Enteros algebraicos y ecuaciones diofánticas: El Último ... · Enteros algebraicos y ecuaciones...

Lorena Castellanos Cacho

Jesús Antonio Laliena Clemente

Facultad de Ciencia y Tecnología

Grado en Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Enteros algebraicos y ecuaciones diofánticas: El ÚltimoTeorema de Fermat

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Enteros algebraicos y ecuaciones diofánticas: El Último Teorema de Fermat,trabajo fin de grado

de Lorena Castellanos Cacho, dirigido por Jesús Antonio Laliena Clemente (publicado porla Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y COMPUTACION

ENTEROS ALGEBRAICOS YECUACIONES DIOFANTICAS : EL ULTIMO

TEOREMA DE FERMAT

Trabajo Fin de Grado en Matematicaselaborado por

Lorena Castellanos Cacho

Tutorizado por Jesus Laliena Clemente

Curso academico 2015/2016

Introduccion

Este trabajo trata sobre enteros algebraicos y ecuaciones diofanticas. Unaecuacion diofantica es una ecuacion polinomica en varias variables con coeficien-tes enteros y de la que buscamos soluciones enteras. En concreto, nos centramosen la ecuacion diofantica del Ultimo Teorema de Fermat, que dice lo siguiente:

Sea n un numero entero mayor que dos, entonces no existen tres enteros x, y,z, distintos de cero, tales que sea cierta la igualdad xn + yn = zn

Veremos como grandes matematicos intentaron demostrar este teorema y lomas importante, los errores que cometieron al intentarlo. Gracias a estos errores,hoy en dıa tenemos herramientas matematicas de gran utilidad y propiedadesque de no ser por ellos, no conocerıamos.

Trataremos ocho secciones. Las dos primeras tratan sobre Fermat y su Ulti-mo Teorema, las cinco siguientes tratan de matematicos importantes que in-tentaron demostrar este teorema, y la ultima, del matematico que lo consiguiodemostrar. La primera seccion es una introduccion sobre Fermat, su historia, sutrabajo, y como ejemplo de este ultimo, el metodo del descenso infinito. En lasegunda, enunciamos el teorema y vemos el caso para exponente 4 con demos-tracion. Para ello, recordamos la nocion de factorizacion unica en el conjunto delos enteros. En la tercera seccion, hablamos de Euler y de su demostracion delUltimo Teorema de Fermat, inicialmente fallida y que finalmente el mismo co-rrigio, para exponente 3. Para comprender la demostracion, vemos los conceptosde cuerpos cuadraticos, anillos de cuerpos cuadraticos, unidades del anillo deenteros de un cuerpo cuadratico, tambien las nociones de primos e irreduciblesy sus propiedades y los dominios euclıdeos. La cuarta seccion trata sobre SophieGermain, en la que hablaremos tambien de Legendre y Dirichlet. Aquı veremosla idea de la demostracion de Germain para exponente 5. En la quinta seccionaparece Gauss, y damos su demostracion para exponente 5. Para ello vemos elconcepto de numeros algebraicos, enteros algebraicos, cuerpos de numeros alge-braicos, conjugados, normas, trazas, anillos de enteros de un cuerpo de numerosy unidades. En la sexta seccion hablamos de Lame, y en la septima de Kummer.Damos la una demostracion de Kummer para primos regulares, e introducimosel concepto de ideal. Por ultimo, hablamos un poco de Andrew Wiles, quienfinalmente demostro el teorema.

No tratamos el problema que nos planteo Fermat en toda su extension detiempo, ya que en esta memoria es imposible hablar de tanto. Aunque sı lotratamos fundamentalmente hasta Kummer, comentando solo un poco sobreWiles, en lo que se refiere la parte a partir de Kummer.

Hay una forma alternativa de leer esta memoria, que es ir directamente a lasdemostraciones de la ecuacion de Fermat para n=2, 4, 3, 5 y primos regulares,que aparecen en los Teoremas 2.4, 2.5, 3.30, 4.4 y 5.1, y 7.22, respectivamente.Entonces cada vez que uno encuentre en la demostracion un paso no compren-sible, busca en la teorıa desarrollada justamente antes su explicacion. Hay quedecir, de todas formas, que se ha expuesto mas teorıa de la estrictamente necesa-ria para probar estos teoremas porque se ha querido dar una idea mas completade esta y mostrar su interes.

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Cabe mencionar que la informacion expuesta al principio de cada seccion so-bre el matematico tratado esta recogida en la mayorıa de los casos de Wikipedia,ası como tambien de www.biografiasyvidas.com o de sauce.pntic.mec.es

Tambien decir que en el trabajo me he centrado sobre todo en dos libros, queson “El reto de Fermat” de Angel del Rıo Mateos, que es divulgativo, y “NumberTheory” de Daniel Duverney, que se centra mas en conceptos teoricos.

Por ultimo, es de resaltar, que hay demostraciones hechas y en otras solodamos la idea, como en la de Sophie Germain y en la de Lame. No se han adun-tado todas en la memoria debido a su extension. La demostracion de AndrewWiles, como es sabido, ademas de ser muy extensa, es de gran dificultad.

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Indice

1. Introduccion sobre Fermat 91.1. Trabajo de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Metodo del descenso infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. El Ultimo teorema de Fermat 132.1. Ultimo teorema de Fermat para exponente 4 . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Teorema de factorizacion unica en Z . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Demostracion de Fermat para exponente 4 . . . . . . . . . 15

3. Leonhard Euler 173.1. Error de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. Cuerpos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2. Anillo de enteros de un cuerpo cuadratico . . . . . . . . . 193.1.3. Unidades del anillo de enteros de un cuerpo cuadratico . . 193.1.4. Primos e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.5. Dominios euclıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.6. Ultimo teorema de Fermat para exponente 3 . . . . . . . 24

4. Sophie Germain 274.1. Aportacion de Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Ultimo teorema de Fermat para exponente 5 . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1. Legendre y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Carl Friedrich Gauss 315.1. Ultimo teorema de Fermat para exponente 5 . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1. Numeros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.2. Enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.1.3. Cuerpos de numeros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . 335.1.4. Conjugados, normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.5. Anillos de enteros de un cuerpo de numeros . . . . . . . . 365.1.6. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.7. Discriminantes y bases integrales . . . . . . . . . . . . . . 375.1.8. Demostracion para exponente 5 . . . . . . . . . . . . . . . 39

6. Gabriel Lame 436.1. Error de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7. Ernst Kummer 477.1. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1.1. Ideales fraccionales e ideales de un cuerpo numerico . . . 477.1.2. Aritmetica en J(AK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1.3. Norma de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2. Kummer y el Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . 51

8. Andrew Wiles 55

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Resumen

Este trabajo trata sobre enteros algebraicos y ecuaciones diofanticas. Todala memoria se centrara en el Ultimo Teorema de Fermat. Es un recorrido histori-co de los matematicos que intentaron demostrarlo, comenzando con el propioFermat y finalizando con Kummer, que es quien despues de aquel introduce elresultado mas importante.

Nos interesaremos por los errores cometidos por estos matematicos, con el finde ver como gracias a ellos hoy en dıa conocemos las propiedades de factorizacionen anillos y otras herramientas que han servido para dar otros grandes resultadosmatematicos.

Finalmente, haremos un breve inciso, sin excedernos demasiado, sobre An-drew Wiles, que fue quien lo demostro en 1995.

Abstract

This work has to do with algebraic integers and diophantine equations. Theaim of this work is the Last Theorem of Fermat. It is a historical view aboutthe mathematiciens that tried to prove it, starting with the own Fermat andfinishing with Kummer, who is the one after Fermat that introduced the mostimportant result.

We will pay attention to the mistakes that these mathematiciens made,so that we can see that thanks to them nowadays we know the properties offactorization in rings and other tools that have been useful for finding otherimportant mathematical results.

Finally, we will talk briefly about Andrew Wiles, who proved it in 1995.

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1. Introduccion sobre Fermat

Pierre de Fermat nacio el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne,Francia, y murio el 12 de enero de 1665. Era hijo de Dominique, rico comerciantede pieles, y Claire de Long, descendiente de una familia de juristas. Quizas poreso Fermat estudio Leyes. De hecho su carrera como jurista fue meteorica, perono era este el unico campo que le atraıa. Las matematicas eran su pasion y notardo en demostrarlo. Fermat intento que otros matematicos y cientıficos de laepoca se interesaran por esta ciencia donde no tenıa rival. Un ejemplo es estafrase que le escribio Pascal:

Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones numericas; osconfieso que me superan con mucho, y no soy capaz mas que de admirarlas.

Pierre de Fermat Libro de Diofanto,al cual luego haremos referencia

Vivio en Toulouse, que estaba cerca de su ciudad natal. Durante toda suvida casi no se movio de la region. Fermat, probablemente, se crio en su pueblonatal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingreso enla Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razon, interrumpio sus estudiosen Toulouse y, durante unos anos, vivio en Burdeos. Desde Burdeos Fermat fuea Orleans donde estudio Derecho en la Universidad. Obtuvo una licenciaturaen derecho civil, aunque ya antes, en 1631, recibio el tıtulo de concejal en elTribunal Superior de la Judicatura en Toulouse, que ocupo durante el resto desu vida.

Debido al despacho que ahora ocupaba paso a llamarse Pierre de Fermat enlugar de Pierre Fermat. Con dominio del latın, griego, italiano, y espanol, Fermatfue elogiado por su verso escrito en varios idiomas, y su consejo fue buscado conavidez en relacion con la correccion de textos griegos. Extremadamente prolıfico,sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (solo publico unaobra cientıfica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su trabajo.Fermat era un matematico que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad.Su unico contacto con el resto de la comunidad matematica fue gracias a MarinMersenne ademas de sus correspondencias con Pascal. Los resultados de Fermatfueron conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que losreenvio e hizo una amplia distribucion.

Murio en Castres, Francia, el 12 de enero de 1665.

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1.1. Trabajo de Fermat

“Siempre que se encuentren dos cantidades desconocidas en una ecuacionfinal, tenemos un locus, los extremos de una de estas (cantidades) describe unalınea, recta o curva”.

Esta frase escrita por Fermat como muy tarde en el ano 1636, lo hace descu-bridor de la Geometrıa Analıtica. De hecho, puede que su Geometrıa Analıticafuese anterior a 1629, pues podemos encontrar por este ano el tratado ”Meto-do para encontrar Maximos y Mınimos”, en el que describıa un metodo paraencontrar los puntos donde una curva polinomica y = f(x) alcanza maximos ymınimos. El procedimiento era el siguiente: Consideraba ecuaciones de la formay = xn (conocidas como parabolas o hiperbolas de Fermat, dependiendo delsigno de n) y comparaba el mismo valor, para un y cercano a x, en f(y) y f(x).Notemos que es equivalente comparar f(x) y f(x+ ε) para un ε muy pequeno.Lo que hacıa entonces Fermat, era plantear la ecuacion f(x) = f(x + ε), pos-teriormente dividir por ε y finalmente poner ε = 0. Y ası un punto maximo omınimo es la solucion x de esta ecuacion. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1.1. Calcular los maximos y mınimos relativos de la funcion f(x) =x3 + 6x2 + 5x− 12 :

Tenemos que f(x+ ε) = (x+ ε)3 + 6(x+ ε)2 + 5(x+ ε)− 12

= x3 + 3x2ε+ 3xε2 + ε3 + 6x2 + 12xε+ 6ε2 + 5x+ 5ε− 12

= x3 + (3ε+ 6)x2 + (3ε2 + 12ε+ 5)x+ ε3 + 6ε2 + 5ε− 12

Igualando ahora f(x) y f(x+ ε), tenemos que

f(x) = x3 + 6x2 + 5x− 12

= x3 + (3ε+ 6)x2 + (3ε2 + 12ε+ 5)x+ ε3 + 6ε2 + 5ε− 12

Simplificando esta igualdad resulta 3εx2 + (3ε2 + 12ε)x+ ε3 + 6ε2 + 5ε = 0

Dividimos por ε y obtenemos 3x2 + (3ε+ 12)x+ (ε)2 + 6ε+ 5 = 0

Tomamos ε = 0 y hallamos las raıces de 3x2 + 12x+ 5 = 0, que son

x = −6+√21

3 y x = −6−√21

3 ,

que se corresponden, respectivamente, con el maximo y el mınimo de f(x).

Como un dato interesante, en 1636 nos encontramos con una proposiciona la que Fermat se referıa como La tres belle propostion o propositionem pul-cherriman, y de la cual solo haremos mencion. Esta proposicion trata sobrecombinatoria y es la siguiente formula:

nK(n+m− 1,m− 1) = mK(n+m− 1,m)

donde n y m son dos numeros enteros no negativos tales que m ≤ n y K(n,m)son los numeros que se definen de la siguiente forma recursiva:

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K(n, 0) = 1

K(n,m+ 1) = K(m,m) +K(m+ 1,m) + ...+K(n− 1,m)

Fermat la utilizo para desarrollar otras aplicaciones de mayor interes, comopor ejemplo, obtener expresiones de sumas de las primeras potencias de numerosnaturales.

1.2. Metodo del descenso infinito

Este matematico frances ideo tambien el Metodo del descenso infinito, el cualse utiliza en varias demostraciones que veremos mas adelante. Es una variantedel metodo de reduccion al absurdo y que usa la propiedad de mınimo de losnumeros naturales. Este metodo consiste en lo siguiente: Supongamos que que-remos demostrar una cierta afirmacion. Entonces suponemos que para un ciertonumero natural n, se cumple su negacion. Seguimos demostrando que para otronumero natural menor que n, tambien se cumple su negacion. Ası, continuandocon este razonamiento, obtenemos una sucesion infinita y decreciente de nume-ros naturales, lo cual es imposible; o descendiendo llegamos a un cierto numeronatural que no cumple la negacion. Por lo que una vez llegado a este punto,por reduccion a lo absurdo, conseguimos demostrar que la afirmacion supuestainicialmente se cumple.

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2. El Ultimo teorema de Fermat

Sin duda uno de los teoremas mas famosos de la historia de las matematicasse lo debemos a este ”prıncipe de los aficionados”(ası es como le llamaba EricTemple Bell), quien dejo muchas incognitas que intentarıan resolver a lo largode la historia grandes matematicos como veremos a continuacion. Su famosoteorema conjeturado tan inocentemente en 1637, desperto la curiosidad de todala humanidad. Veamos el teorema:

Teorema 2.1. Sea n un numero entero mayor que dos, entonces no existen tresenteros x, y, z, distintos de cero, tales que sea cierta la igualdad xn + yn = zn

Figura 1:Eric Temple Bell (1883-1960) fueun matematico y escritor de cien-cia ficcion escoces que vivio en Es-tados Unidos toda su vida. Sus con-tribuciones matematicas fueron enel campo de la Teorıa de nume-ros, aunque quizas es mas recor-dado como historiador matemati-co. Escribio obras como Los gran-des matematicos (Men of mathe-matics, 1937), Mathematics: queenand servant of science(1951) y Thelast problem (1961)

Lo curioso sobre este teorema fue lo que Fermat escribio sobre su demostra-cion, que apenas llego a dos lıneas. Esto se pudo ver cuando en 1670, cinco anosdespues de su muerte, su hijo Samuel publico su Aritmetica. En esa publicacionpodemos ver la frase que sigue siendo famosa 350 anos despues y que se refierea la demostracion de este teorema:

He descubierto una sencilla demostracion de esa conjetura, pero no tengoespacio para exponerla en este estrecho margen.

El estrecho margen al que hacıa referencia Fermat era el que estaba en laedicion de Bechet de la Aritmetica de Diofanto. De hecho, se cree que Fermat nohallo la demostracion para exponente mayor que 4, ya que las demostracionespara exponentes 3 y 4 dependen fuertemente de la divisibilidad de los numerosde la forma a2 + b2, a2 +2b2 y a2 +3b2. Y desde el punto de vista de un intentode traslado de esta demostracion para exponente 5 serıa necesario estudiar ladivisibilidad de numeros de la forma a2 + 5b2.

Despues de dejar este reto en el aire, matematicos de todos los tiempos hanintentado demostrar el “ Ultimo Teorema de Fermat”, conocido con este nombreaunque no fue su ultimo teorema. Por aquel entonces era solo una conjetura,ya que nadie consiguio demostrarlo hasta 1995. Pero hasta entonces, nos quedamucho recorrido y muchos errores cometidos por delante.

2.1. Ultimo teorema de Fermat para exponente 4

Ya hemos mencionado que Fermat demostro su famoso teorema para expo-nente 4.

2.1.1. Teorema de factorizacion unica en Z

Una de las propiedades mas importantes de Z es el teorema de factoriza-cion unica que enunciamos a continuacion:

Teorema 2.2. Cada n ∈ Z puede ser factorizado como un producto de numerosprimos, es decir, n = p1p2...pk, y esta factorizacion es esencialmente unica.

Veamos ahora las dos propiedades caracterısticas de los numeros primos p∈ Z :

p = ab =⇒ a = ±1 o b = ±1 (3.1)

p|ab =⇒ p|a o p|b (3.2)

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Pero, ¿que significa que la factorizacion sea esencialmente unica?Pues bien, es importante notar que si n = p1p2...pk, entonces tambien

n = (−p1)(−p2)...pk, por ejemplo, y ademas p1 y −p1 son asociados, ya que -1es inversible en Z.

”Factorizacion unica”significa entonces que si n = p1p2...pk = p′1p′2...p

′m,

entonces m = k y las p′i pueden ser ordenados de tal manera que p′i es asociadoa pi para cada i = 1, 2, ..., k

Cabe recordar la definicion de coprimos:

Definicion 2.3. Decimos que dos numeros son coprimos si no tienen ningunfactor primo comun, o lo que es lo mismo, que el maximo comun divisor deambos sea 1. Si cogemos conjuntos de tres o mas numeros diremos que soncoprimos dos a dos, si cogiendo una pareja de numeros cualquiera se cumpleque sean coprimos.

Ahora ya podemos enunciar y demostrar un teorema que sera clave en estaseccion:

Teorema 2.4. Salvo permutaciones de x e y, las soluciones de la ecuacion

x2 + y2 = z2, (3.3)

es decir, la ecuacion del ultimo teorema de Fermat para exponente igual a 2,con x,y,z coprimos dos a dos, son dadas por

x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2,

con u, v enteros de distinta paridad y coprimos.

Demostracion. Si x2 + y2 = z2, notamos que uno de los dos numeros, o x o yes par. De hecho, si x = 2k + 1 e y = 2m+ 1, con k y m ∈ Z, entonces x2 ≡ 1(mod 4) e y2 ≡ 1 (mod 4), y entonces z2 ≡ 2 (mod 4), lo cual es imposibleporque los unicos cuadrados modulo 4 posibles son 0 y 1.

Vamos a asumir por ejemplo que y es par. Entonces x serıa impar. Y zdeberıa ser tambien impar, ya que x y z son coprimos.

Escribimos ahora x2 + y2 = z2 como (z + x)(z − x) = y2 y buscamos losdivisores comunes primos a (z + x) y (z − x). Lo primero de todo, vemos que 2divide a ambos, ya que x y z son impares, por lo que su suma y su diferencia espar. Vamos a suponer ahora que existe un primo p �= 2 tal que sea tambien undivisor comun. Entonces p | ((z+x)+(z−x)) = 2z, p | ((z+x)− (z−x)) = 2x.Como p es un primo impar, teniendo en cuenta que o p | 2 o p | z, entonces p |z y analogamente p | x por (3.2), lo que contradice que x e y son coprimos.

Por tanto, el unico primo comun divisor a z+ x y z− x es 2, mcd(z+ x, z−x) = 2, y podemos escribir z + x = 2a, z − x = 2b y 4ab = y2, con a y benteros coprimos. Pero la factorizacion en numeros primos de (y2 )

2 tendra soloexponentes pares, es decir, sera de la forma (y2 )

2=(ps11 ps22 ...pskk psk+1

k+1 ...psmm )2, y

estos factores primos pi deben dividir a a o a b, ya que estos son coprimos.Por lo que podemos poner a = u2 y b = v2, con u,v enteros coprimos.

Sustituyendo a y b obtenemos que z+x = 2u2, z−x = 2v2, y = 2uv y poniendox y z en funcion de u y v, llegamos a x = u2 − v2 y z = u2 + v2. Ahora u yv deben tener diferentes paridades, ya que z es impar. Por lo que solo tenemosque probar que (x, y, z) es una terna pitagorica: x2+y2 = (u2−v2)2 + (2uv)2=u4 + 2u2v2 + v4,

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z2 = (u2+v2)2 = u4+2u2v2+v4. Vemos que efectivamente se cumple, y hemosprobado el teorema.

Como podemos notar, nos interesa analizar la ecuacion x2 + y2 = z2 conx, y, z positivos, distintos de cero y coprimos dos a dos. Esto es porque si escero uno de los tres o los tres, obviamente hay solucion. Ademas, si a, b, c essolucion, entonces ±a, ±b, ±c tambien es solucion y si existe un factor primo pcomun a a, b, c, entonces a′=a

p , b′= b

p y c′= cp es solucion tambien.

2.1.2. Demostracion de Fermat para exponente 4

Con estas nociones, ya podemos exponer la demostracion que realizo Fermaten el ano 1640 para exponente 4, que hace uso tambien del teorema de factori-zacion unica en Z. Es un claro ejemplo de la utilizacion del metodo del descensoinfinito. Enunciamos el teorema:

Teorema 2.5. La ecuacion diofantica x4 + y4 = z4 no tiene solucion six �= 0, y �= 0, z �= 0.

Para ver la demostracion, primero tenemos que notar que cada solucion dela ecuacion x4 + y4 = z4, con x, y, z coprimos, da una solucion de la ecuacion

x4 + y4 = z2 (3.4)

con x, y, z coprimos. Es decir, que si demostramos que x4 + y4 = z2 no tienesoluciones triviales, entonces demostrarıamos que x4 + y4 = z4 tampoco. Por loque vamos a demostrar que (3.4) no tiene soluciones triviales.

Demostracion. Asumimos que sı que tiene soluciones no triviales. Sea (x, y, z)una de estas soluciones, con z > 0 y z mınimo. Como para (3.3), podemos asumirque x y z son impares y que y es par. Entonces por el Teorema 2.4, existen uy v coprimos, con diferente paridad, tal que x2=u2 − v2, y2=2uv, z=u2 + v2.De la primera de estas tres igualdades obtenemos que x2 + v2=u2. Como x yv no pueden ser ambos impares por la misma razon que en la demostracion delTeorema 3.20, tenemos que x y u son impares y v es par.

Aplicando de nuevo el Teorema 2.4, obtenemos que x = a2 − b2, v = 2ab,u = a2+ b2, con a, b coprimos y de diferente paridad. Sustituyendo lo obtenido,tenemos que y2 = 4ab(a2 + b2). Ahora los numeros a, b, a2 + b2 son coprimosdos a dos.

Por el teorema de factorizacion unica, a=α2, b=β2, a2 + b2=γ2, con α, β, γen N. Sustituyendo a y b en γ nos queda que γ2=a2+ b2=α4+β4. Vemos ahoraque la terna (α, β, γ) satisface la ecuacion (3.4), pero sin embargo, 0 < γ ≤ u< z, y esto contradice que z sea mınimo. Con lo que finalmente concluimos conque (3.4) no tiene soluciones no triviales. Y de aquı se sigue que x4 + y4 = z4

no tiene ninguna solucion que no sea la trivial.

Para resolver el Ultimo Teorema de Fermat, basta ver que no existe solu-ciones no cero para la ecuacion xn + yn = zn con n ≥ 3 primo. En efecto, sia, b, c es solucion para xnm + ynm = znm, entonces an, bn, cn es solucion paraxm + ym = zm.

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Ası hay que resolver que xp+ yp = zp no tiene soluciones distintas de cero sip es primo mayor o igual que 3. Y esto equivale a que xp + yp + zp=0 no tienesolucion. Y ademas, puedo suponer que son coprimos dos a dos las soluciones, yaque si a, b, c es solucion y el mcd(a, b) =m, entonces m | cp, ya que se cumplirıaap + bp = cp, luego si q es un primo tal que q | m, entonces q | c, y ahora a

q ,bq ,

cq tambien es solucion.

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3. Leonhard Euler

Leonhard Paul Euler (1707-1783) fue un matematico y fısico suizo. Se tratadel principal matematico del siglo XVIII y uno de los mas grandes y prolıficosde todos los tiempos. Vivio en Rusia y Alemania la mayor parte de su viday realizo importantes descubrimientos en areas tan diversas como el calculo ola teorıa de grafos. Tambien introdujo gran parte de la moderna terminologıay notacion matematica, como por ejemplo la de la funcion. Se calcula que susobras completas reunidas podrıan ocupar entre 60 y 80 volumenes. Una afir-macion atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en losmatematicos posteriores:

Lean a Euler, lean a Euler, el es el maestro de todos nosotros.

¿Pero que relacion tiene Euler con Fermat? Pues bien, Euler demostro elultimo teorema de Fermat para exponente 3, pero lo hizo de una forma mascompleja que Fermat para exponente 4. Euler cometio un error, que veremos acontinuacion y tambien veremos algunos aspectos necesarios para comprenderesto.

3.1. Error de Euler

El error de Euler en la demostracion fue encontrado en su libro Introduccional Algebra publicado en 1770. Este error desarrollo ideas que serıan de utilidaden muchos otros problemas de la teorıa de los numeros. En aquel entonces,el Teorema de factorizacion unica se consideraba valido en cualquier anillo deenteros. Fue a partir del error de Euler cuando se descubrio que no era ciertosiempre. En su demostracion, Euler trabajo con numeros de la forma x+ iy

√3

sin darse cuenta de que estos numeros no se comportan igual que los enteros. Dehecho, del analisis de la demostracion fallida de Euler surge la evidencia de queciertos conjuntos de numeros complejos no se comportaban de igualmanera que los enteros. Este es otro de los descubrimientos de la Matematicaque fue propiciado por el Ultimo Teorema de Fermat. Es decir, el error de Eulerse debio a que en los cuerpos cuadraticos los anillos de enteros no son como Z.

Para entender la demostracion necesitamos conocer algunas nociones sobrelos cuerpos cuadraticos y las ecuaciones diofanticas. No todo lo que se comentaa continuacion se necesita para la demostracion de Euler, pero sı clasifica lasdistintas situaciones que nos podemos encontrar respecto a la factorizacion enanillos de enteros de cuerpos cuadraticos. Pero veamos lo que son estos.

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3.1.1. Cuerpos cuadraticos

Recordemos que los numeros cuadraticos irracionales son aquellos quesatisfacen Ax2+Bx+C = 0, con A,B,C ∈ Z y x ∈ I, donde I denota el conjunto

de los numeros irracionales. Estos numeros pueden ser escritos como b+√D

2a con

a,b,D ∈ Z. Escribimos√D = e

√d, donde e ∈ Z y el cuadrado de ningun primo

divide a d. En este caso, decimos que d es un entero libre de cuadrados. Enparticular,

√d es irracional. Por lo que un numero cuadratico irracional puede

ser escrito como α+ β√d, donde α , β ∈ Q, d ∈ Z libre de cuadrados. Ademas,

para algun libre de cuadrados d ∈ Z, es natural definir:

K = Q(√d)= {x ∈ C/x = α+ β

√d con α, β ∈ Q} (1.1)

El siguiente resultado es facil de probar:

Teorema 3.1. K = Q(√d) es un subcuerpo de C y contiene a Q. Tambien es

un espacio vectorial de dimension 2 sobre Q, con base (1,√d)

Decimos que K = Q(√d) es un cuerpo cuadratico. Cada uno de sus ele-

mentos es o racional o irracional cuadratico.

Si d>0, decimos que K = Q(√d) es un cuerpo cuadratico real.

Si d<0, decimos que K = Q(√d) es un cuerpo cuadratico imaginario,

y lo denotaremos K = Q(i√d) con d entero positivo libre de cuadrados.

Ahora tomamos x = α + β√d ∈ Q(

√d). Recordemos algunas definiciones

basicas:

Definicion 3.2. El conjugado de x es x∗ = α− β√d.

Notemos que si K = Q(√d) es un cuerpo cuadratico imaginario, para cada

x ∈ K, x∗ = x, donde x es el complejo conjugado de x.

Definicion 3.3. La norma de x se define como sigue:

N(x) = xx∗ = α2 − dβ2

La norma de x es siempre un numero racional.

Si x ∈ Q, entonces N(x) = x2.

Si K es un cuerpo cuadratico imaginario , entonces N(x) = |x|2 para todox ∈ K.

Tambien es facil de probar el siguiente resultado:

Teorema 3.4. Sea K un cuerpo cuadratico. Entonces, para cada x,y, ∈ K,

(x+ y)∗ = x∗ + y∗ N(xy) = N(x)N(y)

18

3.1.2. Anillo de enteros de un cuerpo cuadratico

Definicion 3.5. Sea x = α + β√d ∈ Q(

√d). Decimos que x es un entero de

Q(√d) (o un entero cuadratico) si x satisface una ecuacion de la forma:

x2 + ax+ b = 0 con a,b ∈ Z

Notemos que si x es un entero cuadratico, entoncesN(x) ∈ Z, pero el recıpro-co es falso.

Teorema 3.6. Sea K = Q(√d) un cuerpo cuadratico. El conjunto AK de todos

los enteros de K es un subanillo de K, llamado el anillo de enteros de K.Ademas,

Si d ≡ 2 (mod 4) o d ≡ 3 (mod 4),

AK= {x ∈ K/x = α+ β√d con α, β ∈ Z } = Z(

√d)

Si d ≡ 1 (mod 4)

AK= {x ∈ K/x = α+β√d

2 con α, β ∈ Z, α y β de la misma paridad } =

Z( 1+√d

2 )

Notemos que si d ≡ 1 (mod 4), AK contiene a Z(√d) (tomamos α=2m y

β=2n pares), pero hay otros enteros en AK de la forma: 2m+1+(2p+1)√d

2 con m,p ∈ Z.

Veamos elementos del anillo de enteros AK representados en el plano com-plejoK = Q(

√d) cuando d < 0, en concreto cuando d=-3:

3.1.3. Unidades del anillo de enteros de un cuerpo cuadratico

Antes de nada, recordemos algunas nociones basicas:

Definicion 3.7. Decimos que un anillo A es un dominio de integridad si esun anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.

A partir de ahora tomamos A como dominio de integridad:

19

Definicion 3.8. Decimos que ε ∈ A es inversible en A o es una unidad deA si existe η ∈ A tal que εη = 1

Llamaremos A× al conjunto de todas las unidades de A. Notemos que esteconjunto es un grupo multiplicativo. Ademas, enunciamos el siguiente impor-tante teorema en el caso en el que A=AK, con K cuerpo cuadratico:

Teorema 3.9. Dado ε ∈ AK. Entonces ε ∈ A×K

si y solo si |N(ε)| = 1.

Demostracion. Como ε ∈ AK, entoncesN(ε) ∈ Z. Veamos la condicion suficiente.Suponemos que |N(ε)| = 1, lo que implica que N(ε)=± 1, entonces εε∗=± 1, portanto ε es inversible en Z. Respecto a la condicion necesaria, suponemos ahoraque ε es una unidad de AK, por lo que existe η ∈ A×

Ktal que εη= 1. Entonces

N(εη) = N(1), y ası N(ε)N(η) = 1 y como N(ε) ∈ Z se tiene que |N(ε)|=1

A continuacion veamos las unidades del anillo de enteros de un cuerpocuadratico imaginario y de un cuerpo cuadratico real:

Unidades del anillo de enteros de un cuerpo cuadratico imaginario

Teorema 3.10. Sea K = Q(i√d) un cuerpo cuadratico imaginario. Entonces:

Si d =1, es decir, si AK es el anillo de los enteros gaussianos Z(i), entonces

A×K

= {−1, 1, i,−i}

Si d =3, es decir, si AK = Z(j), con j = e2iπ3 , entonces

A×K

= {−1, 1, 1+i√3

2 , 1−i√3

2 , −1+i√3

2 , −1−i√3

2 }

Si d �= 1 y d �= 3, entonces

A×K

= {−1, 1}

Recordemos que si A es un dominio, decimos que dos elementos x e y de A

son asociados si existe ε unidad de A tal que x = εy.El teorema anterior muestra que el anillo AK = Z(j) de enteros de Q(i

√3)

tiene muchas unidades, y una consecuencia de ello es el siguiente teorema:

Teorema 3.11. Cada elemento del anillo Z(j) de enteros de Q(i√3) puede ser

asociado con un elemento de Z(i√3). En otras palabras,

∀ x ∈ Z(j), ∃ ε ∈ Z(j)×, ∃ y ∈ Z(i√3) tal que x = εy

20

Unidades del anillo de enteros de un cuerpo cuadratico real

Lema 3.12. Sea G un subgrupo del grupo multiplicativo (R∗+, ·). Supongamos

que G1= {x ∈ G/x > 1} tiene un elemento menor denotado por ω. Entonces,G= {ωn/n ∈ Z}Lema 3.13. Dado d > 0 y sea AK el anillo de enteros de K = Q(

√d). Entonces

existe ε ∈ A×K

tal que ε > 1, y cada ε ∈ A×K

tal que ε > 1 satisface la siguientedesigualdad:

ε ≥ 1+√d

2

Teorema 3.14. Dado d > 0 y sea AK el anillo de enteros de K = Q(√d).

Entonces existe una unidad ω > 1, llamada unidad fundamental, tal que

A×K

= {∓ωn/n ∈ Z}Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3.15. Sea d=5. Entonces K=Q(√5) y AK=Z( 1+

√5

2 )=Z(φ). Notemos

que φ= 1+√5

2 es el numero aureo. En este caso la unidad fundamental ω satisface

ω ≥ 1+√5

2 (por el ultimo lema visto). Pero N( 1+√5

2 ) = -1. Ademas φ es unaunidad por el Teorema 3.9.

Por lo tanto, es la unidad fundamental y

A×K

= {±φn/n ∈ Z}Demos ahora una nocion para poder enunciar un teorema:

Definicion 3.16. La ecuacion de Pell es una ecuacion diofantica de la formax2 − dy2 = 1, donde d no es un cuadrado perfecto.

Teorema 3.17. Sea (x1, y1) la solucion fundamental de la ecuacion de Pellx2 − dy2 = 1. Sea (xn, yn) la secuencia de las soluciones positivas xn ≥ 0, yn≥ 0, en orden creciente. Entonces,

xn + yn√d = (x1 + y1

√d)n para cada n ∈ N

xn+2 = 2x1xn+1 − xn e yn+2 = 2x1yn+1 − yn, para cada n ∈ N

3.1.4. Primos e irreducibles

En Z las propiedades (3.1) y (3.2) son equivalentes. Pero como hemos dicho,esto no es siempre ası en el caso del anillo de enteros AK de un cuerpo cuadraticoK. Veamos las siguientes definiciones:

Definicion 3.18. Sea A un dominio de integridad. Decimos que p ∈ A es primosi p no es inversible y siempre que p | ab, con a, b ∈ A, implica que p | a o p |b .

Definicion 3.19. Sea A un dominio de integridad. Decimos que p ∈ A esirreducible si p no es inversible y siempre que p = ab, con a, b ∈ A, implicaque a o b sea inversible en A.

Veamos ahora un ejemplo para comprender bien estas nociones, trabajandopor ejemplo en Q(i

√5):

21

Ejemplo 3.20. Sea AK el anillo de enteros de Q(i√5). Por el Teorema (3.6)

tenemos que AK = {x+ iy√5 con (x, y) ∈ Z2}, ya que -5 ≡ 3 (mod 4). Esco-

gemos por ejemplo p = 2.Veamos que p es irreducible en AK:

Asumimos que 2=ab. Entonces N(2) = N(a)N(b) implica que 4=N(a)N(b).Pero la norma de α + iβ

√5 es α2 + 5β2, por lo que es imposible que N(a)=

±2.Entonces la ecuacion 4=N(a)N(b) implica o que N(a)=1 o N(b)=1, ya que

N(a) y N(b) son enteros naturales.Luego a o b es inversible en Z(i

√5) por el Teorema (3.9), lo cual prueba que

2 es irreducible en Z(i√5).

Veamos que p no es primo en AK:

Evidentemente tenemos que 2 | 6, en otras palabras, 2 | (1+ i√5)(1− i

√5).

Sin embargo, 2 no divide ni a 1+ i√5 ni a 1+ i

√5. De hecho, si tuvieramos que

1 + i√5=2α con α ∈ Z(i

√5), podrıamos tomar normas y escribir 6 = 4N(α),

lo que significarıa que 4 | 6 en Z, lo cual es falso.

Por lo que concluimos que en Z(i√5) existen irreducibles que no son primos.

Sin embargo, tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.21. Sea A un dominio de integridad. Si p es primo en A, entoncesp es irreducible en A.

Demostracion. Asumimos que p es primo en A, y que p= ab. Entonces p | ab,y como p es primo, supongamos, por ejemplo, que p | a. Por lo que podemosescribir a como a=a′p, a′ ∈ A, y p= ab= a′pb. Como A es un dominio, notiene divisores de cero, y entonces tenemos que 1=a′b, lo que conlleva que b esinvetible en A, y por tanto p es irreducible en A.

El siguiente resultado es facil de probar:

Teorema 3.22. Sea x ∈ AK. Si N(x) es prima en Z, entonces x es irreducibleen AK.

Teorema 3.23. Sea AK el anillo de enteros de un cuerpo cuadratico K =Q(

√d). Entonces cada elemento de AK puede ser escrito como producto de ele-

mentos irreducibles.

Veamos un ejemplo en el que mostramos que en el caso general, desafortu-nadamente, la expansion en productos de irreducibles no es unica:

Ejemplo 3.24. Sea AK= Z(i√5). Tomamos por ejemplo 6 y tenemos que

6=2·3=(1+ i√5)(1− i

√5). Pero en Z(i

√5), los numeros 2, 3, 1+ i

√5, 1− i

√5

son irreducibles y no asociados. Veamos primero que son irreducibles:

En Z(i√5), tenemos que N(a+b

√5)=a2+5b2. Por lo que N(x)=2 y N(x)=3

no tienen soluciones en Z(i√5). Si uno de los numeros 2, 3, 1 + i

√5, 1− i

√5

fuera reducible, entonces existirıa y ∈ Z(i√5) tal que N(y)=2 o N(y)=3, lo cual

es imposible. Ası que estos cuatro numeros son irreducibles.

Veamos ahora que no son asociativos entre ellos:

22

Si 1 + i√5 fuera asociado a 2, entonces existirıa ε ∈ A×

Kcon 1 + i

√5=2ε.

Tomando normas tendrıamos 6=4N(ε)=4, y como ε es una unidad y por tantosu norma o es 1 o -1, se tiene una contradiccion. Y lo mismo se hace con losdemas pares

Definicion 3.25. Sea A un dominio de integridad. Decimos que A es un domi-nio de factorizacion unica si cada elemento no inversible de A puede ser escrito,de una unica manera salvo el orden, como un producto de elementos irreduciblesde A.

”De una unica manera salvo el orden”quiere decir que si x=p1p2...pk=p′1p′2...p

′m,

entonces k = m y las p′i pueden ser ordenados de tal manera que p′i es asociadoa pi para cada i = 1, 2, ..., k.

Teorema 3.26. El anillo de enteros AK de un cuerpo cuadratico K = Q(√d) es

un dominio de factorizacion unica si y solo si cada irreducible en AK es primo.

Demostracion. Ya sabemos por el Teorema 3.23 que x ∈ AK puede ser fac-torizado como un producto de elementos irreducibles. Asumimos primero quecada irreducible es primo y que x = p1p2...pk = p′1p

′2...p

′m. Como p1 | p′1p′2...p′m

y p1 es primo, entonces p1 divide a uno de los p′i. Podemos suponer que p1| p′1. Como p′1 es irreducible, tenemos que p′1=ε1p1, donde ε1 ∈ A×

K, lo cual

quiere decir que p1 y p′1 son asociados. Despues de la simplificacion por p1,tendrıamos que p2...pk = ε1p

′2...p

′m. Argumentando de la misma manera ob-

tendrıamos que p2 y p′2 son asociados, y ası sucesivamente. Notese que m=k, yaque sino p′k+1...p

′mε=1, luego los p′is, con i=k+1, ...,m, serıan unidades. Con lo

que llegamos a que AK es un dominio de factorizacion unica, como querıamosprobar.

Suponemos ahora que AK es un dominio de factorizacion unica. Sea p irre-ducible de AK tal que p | ab, entonces p es uno de los factores irreducibles de ao b, y por tanto p divide a a o a b. Esto significa que p es primo.

Concluimos que en un dominio de factorizacion unica no hay diferencia entreprimos e irreducibles, y como en Z tendremos un teorema de factorizacion unica.

3.1.5. Dominios euclıdeos

Los dominios euclıdeos son un caso importante de dominios de factorizacionunica.

Definicion 3.27. Decimos que el anillo AK de enteros de un cuerpo cuadraticoK = Q(

√d) es un dominio euclıdeo si para cada (a, b) ∈ AK × A∗

K, existe

(q, r) ∈ A2Ksatisfaciendo a = bq + r y |N(r)| < |N(b)|

En otras palabras, en AK hay un algoritmo de division euclıdea como en Z.Supongamos ahora que a y b son coprimos en el dominio euclıdeo AK, lo

cual quiere decir que los unicos divisores comunes a a y b son los elementosinversibles de AK. Entonces, la identidad de Bezout asegura que existen doselementos u y v ∈ AK, tales que

au+ bv = 1

23

Teorema 3.28. Si AK es un dominio euclıdeo, entonces es un dominio defactorizacion unica.

Demostracion. Por el Teorema 4.9, es suficiente probar que cada irreducibe enAK tambien es primo. Sea p irreducible en AK. Supongamos que p | ab. Si p nodivide a a, entonces p y a son coprimos. En efecto, si d | p y d | a, entoncesεd = p, siendo ε una unidad ya que p es irreducible, y ası d = ε′p con ε′ unidades imposible porque p no divide a a.

Aplicamos entonces la identidad de Bezout y tenemos que existe (u, v) ∈ A2K

tal que au+ pv = 1, y entonces abu+ pbv = b. Como p | ab, entonces p | b, porlo que p tambien es primo en AK.

Teorema 3.29. El anillo de enteros AK de K = Q(√d) es un dominio euclıdeo

para d=-11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5 y 13.

Este resultado es al que querıamos llegar y el que usara en la demostracionde Euler.

Figura 2:Etienne Bezout (1730 -1783) fue unmatematico frances. En 1758 fueelegido miembro de la Academia delas Ciencias Francesa. En 1768 sehizo cargo de la ensenanza de losalumnos del cuerpo de artillerıa yredacto para sus alumnos “Coursde mathematiques a l’usage de lamarine et de l’artillerie”. Tambienfue el autor de una “Teorıa ge-neral de ecuaciones algebraicas”,publicada en Parıs en 1779. Es-ta obra contenıa muchos resultadosnovedosos y de importancia acercade la teorıa de eliminacion y fun-ciones simetricas de las raıces deuna ecuacion. Uso los determinan-tes en un artıculo de la Histoire del’Academie royale de 1764, pero noestudio la teorıa general.

3.1.6. Ultimo teorema de Fermat para exponente 3

Ya hemos comentado el error de Euler. Ahora enunciaremos el teorema paraexponente 3 y veremos la demostracion que realizo Euler pero corregida.

Teorema 3.30. La ecuacion x3 + y3 = z3 no tiene soluciones cuando x, y, zson enteros racionales distintos de cero.

Demostracion. Supongamos que x3 + y3 + z3=0, con x, y, z ∈ Z, y distintos decero. Supongamos tambien que x, y, z son coprimos, y que x y z son impares,mientras que y es par. De hecho, las combinaciones par-par-par, par-par-impare impar-impar-impar son imposibles.

Usamos el metodo del descenso infinito y escogemos (x, y, z) como solucion,con |y| mınima. Notemos que por ser x y z impares podemos escribir x = a+ by z = a − b, con a, b ∈ Z. Entonces a y b son coprimos (en otro caso, x, y, ztendrıan que tener algun divisor comun) y tienen diferente paridad (ya que x yz son impares). La ecuacion x3 + y3 + z3=0 llega a ser entonces

2a(a2 + 3b2) = −y3 (4.1)

Como a y b tienen diferente paridad, a2 + 3b2 es impar. Ademas 8 divide a2a ya que y es par, y cada divisor d comun a 2a y a a2 +3b2 es impar. Tambiend divide a a y d divide a 3b2.

Como a y b son coprimos, llegamos a que mcd(2a, a2 + 3b2)=1 o 3. A partirde aquı la idea es distinguir los dos casos.

Caso 1: mcd(2a, a2 + 3b2)=1 En este caso se supone que el maximo comundivisor es 1. Por el teorema de factorizacion unica en Z, se tiene que 2a = r3 ya2 + 3b2=s3 con r, s ∈ Z y s impar. Factorizando en Z(j), obtenenemos

(a+ ib√3)(a− ib

√3) = s3.

Veamos que (a + ib√3) y (a − ib

√3) son coprimos en Z(j), el cual es euclideo

por el Teorema 3.29, con el caso d=−3. De hecho, si p es primo en Z(j), y dividea (a+ ib

√3) y a (a− ib

√3), y entonces divide a su suma, que es 2a. Tomando

normas tenemos que N(p) | a2 + 3b2 y N(p) | 4a2 en Z. Notemos que N(p) es

24

impar, ya que N(p) | a2 + 3b2, por lo que tenemos que N(p) | a2 y que N(p) |a2 + 3b2, lo cual es imposible ya que a2 y a2 + 3b2 son coprimos.

El teorema de factorizacion unica en Z(j) (Teorema 3.29), muestra que existet ∈ Z(j) y η ∈ Z(j)× tal que a+ ib

√3=ηt3. Como −1=(−1)3, podemos asumir

que η=1 o η= 12 (1 + i

√3) o η= 1

2 (1− i√3).

Sea ε ∈ Z(j)× satisfaciendo εt ∈ Z(i√3). Como ε es una raız sexta de la

unidad en C, tenemos que ε−3=±1. Esto hace que (a+ib√3)=ηε−3(εt)3=η(±εt)3

= η(u+ iv√3)3, con u ∈ Z y v en Z.

Desarrollando tenemos

(a+ ib√3)=η[u(u+ 3v)(u− 3v) + i

√3(3v)(u− v)(u+ v)] (4,2)

Vamos a probar ahora que η �= 12 (1+ i

√3). Suponemos lo contrario, es decir,

que η = 12 (1 + i

√3) y desarrollamos la parte derecha de la ecuacion anterior.

Obtenemos

a= 12 [u(u+ 3v)(u− 3v)− 9v(u− v)(u+ v)]

b= 12 [3v(u− v)(u+ v) + u(u+ 3v)(u− 3v)]

Pero esto es imposible. Si u y v tienen la misma paridad, a y b son pares, porlo que no serıan coprimos. Si u y v tienen paridad distinta, o a o b no serıa unentero. Por lo que η �= 1

2 (1 + i√3). Vemos similarmente que η �= 1

2 (1− i√3).

Entonces, η=1 y de (4.2) obtenemos que

a=u(u+ 3v)(u− 3v)

b=3v(u− v)(u+ v)

Pero a es par por (4.1), b impar y a y b son coprimos. Consecuentemente, v esimpar, u es par y u y 3v son coprimos. Como 2a=r3, tenemos que r3=2u(u +3v)(u − 3v). Notemos que 2u, u + 3v, u − 3v son coprimos dos a dos. Por elteorema de factorizacion unica, existen q, m, n, ∈ Z tal que 2u=q3, u+3v=m3,u− 3v=n3. Por adicion, tenemos que m3 + n3=q3, con q par, q, m, n coprimosdos a dos. Pero tenemos que

|y3|=|2a(a2 + 3b2)|=|q3(u2 − 9v2)(a2 + 3b2)| ≥ 3|q3| > |q|3

Esto contradice la minimalidad de y.Caso 2: mcd(2a, a2 + 3b2)=3 Suponemos que el maximo comun divisor es

3. Ponemos a=3c. Entonces la ecuacion (4.1) se convierte en

18c(3c2 + b2) = −y3

con 18c y 3c2+b2 coprimos. Por el teorema de factorizacion unica en Z tenemosque 18c=r3 y 3c2 + b2=s3, con s impar. Argumentando de la misma maneraque en la primera parte de la demostracion, obtenemos b=u(u + 3v)(u − 3v) yc=3v(u− v)(u+ v), u impar, v par, u y v coprimos. Como 18c=r3, tenemos quer3 = 54v(u−v)(u+v). Por lo tanto 3 | r, r = 3r′ y r′3=2v(u−v)(u+v). Ahora,2v, u−v, u+v) son coprimos dos a dos. Ademas existen h, m, n tal que h3=2v,m3=u− v, n3=u+ v y h3 +m3+ (−n)3=0, con h par. Finalmente tenemos que

|y3|=|18c(3c2 + b2)|=|27h3(u2 − v2)(3c2 + b2)| ≥ 27|h3| > |h3|Entonces tenemos que y no es mınima, lo que es una contradiccion.

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Con todas estas nociones hemos podido ver los diferentes comportamientosde los anillos de enteros.

Pero ası como Euler cometıa errores tambien los corregıa. Un caso curioso es

el siguiente: Fermat conjeturo que los numeros N de la forma N=22k

+ 1 eranprimos para todo valor natural k.

Por ejemplo para k = 1, se obtiene N=5, que obviamente es primo.Para k=5 obtenemos N = 4.294.967.297 ¿Es N primo?100 anos mas tarde Euler probo que Fermat estaba equivocado, ya que

4.294.967.297 = 641 × 6.700.417

El mismo Euler conjeturo tambien que no existen cuatro enteros a, b, c y dcumpliendo que:

a4 + b4 + c4=d4

Esta conjetura se creyo cierta durante casi 250 anos hasta que en 1987, NoamElkies de la Universidad de Harvard descubrio que sia = 2.682.440, b = 15.365.639 c = 18.796.760, y d = 20.615.673,

2,682,4404 + 15,365,6394 + 18,796,7604=20,615,6734

Noam demostro ademas que habıa infinitos grupos de numeros que lo cumplıan,eso sı, todos numeros muy grandes.

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4. Sophie Germain

Marie-Sophie Germain (1776 - 1831) fue una matematica francesa que hizoimportantes contribuciones a la teorıa de numeros y la teorıa de la elasticidad.Uno de los mas importantes fue el estudio de los que posteriormente fueronllamados numeros primos de Sophie Germain: numeros primos cuyo doble in-crementado en una unidad es tambien un numero primo. Matematica, fısicay filosofa, a pesar de la oposicion de sus padres y las dificultades presentadaspor una sociedad sexista, consiguio su educacion a partir de los libros de labiblioteca de su padre y de la correspondencia con famosos matematicos comoLagrange, Legendre y Gauss. Debido al prejuicio contra su sexo, no pudo esta-blecer una carrera en matematicas, por lo que trabajo practicamente de maneraindependiente a lo largo de toda su vida.

¿Pero que relacion tiene Germain con Fermat? Pues bien, Germain fue lasiguiente en dar un resultado realmente importante para el Ultimo Teorema deFermat.

4.1. Aportacion de Germain

La aportacion de Germain al Ultimo Teorma de Fermat es el siguiente Teo-rema que fue presentado a la Academia de Ciencias de Parıs por Lagrange yLegendre:

Teorema 4.1. Si p es un primo impar tal que 2p + 1 es tambien primo y a, by c son enteros tales que ap + bp = cp, entonces p | ab.

A partir de este teorema se distinguieron dos casos del Ultimo Teorma deFermat que recibieron los nombres de Caso I y Caso II :

El Caso I asegura que si p es un numero primo mayor o igual que 3 y a, by c son tres enteros que no son multiplos de p, entonces ap + bp �= cp

El Caso II es el complementario del Caso I, con respecto al Ultimo Teoremade Fermat. Es decir, el Caso II afirma que si p es un numero primo mayoro igual que 3, y a, b y c son tres enteros diferentes de cero, de los cualesuno es multiplo de p, entonces ap + bp �= cp.

Entonces el Teorema de Germain prueba el Caso I para primos impares ptales que 2p + 1 sea tambien un numero primo. Estos numeros se denominan,en honor a ella, primos de Germain.

En realidad, Germain demostro un teorema mas fuerte del que se deduce elTeorema 5.1 poniendo q=2p + 1. Este teorema es el siguiente:

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Teorema 4.2. Sean p y q dos primos impares distintos que satisfacen las si-guientes condiciones:

1. p no es congruente modulo q con ninguna potencia p-esima de un entero.

2. Si a, b y c son enteros tales que

ap + bp + cp ≡ 0 (mod q),

entonces q | abc en Z.

En esta situacion se verifica el Caso I del Ultimo Teorema de Fermat paraexponente p.


Vamos a tratar ahora el Ultimo Teorema de Fermat para el caso en el queel exponente es 5:

Teorema 4.3. No hay tres enteros coprimos x, y y z distintos de ceros talesque satisfacen la ecuacion

x5 + y5 + z5 = 0

Antes hablaremos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet y de Adrien-Marie Le-gendre, ya que jugaron un papel importante en la demostracion de este teorema:

4.2.1. Legendre y Dirichlet

Adrien-Marie Legendre (1752-1833), fue un destacadısimo matematico frances.Hizo importantes contribuciones a la estadıstica, a la teorıa de numeros, al alge-bra abstracta y al analisis matematico. Aparece en la foto de la izquierda, yaque de el solo se preserva este retrato y no hay ninguna fotografıa.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), a la derecha, fue unmatematico aleman. Sus aportaciones mas relevantes se centraron en el campode la teorıa de los numeros, prestando especial atencion al estudio de las series.

El Teorema 4.3 fue demostrado por Dirichlet y Legendre alrededor de 1825. Laprueba de Dirichlet para n=5 se divide en los dos casos definidos por SophieGermain.

El caso I con n=5 puede ser directamente probado por el Teorema deSophie Germain (Teorema 5.1), tomando p=5 y entonces 2p + 1=11.

28

En el Caso II, Dirichlet considera a su vez dos casos a los que llamaremoscaso A y caso B:

• El caso A es el caso en el cual o x o y o z es divisible por 5 y 2.

• El caso B es el caso en el cual o x o y o z es divisible por 5, y otrode ellos es divisible por 2

En Julio de 1825, Dirichlet demostro el caso A para n=5. En Septiembre delmismo ano, Legendre probo el caso B para n=5. Aunque despues de la demos-tracion de este, Dirichlet tambien demostro el caso B extendiendo el argumentopara el caso A.

Vamos a enunciar un teorema de Fermat llamado el Pequeno Teorema deFermat:

Teorema 4.4. Sea p ∈ N primo. Entonces ap ≡ a (mod p)

Con este resultado ya podemos ver la demostracion para el Caso I de Diri-chlet:

Demostracion. El caso para n = 5 puede probarse inmediatamente por el teo-rema de Sophie Germain tomando 2p + 1 como 11.

Una prueba mas metodica es hacerlo de la siguiente manera. Por el PequenoTeorema de Fermat,

x5 ≡ x (mod 5)y5 ≡ y (mod 5)z5 ≡ z (mod 5)

y por lo tanto, x+ y + z ≡ 0 (mod 5).Esta ecuacion muestra que dos de los tres numeros x, y y z son equivalentes

en modulo 5. Veamoslo, x, y y z no pueden ser cero en modulo 5 porque noson divisibles por 5 por la hipotesis del Caso I, por lo que deben de ser de unade estas cuatro posibilidades: ±1 o ±2. Si fuesen los tres diferentes, dos serıanopuestos y por tanto, su suma en modulo 5 serıa cero, y esto no puede ser.Sin perdida de generalidad, x e y pueden ser designados como los dos numerosequivalentes modulo 5. Eso implica la equivalencia:

x5 ≡ y5 (mod 25) (notemos el cambio de modulo)−z5 ≡ x5 + y5 ≡ 2x5 (mod 25)

Sin embargo, la ecuacion x ≡ y (mod 5) tambien implica que

−z ≡ x+ y ≡ 2x (mod 5)y

−z5 ≡ 25x5 ≡ 32x5 (mod 25)

Y ası, combinando los dos resultados y dividiendo ambos lados por x5 obtenemosuna contradiccion, que es la siguiente:

2 ≡ 32 (mod 25)

Por lo tanto, el Caso I para n = 5 ha sido probado.

29

Terminamos la seccion con una anecdota sobre Sophie Germain y Gauss, dequien hablaremos en la siguiente seccion.

Germain mantenıa contacto por cartas con Legendre, Lagrange y Gauss.En un principio, para que le tomaran en serio, se escondıa bajo el nombrede M. LeBlanc, haciendose pasar por hombre. De hecho, lo hizo para poderincorporarse a la Escuela de Paris. Robando esa identidad y vistiendo como unhombre, pudo ası durante algunos anos avanzar en sus conocimientos y exponery presentar sus ideas nuevas.

Pues bien, con Gauss ocurrio lo siguiente: En 1804, despues de leer a CarlFriedrich Gauss en su famoso Disquisitiones Aritmeticae (1801), comenzo a car-tearse con este, bajo pseudonimo de M. Leblanc. Dos anos despues, durante lainvasion napoleonica de Prusia, Gauss conocio su verdadera identidad, cuandoGermain intercedio ante uno de los generales de Napoleon Bonaparte (Pernety),a quien Germain conocıa personalmente, para que le resguardara de cualquierdano tras la ocupacion de la ciudad natal de Gauss, Brunswick. Sophie temıaque Gauss pudiera correr un destino similar al de Arquımedes y le confio aPernety sus temores; este localizo al matematico aleman y le dijo quien era suprotectora (lo que confundio a Gauss ya que nunca habıa oıdo hablar de ella).Entonces Germain le escribio a Gauss una carta en la que admitıa su condicionfemenina; a lo que Gauss contesto lo siguiente:

Pero como describirte mi admiracion y asombro al ver que mi estimadocorresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea en este personaje ilustre que meofrece un ejemplo tan brillante de lo que serıa difıcil de creer. La afinidad porlas ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los numeroses demasiado rara: lo que no me asombra, ya que los encantos de esta cienciasublime solo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.

Pero cuando una persona del sexo que, segun nuestras costumbres y prejuicios,debe encontrar muchısimas mas dificultades que los hombres para

familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene exito al sortearlos obstaculos y penetrar en las zonas mas oscuras de ellos, entonces sin dudaesa persona debe tener el valor mas noble, el talento mas extraordinario y ungenio superior. De verdad que nada podrıa probarme de forma tan meridiana ytan poco equıvoca que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecido mi vidacon tantas alegrıas no son quimeras con la que tu has hecho honor a ellas. Enefecto nada podrıa probar, de una manera mas halagadora y menos equıvoca,que los atractivos de esta ciencia, que han embellecido mi vida con tantas

alegrıas, no son quimeras, como la predileccion con la que usted la ha honrado.

Sin embargo, en 1808 cuando Gauss fue nombrado profesor de astronomıaen la Universidad de Gottingen, el interes del matematico se derivo hacia lasmatematicas aplicadas y ambos dejaron de cartearse.

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5. Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matematico, astronomo,geodesta, y fısico aleman que contribuyo significativamente en muchos campos,incluida la teorıa de numeros, el analisis matematico, la geometrıa diferencial,la estadıstica, el algebra, la geodesia, el magnetismo y la optica. Considerado ��elprıncipe de los matematicos�� y ��el matematico mas grande desde la antiguedad��,Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matematica y dela ciencia, y es considerado uno de los matematicos que mas influencia ha tenidoen la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad aotros conjuntos.

¿Pero que relacion tiene Gauss con Fermat? Pues bien, Gauss asegurabaque para el, el Ultimo Teorema de Fermat no tenıa ningun interes. Pero a sumuerte se encontraron borradores de demostraciones para exponentes 3 y 5. Esdecir, que ahora sabemos que Gauss lo demostro para exponentes n=3 y n=5,usando Z[ω] con ω raız primitiva n-esima de la unidad y sus propiedades defactorizacion. A continuacion daremos una idea, ya que la demostracion es muylarga, de una demostracion para exponente 5 que utiliza uno de los principalesingredientes de la de Gauss: Z[ω], con ω=e

2Πi5 , es dominio euclıdeo.


Teorema 5.1. La ecuacion de Fermat x5 + y5=z5 no tiene solucion si x, y, zson enteros coprimos dos a dos distintos de cero.

Antes de demostrarlo veremos algunas herramientas teoricas que nos serande gran utilidad para entender la demostracion y saber un poco sobre esta intere-sante teorıa. Muchos de los conceptos y resultados que veremos son extensiona cuerpos no necesariamente cuadraticos de lo que hemos visto para cuerposcuadraticos en 3.1.

5.1.1. Numeros algebraicos

Definicion 5.2. Sea α ∈ C. Decimos que α es algebraico si existe un polinomiodistinto de cero P ∈ Z[x] tal que P (α)=0.

Ejemplo 5.3. Veamos algunos ejemplos:

α= 1√2es algebraico ya que 2α2 - 1 =0

β=1 + 3√5 es algebraico ya que (β − 1)3 = β3 − 3β2 + 3β − 6 = 0

Sea α un numero algebraico y sea P ∈ Z[x], P �= 0, tal que P (α)=0 y Ptiene grado mınimo. Dividiendo P por el coeficiente que multiplica a la x de

31

exponente mayor obtenemos un polinomio monico Pα ∈ Q[x], el cual satisfacePα=0, Pα de grado mınimo. Es un polinomio unico y se denomina polinomiomınimo de α.

Recordamos ahora una definicion para enunciar un teorema:

Definicion 5.4. Decimos que un polinomio P ∈ Q[x] es irreducible en Q[x]si P (x) = P1(x)P2(x), con P1 y P2 ∈ Q[x], implica que P1(x) o P2(x) sonconstantes.

Teorema 5.5. Sea P ∈ Z[x] un polinomio monico que satisface P (α)=0. En-tonces P es el polinomio monico de α=0 si y solo si P es irreducible en Q[x].

Definicion 5.6. El grado del polinomio mınimo Pα del numero algebraico α sedenomina grado de α y se denota por deg(α)

La raız p-esima de la unidad ω=e2iπp , con p primo, conectada con la ecuacion

de Fermat xp + yp = zp, proporciona un ejemplo interesante. Para estudiarlo,enunciaremos el siguiente lema, conocido como criterio de Eisenstein:

Lema 5.7. Sea P (x) = xn + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0 con a0, a1, ..., an−1 ∈ Z.

Sea p un primo tal que asumimos que p divide a a0, a1, ..., an−1, mientras quep2 no divide a a0. Entonces P es irreducible en Q[x].

Figura 3:Ferdinand Gotthold Max Eisens-tein (1823-1852) fue un matemati-co aleman. Murio antes de cumplir30 anos y su muerte se debio a latuberculosis. En su corta vida, Ei-senstein realizo numerosas contri-buciones en varios campos de lasmatematicas. Las tres areas prin-cipales en las que realizo aportesfundamentales fueron la teorıa deformas, generalizando los resulta-dos obtenidos por Gauss respectode las formas cuadraticas; las leyesde reciprocidad, con el objetivo degeneralizar los resultados de Gausssobre reciprocidad cuadratica; y lasfunciones elıpticas, campo en el querealizo los desarrollos teoricos masdestacados y que conservan su in-fluencia y actualidad.

Volvemos ahora a ω=e2iπp , con p primo.

Teorema 5.8. Sea ω=e2iπp , con p primo. Entonces ω es algebraico de grado

p− 1. Su polinomio mınimo es Pω(x) = xp−1 + xp−2 + ...+ x+ 1

Definicion 5.9. Para p primo, Pω(x) = xp−1 + xp−2 + ... + x + 1 es llamadopolinomio ciclotomico de grado p.

5.1.2. Enteros algebraicos

Decimos que α es un entero algebraico si es algebraico y su polinomiomınimo Pα(x) tiene coeficientes enteros. En otras palabras, si existena0, a1, ..., ad−1 ∈ Z tal que

αd + ad−1αd−1 + ...+ a1α+ a0= 0 .

Teorema 5.10. Sea α un numero algebraico. Entonces existe k ∈ N tal queβ = kα es un entero algebraico.

Demostracion. Sea Sea Pα(x) = xd + ad−1xd−1 + ...+ a1x+ a0, con

a0, a1, ..., ad−1 ∈ Q, el polinomio mınimo de α. Sea k ∈ N tal queka0=b0, ka1=b1, ..., kad−1=bd−1 ∈ Z. Entonces

kdαd + kd−1bd−1αd−1 + ...+ kd−1b0 = 0

De donde podemos obtener (kα)d+bd−1(kα)d−1+kbd−2(kα)

d−2+...+kd−1b0=0y β = kα es un entero algebraico, como querıamos probar.

Al entero positivo mas pequeno k tal que kα es un entero algebraico se lellama denominador de α y se le denota por den(α).

Ahora vamos a ver una definicion de tipo combinatorio para poder ver otrosresultados:

32

Definicion 5.11. Decimos que el polinomio en n indeterminadasP (x1, x2, ..., xn) con coeficientes en un dominio A es simetrico si

P (xτ(1), xτ(2), ..., xτ(n)) = P (x1, x2, ..., xn)

para alguna permutacion τ de los ındices 1, 2, ..., n.

Para poder demostrar el siguiente resultado enunciaremos un lema que esclasico respecto a polinomios simetricos y que se prueba con tecnicas de tipocombinatorio.

Lema 5.12. Sea P ∈ A[x1, x2, ..., xn] simetrico. Sean

σ1 = x1 + x2 + ...+ xn =∑

i xi

σ2 =∑

i<j xixj

σ3 =∑

i<j<k xixjxk

.

.

.σn = x1x2x3...xn

Entonces P (x1, x2, ..., xn) puede ser escrito como un polinomio en n inde-terminadas σ1, σ2, ..., σn, con coeficientes en A

Teorema 5.13. Sean α y β dos enteros algebraicos. Entonces α+ β y αβ sonenteros algebraicos.

Demostracion. Sean Pα y Pβ los polinomios mınimos de α y β con grados d yn respectivamente. Sean x1=β, x2, ...., xn los ceros de Pβ en C.

Sabemos que Pβ(x)=xn − σn−1xn−1 + σn−2x

n−2 + ...+ (−1)nσn, dondeσ1, σ2, ..., σn son los definidos en el Lema anterior. Ademas, σ1, σ2, ..., σn ∈ Z.Como x1=β, el polinomio Q(x)=Pα(x − x1)Pα(x − x2)...Pα(x − xn) satisfaceQ(α + β)=0. Sus coeficientes son polinomios simetricos en x1, x2, ..., xn, concoeficientes en Z. Entonces, por el Lema 5.12, Q ∈ Z[x], lo cual prueba queα+ β es algebraico. Ademas notemos que α+ β es un entero algebraico porquees monico.

Si ahora tomamos R(x)=(x1 ·x2 · ... ·xn)dPα(

xx1)Pα(

xx2)...Pα(

xxn

), vemos quesatisface R(αβ)=0. Siguiendo el mismo razonamiento anterior llegamos a queαβ tambien es un entero algebraico.

Para terminar esta seccion, daremos un corolario:

Corolario 5.14. Si α y β son numeros algebraicos., entonces α + β y αβtambien lo son. Mas precisamente, el conjunto Q de numeros algebraicos es unsubcuerpo de C.

5.1.3. Cuerpos de numeros algebraicos

Sea K un subcuerpo de C. Entonces 1 ∈ K. Ahora, una facil induccionmuestra que n ∈ K para cada n ∈ N. Por lo que n ∈ K para cada enteroracional n, y finalmente n

m ∈ K para cada numero racional nm . Luego Q ⊂ K.

Como resultado, K es un espacio vectorial sobre Q.

33

Definicion 5.15. Sea K un subcuerpo de C. Decimos que K es un cuerpo denumeros si tiene dimension finita sobre Q. LLamaremos a esta dimension elgrado de K y lo denotaremos d=[K : Q]

Ahora sea α ∈ C un numero algebraico de grado d. Definimos

K=Q(α)={a0 + a1α+ ...+ ad−1αd−1/a0, a1, ..., ad−1 ∈ Q}.

1, α, ..., αd−1 son linealmente independientes sobre Q, es decir, forman unabase. K es un subcuerpo de C y K tiene dimension finita d sobre Q. Por lo queK es un cuerpo de numeros de grado d.

Todos estos ultimos resultados que acabamos de citar no son difıciles dedemostrar y aparecen en cualquier curso basico de estructuras algebraicas.

Veremos ahora algunos ejemplos:

Ejemplo 5.16. Sea α = 1. Entonces K = Q, de grado 1.

Ejemplo 5.17. Sea α=√d, donde d ∈ Z es libre de cuadrado. Entonces

K=Q(√d)={a+ b

√d/a, b ∈ Q}

es un cuerpo cuadratico de orden 2.

Ejemplo 5.18. Sea ω=e2iπp , con p primo impar. Entonces a K=Q(ω) se le

denomina cuerpo ciclotomico.Tenemos que [Q(ω) : Q]=p-1, ya que el polinomio mınimo de ω es, por el

Teorema 5.8 y la Definicion 5.9, el polinomio ciclotomico

Pω(x) = xp−1 + xp−2 + ...+ x+ 1.

Sea K un cuerpo de numeros de grado d. Entonces cada x ∈ K es algebraicode grado no mayor que d, ya que los numeros 1, x, x2, ..., xd son linealmenteindependientes sobre Q,.

Elegimos ahora α1 ∈ K∗. Entonces Q(α1) ⊂ K. Si K = Q(α1), entonceshemos acabado. Si no, hay un α2 ∈ K tal que α2 �∈ Q(α1).

Entonces, si Q(α1, α2) denota al menos subcuerpo de C que contiene a Q,α1) y α2, se tiene que Q(α1, α2) es o esta contenido en K y [Q(α1, α2),Q] >[Q(α1),Q], ya que α2 �∈ Q(α1).

Por induccion obtenemos una secuencia creciente de subespacios vectorialesde K. Como K tiene dimension finita sobre Q, existen α1, α2, ..., αn ∈ K talesque K = Q(α1, α2, ..., αn).

Un resultado notable es que, de hecho, α1 puede ser elegido de tal maneraque n = 1. Se conoce como el Teorema del elemento primitivo:

Teorema 5.19. Sea K un cuerpo cuadratico. Entonces existe θ ∈ K tal queK = Q(θ).

5.1.4. Conjugados, normas y trazas

Sea K un cuerpo de numeros de grado d. Decimos que σ : K → C es unmonomorfismo de K si σ es un homomorfismo que deja a Q igual, que no locambia. En otras palabras,

34

σ(x+ y) = σ(x) + σ(y) para cada (x, y) ∈ K2

σ(xy) = σ(x) σ(y) para cada (x, y) ∈ K2

σ(r)=r para cada r ∈ Q

En particular, si consideramos σ como una aplicacion del Q-espacio vectorial Kal Q-espacio vectorial C, entonces σ es una aplicacion lineal.

Recordemos un resultado ya conocido de un curso basico de estructurasalgebraicas:

Teorema 5.20. En cada cuerpo de numeros K de grado d, existen exactamented monomorfismos σ1, σ2, ..., σd. Si θ es algun elemento primitivo de K esosmonomorfismos son definidos por σi(θ) = θi, donde θ1 = θ, θ2...., θd son lasraıces del polinomio mınimo de θ.

Definicion 5.21. Para cada x ∈ K, los numeros x=σ1(x), σ2(x), ..., σd(x) sedenominan conjugados de x.

Ejemplo 5.22. Sea K = Q(√d) un cuerpo cuadratico. Aquı θ =

√d, Pθ(x) =

x2 − d, θ1 = θ =√d, θ2=−√

d.

Por lo que σ1(a+ b√d) = a+ b

√d y σ2(a+ b

√d) = a− b

√d, lo cual significa

que σ1 es la identidad en K, mientras que σ2(x) es el conjugado x∗ de x.

Sea K un cuerpo de numeros de grado d, y sean σ1 = Id, σ2, ..., σd los dmonomorfismos de K. Para cada x ∈ K, se define la norma de x denotada porN(x) como

N(x)=σ1(x)σ2(x)...σd(x) (7.2)

y la traza de x denotada por T (x) como

T (x)=σ1(x) + σ2(x) + ...+ σd(x) (7.3)

Si x ∈ Q, entonces σi(x) = x para todo i, y ademas N(x) = xd.

Ejemplo 5.23. Sea K = Q(√d) un cuerpo cuadratico.

Hemos visto en el Ejemplo 5.22 que σ1(a+ b√d) = a+ b

√d y σ2(a+ b

√d)

= a− b√d.

Ademas N(a+ b√d) = a2 − db2 y T (a+ b

√d) = 2a.

Ası que la norma y la traza definidas en K son una extension de las quehemos visto en cuerpos cuadraticos.

Ejemplo 5.24. Sea K = Q( 3√d), donde d es libre de cubos. Decimos que K

es un cuerpo cubico, es decir, de grado 3. Incluso lo llamamos cuerpo cubicopuro, ya que tiene un elemento primitivo de la forma 3

√d.

Aquı θ = 3√d, Pθ(x) = x3 - d, θ1 = θ, θ2 = jθ, θ3 = j2θ, con j = e

2iΠ3 .

Ahora tomamos x ∈ K, x = a+ bθ + cθ2, con a, b, c ∈ Q. Entonces

N(x) = (a+ bθ + cθ2)(a+ bjθ + cj2θ2)(a+ bj2θ + cjθ2)= (a2 − bcd+ (c2d− ab)j2θ + (b2 − ac)jθ2)(a+ bj2θ + cjθ2)

Ademas,

N(a+ b 3√d+ c 3

√d2) = a3 + db3 + d2c3 − 3abcd (7.4)

35

Un calculo similar muestra que

T (a+ b 3√d+ c 3

√d2) = 3a (7.5)

Teorema 5.25. Sea K un cuerpo de numeros de grado d. Entonces, para cadax ∈ K, N(x) ∈ Q y T (x) ∈ Q. Ademas para cada (x, y) ∈ K2,

T (x+ y) = T (x) + T (y),N(xy) = N(x)N(y),N(x) = 0 ⇔ x = 0.

Observamos que estas propiedades de la norma y la traza ya se cumplıan encuerpos cuadraticos.

5.1.5. Anillos de enteros de un cuerpo de numeros

Sea K un cuerpo de numeros de grado d. Hemos visto que cada α ∈ K esalgebraico de grado menor que d. Decimos que x es un entero de K si x ∈ K

es un entero algebraico, es decir, si Pα tiene coeficientes enteros racionales (esdecir, enteros de Z).

El conjunto AK de todos los enteros de K es un anillo al cual llamaremos elanillo de enteros de K.

Observamos que, si α ∈ AK, entonces N(α) ∈ Z y T (α) ∈ Z. De hecho, Pα(α)= 0 implica que Pα(σi(α)) = 0 para cada monomorfismo σi de K. Ademas σ1(α),σ2(α), ..., σd(α) son enteros algebraicos, y N(α) y T (α) son enteros algebraicos.Como N(α) ∈ Q y T (α) ∈ Q por el Teorema 5.25, y se deduce que N(α) ∈ Z

y T (α) ∈ Z.

Si K = Q(√d) es un cuerpo cuadratico, el anillo AK es dado por el Teorema

3.6. Veamos ahora el anillo de enteros del cuerpo ciclotomico K = Q(e2iΠp ) que

tambien esta conectado con la ecuacion de Fermat.

Teorema 5.26. Sea K = Q(ω), con ω = e2iΠp donde p es un primo impar.

Entonces

AK = Z(ω) = {a0 + a1ω + ...+ ap−2ωp−2/ai ∈ Z}

5.1.6. Unidades

Sea AK el anillo de enteros de un cuerpo de numeros K. Recordamos que de-cimos que ε ∈ AK es una unidad de AK si ε es inversible en AK. Generalizaremosel Teorema 3.9 usando el siguiente Lema:

Lema 5.27. Sea K un cuerpo de numeros de grado d y sean σ1 = Id, σ2, ...,σ,d los d monomorfismos de K. Entonces para cada x ∈ AK, σ1(x), σ2(x), ...,σ,d(x) ∈ AK, y ademas x divide a N(x) en AK.

Ahora daremos el teorema que generaliza el Teorema 3.9 y que se prueba dela misma manera.

Teorema 5.28. Sea A×Kel grupo de unidades del anillo de enteros AK del cuerpo

de numeros K. Entonces para cada ε ∈ AK, ε ∈ A×K

si y solo si | N(ε) | = 1.

36

El grupo de unidades AK es dado por el Teorema 3.10 cuando K es un cuerpocuadratico imaginario, y por el Teorema 3.14 cuando K es cuerpo cuadraticoreal. En el caso general, es un problema difıcil determinar A×

Kpara un cuerpo

de numeros K. Sin embargo, en el caso de los cuerpos ciclotomicos, tenemos elsiguiente resultado, el cual es conocido como Lema de Kummer (de quienhablaremos en otra seccion) :

Lema 5.29. Sea K = Q(ω), con ω = e2iΠp donde p es un primo impar. Entonces

las unidades de AK son de la forma ε = ωkη, donde k ∈ N y η es una unidadreal.

Ejemplo 5.30. Sea K = Q(ω), ω = e2iΠ5 . Para encontrar las unidades de AK,

buscamos unidades reales. Vamos a ver a continuacion como se buscan.

De hecho, la estructura general de grupo de unidades de AK es muy simple.Es dada por el Teorema de Unidades de Dirichlet, que es el siguiente:

Teorema 5.31. Sea K un cuerpo de numeros. Entonces existen unidadesη1, η2, ..., ηk (llamadas unidades fundamentales) tal que cada ε ∈ A×

Kpuede

ser unicamente escrito como ε = ζηn11 ηn2

2 , ..., ηnk

k , donde ni ∈ Z para cada i, yζ es una raız de la unidad perteneciente a AK.

5.1.7. Discriminantes y bases integrales

Sea K = Q(θ) un cuerpo de numeros de grado d. Entonces (1, θ, ..., θd−1) esuna base del Q-espacio vectorial K.

Mas generalmente, sea (α1, α2, ..., αd) alguna base del Q-espacio vectorial K.Definimos su discriminante �(α1, α2, ..., αd) por

�(α1, α2, ..., αd) = (D[α1, α2, ..., αd])2,

con

D[α1, α2, ..., αd] =

∣∣∣∣∣∣∣

σ1(α1) σ1(α2) σ1(αd)σ2(α1) σ2(α2) σ2(αd)

. . .

. . .

. . .

σd(α1) σd(α2) σd(αd)

∣∣∣∣∣∣∣

donde los σi son los d monomorfismos de K.

Lema 5.32. Sea K = Q(θ) un cuerpo de numeros de grado d, y sea Pθ elpolinomio mınimo de θ. Entonces

�(1, θ, ..., θd−1) = (−1)d(d−1)

2 N(P ′θ(θ))

donde P ′θ denota la derivada de Pθ.

Lema 5.33. Sea K = Q(θ) un cuerpo de numeros de grado d. Sean (α1, α2, ..., αd)y (β1, β2, ..., βd) dos bases del Q-espacio vectorial K.

Supongamos que αj =∑d

i=1 cijβi, con cij ∈ Q. Entonces

�(α1, α2, ..., αd) = (det(cij))2 �(β1, β2, ..., βd)

Recordamos ahora la nocion de ideal:

Definicion 5.34. Sea I un subgrupo de (AK,+). Decimos que I es un ideal deAK si satisface que para cada x ∈ I y para cada y ∈ AK, xy ∈ I.

37

Teorema 5.35. Sea K = Q(θ) un cuerpo de numeros de grado d. Sea I �= {0}un ideal de AK. Entonces existen α1, α2, ..., αd ∈ I, linealmente independientessobre Q tal que

I = {n1α1 + n2α2 + ...+ ndαd/n1, n2, ..., nd ∈ Z}En otras palabras, cada elemento del ideal I puede ser escrito como una

combinacion lineal, con coeficientes en Z, de α1, α2, ..., αd. Notemos que I esun grupo abeliano generado por α1, α2, ..., αd. Diremos que (α1, α2, ..., αd) esuna Z-base de I y que I es de rango d.

Ahora sean (α1, α2, ..., αd) y (β1, β2, ..., βd) dos bases del ideal I. Podemos

encontrar cij ∈ Z y c′ij ∈ Z tal que αj =∑d

i=1 cijβi y βj =∑d

i=1 c′ijαi.

Entonces las matrices cuadradas C=(cij) y C ′ = (c′ij) satisfacen C ′ = C−1.

Tomando determinantes tenemos det(C)det(C ′) = 1. Ademas, det(C) ∈ Z ydet(C ′) ∈ Z, por lo que det(C)= ±1.

Consecuentemente el Lema 5.34 implica que�(α1, α2, ..., αd) = �(β1, β2, ..., βd). Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 5.36. Sea I un ideal del anillo AK de enteros de un cuerpo numericoK. Al entero natural �(I) = �[α1, α2, ..., αd], el cual no depende de las bases(α1, α2, ..., αd) de I, se le denomina discriminante de I.

El Teorema 5.36 y la definicion anterior, se aplican en particular cuandoI = AK. Entonces el anillo de enteros AK del cuerpo de numeros K es un grupoabeliano de rango d.

A una Z-base (α1, α2, ..., αd) de AK se le llama una base integral de K. Eldiscriminante de K viene definido por

�(K) = �(AK) = �[α1, α2, ..., αd]

Como ya hemos dicho, no depende de la eleccion de la base integral (α1, α2, ..., αd).

Ejemplo 5.37. Sea K = Q(√d) un cuerpo cuadratico. Por el Teorema 3.6,

AK = Z(√d) si d ≡ 2 (mod 4) o d ≡ 3 (mod 4),

AK=Z( 1+√d

2 ) si d ≡ 1 (mod 4)

Entonces, (1,√d) es una base integral de K si d ≡ 2 (mod 4) o d ≡ 3 (mod 4)

y (1, 1+√d

2 ) es una base integral de K si d ≡ 1 (mod 4). Por lo que

Si d ≡ 2 (mod 4) o d ≡ 3 (mod 4),

�(K) =∣∣∣ 1

√d

1 −√d

∣∣∣2

= 4d

Si d ≡ 1 (mod 4),

�(K) =

∣∣∣∣1 1+

√d

2

1 1−√d

2

∣∣∣∣

2

= d

38

Ejemplo 5.38. Sea K = Q(ω), donde ω = e2iΠp con p primo impar, un cuerpo

ciclotomico. El Teorema 7.13 muestra que AK = Z(ω) y ademas (1, ω, ..., ωp−2)es una base integral de K. Por el Lema 5.33,

�(K)=(−1)(p−1)(p−2)/2 N(P ′ω(ω))

Sin embargo, Pω(x) = (1− xp)/(1− x), por lo que P ′ω(ω) = −pωp−1/(1− ω).

Entonces, como N(1 − ω) = p, N(ω) = 1, N ′(Pω(ω)) = N(−p)N(ω)p−1

N(1−ω) =

(−p)p−1

p .

Finalmente, como (−1)p−2=-1, obtenemos

�(K) = (−1)p−12 pp−2

5.1.8. Demostracion para exponente 5

Para probarlo, Gauss trabaja con el anillo AK de enteros del cuerpo ci-clotomico K=Q(ω), con ω=e

2iΠ5 . Antes de demostrarlo, veamos dos lemas:

Lema 5.39. Sea ω=e2iΠ5 , K=Q(ω). Entonces AK es un dominio euclıdeo. En

otras palabras, para cada (a, b) ∈ AK × A∗K, existen (q, r) ∈ A2

Ktal que a=bq+ r

y |N(r)| < |N(b)|.

Lema 5.40. Sea ω=e2iΠ5 , K=Q(ω). Sea ε una unidad de AK, tal que ε ≡ k

(mod 5), k ∈ Z. Entonces existe una unidad η ∈ AK, con ε=η5

Ahora, ya podemos probar el Ultimo Teorema de Fermat para exponente 5.

Demostracion. Suponemos que (x, y, z) con x, y, z enteros distintos de cero ycoprimos dos a dos, satisface x5 + y5=z5. Por los resultados de Sophie Germain(Teorema 4.1), sabemos que 5 divide a uno de los tres numeros x, y, z. Sinperdida de generalidad, suponemos que z=5z′, con z′ ∈ Z.

Primer paso: Sea λ=1-ω ∈ AK. Entonces usando 7.2 se puede calcular queN(λ)=5. Como λ |N(λ) por el Lema 7.2, tenemos que x5+y5=5z′5=N(λ)5z′5=λ5(λ′z′)5,con λ′ ∈ AK. Por lo que solo tenemos que probar que la ecuacion

x5 + y5=ελ5kz5

no tiene ninguna solucion (x, y, z) ∈ A∗K, con x, y, z coprimos dos a dos, k ∈

N∗, ε ∈ A×K. Usamos el metodo del descenso sobre el entero k. Escribimos la

ecuacion anterior de la forma

(x+ y)(x+ ωy)(x+ ω2y)(x+ ω3y)(x+ ω4y)=ελ5kz5

En cada anillo AK, N(λ)=5 implica que λ es irreducible en AK. Como AK

es euclıdeo, entonces es un dominio de factorizacion unica y λ es primo en AK.Ademas, λ divide al menos a uno de los numeros x+ωiy, con i=0,1,2,3,4. Pero(x + ωay) - (x + ωby)=yωa(1 − ωb−a) para cada a < b. Tambien tenemos queλ=1−ω divide a (x+ωay) - (x+ωby), lo cual implica que λ divide a todos losnumeros x+ωiy, i=0,1,2,3,4. Por lo tanto, los numeros (x+ωiy)/λ pertenecena AK y son coprimos dos a dos.

39

Segundo paso: Ahora mostramos que λ2 divide a uno de los x+ωiy (y soloa uno, ya que los (x + ωiy)/λ son coprimos dos a dos). Para esto, observamosque (1, λ, λ2, λ3) es una base entera de K, ya que 1, ω=1 - λ, ω2, ω3 pueden serescritas como combinaciones lineales de 1, λ, λ2, λ3 con coeficientes en Z. Ademasexisten ai, bi ∈ Z tal que x=a0 + a1λ+ a2λ

2 + a3λ3 e y=b0 + b1λ+ b2λ

2 + b3λ3.

Entonces tenemos que x ≡ a0 + a1λ (mod λ2) e y ≡ b0 + b1λ (mod λ2), ωi

≡ 1− iλ (mod λ2), i=0,1,2,3,4. Por lo que

x+ ωiy ≡ a0 + b0 + (a1 + b1 − ib0)λ (mod λ2).

Sabemos por el Primer Paso que λ | (x + ωiy). Ası, λ | (a0 + b0). Comoa0 + b0 ∈ Z, tomando normas obtenemos N(λ)=5 | (a0 + b0)

5, lo cual implicaque N(λ) | (a0 + b0). En particular, (1 − ω)(1 − ω4) | (a0 + b0), por lo que−ω4(1−ω)2 | (a0 + b0). Como −ω4 ∈ A×

K, se tiene que λ2 | (a0 + b0), y x+ωiy

≡ a0 + b0 + (a1 + b1 − ib0)λ (mod λ2) se convierte en

(x+ ωiy) / λ ≡ a1 + b1 − ib0 (mod λ)

Pero en Z, b0 �≡ 0 (mod 5). Si no, como λ | 5, λ dividirıa a b0 y ası λdividirıa a a0, y λ dividirıa a x y a y. Por lo que existe i ∈ {

0, 1, 2, 3, 4}tal que

a1 + b1 − ib0 ≡ 0 (mod 5). Ası, como (x+ ωiy) / λ ≡ a1 + b1 − ib0 (mod λ),existe i ∈ {

0, 1, 2, 3, 4}, tal que λ2 | (x+ ωiy). Ahora reemplazando y por ωiy,

si es necesario, en x5 + y5=ελ5kz5, podemos suponer que λ2 | (x+ y).

Tercer paso: Como λ2 | (x+y) y λ | (x+ωiy) para cada i=1,2,3,4, debemostener k ≥ 2 en (x+y)(x+ωy)(x+ω2y)(x+ω3y)(x+ω4y)=ελ5kz5, lo cual puedeser escrito como

(x+ y)× x+ωyλ × x+ω2y

λ × x+ω3yλ × x+ω4y

λ =ελ5k−4z5

Como λ2 no divide a ninguno de los x+ ωiy para i=1,2,3,4, λ5k−4 debe dividira x+ y, y tenemos

x+yελ5k−4 × x+ωy

λ × x+ω2yλ × x+ω3y

λ × x+ω4yλ =z5

Ahora, AK es factorial y cada uno de los factores coprimos dos a dos del ladoizquierdo de la ecuacion deben ser una descomposicion de potencias de 5. Enparticular,

x+ y=e1λ5k−4α5

x+ ωy=e2λβ5

x+ ω2y=e3λγ5

con (e1, e2, e3) ∈ A×3K

, (α, β, γ) ∈ A3K. Ninguno de los numeros α, β, γ es cero,

ya que sino z serıa cero. De las tres ecuaciones vistas ahora, las dos ultimasimplican que x=e3γ

5 − ωe2β5 e y=−ω4e3γ

5 + ω4e2β5, de donde β y γ son

coprimos. Reemplazandolo en la primera ecuacion obtenemos (1+ω)e2β5−e3γ

5

= ωe1λ5(k−1)α5. Dividiendo por (1 + ω)e2, obtenemos

β5 + δγ5=νλ5(k−1)α5,

40

donde δ y ν son unidades de AK. De hecho, (1 + ω) pertenece a A×K

ya que,claramente, (1 + ω) (1 + ω2 + ω4)=1.

Cuarto paso: Ahora, si θ=a0 + a1ω + a2ω2 + a3ω

3 ∈ AK con los ai ∈ Z,entonces

θ5=∑

i1+i2+i3+i4=55!

i1!i2!i3!i4ai10 (a1ω)

i2(a2ω2)i3(a3ω

3)i4 ,

lo cual implica que θ5 ≡ a50+a51+a52+a53 (mod 5). Por lo que θ5 es congruentea algun entero racional modulo 5. En particular que λ=1 − ω implica que λ5

≡ 0 (mod 5). Ahora reducimos β5 + δγ5=νλ5(k−1)α5 a modulo 5 y obtenemosA+ δB ≡ 0 (mod 5), con (A,B) en Z2. Pero B �≡ 0 (mod 5). De otro modo,A ≡ 0 (mod 5) y β y γ no serıan coprimos. Ası existe C en Z tal que BC ≡ 1(mod 5), y por tanto δ ≡ D (mod 5), con D en Z. Por el Lema 5.40, existeη unidad de AK tal que δ=ν5, que reemplazandolo en β5 + δγ5=νλ5(k−1)α5 seobtiene

β5 + (ηγ)5=νλ5(k−1)α5.

Comparandolo a x5 + y5=ελ5kz5, vemos que el teorema esta probado pordescenso infinito sobre k.

41

6. Gabriel Lame

Pere de Gabriel Leon Jean Baptiste Lame (1795-1870) fue un matematicofrances. Lame trabajo en una amplia variedad de temas diferentes. Los proble-mas comunes en las tareas de ingenierıa que abordo le condujeron al estudio decuestiones matematicas. Por ejemplo, su trabajo en la estabilidad de bovedasen el diseno de la suspension de puentes le llevo a trabajar en la teorıa de laelasticidad. De hecho, esto no fue un interes pasajero, ya que Lame hizo contri-buciones sustanciales en este tema. Otro ejemplo es su trabajo en la conduccionde calor, del que dedujo la teorıa de coordenadas curvilıneas. Su contribucionmas significativa a la ingenierıa fue el definir de manera precisa las tensiones yla capacidad mecanica de las uniones a compresion mediante pasadores (comolos roblones), habituales por entonces en todo tipo de construcciones metalicas.

¿Pero que relacion tiene Lame con Fermat? Pues bien, en 1839 demostroel Ultimo Teorema de Fermat para el caso con exponente 7. Para ello uso elcuerpo ciclotomico de grado 7. Ademas en 1847, en una reunion de la Academiade Parıs, Lame anuncio que habıa logrado demostrar el Ultimo Teorema deFermat en el caso general. Uso los cuerpos algebraicos ciclotomicos generales ysus anillos de enteros. Pero no lo consiguio demostrar, cometio el error de pensarque eran dominios de factorizacion unica como Z.

6.1. Error de Lame

Las reuniones de la Academia de Parıs y la Academia Prusiana en Berlınalrededor del ano 1847 cuentan una dramatica historia sobre el Ultimo Teoremade Fermat.

La historia comienza en marzo, cuando Lame se presento en la Academia deParıs anunciando que lo habıa resuelto de forma general, que habıa encontradouna demostracion. La breve descripcion de la demostracion que dio era, aunqueno se habıa dado cuenta, lamentablemente erronea.

Figura 4:Joseph Liouville (1809-1882) fueun matematico frances nacido enSaint-Omer. Fue profesor de la Es-cuela Politecnica en Parıs en 1833.En 1836 fundo un diario de ma-tematicas, “Journal de Matemati-ques Pures et Appliquees”, que to-davıa existe hoy en dıa. Este diario,conocido a veces como el “Journalde Liouville”, dio a conocer muchode las matematicas de Francia, atraves del siglo XIX.

Sin embargo, esta ingeniosa idea es fundamental para el desarrollo posteriorde la teorıa. Las demostraciones para los casos n=3,4,5,7 ya hemos visto quehan sido encontradas usando la factorizacion de anillos de enteros algebraicos.Lame noto que xn + yn se podrıa descomponer completamente en n factoreslineales. Esto podrıa llevarse a cabo introduciendo un numero complejo r talque rn=1 y usando la identidad algebraica (que ya aparecıa en la demostracionde Gauss)

xn + yn=(x+ y) (x+ ry) (x+ r2y) ... (x+ rn−1y) con n impar

Esto es ası porque si n es impar e y �=0, entonces (xy )n + 1 = 0 es una ecuacion

en xy que tiene por raıces las raıces n-esimas de −1. Si r es una n-primitiva de

la unidad, estas raıces son (−1)ri con i=0,1, ..., n-1, que son todas distintas.

43

Ası que (xy )n + 1 = (xy +1) (xy + r) ... (xy + rn−1), es decir, que xn+ yn=(x+ y)

(x+ ry) ... (x+ rn−1y)

La idea de Lame era usar las tecnicas que habıan sido utilizadas en el pasadopara la factorizacion de xn+yn (en casos especiales). Para ello, planeo demostrarque si los factores (x+ y), (x+ ry), (x+ r2y), ...,(x+ rn−1y) son coprimos dosa dos, entonces xn + yn=zn implica que cada uno de esos factores debe ser ensı mismo una potencia n-esima y de esto se podrıa deducir por el metodo deldescenso infinito, una contradiccion, como ya hemos visto en la demostracionpara n=5.

Sin dudar por un momento de que la idea de introducir numeros complejosera la llave que abrirıa la puerta del Ultimo Teorema de Fermat, Lame, en-tusiasmado, dijo a la Academia que todo el merito no era suyo, pues la ideahabıa surgido en una conversacion con su colega Liouville algunos meses antes.Liouville por su parte, no compartıa el entusiasmo de Lame, y tomo la palabrauna vez que Lame termino su presentacion, y empezo a generar algunas dudassobre la demostracion propuesta. Se nego a aceptar merito alguno en la idea deintroducir numeros complejos, senalando que muchos otros matematicos, entreellos Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy y sobre todo Jacobi, habıan usado nume-ros complejos de forma similar en el pasado, y practicamente dijo que la idea deLame era una de las primeras ideas que le surgen a un matematico competentecuando aborda el problema por primera vez.

Y aun mas, Liouville observo que la demostracion propuesta por Lame tenıalo que parecıa un enorme fallo en ella. Pregunto si Lame podrıa demostrar quecada factor era una potencia n-esima si todo lo que habıa mostrado era que losfactores eran coprimos dos a dos y que su producto era una potencia enesima.Claro que esta conclusion podrıa ser valida en el caso de los enteros ordinarios,pero su demostracion depende de la factorizacion de enteros en factores primosy no es en absoluto evidente que las tecnicas necesarias se puedan aplicar a losnumeros complejos que Lame estaba usando. Por lo que Liouville sentıa que elentusiasmo no estaba justificado a menos que estos asuntos se resolvieran.

Cauchy, que tomo la palabra despues de Liouville, parecıa creer que habıaalguna probabilidad de que Lame tuviera exito, aunque tambien senalo que elmismo habıa presentado a la Academia, en Octubre de 1846, una idea la cualcreıa que podrıa llevar a una demostracion del Ultimo Teorema de Fermat, perono habıa encontrado el tiempo suficiente para poder desarrollarla mas.

Figura 5:Augustin Louis Cauchy (1789-1857) fue un matematico francesnacido en Parıs. Se desempeno co-mo ingeniero militar y en 1810llego a Cherbourg para participaren la invasion a Inglaterra. En 1813regreso a Parıs y ocupo diversospuestos en la Facultad de Ciencias,El Colegio de Francia y La Escue-la Politecnica. En 1814 publico lamemoria de la integral definida quellego a ser la base de la teorıa de lasfunciones complejas.

En los encuentros de las semanas proximas se siguieron desarrollando lasideas de Cauchy y Lame. Este ultimo admitio la crıtica de Liouville, pero nocompartıa sus dudas sobre la veracidad de la factorizacion de los enteros que lesurgıan en factores primos. Afirmaba que sus lemas dan un metodo de factoriza-cion de numeros complejos y que todos sus ejemplos confirmaban la existenciade factorizacion unica en primos. Estaba seguro de que ”no puede haber unobstaculo insuperable entre una verificacion tan completa y una demostracionverdadera”.

El 22 de marzo de 1847, Cauchy y Lame depositaron “paquetes secretos”en la Academia. El deposito de “paquetes secretos” era una tradicion de laAcademia, la cual permitıa a los miembros mostrar la originalidad de sus ideasde forma anonima.

Semanas despues, Cauchy y Lame publicaron sendos artıculos en la Acade-

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mia. Estos artıculos fueron no concluyentes porque no demostraban el proble-ma. El 24 de mayo, Liouville leyo una carta de Kummer, a quien veremos enla siguiente seccion, que puso fin a la polemica. En ella, Kummer mostraba suacuerdo con la crıtica de Liouville respecto a la factorizacion unica, y no soloaseguraba que la trataban de modo incorrecto, sino que tres anos antes habıademostrado que la factorizacion unica falla en los casos usados por Lame.

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7. Ernst Kummer

Ernst Eduard Kummer (1810-1893) fue un matematico aleman. Altamentecapacitado para las matematicas aplicada, Kummer entreno en balıstica a oficia-les de la armada alemana; tras esto, enseno durante 10 anos en un Gymnasium(el equivalente aleman a un instituto). Se retiro de la ensenanza y la matemati-ca en 1890. Realizo contribuciones en areas diversas; codifico algunas de lasrelaciones entre series hipergeometricas diferentes (relaciones de contiguidad).

En cuanto al Ultimo Teorema de Fermat, lo probo para una clase de expo-nentes primos. Con el aparecera el termino ’ideal’.

Se encontro con el Ultimo teorema de Fermat en los intentos de generalizarla ley de reciprocidad cuadratica y estudiar leyes de reciprocidad superiores.Mientras que a esta las describio como “el sujeto principal y el pinaculo de lateorıa contemporanea de numeros”, consideraba al Ultimo Teorema de Fermatuna “curiosidad de la teorıa de numeros en lugar de un elemento importante”.

La idea de factorizacion unica es un concepto familiar en los numeros enteros,y muchas de las propiedades de los numeros enteros dependen de ella. El fracasode factorizacion unica en el anillo de los enteros de ciertos cuerpos ciclotomicosfue lo que motivo a Ernst Kummer a desarrollar su teorıa de ideales. Veremosun poco de ella a continuacion.

Cabe destacar que Kummer realizo el avance mas importante en este pro-blema desde Fermat hasta la mitad del siglo XX. Probo el Ultimo Teorema deFermat para un tipo de primos (los regulares), de los que, sin embargo, no sesabıa si eran un conjunto infinito. Hoy se sabe ya que sı son infinitos.

7.1. Ideales

7.1.1. Ideales fraccionales e ideales de un cuerpo numerico

Sea K=Q(ω) un cuerpo de numeros, y sea AK el anillo de sus enteros. Seanα1, α2, ..., αn ∈ K. El ideal fraccionario generado por α1, α2, ..., αn sedefine como

A=< α1, α2, ..., αn > = {x1α1 + x2α2 + ...+ xnαn/xi ∈ AK} (8.1)

En otras palabras, A es como el “AK-espacio vectorial” generado por α1, α2, ...,αn. Lo que ocurre es que AK no es un cuerpo, es un anillo, y por tanto no sepuede llamar ası aunque se parece en ciertos aspectos (se le dice AK-modulo).Denotamos por F (K) al conjunto de todos los ideales fraccionales de K.

Si los generadores α1, α2, ..., αn de A pertenecen a AK, entonces notemosque A es un ideal, en el sentido de la Definicion 5.34, es decir, satisface:

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∀ x, y ∈ A, x-y ∈ A

(8.2)

∀ x ∈ A, ∀ y ∈ AK, xy ∈ A

A los ideales que cumplan estas condiciones, los llamaremos ideales integralesde AK. Observemos que cualquier subconjunto A de AK el cual satisfaga las dosanteriores condiciones, es un ideal fraccionario en el sentido de (8.1) por elTeorema 5.35. Denotamos por J(AK) el conjunto de todos los ideales de AK.

Ahora, sean A=< α1, α2, ..., αn > y B=< β1, β2, ..., βm > dos ideales frac-cionales de K. Definimos entonces

A+B={a+ b / a ∈ A, b ∈ B}AB={∑q

i=1 aibi / q ∈ N∗, ai ∈ A, bi ∈ B}Entonces A+B y AB son ideales fraccionales de K y de hecho

A+B=< α1, α2, ..., αn, β1, β2, ..., βm >

(8.3)

AB=< α1β1, ..., α1βm, ..., αnβ1, ..., αnβm >

Ejemplo 7.1. Consideramos el cuerpo cuadratico K=Q(i√5).

Sean

A=< 3, 1 + i√5 >, B=< 3, 1− i

√5 >.

Entonces A+B=< 3, 1+ i√5, 1− i

√5 >. Ademas 2=(1+ i

√5) + (1− i

√5)

∈ (A + B), por lo que 1=3-2 ∈ (A + B). Ası, AK=< 1 > ⊂ (A + B). Como(A+B) ⊂ AK, entonces A+B=AK.

Similarmente, AB=< 9, 3(1−i√5), 3(1+i

√5), 6 > por (8.3). Ademas 3=9-6

∈ (AB) y < 3 > ⊂ (AB). Ahora, para cada x ∈ (AB),

x=x19 + x23(1− i√5) + x33(1− i

√5) + x46, con xi ∈ AK

Por consiguiente, x=3(3x1 + (1− i√5)x2 + (1− i

√5)x3 + 2x4) ∈ < 3 >, y

(AB) ⊂ < 3 >. Por lo que finalmente concluimos que AB=< 3 >. Notemostambien que A y B son ideales de AK.

Definicion 7.2. Decimos que un ideal fraccionario es principal si tiene soloun generador, es decir, si A=< a >, para algun a ∈ K

Sabemos que < a > =< ab >. Ası, multiplicar elementos de K equivalea multiplicar los correspondientes ideales principales de K. Tambien podemosver que (F (K),+) no es un grupo. Sin embargo la suma de ideales es conmutativay < 0 > es el elemento neutro. Solo < 0 > tiene inverso, sin embargo:

Teorema 7.3. F (K)∗ es un grupo abeliano bajo multiplicacion. El elementoneutro es < 1 >=AK.

Ejemplo 7.4. Como en el ejemplo anterior, tomamos K=Q(i√5),

A=< 3, 1+ i√5 >, B=< 3, 1− i

√5 >. Hemos visto que AB=< 3 >, por lo que

AB=< 3 > < 1 >.

Ademas, AB < 13 >=< 1 > y A−1=< 1

3 > B=< 1, 1−i√5

3 >.

Notemos que la multiplicacion es distributiva sobre la suma en F (K).

48

7.1.2. Aritmetica en J(AK)

Sean A, B ∈ J(AK) dos ideales (integrales). Decimos que A divide a B ylo denotamos por A | B, si existe C ∈ J(AK) tal que AC=B.

Teorema 7.5. Sean A, B ∈ J(AK). Entonces A | B si y solo si B ⊂ A.

Demostracion. Veamos las dos implicaciones:

Asumimos primero que A | B. Entonces B=AC, con C ∈ J(AK). Sin em-bargo, AC ⊂ A por (8.2). Luego B ⊂ A.

Analogamente, asumimos ahora que B ⊂ A. Si A=< 0 >, entonces B=< 0 >y claramente A | B. Si por el contrario, no lo es, entonces A es inversible enF (K)∗ por el Teorema 7.3 y como B ⊂ A, se mantiene que BA−1 ⊂ AA−1

= < 1 >. Consecuentemente BA−1 ⊂ AK y C=BA−1 ∈ J(AK). FinalmenteBA−1=C implica B=AC.

Sean A, B ∈ J(AK). El maximo comun divisor D=MCD(A,B) estadefinido por: D | A, D | B, y si D′ | A y D′ | B, entonces D′ | D.

Teorema 7.6. Sean A, B ∈ J(AK). Entonces MCD(A,B)=A+B.

Demostracion. Tenemos que A ⊂ (A+B) y B ⊂ (A+B), ya que 0 ∈ A y 0 ∈B. Luego (A + B) | A y (A + B) | B por el Teorema 7.5. Es mas, si D′ | A yD′ | B, entonces A+B=D′A′ + D′B′=D′ (A′ +B′), lo cual significa que D′ |(A+B), por lo que queda demostrado.

Sean A, B ∈ J(AK). Decimos que A y B son coprimos siMCD(A,B)= < 1 >, en otras palabras, si A+B=< 1 > por el teorema anterior.Esto generaliza la identidad de Bezout. De hecho, si A y B son ideales principalesde AK, A=< a >, B=, con a, b ∈ AK, entonces

A+B={au+ bv / (u, v) ∈ A2K}

Una consecuencia es el Teorema de Gauss:

Teorema 7.7. Sean A, B, C ∈ J(AK). Asumimos que A | (BC) y que A y Bson coprimos. Entonces A | C.

Definicion 7.8. Decimos que P ∈ J(AK)∗ es primo si P �= < 1 > y si para

cada A ∈ J(AK), A | P implica A=< 1 > o A=P .

Ahora para cada I ∈ J(AK), sea �(I) el discriminante de I. Recordemosque es un entero natural.

Lema 7.9. Sean A, B ∈ J(AK). Entonces B | A implica �(B) | �(A). Ademas,si B | A y �(B)=�(A), entonces A=B.

Ahora ya podemos enunciar y demostrar el Teorema Fundamental de laArimetica en J(AK):

Teorema 7.10. Cada A ∈ J(AK), A �= < 0 >, A �= < 1 > es un producto deideales primos. Esta expresion es unica, pero hay que tener en cuenta que sepueden reordenar los factores.

49

Demostracion. Primero tenemos que probar que A puede ser expresada comoun producto de primos. Sea P1 �= < 1 > un divisor de A con discriminantemınimo. Entonces P1 es primo, ya que si Q | P1 y Q �= P1, se tiene que �(Q)< �(P1) por Lema 7.9, por lo que Q=< 1 >.

Ponemos ahora A=P1A1, A1 ∈ J(AK). Tenemos que A1 �= A ya queP1 �= < 1 >. Ademas, �(A1) < �(A) por Lema 7.9. Si A1 �= < 1 >, pode-mos argumentar de la misma forma y encontrar A2 ∈ J(AK) tal que �(A2) <�(A1), y ası sucesivamente. Como una sucesion de enteros naturales no puedeser infinitamente decreciente, entonces existe n ∈ N∗ tal que An = < 1 > y A= P1P2...Pn.

Ahora asumimos que A = P1P2...Pn=P ′1P

′2...P

′m donde las Pi y las Pj son

primas. Si P1 y P ′1 son coprimas, entonces P1 | P ′

2...P′m por el Teorema de Gauss

que correponde al Teorema 7.7, y los mismos argumentos muestran que existei tal que P1 | P ′

i y por ser Pi primo se tiene que P1=P ′i . Reordenando los P ′

i

podemos suponer que es P ′1.

Despues de la simplificacion, obtenemos que P2...Pn=P ′2...P

′m, y por induc-

cion tenemos que m=n, P ′i=Pi para cada i, lo cual muestra que la factorizacion

es unica.

7.1.3. Norma de un ideal

Sea A un ideal de AK. Decimos que a ≡ b (mod A) si a− b ∈ A. Esto es unarelacion de equivalencia en AK. El conjunto de clases de equivalencia es elanillo cociente AK/A.

Lema 7.11. Sea A ∈ J(AK). Entonces

A es primo ⇔ AK/A es un dominio de integridad.

Teorema 7.12. Sea A ∈ J(AK), A �= < 0 >. Entonces AK/A es finito.

Definicion 7.13. Sea A un ideal distinto de cero de AK. La norma de A esdefinida como el numero de elementos de AK/A, es decir,

N(A)=| AK/A |Del Teorema anterior son consecuencia los siguientes tres corolarios que no

demostraremos:

Corolario 7.14. Sea A ∈ J(AK), A �= < 0 >. Entonces

�(A) = (N(A))2 �(K).

Corolario 7.15. Para cada a ∈ A∗K, N(< a >)=| N(a) |.

Corolario 7.16. Sea A ∈ J(AK), A �= < 0 >. Entonces A es prima si y solosi AK/A es un cuerpo.

Notemos que el Corolario 7.15 muestra que N(< 1 >)=1. Analogamente, siN(A)=1, AK/A tiene un unico elemento que es 0. Ası cada x ∈ AK es congruentea 0 (mod A), por lo que x ∈ A. En consecuencia, AK ⊂ A y, como A ⊂ AK,A=AK=< 1 >. Consecuentemente,

∀ A ∈ J(AK)∗, N(A)=1 ⇔ A=< 1 >=AK.

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Otro resultado de interes es que

∀ A, B ∈ J(AK)∗, N(AB) = N(A)N(B)

Ejemplo 7.17. Sea K= Q(i√5), A=< 3, 1 + i

√5 >, B=< 3, 1 − i

√5. Por el

Ejemplo 7.1 sabemos que AB=< 3 >. AdemasN(A)N(B) = N(< 3 >) = N(3) = 9. Por lo tanto, N(A)=1, 3 o 9. Pe-ro N(A)=1 es imposible ya que A �= < 1 >. De hecho A=< 1 > implicarıaB=< 3 >, lo cual es imposible porque N(3)=9 que no divide a N(1− i

√5)=6.

Similarmente, N(A)=9 es imposible ya que B �= < 1 >. Por consiguiente,N(A)=3.

Notemos que siN(A) es primo, entonces A es primo. Este es el caso, por ejemplo,de los ideales A y B del ejemplo anterior. Ası, la factorizacion del ideal principal< 3 > como un producto de primos es < 3 >=< 3, 1 + i

√5 > < 3, 1 − i

√5 >.

Deberıamos recordar que el anillo AK=Z(i√5) no es un dominio de factorizacion

unica.

7.2. Kummer y el Ultimo Teorema de Fermat

Kummer, como tantos otros, creyo en un momento dado haber encontradouna demostracion al Teorema de Fermat.

Figura 6:Carl Louis Ferdinand von Linde-mann (Hannover, 12 de abril de1852 - Munich, 6 de marzo de 1939)fue un matematico aleman. Es co-nocido por la demostracion en 1882de que el numero Π es un numerotrascendental, es decir, no es cerode algun polinomio con coeficientesracionales.

Al repasar sus argumentos con Ferdinand Lindemann, se dio cuenta de queen ellos habıa un error. Pero ademas de un error, Kummer habıa encontradootra cosa: un nuevo tipo de objetos matematicos, que Kummer llamo ideales.

El desarrollo de los ideales le llevo a identificar los llamados numeros primosregulares. Para entender la definicion de primo regular, hay que decir primero loque se entiende por numero de clases de un cuerpo de numeros. Si al grupo delos ideales fraccionarios F∗

Kle hacemos el cociente con el subgrupo de los idea-

les fraccionarios principales nos da un grupo finito, cuyo cardinal se denominanumero de clases de K o de AK.

Definicion 7.18. Un primo regular es un cierto tipo de numero primo queverifica que no divide el numero de clases del p-esimo cuerpo ciclotomico.

En 1858, Kummer probo la validez de su demostracion para los exponen-tes primos regulares y recibio el Gran Premio de la Academia de Parıs. Masadelante, Kummer probo que los numeros primos no regulares menores que 100son 37, 59 y 67. Para estos numeros obtuvo demostraciones independientes delUltimo Teorema de Fermat, de lo que se deducıa la validez del Ultimo Teoremade Fermat para exponentes enteros menores que 100.

Antes de ver su teorema, del cual vamos a dar su demostracion para el Caso I(en terminos de lo establecido por Sophie Germain en 4.1), veamos los siguienteslemas que se usan en su demostracion y que no son difıciles de probar:

Lema 7.19. Sea K= Q(ω) con ω=e2iΠp . Entonces 1−ω y 1−ωi son asociados

en Z[ω] y ademas, si λ=1− ω, < λ >p−1=.

Lema 7.20. Las unicas raıces de la unidad en K= Q(ω) son ±ωs con s entero.

Lema 7.21. Para cada α ∈ Z[ω], existe a ∈ Z tal que αp ≡ a (mod < λ >p).

Teorema 7.22. Supongamos que p es un primo impar regular. Entonces laecuacion xp + yp=zp no tiene soluciones enteras satisfaciendo p � | x, p � | y, p� | z.

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Demostracion. Consideramos la ecuacion

xp + yp+zp=0 (8.4)

la cual presenta una mayor simetrıa. Como podemos transformar esta ecuaciona la de Fermat cambiando z por −z, es suficiente trabajar con esta ecuacion.Por reduccion al absurdo, supongamos que existe una solucion (x, y, z) dexp + yp+zp=0 con x, y, z enteros coprimos dos y dos y p primo. Factorizamos(8.4) en Q(ω) para obtener

∏p−1j=0(x+ ωjy)=−zp

y pasamos a ideales:∏p−1

j=0 < x+ ωjy >=< z >p (8.5)

Ahora bien, primero establecemos que los factores de la izquierda son co-primos dos a dos. Para ello, suponemos que P es un ideal primo que divide a< x+ ωky > y a < x+ ωly > con 0≤ k < l ≤ p− 1. Entonces P contiene

< x+ ωky > - < x+ ωly > = < yωk(1− ω1−k) >

Ahora 1 − ω1−k es un asociado de 1 − ω=λ y ωk es una unidad, por lo que Pcontiene a yλ. Por otra parte, como P es primo, o P | < y > o P | < λ >. En elprimer caso, P divide a < z > por (8.5). Ahora y y z son enteros coprimos, porlo que existen a, b ∈ Z tal que az+by=1 por la identidad de Bezout. Pero y, z ∈P , y entonces 1 ∈ P , lo que es una contradiccion. Por otra parte, como N(λ)=p,se sigue que < λ > es primo; entonces si P | < λ >, se tiene que P=< λ >. Asıque < λ > | < z > y

p=N(λ) | N(z) = zp−1

luego p | z, que contradice la hipotesis.Como la factorizacion prima de ideales es unica, implica que cada factor de

la izquierda de (8.5) es una potencia p-esima de un ideal, ya que la parte derechaes una potencia p-esima y los factores son coprimos dos a dos. En particular,hay un ideal A tal que

< x+ ωy >=Ap.

Ası, Ap es principal. La regularidad de p significa que p � | h, siendo h el numerode clases de Q(ω), y ası A es principal, y lo escribimos A=< δ >. Se sigue que

x+ ωy = εδp

donde ε es una unidad.Concluimos que

x+ ωy = rωgδp

donde r es real. Ademas, por Lema 7.21 existe a ∈ Z tal que

δp ≡ a (mod < λ >p)

Por eso,

x+ ωy ≡ raωg (mod < λ >p)

Notemos que por Lema 7.19 | < λ >p, y entonces

x+ ωy ≡ raωg (mod )

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Ahora ω−g es una unidad, entonces

ω−g(x+ ωy) ≡ ra (mod )

Tomando complejos conjugados tenemos que

ωg(x+ ω−1y) ≡ ra (mod )

y de aquı, si eliminamos ra, obtenemos la congruencia

xω−g + yω1−g − xωg − yωg−1 ≡ 0 (mod ) (8.6)

que es muy importante.Observamos que 1+ ω es una unidad. Ahora vamos a investigar los posibles

valores de g en (8.6). Suponemos g ≡ 0 (mod p). Entonces ωg=1, los terminoscon x se cancelan, y (8.6) se convierte en

y(ω − ω−1) ≡ 0 (mod )

y

y(1 + ω)(1− ω) ≡ 0 (mod )

Como 1 + ω es una unidad,

yλ ≡ 0 (mod )

Como = < λ >p−1 y p − 1 ≥ 2, entonces tenemos que λ | y. To-mando normas, p | y, lo que contradice la hipotesis. Luego, g �≡ 0 (mod p). Unargumento similar muestra que g �≡ 1 (mod p).

Reescribimos (8.6) de la forma

αp = xω−g + yω1−g − xωg − yωg−1

para algun α ∈ Z[ω]. Notar que por lo anterior, ningun exponente −g, 1− g, g,g − 1 es divisible por p. Tenemos que

α=xpω

−g + ypω

1−g − xpω

g − ypω

g−1

Ahora α ∈ Z[ω] y (1, ω, ..., ωp−1) es una Z-base. Por consiguiente, si los cuatroexponentes son incongruentes modulo p, tenemos que x / p ∈ Z, lo que contra-dice la hipotesis. Entonces algunos pares de exponentes deben ser congruentesmodulo p. Como g �≡ 0, 1 (mod p), la unica posibilidad es que 2g ≡ 1 (mod p).

Pero ahora (8.6) puede ser escrito como

αpωg=x+ yω − xω2g − yω2g−1 = (x− y)λ

Tomando normas conseguimos p | (x− y), entonces

x ≡ y (mod p)

Por la simetrıa de (8.4), tambien tenemos que

y ≡ z (mod p)

y ademas

0 ≡ xp + yp + zp ≡ 3xp (mod p)

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Como p � | x, p=3.Queda por tratar el caso p=3. Notamos que en modulo 9, los cubos de

numeros primos con p (es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) son congruentes o a 1 o a−1. Por lo tanto, en modulo 9 una solucion de (8.4) siendo primos con 3 tienela forma

±1± 1± 1 ≡ 0 (mod 9)

lo cual es imposible. Por lo que p �= 3, lo que es una contradiccion.

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8. Andrew Wiles

Andrew John Wiles, matematico britanico, nacio en 1953 en Cambridge, In-glaterra. Su revolucionario trabajo sobre la modularidad de las curvas elıpticassemiestables sobre Q ha sido uno de los grandes logros matematicos de finalesdel siglo XX. Las ideas de Wiles causaron un tremendo impacto en Teorıa deNumeros, ya que han tenido fuertes consecuencias en algunas de sus principalesareas de investigacion, como las ecuaciones diofanticas. Dada su enorme contri-bucion en el campo de las matematicas, incluyendo la demostracion completa delUltimo Teorema de Fermat, Andrew Wiles ha sido recientemente galardonadocon el Premio Abel 2016.

Definicion 8.1. Una curva elıptica sobre Q es una ecuacion cubica

E: y2=x3 + ax+ b, con a, b en Q, �E=−24(4a3 + 27b2) �= 0 (9.1)

Desde hace mucho tiempo ha habido un fuerte interes por encontrar solu-ciones racionales de estas ecuaciones cubicas, es decir, pares (x, y) satisfaciendo(9.1) y tales que x e y pertenecen a Q. De hecho, el estudio de curvas elıpti-cas data de la Antigua Grecia, donde el proceso de cuerdas y tangentes parala construccion de nuevas soluciones racionales a partir de las conocidas ya erautilizado. Hoy en dıa este metodo puede ser resumido concisamente utilizandouno de los resultados mas fundamentales en la teorıa de curvas elıpticas: el Teo-rema de Mordell-Weil. Este resultado afirma que el conjunto formado por todaslas soluciones racionales E de (9.1), junto al punto del infinito, tiene estructuraalgebraica de grupo abeliano finitamente generado. En otras palabras, existe unconjunto finito de soluciones racionales de (9.1) a partir del cual se pueden obte-ner todas las demas soluciones racionales por el metodo de cuerdas y tangentes.La existencia de esta estructura de grupo convierte a las curvas elıpticas en unaclase especial de curvas.

Un enfoque que se ha mostrado especialmente util en el estudio de ecuacionesdiofanticas como (9.1) es el uso de congruencias. Dada la ecuacion (9.1), trasun cambio de coordenadas lineal, podemos asumir que los coeficientes de Epertenecen a Z y que �E es minimal. Para p primo que no divide a �E , elconjunto de soluciones de (9.1) modulo p son todos los pares (x, y) ∈ F2

p talesque y2 ≡ x3 + ax + b (mod p), donde Fp es el cuerpo finito de p elementos.Sea Np el numero de todas estas soluciones, considerando tambien el punto delinfinito. Se define ap(E)=p + 1 − Np, el termino de error entre el numero desoluciones modulo p y el numero de puntos en el espacio proyectivo P1(Fp). Unresultado clave llamado Teorema de Hasse para curvas elıpticas nos dice que

−2√p ≤ ap ≤ 2

√p

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La idea de Wiles fue relacionar el Ultimo Teorema de Fermat con curvaselıpticas semiestables sobre Q, que a su vez tienen relacion con otro objetomatematico llamado formas modulares.

La demostracion del Ultimo Teorema de Fermat ha sido el inicio de una nue-va era en el mundo de las ecuaciones diofanticas. La estrategia revolucionariade su demostracion, conocida como el metodo modular, ha tenido muchas ex-tensiones, y en consecuencia se han podido solucionar muchas otras ecuacionesque previamente se consideraban imposibles.

Wiles lo consiguio demostrar en 1995. Aunque en 1993, creyo que su demos-tracion estaba cerrada. Describio del siguiente modo el proceso de demostracion:

Uno entra en la primera habitacion de una mansion y esta en la oscuridad. Enuna oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco apoco aprendes donde esta cada elemento del mobiliario. Al fin, tras seis meses

mas o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo estailuminado. Puedes ver exactamente donde estas. Entonces vas a la siguientehabitacion y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Ası, cada uno de estosprogresos, aunque a veces son muy rapidos y se realizan en un solo dıa o dos,son la culminacion de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los

que el avance serıa imposible.

Sin embargo, esta oportunidad resulto fallida, aunque finalmente logro co-rregirla y completarla poniendo ası un punto y final a uno de los mayores retosque nos ha dejado la historia de las Matematicas.

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Conclusiones

Este trabajo nos hace reflexionar sobre como los errores de los grandes ma-tematicos a lo largo de la historia en su intento por demostrar el Ultimo Teoremade Fermat, nos han ayudado a desarrollar herramientas matematicas que hoyen dıa son de mucha importancia.

Tambien nos hace ver de que modo conceptos introducidos por matematicoshan sido esenciales en la teorıa de numeros algebraicos. Hemos visto como hanido apareciendo y lo importantes que han sido, en nuestro caso, en la demos-tracion. Ahora, gracias a ellos, sabemos las distintas propiedades que tienen losdiferentes anillos de enteros de cuerpos de numeros.

Personalmente, ha sido satisfactorio conocer las ideas que se iban teniendoacerca de este tema desde una epoca tan lejana hasta el dıa de hoy. Y aunqueparezca mentira, agradecemos muchas herramientas algebraicas actuales a loserrores que cometieron genios, que en algunos casos corrigieron dichos errores.

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Referencias

[1] Angel del Rıo Mateos, El reto de Fermat, Nivola, 2005.

[2] Daniel Duverney, Number Theory. An Elementary Introduction TroughDiophantine Problems, World Scientific, 2010.

[3] I.N. Stewart, D.0. Tall, Algebraic Number Theory,Chapman and Hall, 1987.

[4] Real Sociedad Matematica Espanola, Andrew Wiles, 2016.

[5] Carlos Andradas, Cuatrocientos anos de matematicas en torno al ultimoteorema de Fermat, Complutense, 1999.

[6] Madhav Kaushish, Fermat’s Last Theorem and unique factorization, 2005.

[7] J.J O’Connor and E F Robertson, Fermat’s last theorem, 1996.

[8] Mujeres Matematicas, Sophie Germain, 2013.

[9] Ila Varma, Kummer, regular primes and Fermat’s last theorem, CaliforniaInstitute of Technology.

[10] Larry Freeman, Euler’s Mistake, Blog Fermat’s last theorem, 2005.

[11] Antonio Perez Sanz, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) “El prıncipe de losmatematicos”, IES Salvador Dalı, Madrid, 2000.

[12] Jose Manuel Gamboa Mutuberrıa, Jesus Marıa Ruiz Sancho, Anillos y cuer-pos conmutativos, UNED, 2013.

[13] Mercedes Orus Lacort, Ultimo Teorema de Fermat - ¿Hallazgo de una nuevademostracion asombrosamente sencilla?, 2016.

[14] Collete, J. P., Historia de las matematicas, vol. II, Siglo Veintiuno, Mexico,1986.

[15] Apostol, T. M., Analisis matematico, Reverte, Espana, 1991.

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