ESTADISTICA

DESCRIPTIVA

COMPETENCIAS Describe e interpreta las

propiedades de estadística descriptiva en problemas reales.

Es asertivo con su opinión. Participa activamente en forma

individual y grupal.

E S T A D Í S T I C A 1. Concepto

La estadística es una metodología que

nos provee de un conjunto de

métodos, pautas y procedimientos,

para la recolección, organización

(clasificación), análisis e interpretación

de datos en forma adecuada, para en

base de ellos, tomar decisiones cuando

existen situaciones de incertidumbre.

Ejemplo:

Estudiar la variación mensual del

precio del dólar durante los últimos

5 años, para averiguar qué mes del

año es el más favorable para

comprar dólares.

El grado de aceptación de un

producto por los consumidores para

averiguar la rentabilidad de un

negocio dedicado a tal producto.

2. Clases de estadística

Descriptiva

Inferencial

2.1. Estadística descriptiva

Parte de la estadística que se

ocupa de la recolección,

organización, presentación,

descripción de datos.

2.2. Estadística Inferencial

Es la parte de la estadística, que en

base a los resultados y análisis de

los datos aplicando las teorías

necesarias, pretende inferir las

peculiaridades y las leyes que

gobiernan la población de la cual

proceden los datos.

3. Concepto básicos

3.1. Población

Conjunto de todos los individuos

en las cuales se presentan una

característica que se tiene interés

en estudiar.

3.2. Muestra

Es un subconjunto de la población,

elegido convenientemente con el

propósito de obtener información

y conclusiones de la población del

cual proviene.

Se toman muestras cuando es

difícil o costosa la observación de

todos los elementos de la

población.

4. Variable estadística

Una variable es un símbolo que

representa a uno de los elementos

de un conjunto de datos.

Ejemplo:

Sea “x” la variable “estatura” de los

alumnos de 4to. de secundaria

SESIÓN 16

entonces “x” puede tomar los

valores siguientes:

x1 = 1,68 m x2 = 1,66 m

x3 = 1,52 m x4 = 1,85 m

5. Clasificación de variables

5.1. Variable cualitativa

Cuando presenta una cualidad

o atributo de la población.

Ejemplo:

- Estadio civil

5.2. Variable cuantitativa

Cuando los valores que asume

son números, como resultado

de conteos.

Ejemplo:

Peso, edad, estatura, etc.

6. Diagramas

6.1. Diagrama de barras

6.2. Diagrama de sectores

7. Medidas de tendencia central: o

promedios

Existen diferentes tipos de

promedios, entre ellos los más

usuales son:

a) La media aritmética o media.

b) La mediana

c) La moda

d) La media geométrica

e) La media cuadrática

f) La media armónica

7.1. Para datos sueltos:

Sean los siguientes datos:

a1, a2, a3, a4,…, an

A. Media aritmética a.m)x(

)x( = n

a...aaa n321

Ejemplo:

Dados los siguientes datos: 4, 12, 5,

7, 8, 6

Hallar la media aritmética.

Solución:

6

6875124x

= 7

x = 7

B. Mediana (Me)

La mediana de un conjunto de datos

ordenados en forma creciente o

decreciente es la cantidad que divide a los

datos en dos grupos de igual número de

elementos.

DATO A

DA

TO B

A

B

C

D

E

Caso 1: n = impar término central

Caso 2: n = par semisuma de los

dos términos centrales

Ejemplo 1:

Considérense las siguientes 6 datos de

medida de sus masas (kg).

3,8; 4; 6; 5; 2; 9 ; 8 ; 4; 3; 6

Solución:

Ordenando los datos:

2; 3; 3,4; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9

n = 10 n : par

Me = Enésima t5 y t6

Me = 4 5 9

2 2

Me = 4,5

Ejemplo 2 :

Considere los siguientes 7 datos de notas

de los alumnos del 4to. año 08; 09; 12; 05;

14; 06; 08.

Solución:

Ordenando los datos:

05; 06; 08; 08; 09; 12; 14

Luego n = 7; n = impar

Me = Término central

Me = 08

C. Moda (Mo)

Es un rango de la variable que se repite

con mayor cantidad de veces en la

distribución.

Ejemplo:

Consideremos los siguientes datos:

10; 13; 11; 8; 9; 10; 13; 8; 10; 14; 11; 12.

Solución:

Ordenando los datos:

8; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 14.

notamos que el dato con mayor repetición

es 10.

Mo = 10

Ejercicios de aplicación

1. De los siguientes datos:

8; 12; 15; 15; 13; 21; 24; 36.

Hallar su x

a) 16 b) 18 c) 20

d) 22 e) 24

2. De los siguientes datos:

1,20; 1,22; 1,20; 1,18; 1,35

Hallar su x

a) 1,20 b) 1,21 c) 1,22

d) 1,23 e) 1,25

3. En la última práctica calificada de

aritmética se obtuvieron las siguientes

metas de 5 alumnos.

08; 12; 14; 06; 20.

Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 6 c) 12

d) 14 e) 20

4. En el último examen se obtuvieron las

siguientes notas de 8 alumnos de la

ETS-PN-PNP: 12; 14; 16; 12; 14; 08;

05; 03. Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 12 c) 12,5

d) 14 e) 14,5

5. De los siguientes datos hallar la moda:

6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4; 6.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 13

6. De los siguientes datos hallar la

mediana:

14; 16; 25; 36; 18; 12; 11; 16; 14.

a) 12 b) 11 c) 14

d) 16 e) 25

7. De los siguientes datos no agrupados

hallar la media aritmética.

26; 34; 24; 16; 14; 12; 16; 18

a) 26 b) 34 c) 20

d) 12 e) 18

8. Indicar la “ x ” de los siguientes

datos:

6; 8; 14; 16; 18; 9; 6.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

9. Indicar la “Me” de los siguientes

datos:

12; 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13;

11; 11.

a) 13 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

Indicar la “Mo”, según los datos:

12; 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13;

11; 11.

a) 12 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

10. Dados los siguientes datos de las

edades de 10 personas:

22; 25; 23; 36; 32; 36; 23; 23; 23; 25.

Determinar la “Mo”

a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 28

11. De los siguientes datos hallar la moda:

7; 2; 4; 6; 7; 8; 5; 12; 10; 4; 7

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 7

12. De los siguientes datos halla la

mediana:

15; 16; 20; 36; 22; 12; 10; 16; 18

a) 12 b) 11 c) 14

d) 16 e) 25

13. De los siguientes datos no agrupados

hallar la media aritmética:

21; 38; 20; 12; 14; 14; 18; 18; 12; 17

a) 24,2 b) 14,9 c) 20,8

d) 18,6 e) 19,4

14. Indicar la “Me” de los siguientes

datos:

10, 13, 16, 11, 13, 13, 14, 11, 16, 8, 9,

11; 8, 13, 16, 11; 9.

a) 13 b) 14 c) 16

d) 11 e) 13

15. Indicar la “ x ” de los siguientes

datos:

6; 8; 14; 16; 18; 9; 6; 6; 8; 8; 16; 18; 9

a) 10,54 b) 10,92 c) 12,15

d) 13,36 e) 10,14

Lectura de tablas

7.2. Para datos agrupados:

Veamos previamente algunas definiciones:

Tamaño de muestra (n) Número total de datos

Alcances (A) Intervalo definido por los datos de menor y mayor valor.

Rango (R) También llamado “recorrido de los datos” es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que toma la variable.

Frecuencia absoluta (fi) Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de veces que se repite dicho valor en el conjunto de datos.

Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Es la suma de las frecuencias relativas acumuladas (se suman) a los datos menores e iguales al dato en referencia.

Frecuencia relativa (hi) La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.

hi = nfi

Frecuencia relativa acumulada (Hi) La frecuencia relativa acumulada (se

suman), es el cociente de su

frecuencia absoluta acumulada entre

el tamaño de la muestra

Hi = n

Fi

Ejemplo:

Edades x fi Fi Hi Hi

[10 – 15 > 12,5 8 8 0,16 0,16

[15 – 20 > 17,5 12 20 0,24 0,40

[20 – 25 > 22,5 2 22 0,04 0,44

[25 – 30 > 27,5 3 25 0,6 0,50

[30 – 35 > 32,5 10 35 0,20 0,70

[35 – 40 > 37,5 5 40 0,10 0,80

[40 – 45 > 42,5 10 50 0,20 1,00

50 1,00

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1: El siguiente es la tabla de salarios de los empleados de una empresa (en soles).

Sueldos x fi Fi hi Hi

[0 – 250 > 125 20 20 0,20 0,20

[250 – 500 > 375 15 35 0,15 0,35

[500 – 750 > 625 30 65 0,30 0,65

[750 – 1000 > 875 5 70 0,05 0,70

[1000 – 1250 > 1125 20 90 0,20 0,90

[1250 – 1500 > 1375 10 100 0,10 1,00

100 1,00

16. ¿Cuántos empleados ganan entre 750

y 1000 soles? a) 5 b) 20 c) 10 d) 30 e) 15

17. ¿Cuántos empleados ganan entre 500 y 1500 soles? a) 5 b) 30 c) 20 d) 10 e) 65

18. ¿La encuesta fue realizada sobre qué cantidad de personas?

SESIÓN 17

a) 60 b) 70 c) 20 d) 50 e) 100

19. ¿Cuántos empleados ganan menos de 1000 soles? a) 20 b) 35 c) 65 d) 70 e) 90

20. ¿Cuántos empleados ganan igual o más de 1000 soles? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Ejemplo 2: Dada la siguiente tabla:

Estatura x fi Fi hi Hi

1,00 – 1,20 1,10 20 0,20

1,20 – 1,40 1,30 0,25

1,40 – 1,60 1,50 60

1,60 – 1,80 1,70 0,15

1,80 – 2,00 1,90

Completar los datos de estatura de los alumnos de I ciclo de la ETS-PNP-PP, Promoción

21. ¿Cuántos alumnos miden menos de 1,40 m? a) 25 b) 30 c) 40 d) 50 e) 100

22. ¿Cuál es el valor de: H3 + H4?

a) 1,00 b) 1,05 c) 1,10 d) 1,20 e) 1,35

23. De la tabla diga Ud. ¿Cuántos alumnos tuvo la muestra? a) 80 b) 100 c) 120 d) 150 e) 90

24. ¿Cuántos alumnos miden menos o igual a 1,80 m? a) 20 b) 50 c) 60

d) 75 e) 50

25. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los alumnos que miden entre 1,40 y 1,60 m.? a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 100

26. Hallar: E = h2 + h3 + h5 a) 0,75 b) 0,15 c) 0,30 d) 0,55 e) 0,65

27. Hallar: J = 4f

3f+2f+1f

a) 4 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5

28. Hallar: P = (H2 + H4) (f4 – f2) a) 0,5 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 2,5

29. Diga Ud. ¿Cuál es la cantidad de alumnos cuya estatura es menor o igual a 1,60 m? a) 20 b) 30 c) 50 d) 80 e) 60

30. ¿Cuál es la frecuencia relativa

acumulada de los alumnos cuya estatura es menor a 1,80 m? a) 0,6 b) 0,40 c) 0,75 d) 0,25 e) 0,90

Ejemplo 3:

Completa el siguiente esquema y luego contesta las preguntas:

1. ¿Cuántos empleados ganan igual o

más a S/. 800? a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

2. ¿Cuántos empleados ganan menos de S/. 800? a) 25 b) 35 c) 40 d) 50 e) 80

3. ¿Cuántos empleados ganan entre S/.800 y S/. 1200? a) 15 b) 25 c) 35 d) 40 e) 80

4. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los trabajadores que ganan hasta S/. 1200? a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,55 e) 0,85

5. Calcular: E = f2 + f3 – f5 a) 15 b) 20 c) 10 d) 30 e) 50

6. Calcular: G = H1 + H4 – H2 a) 0,15 b) 0,15 c) 0,95 d) 0,05 e) 0,10

Lectura de gráficos

En las revistas, periódicos, boletines, guías, TV se ofrece información acerca de hechos como: actividades estadísticas realizadas homicidios, robos de autos, abuso sexual, asalto a mano armada, feminicidio, etc., mediante cuadros o gráficos, los cuales tienen una determinada interpretación. A continuación vamos a explicar cómo se representa e interpreta la información obtendrá como resultado de observar un fenómeno o actividad.

- Diagramas de barras

- Gráfico de sectores

- Polígonos de frecuencias

Salario x fi Fi Hi Hi

0 – 400 200 25

400 – 800 600 40 0,40

800 – 1200 1000 0,15

1200 - 1600 1400 80 0,80

1600 - 2000 1800 20

DATO A

DA

T

O B

DATO A

DA

TO B

INDIVIDUAL

A B

C

D

E

A B

C

D

% %

%

%

PARALELO

Ejemplo 1:

En el siguiente gráfico se muestra el

número de choques ocurridos en

cinco años consecutivos. (x1000).

Ejercicios propuestos 31. Promedios de choques en los cinco

años: a) 3200 b) 3800 c) 3700 d) 3600 e) 3400

32. Variación porcentual entre el primer y quinto año (aprox.) a) 92 % b) 392 % c) 292 % d) 192 % e) 302 %

En el siguiente gráfico se muestra la

población urbana y rural dada en los años 1970 y 2000. Población En 1970: 6 000 000 habitantes En 2000: 11 000 000 habitantes

33. ¿Cuál fue la variación de la población

del año 1970 al año 2000? a) 57 % b) 64,3 % c) 70,3 % d) 83,33 % e) 81,66 %

34. ¿En cuánto disminuye o aumenta la población rural del año 2000 con respecto al año 1970? a) Aumenta en 4,88 % b) Aumenta en 30 % c) Disminuye en 20 % d) Disminuye en 4,54 % e) Disminuye en 3,5 %

En una fábrica de un total de 200 vehículos se tiene:

35. ¿Cuántos vehículos corresponden a tractores del grupo B? a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 12

36. Indicar cuales con correctas: I. EL número de camiones es igual al número de tractores de tipo B y D juntos. II. El número de buses es igual que el número de tractores del tipo A. III. El número de buses es mayor que los tractores del tipo A.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) I y III

1,2

2,9

3,7

4,5

4,7

95 96 97 98 99

Año

# de choques

(miles)

Año

100 %

70 %

40 %

1970 2000

Población

Urbano

Rural

Camiones

60 %

Buses

10 %

Tractores

30 %

A

10 %

B

20 %

D

30 %

C

40 %

Taller de Estadística I

1. En una clase de la ETS- PNP - PP hemos

medido la altura de los 25 alumnos. Sus

medidas en cm, son:

Elabora una tabla que represente estos

resultados con sus frecuencias absolutas,

relativas y porcentajes. Toma intervalos de

amplitud 5 cm comenzando por 150.

Resolución:

Alturas F. absolutas F. relativas Porcentajes

[150, 155) 3 0,12 12%

[155, 160) 7 0,28 28%

[160, 165) 6 0,24 24%

[165, 170) 4 0,16 16%

[170, 175) 5 0,2 20%

2. En una clase de 25 alumnos hemos

preguntado la edad de cada uno, obteniendo

estos resultados:

14; 14; 15; 13; 15; 14; 14; 14; 14; 15; 13; 14;

15; 16; 14; 15; 13; 14; 15; 13; 14; 14; 14; 15;

14.

Haz una tabla donde aparezcan las

frecuencias absolutas acumuladas y las

frecuencias relativas acumuladas.

Resolución:

Edad F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada

13 4 4 0,16 0,16

14 13 17 0,52 0,68

15 7 24 0,28 0,96

16 1 25 0,04 1

3. Representa mediante diagrama de barras

las ganancias semanales medias de los

trabajadores, según el sexo, en el cuarto

trimestre del 2013, que se recogen en la

siguiente tabla

Resolución:

4.- Se ha hecho una encuesta sobre el

número de hijos en 50 familias, con los

siguientes resultados:

Haz una tabla donde se recojan estos datos

con sus frecuencias absolutas acumuladas y

relativas acumuladas.

Resolución:

Nº hijos F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada

0 6 6 0,12 0,12

1 13 19 0,26 0,38

2 16 35 0,32 0,7

3 9 44 0,18 0,88

4 4 48 0,08 0,96

5 2 50 0,04 1

5.- Las edades de los jugadores de un equipo

167 159 168 165 150 170 172 158 163 156

151 173 175 164 153 158 157 164 169 163

160 159 158 174 164

Sector Varones Mujeres

Industria 284.363 206.204

Construcción 214.446 205.372

Servicios 263.554 195.447

Sueldo en ptas.

0 2 1 2 5 2 1 1 1 4 0 0 2

0 4 4 1 1 2 2 3 1 2 3 0

3 1 3 2 2 3 3 1 5 4 3 3

1 2 2 2 3 2 2 1 0 2 2 1

1

SESIÓN 17

0 50

100 150 200 250 300

Indu

str

ia

Co

nstr

uc

ció

n

Se

rvic

ios

Sueldo medio en soles.

Varones

de baloncesto son: 27; 18; 28; 26; 25; 19;

31; 19; 24 y 26 años. ¿Cuál es la edad media?

Resolución:

24,3 (redondeando, 24 años).

Taller de Estadística II

Enunciado 1: Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa.

250TOTAL

)(fFrecuencia

EmpleadosdeNumero

i

15]200;180[

15180;140[

20140;100[

20100;80[

3080;60[

5060;40[

4040;30[

3530;20[

2020;10[

510;0[

01) Determinar el porcentaje de empresas

que tienen un número de empleados entre 50 y 90. R.

02) Determinar el porcentaje de empresas

con número de empleados inferior a 35. R.

Enunciado 2: En esta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:

52475131674544574155

23512646485343464242

48464932675541473430

38613747303233603422

03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan? R.

04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene

de 39 a 58 años? R.

Enunciado 3: Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con esta información resolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9. 05) ¿Qué porcentaje de compañías

invierten menos de 40 millones de soles? R.

06) ¿Qué porcentaje de compañías

invierten 24 millones como mínimo? R.

07) Hallar la inversión promedio (en

millones de soles) R.

08) Hallar la mediana de los datos

clasificados. (en millones de soles) R.

09) Hallar la moda de los datos agrupados.

(en millones de soles) R.

Enunciado 4: Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad.

10,033;31

10,030;28

40,027;25

25,024;22

15,021;19

inEdades

10) ¿Cuántos empleados tienen edades de

22 a 33 años? R.

11) ¿Qué porcentaje de los empleados

tienen 25 años a más? R.

12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años o

menos? R.

13) ¿Qué porcentaje de los empleados

tienen 24 años o menos? R.

Enunciado 5: La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto.

13;035;30

K29;25

K224;20

17,019;15

2/K14;10

in(g)Peso

14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos que

van desde 15 hasta 29 gramos? R.

15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a

más? R.

16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos? R.

Enunciado 6: A partir del siguiente cuadro:

10472375269

91139615649

924872121003

3101004101985

4185933842

17) ¿Calcular la media de los datos

agrupados? R.

18) ¿Calcular la mediana para los datos

agrupados? R.

19) ¿Calcular la moda para los datos

agrupados? R.

Enunciado 7: La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.

Gramos Calorías

Carbohidratos 500 2050

Proteínas 100 410

Grasas 100 930

20) ¿Qué porcentaje del total de calorías de

la dieta se debe a las proteínas. R.

Reforzando Enunciado 8: Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiendo los siguientes datos:

3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15.

7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14. 01) Agrupe los datos en intervalos de ancho

común igual a 4 y complete la siguiente tabla.

;

;

;

;

;0

fXHhFfX iiiiiiii .I

Dar como respuesta: F3 + H4 + X2. f2 a) 38; 70 b) 43; 40 c) 99; 40

d) 38; 95 e) 76; 70 02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron el

curso; según los datos originales y según los datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,71 e) 1,4 03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o

iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados)

a) 1,25 b) 0,5 c) 0,75 d) 1,75 e) 0,25 04) Calcular la media (para datos sin

agrupar) a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5 d) 10,31 e) 12,7

05) Calcular la media. a) 9,8 b) 11,3 c) 10,7 d) 10,3 e) 9,71 06) Calcular la mediana. a) 9,2 b) 9,8 c) 10,1 d) 10 e) 9,83 07) Calcular la moda. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 08) Calcular: F1 + F2 a) 6 b) 6 c) 9 d) 2 e) 4 09) Calcular: H3 + H4 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 10) Calcular: H3 + H4 a) 5 b) 7 c) 7 d) 11 e) 10 11) A partir de la siguiente gráfica: Calcular

el tamaño; la mediana y la moda de la muestra.

a) 10; 4, 125; 5,2 b) 25; 4, 125; 5,2 c) 25; 4,125; 1,2 d) 25; 5, 125; 5,2 e) 25; 5, 125; 1,2

3

8

F

I

16

22

25

i

i

Enunciado 8: Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.

25;[

22;[

8;[

1411;[

206;[

15;[

fxFFx iiiiii

I

12) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe?

a) 72 % b) 74 % c) 76 % d) 78 % e) 80 %

13) Determinar la clase en la cual se

encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje.

a) 1ra; 20 % b) 4To; 32 % c) 3era; 44 % d) 4to; 76 % e) 3era; 32 %

14) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas

menores que 8?

a) 15 b) 15 c) 13 d) 12 e) 11 15) Dada en la siguiente distribución de

frecuencias.

100

g80;70[

n70;50[

450;40[

m40;20[

420;10[

fii

I

Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5 + h2. a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/5 e) 3/4

16) Dada la siguiente tabla: Calcular el máximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmética es 0,61.

10,040,0;20,0[

hii

I

a) 0,30 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70

Problemas resueltos

1. En el último examen de admisión a la

Universidad Nacional de educación

“Enrique Guzmán y Valle” se observó la

edad de los postulantes, la cual se

muestra en el siguiente histograma:

Calcula la media de las edades.

Resolución:

Como muestra el histograma, estamos

trabajando con datos agrupados, luego la

media se determina por:

Y por ello calculamos :

Finalmente aplicamos la fórmula y

resolvemos:

2. Dada una tabla simétrica de distribución

de frecuencias se sabe que

H7 = 1; X3 = 18; f5 = 30; h3 = 3h6;

f1 = 3X2; X6 = 39; H1 = 0.15

Determine F4 + F5

Resolución:

Dado que H7 = 1; se sabe que hay 7

intervalos de clase

Dado que X3 = 18; X6 = 39, entonces

19 + 3w = 39

w = 7 y X2 = 18 – 7 = 11

f1 = 33

Dado que es simétrica f1 = 33 = f7

H1 = 0,15 = 33/n, entonces n = 220

También f5 = f3 = 30

Xi fi Fi

33

11 10 43

18 30

74

30

39 10

33

Dado que h3 = 3h6 entonces f3 = 3f6

f6 = 10 y f4 = 220 – 146 = 74

F2 = 33 + 10=43; F4= 33 + 10 + 30 + 74= 147

Piden: 43 + 147 = 190

3. Jorge que es profesor de Matemática ha

perdido las actas de promedios de las

notas de los alumnos, pero recuerda que

los promedios presentaban una

distribución simétrica con 6 intervalos de

clase de ancho de clase común, además

en sus archivos encuentra lo siguiente:

Resolución:

Sea w el ancho de clase común

Notas xi fi

7,5 – 2w

7,5 – w

7,5

7,5 + w

7,5 + 2w

7,5 + 3w

Dato:

(7,5 - 2w) + (7,5 - w) + 7,5 + (7,5 + w) + (7,5 +

2w) + (7,5 + 3w) = 54

w = 3;

Sea 22K el total de datos:

Notas xi fi

[ 0; 3 > 1,5 K

[ 3; 6 > 4,5 2K

[ 6; 9 > 7,5 8K

[ 9; 12 > 10,5 8K

[ 12; 15 > 13,5 2K

[ 15; 18 > 16,5 K

Observe que es una variable continua

Entonces de 9 a 12 hay 8N datos y de 11 a 12

hay “a” datos

Entonces

Aprobados:

,

entonces x % =

por lo tanto los desaprobados:

100 % - =

4. Dado el cuadro

N° de hijos N° de familias

0 – 2 300

3 – 6 1200

7 – 9 600

10 – 12 300

13 – 15 100

¿Cuántas familias tienen de 4 a 8 hijos?

Resolución:

Observe que la variable es discreta

En I2

En I3

Piden cuántas familias tienen de 4 a 8 hijos

900 + 400 = 1300

5. Pedro observa el mapa de Piura con las

distancias a algunas de sus ciudades.

Luego de realizar un cálculo mental,

afirma: “La distancia promedio de Piura a

sus ciudades es 126 km

aproximadamente”.

¿Qué proceso realizó Pedro para

establecer su afirmación? ¿Será correcta

su afirmación?

Resolución:

Lo que Pedro hizo es:

Pedro calculó el promedio aritmético simple

de las distancias, y su afirmación es correcta,

puesto que redondeó el resultado obtenido.

6. En una excursión a la ciudad de Piura,

para practicar el cálculo de promedio

aritmético, Rosa tomó nota de la

cantidad de maletas que tenía cada uno

de sus compañeros.

N° de intervalos f

X1 = 1 10

X2 = 2 16

X3 = 3 6

X4 = 4 4

Total 36

Resolución:

Rosa multiplicó cada valor con su respectiva frecuencia, sumó los resultados, y la suma la dividió entre el total de datos. Luego, los compañeros de Rosa llevaron 2 maletas, en promedio Problemas Propuestos

1. Se tienen los promedios ponderados de

10 estudiantes del curso de Matemática

Básica I.

10,2 12,6 11,1 14,4 10,8 16,4

13,6 14,9 12,5 11,5

Si se clasifican los datos para 4

intervalos de clase, calcule: h2 + H3

A) 50 % B) 75 % C) 84 %

D) 92 % E) 100 %

2. Si se tiene la siguiente distribución de

frecuencias sobre las estaturas (en

metros) de un grupo de 50 jóvenes.

Ii fi hi Hi

[1,55 – 1,60 >

[1,60 – 1,65 >

[1,65 – 1,70 >

[1,70 – 1,75 > 5 0,96

[1,75 – 1,80 >

h1 = h5

h2 = h4

M: tanto por ciento de jóvenes que

poseen una estatura no menor de

1.70 m

Calcule M + 0

A) 27 % B) 31 % C) 19 %

D) 38 % E) 41 %

3. Dado el siguiente cuadro de frecuencias

Ingreso hi fi

[ 500 – 800 > 1/a A

[ 800 – 1100 > 2/a

[ 1100 – 1400 > 9/a

[ 1400 – 1700 > 3/a

Calcule cuántas personas ganan entre S/.

840 y S/. 1480 mensuales, además

determine el valor de F4 respectivamente

A) 135 y 250 B) 120 y 225 C) 135 y 225

D) 173 y 225 E) 173 y 250

4. Dada la siguiente distribución de

frecuencias

[ Li ; Ls > fi

20 – 30 2

30 – 40 1

40 – 50 3

50 – 60 6

60 – 70 n

Calcule el valor de n, si la mediana es

A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

5. Determina la media, la mediana y la

moda de cada caso.

a) las notas de Matemática de un grupo

de estudiantes son: 12; 16; 18; 12; 15; 13;

16; 12; 18; 12; 16 ; 12; 14; 12; 11; 12.

b) Las edades de un grupo de estudiantes

son: 11; 12; 10; 11; 12; 11; 12; 13; 11; 12;

11; 13; 12; 14; 12; 11.

R.

6. Determina la media, la mediana y la

moda en cada caso.

a)

Edad 15 16 17 18 19

F 7 9 8 5 1

b)

Edad 08 10 12 16 17

F 6 10 10 2 2

R.

7. En una determinada zona de Jaén

(Cajamarca), las superficies de una

muestra de 100 viviendas están

distribuidas de acuerdo a la siguiente

tabla:

Superficie (m2) fi

[ 50 – 60 > 20

[ 60 – 70 > 25

[ 70 – 80 > 15

[ 80 – 90 > 25

[ 90 – 100 ] 15

De acuerdo a los datos:

a. Determina cuál es la variable y de

qué tipo es.

b. Elabora la tabla de frecuencias (xi,

fi, Fi, hi, Hi)

c. Representa gráficamente

mediante histogramas el polígono

de frecuencias y la ojiva

d. ¿Qué medidas de tendencia

central se pueden determinar con

estos datos?(Justifica tu

respuesta)

R.

8. Cuál de las variables siguientes

representa datos discretos?

a) número de litros de agua necesarios para cada máquina de lavar b) número de libros en cada estante de la biblioteca c) diámetros de las pelotas producidas por una fábrica d) peso de los alumnos de la Escuela Técnica Superior PNP – PP e) estado civil de los sub oficiales PNP– PP

9. Una variable es continua cuando:

a) su valor resulta de la operación de contar b) se expresa en forma cualitativa c) su valor resulta de la operación de medir d) puede tomar diferentes valores e) se obtiene de operar convenientemente con los datos

10. Cuál de los siguientes datos

representa un atributo?

a) lugar de nacimiento de los alumnos de la ETS PNP – PP b) numero de nacidos vivos diariamente c) edades de los alumnos de la ETS PNP–PP d) número de asignaturas que aprueba un alumno e) ingresos de los sub oficiales PNP en Lima

11. Si el Titulo de un cuadro estadístico es

"Población Económicamente Activa

de 15 años y más, del departamento de Lima; por nivel educativo, según ramas de actividad", podemos afirmar que: a) Las ramas de actividad se encuentran en el encabezamiento b) Los niveles educativos se encuentran en la columna indicadora c) Las respuestas a y b son correctas d) Las ramas de actividad y los niveles

educativos se colocan en el encabezamiento.

e) Los niveles educativos se colocan en el encabezamiento

12. Si en una gráfica circular un ángulo de

90º representa a 50 alumnos PNP del

aula Nº 21, el porcentaje de

población de alumnos PNP

representada por un ángulo de 135º

es :

a) 75 % b) 37,5 % c) 200 % d) 243 % e) 90 %

13. En la tabla de la distribución de la

pregunta 6, la expresión: "el 16 % de

alumnos tiene 20 años" corresponde a

la interpretación de:

a) X4 b) h2 c) h4 d) f1 + f2 e) H1

14. En la distribución de la pregunta 6

¿Cuantos alumnos tienen a lo más 18

años?

a) 15 b) 20 c) 26 d) 25 e) 52

15. En la distribución de la pregunta 6

¿Qué porcentaje de alumnos tiene 20

o 19 años?

a) 16 % b) 36 % c) 18 %

d) 88 % e) 100 %

Con la siguiente distribución de puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en un examen de Estadística, elabora una tabla de frecuencias. ¿Cuál es el valor de la marca de clase del cuarto intervalo?

a) 30 b) 40 c) 25 d) 15 e) 35

16. En la tabla de la pregunta anterior,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

correcta?

a) el 74 % de los alumnos obtuvo entre 20 y 30 puntos incluso 20

b) 20 alumnos obtuvieron 40 puntos c) el 20 % de los alumnos obtuvo entre

30 y 40 puntos incluso 30 d) 30 alumnos obtuvieron menos de 20

puntos e) 38 alumnos obtuvieron más de 20

puntos

17. Observando la tabla de la pregunta 10

podemos afirmar que "el 74% de los

alumnos obtuvieron:

a) entre 20 y 30 puntos incluso 20 b) menos de 30 puntos c) mas de 30 puntos d) 25 puntos e) menos de 25 puntos

18. Al número resultante de haber

operado con ciertos datos, de acuerdo

con

procedimientos específicos se le

denomina:

a) atributo b) estadístico c) variable d) dato estadístico e) estadígrafo Las preguntas desde la 16 hasta la 18 se refieren a la siguiente distribución de edades de un grupo de estudiantes.

Xi 17 18 19 20 23

fi 6 20 10 8 6

19. ¿Cuál es la edad promedio?

a) 20,00 b) 22,6 c) 17,00

d) 19 e) 18,50

20. El 50 % de los alumnos tiene edades

menores o iguales a:

a) 18 b) 18,5 c) 19

d) 17,76 e) 20

21. La moda es:

a) 19 b) 18,5 c) 17,76

d) 20 e) 18

La siguiente tabla se refieren a la siguiente distribución de puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en un examen de Estadística.

L,-Ls) 00-10 10-20 20-30 30-40 40-50

Fi 8 30 36 20 6

22. ¿Cuál es el valor de la marca de clase

del cuarto intervalo?

a) 30 b) 40 c) 25

d) 15 e) 35

23. La nota promedio es:

a) 26,4 b) 23,4 c) 12,6

d) 49 e) 23,6

24. La mediana, aproximada a centésimas,

es:

a) 21,2 b) 20,33 c) 23,33

d) 10,00 e) 14,00

L i -L s )

00-10

10-20

20-30

30-40

40-50

fi 8 30 36 20 6

25. La nota más frecuente, aproximada a

centésimas, es:

a) 8,18 b) 32,73 c) 27,73

d) 22,73 e) 22,79

26. Si la frecuencia más alta de una

distribución es 80 y está asociada a la

variable 15, podemos afirmar que:

a) el promedio es 15

b) la moda es 15

c) la mediana es 80

d) la mediana es 15

e) la moda es 80

27. Si el 50 % de los estudiantes de

Estadística ha obtenido notas mayor o

iguales a 23 puntos podemos afirmar

que:

a) la mediana es 23

b) la mediana es 50

c) la moda es 23

d) la moda es 50

e) el promedio es 23

28. Es una propiedad de la mediana:

a) es el centra de gravedad de la distribución b) tiene la ventaja de utilizar toda la información c) no puede calcularse en el caso de intervalos de la forma [38 y más> d) no resulta influenciada por valores observados anormalmente grandes e) ninguna de las anteriores

29. Si en una distribución se tiene que la

moda es menor que la mediana y esta

a su vez es menor que la media

aritmética, podemos afirmar que la

distribución:

a) presenta asimetría con sesgo hacia la derecha b) presenta asimetría con sesgo hacia la izquierda c) es simetrica d) es platicurtica e) es normal

30. Indica que variables son cualitativas y

cuales cuantitativas:

a) Comida Favorita

Cualitativa

b) Profesión que te gusta

Cualitativa

c) Número de goles marcados por tu

equipo favorito en la última temporada.

Cuantitativa

d) Número de alumnos de tu Instituto.

Cuantitativa

e) El color de los ojos de tus compañeros

de clase.

Cualitativa

f) Coeficiente intelectual de tus

compañeros de clase.

Cuantitativa

31. De las siguientes variables indica cuáles

son discretas y cuales continúas.

a) Número de acciones vendidas cada

día en la Bolsa.

Discreta

b) Temperaturas registradas cada hora

en un observatorio.

Continua

c) Período de duración de un

automóvil.

Continua

d) El diámetro de las ruedas de varios

coches.

Continua

e) Número de hijos de 50 familias.

Discreta

f) Censo anual de los españoles.

Discreta

32. Clasificar las siguientes variables en

cualitativas y cuantitativas discretas o

continuas.

a) La nacionalidad de una persona.

Cualitativa

b) Número de litros de agua

contenidos en un depósito.

Cuantitativa continúa

c) Número de libro en un estante de

librería.

Cuantitativa discreta

d) Suma de puntos tenidos en el

lanzamiento de un par de dados.

Cuantitativa discreta

e) La profesión de una persona.

Cualitativa

f) El área de las distintas baldosas de

un edificio.

Cuantitativa continúa

33. Calcular la moda de la siguiente serie

de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4,

8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

Mo = 5

34. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla

sobre los meses de edad de 50 niños

de su consulta en el momento de

andar por primera vez:

Meses Niños 9 1 10 4 11 9 12 16 13 11 14 8 15 1 Calcular la moda.

Mo = 12

APORTES DEL MG. MARCOS GUEVARA FABIÁN Existen muchas definiciones; los especialistas aún no se ponen de acuerdo en considerar a la estadística como ciencia o como disciplina y mientras estas discrepancias se mantengan, la estadística puede describirse como “LA TECNOLOGÍA DEL MÉTODO CIENTÍFICO” pues nos proporciona un conjunto de reglas, técnicas e instrumentos de investigación de aplicación general en cualquier campo de la ciencia que orienta la toma de decisiones a partir del análisis e interpretación de observaciones realizadas en forma directa o experimentalmente. Sugerencia de concepto del Mg(e)Lic. Marcos Avidemio Guevara Fabián La estadística es una TECNOLOGÍA DEL MÉTODO CIENTÍFICO que nos proporciona un conjunto de reglas, técnicas e instrumentos de investigación de aplicación general en cualquier campo de la ciencia, para la recolección, organización (clasificación), análisis e interpretación de datos de manera adecuada que orienta la toma de decisiones a partir de observaciones realizadas en forma directa o experimentalmente.