaradeparticular interesaquellassuperciesquesoncerradas. Unasuperciecerradaesaquellaqueenvuelvecompletamenteaunvolumen(eselcontornodeunvolumen).Paracalcular el ujodel camposobreunasuperciecerrada, sedividelasupercieenunasumadeelementosdeareainnitesimales,

Si= Si ni,comoseveenlagura.Elujoatravesde

SiesE=

Ei

Si= EiSicosEl ujototal atraves delasupercieseobtienesumandosobretodos los elementos desupercie. (A la Riemann) Tomando el lmite cuando Si 0 se obtiene la integraldeujoE= lmSi0

Ei d

Si=Sd

S(x)

E(x)Leleyde Gauss establecequeel ujoelectricoatraves deunasuperciecerradaesproporcionalalacargaencerradaporella.MasconcretamenteE=Sd

S(x

)

E(x

) =qenc

047o,escribiendodeformaexplcitalacargaencerradaporSSd

S(x

)

E(x

) =10V (S)d3x

(x

)EstaleyesconsecuenciadirectadelaLeydeCoulombylageometraEucldea.Notarquecampos electricos creados por cargas fueradelasupercienocontribuyenal ujototal. Esdecir,elujosobreunasuperciecerradasolodependedelacargaencerradaporella.La forma de la supercie puede ser elegida arbitrariamente. Para las supercies de la gura,elmismoresultadoseobtieneparaelujoelectrico(E= Q/0).LaleydeGaussesextremadamente util enmuchoscasos. Hayquenotar, queapartirdelaLeydeGaussesposiblerecuperlaLeydeCoulomb, esdecir, conociendolaleydeGaussunopodradeterminarlaformadeloscampos.Hayquenotarademas,quehaycasosenloscualesestaleynoespractica, es util solo en problemas donde la integral de ujo es simpledecalcular.Ejemplo:CampodeunadistribucionesfericahomogeneadecargaTalcomoenelcaptulo1,sedeseaobtenerelcampoelectricodeunadistribuciondecarga(x

) =_0si [ x

[ R0 si [ x

[> Rdonde el origen del sistema de coordenadas coincide con el centro de la distribucion de carga.Una forma de resolver esto es evaluando la integral de Coulomb (no muy recomendable). Otra,esconsiderandolaevidentesimetraesfericadel campoelectrico, esclaroqueestesolopuededepender de la distancia r al origen. Ademas, su direccion debe coincidir con la direccion radial r.Deestaforma,paraobtenerelcampoexterior,escogemosunasupercieGaussianaesfericaderadior > R,comosemuestraenlaguraElujodelcampoelectricosobreestasuperciees =Sd

S(x

)

E(x

) =SdS rE(r) r = E(r)SdS48 = E(r)4r2=Q0dondeQeslacargatotaldeladistribucion

E= E(r) r =Q40r2 resdecir,igualaldeunacargapuntualQenelorigen.Enterminosdeladensidad0Q =43R30

E= E(r) r =0R330r2 rMismo resultado obtenido en el captulo anterior (ahora de forma mucho mas simple). Ahora,paraelcampointerno,nuevamenteescogemosunasupercieGaussianaderadior < RNuevamenteelujoes =Sd

S(x

)

E(x

) = E(r)4r2=qin0dondeqineslacargaencerradaporlasupercieS,enestecasoqin=43r30deformaqueE(r)4r2=4r3030E(r) =r030esdecir,elcampoelectricoenelinteriordeladistribucioneslinealenr.Finalmente

E(x) =_r030 r si [ x [ R0R330r2 r si [ x [> R49Notarqueelcampoescontinuoen [ x [= Rperonoesdiferenciableendichopunto!Ejemplo:PlanoinnitodecargaConsideremosunplanoinnitoenX Y condensidadsupercial decargauniforme. SedeseadeterminarelcampoelectricoentodoelespacioDebidoaquelacargaestadistribudauniformementeenlasupercie, el campoelectrico

Edebeserperpendicularal plano,

E=Ek. Ademas, lamagnituddel campoesconstanteenplanosparalelosal planodecarga. ElegimoscomosupercieGaussianauncilindro(llamadopormuchosautorescomocajadepldoras)elujosobreestasuperciees =Sd

S(x

)

E(x

) =d

S1

E1 +d

S2

E2 +d

S3

E3donde se ha dividido la supercie cerrada en la supercies S1y S2(tapas), y en S3(manto).Claramenteelujosobreeste ultimoescero,pueselcampoesperpendicularentodopuntoalvectornormalaS3.Conesto =Sd

S

E=d

S1

E1 +d

S2

E250S1 y S2 estan a la misma distancia del plano innito, luego, en ambas supercies la magnituddelcampodebeserlamisma,digamos,E,luego =Sd

S

E= E_dS1 +dS2_= 2AEdonde A es la supercie total de S1y S2. Por la ley de Gauss, el ujo del campo electrico es = 2AE=qin0dondelacargaencerradaporestasupercieesqin= AdeformaqueE=20ennotacionvectorial

E(x) =_20k siz> 020k siz< 0notarqueelcampotieneunadiscontinuidadenz= 0lmz0+

E(z) lmz0

E(z) =0Veremosqueelcampoelectricosiempreesdiscontinuoalatravesarunasuperciecargada51ProblemaSetieneunacascaraesfericaderadioaydecargaQdistribudauniformementesobresusu-percie.EncuentreelcampoelectricoentodoelespacioSolucionPorlasimetraesfericadeladistribuciondecarga, yutilizandounsistemadecoordenadascuyoorigencoincideconel centrodeladistribucion, setienequeel campoelectricodebeserdelaforma

E= E(r) rParar a,nuevamenteelegimosunasupercieGaussianaesfericaderadiorSd

S(x

)

E(x

) = 4r2E(r) =Q0

E= E(r) r =Q40r2 resdecir,parar > aelcampoesigualaldeunacargapuntualQenelorigen.52

E(x) =_

0 si [ x [< aQ40r2 r si [ x [> aElcampoesdiscontinuoenr = a(siempreloesalatravesarunasuperciecargada)Notarquelmra+E(r) lmraE(r) =Q40a2=

0dondeesladensidadsupercialdecarga.Notarqueseobtuvolomismoenlainterfazdeunplanocargado(Enefecto,esunresultadogeneral)53ProblemaConsidereuncablecoaxialmuylargo,elcableestacompuestoporuncilindrosolidointerior,de radio a que lleva una densidad de carga volumetrica (constante) y por un cilindro exteriorhueco de radio b (b > a) que lleva una densidad de carga supercial , esta densidad es tal queelcableeselectricamenteneutro.EncuentreelcampoelectricoproducidoporelcableentodoelespacioSolucionEstablecemosunsistemadecoordenadascilndricasenelcentrodelcableDistinguimos tres regiones,I, IIy IIIdadas por r > b, a < r < b y r < a respectivamente. Porsimetra, el campo (de existir) en la region Idebe ser radial, y su magnitud unicamente funcionder(Laguraposeeunaclarasimetraazimutal,esdecir,esinvarianteanteunarotaciondelangulopolar).PorleydeGaussSd

S(x

)

E(x

) =1

0QintdondeSescualquiersuperciecerradayQintlacargaencerradapor estaQint=V (S)d3x

(x

)Debemos encontrar una supercie con las siguientes caractersticas:

E(x

)// n(x

) y [

E(x

) [constante x

S. Dada la simetra del problema usamos como supercie un cilindro de radior > byalturahS54LuegoSd

S(x

)

E(x) =Mantod

S(x

)

E(x

) +Tapasd

S(x

)

E(x

)Para todo x

en el manto, d

S(x

) = dS(x

) n(x

) = rddz r(), y

E(x

) = E(r) r(), de formaqueMantod

S(x

)

E(x

) = E(r)MantodS(x

) = 2rhE(r)Porotrolado, paratodox

enlastapasuperior, d

S(x

) =rddr z, yenlatapainferiord

S(x

) = rddr z,mientrasque

E(x

) = E(r) r()d

S(x

),luegoTapasd

S(x

)

E(x

) = 0conestoSd

S(x

)

E(x) = E(r)2rhperocomoelcableesneutro,Qint= 0.LuegoE(r)2rh = 0 E(r) = 0, r > bNotarqueQint= a2h + 2bh = 0luego= a22bEnlaregionII:a < r< b,lasimetranuevamenteimplicalanaturalezaradialdelcampoelectrico(aligualquesudependenciaenrynoen).Nuevamenteutilizamoscomosuperciecerradauncilindroderadioryalturah55Sd

S(x

)

E(x) =1

0QintPorlosmismosargumentosutilizadosanteriormente,laintegraldeujosereduceaSd

S(x

)

E(x) = E(r)2rhyQint=V (S)d3x

(x

) = V (S)d3x

= a2hentoncesE(r)2rh = a2h

0

E(x) =a220r rsir [a, b]Por ultimo,paralaregionIII:r < a,seescogenuevamenteuncilindroderadioryalturah. Losmismosargumentosdesimetrasonvalidosaqu paradeterminarel campoelectrico.ResultaSd

S(x

)

E(x) =1

0QintySd

S(x

)

E(x) = E(r)2rhQint=V (S)d3x

(x

) = V (S)d3x

= r2hentoncesE(r)2rh = r2h

0

E(x) =r20 rEnresumen(notardiscontinuidadalatravesarlasuperciecargadar = b)

E(x) =___r20si0 r < aa220rsia < r < b0 sib < r56ProblemaConsidere dos esferas no concentricas de radio R. La primera de ellas lleva una densidadvolumetricadecargaylasegunda . Loscentrosdelasesferasestanadistanciamenorque2R. si

desel vectorquevadel centrodelaesferapositivaal centrodelanegativa, de-muestrequeel campoelectricoenlaintersecciondelasesferasesconstante, yencuentresuvalorSolucionEste problema se resuelve por superposicion y recordando la forma del campo electrico generadoporunadistribucionhomogeneayesfericadecarga(resueltoanteriormente)

E(x) =_r30 r sir RR330r2 r sir > Rdonde r es la distancia al centro de la distribucion. Ahora, sea Pun punto arbitrario dentrodelaregiondelainterseccion57ElcampoenPproducidoporladistribuciondecargapositivaes

E1=30ryeldeladistribuciondecarganegativa

E2= 30r

Porelprincipiodesuperposicion,elcampoelectricoenPestadadopor

E(P) =

E1 +

E2=30r + 30r

Pero

d +r

= rdeformaquer

= r

d

E(P) =30r + 30_r

d_

E(P) =30

dPfue escogido de manera arbitraria, luego, para todo x dentro de la distribucion, el campoelectricoesuniformeyestadadopor

E(x) =30

dnotarqueesparaleloaladireccionqueuneamboscentros58ProblemaSe tiene un cilindro de radio R muy largo y con densidad de carga homogenea . Se ha suprimidouncilindroconejeparaleloconel mismolargoyradioR/2. El vectorqueuneel centrodelcilindro con el centro de la cavidad es a para una seccion transversal. Se pide obtener la expresiondelcampoelectricoenunpuntocualquieradelacavidadquenopertenezcaalarectaqueuneloscentrosdelcilindroydelacavidadSolucionEsteproblemasepuederesolverdeformamuysimpleutilizandoelprincipiodesuperposicion.Evidentemente podemos considerar el problema del cilindro lleno con densidad , y superponeruncilindromenorcondensidad .Primero,debemosencontrarunaexpresionparaelcampoelectricoalinteriordeuncilindromuylargoderadioR.Debidoalasimetra, es evidentequeel campoelectricoal interior del cilindrodebeserradialyconstanteaunaciertadistanciardelcentro.Luego,utilizamoscomosuperciedeGaussuncilindroderadiorylargoL.Sd

S(x

)

E(x

) =Qin

0Ahora,notemosqueelcilindrolopodemosdividiren3supercies59LuegolaleydeGaussquedaSd

S(x

)

E(x

) =Sd

S1

E1 +Sd

S2

E2 +Sd

S3

E3NotarqueentodoslospuntosdelasupercieS1el campoelectricoesperpendicularalvector normal. Lo mismo sucede con la supercie S2, luego, las dos primeras integrales de ujosonnulas.SetieneentoncesSd

S(x

)

E(x

) =Sd

S3

E3=SEr rdS3 rE(r)SdS3= E(r)2rLAhora,lacargaencerradaporlasuperciedeGaussesQin=V (S)d3x

(x

)dondeV (S)eselvolumenencerradoporS.Comoesconstante,Qin= Vd3x

= r2LLuegolaleydeGaussquedaE(r)2rL = r2LE(r) =r2Ahora, eligiendounpuntoPdentrodelacavidad, tendremosqueel campototal seralasuma vectorial del campo electrico debido a un cilindro homogeneo de carga y del campo debidoauncilindrohomogeneodecarganegativa,talcomoindicalagura

E1=r2 r

E2= x2 r

donde r

=(r a)x=(r r a)xSumandoamboscampos60

E=r2 r x2(r r a)x

E=r2 r r r2+a2

E=a2Elcampoentodopuntodelacavidadesuniformeyparaleloalvector a61ProblemaConsidereunplanoinnitodecargacondensidadsupercial >0. SepracticaunoriciocircularderadioR.a)Calculeelcampoelectricoencualquierpuntodeabscisaxpertenecientealejedeloriciob)Alolargodelejedeloriciosecolocaunalneadecargadelargoa,densidadlineal > 0ycuyopuntomasproximoseencuentraadistanciadelcentrodeloricio.Calculelafuerzaderepulsionqueexperimentalalneadecarga.SolucionUnaformanatural de solucionar este problemaes utilizandoel principiode superposicion.Estoes, consideraral planoconunoriciocomolasumadeunplanocompletoconundiscodedensidadsupercial . Yasevioqueel campodebidoaunplanoinnitodecargaeshomogeneoyestadadopor

E1=20kAhora,paracalcularelcampoenelejedeundisco,deradioRydensidadUnelementode supercie del discoestadadopor dA=rdrd, que tiene asociadounelementodiferencialdecarga,dadopordq= dA = rdrd.As,elcampoelectricoenPdebidoaesteelementodesupercieserad

E2=140dq(x x

)[ x x

[3donde x = xk, x

= r(cos i + sin j)as62[ x x

[= (r2+ x2)1/2x x

= xk r(cos i + sin j)ConestolacontribucionalcampototalenPdebidoalelementodesupercieesd

E2=140rdrd(xk r r)(r2+ x2)3/2As,elcampoelectricototalenPdebidoaldiscocompletosera

E2=x4020dR0drr(r2+ x2)3/2k 4020d(cos i + sin j)R0drr2(r2+ x2)3/2Lasegundaintegral es0, yestosepuedemostrarcalculandoladirectamenteousandoelargumentode simetra, yaque es evidente que el campoelectricoresultante enel eje solotendracomponenteenk.Seau = r2+ x2,as,du = 2rdr,conesto

E2= 2x40R2+x2x2du2u3/2kDondeelfactor2saledeintegrardentre0y2.Finalmente

E2=x402u1/2x2+R2x2k = x201R2+ x2+x201xk

E2= x + R2+ x220R2+ x2k

E2=20_1 xR2+ x2_kNotarquesiR serecuperaelcampodeunplanoinnito

E=2okFinalmenteel campoelectricototal enP, seralasumade

E1y-

E2, yaqueel discotienedensidaddecarga

E(P) =20+20_xR2+ x21_k

E(P) =20xR2+ x2kb)63Para calcular la fuerza sobre el alambre de carga, bastara con tomar un elemento diferencialdelongituddxyobtenerlafuerzaelectrostaticaqueact uasobre ested

F= dq

E(x) = dx

E(x) =x20R2+ x2dxkConloquelafuerzatotalsobrelalneadecargaseraF=+adx_x20R2+ x2_kSeaz= R2+ x2,conloquedz= 2xdx.Finalmente

F=40R2+(+a)2R2+dzzi =20__R2+ ( + a)2_R2+ 2_k64ProblemaConsiderelasiguientedistribucionvolumetricadecargaencoordenadasesfericas(r) =kr2, a r bEncuentreelcampoelectricoentodoelespacioSolucionSetieneladistribuciondecargadadapor(r) =kr2, a r bConsideremoslasdistribucionesauxiliares1(r) =kr2, 0 r b2(r) = kr2, 0 r aEsfacilverque(r) = 1(r) + 2(r)Luego, podemoscalcularporseparadoamboscamposelectricosparaluegosuperponerlos.Consideremosentonces,elproblema

=k

r2, 0 r RSea la region del espacio en que r > R. Dada la simetra esferica de la distribucion, escogemoscomosupercieGaussianaSunaesferaconcentricaalorigenyderadior > R65ElujoatravesdeSseraSd

S(x

)

E(x

) = 4r2LacargaencerradaporestasupercieesQint=V (S)d3x

(x

) =20d0dsin R0drr2k

r2= 4Rk

PorleydeGaussE(r)4r2=4Rk

0

E(r) =Rk

0r2 r, r > RAhora, para r < R, nuevamente se utiliza una supercie esferica de radio ry se resuelve enformaanalogaalaanterior,lo unicoquevaraeslacargaencerradaSd

S(x

)

E(x

) = 4r2estavezlacargaencerradaeslacargacontenidaentodoel volumendelasuperciedeGaussQ =S(V )d3x

(x

) = 4rk

entoncesE(r)4r2=4rk

0

E(r) =k

0r rAhora,superponemosloscamposgeneradospor1y2.Sir > b > a

E=bk

0r2 r +(k)a

0r2 r

E=k(b a)

0r2 rSia < r < b

E(r) =k

0r r +(k)a

0r2 r

E(r) =_k

0r ak

0r2_ rPor ultimo,parar < a

E(r) =_k

0r k

0r_ r

E(r) = 066Enresumen

E(r) =___0 sir < a_k

0r ak

0r2_ r sia < r < bk(ba)

0r2 r sir > b > aNotarqueesteproblemasepodrahaberresolvidofacilmenteutilizandodirectamentelaleydeGauss. Sinembargo, utilizarel principiodesuperposicionfacilitamuchoel calculoenalgunosotroscasos67ProblemaDos planos innitos y paralelos, a distancia a uno del otro, delimitan una region del espacio quecontieneunadistribucioncontinuayuniformedecargaelectricacuyadensidadvolumetricaesconstante.a)CalcularelcampoelectricoenelpuntoAadistanciaxdelplanocentralyelcampoenunpuntoexteriorPadistanciardelplanocentralb) Ahora en la distribucion de carga anterior se reemplaza una esfera como en la gura poruna distribucion con carga de densidad uniforme . Calcular el campo en el centro de la esfera,yenunpuntoPexterioradistanciaxdelplanocentralSolucionParaencontrar el campoelectricoal interior deladistribucion, podemos utilizar laLeydeGauss. Notar que comolaregionestalimitadapor planos innitos, por unargumentodesimetraelcampo

Esolotendracomponenteenladireccion i.Notar ademas, que para x > 0, el campo tendra direccion x, mientras que si x < 0, el campotendradireccion x.UtilizandouncilindrocomosuperciedeGauss,deradiox,setieneSd

S(x

)

E(x

) =qin

0Enestecasosolohabraujoatraves delas tapas del cilindro, puestoqueel campoeshorizontalyperpendicularalanormaldelcilindrosobreelmanto.LuegoSd

S(x

)

E(x

) = E(x)2S68donde S es el area de cada tapa. Ahora, la carga encerrada por este cilindro sera simplementeqin= V= 2xSConesto2SE(x) =2xS

0E(x) =x

0Finalmente,para [ x [< a/2

E=x

0iAhora, paraobtenerel campoenunpuntoexterioradistanciar>a/2del planocentral,volvemosautilizarlaleydeGauss,comoseapreciaenlaguraNuevamentesolohabraujoporS1yS2,luegoSd

S(x

)d

E(x

) = E(r)_S1dS1 +S2dS2_Sd

S

E= E(r)2Slacargaencerradaporelcilindroseraqin= aSLuegoE(r)2S=aS

0dedondeseobtiene,para [ r [> a/2

E=a20iNotarquenodependedeladistanciaalplanocentral.b)Porelprincipiodesuperposicion,esteproblemaequivaleaconsiderarladistribuciondecargadelapartea)masunaesferadedensidadvolumetricadecarga 2.El campoenel centrodelaesfera, debidoalaesferamismaes nulo, por simetra. As, elcampototalenelcentrosera,simplemente

E(a/4)donde

Eeselcampointeriorcreadoporladistribucionentreplanoscalculadoanteriormente.69

Ecentro=a40iAhora, para obtener el campo en el punto P, calculemos primero el campo debido a la esferadecargausandolaLeydeGauss,Sd

S(x

)

E(x

) =qin

0Sd

S(x

)

E(x

) =SdS rE(r) r = E(r)SdSSd

S(x

)

E(x

) = E(r)4r2ylacargaencerradaporlasuperciedeGaussesqin= 24(a/4)33= a324ConestoE(r) = a396r2

0Estocorrespondealcampodebidoalaesfera,donderesladistanciaentreelpuntoPyelcentrodelaesfera.Enestecaso,elcentrodelaesferaseencuentraenx=a/4,conloqueelcampototalenPsera

E(P) =a20i a3960(x a/4)2icon [ x [> a/270ProblemaCalcule lafuerzapor unidadde largoque se ejercenunahuinchamuylargade anchob ydensidaddecargayunalambreigualmentelargocondensidadlinealdecarga,puestoenelmismoplanoquelahuinchaadistanciaddelbordeinferior,comomuestralaguraSolucionPodemosoptarporcalcularlafuerzaqueejerceladistribucionlineal decargasobreladis-tribucionplana, oviceversa. Utilizaremoslaprimeraopcion, yparaellonecesitamosobtenerel campoelectricogeneradoporladistribucionlineal. EstoyahasidoresueltoanteriormenteconleydeGauss, considerandolasimetracilndricadel campoelectricoenpresenciadeunadistribucionlinalinnitadecargaSi lasupercieGaussianaes uncilindroderadior ylargoh, yutilizandocoordenadascilndricasSd

S(x

)

E(x

) =20drh0dz r()

E(r) r() = 2rhE(r) =h

0yentonces

E(r) =20r rDe esta forma, en el plano que contiene a ambas distribuciones, y deniendo las direccionesi,j(comoseindicaenlagura)71elcampoelectricogeneradoporladistribucionlinealtienelaforma

E(x) =20rjdonde r es la distancia vertical entre x y el alambre. Fijando el origen de coordenadas seg unloindicadoenlagura,calculemoslafuerzaqueseejercesobreunaporciondelargoLdeladistribucionplanadecargacondensidad.Unelementodeareadecoordenadas(x, y)poseeunacargadadapordq(x, y) = dxdyyelcampoelectricoendichopuntodebidoaladistribucionlineales

E(x, y) =20(d + y)jLuego,lafuerzaqueseejercesobreesteelementodeareaesd

F(x, y) = dxdy20(d + y)jconsideremosladistribuciondadapor0 x L, 0 y b. Lafuerzanetasobreestaporciones

F=L0dxb020(d + y)j

F=L20b01d + yj=L20ln(d + y)b0j

F=L20ln_d + bd_jylafuerzaporunidaddelargoes

FL=20ln_d + bd_j72Captulo5ElpotencialElectrostaticoVimosanteriormentequeel campoElectrostaticogeneradoporunadistribuciondecargaseescribeensuformamasgeneralcomounaintegraldeCoulomb

E(x) =140R3d3x

(x

) (x x

)[x x

[3Hemosestablecidoademasunarelacioninteresanteentreel ujodel camposobreunasu-perciecerradaylacargaencerradapor esta(LeydeGauss).Estarelacionesconsistenteconla ley de Coulomb y establece que el ujo del campo electrico sobre cualquier supercie cerradaSesSd

S

E(x

) =10V (S)d3x

(x

)Ahora, veremosunasegundaleymuyimportanteenelectrostatica, yparaenunciarlade-mostraremoselsiguientelema

1[ x x

[= x x

[x x

[3DemostracionEstaestrivialconsiderandoque[ x x

[=_(x x

)2+ (y y

)2+ (z z

)2_1/2y

1[ x x

[=x1[ x x

[i +y1[ x x

[j +z1[ x x

[kveamosqueocurreconlacomponenteseg un ix1[ x x

[i = 1[ x x

[2x [ x x

[ix1[ x x

[i = 1[ x x

[212_(x x

)2+ (y y

)2+ (z z

)2_1/22(x x

)ix1[ x x

[i = x x

[ x x

[3i73Elcalculoesanalogoparalasdemascomponentes,ysedemuestraque

1[ x x

[= x x

[x x

[3Quetendraqueverestoconelectrostatica?Noesdifcilreconocerelparecidodelcampovectorialx x

[x x

[3conelcampoelectrostatico,puestoqueensuformamasgeneralpuedeserescritocomo

E(x) =140R3d3x

(x

) (x x

)[x x

[3Utilizandoellemareciendemostrado,estosereescribecomo

E(x) = 140R3d3x

(x

)

1[ x x

[

E(x) =

140R3d3x

(x

)1[ x x

[Seobtienequeel campoelectricoesmenosel gradientedeuncampoescalar. Sedeneelpotencialelectrostaticodeunadistribuciondecargascomo(x) =140R3d3x

(x

)[ x x

[yelcampoelectricocumple

E(x) =

(x)Notarqueesinmediatoqueel potencial deunacargapuntual ubicadaenx

estaradadopor(x) =140q[ x x

[PotencialdeunadistribuciondiscretaSupongamosquesetieneunadistribuciondiscretadecargasqj,j=1, 2, ...Nubicadasenlasposicionesxj, j =1, 2, ...N. El potencial deestadistribucionsepuedeobtenerfacilmenteapartirdelpotencialdeunasolacargautilizandoelprincipiodesuperposicion(x) =140N

i=1qj[ x xi [porsupuesto,estoesconsistenteconladensidaddecargaenterminosdeladeltadeDirac(x) =N

i=1qi(x xi)74enefecto,deladenicionparaelpotencial(x) =140R3d3x

(x

)[ x x

[=140R3d3x

1[ x x

[N

i=1qi(x

xi)(x) =140N

i=1qiR3d3x

(x

xi)[ x xi [=140N

i=1qi[ x xi [(x) =140N

i=1qj[ x xi [5.1. InterpretacionFsicadelPotencialSupongamosquesetieneunadistribuciondecargaenelespacio,estagenerarauncampoelectrico

E(x). Consideremosel trabajoefectuadocontralasfuerzasdel campoal trasladarcuasiestaticamenteunacargapuntual qdesdeunpuntox1hastael puntox2, siguiendounatrayectoria cualquiera . Por cuasiestaticamente, se entiende que no se altera la energa cineticaal mover a la carga. Esto se puede lograr exclusivamente si la fuerza neta sobre la carga es cero(recordarTeoremadelTrabajo).De estaforma,debemos ejerceruna fuerzade igualmagnitudycontrariaalafuerzaelectrostaticaqueact uasobrelacarga.EstoesW= x2x1dxq

E(x)Podra ser que este trabajo dependiera de la trayectoria utilizada para ir desde x1hasta x2.Sinembargo,como

E(x) =

(x)W= x2x1dxq

E(x) = qx2x1dx

(x)Utilizandolaparametrizaciondelacurva: x = x(l

),dondel [0, l]W= ql0dl

dxdl

(x(l

))75W= ql0dl

d(x(l

))dl

= q21d = q (21)FinalmentehemosobtenidoW= qx2x1dx

E(x) = q (21)Independientedelacurva!Sitomamosunacargaunitaria,q= 1,lainterpretacionde esteresultadoescomosigue:El trabajonecesarioparamoverunacargaunitariacuasiestaticamentedesdeel puntox1hastael puntox2contrael campoelectricoesigual aladiferenciadepotencial entrex2yx1Ahora,notemosquex2x1dx

E(x) = (21)Porlotanto,sobreunatrayectoriacerradadx

E(x) = 0elcampoelectricoesconservativo.ObservesequeesteresultadofsicoesconsecuenciadeCoulombylageometraEucldeaNotarqueU(x) =q(x)eslaEnergaPotencial deunacargaqenlaposicionx. Enefecto,lafuerzaasociadaaestainteracciones

F=

U(x) = q

E(x)OtroenfoqueparalaelectrostaticaLa introduccion del campo escalar presenta muchas ventajas para resolver matematicamenteel problemadelaelectrostatica. Comovimos, si conocemosladistribuciondecarga, esde-cir, conocemosexplcitamente(x), podemoscalcularel camporesolviendolasintegralesdeCoulomb. Sin embargo, como ya se dijo anteriormente, estas integrales pueden ser complicadas,unmetodoalternativoseraresolverlasintegralesdeCoulombparaelpotencial(x) =140R3d3x

(x

)[ x x

[Notarquecalcularestaintegral esnotoriamentemassimplequecalcularlaintegral paraelcampoelectrico.Enprimerlugar,noapareceningunacantidadvectorial.Ensegundolugar,elpotencialsolodependedelinversodeladistanciaalafuente,encambioelcampoelectricodependedel cuadradodeladistancia. Notemosqueunavezobtenidoel potencial entodoelespacio, determinar el campo electrico es muy sencillo, solo basta con evaluar

E(x) =

(x),ytodossabemosquederivaresmuchomassencilloqueintegrar.Ahora, a unnohemosdichonadasobrequehacercuandoladistribuciondecarganoesconocida,esoloveremosmasadelante,perojustamenteelpotencialelectrostaticoesunaher-ramientamuypoderosaalahoraderesolveresetipodeproblemasmascomplejos.765.2. Energa Potencial de una distribucion de carga disc-retaEl trabajonecesarioparatraerunacargaqcuasiestaticamentedesdeel innitohastaunpunto xes,simplementeW= q(x)suponiendoqueel potencial enel innitoescero(Estosecumplesi, porejemplo, todalacarga esta localizada dentro de un volumen nito). Luego, esta carga ha adquirido una energapotencial igual a U(x) = q(x). De la misma forma, una distribucion de carga tiene una energapotencial asociada, ya que un trabajo se debe realizar para mantener la distribucion en su lugar.Calculemoslaenergapotencialdeunsistemaelectrostaticodecargaspuntuales.Paraelloinicialmente traemos una carga q1hasta un punto cualquiera x1. El trabajo necesario para estoesnulo, yaqueinicialmentenoexisteuncampoelectricoalgunoqueejerzaunafuerzasobreq1.ConestoW1= 0yelsistemaenesteestadoposeeunaenergapotencialigualaU= W1= 0Ahora,paratraerunacargaq2hastaunpunto x2,comoseapreciaenlaguraserequierehaceruntrabajoigualaW2= (x2)q2=140q1[ x1x2 [q2Conestaconguracion,elsistematieneasociadaunaenergapotencialdadaporU= W1 + W2=140q1[ x1x2 [q2Ahora,paratraerunaterceracargaq3,comoseveenlagura77eltrabajonecesarioseraW3= q3(x3) =_140q1[ x1x3 [+140q2[ x2x3 [_q3En sntesis, el trabajo necesario para formar esta conguracion de 3 cargas a distancias r12,r13,r23esU= W1 + W2 + W3=140q1r13q3 +140q2r23q3 +140q1r12q2Yesigualalaenergapotencialtotaldeestaconguracion,quesepuedereescribircomoU=12140(q1q2r12+q2q1r21+q1q3r13+q3q1r31+q2q3r23+q3q2r32)U=12__140q2r21+140q3r31_q1 +_140q1r12+140q3r32_q2 +_140q1r13+140q2r23_q3_U=12 ((x1)q1 + (x2)q2 + (x3)q3)Donde(xi)noesmasqueel potencial enlaposiciondelacargai debidoalasdemascargas.Engeneral,paraunsistemadeNcargas,setienequelaenergapotencialasociadaalsistemaesU=12N

i=1qi(xi)Estosepuedeextender al casocontinuo, dondelaenergapotencial deunadistribucioncontinuadecargaes,equivalentementeU=12V(x

)dq(x

) =12Vd3x

(x

)(x

)785.3. EldipoloElectricoDeniremosunacantidadabsolutamentegeneral asociadaconunadistribuciondecargas(x),llamadaMomentoDipolar p =Vd3x

x

(x

)donde V es unvolumenque contiene todas las cargas. Notar enprimer lugar quepesunvectorconstantequedependeradelaformaenqueestandistribudaslascargas.Deciertaforma, es una suma de las posiciones ponderadas por sus respectivas cargas. El momento dipolardeunadistribuciondiscretadeNcargases,porsupuesto p =N

i=1xiqiDipoloElectricoEstudiemos ahora un cierto tipo muy particular de distribucion de carga. Primeramente, imag-inemos2cargascualquieraq1,q2separadasunadistanciaa,comomuestralaguraElmomentodipolarestadadopor p = q1x1 + q2x2Denamosademas,elvectorxcomoelvectorposiciondelpuntomedioentreq1yq2,yladireccionkqueapuntadesdeq1haciaq2.Deestaforma,esclaroquex1= x a2kx2= x +a2kluego p = q1(x a2k) + q2(x +a2k) p = (q1 + q2) x +a(q2q1)2kAhora, consideremos queambas cargas soniguales enmagnitud, perodesignoopuesto.Digamosq2= q,q1= q.Estoesloqueseconocecomodipoloelectricoyentonces p = qak79En resumen, para un dipolo electrico, el momento dipolar es un vector de magnitud qa y sudireccion va siempre desde la carga negativa hacia la carga positiva. Esta conguracion es muyimportanteenelectrostatica.5.4. CampodeunDipoloCalculemos el potencial electrico en un punto Pdebido a un dipolo. Para ello consideremosundipoloenelejevertical,comosemuestraenlagura.Porelprincipiodesuperposicion,elpotencialenelpuntoPestadadopor(P) =140_qr+qr_Donde,porelteoremadelcosenor2+= r2+ d22dr cos r2= r2+ d2+ 2dr cos r+= r_1 + (d/r)22(d/r) cos Paraellmiteenqued > R,setieneelpotencialdeunacargapuntualV (P) =140Q[ z [Ahora,elcampoelectricoenelpuntoPsepuedeobtenerapartirdelpotencialcomo

E(P) =

(P)Sinembargo,paraevaluar

esnecesarioconocer(x, y, z).A unas,veamosquesucedeconzk1402zR(R2+ z2)3/2k =

E(P)yserecuperael resultadoobtenidoanteriormenteparael campoenel eje. Quenosdiceesto acerca de las derivadas parciales con respecto a x e y del potencial en un punto de la forma(0, 0, z)?Ahora, paraobtener el potencial de undiscode radios ayb, simplemente se consideralasuperposiciondeanillosinintesimalesTomamosunanilloderadioryanchoinnitesimaldr,sabemosqueelpotencialenelejeestadadopord(P) =140dQr2+ z2dondedQ = 2rdreslacargaquecontieneeseanilloLuegod(P) =240drrr2+ z2Yelpotenciales(P) =20badrrr2+ z2Seau = r2+ z2,conestodu = 2rdr,yporlotantodrrr2+ z2=12duu1/2= u1/2=r2+ z2Finalmente(P) =20_b2+ z2a2+ z2_87ProblemaConsideredoscascaronesesfericosderadiosayb(aaconcentricaalcentrodeladistribucionSd

S(x

)

E(x

) = 4r2=Qint

0lacargaencerradaporSestadadaporlasiguienteintegralQint=V (S)d3x

(x

) =20d0da0drr2sin CrQint=4C + 3a+3= Qluego

E(r) =Q40r2 r, r > aSiahoraseutilizaunasupercieesfericaderadior < a,lacargainteriorseraqint=4C + 3r+3Luego,elcampointeriortienelaforma

E(r) =C + 3r+1 rParaevaluar(r)debemoscalcular(r) = rdx

E(x)Hayquetenercuidadoalrealizarestecalculosir > aor < a.90i)Potencialexteriorr > a(r) = rdx

E(x) =rdx

E(x)Porcomodidadelegimosuncaminoradialx = r

rr

: r dx = dr

rLuegodx

E(x) = dr

Q40r2(r) =rdr

Q40r2=Q40_1r

_rentonces(r) =Q40r, r a(r) =Ca+3( + 3) 0r, r aii)Sir < a(r) =rdx

E(x) =ardx

E +adx

E(x)lasegundaintegralseobtienealevaluar(r)r=acon(r)elpotencialexteriorencontradoanteriormente.Laprimeraintegralresulta(tomandouncaminoradial)x = r

rr

: r adx = dr

r

Ex = dr

C + 3r+1ardx

E(x) =C + 3ardr

r+1=C + 3r+2 + 2arardx

E(x) =Ca+2( + 3)( + 2) Cr+2( + 3)( + 2)=C2+ 5 + 6_a+2r+2_91lasegundaintegralesadx

E(x) =C

0aa+2 + 3=Ca+1

0( + 3)Finalmente,parar < a(r) =Ca+1

0( + 3)+C2+ 5 + 6_a+2r+2_92ProblemaIonesdecargaqsonaceleradosdesdeel reposohastaunadiferencial depotencial V0, paraluegoentrar aunaregionentredos electrodos cilndricos muylargos AyB, deradios aybrespectivamente(a 0es

E1(x) =20iPodemosobtener el potencial asociadoal planointegrandoel campoelectricosobreunatrayectoriahorizontalquepasaporOx,entre x1= xiy x2= Ri(R > x)1(x) 1(R) =x2x1dx

E(x

) =Rxdx

201(x) = 1(R) +20R 20xElpotencialenunpuntoxdebidoalacargapuntual qestadadopor2(x) =140q[ a x [porelprincipiodesuperposicion(x) =140q[ a x [+ 1(R) +20R 20x95b)Sicolocamosunapartculademasamycarga-e,estasentiraunafuerzaquelaaceler-ara en la direccion -i. En teora, una vez que se mueve la carga ocurren fenomenos complejos queno estamos considerando en el caso estatico. Suponiendo que podemos despreciar estos efectos,y utilizar las leyes estaticas, la energa debe conservarse (campo electrostatico es conservativo)U(a/2) = U(0) +12mv2fe(a/2) = e(0) +12mv2fv2f=2em ((0) (a/2))v2f=2em_140qa1402qa+40a_v2f=2em_q40a+a40_96ProblemaUnavarilladelgadadelongitudLtieneunacargauniformedenidaporsudensidadlineal.CalcularelpotencialenunpuntocualquieradelespacioquelorodeaSolucionSeaP unpuntodecoordenadas (x, y). Tomemos unelementodiferencial delongitudenlabarra,aunadistancialdelorigen,comoseapreciaenlaguraLacontribuciondeesteelementoinnitesimalalpotencialenPesd =140dlryr =_(x l)2+ y2.Conesto(P) =140L0dl_(x l)2+ y2Seat = x l,conloquedt = dl,as(P) = 40xLxdt_t2+ y2Aqu esinmediatoqueseusalasustituciont =y tan , luegodt =ysec2d. Conestotenemosdt_t2+ y2=dsec2y_y2(1 +tan2)=dsecYestaintegralesmuyfamiliaryvaledsec = ln(sec + tan )97Ahora,tan =tyysec =t2+y2yContodoesto,tenemos(P) = 40(ln(t +_t2+ y2))xLx(P) = 40_ln(x +_x2+ y2) ln(x L +_(x L)2+ y2)_Finalmente(P) = 40ln_x +_x2+ y2(x L +_(x L2) + y2)_yllamandoa =_x2+ y2b =_(x L)2+ y2(P) = 40ln_x + a(x L + b)_Fig.5.2:Laguramuestralascurvasequipotencialesdelalambredecarga98ProblemaEncuentreel potencial dentroyfueradeunaesferasolidacargadauniformementecuyoradioesRysucargatotalesQ.Useinnitocomopuntodereferencia.SolucionParaencontrarel potencial entodoel espacio, sepuededeterminarprimeramenteel campoelectricodebidoaladistribucionesfericadecarga. Considerandoel origenenel centrodelaesfera, por argumentos de simetra es facil ver que el campo electrico debe ser radial y su mag-nitudunafunciondeladistanciaralorigen.CampointeriorAhora, para el campo interior, se elige una supercie de Gauss esferica y de radio r < R, comoseapreciaenlaguraLuego,utilizamoslaleydeGaussparaobtenerelcampoelectricoSd

S

E(r) =qin

0donde

E= E(r) ry d

S= dS r, luego la integral de ujo del campo electrico es, simplementeSd

S

E(r) =SdSE(r) r r =SdSE(r)ComoenlasupercieSelradioresconstanteSdSE(r) = E(r)SdS= E(r)4r2Porotraparte,lacargaencerradaporlasuperciedeGaussesqin=V (S)d3x

(x

)comolaesferaestacargadauniformemente,sudensidadvolumetricadecargaes =QV=3Q4R399Deestaforma,yconsiderandod3x

= r2sindrddqin=20d0dsinr0drr2qin= 4r0drr2= 413r3=Qr3R3Finalmente,laleydeGaussquedaE(r)4r2=Qr3

0R3dedonde,parar < RE(r) =Qr40R3CampoexteriorAhora, paraobtenerel campoexterior, seconstruyeunasuperciedeGaussesfericayahoraderadior > RElujoelectricosobreestasuperciees,demaneraanalogaalcasoanteriorSd

S

E = E(r)4r2mientrasquelacargaencerradaenestecasoestadadaporqin= QConestoE(r)4r2=Q

0E(r) =Q40r2Enresumen,setiene

E(x) =_Qr40R3 r si [ x [ RQ40r2 r si [ x [> R100Notarqueelcampoescontinuoalatravesarunvolumencargado,peronoesdiferenciablePotencialexteriorAhora,paraobtenerelpotencialelectrostatico,calculamoslaintegraldelnea(r) = r

E

dralolargodeunatrayectoriaradial.Luego

dr = dr r,as,parar > R(r) = rE(r)dr(r) = rdrQ40r2= Q40rdr1r2(r) =Q40rPotencialinteriorAhora,parar < R,tenemos(r) = RdrE(r) rRdrE(r)(r) = RdrQ40r2 rRdrQr40R3(r) =Q40R Q40R3rRdrr(r) =Q40R+Q(R2r2)80R3(r) =Q(3R2r2)80R3(r) =_Q(3R2r2)80R3sir RQ40rsir > R101ProblemaUn alambre cuya densidad lineal de carga es se extiende en el eje zdesde z= d hasta z= d.a)Calculeelpotencialenunpuntoz> dsobreelejedelalambreb)Cualeselcambiodeenergapotencialdeunelectronsisemuevedez= 4dhastaz= 3d?c)Sielelectronpartedelreposodesdez= 4d,cualessuvelocidadenz= 3d?Observacion:NoconsidereefectosgravitacionalesSolucionProblema2a)Tomamosunelementodiferencialdelongituddlaunadistancialdelorigen:El potencial a una distancia z> d sobre el eje del alambre debido a este elemento innites-imaldecargaestadadopord(z) =140dq(z l)dondedq= dld(z) =140dq(z l)d(z) =140dl(z l)conesto,elpotencialtotalestadadopor(z) =40dddl(z l)seau = z l,luegodu = dl(z) = 40zdz+dduu(z) =40ln_z + dz d_102b)Unelectronsemuevedesdez= 4dhastaz= 3d,luego,sucambioenenergapotencialestadadoporU= U(4d) U(3d) = e ((4d) (3d)) = e(3d) e(4d)U= e_40ln2 40ln(53)_U= e40ln_65_c)PorconservaciondelaenergaU(4d) + K(4d) = U(3d) + K(3d)comoelelectronpartedelreposo,K(4d) = 0,luegoU(4d) = U(3d) + K(3d)U(4d) U(3d) = K(3d)luego, el cambiodeenergapotencial calculadoenlaparteb)esequivalentealaenergacineticaqueadquiereelelectronK(3d) = U= e40ln_65_mv22= e40ln_65_v=e240mln_65_103ProblemaSe tiene una distribucion rectilnea de carga de densidad homogenea. Un punto P esta a unadistanciardeladistribucion,ysuproyeccionsobrelarectadecargaestaalasdistanciasl1yl2desusextremos.a)CalculeelcampoelectricoenPb)Veaquesucedecuandoresmuchomayorquel1yl2c)Hagaunaaproximacionparaloscasosenqueresmuchomenorquel1yl2Queocurrecuandol1yl2tiendenainnito?CompruebesuresultadoconLeydeGaussd)ObtengaelpotencialenelpuntoPdebidoaunalambreinnitodecargaSoluciona)Tomemosunelementodiferencialdelongitud,aunadistancialdelorigen,comoseapreciaenlaguraDe la Ley de Coulomb, este elemento diferencial de carga crea un campo electrico en Pqueestadadopord

E(P) =140dq(x x

)[ x x

[3104Enestecaso,tenemosx = r rdonde resel vectorradial encoordenadascilndricasqueapuntadesdeel origenhastaelpuntoP.Ademasx

= lkLuegox x

= r r lk[ r r

[=r2+ l2Deestaforma,lacontribuciondelelementodiferencialalcampoesd

E(P) =140dl(r r lk)(r2+ l2)3/2Utilizandoel principiodesuperposicion, el campototal enPseralasumadetodas lascontribucionesinnitesimalesdeladistribucion,estoes

E(P) =40_r rl1l2dl(l2+ r2)3/2 kl1l2ldl(l2+ r2)3/2_Ahora,laintegralldl(r2+ l2)3/2seresuelveconlasustitucionu = r2+ l2,luegodu = 2ldl,conestoldl(r2+ l2)3/2=12duu3/2= 1u1/2= 1r2+ l2ylaintegraldl(r2+ l2)3/2seresuelveconlasustituciontrigonometrical = rtan,asidl = rsec2dldl(r2+ l2)3/2=drsec2(r2+ r2tan2)3/2=drsec2r3sec3ldl(r2+ l2)3/2=dr2sec=1r2sinAhora,delaguravemosquesin =lr2+l2105luegoldl(r2+ l2)3/2=1r2lr2+ l2Conesto,elcampototalenPes

E(P) =40_r r1r2lr2+ l2l1l2+ k1r2+ l2l1l2_

E(P) =40_1r r_l1_r2+ l21+l2_r2+ l22_+ k_1_r2+ l211_r2+ l22__b)Enellmitecuandor >> l1yr >> l2,setieneque(aceroorden)_r2+ l21 _r2+ l22 rLuegoelcampoqueda

E(P) 40_1r r_l1r+l2r_+ k_1r 1r__

E(P) 40rl1 + l2r rpero(l1 + l2)noesmasquelacargatotalcontenidaenladistribucion,digamos,q,luegoelcampotomalaforma

E q40r2 rqueeselcampodeunacargapuntualc)Ahora,enellmitecuandol1>> ryl2>> r,setieneque_r2+ l21 l1_r2+ l22 l2yelcampoqueda

E(P) 40(2r r + k( 1l11l2))ysil1 ,l2 ,setiene

E(P) 20r rqueeselcampoelectricodeunalambreinnitodecarga.106Comprobemoseste ultimoresultadoconlaLeydeGauss.TomandocomosupercieGaus-sianauncilindroderadiorycuyoejedesimetracoincideconel deladistribucionlineal decargaEs claro que debido a que la distribucion es innita, el campo posee una simetra cilndrica,luegoel campoesradial ydepende unicamentedeladistanciar. Conesto, nohayujoporlastapasdelcilindro,yenelmantoelcampoelectricoessiemprenormalalasupercieydemangnitudconstante,luegoSd

Sd

E=mantodS rE(r) r = E(r)mantodS= E(r)2rllacargaencerradaporestecilindroesqin= l,luegoE(r)2rl =l

0E(r) =2r0Elmismoresultadoobtenidoanteriormented)Elcampodelalambreinnitoestadadopor

E(r) =2r0 rSabemosqueenelectrostaticasecumple

E(r) =

(r)Debidoalasimetra,elpotencialserasolofuncionder,luego

(r) =ddr rconestoV (r) = drE(r) + CV (r) = 20ln r + C107DondeCesunaconstantearbitraria.Notarqueelpotencialdivergeenelinnito, estode-bidoaquelacargaelectricatotalnoesnita.(Soloenesoscasospodemosjarelpotencialigualaceroeninnito)Notarquelassuperciesequipotencialessoncilindrosderadior,yqueparar = 1(1) = CLuegolaconstanteCnoesmasqueel potencial detodoslospuntosqueestansobreelmantodecilindroderadiounitario!As(r) = 20ln r + V (1)108ProblemaDoscablesinnitosparalelosalejeXposeendensidaddecargauniformey .Ellosestanadistanciaadelorigen.a)Encuentreelpotencialenunpunto(x, y, z)usandoelorigencomopuntodereferencia.b)DemuestrequelassuperciesequipotencialessoncilindroscircularesSoluciona)Tenemosdosalambresinnitoscadaunoadistanciaadel origen, comoseapreciaenlagura(notarqueelejeXsaledelapagina)Por el principiode superposicion, el potencial total enel puntoP seralasumade lospotencialesdebidosacadadistribucionindividual.Elpotencialdebidoalalambrededensidades1(P) = 20ln s+ + C1yelpotencialdebidoalalambrededensidad es1(P) =20ln s + C2Ahora, como nos piden que la referencia sea el origen, las constantes C1 y C2 deben satisfacer1(a) = 0 = 2(a)Conesto1(a) = 20ln a + C1= 0 C1=20ln a2(a) =20ln a + C2= 0 C2= 20ln aNotarqueC1 + C2= 0.109ElpotencialenelpuntoPes(P) = 1(P) + 2(P) = 20ln s+ +20ln sSiP= (x, y, z),entoncess+=_(y a)2+ z2s+=_(y + a)2+ z2Finalmente,elpotenciales(P) = +20ln(_(y + a)2+ z2) 20ln(_(y a)2+ z2)(P) =20ln__(y + a)2+ z2_(y a)2+ z2_(P) =40ln_(y + a)2+ z2(y a)2+ z2_b)Lassuperciesequipotencialesestandadaspor(y + a)2+ z2(y a)2+ z2= kdondekesunaconstante.Estoequivalea(y + a)2+ z2= k((y a)2+ z2)y2+ 2ay + a2+ z2= k(y22ay + a2+ z2)Oequivalentementey2(k 1) +z2(k 1) +a2(k 1) 2ay(k + 1) = 0Dividiendopork 1y2+ z2+ a22ayk + 1k 1= 0Notarquelaecuaciondeunacircunferenciaconcentroeny0yradioRes(y y20) + z2= R2y2+ z22yy0 + (y20R2) = 0De aqu es claroque enplanos perpendiculares alos alambres, las equipotenciales soncircunferenciascony0= ak + 1k 1110DespejandoseobtienequeR =2ak[ k 1 [EndenitivalassuperciesequipotencialessoncilindrosFig.5.3:Equipotencialesenplanoy zsoncurvascirculares111ProblemaUndipoloconmomentodipolar pselocalizaaunadistanciardeunabarramuydelgadaconlargoinnitoyhomogeneamentecargadacondensidadlineal decarga>0. Asumaqueeldipolo esta orientado con el campo electrico debido a la barra cargada como muestra la guraa)Suponiendoquelaseparacionjal entrelascargasqueconformanel dipoloestal quel