ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA2da. Parte

EXPOSITOR:Ing. CARMEN BAZAN A.

MEDIDAS ESTADISTICASLas medidas estadísticas son valores calculados a partir de un conjunto de datos; se dividen en tres categorías.

∗Las que ayudan a encontrar el centro de la distribución de frecuencia relativa.

∗Las que miden la dispersión.

∗Las medidas de posición relativa.

∗MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medida de tendencia central más comunes son:

La Media Aritmética, La Moda y La Mediana.

La media aritmética (MEDIA O PROMEDIO).- de un conjunto de n observaciones X1,X2,. . . . Xn; es el promedio de las mediciones

NX

n

iiX∑

== 1

∗ Para datos agrupados:

∗ La Moda de un conjunto de n determinaciones es el valor X que ocurre con mayor frecuencia.

∗ La moda es especialmente útil, cuando interesa la frecuencia de ocurrencia relativa de X

NX

k

iii Xf∑

== 1

∗ La moda para datos agrupados:

∗ Donde: Li: límite inferior de la clase modal.∗ ∆1: diferencia entre fi de la clase modal y la anterior.∗ ∆2: diferencia entre fi de la clase modal y la posterior.∗ C: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).

La Mediana de un número de observaciones, es el valor medio o el promedio de los valores medios.∗ 17,19,23,24,29,31,33,33,36 Mediana= 29∗ 12,14,14,18,23,25,29,33 Mediana=(18+24)/2=21 ∗ La mediana para datos agrupados:

cModa Li*

21

1

++=

∆∆∆

∗ �� � �� � �

�� ��

� �� ��� � �

∗ Para varios fenómenos o experimentos, resulta insuficiente contar con descripciones gráficas y numéricas de tendencia central.

∗ Las medidas de dispersión mide la variabilidad de las observaciones respecto a una medida de valor central.

RELACION ENTRE MEDIDAS

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Amplitud Total o Rango de la muestra.- Es la diferencia entre los valores mayor y menor.

Desviación Media Absoluta.- Es la media de las desviaciones de las observaciones respecto a la media aritmética.

N

XDM

n

iiX∑

=

−= 1

∑

∑

=

=

−= k

ii

k

ii

f

X XfDM

1

1

∗ Varianza poblacional es la media de los cuadrados de las diferencias de las observaciones respecto a la su media aritmética.

∗ Para datos agrupados:

( )N

i

n

iXX∑ −

== 1

2

2σ

( )N

i

k

ii XXf∑ −

== 1

2

2σ

∗ Varianza muestral es la media de los cuadrados de las diferencias de las observaciones respecto a la su media aritmética.

∗ Para datos agrupados:

( )1

1

2

2

−=∑ −

=

n

i

n

iXX

s

( )1

1

2

2

−=∑ −

=

n

i

k

ii

XXfs

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TIPICA poblacional

Para datos agrupados:

Para muestras se ajustaran las expresiones dividiendo por (n-1) en lugar de (n).

( )N

i

n

IXX∑ −

== 1

2

σ

( )N

i

k

ii

XXf∑ −== 1

2

σ

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TIPICA muestral

∗ Para datos agrupados:

∗ Para muestras se ajustaran las expresiones dividiendo por (n-1) en lugar de (n).

( )1

1

2

−=

∑ −=

n

is

n

IXX

( )1

1

2

−=∑ −

=

n

is

k

ii

XXf

∗ Para realizar comparaciones entre diversos conjuntos de datos, se puede usar el coefiente de variación (CV)

CV=�

�̅x100

Un CV<50% Indica baja dispersión, por tanto la media es un buen representante de los datos.

Un CV>50% Indica alta dispersión, por tanto la media NO es un buen representante de los datos.

Coeficiente de variación

Medidas de Forma

∗ Son medidas numéricas que permiten determinar la forma que tiene la curva de los datos, por lo tanto, sirven para corroborar lo que los gráficos muestran.

Medidasde forma

-Sesgo

-Kurtosis

1er. Coef. de Pearson2do. Coef. de PersonCoef. De Fisher

Medidas de Forma: Asimetría∗ Permiten estudiar la forma de la curva,

dependiendo de cómo se agrupan los datos.

Medidas de Forma: AsimetríaCoeficiente de Asimetría de Pearson:

∗ Fácil de calcular e interpretar.

∗ Cálculo: ( )s

MoXCas

−= 3

o Interpretación:

CAS

= 0, X=Mo Simétrica

> 0, X>Mo Asimétrica Positiva

< 0, X<Mo Asimétrica Negativa

Medidas de Forma: Asimetría2do Coeficiente de Asimetría de Pearson:

Cálculo:

Interpretación.- Igual que Cas.

( )s

MeXCas

−= 3´

Medidas de Forma: Asimetría

Coeficiente de Asimetría de Fisher:

No es de fácil cálculo, pero si su interpretación.

( )

( )3

1

3

31

3

ns

fxMCASF

ns

XxCASF

k

iii

n

ii

∑

∑

=

=

×−=

−= Datos NO agrupados

Datos Agrupados

Medidas de Forma: Asimetría

o Interpretación:

CASF

= 0, Simétrica

> 0, Asimétrica Positiva

< 0, Asimétrica Negativa

Medidas de Forma: Kurtosis

∗ Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución).

∗ Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:

Medidas de Forma: Kurtosis∗ Mesocúrtica: grado de concentración medio

alrededor de los valores centrales de la variable. (normal)

∗ Leptocúrtica: grado de concentración elevado. (delgada)

∗ Platicúrtica: grado de concentración reducido. (achatada)

Medidas de Forma: Kurtosis

( )

( )3

3

41

4

41

4

−×−

=

−−

=

∑

∑

=

=

ns

fXxCK

ns

XxCK

k

iii

n

ii

Datos No Agrupados

Datos Agrupados

Interpretación:

CK

=0 Mesocúrtica

>0 Leptocúrtica

<0 Platicúrtica