Estudio analitico de_las_conicas

CÓNICAS

Unidad docente de Matemáticas 1

ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónica es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a un punto fijo (que llamaremos foco) y a una recta fija (que llamaremos directriz) es constante. A dicha constante le llamaremos excentricidad y se designa por e, verificándose que:

Si e<1, la cónica es una elipse. Si e=1, la cónica es una parábola. Si e>1, la cónica es una hipérbola.

Busquemos la ecuación de la cónica para el foco F(c,0) y de directriz 2ar x

c≡ = ,

siendo cea

= :

Para un punto P(x,y) del plano se tiene que cumplir:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 22 22 2

2

x c y 0d P,F c c ae x c y 0 xd P, r a a cax

c

− + − = ⇔ = ⇔ − + − = − −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x 2cx c y c x 2ca x a c a c x a y a a c *− + + = − + ⇔ − + = − Discusión: "Ecuaciones canónicas"

1. Si a>c ce 1a

⇔ = < , llamaremos b2=a2-c2 y su ecuación (*) se reduce:

2 22 2 2 2 2 2

2 2

x yb x a y a b 1a b

+ = ⇔ + =

2. Si a<c ce 1

a⇔ = > , llamaremos b2=c2-a2 y su ecuación (*) se reduce:

2 22 2 2 2 2 2

2 2

x yb x a y a b 1a b

− + = − ⇔ − =

CÓNICAS


3. Si a=c la directriz pasaría por el foco y tendríamos un caso particular en el cual la cónica se reduciría a una recta doble. Tomaremos otros ejes: sea el foco F(p/2,0) y la directriz x=-p/2, entonces

( )( )

( )( )

22

2 22

px y 0d P, F 2 p pe 1 x y 0 x

pd P, r 2 2x2

− + − = ⇔ = ⇔ − + − = +

+

2y 2px=

CÓNICAS


LA ELIPSE

Sea la elipse de ecuación reducida 2 2

2 2

x y 1a b

+ = , entonces:

• Vértices: A(a,0); A’(-a,0); B(0,b); B’(0,-b). • Semieje mayor: a; semieje menor: b. • Focos: F(c,0); F’(-c,0). • Directrices: x=a2/c; x=-a2/c. • Ejes de simetría: x=0; y=0 • Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría. • Distancia focal: d(F,F’)=2c. • Parámetro focal: p=b2/a.

• Radios vectores: distancia de un punto P(x,y) cualquiera de la cónica a los focos. ( )( )

2d P, F PF ae PF ePD e x a exd P, r PD c

= = ⇒ = = − = − y 2aPF' ePD ' e x a ex

c= = + = + .

Teorema de Dandelin: La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al doble de su semieje mayor. Demostración: Para cualquier punto P de la elipse y si r y r’ son las directrices de la elipse, d(P,r)=d(P;D)=PD; d(P,r’)=d(P;D’)=PD’.

F’

P(c,b2/a)

F

p c

F’

P(x,y)

Fx

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( )( ) 2

d P,F PF PF' PF PF' PF PF' PF PF' ce PF PF' 2ad P, r PD PD' PD PD' DD' aa2

c

+ + += = = = = = = ⇒ + =

+

La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al doble de su semieje mayor. Si P’ es un punto interior a la elipse resulta: P 'F P 'F ' PF PF' 2a+ < + = . Si P’’ es un punto exterior a la elipse resulta: P ''F P ''F ' PF PF' 2a+ > + = . Luego la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican el teorema de Dandelin. Definición: La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante. Ecuación de la recta tangente a la elipse por uno de sus puntos:

De la ecuación de la elipse 2 2

2 22 2

x y b1 y a xaa b

+ = ⇒ = ± −

y su función derivada 2 2

b xy 'a a x

−⇒ =

−,

en el punto 0 0P(x , y ) de la elipse 2

0 022 2

00

x xb by '(P)a yaa x

−⇒ = = −

−,

de donde la ecuación de la recta tangente, en la forma punto-pendiente es: 2 22

0 0 0 0 00 02 2 2

0

x y y y x x xby y (x x )ya b a

− −− = − − ⇒ = − ⇒ 0 0

2 2

x x y ya b

+ =2 2

0 02 2

x ya b

+

y teniendo en cuenta que por ser P un punto de la elipse verifica 2 2

0 02 2

x y1

a b+ = resulta:

0 02 2

x x y y1

a b+ = .

F’

P

F

D’ D

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Ecuación de la recta normal a la elipse:

De la ecuación de la recta tangente 2

00 02

0

xby y (x x )ya

− = − − podemos obtener la recta

perpendicular en el punto de tangencia, sin más que sustituir la pendiente por la opuesta

de la inversa 2

00 02

0

yay y (x x )xb

− = − y simplificando 2 2

2 2

0 0

a x b y b ax y

− + = −

Propiedades:

1. La tangente a la elipse es la bisectriz del ángulo formado por un radio vector y la prolongación del otro.

Demostración: La intersección de la recta tangente t en el punto P(x0,y0) con el eje de abscisas resulta:

202

0

x x ay 0 1 xxa

= ⇒ = ⇒ =

Es el punto T y sus distancias a los focos son: 2

0

2

0

aTF cx

aTF' cx

= −

= +

dividiendo, 2

0 02

00

a cx a exTF PFTF' a ex PF'a cx

− −= = =

++

propiedad de la bisectriz exterior de un triángulo:

es decir, las distancias TF y TF’ son proporcionales a los lados del triángulo PFF’; por tanto, la tangente coincide con la bisectriz exterior.

2. La normal a la elipse en el punto P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores PF y PF' .

Demostración: La normal PN, por ser perpendicular a la tangente coincidirá con la bisectriz interior; o sea con la bisectriz del ángulo formado por los dos radios vectores.

3. El producto de las distancias de los focos a cualquier tangente de la elipse es igual al cuadrado de semieje menor.

Demostración:

F’

P

N F

T (x,0)

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Sea y=mx+k una recta tangente a la elipse 2 2

2 2

x y 1a b

+ = , entonces

( )22

2 2

mx kx 1a b

++ =

( )22 2 2 2 2b x a mx k a b+ + =

( )22 2 2 2 2 2 2 2b x a mx 2a mkx a k a b 0+ + + − =

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2b a m x 2a mkx a k a b 0+ + + − = la recta tangente corta a la cónica en un único punto, luego la ecuación de segundo grado tiene solución única y su discriminante vale cero.

( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 2 22a mk 4 b a m a k a b 0∆ = − + − = 2 2 2 2 2 2 2 2k b a m 0 k b a m− + + = ⇔ = +

Para los focos F(c,0) y F’(-c,0) las distancias a la recta tangente mx-y+k=0 es: 2 2 2

22 2

mc k mc k k m cd(F,t) d(F ', t)m 1m 1 m 1

+ − + −⋅ = = =

++ +

sustituyendo 2 2 2 2k b a m= + ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

b m a ck m c b a m m cm 1 m 1 m 1

+ −− + −= = = =

+ + +

se cumple que: b2=a2-c2 ( )2 2 2 2 2 2 2

22 2

b m a c b m b bm 1 m 1

+ − += = =

+ +

por consiguiente, 2d(F,t) d(F ', t) b⋅ = . Otras formas reducidas de la ecuación de la elipse

• Mediante una rotación de los ejes coordenados de 90º obtenemos la ecuación de la elipse cuyo eje focal es el eje de ordenadas.

2 2

2 2

x y 1b a

+ =

F’

F

b

a

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• Mediante una traslación del origen O quedan los ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados con el eje focal y=β y el centro (α,β).

( ) ( )2 2

2 2

x y1

a b− α −β

+ =

• Mediante una traslación de origen O y una rotación de ejes coordenados de 90º quedan los ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados con el eje focal x=α y el centro (α,β).

( ) ( )2 2

2 2

x y1

b a− α −β

+ =

Ecuación general de la elipse: Una ecuación de segundo grado en la cual falta el término en xy, y los coeficientes de x2 e y2 tienen el mismo signo representa una elipse con los ejes paralelos a los ejes coordenados (excepcionalmente un solo punto o no tiene gráfica).

2 2Ax Cy Dx Ey F 0+ + + + = donde A y C tienen el mismo signo, pues, completando los cuadrados en x e y la ecuación anterior se identifica con una de las cuatro ecuaciones reducidas anteriores.

F’

F

y=β

O

F’ F

y=β

x=α O

x=α

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Caso particular:

Si a=b resulta una circunferencia 2 2

2 2 22 2

x y 1 x y aa a

+ = ⇒ + = de centro el origen de

coordenadas y de radio a y la excentricidad es cero. Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una cantidad que se llama radio. Ecuación general de la circunferencia: Para una circunferencia de centro C(a,b) y radio r, se tiene que: d(C,P)=r con P(x,y) punto genérico del plano obtenemos

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x-a) +(y-b) =r (x-a) +(y-b) =r x y 2ax 2by a b r 0⇒ ⇒ + − − + + − =

en definitiva 2 2x y mx ny p 0+ + + + = con m=-2a; n=-2b; p=a2+b2-r2. Una ecuación de segundo grado en que x2 e y2 tiene coeficientes iguales y carece de término en xy, representa una circunferencia (excepcionalmente, un solo punto, o carece de gráfica).

2 2Ax Ay Bx Cy D 0+ + + + =

Ecuación de la recta tangente a la circunferencia: a) por uno de sus puntos:

De la ecuación de la circunferencia 2 2 2(x-a) +(y-b) =r .

derivando x-a2(x-a)+2(y-b)y'=0 y'=-y-b

⇒ ,

en el punto 0 0P(x , y ) de la circunferencia 0

0

x ay '(P)

y b−

⇒ = −−

,

de donde la ecuación de la recta tangente, en la forma punto-pendiente es:

( ) ( )( )00 0 0 0 0 0

0

x ay y (x x ) x a (x x ) y b y y 0

y b−

− = − − ⇒ − − + − − =−

.

O bien, sumando la ecuación de la circunferencia para el punto 0 0P(x , y )

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 20 0 0 0 0 0x a (x x ) x a y b y y y b 0 r− − + − + − − + − = +

simplificando ( ) ( )( ) 2

0 0x a (x a) y b y b r− − + − − = Propiedad: La recta que une el centro de la circunferencia y el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Demostración: La recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia es:

( )( ) ( )00 0 0 0 0 0

0

y by y (x x ) x a y y (x x ) y b 0

x a−

− = − ⇒ − − − − − =−

que pasa por el centro de la circunferencia C(a,b) ya que se cumple la ecuación ( )( ) ( )0 0 0 0x a b y (a x ) y b 0⇒ − − − − − =

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b) Por un punto exterior.

Si el punto P es exterior a la circunferencia determinamos el haz de rectas que pasan por P e imponemos la condición de que la distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es el radio. Potencia de un punto respecto de una circunferencia: Consideramos la ecuación de la circunferencia centrada en el origen x2+y2=r2 y la recta s secante con la circunferencia en los puntos A y B que pasa por P(x0,y0), luego la ecuación de la recta s en forma paramétrica:

0 1

0 2

x x tvs

y y tv= +

≡ = +

con ( )1 2v v , v= unitario. Efectuamos la intersección de recta y circunferencia: ( ) ( )2 2 2

0 1 0 2x tv y tv r+ + + = 2 2 2 2 2 2 2

0 0 1 1 0 0 2x 2x tv t v y 2y t t v r⇔ + + + + + + = ⇔

( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 0 1 0 2 0 0

v 1

v v t 2x v 2y v t x y r=

⇔ + + + + + = ⇒

( )2 2 2 20 1 0 2 0 0t 2x v 2y v t x y r 0⇒ + + + + − =

Resolviendo la ecuación de segundo grado en t, obtenemos las soluciones t1 y t2. Esto nos permite determinar los puntos A(x0+t1v1, y0+t1v2) y B(x0+t2v1, y0+t2v2) y calcular los segmentos 1PA =t y 2PB =t cuyo producto es: 2 2 2

1 2 0 0PAPB=t t x y r= + − que es independiente de los puntos A y B, luego:

2 2 20 0PAPB=PA'PB'=PA''PB''=...= x y r cte.+ − =

Definición: A esta constante se le llama potencia del punto P con respecto a la circunferencia. Considerando en particular la recta secante que pasa por el centro de la circunferencia Pot(P)= ( )( )PAPB= d-r d+r =

( )2 2= d -r =

( ) ( )2 2 20 0x a y b r= − + − −

PB A C

d r

tangente

normal

C(a,b) P

P

A’

B

B’

A

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Luego para hallar la potencia de un punto respecto de una circunferencia basta sustituir el punto en la ecuación de la circunferencia:

( ) ( )2 2 20 0Pot(P) x a y b r= − + − −

Corolario 1: Si el punto P es exterior a la circunferencia, la potencia es positiva; si P es interior a ella, la potencia es negativa, y si está en la circunferencia, la potencia es nula. Corolario 2: Si el punto P es el origen de coordenadas la potencia quedaría

( ) ( )2 2 2 2 2 2Pot(O) 0 a 0 b r a b r= − + − − = + − que, comparada con la ecuación general de la circunferencia es el término independiente. Corolario 3:Cuando la recta secante, que mide la potencia, se convierte en tangente a la circunferencia, la potencia es igual al cuadrado de la longitud de la tangente trazada por dicho punto.

Definición: Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias. Dadas las dos circunferencias de ecuaciones:

2 2

2 2

x y Ax By C 0x y A 'x B' y C ' 0

+ + + + =

+ + + + =

e igualando las potencias de un punto cualquiera P(x,y) respecto a ambas, ( ) ( ) ( )2 2 2 2x y Ax By C x y A 'x B' y C ' A A ' x B B' y C C' 0+ + + + = + + + + ⇒ − + − + − =

resulta una recta que cumple: Proposición 1: El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea que une los centros de las dos circunferencias. Demostración: De las circunferencias conocemos los centros:

2 21

2 22

A Bx y Ax By C 0 C ,2 2

A ' B'x y A 'x B' y C ' 0 C ,2 2

+ + + + = ⇒ = − −

+ + + + = ⇒ = − −

y el vector que los une:

1 2A A ' B B'C C ,

2 2− − =

P

T

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es paralelo al vector normal a la recta que determina el eje radical,

( )1 2A A ' B B'C C , // n A A ',B B'

2 2− − = = − − ⊥

( ) ( ) ( )A A ' x B B' y C C' 0− + − + − =

Proposición 2: Si dos circunferencias son secantes, el eje radical es la recta de su cuerda común. Proposición 3: Si dos circunferencias son tangentes, el eje radical es la recta tangente común. Proposición 4: Dos circunferencias concéntricas no tienen eje radical. Definición: Centro radical de tres circunferencias es un punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.

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LA HIPÉRBOLA

Sea la hipérbola de ecuación canónica 2 2

2 2

x y 1a b

− = , entonces:

• Vértices: A(a,0); A’(-a,0). • Focos: F(c,0); F’(-c,0). • Directrices: x=a2/c; x=-a2/c. • Ejes de simetría: x=0; y=0 • Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría. • Distancia focal: d(F,F’)=2c. • Parámetro focal: p=b2/a.

• Radios vectores: distancia de un punto cualquiera de la cónica a los focos. ( )( )

2d P, F PF ae PF ePD e x ex ad P, r PD c

= = ⇒ = = − = − y 2aPF' ePD ' e x a ex

c= = + = + .

p

P(c,b2/a)

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Teorema de Dandelin: La diferencia de las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a los focos es constante e igual 2a. Demostración: Para cualquier punto P de la hipérbola y si r y r’ son las directrices de la cónica, d(P,r)=d(P;D)=PD; d(P,r’)=d(P;D’)=PD’.

( )( ) 2

d P,F PF PF' PF' PF PF' PF PF' PF ce PF PF ' '2ad P, r PD PD ' PD' PD D'D aa2

c

− − −= = = = = = = ⇒ − =

−

La diferencia de las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a los focos es igual 2a. Luego la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican el teorema de Dandelin. Definición: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es constante. Asíntotas: Para hallar las asíntotas procederemos como para las asíntotas oblicuas de una curva cualquiera. Estas rectas tienen por ecuación:

y=mx+n donde x

ym límx→∞

= y ( )x

n lím y mx→∞

= − .

De la ecuación de la hipérbola 2 2

2 22 2

x y b1 y x aaa b

− = ⇒ = ± − ,

entonces 2

2 22x x x

y 1 b b a bm lím lím x a lím 1x x a a ax→∞ →∞ →∞

= = ± − = ± − = ± ,

cálculo de n:

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( )2 2 2 2

x x

b b bn lím x a x lím x a xa a a→∞ →∞

= ± − − ± = ± − − =

( )( )2 2 2 22 2 2 2

x x x2 2 2 2 2 2

x a x x a xb b x a x b alím lím lím 0a a ax a x x a x x a x→∞ →∞ →∞

− − − + − − − = ± = ± = ± = − + − + − +

luego las ecuaciones de las asíntotas son: by xa

= ; by xa

= −

Consecuencias: Los ejes son bisectrices de los cuatro ángulos que forman las asíntotas.

Ecuación de la recta tangente a la hipérbola por uno de sus puntos:

De la ecuación de la hipérbola 2 2

2 22 2

x y b1 y x aaa b

− = ⇒ = ± −

y su función derivada 2 2

b xy 'a x a

⇒ =−

,

en el punto 0 0P(x , y ) de la cónica2

0 022 2

00

x xb by '(P)a yax a

⇒ = =−

,

de donde la ecuación de la recta tangente, en la forma punto-pendiente es:

2 22

0 0 0 0 00 02 2 2

0

x y y y x x xby y (x x )ya b a

− −− = − ⇒ = ⇒ 0 0

2 2

x x y ya b

− =2 2

0 02 2

x ya b

−

y teniendo en cuenta que por ser P un punto de la hipérbola verifica 2 2

0 02 2

x y1

a b− =

resulta: 0 02 2

x x y y1

a b− = .

CÓNICAS


Ecuación de la recta normal a la hipérbola:

De la ecuación de la recta tangente 2

00 02

0

xby y (x x )ya

− = − podemos obtener la recta


de la inversa 2

00 02

0

yay y (x x )xb

− = − − y simplificando 2 2

2 2

0 0

a x b y b ax y

+ = +

Propiedades:

1. La normal a la hipérbola en el punto P, es la bisectriz del ángulo que forma un radio vector y la prolongación del otro.

Demostración:

La intersección de la recta normal 2 2

2 2 2

0 0

a x b yn b a cx y

≡ + = + = en el punto P(x0,y0) con

el eje de abscisas resulta: 2 2

202

0

a x cy 0 c x xx a

= ⇒ = ⇒ =

Es el punto N y sus distancias a los focos son: 2 22

002 2

2 220

02 2

c x cacNF x ca a

c x cacNF' x ca a

−= − =

+= + =

dividiendo, 2

0 02

00

cx a ex aNF PFNF' ex a PF'cx a

− −= = =

−+

por tanto, la normal coincide con la bisectriz exterior.

2. La tangente a la hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por los radios vectores PF y PF' .

Demostración:

T N

P

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La recta tangente PT, por ser perpendicular a la normal coincidirá con la bisectriz interior; o sea con la bisectriz del ángulo formado por los radios vectores.

3. El producto de las distancias de los focos a cualquier tangente de la hipérbola es igual a b2.

Demostración:

Sea y=mx+k una recta tangente a la elipse 2 2

2 2

x y 1a b

− = , entonces

( )22

2 2

mx kx 1a b

+− =

( )22 2 2 2 2b x a mx k a b− + =

( )22 2 2 2 2 2 2 2b x a mx 2a mkx a k a b 0− − − − =

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2b a m x 2a mkx a k a b 0− − − − = la recta tangente corta a la cónica en un único punto, luego la ecuación de segundo grado tiene solución única y su discriminante vale cero.

( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 2 22a mk 4 b a m a k a b 0∆ = − − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2k b a m 0 k b a m+ − = ⇔ = − +

Para los focos F(c,0) y F’(-c,0) las distancias a la recta tangente mx-y+k=0 es: 2 2 2

22 2

mc k mc k k m cd(F, t) d(F ', t)m 1m 1 m 1

+ − + −⋅ = = =

++ +

sustituyendo 2 2 2 2k b a m= − +

( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

b m a ck m c b a m m cm 1 m 1 m 1

− + −− − + −= = = =

+ + +

se cumple que: b2=c2-a2 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

22 2

b m a c b m bb

m 1 m 1

− + − − + −= = =

+ +

por consiguiente, 2d(F,t) d(F ', t) b⋅ = . Hipérbola conjugada:

Dada la hipérbola de ecuación 2 2

2 2

x y 1a b

− = existe otra hipérbola con las misma

asíntotas, pero con los focos F(0,c) y F’(0,-c) que tiene por ecuación 2 2 2 2

2 2 2 2

x y x y1 1a b a b

− = − ⇔ − + = denominada hipérbola conjugada.

CÓNICAS


Otras formas reducidas de la ecuación de la hipérbola:

• Mediante una rotación de los ejes coordenados de 90º obtenemos la ecuación de la hipérbola cuyo eje focal es el eje de ordenadas.

2 2

2 2

y x 1a bbbba a b

− =

• Mediante una traslación del origen O queda los ejes de simetría paralelos a los

ejes coordenados con el eje focal y=β y el centro (α,β).

CÓNICAS


( ) ( )2 2

2 2

x y1

a b− α −β

− =

• Mediante una traslación de origen O y una rotación de ejes coordenados de 90º

queda los ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados con el eje focal x=α y el centro (α,β).

( ) ( )2 2

2 2

x y1

b a− α −β

− + =

Ecuación general de la hipérbola: Una ecuación de segundo grado en la cual falta el término en xy, y los coeficientes de x2 e y2 tienen distinto signo representa una hipérbola con los ejes paralelos a los ejes coordenados (excepcionalmente dos rectas secantes).

2 2Ax Cy Dx Ey F 0+ + + + = donde A y C tienen distinto signo, pues, completando los cuadrados en x e y la ecuación anterior se identifica con una de las cuatro ecuaciones reducidas anteriores.

CÓNICAS


Caso particular: Si a=b resulta una hipérbola equilátera de centro el origen de coordenadas.

2 2

2 2

x y 1a a

− = ⇒ 2 2 2x y a− =

En cuyo caso, la excentricidad 2 2c a b 2ae 2

a a a+

= = = = y las asíntotas son las

bisectrices de los cuadrantes y x= ± perpendiculares entre sí. Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas: Por ser las asíntotas perpendiculares podemos efectuar una rotación de los ejes de coordenadas de -45º.

( )

( )

2x x 'cos( 45º ) y 'sen( 45º ) x ' y 'x x 'cos y 'sen 2x x 'sen y 'cos 2x x 'sen( 45º ) y 'cos( 45º ) x ' y '

2

= − − − = += α − α ⇒ = α + α = − + − = − +

sustituyendo en la ecuación de la hipérbola equilátera 2 2 2x y a− = queda:

( ) ( )2 2

2 22 2x ' y ' x ' y ' a 2x ' y ' a x ' y ' k2 2

+ − − + = ⇒ = ⇒ =

Proposición: en la elipse y la hipérbola, la excentricidad e es igual a la razón

1 2

1 2

F F caA A

= , siendo 1 2 1 2F F d(F , F ) 2c= = la distancia entre los focos de la cónica y

1 2 1 2A A d(A , A ) 2a= = la distancia entre los vértices (puntos de intersección de la cónica con su eje focal).

CÓNICAS


LA PARÁBOLA

Definición: Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y una recta fija r, llamada directriz. Sea la parábola de ecuación reducida 2y 2px= , entonces:

• Foco: F(p/2,0). • Directriz: x=-p/2. • Eje de simetría: es la perpendicular del foco a la directriz y=0 • Vértice: O(0,0) punto de intersección de la curva con el eje de simetría. • Parámetro: es la distancia del foco a la directriz p. • Excentricidad: e=1

Ecuación de la recta tangente a la parábola por uno de sus puntos: De la ecuación de la parábola 2y 2px=

Derivando respecto de x p2yy ' 2p y 'y

⇒ = ⇒ = ,

en el punto 0 0P(x , y ) de la parábola 0

py '(P)y

⇒ = ,

de donde la ecuación de la recta tangente, en la forma punto-pendiente es: 2 2

0 0 0 0 0 0 0 00

py y (x x ) y y y px px y y y px pxy

− = − ⇒ − = − ⇒ = + −

y teniendo en cuenta que por ser P un punto de la parábola verifica 20 0y 2px=

resulta: 0 0y y px px= +

CÓNICAS


La tangente a la parábola es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector y la recta que mide la distancia del punto de tangencia a la bisectriz. Demostración: Sea T la intersección de la tangente PT con el eje OX:

0 00

yy px pxx x

y 0= +

⇒ = −= .

PF=PD=PA+AD=x0+p/2 FT=FO+OT=p/2+x0

Comparando PF=FT, luego el triángulo PFT es isósceles y los ángulos α y β son iguales.

Ecuación de la recta normal a la parábola por uno de sus puntos:

De la ecuación de la recta tangente 0 00

py y (x x )y

− = − podemos obtener la recta


de la inversa 00 0

yy y (x x )

p− = − − .

La normal PN es la bisectriz del ángulo formado por el radio vector PF y la perpendicular a la directriz desde P. Propiedad de aplicación en los espejos parabólicos, puesto que todos los rayos que provienen del foco F salen paralelos al eje del espejo.

N

CÓNICAS


Otras formas reducidas de la ecuación de la parábola: • Mediante una rotación de los ejes coordenados de 90º obtenemos la ecuación de

la parábola cuyo eje focal es el eje de ordenadas.

2x 2py=

• Mediante una traslación del origen O queda el eje de simetría paralelo al eje de

abscisas con el eje focal y=β y el vértice (α,β).

( ) ( )2y 2p x−β = − α

CÓNICAS


• Mediante una traslación de origen O y una rotación de ejes coordenados de 90º queda el eje de simetría paralelo alo eje de ordenadas con el eje focal x=α y el vértice (α,β).

( ) ( )2x 2p y− α = −β

• Mediante una rotación de los ejes coordenados de 180º obtenemos la ecuación de la parábola cuyo eje focal es el eje de ordenadas, pero el foco está situado en la parte negativa.

2y 2px= −

Podíamos repetir el proceso trasladando el vértice de la parábola anterior obteniendo otras expresiones similares.

Ecuación general de la parábola: Desarrollando el cuadrado de cualquiera de las expresiones anteriores queda una ecuación de segundo grado en la cual falta el término en xy, y uno de los coeficientes de x2 e y2 es nulo que representa una parábola con el eje paralelo a uno de los ejes coordenados (excepcionalmente dos rectas paralelas o coincidentes o no tienen gráfica).

2y Ax Bx C= + + siendo el eje de simetría paralelo al eje de ordenadas con A>0 el foco por encima del vértice (cóncava); con A<0 el foco por debajo del vértice (convexa).

2x Ay By C= + + siendo el eje de simetría paralelo al eje de abscisas con A>0 el foco a la derecha del vértice; con A<0 el foco a la izquierda del vértice.

Estudio analitico de_las_conicas

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