Tercera Ley de Newton     La tercera Ley de Newton se puede enunciar formalmente así:

"Las fuerzas siempre ocurren en pares. Si el objeto A ejerce una fuerza F sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza

igual y opuesta -F sobre el objeto A"

o en forma común:

"Cada acción tiene una reacción igual y opuesta"

Observe este requisito importante: ¡Deben estar involucrados dos objetos! Existe toda una suerte de situaciones en donde dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre el mismo objeto, cancelándose uno a otro, de manera que no ocurre aceleración alguna (o siquiera movimiento). Esto no es un ejemplo de la tercera ley, sino de equilibrio entre las fuerzas. Algunos ejemplos:

    Un objeto pesado descansa sobre el piso, siendo jalado por la Tierra con una fuerza mg (vea dibujo). Sin embargo, no se mueve en esa dirección, debido a que el piso lo detiene. Obviamente, el piso está ejerciendo sobre el objeto una fuerza igual y opuesta –mg (velocidad v = 0, aceleración a = 0).

    Un elevador es levantado desde el nivel de la calle hasta el 5to. piso. Este siente dos fuerzas: hacia abajo, su peso y el de la gente dentro de él, y hacia arriba, el jalón del cable el cual lo sostiene. Entre pisos, siempre y cuando el elevador no acelere, la fuerza neta debe de ser cero, porque las dos fuerzas deben ser iguales y opuestas (v > 0, a = 0).

    En contraste, La tercera ley de Newton siempre involucra a más de un objeto.

    Cuando se dispara un arma de fuego, la fuerza del gas producido debido a la quema de la pólvora, hace que la bala salga. De acuerdo a la ley de Newton, el arma en sí retocede.

    La punta de una gran manguera contra incendios tiene asa, la cual los bomberos deben sostener con firmeza, debido a que al salir el chorro de agua, la manguera es enviada en sentido contrario de manera visiblemente.

    Los rociadores rotativos de un jardín trabajan con el mismo principio. De manera similar, el movimiento hcia adelante de un cohete viene de la reacción del rápido chorro de gases calientes que salen de su parte trasera.

    Aquellos que están familiarizados con botes pequeños saben que antes de brincar del bote al muelle, es prudente que primero se amarre el bote a dicho muelle, y sujetarse del muelle antes de brincar. De otra manera, al brincar, el bote se mueve "de manera mágica" retirándose del muelle, con la posibilidad de no caer en el

muelle o de alejar el bote fuera de alcance. Todo eso es la tercera ley de Newton: al impulsar

el cuerpo con las piernas hacia el muelle, ellas también aplican al bote una fuerza igual en la dirección opuesta, lo cual lo empuja retirándolo del muelle.

La Bicicleta

    Un ejemplo más sutil es demostrado por la bicicleta. Es bien sabido que balancear una bicicleta inmóvil es casi imposible, mientras que con una bicicleta que avanza es bastante fácil. ¿Porqué?

    En cada caso aplican diferentes principios. Suponga que se sienta en una bicicleta inmóvil, y aprecia que se está inclinando hacia la izquierda. ¿Qué hace? La tendencia natural es hacerse hacia la derecha, para balancear la inclinación mediante su cuerpo. Pero al mover la parte superior de su cuerpo hacia la derecha, de acuerdo a la tercera ley de Newton, usted está en realidad haciendo que la bicicleta se incline más hacia la izquierda. ¡Tal vez deba usted inclinarse a la izquierda y empujar de nuevo la bicicleta? Puede funcionar durante una fracción de segundo, pero ahora usted está realmente fuera de balance. Claro que no!

    En una bicicleta que avanza, el balance se mantiene mediante un mecanismo completamente diferente. Girando ligeramente los manubrios de la bicicleta hacia la derecha o izquierda, usted imparte algo de la rotación de la rueda frontal ("momento angular") para rotar la bicicleta alrededor de su eje longitudinal, que es la dirección sobre la cual gira. De esa manera el conductor puede accionar para equilibrar cualquier tendencia de la bicicleta de caerse hacia un lado o hacia otro, sin caer en el círculo vicioso de la acción y reacción.

    Para desanimar a los ladrones, algunas bicicletas tiene un candado el cual bloquea los manubrios en una posición fija. Cuando dicha bicicleta es bloqueada en una dirección hacia adelante, esta puede ser llevada or una persona caminando, pero no puede ser conducida porque no puede ser balanceada.

(Agregado Opcional)

Formulación de Mach de las Leyes de Newton

Las leyes de Newton fueron introducidas aquí de la manera tradicional--a través de los conceptos de masa y fuerza (Newton en realidad formuló la segunda ley en términos de momento, no aceleración). Ernst Mach, quien vivió en Alemania dos siglos después que Newton, intentó evitar un nuevo concepto y formuló la física tan solo en términos de lo que puede ser observado y medido. El decía que las leyes de Newton se podía resumir en una sola ley:

"Cuando dos objetos compactos ("masas puntuales" en terminología física) actúan uno sobre el otro, ellos aceleran en direcciones

 Ernst Mach

opuestas, y la proporción de sus aceleraciones es siempre la misma. "

Léalo de nuevo, si desea: no se mencionan las fuerzas o las masas, tan solo la aceleración, la cual puede ser medida. Cuando una pistola actúa sobre una bala, un cohete sobre sus gases de escape, el Sol sobre la Tierra (y en la escala de la distancia que los separa, el Sol y la Tierra pueden ser vistos como objetos compactos), las aceleraciones siempre están dirigidas de manera opuesta.

Las masa y la fuerza ahora están fácilmente obtenibles. Si uno de los objetos es un litro de agua, su masa se define como un kilogramo. Si entonces actúa sobre otro objeto (tal vez con el agua congelándose, para propósitos de este experimento), entonces la proporción de su aceleración aw con respecto a la aceleración a del otro objeto, nos da la masa m del objeto. Y una fuerza de 1 newton se define como la que ocasiona que 1 kg obtenga una aceleración de 1 m/sec2.

FractalFrom Wikipedia, the free encyclopediaJump to: navigation, search

The Mandelbrot set is a famous example of a fractal

A fractal is generally "a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole,"[1] a property called self-similarity. The term was coined by Benoît Mandelbrot in 1975 and was derived from the Latin fractus meaning "broken" or "fractured." A mathematical fractal is based on an equation that undergoes iteration, a form of feedback based on recursion.[2]

A fractal often has the following features:[3]

It has a fine structure at arbitrarily small scales. It is too irregular to be easily described in traditional Euclidean geometric language. It is self-similar (at least approximately or stochastically). It has a Hausdorff dimension which is greater than its topological dimension (although this

requirement is not met by space-filling curves such as the Hilbert curve).[4] It has a simple and recursive definition.

Because they appear similar at all levels of magnification, fractals are often considered to be infinitely complex (in informal terms). Natural objects that approximate fractals to a degree include clouds, mountain ranges, lightning bolts, coastlines, and snow flakes. However, not all self-similar objects are fractals—for example, the real line (a straight Euclidean line) is formally self-similar but fails to have other fractal characteristics; for instance, it is regular enough to be described in Euclidean terms.

Images of fractals can be created using fractal generating software. Images produced by such software are normally referred to as being fractals even if they do not have the above characteristics, as it is possible to zoom into a region of the image that does not exhibit any fractal properties.

Contents

[hide]

1 History 2 Examples 3 Generating fractals 4 Classification 5 In nature 6 In creative works 7 Applications 8 See also 9 References 10 Further reading 11 External links

[edit] History

Animated construction of a Sierpiński Triangle, only going nine generations of infinite—click for larger image.

To create a Koch snowflake, one begins with an equilateral triangle and then replaces the middle third of every line segment with a pair of line segments that form an equilateral "bump." One then performs the same replacement on every line segment of the resulting shape, ad infinitum. With every iteration, the perimeter of this shape increases by one third of the previous length. The Koch snowflake is the result of an infinite number of these iterations, and has an infinite length, while its area remains finite. For this reason, the Koch snowflake and similar constructions were sometimes called "monster curves."

The mathematics behind fractals began to take shape in the 17th century when mathematician and philosopher Leibniz considered recursive self-similarity (although he made the mistake of thinking that only the straight line was self-similar in this sense).

It took until 1872 before a function appeared whose graph would today be considered fractal, when Karl Weierstrass gave an example of a function with the non-intuitive property of being everywhere continuous but nowhere differentiable. In 1904, Helge von Koch, dissatisfied with Weierstrass's very abstract and analytic definition, gave a more geometric definition of a similar function, which is now called the Koch curve. (The image at right is three Koch curves put together to form what is commonly called the Koch snowflake.) In 1915, Waclaw Sierpinski constructed his triangle and, one year later, his carpet. Originally these geometric fractals were described as curves rather than the 2D shapes that they are known as in their modern constructions. In 1918, Bertrand Russell recognized a "supreme beauty" within the emerging mathematics of fractals.[2] The idea of self-similar curves was taken further by Paul Pierre Lévy, who, in his 1938 paper Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole described a new fractal curve, the Lévy C curve. Georg Cantor also gave examples of subsets of the real line with unusual properties—these Cantor sets are also now recognized as fractals.

Iterated functions in the complex plane were investigated in the late 19th and early 20th centuries by Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou and Gaston Julia. However, without the aid of modern computer graphics, they lacked the means to visualize the beauty of many of the objects that they had discovered.

In the 1960s, Benoît Mandelbrot started investigating self-similarity in papers such as How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, which built on earlier work by Lewis Fry Richardson. Finally, in 1975 Mandelbrot coined the word "fractal" to denote an object whose Hausdorff-Besicovitch dimension is greater than its topological dimension. He illustrated this mathematical definition with striking computer-constructed visualizations. These images captured the popular imagination; many of them were based on recursion, leading to the popular meaning of the term "fractal".

[edit] Examples

A Julia set, a fractal related to the Mandelbrot set

A class of examples is given by the Cantor sets, Sierpinski triangle and carpet, Menger sponge, dragon curve, space-filling curve, and Koch curve. Additional examples of fractals include the Lyapunov fractal and the limit sets of Kleinian groups. Fractals can be

deterministic (all the above) or stochastic (that is, non-deterministic). For example, the trajectories of the Brownian motion in the plane have a Hausdorff dimension of 2.

Chaotic dynamical systems are sometimes associated with fractals. Objects in the phase space of a dynamical system can be fractals (see attractor). Objects in the parameter space for a family of systems may be fractal as well. An interesting example is the Mandelbrot set. This set contains whole discs, so it has a Hausdorff dimension equal to its topological dimension of 2—but what is truly surprising is that the boundary of the Mandelbrot set also has a Hausdorff dimension of 2 (while the topological dimension of 1), a result proved by Mitsuhiro Shishikura in 1991. A closely related fractal is the Julia set.

[edit] Generating fractals

Even 2000 times magnification of the Mandelbrot set uncovers fine detail

resembling the full set.

Four common techniques for generating fractals are:

Escape-time fractals – (also known as "orbits" fractals) These are defined by a formula or recurrence relation at each point in a space (such as the complex plane). Examples of this type are the Mandelbrot set, Julia set, the Burning Ship fractal, the Nova fractal and the Lyapunov fractal. The 2d vector fields that are generated by one or two iterations of escape-time formulae also give rise to a fractal form when points (or pixel data) are passed through this field repeatedly.

Iterated function systems – These have a fixed geometric replacement rule. Cantor set, Sierpinski carpet, Sierpinski gasket, Peano curve, Koch snowflake, Harter-Highway dragon curve, T-Square, Menger sponge, are some examples of such fractals.

Random fractals – Generated by stochastic rather than deterministic processes, for example, trajectories of the Brownian motion, Lévy flight, fractal landscapes and the Brownian tree. The latter yields so-called mass- or dendritic fractals, for example, diffusion-limited aggregation or reaction-limited aggregation clusters.

Strange attractors – Generated by iteration of a map or the solution of a system of initial-value differential equations that exhibit chaos.

[edit] Classification

Fractals can also be classified according to their self-similarity. There are three types of self-similarity found in fractals:

Exact self-similarity – This is the strongest type of self-similarity; the fractal appears identical at different scales. Fractals defined by iterated function systems often display exact self-similarity.

Quasi-self-similarity – This is a loose form of self-similarity; the fractal appears approximately (but not exactly) identical at different scales. Quasi-self-similar fractals contain small copies of the entire fractal in distorted and degenerate forms. Fractals defined by recurrence relations are usually quasi-self-similar but not exactly self-similar.

Statistical self-similarity – This is the weakest type of self-similarity; the fractal has numerical or statistical measures which are preserved across scales. Most reasonable definitions of "fractal" trivially imply some form of statistical self-similarity. (Fractal dimension itself is a numerical measure which is preserved across scales.) Random fractals are examples of fractals which are statistically self-similar, but neither exactly nor quasi-self-similar.

[edit] In nature

Approximate fractals are easily found in nature. These objects display self-similar structure over an extended, but finite, scale range. Examples include clouds, snow flakes, crystals,

mountain ranges, lightning, river networks, cauliflower or broccoli, and systems of blood vessels and pulmonary vessels. Coastlines may be loosely considered fractal in nature.

Trees and ferns are fractal in nature and can be modeled on a computer by using a recursive algorithm. This recursive nature is obvious in these examples—a branch from a tree or a frond from a fern is a miniature replica of the whole: not identical, but similar in nature. The connection between fractals and leaves are currently being used to determine how much carbon is contained in trees. This connection is hoped to help determine and solve the environmental issue of carbon emission and control. [5]

In 1999, certain self similar fractal shapes were shown to have a property of "frequency invariance"—the same electromagnetic properties no matter what the frequency—from Maxwell's equations (see fractal antenna).[6]

A fractal that models the surface of a mountain (animation)

A fractal fern computed using an Iterated function system

Photograph of a romanesco broccoli, showing a naturally occuring fractal

Fractal pentagram drawn with a vector iteration program

[edit] In creative works

Further information: Fractal art

Fractal patterns have been found in the paintings of American artist Jackson Pollock. While Pollock's paintings appear to be composed of chaotic dripping and splattering, computer analysis has found fractal patterns in his work.[7]

Decalcomania, a technique used by artists such as Max Ernst, can produce fractal-like patterns.[8] It involves pressing paint between two surfaces and pulling them apart.

Fractals are also prevalent in African art and architecture. Circular houses appear in circles of circles, rectangular houses in rectangles of rectangles, and so on. Such scaling patterns can also be found in African textiles, sculpture, and even cornrow hairstyles.[9]

A fractal is formed when pulling apart two glue-covered acrylic sheets.

High voltage breakdown within a 4″ block of acrylic creates a fractal Lichtenberg figure.

Fractal branching occurs in a fractured surface such as a microwave-irradiated DVD.[10]

A DLA cluster grown from a copper(II) sulfate solution in an electrodeposition cell

A "woodburn" fractalA magnification of the phoenix set

A fractal flame created with the program Apophysis

Fractal made by the program Sterling

A fractal created using

the program Apophysis and a julian transform

[edit] Applications

Main article: Fractal analysis

As described above, random fractals can be used to describe many highly irregular real-world objects. Other applications of fractals include:[11]

Classification of histopathology slides in medicine Fractal landscape or Coastline complexity Enzyme/enzymology (Michaelis-Menten kinetics) Generation of new music Generation of various art forms Signal and image compression Creation of digital photographic enlargements Seismology Fractal in soil mechanics Computer and video game design , especially computer graphics for organic environments

and as part of procedural generation Fractography and fracture mechanics Fractal antennas – Small size antennas using fractal shapes Small angle scattering theory of fractally rough systems T-shirts and other fashion Generation of patterns for camouflage, such as MARPAT Digital sundial Technical analysis of price series (see Elliott wave principle)

[edit] See also

Bifurcation theory Butterfly effect Chaos theory Complexity Constructal theory Contraction mapping

theorem Diamond-square

algorithm Droste effect Feigenbaum function Fractal art

Fractal compression

Fractal cosmology Fractal flame Fractals in

wikimedia Fractal landscape Fractint Fracton Graftal Greeble Lacunarity

List of fractals by Hausdorff dimension

Publications in fractal geometry

Newton fractal Recursionism Sacred geometry Self-reference Space-filling curve Strange loop Turbulence

[edit] References

1. ̂ Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company.. ISBN 0-7167-1186-9.

2. ^ a b Briggs, John (1994). Fractals:The Patterns of Chaos. Thames and Hudson. pp. 148. ISBN 0500276935.

3. ̂ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. xxv. ISBN 0-470-84862-6.

4. ̂ The Hilbert curve map is not a homeomorhpism, so it does not preserve topological dimension. The topological dimension and Hausdorff dimension of the image of the Hilbert map in R2 are both 2. Note, however, that the topological dimension of the graph of the Hilbert map (a set in R3) is 1.

5. ̂ "Hunting the Hidden Dimension." Nova. PBS. WPMB-Maryland. 10/28/2008. 6. ̂ Hohlfeld,R., and Cohen, N.,"SELF-SIMILARITY AND THE GEOMETRIC REQUIREMENTS FOR

FREQUENCY INDEPENDENCE IN ANTENNAE ", Fractals, Vol. 7, No. 1 (1999) 79-84 7. ̂ Richard Taylor, Adam P. Micolich and David Jonas. Fractal Expressionism : Can Science Be

Used To Further Our Understanding Of Art? 8. ̂ A Panorama of Fractals and Their Uses by Michael Frame and Benoît B. Mandelbrot 9. ̂ Ron Eglash. African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. New Brunswick:

Rutgers University Press 1999. 10. ̂ Peng, Gongwen; Decheng Tian (21 July 1990). "The fractal nature of a fracture surface".

Journal of Physics A 23 (14): 3257–3261. doi:10.1088/0305-4470/23/14/022. http://www.iop.org/EJ/abstract/0305-4470/23/14/022. Retrieved on 2007-06-02.

11. ̂ "Applications". http://library.thinkquest.org/26242/full/ap/ap.html. Retrieved on 2007-10-21.

[edit] Further reading

Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0

Falconer, Kenneth. Techniques in Fractal Geometry. John Willey and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0

Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4

Benoît B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9

Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0

Clifford A. Pickover , ed. Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey - A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2

Jesse Jones , Fractals for the Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8.

Hans Lauwerier , Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures, Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X, cloth. ISBN 0-691-02445-6 paperback. "This book has been written for a wide audience..." Includes sample BASIC programs in an appendix.

Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850839-5 and ISBN 978-0-19-850839-7.

Bernt Wahl, Peter Van Roy, Michael Larsen, and Eric Kampman Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6

Nigel Lesmoir-Gordon. "The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals." ISBN 1-904555-05-5 (The book comes with a related DVD of the Arthur C. Clarke documentary introduction to the fractal concept and the Mandelbrot set.

Gouyet, Jean-François. Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1, and New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 0-387-94153-1. Out-of-print. Available in PDF version at [1].

[edit] External links

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¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal.

Figura 1: fractal de Julia.

Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre.

Muchas veces, los fractales se subscriben a la definición anterior. Otras no: en vez de observarse la misma estructura en proporciones menores de la figura principal que estemos observando, serán evidentes rasgos y patrones nuevos. Ello dependerá del tipo de fractal que examinemos y, como debe ser evidente, de la función matemática que hayamos utilizado para producirlo.

Figura 2: polvo de Cantor.

Probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán Georg Cantor-inventor de la teoría de los conjuntos-alrededor de 1872. A pesar de ser una figura extremadamente sencilla, recoge todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta el momento: presenta autosimilitud a cualquier escala y su dimensión es fraccionaria, con valor aproximado de 0,630929753571457437099527114 (log 2/log 3,si utilizamos una expresión más adecuada). Igualmente, podemos basarnos en él para introducir otra característica general de este tipo de objeto: son producidos por procesos de iteración.

La iteración puede describirse como un mecanismo de retroalimentación, que se repite un número n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un valor inicial en el cálculo de cierta función, y luego tomar el producto, o resultado, como valor inicial para el próximo cálculo de esa misma función. Dicha operación puede repetirse indefinidamente (incluso infinitamente), produciendo una iteración. Cualquier proceso semejante tendrá como resultado un fractal.

El polvo de Cantor se inicia con un segmento lineal (justamente, conocido como el initiador); éste se divide en tres segmentos menores de la misma longitud, el central de los cuales se extrae. Este proceso (denomonado, usualmente, como el generador) se repite indefinidamente, al final de lo cual-si tiene final- se habrá producido el polvo de Cantor.

Figura 3: iteración del polvo de Cantor.

De la misma manera, podemos producir un triángulo de Sierpinski, una figura inventada por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915:

Figura 4: triángulo de Sierpinski.

Para éste, se comienza con un triángulo equilátero. En su interior, se traza otro triángulo equilátero, cuyas puntas, o esquinas, deben coincidir con los puntos medios de cada lado del triángulo mayor. Esta nueva figura tendrá una orientación invertida con respecto a la primera. Seguido, se retira, o se elimina, de la figura ese nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conserven los tres triángulos equiláteros menores-y similares-que se observan dentro del grande. Luego, realizamos el mismo procedimiento (de iteración) para cada triángulo pequeño, obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.

     

     Figura 5: iteración de un triángulo de Sierpinski.

Hay que tener en cuenta que cuando decimos que se elimina ese nuevo triángulo no solamente significa que quitaremos ese triángulo del medio y nos olvidamos de él, sino que los puntos contenidos en esa área, específicamente, no pertenecen al conjunto de puntos comprendidos en el triángulo de Sierpinski; o dicho de otro modo, esa sección no pertenece al conjunto.

Aunque la existencia de los fractales se conoce desde fines del siglo XIX (cuando eran considerados, simplemente, como curiosidades matemáticas), su verdadera identidad no fue plenamente expresada hasta las décadas de 1960 y 1970, gracias a los importantes estudios de Benoît Mandelbrot y otros científicos.

CONSIDERACIONES ADICIONALES SOBRE DIMENSIÓN FRACTAL

En geometría, un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.

.

Figura 6: un punto.

Una línea es unidimensional (tiene una sola dimensión) porque sólo tiene longitud.

Figura 7: una línea.

Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura (largo y ancho).

Figura 8: un plano.

Una caja, o un cubo, es tridimensional porque tiene longitud, anchura y profundidad (largo, ancho y alto, por ejemplo).

Figura 9: un cubo.

Hasta aquí, nos hemos referido al concepto que ordinariamente asociamos a la dimensión (también llamada euclidiana o dimensión topológica). Los fractales, por su parte, tienen dimensiones fraccionarias, cuyos valores, generalmente, sólo se expresan con números no-enteros, tales como 1,7; 0,5326478 ó 3,28. ¿Cómo es eso posible?

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica apariencia al objeto original.

Figura 10: división de una línea.

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud y la anchura de un objeto bidimensional, obtenemos cuatro copias más pequeñas de dicho objeto.

Figura 11: división de un plano.

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud, la anchura y la profundidad de un objeto tridimensional, obtenemos ocho copias a escala del objeto original.

cubo pequeño

Figura 12: división de un cubo.

Observando con detenimiento, nos percatamos de que tenemos lo que podríamos llamar, para nuestro propósito, duplicación geométrica (o crecimiento exponencial), pues la

duplicación ocurre a "razón" exponencial de 2, 4, 8 y así sicesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:

2 = 2^1

4 = 2^2

8 = 2^3

Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3.

Ahora, hagamos lo mismo con un objeto fractal. Tomemos como ejemplo el triángulo de Sierpinski. Si dividimos por la mitad la medida de su altura y base, sólamente obtenemos tres copias a escala de dicha figura (recordemos que la sección central-el triángulo invertido-no pertenece al triángulo). Entonces, necesitamos un exponente tal que 2^z = 3.

Figura 13: división de un triángulo de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski no es unidimensional porque 3 es mayor que 2, pero tampoco es bidimensional porque 3 es menor que 4. Así pues, su dimensión debe estar entre esas dos dimensiones (1 y 2). En realidad, es cerca de 1.58496250072115618145373894395.

OTRO TIPO DE GEOMETRÍA

En concepto de dimensión fractal, o fraccionaria, es algo que nunca existiría y nunca sería comprendida si nos limitásemos al mundo de la geometría elemental. Por el contrario, éste pertenece a otro campo geométrico en el cual, al menos, uno de los postulados de Euclides—aquellos compilados por dicho matemático griego en el siglo cuarto a.C.—no se sostiene, permitiendo que emerjan otras realidades matemáticas. Podemos decir, pues, que hay dos tipos principales de geometría: euclidiana y no-euclidiana. En el primer grupo se

encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría fractal. (Para una lista más detallada de los tipos de geometría, cliquée aquí).

¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN "FRACTALES"?

La palabra "fractal" proviene del latín "fractus", que significa "fragmentado", "fracturado", o simplemente "roto o quebrado", muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalemente, como geometría fractal.

Figura 14: un fractal cerca del borde del conjunto de Mandelbrot.

¿QUÉ HACE QUE LAS IMÁGENES DE LOS FRACTALES SEAN TAN COLORIDAS Y EXTRAÑAS?

Las imágenes de los fractales obtienen sus formas y colores cuando le asignamos un rango determinado de colores a una serie de puntos, dependiendo de su comportamiento matemático mientras se resuelve la función, con la ayuda indispensable de un ordenador (la computadora). En efecto, esa es la única manera de captarlos visualmente. Existen varias posibilidades al momento de asignar los valores que determinarán los colores:

si el resultado se aproxima a cero (en cuyo caso, pertenece al conjunto), si escapa al infinito (y por tal, no pertenece al conjunto), si oscila entre varios estados, si no exhibe ningún patrón discernible.

En primer caso ocurre dentro de los límites que comprenden la figura fractal; el segundo, fuera de sus límites; y los tercero y cuarto ocurren en la frontera.

Si no fuera por esa asignación artificial de colores, los fractales lucirían como cualquier otra gráfica poco atractiva.

MÁS ALLÁ DE LA MATEMÁTICA

Los fractales son entidades matemáticas, pero mucho más también. Los primeros ejemplos de este tipo de objeto fueron figuras matemáticas como el polvo de Cantor, la curva de Koch (1904) y el triángulo de Sierpinski. Luego de éstos, que datan de finales de siglo XIX y principios del XX, vinieron los trabajos de Gaston Julia y Pierre Fatou sobre los fractales del conjuto de Julia (1918-19) y, varias décadas más tarde, los estudios de Benoît Mandelbrot y otros matemáticos sobre el conjunto de Mandelbrot, atractores extraños y bifurcaciones, entre otros. No obstante, los fractales están por todas partes. Hay muchos objetos "ordinarios" que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales—aunque no los reconozcamos como tales de primera instancia. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales; se diferencian de sus contrapartes matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas. Ejemplos adicionales de fractales son el mercado de valores y el crecimiento poblacional.

Figura 16: Bifurcación.

Los fractales también han cruzado la frontera entre la ciencia y el arte. Hoy en día, muchos artistas que han escogido este medio para sus expresiones producen magníficas representaciones hábilmente elaboradas de estos objetos matemáticas. Los valores (numéricos) que se asignan a los parámetros que definen un fractal también pueden

convertirse a notas musicales para generar composiciones intrigantes y refrescantes. Esto último se denomina, generalmente, música fractal.

Cliquée aquí para escuchar una muestra de música derivada de los fractales.

Recientemente, expertos han postulado que los fractales han estado asociados al arte mucho antes de que se estableciera su evidencia matemática. Por siglos, el ser humano ha utilizado patrones geométricos repetitivos, o recursivos, como elementos decorativos en vacijas, arquitectura, la ilustración de libros y muchas otras manifestaciones artísticas que, de algunas manera, pueden relacionarse con estructuras fractales.

Figuras 17, 18, 19Ilustración de un libro "iluminado" al estilo Hiberno-Sajón: detalle del Libro de Kell

(izquierda); estructura fractal natural: caparazón de un nautilo (centro);domo gótico de la catedral de Ely, UK (derecha).

Otros estudios han demostrado que muchos estilos musicales siguen la relación 1/f asociada a frecuencias en la naturaleza, como la encontrada en la interferencia de ruido y el flujo de un río (Voss y Clark, 1975).

EL OBJETO MATEMÁTICO MÁS COMPLEJO

El conjunto de Mandelbrot fue descubierto por Benoît Mandelbrot en la década de 1970, y nombrado en su honor por Adrien Douady y J. Hubbard en 1982. Su peculiar figura ha sido reproducida en innumerables ocasiones desde que se logró su primera representación visual en 1980.

Figura 19: un colorido conjunto de Mandelbrot.

La función matemática que define al conjunto de Mandelbrot puede expresarse como el conjunto de todos los valores posibles de c (c siendo un número complejo) tal que la iteración de z = z^2 + c (comenzando con z = 0) no va al infinito. La ecuación en sí misma es bien sencilla; la gráfica resultante, infinitamente compleja. Un ordenador (una computadora) es la herramienta más práctica que tenemos para trabajar con este y otros tipos de fractales debido a su capacidad para realizar cómputos con sorprendente rapidez. Si lo intentáramos a mano, no podríamos acabarlo en el curso de toda nuestra vida.

GASTON ET BENOÎT : BENOÎT ET GASTON

Los conjuntos de Mandelbrot y Julia están estrechamente relacionados. El conjunto de Mandelbrot itera z = z^2 + c comenzando con z = 0 y variando el valor de c. El de Julia, por su parte, itera esa misma función, pero con valores fijos para c y variando los de z. Cada punto c en el conjunto de Mandelbrot especifica la estructura geométrica del conjunto de Julia correspondiente. Si c está en el conjunto de Mandelbrot, entonces el de Julia será conectado (cerrado). De lo contrario, el conjunto de Julia será sólo una colección de puntos desconectados, trazados sobre una gráfica.

Figura 20: transformación Mandelbrot-Julia.

NÚMEROS COMPLEJOS

La existencia de los conjuntos de Mandelbrot y Julia depende de los números complejos. Pero si hablamos de los últimos, tenemos que, necesariamente, introducir los números imaginarios primero. Dos matemáticos italianos, Girolamo Cardano y Raffaele Bombelli, propusieron ambos tipos de números en el siglo XVI.

Como sabemos, los números negativos no tienen raíces cuadradas que puedan expresarse en números reales. No obstante, los matemáticos le han dado un valor imaginario i definido como la raíz cuadrada de -1 (de ahí su nombre).

 ó  i^2 = -1

Los números complejos, por su parte, son aquellos que se componen de una parte real y otra imaginaria. La parte real es un número real-por ejemplo, -2, 1, 1/2, 0.2154-, mientras que la parte imaginaria la componen un número real más el número especial "i", como en 3i. Un ejemplo de un número complejo es 2 + 3i.

Pero no todos los fractales se producen mediante la iteración de expresiones matemáticas con números complejos. La iteración de figuras geométricas elementales pueden igualmente producirlos. La alfombra de Sierpinski se produce partiendo de un cuadrado.

Figura 21: desde la izquierda: segunda, tercera y cuarta iteración de un cuadrado, o alfombra, de Sierpinski.

ECUACIONES, FUNCIONES O FÓRMULAS?

Una ecuación se define como un enunciado que demuestra que dos expresiones matemáticas son equivalentes, tal como x + 1 = 3 - x^2.

Una función puede definirse como una asociación entre dos o más variables, en la cual, para cada valor de las variables independientes, o argumentos, corresponde exactamente un valor de la variable dependiente en un conjunto espcífico (conocido como el dominio de la función). Por ejemplo: en una función como f(y) = x + 1, el valor de la variable y depende y varía según el valor de x. En dicha expresión, y es la variable dependiente, mientras que x es la variable independiente.

Una fórmula, por otra parte (y en nuestro caso), expresa un hecho o una realidad matemática. Como ejemplo, la fórmula para calcular el área de un triángulo es a = bh/2,

donde b es la medida de la base, h es la medida de la altura, y a el área calculada para el triángulo.

Cuando nos referimos al conjunto de Mandelbrot, f(z) = z^2 + c, sería más apropiado hablar de función. Mientras que esta expresión es una ecuación, pues estamos estableciendo que un lado es equivalente al otro, es una función puesto que estamos limitando los posibles valoreas a un dominio determinado.

LOS FRACTALES Y EL CAOS

Por varias razones, los fractales han sido asociados a la teoría del caos. Mientras que algunas de estas figuras sí están estrechamente relacionadas, hay otros tipos de fractales que en nada tienen que ver con el caos. Como hemos visto, los primeros ejemplos de construcciones fractales (matemáticas) datan de finales del siglo XIX, mucho antes de que la teoría del caos fuese propuesta en la década de 1960. Aún así, gracias a los avances tecnológicos, esta teoría ha generado varios tipos adicionales de fractales. El Dr. Edward Lorentz, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés) es uno de los pioneros en este campo, a pesar de que Jules Henri Pointcaré ya había formulado el "Efecto Mariposa" tan temprano como los 1830's.

Figura 22: atractor de Lorenz.

Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio de los sistemas no lineales, para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también, son fractales.

En sistemas no lineales, cada estado del sistema está determinado por sus estados anteriores (iteración). Un minúsculo cambio en los valores iniciales puede tener dramáticos efectos en el resultado del sistema.

APLICACIONES DE LA TEORÍA FRACTAL

Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles. Una de las contribuciones más significativas de la geometría fractal ha sido su capacidad para modelar fenómenos naturales tales como las plantas, las nubes, las formaciones geológicas y los fenómenos atmosféricos. Esta teoría también ha contribuido a otros campos tan diversos como la lingüística, la psicología, las técnicas de compresión de imágenes digitales, la superconductividad y otras aplicaciones electrónicas.

Si desea conocer más sobre alguno de los tópicos anteriomente discutidos, le sugerimos que vaya a la sección de Enlaces para obtener algunas referencias.

Addendum:

La siguiente reseña sobre tipos de geometría está basada en el libro de Jan Gullberg, Mathematics from the Birth of Numbers. New York, WW Norton & Company, 1997.

Geometrías euclidianas

geometría euclidiana: también conocida como geometría clásica o elemental. Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas. Se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.330 - c.275 a.C.) en su tratado Elementos, un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo. La geometría sólida comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos, y fue desarrollada por Arquímedes (287 - 221 a.C.) varios años más tarde. Las secciones cónicas fueron el tema de los estudios de Apolonio para la misma época (c.260 - después de 200 a.C.).

Trigonometría: la geometría de los triángulos. Hiparco de Nicea (? - después de 127 a.C.) ha sido acreditado con la invención de esta rama de la geometría, como método para resolver distancias astronímicas. Puede dividirse en trigonometría plana, para triángulos en un plano, y trigonometría esférica, para triángulos en la superficie una esfera.

Geometría de proyección: interesada en las propiedades de figuras planas que no cambian cuando un conjunto específico de puntos se proyecta sobre un plano. Comenzó a usarse en los siglos XV y XVI como aplicación a la arquitectura por el maestro italiano Leone Alberti (1404 - 1472) y el matemático francés Girard Desargues (1591 - 1661), aunque a veces es asociada (junto con la geometría descriptiva) con Tolomeo de Alejandría (c. d.C. 100 - c.170).

Geometría analítica: Inventada por René Descartes (1596 - 1650), trabaja problemas geométricos a base de un sistema de coordenadas y su transformación a problemas algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres variables.

Geometría diferencial: tuvo su origen cuando matemáticos del siglo XVIII, siguiendo los descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo diferencial e integral a curvas, superficies y otras entidades geométricas.

Análisis vectorial (de vectores): estudia las cantidades que poseen magnitud y dirección. Conocida desde los tiempos de Aristóteles, y más aún por Simon Stevin en los 1580s, la teoría moderna data de principios del siglos XIX.

Geometrías no euclidianas

En el siglo XIX, matemáticos comenzaron a desarrollar otros tipos de geometría para los cuales, al menos, uno de los axiomas de Euclides no se sostiene. Esto dio origen al florecimiento de las geometrías no-euclideanas.

Geometría hiperbólica: acreditada independientemente a Nicolai Lobachevski (1792 - 1856) y János Bólyai (1802 - 1860). Rechaza el postulado del paralelo de la geometría euclideana, y establece que "Por un punto dado fuera de una línea recta dada pasa más de una línea que no interseca la línea dada."

Geometría elíptica: también rechaza el postulado del paralelo, y establece que "no hay líneas paralelas, y si se extienden suficientemente lejos, dos líneas rectas cualesquiera en un plano se encontrarán." Su invención ha sido acreditada a Bernhard Riemann (1820 - 1866).

Topología: También procedente del siglo XIX, comenzó con el astrónomo belga Augustus Möbius (1790 - 1868) y otros matemáticos, entre los que luego se encontraron David Hilbert (1862 - 1943), Oswald Veblen (1880 - 1966) y Henry Whitehead (1904 - 1960). Se ocupa de las propiedades que no se alteran por deformaciones continuas tales como flexión, "estiramiento" y "torcimiento".

Geometría fractal: una adición reciente al campo de la geometría, estudia las formas y figuras que poseen recursividad y dimensión fraccionaria. La voz cantante de la geometría fractal es el Dr. Benoît Mandelbrot.

FractalDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características[2]

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión

topológica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Contenido

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1 Introducción o 1.1 Los ejemplos clásicos o 1.2 Los conjuntos de Julia

o 1.3 Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot 2 Características de un fractal

o 2.1 Autosimilitud o 2.2 Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch o 2.3 Definición por algoritmos recursivos

3 Aspectos matemáticos o 3.1 Intentos de definición rigurosa o 3.2 Dimensión fractal o 3.3 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch o 3.4 Dimensión de fractales producidos por un IFS

4 Aplicaciones o 4.1 Compresión de imágenes o 4.2 Modelado de formas naturales o 4.3 Sistemas dinámicos o 4.4 En manifestaciones artísticas

4.4.1 Literatura y poesía 4.4.2 Artes gráficas

o 4.5 Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales 5 Referencias 6 Véase también 7 Enlaces externos

Introducción [editar]

Los ejemplos clásicos [editar]

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares

a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.[4]

En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conjuntos de Julia [editar]

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas

.

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c

En negro, conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=1−φ, donde φ es el número áureo

Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i

Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=-0.835-0.2321i

En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot [editar]

La familia de conjuntos de Julia {fc}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma fc(z) = z2 + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.

Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a fc. En concreto, si el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.

Características de un fractal [editar]

Autosimilitud [editar]

Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo de

densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada

Definición por algoritmos recursivos [editar]

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.

Fractales de tiempo de escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.

Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada..

Aspectos matemáticos [editar]

Intentos de definición rigurosa [editar]

El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

B. Mandelbrot , que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.

D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractal [editar]Artículo principal: Dimensión fractal

Puede definirse en términos del mínimo número N(ε) de bolas de radio ε necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

O en función del recuento del número de cajas Nn de una cuadrícula de anchura 1 / 2n que intersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.[6]

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch [editar]

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número DH(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal DF(A) es la siguiente:

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producidos por un IFS [editar]

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

Aplicaciones [editar]

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes [editar]

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las tranformaciones apropiadas.[7]

El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales [editar]

Fracción de un fractal Mandelbrot

Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Sistemas dinámicos [editar]

Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz

Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

En manifestaciones artísticas [editar]

Imagen generada con el programa Apophysis.

Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composición se llaman "micromodos", o pequeños grupos de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal (melódica), o vertical (armónica). A su vez, el ritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales especificas, que son determinadas por sucesiones de fractales.

Literatura y poesía [editar]

Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

Artes gráficas [editar]

Con programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").

Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales [editar]

Varias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractales en sus respectivas áreas de conocimiento. Un ejemplo lo encontramos en las ciencias sociales.[8]

Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos se denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de la economía mundial?

Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eran

imposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el ser humano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo, puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.

Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.

En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.