Fatiga en metales - Grupo de Simulación y...

Capıtulo 10

Fatiga en metales

Cuando un metal esta sometido a cargas cıclicas es posible que, aunque elestado tensional en todo instante sea relativamente inocuo, el material aca-be por romperse. Este tipo de fallo, que no esta contemplado por ningunode los modelos estudiados hasta ahora es, ademas, especialmente peligroso:los criterios de fallo no lo predicen, no se manifiesta exteriormente hasta larotura y, cuando esta ocurre, es similar a la de los materiales fragiles, dondeaparecen fisuras que se propagan rapidamente hasta el fallo. Este fenomenose conoce como fatiga y es necesario considerarlo sobre todo cuando se di-senan maquinas o estructuras que bajo servicio estaran sometidas a ciclosde carga (vehıculos, maquinas rotatorias, estructuras sometidas a viento. . . )o termicos.

El estudio de la fatiga en los metales se suele dividir en tres categorıas:

a) Fatiga de gran numero de ciclos. Este tipo de fatiga aparece cuan-do las tensiones nominales responsables de la fatiga son muy pequenas(en relacion al lımite elastico del material).

b) Fatiga de bajo numero de ciclos. Esta fatiga ocurre cuando ladeformacion plastica en cada ciclo es visible.

c) Fatiga termica. Debido a las tensiones que aparecen en los ciclostermicos.

Aunque el fallo por fatiga no esta restringido a los materiales metalicosnos limitamos en esta primera exposicion al estudio de este tipo de materia-les. Descripciones mas completas de la fatiga en metales se pueden encontrar,por ejemplo, en [2].

10.1. Historia

El desarrollo de la teorıa de la fatiga de metales esta ligado al de catastro-fes que han ocurrido en la sociedad industrializada y que, en su momento,

201

202 Mecanica de solidos I. Romero

Figura 10.1: Fatiga en un eje (J. Glynn, 1843)

sorprendieron a la comunidad cientıfica pues parecıan contradecir al cono-cimiento del momento.

El accidente ferroviario en Meudon, Francia (1842) se debio al descarri-lamiento de la locomotora de un tren en el trayecto Versalles-Parıs, debidoa la rotura de uno de sus ejes. Este accidente motivo el primer estudio sis-tematico de la fatiga en materiales metalicos, cuando Rankine estudio elefecto de la concentracion de tensiones en el crecimiento de grietas en ejesde ferrocarril. Anteriormente, W. Albert y J.-V. Poncelet ya habıan presen-tado algunos trabajos sobre el tema y fue este ultimo el que describio elcansancio (fatigue) de los metales que estudiaba.

Sin duda, el caso mas famoso en el campo de la aeronautica es el de losaccidentes de los aviones tipo de Havilland Comet en la decada de 1950. Estemodelo britanico fue el primer avion a reaccion para uso civil. Los accidentesreferidos tuvieron lugar en el aire con consecuencias desastrosas. El analisisforensico de las causas determino que durante el vuelo aparecieron grietasdebidas a la fatiga del fuselaje en la zona de las esquinas de las ventanillas.Las tensiones en esa zona habıan sido estudiadas en el diseno y estaban pordebajo del lımite elastico, pero no se habıa tenido en cuenta la fatiga delmaterial, que ademas se acentuaba debido a la concentracion de tensionesen dichos puntos. Este no es el unico avion con defectos de diseno ligados ala fatiga de los materiales (ver wikipedia)

Finalmente, por citar un ejemplo no relacionado con el transporte, laplataforma petrolıfera Alexander L. Kielland de Noruega volco en 1980 cau-sando la muerte a 123 personas y tambien se debio al crecimiento de unagrieta por fisura.

10.2. Descripcion micromecanica de la rotura porfatiga

Para comprender la razon por la que los metales sufren rotura por fatigaes necesario examinar los procesos micromecanicos que la acompanan.

El proceso de rotura por fatiga, de forma general y como ya se ha co-

Capıtulo 10. Fatiga en metales 203

Figura 10.2: Detalles de las estructuras superficiales causadas por las bandasde deslizamiento persistente en la superficie de un cristal.

mentado, consiste en la aparicion de microgrietas, su crecimiento lento (porcada ciclo de carga) hasta que se alcanza un tamano crıtico de grieta enel que se propagan rapidamente. Aunque no es facil describir que ocurrea nivel microscopico en todos los casos de fatiga, existe consenso en quela razon fundamental por la cual aparecen grietas en metales sometidos acargas cıclicas es la nucleacion y acumulacion de dislocaciones, y vacanciasatomicas, hasta que estas forman estructuras estables. En particular, en lasllamadas bandas de deslizamiento persistente se concentra la mayor partede la cizalla plastica. Cuando estas bandas alcanzan la superficie libre delos cristales aparecen picos y valles, en donde las tensiones se concentran ydonde es mas posible que las grietas aparezcan (ver Figura 10.2). Debidoa la aplicacion repetitiva de cargas, la fisura va creciendo de forma lenta.


Llega un momento que la fisura es tan grande que la pieza no puede resistirla carga y se produce una rotura subita. Este proceso se puede identificaren las secciones de la piezas que fallan debidas a fatiga (ver Figura 10.2)

Como los detalles superficiales tienen una importancia crıtica en la ini-ciacion de grietas, se sigue que los tratamientos superficiales y los efectosquımicos (corrosion) afectan de forma crıtica a la resistencia a la fatigua delas piezas mecanicas.

10.3. Calculo de la resistencia a fatiga bajo cargauniaxial

Las causas de la rotura por fatiga son complejas, y por ello existen nu-merosos modelos simplificados que la predicen de forma aproximada. Estosmodelos hacen uso de formulas sencillas y tablas que recogen el resultadode experimentos en los que se calcula la resistencia a la fatiga de materialesbajo cargas repetitivas. De hecho, la complejidad del proceso es tal que enla mayorıa de las ocasiones solo se estudia la fatiga en procesos de cargauniaxial, como a continuacion se presenta.

Tres son los metodos mas habituales para el calculo de la resistencia afatiga

Calculo de vida a tension (diagramas S-N),

Calculo de vida a deformacion (diagramas ✏-N),


Figura 10.3: Curvas S-N para aceros (ano 1924).

Fatiga por crecimiento de grieta,

que estudiamos en detalle a continuacion.

10.3.1. Calculo de resistencia a fatiga a partir del estadotensional

Este tipo de calculo se aplica para el estudio de la fatiga bajo un numeroalto de ciclos (> 104). En estas situaciones la tension es baja y no se apreciadeformacion plastica. Se observa ademas, que los resultados de este tipo defracturas por fatiga apenas dependen de la velocidad de aplicacion de lascargas.

Descripcion de las cargas cıclicas. Consideramos unicamente cargascıclicas de la forma

�(t) = �m + �a sin(wt) . (10.1)

El sımbolo �m denota la tension media, que puede ser tanto positiva comonegativa. Por contra, la amplitud �a es siempre positiva (ver figura 10.4).

Este es el metodo mas clasico y elemental para el estudio de la fatigay tiene su origen el los trabajos de Wohler de 1850. El calculo de la vidade una pieza se basa en la comparacion del valor nominal de la tension (S)frente al numero de ciclos (N).

Diagramas S-N. La herramienta fundamental en este tipo de analisisson los llamados diagramas de Wohler , o diagramas S-N , diagramascartesianos semilogarıtmicos en los que se representa en el eje de ordenadas latension nominal S y en el de abcisas el numero de ciclosN en el que se llega al


fallo. En muchos materiales, la funcion S(N) muestra dos comportamientosdiferenciados: en un primer intervalo es decreciente y en un segundo intervaloes constante. La funcion de fallo a veces se representa con la funcion deBasquin

S = �0f (2N)b (10.2)

siendo �0f y b dos constantes del material conocidas, respectivamente, como

el coeficiente y el exponente de resistencia a fatiga . Estas constantesse puede hallar experimentalmente o imponer suponiendo, por ejemplo, quepara N = 103, S = 0,9�r y que para N = 106, S = �f .

El lımite de fatiga es por tanto la tension uniaxial por debajo de lacual un material nunca fallara a fatiga. Una primera aproximacion, que severifica aproximadamente, es �f = �e/2. Otra aproximacion que a veces seemplea es �f = BHN/4, siendo BHN la dureza de Brinell. A veces tambiense usa la aproximacion que S(1000) = 0,9�u.

Algunos aceros de alta resistencia, el aluminio, y otros materiales noferreos no poseen un umbral de tension por debajo del cual no se producefallo por fatiga ası que se suele definir el lımite de fatiga como la tension queproduce un fallo despues de 108 ciclos, aunque esta definicion es subjetiva ya veces se escoge otro numero de ciclos distinto.

Las curvas de Wohler se construyen a partir de numerosos ensayos en la-boratorio, sometiendo especımenes bien a cargas cıclicas de tension/tracciono bien a flexion. En realidad, la resistencia a la fatiga de los materiales de-biera estudiarse estadısticamente pues es una propiedad con una dispersionsignificativa. Sin embargo, como primera aproximacion, supondremos quelos diagramas S-N proporcionan suficiente informacion.

Se observa experimentalmente que la resistencia a fatiga de un compo-nente mecanico depende de forma significativa del tratamiento superficial delmismo. Ası, el lımite de fatiga en una probeta pulida o en una simplementeestampada no es igual. Como las grietas, causantes de la rotura por fatiga,inician en la superficie, cuanto esta sea mas pulida mayor sera la resistenciaa fatiga. De hecho, existen diagramas que indican, de forma aproximada, uncoeficiente de acabado de superficie que condensa estos efectos, minorandola resistencia a fatiga de la probetas, que siempre son pulidas.

Efectos de la concentracion de tensiones. Para una misma tensionnominal, la concentracion de tensiones reduce la resistencia a la fatiga.

Efectos de la tension media. Los diagramas S-N habitualmente repre-sentan la resistencia a fatiga de materiales sometidos a ciclos de tensioncon media nula. Cuando la tension media es positiva (traccion) la vida delmaterial se acorta y cuando esta es negativa (compresion), se alarga.

Experimentalmente se observa que para un mismo numero de ciclos devida util un incremento de la tension media repercute en una menor am-


t

�

�m

�a

Figura 10.4: Tension con valor medio y amplitud no nulas.

�m

�a

�e �r

�Na0

Figura 10.5: Iso-curvas de numero de ciclos hasta el fallo de Sodeberg (trazocontinuo) y de Goodman (trazo discontinuo). Abcisas �m : tension media;ordenadas �a : amplitud de la tension. Valores del material: �N

a0 : amplitudde la tension que, cuando el valor medio es nulo, tiene una vida a fatiga deN ciclos; �e : lımite elastico; �r : tension de rotura.

plitud. Existen varios modelos matematicos que sirven para cuantificar estaobservacion. Por ejemplo, el diagrama de Goodman (ver figura 10.5) re-presenta estados en el plano (�m,�a) con el mismo numero de ciclos de vidahasta el fallo. Llamando �N

a0 a la amplitud de una tension armonica conmedia nula tal que su vida util a fatiga sea N ciclos, la recta de Good-man interpola linealmente entre los puntos (0,�N

a0) y (�u, 0), siendo �a0 y suecuacion es, por tanto,

�a = �Na0

✓

1� �m�r

◆

. (10.3)

Esta recta por tanto representa de forma aproximada aquellas combinaciones(�m,�a) cuya resistencia a la fatiga es de N ciclos.

La relacion de iso-vida caracterizada por la ecuacion de Goodman esaproximada, y existen otros modelos semejantes. Por ejemplo, la ecuacion


de Soderberg interpola la resistencia entre el lımite de fatiga y el lımiteelastico:

�a = �Na0

✓

1� �m�e

◆

. (10.4)

Finalmente, la ecuacion de Gerber tambien proporciona una aproxima-cion a esta region de iso-resistencia

�a = �Na0

1�✓

�m�u

◆

2

!

. (10.5)

. Ejemplo 10.3.1. En un laboratorio se ensaya un material a fatiga y secomprueba que cuando este se somete a una carga armonica de amplitud10 MPa se parte despues 108 ciclos. Ademas, se comprueba que cuando laamplitud es de 30 MPa, su vida se reduce a 106 ciclos.

a) Si se supone que la funcion de fallo se puede representar con la funcionde Basquin, calcular el exponente y el coeficiente de resistencia a fatiga.

b) Si se sabe que la tension de rotura del material es de 110 MPa, de-terminar el numero de ciclos de vida del material cuando se somete auna tension media de 15 MPa y una amplitud de 10 MPa.

Segun el modelo de Basquin, el numero de ciclos hasta el fallo (N) delmaterial, cuando se somete a un carga armonica de valor medio nulo yamplitud S, satisface logS = log(�0

f ) + b log(2N). A partir de los datostenemos por tanto

10 = log(�0f ) + b log(2 · 108) , 30 = log(�0

f ) + b log(2 · 106). (10.6)

Resolviendo estas dos ecuaciones se sigue que el coeficiente y el exponentede resistencia a fatiga son:

�0f = 955,7 MPa , b = �0,2387. (10.7)

Cuando se somete el material a una tension armonica de valor medio 15 MPay amplitud 10 MPa, la formula de Sodeberg es

10 = �a0

✓

1� 15

110

◆

, (10.8)

de lo cual obtenemos que la tension armonica pura con la misma vida que�a = 10 MPa, �m = 15 MPa es �a0 = 11,58 MPa. Finalmente, a partirde la ecuacion de Basquin, con los coeficientes encontrados anteriormentecalculamos la vida para esta tension armonica resolviendo

11,58 = 955,7(2N)�0,2387, (10.9)

cuyo resultado es N = 5,41 · 107 ciclos./


t

�

�m1

�a1

�m2

�a2

Figura 10.6: Carga cıclica con dos tramos diferenciados de amplitud y valormedio.

Fatiga bajo cargas cıclicas en tramos de amplitud variable. Lodescrito anteriormente solo es valido para historias de carga en las que elvalor de la tension cambia cıclicamente. Sin embargo, existen muchos casosde interes en los que la amplitud de las cargas cıclicas cambian con el tiem-po. En estos casos, la historia de cargas se puede dividir en varios bloquessucesivos, cada uno de ellos caracterizado por cargas cıclicas de amplitudconstante.

Para combinar el efecto sobre la fatiga en el material se puede utilizarla regla de Palmgren-Miner , que considera el dano acumulado en cadauno de los periodos de carga y que, aunque tan solo sea una aproximacion,al menos da una estimacion de la vida hasta el fallo. Este metodo consideraque cada periodo de carga con amplitud de fuerzas constantes provoca undano sobre el material, independiente de en que orden se sucedan los distintosperiodos; mas aun, cada uno de estos periodos provoca un dano que es igual,en porcentaje, al que provocarıa si la amplitud de la fuerzas fuera constante.Finalmente, el fallo final por fatiga ocurre cuando el dano acumulado alcanzael 100%.

. Ejemplo 10.3.2. La resistencia a la fatiga de un material se representade forma simplificada en un diagrama (semilogarıtmico) S-N que consiste enuna recta que pasa por (1 ciclo, 100 MPa) y (107 ciclos, 50 MPa).

a) Si se quiere disenar una pieza sometida a esfuerzo axial de forma queresista 105 ciclos de carga, ¿cual es la maxima amplitud de la tensionadmisible?

En el diagrama semilogarıtmico S-N (vease la figura 10.7), la recta deresistencia a la fatiga tiene la expresion S = 100 � 50

7

logN . Con locual, para que resista 105 ciclos, la tension admisible es

S = 100� 50

7log 105 = 64,29 MPa

b) Admitiendo como valido el diagrama de Goodman, calcular la ampli-tud de una tension armonica de media �m = 20 MPa, de forma que lavida util de la pieza sea tambien de 105 ciclos.


40

50

60

70

80

90

100

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08

S(M

Pa)

N (cycles)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100

�a(M

Pa)

�m (MPa)

Figura 10.7: Diagrama S-N (arriba) y diagrama de Goodman (abajo) delejemplo 10.3.2.

La recta del diagrama de Goodman es, para una vida util de 105 ciclos,�a = 64,29(1� 1/100�m) por lo que la amplitud de la tension en unacarga armonica de valor medio 20 MPa sera

�a = 64,29(1� 20/100) = 51,43 MPa

c) Ahora la misma pieza se somete a una tension de la forma �(t) =20 + 51,43 sin(!t) durante 3 · 104 ciclos de carga. Despues, se sometea otra carga armonica de tension con valor medio �m = 40 MPa yamplitud 20 MPa. ¿cuantos ciclos de carga resistira antes de la roturapor fatiga?

El estado tensional del primer ciclo de carga, como antes se calculaba,permite una vida util de 105. Puesto que la pieza solo se ha sometido aN

1

= 3 ·104 ciclos, esta ha agotado el 30% de su vida, segun el criteriode Palmgren-Miner.

Para encontrar el numero de ciclos que la pieza resistira en su segundoestado de carga, calculamos primero la vida util de una pieza sometidaa un unico ciclo de carga con (�m,�a) = (40, 20) MPa. En el diagramade Goodman de la figura 10.8 se puede apreciar que el estado de cargaestudiado tiene un vida util igual que un tension armonica de amplitud


0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100

�a(M

Pa)

�m (MPa)

Figura 10.8: Diagrama de Goodman de el estado (�m,�a) = (40, 20) MPa.

�a = 33,33 MPa y valor medio nulo. Empleando una vez mas la curvaS-N, se puede calcular que la vida util de una pieza con esta tensionarmonica es de N = 2,15 · 109.Como, segun la regla de Palmgren-Miner, a la pieza solo le resta un70% de vida util para esta segunda fase de carga, concluimos que estoequivale a un numero de ciclos

N2

= 0,70⇥ 2,15 · 109 = 1,5 · 109 ciclos

El numero total de ciclos de vida de esta pieza sera N1

+N2

./

10.3.2. Calculo de resistencia a fatiga a partir de las defor-maciones

Este analisis se hace para la rotura en un numero bajo de ciclos (⇡ 103),donde las deformaciones plasticas son patentes. Su desarrollo es de los anos1960s, muy posterior al del analisis por tensiones. La hipotesis fundamentalde este tipo de analisis es que la rotura en una situacion de fatiga en bajonumero de ciclos se debe a la acumulacion de deformacion plastica. Estecriterio se acerca mas a la interpretacion micromecanica de la fatiga que elde la tension.

Para estudiar la fatiga en ciclos de este estilo se realizan ensayos con con-trol de desplazamiento como el mostrado en la figura 10.9. Si sobre una pro-beta sometida a traccion se imponen desplazamientos de rango �", despuesde una fase transitoria en la que la deformacion plastica crece, se alcanzaun regimen permanente en el que se aprecia claramente una respuesta conhisteresis, donde la tension abarca un rango ��. Experimentalmente se haobservado que en estos ciclos de deformacion, la amplitud de la deformacionplastica �"p/2 esta relacionada con el numero de ciclos hasta el fallo N


"

�

��

�"

Figura 10.9: Ciclo de control de deformacion en un material elastoplastico.Una fase transitoria (gris) da lugar a un regime estacionario con histeresis.

mediante una ecuacion de la forma

�"p

2= "0f (2N)c , (10.10)

siendo "0f el coeficiente de ductilidad a fatiga y c el exponente deductilidad a fatiga . La primera de estas constantes mide la deformacionplastica que llevarıa al fallo en medio ciclo de carga (un cambio de signo enla deformacion). La segunda de estas constantes tiene un valor entre -0.5 y-0.7 para metales.

Como se estudio en la teorıa de la plasticidad, la amplitud de la deforma-cion plastica se puede escribir como �"p/2 = �"/2��"e/2, es decir, que esel resultado de sustraer la amplitud de la deformacion recuperable de la am-plitud total de la deformacion. Si escribimos la ecuacion de Basquin (10.2)como

��/2 = �0f (2N)b (10.11)

entonces la ecuacion (10.10) se puede expresar como

�"

2=

�0f

E(2N)b + "0f (2N)c . (10.12)

El primer sumando del termino de la derecha representa la contribucionelastica al fallo por fatiga; a su vez, el segundo termino mide la contribucionde la deformacion plastica al fallo. Para tener en cuenta el efecto de tensionesmedias no nulas el coeficiente de resistencia a la fatiga �0

f se sustituye por�0f � �m.


Las propiedades de la superficie, la concentracion de tensiones y el valorde la tension media modifican, como en el caso de las curvas S-N, la vida delos materiales sometidos a fatiga de bajos ciclos.

. Ejemplo 10.3.3. Un acero tiene propiedades mecanicas �e = 230 MPa,�0f = 830 MPa, "0f = 0,95, b = �0,110 y c = �0,64. Si se somete a una

deformacion armonica de media nula y amplitud �" = 0,03, determinar elnumero de ciclos hasta el fallo.

Sustituyendo los datos en la ecuacion (10.12) encontramos que el numerode ciclos de deformacion hasta el fallo es N = 404.

/

10.3.3. Calculo de resistencia a partir de la teorıa de la frac-tura

Cuando una pieza o estructura esta sometida a cargas cıclicas y ademastiene un grieta, puede ocurrir que esta crezca hasta alcanzar un tamanotan grande que la pieza se parta. La mecanica de la fractura, tal y comose estudio en el capıtulo 9, se encarga de determinar el tamano crıtico dela grieta y estudiamos a continuacion la velocidad de crecimiento de grietas(subcrıticas) debido a solicitaciones cıclicas.

Habitualmente se considera, en primer lugar, la amplitud de la tensionque hace crecer la grieta, es decir:

�� =

(

�max

� �mın

, si �mın

> 0

�max

, si �mın

0(10.13)

puesto que las cargas compresivas no abren las grietas. En segundo lugar,considerando que el factor de intensidad de tensiones es de la forma

K = �p⇡a f(a, . . . ) , (10.14)

siendo a el parametro de longitud de grieta y f una funcion que dependede a y posiblemente otros factores geometricos, se define su amplitud como

�K = ��p⇡af(a, . . . ) , (10.15)

usandose esta magnitud como la responsable del crecimiento de las grietasy escribiendo

da

dN= F(�K) (10.16)

En este tipo de curvas se observa que, por debajo de un cierto nivelde �K, las grietas no se abren nunca, independientemente del numero deciclos que se apliquen. Por encima de este umbral, existe un amplio rangode valores de �K para los que se cumple la ley de Paris

F(�K) = C�Km (10.17)


1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

10

d adN

�K

Figura 10.10: Velocidad de crecimiento de grieta en funcion del rango delcoeficiente de intensificacion de tensiones.

siendo C y m parametros del material. Este rango se aprecia en un diagramalogarıtmico como una recta (vease la figura 10.10). Existe tambien un valorcrıtico de �K por encima del cual la grieta crece muy rapidamente, llevandoa la fractura.

Calculo de la vida util

Dada una grieta de longitud ai, el numero de ciclos que hacen queesta crezca hasta alcanzar una longitud af se obtiene integrando la rela-cion (10.16) que resulta:

N =

Z af

ai

da

F(�K(a))(10.18)

donde hemos relacionado el valor del factor de intensidad de tensiones con eltamano de grieta. Para un calculo de vida util se debe emplear un valor dela longitud inicial de la grieta (que debe de obtenerse a partir de los procesosde fabricacion) y el tamano crıtico de grieta, que se puede obtener usandola teorıa de la mecanica de la fractura.

. Ejemplo 10.3.4. Una chapa delgada de acero (KI = 50 MPapm) como la

de la figura 9.6 tiene dimensiones 600⇥900 mm2 y una grieta transversal delongitud 2a = 30 mm. Suponiendo que la chapa esta sometida a traccionesde la forma �(t) = 160 cos(!t) MPa y tomando como valida una ley de Pariscon constante C = 10�11m·Hz/(MPa

pm)3 y exponentem = 3, determinar

el numero de ciclos hasta el fallo.Para una chapa delgada con una grieta transversal sometida a tensiones

cıclicas con valor medio nulo, el rango del factor de amplificacion de tensiones


es�K = �

0

p⇡a.

Si la tenacidad a fractura del acero es KI = 50 MPapm, es valor crıtico de

la dimension a es ac = (50/16)2 ·1/⇡ = 0,0316 m. Concluimos que el numerode ciclos de carga necesarios para llevar la chapa hasta el fallo es:

N =

Z

31,6·10�3

15·10�3

da

10�11(16p⇡a)3

= 2,22 · 107 ciclos

/

10.4. Fatiga en cargas multiaxiales

El calculo de la resistencia a la fatiga en piezas y estructuras someti-das a cargas no uniaxiales es bastante mas complejo que el descrito en laSeccion 10.3. En este caso, ademas el numero de modelos aproximados semultiplica pues aparecen explicaciones para la fatiga de ejes sometidos atorsion, a flexion, a torso-flexion, etc, que unicamente se pueden aplicar encasos particulares. En general, toda esta variedad de modelos apunta haciala complejidad del fenomeno de la fatiga, y muestra la falta de un modelobasico que pueda emplearse para predecir todos los casos de fatiga.

Un sencillo modelo que puede emplearse, teniendo en cuenta que no esmuy exacto, en el caso de fatiga de muchos ciclos consiste en utilizar lateorıa unidimensional ya estudiada para alguna tension equivalente, comola de von Mises o Tresca. Este tipo de analisis solo tiene sentido cuandolas solicitaciones exteriores varıan unicamente en modulo, y estos de formasincronizada. Es decir, las tensiones y deformaciones en el solido cambian,pero este cambio es tal que lo que produce es un tensor de tensiones encada punto cuya norma oscila en el tiempo, es decir, que en todo punto x einstante t el tensor de tensiones se puede escribir como:

�(x, t) = f(t)�(x) , (10.19)

Para este tipo de cargas, la tensiones principales en cada punto tambiensatisfacen

�I(x, t) = f(t)�I(x) , �II(x, t) = f(t)�II(x) , �III(x, t) = f(t)�III(x) ,(10.20)

y por tanto la tension de von Mises y de Tresca son

�vM (x, t) = f(t)�vM (x) , �vM (x, t) = f(t)�Tr(x) . (10.21)

En el caso mas sencillo, podemos utilizar la ecuacion de Basquin (10.2) obte-nida para la fatiga unidimensional y utilizando las constantes determinadaspara dicha situacion, extrapolar su uso al caso tridimensional reemplazando


"

|�|/2

"I"II"III

"I�"III2

"I+"III2

Figura 10.11: Maxima deformacion angular �max

= "I � "III y su correspon-diente deformacion longitudinal "m = "

I

+"III

2

para un estado de deformacionarbitrario.

el valor de la amplitud de la tension por la de la amplitud de la tensionequivalente (de von Mises, por ejemplo).

Cuando el estado tensional no solo no es unidimensional sino que ademastiene un valor medio no nulo se puede continuar extendiendo la analogıaunidimensional definiendo una tension media equivalente, calculando el valormedio de la tension equivalente. En este caso ademas, se pueden utilizar lasaproximaciones de Goodman o de Soderberg para encontrar el numero deciclos de carga hasta el fallo.

Los metodos mas avanzados y precisos para el calculo de vida de fatigaen situaciones de carga bi- o tri-axial son los conocidos como metodos deplano crıtico. Todos ellos reconocen, para empezar, que la fatiga en lossolidos es un fenomeno direccional, y que no tiene sentido hablar de unaunica tension representativa (la de von Mises, Tresca, o cualquier otra) comovariable de control para la aparicion y crecimiento de grietas. Los metodosde plano crıtico, en cambio, estudian la aparicion de la fatiga de entre todoslos planos que pasan por cada punto y escogiendo como crıtico aquel planoen el que el fallo por fatiga aparezca antes. Para utilizar este tipo de metodosse necesita, en primer lugar, identificar el plano crıtico y en segundo lugaraplicar sobre dicho plano las formulas de estimacion de vida en situacionesunidimensionales.

Dentro de los metodos de plano crıtico, el mas sencillo es el que estudia laaparicion de grietas en cada plano estudiando unicamente la componente dela deformacion en la direccion perpendicular a este y estudiando el problemauniaxial con las tecnicas, por ejemplo, descritas en la seccion 10.3.2.

Para aquellas situaciones en las que las cargas exteriores son funcion


del tiempo, y todas ellas tienen la misma funcion de proporcionalidad, losmetodos mas precisos son el de Brown-Miller y sus variantes [1]. Este tipode metodos se basa en la idea de que la maxima deformacion angular �

max

="I�"III es la responsable de la aparicion de micro-grietas y que la deformacionlongitudinal, en direccion perpendicular a los planos donde ocurre �

max

, esla responsable de su crecimiento. Como esta ultima es "m = ("I +"III)/2 (verfigura 10.11), se concluye que cada numero de ciclos de vida seran funcionunicamente de "I � "III y "I + "III .

En los metodos de plano crıtico se busca una deformacion equivalentecuyo rango �"eq, que sera funcion de todo el estado tridimensional, se puedautilizar en las formulas de estimacion de vida a fatiga de corto ciclo. Comoesta deformacion equivalente es funcion de ��

max

y "m el criterio de Brown-Miller supone simplemente

�"eq =��

max

2+ ↵�"m , (10.22)

siendo ↵ un parametro que depende del material. El valor de los rangos��

max

y �"m dependen, por supuesto, del estado de deformacion. Parasimplificar aun mas el criterio de fatiga se considera unicamente un estadode traccion uniaxial de tension �, entonces "I = �/E, "II = "III = �⌫�/E ypor tanto

�"eq =�� + ⌫��

2E+ ↵

�� ⌫��

2E=

��

2E(1 + ⌫ + ↵(1� ⌫)) . (10.23)

Indicando como �" el rango de deformacion en la direccion de aplicacion dela tension durante el ensayo de traccion,

�"eq =�"

2(1 + ⌫ + ↵(1� ⌫)) . (10.24)

Para poder emplear las formulas de estimacion de vida por fatiga de bajonumero de ciclos descomponemos al deformacion equivalente en sus parteselastica y plastica:

�"eq = �"eeq +�"peq. (10.25)

La primera contribucion se puede aproximar de la ecuacion (10.24) usando⌫ = 0,3, un valor que se ajusta al de muchos metales. La segunda contri-bucion tambien se puede aproximar usando en la ecuacion (10.24) un valor⌫ = 0,5. Finalmente tenemos pues

�"eeq =�"e

2(1,3 + 0,7↵) , �"peq =

�"p

2(1,5 + 0,5↵) . (10.26)

Tomando el valor ↵ = 0,5, que es del mismo orden de magnitud que el valorestadısticamente ajustado de muchos materiales, se sigue que

�"eeq = 1,65�"e

2, �"peq = 1,75

�"p

2. (10.27)


Finalmente, siguiendo el procedimiento para la estimacion de vida a fatigadetallado en la Seccion 10.3.2 se obtiene

�"eq = 1,65�0f

E(2N)b + 1,75 "0f (2N)c . (10.28)

y expresando el rango de deformacion equivalente en funcion de los parame-tros ��

max

y �"m se concluye

��max

2+�"m = 1,65

�0f

E(2N)b + 1,75 "0f (2N)c . (10.29)

Esta expresion final resulta de varias simplificaciones pero tiene el valor debasarse en las dos cantidades que se consideran mas crıticas para determinarla vida a fatiga, a saber, ��

max

y �"m. Aunque el ajuste de la contribucionde cada uno de estas cantidades esta hecho para el ensayo de traccion, es laformula mas comunmente empleada para el analisis de estados complejos defatiga.

Problemas

10.1. Un material es tal que resiste 107 ciclos cuando esta sometido a unacarga armonica de valor maximo � = 75 MPa. Determinar, sabiendo que latension de rotura de dicho material es de 180 MPa, la amplitud admisible deuna carga armonica con valor medio igual a 60 MPa si se desea que tambienen este regimen el material resista 107 ciclos.

10.2. Un deposito cilındrico de radio R = 800 mm y espesor t = 5 mmtiene una grieta longitudinal de tamano 2c = 2 mm. El deposito forma partede una circuito hidraulico y almacena aceite en un rango de presiones dep 2 (0,1, 0,5) MPa.

Un estudio del material indica que su vida a fatiga se puede modelar conuna ley de Paris de constante C = 10�9 m·ciclo/(MPa

pm)4 y exponente 4,

y que su tenacidad a fractura es KIc = 40 MPapm. Determinar el numero

maximo de ciclos de carga/descarga que el deposito puede resistir.

10.3. El analisis por elementos finitos de un punto de la biela de un vehıculoha permitido calcular que el tensor de deformacion en dicho punto duranteun ciclo de funcionamiento es

" =

2

4

1 2 32 �1 03 0 �2

3

5 sin(!t) · 10�2 ,

siendo ! la frecuencia de giro de la maquina y t el tiempo. El departamentode materiales ha caracterizado la respuesta a fatiga del material con un coefi-ciente de resistencia a la fatiga �0

f = 500 MPa, un exponente de resistencia

Bibliografıa 219

a la fatiga b = �0,1, un coeficiente de ductilidad a fatiga "0f = 0,5 y unexponente de ductilidad a fatiga c = �0,6. Sabiendo, ademas que el modulode Young del material es E = 180 GPa, determinar el numero de ciclos quepodra resistir a fatiga este punto usando un modelo de Brown-Miller.

P (t)

ri

ro

Figura 10.12: Problema 10.4

10.4. Una union como la de la figura esta sometida a una carga armonicaP (t) = P sin(!t) y tiene dimensiones ri = 15 mm, ro = 30 mm, espesort = 20 mm. Si P = 5 · 104 N y la pieza tiene una grieta perpendicular a ladireccion de aplicacion de la carga y de longitud c

0

= 3 mm, ¿Cuantos ciclosde carga resistira hasta el fallo? El material tiene una tenacidad Kc

I = 40MPa·pm y el crecimiento de la grieta sigue una ley de Paris de constanteC = 10�12 m ·ciclo/(MPa

pm)4 y exponente 4.

Bibliografıa

[1] M W Brown and K J Miller. A theory for fatigue failure under multiaxialstress–strain conditions. Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers, 187(1973):745–755, 1973.

[2] S Suresh. Fatigue of Materials. Cambridge University Press, 1998.

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