EPISTEMOLOGIA Y DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA

8/3/2019 EPISTEMOLOGIA Y DIDACTICA DE LA MATEMTICA

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Font, V. (2007). Epistemologa y Didctica de las Matemticas. En F. Ugarte (ed.) Reportes de investigacin. n. 21,serie C, II Coloquio Internacional sobre la Enseanza de las Matemticas. Lima, Per: PUCP (pp. 1-48).(Conferencia Inaugural)

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Epistemologa y Didctica de las Matemticas

Vicen Font

Universidad de Barcelona

Resumen: En la primera parte de esta conferencia se reflexiona sobre el hecho de que

los diferentes programas de investigacin en Didctica de las Matemticas de manera

explcita, o implcita, se posicionan sobre aspectos ontolgicos y epistemolgicos para

fundamentar sus constructos tericos. Dichos constructos sirven como marco terico

para realizar investigaciones en Didctica de las Matemticas, pero tambin deben

servir para orientar la mejora de la enseanza de esta materia y, muy en especial, deben

ser tiles en la formacin inicial y permanente del profesorado. En la segunda parte, se

toma un constructo concreto, el de configuracin epistmica, y se reflexiona sobre su

posible utilidad en la formacin del profesorado.

1. ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS. UN PROCESO COMPLEJO

Cmo ensear mejor las matemticas? es, sin lugar a dudas, la pregunta que origina el

rea de investigacin que, en muchos pases, se conoce como Didctica de las

Matemticas. Para contestar a esta pregunta podemos focalizar nuestra atencin sobre la

mente del sujeto que ha de aprender, lo cual nos lleva a entender la comprensin

como proceso mental y a reflexiones psicolgicas que nos pueden ayudar a saber lo

que sucede en la mente del alumnos y, como consecuencia, nos pueden dar indicaciones

sobre cundo y cmo ensear. Tambin podemos centrar la atencin en las instituciones

donde se produce el proceso de instruccin, lo cual nos lleva a entender la

comprensin como comprender las normas y a reflexiones de tipo sociolgico y

antropolgico que nos pueden informar de las normas sociales que regulan los procesos

de instruccin.

Figura 1

Por otra parte, en la formulacin de la pregunta se dice claramente que lo que hay que

ensear son matemticas. Por tanto, es natural que para contestar a esta pregunta

dirijamos nuestra atencin a las matemticas. Hoy en da hay un amplio acuerdo en elrea de Didctica de las Matemticas. en que la formacin del profesorado que ha de


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impartir matemticas requiere situar la formacin matemtica en un lugar importante;

ningn tipo de formacin pedaggica, psicolgica ni didctica puede suplir una dbil

formacin matemtica del futuro profesor de matemticas de cualquier nivel educativo.

El diseo de las actividades de enseanza-aprendizaje requiere unos slidos

conocimientos matemticos adems de una formacin didctica.Si bien hay acuerdo en que el profesor debe tener un buen conocimiento de

matemticas, las diferencias se producen cuando se pretende responder a la pregunta

qu tipo de matemticas se deben ensear?. No hay acuerdo sobre si hay que ensear

unas matemticas formalistas o bien unas matemticas realistas, tampoco lo hay sobre

cul es el papel de la resolucin de problemas, ni sobre si hay que ensear una

matemticas acabadas o bien hay que ensear a hacer matemticas, etc.. Las

diferencias de opinin tambin aparecen si la pregunta es Por qu hay que ensear

matemticas. Preguntas como Qu tipo de matemticas hay que ensear? O Por qu

hay que ensear matemticas? son preguntas cuya respuesta depende de cmo se hayan

contestado otras pregunta ms bsicas propias de la filosofa de las matemticas como,

por ejemplo: Qu son las matemticas? Qu es lo qu sabemos en matemticas?Cmo sabemos que lo que sabemos en matemticas es verdadero (cierto / vlido )? etc.

Las matemticas (entendidas como producto) se pueden considerar como una

determinada organizacin de los productos de la actividad matemtica (proceso). A su

vez, la actividad matemtica es una determinada manera de pensar, actuar, dialogar,

sobre las "cosas". Los diferentes puntos de vista sobre las matemticas que se han ido

proponiendo a lo largo de la historia polemizan tanto sobre el tipo de "cosas" como

sobre la "manera de pensar, actuar, dialogar," sobre estas "cosas". Por ejemplo, el

platonismo considera que las entidades matemticas son no empricas (no accesibles por

los sentidos), perfectas (determinadas con total precisin), inmutables (totalmente

permanentes) y absolutamente objetivas (totalmente independientes del pensamiento yde la percepcin). Por otra parte, cada posicionamiento tanto sobre el tipo de "cosas"

como sobre la "manera de pensar, actuar, dialogar," sobre estas "cosas" tiene

implicaciones en la manera de ensear las matemticas.

La crisis de fundamentos ocurrida en las matemticas a finales del siglo pasado se

intent resolver primeramente por medio del programa logicista. Este programa fue

iniciado por Frege en su intento de dotar a la aritmtica de unos fundamentos seguros.

Frege considera que las verdades aritmticas son "analticas" y "a priori", y que seran a

las de la lgica lo que los teoremas son a los axiomas de la geometra. El segundo

intento de superar la crisis de fundamentos fue el programa formalista iniciado por

Hilbert. En esta concepcin no hay objetos matemticos (a diferencia del platonismo)solamente hay smbolos ostensivos. Para el formalismo extremo, lo nico que hay son

reglas mediante las cuales se pueden deducir frmulas a partir de otras, pero las

frmulas no se refieren a nada; son nada ms ristras de smbolos que no tienen

significado, y tampoco tienen asignado valor de verdad. Hacia la mitad del siglo XX, el

formalismo se convirti en el punto de vista predominante en las instituciones

universitarias. El formalismo contemporneo, tambin llamado conjuntismo, es

descendiente del formalismo hilbertiano, pero no es exactamente lo mismo. Desde el

punto de vista educativo la herencia del formalismo ha sido las "matemticas

modernas", tanto en la enseanza universitaria como no universitaria.

El tercer intento fue el intuicionismo de Brouwer. El principio de construccin o de

constructibilidad, que es el principio bsico del intuicionismo matemtico, afirma que lamatemtica es el estudio de un cierto tipo de construcciones mentales. Una definicin


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perfecta, sin ambigedad, de qu es lo que constituye una construccin mental como

construccin matemtica, no se puede dar, pues la intuicin de lo que es esa

construccin matemtica mental es irreducible a otros conceptos ms primitivos. La

principal repercusin del punto de vista constructivista, propuesto inicialmente por

Kant y asumido posteriormente por el intuicionismo, es la aparicin de una alternativaontolgica al platonismo. Los objetos matemticos son construcciones y no existen en

un mundo intemporal, slo son construcciones mentales materializadas en signos. Cmo

se realiza esta construccin y el papel que juega en ella la intuicin se ha convertido en

una sugerente agenda de investigacin para la didctica de las matemticas.

En mi opinin (Font, 2003), la perspectiva emergente en la filosofa actual de las

matemticas es la pragmtico-constructivista que se puede considerar como una sntesis

de diferentes perspectivas: pragmatistas, convencionalistas, constructivistas,

antropolgicas, semiticas, falibilistas, socio-histricas y naturalistas. Una

caracterizacin que puede ser aceptada, por su generalidad, por las diferentes variantes

pragmtico-constructivistas es la siguiente: el sujeto, que se ha formado como sujeto

dentro de una comunidad y que, por tanto, es partcipe de una intersubjetividad, a partir de sus acciones y operaciones sobre el medio fsico y social (normalmente

realizadas en instituciones), construye un objeto (sistema organizado de objetos)

matemtico personal, que se puede representar en el mundo material por diferentes

sistemas de signos sujetos a unas determinadas reglas (sintcticas, semnticas y

pragmticas) vehiculadas por el lenguaje y consensuadas por la intersubjetividad

(objeto institucional). Desde esta perspectiva la dialctica personal-institucional se

convierte en una cuestin central y el alumno pasa de ser un "alumno" a ser un

"alumno-en-una-institucin". Esta nueva perspectiva obliga a distinguir entre objetos

personales y objetos institucionales y a problematizar tanto estas dos clases de objetos

como la relacin entre ellos.

La reflexin filosfica sobre las matemticas no est desligada de reflexiones

ontolgicas y epistemolgicas ms generales ya que los diferentes programas de

investigacin en filosofa de las matemticas se posicionan, de manera explcita o

implcita, sobre cuestiones ontolgicas generales -una teora de la existencia relativa a la

consideracin (status) del mundo y de lo que lo habita - y epistemolgicas generales -

una teora de la naturaleza, gnesis y validacin del conocimiento subjetivo y una teora

de la naturaleza, gnesis y validacin del conocimiento objetivo, las cuales implican,

entre otros aspectos, una teora del significado y de la verdad. Dicho de otra manera,

cada programa de investigacin se posiciona, de manera explcita o implcita, sobre

controversias generales del tipo: 1) anlisis referenciales del significado versus anlisis

pragmticos, 2) constructivismo versus realismo, 3) representacionismo versus norepresentacionismo, 4) teoras realistas versus teoras instrumentalistas en la ciencia, 5)

historia interna del conocimiento cientfico versus sociologa del conocimiento

cientfico, 6) anlisis sistmicos versus anlisis centrados en el individuo, etc..


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Figura 2

2 EDUCACIN MATEMTICA Y DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS

Conviene distinguir las dos esferas a las que se refiere el nombre educacin

matemtica. Por un lado, educacin matemtica es el conjunto de prcticas llevadas a

cabo en distintos escenarios instituciones formales de educacin, instancias informales

de aprendizaje, espacios de planificacin curricular, etc. que tienen que ver con la

enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Y por el otro lado, educacin

matemtica hace mencin al estudio cientfico de los fenmenos de la prctica de laeducacin matemtica. Tenemos entonces, un campo de prctica educativa y un campo

de investigacin. La identificacin de estas dos componentes de la educacin

matemtica explica que en muchos casos se utilicen las expresiones "Didctica de las

Matemticas" y "Educacin Matemtica" como sinnimas, mientras que en otros casos

se considere que la Didctica de las Matemticas sera la disciplina cientfica interesada

principalmente por el campo de la investigacin, mientras que la educacin matemtica

tambin incluira el primer componente, esto es, abarcara la teora, el desarrollo y la

prctica.La Didctica de las Matemticas, entendida como disciplina didctica, en estos

momentos tiene una posicin consolidada en la institucin universitaria de muchos

pases. Otros indicadores de consolidacin institucional son las tesis doctorales

defendidas sobre problemas de enseanza y aprendizaje de las matemticas; los

proyectos de investigacin financiados con fondos pblicos y las diferentes

comunidades y asociaciones de investigadores en Didctica de las Matemticas. Otros

sntomas de consolidacin son la existencia de institutos de investigacin especficos

(CINVESTAV en Mxico, IDM en Alemania, El intituto Freudenthal en Holanda, etc.),

la publicacin de revistas peridicas de investigacin, congresos internacionales como

PME (Psychology of Mathematics Education), CERME (Conference of the European

Society for Research in Mathematics Education), RELME (Reunin Latinoamericana de

Matemtica Educativa), etc.


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y diluyen este esquema de modelo causal de explicacin en uno ms general que se

puede formular de la siguiente manera: Dado un fenmeno que se observa con cierta

regularidad (1) hay que buscar las causas y (2) estas causas han de producir

inevitablemente (o al menos en la mayora de los casos) el fenmeno en cuestin.

Para los antipositivistas es central la distincin entre las ciencias naturales y las cienciashumanas y sociales. Mientras las primeras descansan en el concepto de fuerza y materia

propuesto por la fsica y en las matemticas, las ciencias humanas y sociales se apoyan

en el concepto de sentido y en la historia. Para los antipositivistas los estudios sobre lo

humano disponen de algo que est ausente en las ciencias naturales: la posibilidad de

entender la experiencia interior de un otro a travs de un proceso de reconstruccin de la

experiencia interior del otro. Ahora bien, la comprensin del sentido no depende de una

especie de empata intuitiva misteriosa que permita al cientfico social, no se sabe cmo,

colocarse en la mente de las personas a quienes observa, sino que son explicaciones que

procuran dilucidar la inteligibilidad de las acciones humanas clarificando el

pensamiento que las informa y situndolo en el contexto de las normas sociales y de las

formas de vida dentro de las cuales aqullas ocurren.

Para muchos investigadores en Didctica de las Matemticas las opciones son radicales

o se elige una posicin u otra. Para otros, es hora de construir una sntesis que logre

integrar los diversos dualismos: teora versus prctica; micro nivel de anlisis versus

macro nivel de anlisis; explicacin versus comprensin, etc.

La reflexin sobre qu tipo de ciencia es la Didctica de las Matemticas tampoco est

desligada de reflexiones ontolgicas y epistemolgicas ms generales como las que se

han comentado en el apartado anterior.

Figura 3


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3 PROGRAMAS DE INVESTIGACIN EN DIDCTICA DE LASMATEMTICAS

Despus de constatar las limitaciones de las teoras psicopedaggicas generales para

explicar los procesos de enseanza-aprendizaje de las matemticas, muchosinvestigadores en este campo han optado por desarrollar programas de investigacin

especficos del rea. Entre otros, la Socioepistemologa de Cantoral y colaboradores, la

Teora de las Situaciones Didcticas de Brousseau y colaboradores, el Enfoque

Ontosemitico de Godino y colaboradores, la Teora de la Objetivacin de Radford y

colaboradores, la Teora Antopolgica de Chevallard y colaboradores, la Educacin

Matemtica Crtica de Skovmose y colaboradores, la Teora APOS de Dubinsky y

colaboradores, el Constructivismo Social de Ernest y colaboradores, el cosntructivismo

Radical de Von Glaserfeld y colaboradores, etc.

Los diversos enfoques que se han propuesto en la Didctica de las Matemticas se

posicionan de manera explcita o implcita sobre los siguientes aspectos: 1) Una

ontologa general, 2) Una epistemologa, general, 3) Una teora sobre la naturaleza delas matemticas, 4) Una teora sobre el aprendizaje y la enseanza en general y de las

matemticas en particular, 5) Una definicin del objeto de investigacin de la didctica

de las matemticas y 6) Una metodologa de investigacin. De acuerdo con Font (2002),

si un programa de investigacin problematiza y se posiciona explcitamente sobre

cuestiones de ontologa y de epistemologa general, diremos que se trata de un programa

de investigacin global (puntos 1 y 2), si problematiza la naturaleza de las matemticas

hablaremos de programa semilocal (punto 3) y si slo se posiciona en los ltimos tres

puntos hablaremos de programa local.

A partir de sus posicionamientos sobre los seis puntos anteriores, los diferentes

programas de investigacin han desarrollado constructos tericos que, por una parte, seutilizan como marco terico para las investigaciones en Didctica de las Matemticas y,

por otra parte, pueden ser utilizados en la mejora de la formacin inicial y permanente

del profesorado con el objetivo de conseguir una mejora de la enseanza de las

matemticas.


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Figura 4

4 LA NOCIN DE CONFIGURACIN EPISTMICA. SU USO EN LAFORMACIN DE PROFESORES1

En este apartado se pretende ilustrar como un determinado constructo terico (el de

configuracin epistmica) propuesto por uno de los programas de investigacin en

Didctica de las Matemticas puede ser til en la formacin de profesores.

En este apartado se parte del supuesto de que el anlisis crtico de los textos escolares,

la evaluacin de su pertinencia, idoneidad, adecuacin, etc. debe ser un componente

importante en los programas de formacin de profesores de matemticas. A

continuacin, se ilustra el anlisis de textos matemticos que resulta de la utilizacin del

constructo configuracin epistmica. Por ltimo, se pone de manifiesto la dialctica que

se produce entre los dos tipos bsicos de configuraciones epistmicas: las formales (o

intra matemticas) y las empricas (o extra matemticas).

4.1 Configuraciones Epistmicas

En el currculum de algunos pases los tipos de objetos matemticos que seconsideran son slo dos: conceptos y procedimientos. Se trata de una ontologa

demasiado simplista para analizar los objetos matemticos que componen un texto

matemtico, y en general la actividad matemtica sea profesional o escolar. En el

Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin matemtica (Godino, Contreras y

Font, 2006) se considera que es necesario contemplar una ontologa ms amplia

formada por los siguientes elementos: 1) lenguaje, 2) situaciones-problema 3)

conceptos, 4) procedimientos, tcnicas,, 5) proposiciones, propiedades, teoremas, etc

1 Este apartado es una adaptacin del artculo: Font, V y Godino, J. D. (2006). La nocin de

configuracin epistmica como herramienta de anlisis de textos matemticos: su uso en la formacin deprofesores.Educao Matematica Pesquisa (en prensa).


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y 6) argumentaciones. Estos seis tipos de objetos se articulan formando configuraciones

epistmicas (figura 5) cuyo anlisis nos informa de la anatoma de un texto

matemtico2.

Figura 5. Componentes y relaciones en una configuracin epistmica

En este apartado se pretende mostrar que esta nocin puede ser til para describir las

caractersticas de los textos matemticos de distintas pocas y orientacin

epistemolgica.

4.2 El Proyecto Desarrollo profesional de profesores investigadores (PDTR)como contexto de reflexin.

El proyecto Krygowska Project of Professional Development for

Teacher-Researchers (PDTR) es un proyecto de la comunidad europea que pretende

transformar la Educacin Matemtica a travs de una metodologa de investigacin

sobre la propia prctica del profesor. En l participan universidades de Hungra, Italia,

Polonia, Portugal y Espaa y cuenta con asesores de Inglaterra, Holanda y Estados

Unidos de reconocido prestigio internacional.

En las primeras reuniones de este proyecto se discuti sobre qu competencias deberan

desarrollar los profesores. Se trat de una lluvia de ideas en la que los diferentes

participantes daban su opinin. A continuacin, siguen algunas de las propuestas dedicha lluvia de ideas, en concreto la propuesta de una de las universidades de Polonia,

la de la universidad de Hungra y la del asesor del Instituto Freudenthal.

La propuesta de la universidad de Polonia parta de la suposicin de que el anlisis de

textos es una de las competencias que los profesores deberan desarrollar. Despus de

presentar, como contexto de reflexin, la demostracin de un sencillo teorema de

geometra plana que sigue a continuacin (caracterizacin de la mediatriz de un

segmento), se formul a los asistentes la siguiente pregunta: Cmo pueden hacer los

profesores un anlisis lo ms completo posible de esta demostracin?

2Si adems de la estructura interesa analizar su funcionamiento con alumnos son necesarias otras

herramientas que no se comentan en este trabajo.


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Teorema: La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos del plano que estn ala misma distancia de los puntos extremos del segmento.

Demostracin:Si AB es el segmento, m es su mediatriz y C pertenece a m, lossegmentos AC y BC son simtricos respecto de m, de donde resulta que BCAC = .

Con esto probamos que si el punto pertenece a la mediatriz del segmento est a la misma

distancia de ambos extremos del segmento.

Mostraremos que si el punto no pertenece a la mediatriz entonces no est a igual distancia de

ambos extremos del segmento. Consideremos que el punto C est fuera de la recta m (ver

dibujo).

Unimos el punto c con los puntos A y B usando segmentos. Consideremos que C est situado al

mismo lado de la recta m que el B. En este caso el segmento AC corta a la recta m en el punto

D. Puesto que BDAD = tenemos,

.BCDCBDDCADAC >+=+=

De modo que BCAC , lo que termina la demostracin.

La propuesta de la universidad de Hungra era preparar a los profesores para una

enseanza contextualizada de las funciones que tuviera en cuenta las traducciones entre

diferentes representaciones. El asesor del Instituto Freudenthal de Holanda propuso que

una buena manera de empezar era resolver de todas las maneras posibles el problema

del cubo pintado de rojo: Un cubo formado por 19x19x19 cubos ms pequeos se ha

pintado de rojo, a) Averige cuntos cubos pequeos tiene uno o ms caras pintadas de

rojo, b) Cul es el mximo nmero de cubos pequeos en qu usted puede dividir el

cubo original, para que la cantidad de los cubos sin pintar sea ms pequea que la

cantidad de cubos con una o ms caras pintadas de rojo?

A continuacin veremos como la nocin de configuracin epistmica puede ser un hilo

conductor para relacionar estas tres propuestas. Comenzaremos con el anlisis del textode la mediatriz.

Si bien hay muchas maneras de comenzar el anlisis, una sera preguntarse por el

contexto de este teorema, entendiendo el contexto de una manera ecolgica, es

decir como entorno del texto en cuestin. Se tratara de responder a preguntas del tipo

En qu lugar se halla? Qu tiene a su alrededor? Dnde vive? Con qu otros

objetos matemticos se relaciona?, En qu institucin se utiliza? etc.

Alguna de estas preguntas son fciles de responder. Por ejemplo, de entrada se nos dice

que es un texto que se utiliza en una institucin de secundaria de Polonia. Con relacin

a la institucin, hay que resaltar que, por ejemplo en Espaa, es un texto que en otras

pocas podra haber sido utilizado en las instituciones de secundaria, pero que ahorasera impensable su utilizacin. Es decir, se trata de un texto que vive actualmente en


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las instituciones de secundaria de Polonia y que, por el contrario, vivi en las

instituciones de secundaria de Espaa pero que actualmente se ha extinguido de

dichas instituciones. Para reflexionar sobre este hecho es necesario poner de manifiesto

la dialctica que se produce entre los dos tipos bsicos de configuraciones epistmicas:

las formales y las empricas (contextualizadas, realistas,). Comenzaremos con lasformales y, puesto que el texto que se utiliza como contexto de reflexin es de

geometra, empezaremos con una mirada a unos de los libros clsicos sobre la

axiomatizacin de la geometra, nos referimos a los Fundamentos de la Geometra de

Hilbert (Hilbert, 1899, 1991).

4.3 Configuraciones epistmicas axiomticas3

La respuesta dominante en las instituciones universitarias ante la crisis de fundamentos

de finales del siglo XIX consisti en fundamentar toda la matemtica sobre los nmeros

naturales y stos sobre la teora de conjuntos axiomatizada por Zermelo con axiomas

ad hoc que impidan la aparicin de las contradicciones conocidas, pero conservando en

lo posible la riqueza y agilidad de la teora intuitiva de conjuntos. Esta solucin,llamada normalmente formalismo contemporneo o conjuntismo es descendiente

del formalismo hilbertiano, pero no es exactamente lo mismo. Este tipo de formalismo

(Mostern 1980) considera que en la evolucin y desarrollo de las teoras matemticas

hay que considerar, como mnimo, tres estadios sucesivos, correspondientes a tres

diferentes niveles de precisin y rigor en el concepto de prueba. En el primer estadio,

llamado intuitivo, informal o ingenuo, se prueban los enunciados de la teora, pero no se

dice ni de dnde parte la prueba ni cules son los procedimientos admisibles para

probar. En el segundo estadio, llamado axiomtico, se determina el punto de partida de

la prueba, eligiendo ciertos enunciados de la teora como axiomas y exigiendo que todos

los dems sean probados a partir de ellos, aunque sigue sin explicitarse cules son los

procedimientos, reglas o medios de prueba admisibles. En el tercer y ltimo estadio,

llamado formalizado, el concepto de prueba est completamente precisado y

explicitado, tanto en lo que respecta al punto de partida de la prueba como a los medios

de prueba permitidos.

El tercer estadio es ms propio de los lgicos que de los matemticos, mientras que los

dos primeros estadios son los propiamente matemticos. Por este motivo,

comenzaremos comentando las configuraciones epistmicas axiomticas. En dichas

configuraciones se usa el mtodo axiomtico, es decir se eligen ciertos enunciados de la

teora como axiomas y se exige que todos los dems sean probados a partir de ellos. Se

trata de una configuracin epistmica (figura 6) en la que se presupone un carcter

convencional a las reglas matemticas y, por tanto, los conceptos que se definen y las proposiciones que se introducen no se intentan justificar por su acuerdo con una

realidad extra matemtica.

La figura 6 se puede considerar como el modelo bsico de las configuraciones

epistmicas axiomticas.

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El lector puede consultar el libro Fundamentos de la Geometra de David Hilbet (1991) para observareste tipo de de configuraciones.


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Fig 6. Configuracin epistmica axiomtica

En esta configuracin la situacin-problema que la motiva, aunque no aparece en el

texto de manera explcita, se podra expresar del siguiente modo: Cmo reorganizar el

conjunto de conocimientos de la geometra eucldea de manera deductiva a partir de un

sistema mnimo de axiomas? Existe un trasfondo problemtico de carcter intra-

matemtico relacionado con la construccin de unos fundamentos consistentes para eledificio matemtico que permita evitar las paradojas y contradicciones.

Para abordarlo se usa el mtodo axiomtico as como procedimientos de carcter

lgico deductivos.

4.4 Configuraciones epistmicas formalistas en los textos universitarios dematemticas

Las configuraciones epistmicas de los textos universitarios correspondientes a lo que

se suele llamar conjuntismo, matemticas modernas o formalismo (aunque no en

el tercer sentido de Mostern comentado anteriormente) parten de una axiomatizacin de

la teora de conjuntos y sobre ella van construyendo el edificio matemtico. Cuando nos

encontramos en un determinado piso del edificio se suponen conocidos los anteriores,

esto hace que las configuraciones epistmicas sean un poco diferentes a las que se

obtendran si se hubiera optado por axiomatizar directamente esta parte de las

matemticas.

Consideremos un captulo de un libro de texto universitario. En este caso vamos a

cambiar de tpico para no restringirnos a la geometra y poder buscar la relacin con las

funciones, tpico propuesto por los hungaros. Nos fijaremos, por ejemplo, en el captulo

de continuidad de funciones de uno de los manuales clsicos de anlisis funcional

(Rudin, 1971). Como este captulo est precedido de otros anteriores que se consideran

conocidos, el bloque de conceptos se modifica de la siguiente manera: hay conceptos

que ya se suponen conocidos y otros que se introducen en el captulo mediantedefiniciones. Otra modificacin a destacar es que, puesto que se trata de un manual, hay


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ejemplos cuyo objetivo es facilitar al lector la comprensin de las definiciones. Tambin

se propone una amplia lista de problemas descontextualizados, al final del tema, cuyo

objetivo es la aplicacin de los objetos matemticos introducidos en la unidad para

realizar una demostracin deductiva. Es decir, el bloque de las situaciones aumenta su

importancia en la estructura de la unidad, sobre todo los problemas descontextualizadosen los que hay que hacer una demostracin utilizando los objetos matemticos

introducidos previamente en la unidad. Tambin resulta significativo que, a pesar que es

una unidad sobre funciones, no aparece ningn grfico.

Otra modificacin a destacar es que en el bloque de las proposiciones desaparecen los

axiomas y los teoremas se van matizando en diferentes tipos. En la unidad que estamos

comentando se distingue entre teoremas y corolarios, pero en otros libros se utilizan

adems trminos como proposicin, propiedad, lema o regla, aunque hay que

resaltar que los enunciados correspondientes a dichos trminos siempre se presentan

como algo a demostrar. Por otra parte, si bien en algunos textos se hace observar

cmo de determinados teoremas se derivan procedimientos y tcnicas (por ejemplo, la

regla de LHopital), en este tipo de unidades los procedimientos son bsicamentetcnicas de demostracin de tipo deductivo que se tienen que aplicar en la resolucin de

los problemas del final del captulo y que, en el mejor de los casos, se presentan

aplicados en la demostracin de los teoremas.

Fig 7. Configuracin epistmica formalista

4.5 configuraciones epistmicas formalistas en los textos de secundaria dematemticas.4

4Este apartado hay que contextualizarlo en el sistema educativo del estado espaol


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Desde el punto de vista educativo la herencia del formalismo ha sido las "matemticas

modernas", tanto en la enseanza universitaria como no universitaria. La idea que

inspir la reforma de la enseanza no universitaria en muchos pases, entre ellos

Espaa, para incorporar las matemticas modernas fue que la enseanza de las

matemticas tena que estar de acuerdo con el espritu de la poca

que crea que lasmatemticas servan para estructurar el pensamiento y que eran el lenguaje de la ciencia.

Podemos encontrar matemticas en todas partes, se deca, pero no cualquier clase de

matemticas, sino las matemticas de hoy en da: la teora de conjuntos, las estructuras

matemticas, la probabilidad, la estadstica, el lgebra, etc.; y cuanto ms pronto los

alumnos entren en contacto con estas matemticas, mejor.

Como ejemplo de este inters por introducir lo ms tempranamente posible las

matemticas modernas, tenemos la introduccin de la teora de conjuntos en la etapa

infantil. Este intento de poner la enseanza de las matemticas al nivel de las

matemticas del siglo XX se consideraba especialmente necesario en los niveles

primario y secundario, en los cuales se crea que se estaban enseando contenidos

obsoletos por no estar de acuerdo con el espritu de las matemticas modernas.

En la elaboracin de los nuevos programas se procur conseguir una coherencia interna

desde el punto de vista de los contenidos matemticos que se concret en: 1) el

desarrollo consecuente del punto de vista conjuntista y vectorial, 2) el desarrollo

sistemtico y coherente de la geometra a travs del concepto de transformacin y 3) el

desarrollo de las estructuras algebraicas con aplicacin inmediata a diferentes partes de

la aritmtica, del lgebra y de la geometra.

Los matemticos profesionales partidarios de esta reforma crean que las dificultades

que se producan en el aprendizaje de las matemticas eran causadas, bsicamente, por

las presentaciones defectuosas de la matemtica tradicional (definiciones poco precisas,

conceptos no suficientemente generales, demostraciones poco rigurosas, etc.) que

inducan en el alumno una concepcin confusa de la matemtica por la ausencia de una

estructura deductiva rigurosa. Dicho en trminos constructivistas actuales: consideraban

que la matemtica tradicional haca una presentacin confusa de las matemticas y que,

por lo tanto, no era potencialmente significativa para los alumnos.

Un ejemplo ilustrativo de esta manera de ensear las matemticas en el Bachillerato se

puede observar en el libro de texto editado por la editorial Santillana (Anzola et al,

1976). Si nos fijamos en la unidad de funciones, para seguir con este tpico,

observamos que en l se proponen actividades como la siguiente (figura 8), en la se

puede observar como las funciones se entienden bsicamente como un caso particular

de correspondencia entre conjuntos:


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Fig 8. Fragmento de un libro de texto de secundaria de matemticas modernas

La organizacin de la unidad de funciones propuesta en este libro del ao 1976

(titulada Operaciones con funciones) se puede representar mediante la siguiente

configuracin epistmica (Figura 9):

Fig 9 Configuracin epistmica formalista en secundaria

5

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Ejemplo tomado de Ramos y Font (2006)


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El concepto de funcin se define como un caso particular de relacin: una relacin es

una funcin s y slo si todo elemento de A se relaciona con un solo elemento del

conjunto B. El concepto de funcin se presenta de una manera descontextualizada y las

situaciones problemas, o bien son ejemplos que sirven para ilustrar la definicin o bienson problemas descontextualizados propuestos al final de la unidad con el objetivo de

que los alumnos apliquen la definicin de funcin. Es decir, las situaciones problema

slo tienen la funcin de concretar el concepto de funcin, en ningn caso sirven para

que se construya dicho concepto a partir de ellas.

El lenguaje utilizado bsicamente es el conjuntista. Para los conjuntos infinitos se

recurre a las grficas cartesianas y, en algunos casos, tambin se recurre a expresiones

simblicas. No se contemplan las conversiones entre diferentes formas de

representacin y, en los pocos casos que esto sucede, siempre es la conversin de

expresin simblica a grfica.

La metodologa implcita es la siguiente: el profesor define los conceptos, poneejemplos y demuestra propiedades (de manera deductiva) mediante una clase magistral.

Los alumnos han de aplicar dichos conceptos y propiedades a la resolucin de

problemas descontextualizados.

Esta unidad se imparta a continuacin de otra unidad titulada Aplicaciones y era

seguida de otras tres unidades tituladas Simetra, monotona y acotacin, lmites y

continuidad de funciones reales. En la unidad previa se introducan, entre otros, los

conceptos de correspondencia, relaciones binarias, relaciones de equivalencia y

conjunto cociente y aplicaciones. En las tres unidades posteriores se introducan los

conceptos de simetra, monotona, acotacin; los lmites finitos e infinitos definidos en

trminos de epsilones y deltas; y la continuidad a partir del concepto de lmite. Por otra parte, se supona que en cursos anteriores los alumnos ya haban estudiado algunos

modelos de funciones (proporcionalidad directa, afn y cuadrtica) y que iban a estudiar

en otras dos unidades posteriores las funciones circulares y las funciones exponenciales

y logartmicas.

Hay que destacar que lo que en el modelo del texto universitario eran proposiciones o

teoremas a demostrar se han reconvertido, en la mayora de los casos, en propiedades

o tcnicas. Algunas de las propiedades se demuestran de manera deductiva y tambin

los pocos teoremas que se presentan con dicho nombre, pero lo que aumenta mucho es

la ejemplificacin de las tcnicas (procedimientos)

4.6 Configuracin epistmica del texto sobre la mediatrizVolviendo a la pregunta formulada por la profesora de la universidad de Polonia:

Cuestin: Cmo podran hacer los profesores un anlisis lo ms completo

posible de esta demostracin?

y utilizando el anlisis epistmico precedente podemos hacer las siguientes

observaciones:

1) Se trata de un texto matemtico que se debe enmarcar en el ltimo tipo deconfiguraciones epistmicas comentado anteriormente. Es decir, hay que enmarcarlo en

una configuracin epistmica formalista de las matemticas de secundaria. Por tanto,

de acuerdo con el tipo de configuracin epistmica en la que se enmarca, es un texto


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matemtico que nos presenta el producto acabado pero no el proceso que se ha

seguido para obtener dicho producto, su razn de ser o motivacin.

2) La estructura de este texto tambin se puede representar por una configuracin

epistmica. Es decir, una de las caractersticas de las CE es que son hologramticas

puesto que se pueden aplicar a una unidad completa o bien a un texto ms puntual.

Podemos considerar el enunciado no como un teorema demostrado sino como una

situacin- problema de demostracin. Desde esta perspectiva lo que hay que hacer es

conseguir demostrar el enunciado. El tipo de situacin-problema implcita se puede

describir como, Qu argumento deductivo permite establecer que la proposicin P es

verdadera? De qu conocimientos o proposiciones previamente establecidas debemos

partir para establecer la verdad de P?

Para ello, hay que utilizarconceptos (la definicin de la mediatriz, puntos extremos de

un segmento; distancia, igualdad de segmentos). Tambin se usan proposiciones del

tipo si D es un punto del segmento AC, se cumple que .DCADAC += o bien si

dos segmentos son simtricos respecto de una recta, tienen la misma longitud, dichas

proposiciones se suponen demostradas anteriormente. Se usan tambin argumentos

deductivos como el siguiente:Si BDAD = entonces

.DCBDDCADAC +=+= , etc. Por otra parte, puesto que el enunciado es la

caracterizacin implcita de una definicin es necesario probar dos proposiciones:

Si una recta es mediatriz de un segmento entonces todos sus puntos equidistan delos extremos.

Si un punto no est en la mediatriz de un segmento entonces las distancias a losextremos del segmento no son iguales.

Por tanto, hay al menos una regla procedimental: Para probar que un enunciado

caracteriza a un objeto que se ha definido previamente hay que probar el teorema

directo y el contrario (Si C est en la mediatriz, entonces CA = CB ; Si C no est en

la mediatriz, entonces CA CB.). Por ltimo, tambin hay que utilizar un determinado

lenguaje simblico (por ejemplo BD ) y grfico (la figura del teorema), etc. Por tanto,

la estructura de este texto se puede representar por una configuracin epistmica como

la siguiente (figura 10):


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Fig 10. Configuracin epistmica asociada al texto de la mediatriz

3) Otra caracterstica que hay que resaltar es la conexin entre los diferentes elementos

de esta CE. Consideremos, por ejemplo, uno de los elementos del bloque lenguaje,

nos referimos a la figura 2 que aparece en el texto de la mediatriz. Nos podemos

preguntar cul es su funcin, o lo que en cierta manera es lo mismo, cmo se relaciona

con los otros elementos de la CE.

La figura es esttica pero, a pesar de ello, facilita el razonamiento con elementos

genricos. El punto C por una parte es un punto particular, pero, por otra parte, lo que

se dice de l se puede aplicar a cualquier otro punto del plano que no sea de la mediatriz(la cual debe permanecer como particular). Despus el segmento AB (y su mediatriz) se

puede considerar como un segmento (y su mediatriz) cualquiera. Dicho de otra manera

la principal funcin que cumple la figura del texto de la mediatriz es a) introducir un

caso particular sobre el cual razonar y b) facilitar que este caso particular sea

considerado como un elemento genrico (una cadena de elementos genricos para ser

ms exactos).

El razonamiento matemtico, para ir de lo general a lo general, hace intervenir una fase

intermedia que consiste en la contemplacin de un objeto individual. Este hecho plantea

un grave dilema: si el razonamiento se ha de aplicar a un objeto concreto (por ejemplo

el punto C de la figura del texto de la mediatriz), es preciso que se tenga alguna garanta


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de que se razona sobre un objeto cualquiera para que quepa justificar la generalizacin

en la que termina el razonamiento.

Ahora bien, con relacin al elemento genrico hay que considerar tres cuestiones

conexas pero distintas, a saber:

Por qu se hace intervenir en la demostracin de una proposicin matemtica(el enunciado de una definicin, etc.), una fase intermedia que se refiere a un

objeto particular?

Cmo es posible que un razonamiento en que intervenga semejante faseintermedia pueda, pese a ello, dar lugar a una conclusin universal?

El elemento particular normalmente forma parte de una cadena en la que loseslabones anteriores son elementos genricos. A su vez, el elemento particular al

ser considerado como genrico se convertir en el eslabn previo de un nuevo

caso particular y as sucesivamente.

Cuando en las prcticas matemticas utilizamos elementos genricos estamos actuandosobre un objeto particular, pero nos situamos en un "juego de lenguaje en el que se

entiende que nos interesan sus caractersticas generales y que prescindimos de los

aspectos particulares. Para conocer los detalles sobre las caractersticas de este juego del

lenguaje, y de las dificultades que tienen los alumnos para participar en l, es necesario

el anlisis de dilogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos

genricos. La asimilacin (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental

para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semitica asociada a las

prcticas en las que interviene el elemento genrico.

5) Para comprender este texto matemtico es necesario la activacin de una

configuracin epistmica como la descrita anteriormente, pero que de esta

configuracin tambin pueden emerger nuevos objetos matemticos. En concreto, a

partir de este texto se construye una nueva definicin de mediatriz y tambin se podra

obtener un procedimiento de construccin de la mediatriz con regla y comps.

6) La modificacin de alguno de los elementos de la CE repercute sobre los dems. Por

ejemplo, si la representacin de la figura se puede hacer con un programa dinmico

como el Cabri se est facilitando mucho el razonamiento con elementos genricos. En

concreto, se facilita no slo la demostracin del teorema (el producto) sino que, gracias

a la abstraccin reflexiva (si se toma como referencia a Piaget) incluso se podra llegar a

la formulacin de aquello que se tiene que demostrar. Es decir, se podra modificar la

situacin problema para convertirla en una situacin ms rica ya que primero se podra

proponer que se buscase aquello que se quiere demostrar y despus, si se consideraconveniente, pedir la demostracin. Por ejemplo, podemos formular la siguiente

pregunta a los alumnos:

Tarea: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa

por el punto medio. A partir de la siguiente construccin geomtrica

realizada con el programa Cabri:

a) Halla una propiedad que cumplan todos los puntos de la mediatriz.

a) Demuestra esta propiedad.b) Da una nueva definicin de mediatriz.c) Halla a partir de los apartados anteriores un procedimiento de

construccin con regla y comps de la mediatriz.


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Fig 11. La mediatriz con el Cabri

La configuracin epistmica asociada es la siguiente:

LENGUAJEVerbalmediatriz, segmento, recta perpendicular, punto medio etc.

Grfico

- Figura geomtrica dinmica

Simblico:

A, B,

SITUACIONES CONCEPTOS

Previos- Segmento, recta perpendicular, punto

medio

- Mediatriz (definida como recta

perpendicular que pasa por el punto

medio)

Emergentes

- Problema descontextualizado de

construccin geomtrica en el que se ha

de hallar y justificar una propiedad de la

mediatriz.

- Mediatriz (definida como recta

formada por todos los puntos que estn

a la misma distancia de los extremos

del segmento)

PROCEDIMIENTOS PROPOSICIONESEmergente- Procedimiento de construccin con reglay comps de la mediatriz

- El punto medio divide al segmento en

dos segmentos de igual longitud

- La recta perpendicular forma un

ngulo de 90 con el segmento

- .

EmergenteLos puntos de la mediatriz se hallan a

igual distancia de los extremos del

segmento

ARGUMENTOS


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- Justificacin visual de la propiedad Los puntos de la mediatriz se hallan a igual

distancia de los extremos del segmento.

- Justificacin de la propiedad utilizando elementos genricos.

- Demostracin deductiva (?)

Tabla 1. Configuracin epistmica emergente asociada a la mediatriz

En esta configuracin destaca el papel central que juega la situacin problema (de tipo

intra matemtico) y tambin que est orientada a la emergencia de nuevos objetos

matemticos (nueva definicin de la mediatriz y nuevo procedimiento de construccin).

Si bien este tipo de configuracin epistmica puntual, orientada sobre todo a la

emergencia de nuevos objetos, puede convivir con configuraciones epistmicas globales

de tipo formalista, hay que resaltar que viven mejor en configuraciones epistmicas

globales que no sean de tipo formalista, lo cual nos lleva a la siguiente pregunta:

Cules son las configuraciones epistmicas globales alternativas a las formalistas? La

respuesta es que la principal alternativa a las configuraciones epistmicas formalistasson las empricas (contextualizadas, realistas, inductivas, etc.), las cuales pasamos a

comentar a continuacin.

4.7 Configuraciones epistmicas empricas en la enseanza secundaria

Sin entrar en un anlisis exhaustivo de las consecuencias del enfoque "moderno" de las

matemticas en la enseanza no universitaria, podemos decir que los aspectos ms

perjudiciales de la aplicacin concreta de esta reforma fueron (Nez y Font 1995): a)

Deductivismo exagerado: las matemticas se presentaban como unos conocimientos

terminados y organizados deductivamente. Esta presentacin poda poner de manifiesto

al alumno la ordenacin lgica de la materia, pero, al presentar el producto terminado,impeda la accin, las conjeturas, la imaginacin, etc.; es decir, en la terminologa de la

poca, "impeda hacer matemticas". b) Definiciones formalizadas: se cay en el error

de identificar el concepto que se quera ensear con su definicin formalizada. Esta

identificacin llev: 1) a presentar a los alumnos un exceso de simbolismo, 2) a hacerlos

manipular mecnicamente estos smbolos, sin saber lo que estaban haciendo

(formalismo prematuro) y 3) a olvidar que, para comprender un concepto matemtico,

son necesarias situaciones de referencia que le den sentido, al mismo tiempo que

permiten descubrir las relaciones con otros conceptos. c) Exceso de generalizacin y,

por tanto, falta de procesos de abstraccin: los conceptos se presentaban de la manera

ms general posible, con lo cual se iba de lo ms general a lo ms particular y, por tanto,

no se mostraban al alumno las situaciones concretas que permitan abstraer sussimilitudes e ir de lo concreto a lo ms general. d) Las matemticas por las matemticas:

se presentaban unas matemticas centradas sobre ellas mismas y muy alejadas de las

otras ciencias. Los textos didcticos ofrecan pocas situaciones no matemticas que

permitiesen a los alumnos conocer la aplicacin de las matemticas a la realidad, lo

cual facilitaba preguntas del tipo "esto para qu sirve".

El estrepitoso fracaso de la aplicacin concreta de las matemticas modernas modific

la manera de ensearlas en las instituciones no universitarias espaolas en diferentes

direcciones. Una fue ensear teoras acabadas, sin demostrarlas deductivamente,

focalizando el trabajo en el aula en el dominio de las tcnicas algortmicas que se

derivaban de la teora. Los partidarios de este estilo docente asuman, en muchos casos

implcitamente, el punto de vista conductista en psicologa. La otra, si bien consideraba

fundamental el aprendizaje de las estructuras matemticas, inici tmidamente una lnea


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de trabajo, que llamaremos "semntica" -entendiendo por semntica todo aquello que

tiene que ver con la construccin de significado que hace el alumno-, que pretenda

resolver una de las grandes dificultades del aprendizaje de las matemticas: su nivel de

abstraccin y generalizacin. Esta forma de entender la enseanza-aprendizaje de las

matemticas consideraba imprescindible presentar contextos variados que diesensentido al concepto; oponindose a las versiones ms formalistas de la matemtica

moderna, las cuales pretendan presentarlos de la manera ms general posible y

separados de los contextos que les daban sentido, para as evitar las dificultades de

comprensin que la presentacin contextualizada pudiese producir. Con el paso del

tiempo esta segunda opcin se fue desarrollando y se convirti en la dominante en los

currculos oficiales del estado espaol y, adems, est presente en muchos textos

escolares actuales (aunque no se puede decir que sea el estilo dominante en todos ellos).

Si se compara el captulo de las funciones del ao 1976 comentado anteriormente con

el captulo de otro libro de texto publicado en Espaa con 21 aos de diferencia se

puede observar que los autores de este ltimo proponen tareas en las que se manifiesta

un inters por presentar problemas contextualizados, por el uso de diferentesrepresentaciones y por las conversiones entre ellas. Son tareas como la siguiente:

Tarea: Debemos cambiar los cristales de unas ventanas cuadradas. El precio

del cristal es de 0,5 euros por cada decmetro cuadrado. Elabora una tabla de

valores, dibuja una grfica y determina una frmula que permita calcular

directamente el coste para cada longitud del lado de la ventana

La organizacin de la unidad de funciones propuesta en el libro del ao 1997 (Bujosa et

al. 1997), titulada Funciones se puede representar mediante la siguiente configuracin

epistmica:


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Fig 12. Configuracin epistmica emprica de las funciones en secundaria6

La unidad sigue la estructura siguiente: a) problemas contextualizados introductorios, b)

desarrollo de la unidad didctica con problemas contextualizados de aplicacin

intercalados y c) problemas contextualizados de consolidacin propuestos al final del

tema. En realidad se trata de poner en el centro de la actividad matemtica escolar la

modelizacin.

El concepto de funcin se generaliza a partir de diferentes situaciones en las que hay

una relacin entre magnitudes. No se necesitan conceptos previos conjuntistas (por

ejemplo, el de correspondencia). El concepto de funcin se presenta de una manera

contextualizada ya que se presentan situaciones problemas al inicio de la unidad cuyoobjetivo es facilitar al estudiante su construccin del concepto de funcin. En este caso,

no se trata tanto de aplicar conocimientos matemticos acabados de estudiar, sino que el

objetivo es presentar una situacin del mundo real que el alumno puede resolver con sus

conocimientos previos (matemticos y no matemticos). Son problemas introductorios

diseados para que queden dentro de la zona de desarrollo prximo (en trminos de

Vygotsky). Su principal objetivo es facilitar la construccin, por parte de los alumnos,

de los conceptos matemticos nuevos que se a van estudiar en la unidad didctica.

El lenguaje conjuntista ha desaparecido. En cambio, se introducen cuatro formas de

representacin de las funciones (enunciado, tabla, grfica y frmula) y se proponen

actividades cuyo objetivo es la traduccin dentro del mismo tipo de representacin y la6

Ejemplo tomado de Ramos y Font (2006)


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conversin entre diferentes formas de representacin, lo que potencia y enriquece la

comprensin.

La metodologa implcita es la siguiente: el profesor propone problemas que los

alumnos han de intentar resolver (normalmente en grupo). En el proceso de puesta en

comn de las soluciones, adems de resolver los problemas, se van construyendo losconceptos de la unidad. Estos conceptos se relacionan y organizan para ser primero

aplicados a ejercicios y despus ser utilizados en la resolucin de problemas

contextualizados ms complejos.

Puesto que se pretende que los conceptos, propiedades y procedimientos surjan a partir

de generalizaciones y de procesos de abstraccin adecuados a la edad de los estudiantes,

la argumentacin deductiva es casi inexistente. El tipo de argumentacin que se utiliza

es de tipo inductivo. Tambin tiene un papel importante la argumentacin a partir de

grficas para distinguir grficamente entre funcin continua y discontinua; reconocer

grficamente los conceptos de funcin creciente, decreciente, cncava y convexa;

reconocer y distinguir grficamente los mximos y mnimos relativos, as como lospuntos de inflexin de las funciones.

Otro aspecto a destacar es que esta unidad incorpora de manera explcita pocas

propiedades. De hecho, slo resalta que la composicin de funciones no cumple la

propiedad conmutativa. En cambio, en la unidad de 1976 se resaltan muchas

propiedades de las operaciones con funciones puesto que se tiene como objetivo

caracterizar al conjunto de las funciones reales como grupo abeliano (si se considera

como operacin interna la suma); como anillo conmutativo con unidad (si se consideran

la suma y el producto) o como espacio vectorial (si se considera la suma y el producto

de una funcin por un nmero).

El cambio que se puede observar entre las dos unidades didcticas de funciones es elresultado de diferentes factores. Algunos son especficos de la investigacin didctica

sobre las funciones (por ejemplo, las investigaciones didcticas sobre las traducciones y

conversiones entre las diferentes representaciones de las funciones) mientras que otros

son generales, como es el caso de la reflexin de tipo constructivista sobre el proceso de

enseanza-aprendizaje, o bien la importancia que se le da al contexto en los intentos

para relacionar lo que los psiclogos han aprendido sobre el modo en que los humanos

razonan, sienten, recuerdan, imaginan y deciden con lo que, por su parte, han aprendido

los antroplogos sobre la manera en que el significado es construido, aprendido,

activado y transformado. En palabras del antroplogo Geertz, este intento de relacin

(...) supone el abandono de la idea de que el cerebro del Homo sapiens es capaz de

funcionar autnomamente, que puede operar con efectividad, o que puede operar sinms, como un sistema conducido endgenamente y que funciona con independencia del

contexto. (Geertz, 2002, p. 194).

Las configuraciones contextualizadas como la descrita anteriormente dan un papel

preponderante a las situaciones problemas contextualizadas y estn claramente

enfocadas a la emergencia de nuevos objetos matemticos. Estas configuraciones

empricas (contextualizadas, realistas, intuitivas, etc.,) presuponen una cierta

concepcin emprica de las matemticas. Es decir, una concepcin que considera que

las matemticas son (o se pueden ensear como) generalizaciones de la experiencia;

una concepcin de las matemticas que supone que, al aprender matemticas,

recurrimos a nuestro bagaje de experiencias sobre el comportamiento de los objetosmateriales.


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Por otra parte, tambin presuponen que saber matemticas incluye la competencia

para aplicar las matemticas a situaciones extra matemticas de la vida real7 (criterio

epistmico) lo cual lleva a la siguiente pregunta: Cmo conseguir que los alumnos de

la enseanza primaria y secundaria sean competentes en la aplicacin de las

matemticas a contextos no matemticos?. Para contestar a esta pregunta hay quedescomponerla, entre otras, en las siguientes subpreguntas: a) El uso de contextos en el

proceso de enseanza-aprendizaje facilita o dificulta la comprensin de los alumnos?

(criterio semitico), b) El uso de contextos matemticos sirve para motivar (frustrar) a

los alumnos? (criterio emocional), c) Qu papel juegan los conocimientos previos de

los contextos que tienen los alumnos? (criterio cognitivo), e) La enseanza con el

enfoque contextualizado consume ms tiempo que la enseanza descontextualizada?

(criterio mediacional).

Las configuraciones epistmicas contextualizadas dan pie, adems de las cuestiones

anteriores, a otras cuestiones relevantes que han sido tambin objeto de numerosas

investigaciones. Por ejemplo: qu caractersticas han de cumplir los problemas

contextualizados, Cmo se consigue la emergencia de los objetos matemticos a partirde los contextos?Con las configuraciones contextualizadas se consigue que los

alumnos sean competentes en la resolucin de problemas contextualizados en otra

materias o en mbitos no escolares? Es posible en las instituciones de secundaria

implementar configuraciones epistmicas contextualizadas que permitan una actividad

de modelizacin rica? Qu competencias necesitan los profesores para disear e

implementar este tipo de configuraciones epistmicas? Cmo se relacionan este tipo de

configuraciones epistmicas con las formales y qu dificultades tienen los alumnos en la

transicin8 entre estos dos tipos de configuraciones epistmicas? etc.

4.8 Contextos extra-matemticos. Revisin de la literatura y clasificaciones

Problemas contextualizados, problemas del mundo real, problemas relacionados

con el trabajo, problemas situados son slo algunos de los diferentes nombres que se

dan a las tareas escolares que simulan situaciones del mundo real.

Revisin de la literatura

7El tema de la alfabetizacin matemtica ha sido motivo de debate en diferentes reuniones cientficas(por ejemplo la CIEAEM del ao 2001) y de estudio por diferentes organismos internacionales, Entre los

cuales destacan los realizados por la OCDE (2000 y 2001). Tambin son relevantes los trabajos del NCTM (1989). Algunos investigadores que se han interesado por el tema son, entre otros, Abrantes,

2001; Kilpatrick, 2001 y Noss, 2001. En la discusin que se ha producido en la comunidad de

investigadores en educacin matemtica sobre lo que se debe entender por alfabetizacin matemtica delos ciudadanos, si bien las opiniones difieren en muchos aspectos, hay casi unanimidad en que sta ha defacilitar a los ciudadanos el desarrollo de un conjunto de conocimientos, habilidades, estrategias y

actitudes que les permitan resolver las situaciones matemticas que plantea la vida cotidiana. Es decir,hay un acuerdo en aplicar el criterio de idoneidad epistmica a los procesos de instruccin en la

enseanza obligatoria ya que se considera que saber matemticas incluye la competencia para aplicar lasmatemticas a situaciones extra matemticas de la vida real. Un proceso de instruccin que no asegureest competencia no se considerara idneo. Este criterio tambin es el que toma en cuenta, en estosmomentos, en los estudios internacionales de evaluacin del sistema educativo, por ejemplo el estudio

Pisa 2003 (OCDE 2004).

8Por ejemplo, investigadores como Artigue (1998) se han preocupado por poner de relieve que la rupturaque se observa entre las configuraciones epistmicas de secundaria y las de la universidad es una de lascausas importantes del fracaso acadmico de muchos estudiantes.


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Los estudios cuyo objetivo ha sido comprender mejor cmo las personas solucionan los

problemas en su lugar de trabajo (Lave, 1988) y los que se han interesado en comparar y

contrastar el diferente uso que hacen las personas de las matemticas en la escuela y en

el trabajo (Jurdak y Shahin, 1999 y 2001) han puesto de manifiesto que las matemticas

informales e idiosincrsicas son las dominantes en la resolucin de problemas en la vidacotidiana y en el mundo laboral, mientras que las matemticas ms formales son las que

predominan en la escuela. Algunos de estos estudios han puesto de manifiesto que las

personas que fracasan en situaciones matemticas escolares, pueden ser

extraordinariamente competentes en actividades de la vida diaria que implican el uso del

mismo objeto matemtico. En situaciones de la vida real en las que las personas se

sienten implicadas, se ha observado que stas utilizan matemticas "propias" que

pueden ser muy diferentes a las que estudiaron en la escuela. En estas situaciones el

problema y la solucin se generan simultneamente y la persona est implicada

cognitiva, emocional y socialmente. Estas investigaciones han puesto de manifiesto

que los conocimientos se construyen usndolos en contextos reales. En la vida diaria,

los problemas son concretos y slo se pueden resolver si las personas los considerancomo problemas a resolver. Tambin plantean un problema para la Didctica de las

Matemticas: Cmo conseguir la transferencia del conocimiento usado o generado en

un contexto a otro contexto diferente? y, ms en concreto, el problema de la

transferencia del conocimiento aprendido en la escuela a las situaciones prcticas de la

vida cotidiana y viceversa.

Con relacin a la introduccin de los problemas contextualizados en el currculum

destaca el proyecto Realistic Mathematics Education desarrollado en el instituto

Freudenthal (De Lange, 1996; Reewijk, 1997). Este proyecto considera que saber

matemticas es hacer matemticas, lo cual comporta, entre otros aspectos, la

resolucin de problemas de la vida cotidiana. Uno de sus principios bsicos afirma que

para conseguir una actividad matemtica significativa hay que partir de la experiencia

real de los estudiantes. Otros principios, importantes, son que hay que dar al estudiante

la oportunidad de reinventar los conceptos matemticos y que el proceso de enseanza-

aprendizaje debe ser muy interactivo. Segn De Lange (1996), bsicamente se dan

cuatro razones para integrar los problemas contextualizados en el currculum: (a)

facilitan el aprendizaje de las matemticas, (b) desarrollan las competencias de los

ciudadanos, c) desarrollan las competencias y actitudes generales asociadas a la

resolucin de problemas y (d) permiten ver a los estudiantes la utilidad de las

matemticas para resolver tanto situaciones de otras reas como situaciones de la vida

cotidiana.

En muchas investigaciones se usan los trminos modelo, modelizacin omatematizacin en lugar de contexto y contextualizacin, con lo que surge la

problemtica de saber cul es la lnea divisoria entre estos conceptos. Diversos autores

coinciden en entender la modelizacin en trminos de una terna (S,M,R), siendo S una

situacin problema real, M una coleccin de entidades matemticas y R una relacin

mediante la cual objetos y relaciones de S se conectan con objetos y relaciones de M.

Por otra parte, hay bastante acuerdo en que gran parte de la actividad matemtica puede

ser descrita como procesos de modelizacin. Este proceso seguira las cinco fases

siguientes: 1) Observacin de la realidad. 2) Descripcin simplificada de la realidad. 3)

Construccin de un modelo. 4) Trabajo matemtico con el modelo. 5) Interpretacin de

resultados en la realidad.


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Cuando se utiliza el trmino contextualizacin, no necesariamente va ligado a

complejidad mientras que cuando se utiliza el trmino modelizacin se suele tener

en mente un proceso complejo que implica primero partir de la situacin concreta para,

gracias a un proceso descontextualizador, obtener un objeto matemtico y despus,

gracias a un proceso de contextualizacin, aplicar este objeto a diferentes situacionesreales. Por tanto, parece razonable utilizar el trmino descontextualizacin para

referirse al proceso que va de la realidad al objeto matemtico, contextualizacin

para indicar el proceso que va del objeto matemtico a la realidad, matemticas

contextualizadas para cuando se pretende que el alumno realice alguno o ambos- de

estos procesos y modelizacin cuando se presenta a los alumnos una situacin

suficientemente rica que tenga por objetivo la realizacin de los 5 pasos descritos

anteriormente [por ejemplo, Gmez y Fortuny (2002)].

Clasificacin de los problemas contextualizados

Los problemas contextualizados que normalmente se proponen a los alumnos son de

contexto evocado, es decir presentan una descripcin escrita de una situacin real. Conrelacin a este tipo de problemas, conviene hacer una primera clasificacin en funcin

de la complejidad de los procesos necesarios para su resolucin. En un extremo

tendramos problemas contextualizados que se han diseado para activar procesos

complejos de modelizacin, mientras que en el otro extremo tendramos problemas

relativamente sencillos cuyo objetivo es la aplicacin de los conceptos matemticos

previamente estudiados. Entre estos dos extremos hay una lnea continua en la que

podemos situar a la mayora de los problemas contextualizados propuestos en el mbito

escolar. Adems, un mismo problema puede estar ms o menos cerca de uno de dichos

extremos en funcin del momento en que sea propuesto a los alumnos.

Otra clasificacin est relacionada con el momento en que se propone a los alumnos los

problemas contextualizados. Se pueden proponer a continuacin de un proceso de

instruccin en el que se han enseado los objetos matemticos necesarios para la

resolucin del problema. En este caso, el objetivo es que sirvan, por una parte, como

problemas de consolidacin de los conocimientos matemticos adquiridos y, por otra

parte, para que los alumnos vean las aplicaciones de las matemticas al mundo real. A

este tipo de problemas (Font, 2006; Ramos y Font, 2006) les llamaremos problemas

contextualizados evocados de aplicacin si son relativamente sencillos o problemas

contextualizados evocados de consolidacin cuando su resolucin resulte ms compleja.

En ambos casos, se trata fundamentalmente de aplicar los conocimientos adquiridos

previamente en el proceso de instruccin.

Tambin se pueden proponer los problemas contextualizados al inicio de un tema con elobjetivo de que sirvan para la construccin de los objetos matemticos que se van a

estudiar en esta unidad didctica. En este caso, no se trata tanto de aplicar

conocimientos matemticos acabados de estudiar, sino que el objetivo es presentar una

situacin del mundo real que el alumno puede resolver con sus conocimientos previos

(matemticos y no matemticos). Llamaremos a esta nueva categora problemas de

contexto evocado introductorios puesto que se proponen al inicio de un tema

matemtico y se han diseado para que queden dentro de la zona de desarrollo prximo

(en trminos de Vygotsky). Su principal objetivo es facilitar la construccin, por parte

de los alumnos, de los conceptos matemticos nuevos que se van estudiar en la unidad

didctica. A su vez, estos problemas pueden ser ms o menos complejos en funcin de

los procesos de modelizacin que se pretendan generar.


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4.9 Situaciones ricas y globalizacin

En muchos casos, los procesos de descontextualizacin (modelizacin) se realizan a

partir de situaciones de enseanza-aprendizaje "ricas" (Font, 2005) las cuales, implican

tambin una globalizacin de los contenidos. Segn el grado de globalizacin se pueden

distinguir las siguientes categoras:

1) Primer nivel: Intradisciplinariedad. Se establece una relacin interactiva entre los

contenidos que forman los diferentes bloques del currculum de matemticas.

2) Segundo nivel: Transdisciplinariedad Una de las reas asume el tratamiento

simultneo de contenidos propios y ajenos en el espacio lectivo que le corresponda.

3) Tercer nivel: Transversalidad. El centro de inters son los denominados temas

transversales (Educacin para la Igualdad entre Sexos, Educacin para la Paz, etc.)

4) Cuarto nivel:Interdisciplinariedad. Exige la colaboracin entre diferentes reas, un

horario acordado dentro de la jornada lectiva y una programacin conjunta hacia un

idntico inters.Las configuraciones epistmicas tambin pueden ser herramientas tiles para

profundizar en lo que se tiene que entender por situacin rica o por globalizacin.

Dada una situacin problema es posible que se pueda resolver por diferentes mtodos.

Es decir, que pueda formar parte de dos configuraciones epistmicas diferentes que, a su

vez, formen parte de bloques matemticos muy diferentes (por ejemplo geometra y

lgebra). Este hecho convierte a la situacin problema en una situacin potencialmente

rica ya que puede permitir la integracin y la conexin entre contenidos matemticos

correspondientes a dos bloques diferentes del currculum.

Fig 13. Configuraciones epistmicas que comparten la misma situacin problema

Una diferencia importante entre las unidades didcticas que presenten configuraciones

epistmicas empricas como las descritas anteriormente y las propuestas de

globalizacin es que, en el primer caso, el problema, aunque potencialmente puede ser

muy rico, se utiliza para generar la configuracin epistmica que se corresponde con los

contenidos de la unidad didctica. En cambio, en una perspectiva globalizadora el

objetivo ser generar varias configuraciones epistmicas diferentes del mismo

problema, de cara a su integracin y conexin.

5 CONSIDERACIONES FINALES


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EPISTEMOLOGIA Y DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA

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