Examen Final Calculo Integral 2012-1 Con Solucion
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VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012
CURSO: Cálculo Integral CÓDIGO: 100411 TEMA A
AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA
CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ
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CUADERNILLO DE PREGUNTAS PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Analizando y conceptualizando la antiderivada, podemos pensar que si tenemos una función ( )xf , la tarea consiste en encontrar otra función ( )xD tal que
( ) ( )xfxD =′ . Por lo tanto ( )xD es una antiderivada de ( )xf . Para solucionar integrales se debe identificar como primero paso el método a emplear, una sugerencia puede ser la siguiente:
Identificar si la integral a solucionar en directa.
Si podemos aplicar la formula ( )
( )∫ ++
=+
kn
axdxxan
n
1
1
Para 1−≠n
Aplicar nuestros conocimientos previos del algebra como la factorización, la simplificación, al división sintética, etc.
Utilizar la técnica de la sustitución, por partes, por fracciones parciales y otras. Con base en los anteriores conceptos, solucione las preguntas del 1 hasta el 10 1. Las integrales son importantes dentro de las matemáticas y para resolverlas
podemos utilizar la ecuación
( )
∫ ++
=+
kn
axdxaxn
n
1
1
siempre y cuando
1−≠n . Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la integral indefinida
dxx
x∫
−33
, es:
A. kxx
++ 2231
.
B. kxx
++−
2231
. RTA
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C. kxx
+−−
2231
.
D. kxx
+− 2231
.
Solución:
∫ ∫ ∫ ++−
=−
−−
=−=−=− −−
−− kxx
xxxxxdx
xdxdx
xx
2
2132
323 231
23
1333
2. La solución de la integral ( )∫ + 2bxadx
, donde a y b son constantes, es:
A. ( ) cbxab
++−1 RTA
B. ( ) cbxa
++21
C. ( ) cbxa
++−
21
D. ( ) cbxaa
++1
Solución:
( ) ( ) cbxab
cb
uduubbdxdu
bxaubxa
dx+
+−
=+−
=⇒⎩⎨⎧
=+=
⇒+
−−∫∫
11 12
3. La solución de la integral ( )dxx
x∫ +
−2242
, es ( ) cxxxD +−=4
2
, en donde para su
adecuada solución se utilizo el método de:
A. Fracciones parciales. B. Identidades trigonométricas. C. Sustitución por cambio de variables. D. Operaciones algebraicas. RTA
Solución:
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( )( )( )
( )( )
cxx
dxxdxdxxdxx
xxdxx
x
+−=
−=−
=+
+−=
+−
∫∫∫∫∫
4
21
22
2222
224
2
2
4. La solución de la siguiente integral indefinida ∫ ++ dx
xx
12
, es:
A. cxx +++ 1ln RTA B. cx ++1log C. cx ++1ln D. cx +
Solución:
cxxxdxdx
dxxxx
xdxxx
+++=+
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⇒
++=
++
⇒++
∫∫
∫∫
1ln1
111
111
12
12
5. Calcule la siguiente integral indefinida ( )∫ + dxxa 3, donde a se considera una
constante.
A. ( ) cxa ++ 4
B. ( ) cxa+
−2
4
C. ( ) cxa+
+4
4
RTA
D. ( ) cxa+
+2
Solución:
( ) ( ) cxacuduudxdu
xaudxxa +
+=+=⇒
⎩⎨⎧
=+=
⇒+ ∫∫ 44
4433
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6. Calcule la siguiente integral indefinida, ( )
∫+ 3
1bxa
dx donde a y b se consideran
constantes.
A. ( ) cbxa ++ 32
B. ( ) cbxab
++ 32
23 RTA
C. ( ) cbxaa
++ 32
23
D. ( ) 321
32
cbxa ++
Solución:
( )
( ) cbxab
cubb
duubdudu
bxaudx
bxa
dx
++=
+⋅=⇒⎩⎨⎧
=+=
⇒+
∫∫−
32
32
32
31
31
23
1
7. Al solucionar la siguiente integral indefinida ( ) dxn
∫ − 00 32 se obtiene: A. 0 . B. k . RTA C. k+0 . D. kn + .
Solución:
( ) kdxdx nn==− ∫∫ 032 00
8. Al resolver de forma adecuada la siguiente integral ( )( ) ( )[ ]∫ dxxCosxSen 33 , el
mejor método de integración a utilizar es: A. Integración directa
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B. Integración por Sustituciones trigonométricas C. Integración por partes. D. Integración por cambio de variable. RTA
Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) cxSenxSen
dxxCosduxSenu
dxxCosxSendxxCosxSen
+==
⎩⎨⎧
==
⇒= ∫∫
3
23
23
21
92
31
333
3333
9. La solución de la siguiente integral indefinida ( ) ( )( ) ( )∫ −
+ dxxCosxSen
xCosxSenes:
A. ( ) cxCos +22 B. ( ) cxSen +22 C. ( ) ( ) cxCosxSen +−2 RTA D. ( ) cxTan +22
Solución:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) cxCosxSenxCosxSen
duxCosxSenu
dxxCosxSenduxCosxSenu
dxxCosxSen
xCosxSen
+−=+
⋅+=
⎩⎨⎧
+=−=
=⇒−+
∫
∫−
221
10. La solución a la siguiente integral ( ) ( )
( )∫ −dx
xxxsen
2cos1cos
es :
A. ( ) cxCos + B. ( ) cxTan + C. ( ) cxSec + D. ( ) cxSen + RTA
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Solución:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) cxSendxxCos
dxxsen
xxsendxxSen
xxsendxxxxsen
+==
==−
∫
∫∫∫coscos
cos1cos
22
Dada una función ( )xf de una variable real x y un intervalo [ ]ba , la integral
definida es igual al área encerrada entre las graficas de ( )xf , el eje de las abscisas y las líneas verticales ax = y bx = Solucione las preguntas del 11 hasta el 15 las cuales se refieren a integrales definidas
11. La solución de la integral definida ( )dxkxb
a∫ + , siendo k una constante, es:
A. ( )abkab−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2
22.
B. ( )abkab−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
22
22
.RTA
C. ( ) ( )abkab +++ 22 . D. ( ) ( )abkab −+− 2 . Solución:
( ) ( )abkabkxxdxkxdxdxkxb
a
b
a
b
a
b
a
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=+=+=+ ∫∫∫ 222
222
12. La solución de la siguiente integral definida ( )dxxSen∫π
π 2/ es.
A. 0 B. 2 C. 1 RTA D. 1−
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Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) 10122/
0
=−−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−=∫πππ
π
π
CosCosxCosdxxSen
13. La solución de la siguiente integral definida ( )∫2
2
2/52/32 dxx es
A. 0 RTA B. 1 C. Infinito. D. 5 Solución:
Por propiedad de la integral definida ( ) 0=∫b
adxxf , para ba =
14. La siguiente expresión ( )∫−b
adxxf
ab1
define :
A. Teorema de simetría. B. Teorema del valor medio. RTA C. Primer teorema fundamental del cálculo. D. Segundo teorema fundamental del cálculo.
Solución: Teorema del valor medio.
( ) ( ) ( )∫∑ −=Δ
−=
=→∞
b
a
n
iin
dxxfab
xxfab
xf 11lim1
15. La solución de la siguiente integral definida dxx
xx∫− −
−+0
10
2
7703
es:
A. 50 RTA B. 0 C. 150 D. 25 Solución:
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( ) ( ) ( ) 5010*1021010
210
7703 220
10
0
10
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−−=+=+=
−−+
∫∫−−
xxdxxdxx
xx
Las integrales tienen múltiples aplicaciones para solucionar problemas en diversos campos de las ciencias y la tecnología, partiendo del análisis de graficas (área bajo curvas, longitud de curva), los volúmenes de sólidos de revolución, las aplicaciones en la solución de problemas prácticos de la física y la economía. Solucione las preguntas del 16 hasta el 22 las cuales se refieren a las aplicaciones de las integrales 16. Calcule el área total bajo la curva de la siguiente función 33 23 +−−= xxxy ,
con respecto al eje x , tomando como intervalo el origen y el primer punto de intersección de la función y el eje x positivo.
A. 47
Unidades Cuadradas RTA
B. 97
C. 129
D. 2721
Solución: Se calculan las intersecciones con el eje x, Factorizando el polemonio se obtienen
( )( )( )13133 23 ++−=+−− xxxxxx por lo tanto se observa que las intersecciones son en los puntos 1=x , 3=x y 1−=x , pero como -1 y 3 está en la fuera del rango de integración, se deja por fuera de la integral.
( )473
23
433
1
0
23
41
0
23 =+−−=+−−= ∫ xxxdxxxxA
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17. Las estadísticas del DANE indican que t meses después del principio de año el
precio del arroz estaba dado por la función ( )43
916 2
+−
=t
ttP Dólares por kilo. El
precio medio del kilo de arroz, durante los dos primeros meses fue de:
A. 0.2 Dólares. B. 0.4 Dolares. C. 0.3 Dólares. D. 0.1 Dólares. RTA
Solución:
( ) 12268
23434
43916
0211 2
0
22
0
2
==−=−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−=
−= ∫∫
tttdtt
tdxxfab
VMb
a
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18. La longitud de la línea generada por ( )1
633 2
+−−
=x
xxxf entre 2=x y
4=x , es:
A. 102 RTA
B. 220
C. 402
D. 4024
Solución:
( ) ( )( )
( ) 3
631
123
=′
−=+
+−=
xf
xx
xxxf
10210.210.410914
2
4
2
=−==+= ∫ xdxL
19. De un tambor cilíndrico se han desenrollado 50 metro de cable que pesa 3
Kilopondios (Kilogramo-Fuerza) por metro. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad ( )2/8.9 sm , para desenrollar 250 metros más, es:
A. mkp ⋅ 153245 B. mkp ⋅ 176458 C. mkp ⋅ 125798 D. mkp ⋅ 131250 RTA
Solución: Sea Longitudx = desenrollada en un momento dado, entonces ( ) xxF 3=
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( ) ( ) mkpW
xxdxW
⋅=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⇒
==⇒ ∫
13125037501350005023300
23
233
22
300
50
2300
50
PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA De la pregunta 20 a 22, constan de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
20. El área entre las siguientes funciones ( ) 26 xxxf −= y ( ) ( )xxxg 22 −= y
las coordenadas de un punto de corte, son:
1. 3
64 Unidades Cuadradas RTA
2. [ ]8,4 RTA 3. 34.21 Unidades Cuadradas 4. [ ]1,0
Solución: El área es: Los puntos de corte se hallan igualando las dos funciones
xxxxxxx =⇒=⇒−=− 42826 222 , siendo este el punto de corte entre las dos funciones, ambas funciones se interceptan en el origen.
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3333.213
12864
032044
3244
324
282826
32324
0
32
24
0
24
0
22
=−=
−−−=−=
−=−=−−−= ∫∫∫∫
A
xxA
dxxxdxdxxxdxxxxxA
21. En electrónica, se entiende por voltaje RMS al valor de la señal alterna (AC –
Corriente Alterna) que disipa la misma potencia en la misma carga que en la señal directa (DC – Corriente directa); teniendo que la ecuación para hallar el valor RMS
de una señal es ( )[ ]∫=T
RMS dwtwtfT
V0
21. De acuerdo con la información
anterior el valor RMS de la grafica y el punto de corte con el eje x, son:
1. 2p
RMS
VV = RTA
2. pRMS VV =
3. [ ]0,π RTA
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4. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 0,
2π
Solución:
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ]
221
42
0241
22
221
221
2221
11
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
0
2
0
2
VpVpVpV
VpwtSenwtVPV
wtdwtCoswtdT
VpV
wtdwtCosT
VpV
wtdwtVpSenT
wtdwtfT
V
RMS
RMS
RMS
RMS
T
RMS
===
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=
==
∫∫
∫
∫∫
ππ
πππ
ππ
ππ
π
π
π
22. Las funciones oferta y demanda están dadas por ( ) 2xxS = , ( ) 12+−= xxD respectivamente. El excedente del consumidor (EC) y el excedente del productor (EP) en el punto de equilibrio, son: 1. 5.4=EC 2. 27=EP 3. 5.4=EC RTA 4. 18=EP RTA
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93
01212
2
2
==
=−+
+−=
yx
xxxx
( ) 5.427365.4122
9*3123
0
23
0
=−+−=+−
=−+−= ∫ xxdxxEC
( ) 189273
279*33
0
33
0
2 =−=−=−= ∫xdxxEP
PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN
De la pregunta 23 a 25, constan de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de preguntas, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
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23. La solución a la integral ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
4
0 214 dxx es 20 PORQUE se trata de una integral
definida cuyos límites de integración son 0 y 4 Solución:
Al resolver la integral se tiene: 302
2214
4
0
24
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫
xxdxx
Es decir, la afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D
24. Sea ( )xf una función discontinua en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en un intervalo cerrado [ ]ba , , sea ( )xP una antiderivada de ( )xf , en
el intervalo dado, entonces ( ) ( ) ( )bPaPdxxfb
a−=∫ PORQUE para que se
cumpla el segundo teorema fundamental del cálculo, la función ( )xf tiene que ser
continua en un intervalo definido y cumplir que ( ) ( ) ( )aPbPdxxfb
a−=∫
Solución: La afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D Sea ( )xf una continua en un o intervalo definido, por consiguiente es integrable en un intervalo cerrado [ ]ba , , sea ( )xP una antiderivada de ( )xf , en el
intervalo dado, entonces ( ) ( ) ( )aPbPdxxfb
a−=∫ .
25. En un salón de clases de la UNAD, el tutor plantea la siguiente integral indefinida
( )∫ +− dx
xx
311
, la cual es desarrollada por un estudiante con el siguiente
procedimiento:
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( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )c
xxxxdx
xx
dxxxdx
xdx
xx
dxx
xdxx
xdxxx
++
++−
=−+
−−+
=+−
++
−+
=+−
++−
=+
−+−=
+−
−−
∫
∫∫∫
∫∫∫
11
121
11
21
11
11
12
11
112
1111
11
2
12
3
233
333
La solución planteada por el estudiante al ejercicio del tablero es incorrecta PORQUE el procedimiento desarrollado por el mismo estudiante es claro y conciso, llegando a la respuesta correcta.
Solución: La afirmación es verdadera pero la razón es falsa. Respuesta C
1
1
−==+=
uxdxdu
xu
( ) ( ) 233
33 22211 −−− −=−=−
=+−
∫ uuuuu
uuu
kuu
uu++
−=
−−
−
−− 1112
22
12
Formulario:
Integral básica: ( )
( ) kn
axdxaxn
n ++
=+
∫ 1
1
con 1−≠n
Área entre dos funciones: ( ) ( )[ ]∫ −=b
a
dxxgxfA
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Volumen de un sólido entre dos funciones:
( )[ ] ( )[ ]{ }∫ −=b
a
dxxgxfV 22π
Longitud de línea: ( )[ ]∫ ′+=b
a
dxxfL 21
Excedente del consumidor (EC): ( )∫ −=Q
QPdxxDEC0
Excedente del productor (EP): ( )∫−=Q
dxxSQPEP0
Identidad trigonométrica: ( ) ( )2
2cos12 xxsen −=
Valor promedio: ( )∫−=
b
a
dxxfab
VM 1