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1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ELEMENTOS MECÁNICOS DE VIGAS HIPERESTÁTICAS Miguel Angel Castillo Mata 1 y Ángel Ponce Córdova 2 RESUMEN Con el continuo desarrollo de la tecnología de los programas de cómputo, basta con ejecutar un par de comandos para obtener los elementos mecánicos de diferentes estructuras. Sin embargo, cuando el ingeniero o el estudiante no cuenta con estas herramientas, tiene que hacer uso de los diferentes métodos para el cálculo de dichos elementos, tarea que se vuelve engorrosa cuando el grado de indeterminación es alto, otra opción para resolver el problema, es hacer uso de formularios, pero estos solo contemplan vigas estáticamente determinadas o vigas con grados de indeterminación bajos. Por ello, en este trabajo se desarrollan fórmulas para el cálculo de los elementos mecánicos de vigas estáticamente indeterminadas con diferentes configuraciones de carga. ABSTRACT With the continuous development of technology of computer programs, just run a few commands to get the mechanical elements of different structures. However, when the engineer or the student does not have these tools, you have to use different methods for calculating these elements, a task that becomes cumbersome when hyperstaticity degree is high, another option for solving the problem, is to make use of formulas, but they only provide for statically determinate beams or beams with low degrees of indeterminacy. Therefore, in this paper we develop formulas for calculating the mechanical elements of statically indeterminate beams with different loading configurations. INTRODUCCIÓN Una estructura se puede idealizar como un sistema, esto es, como un conjunto de partes o componentes que se combinan en forma ordenada para cumplir una determinada función. Las vigas son usualmente miembros horizontales rectos usados principalmente para soportar cargas perpendiculares a su eje. Una forma de clasificar las vigas consiste en agruparlas según su grado de indeterminación, se considera una viga estáticamente determinada si todas sus reacciones pueden calcularse con las ecuaciones de la estática ( ), es decir, se desconocen tres reacciones. Una viga es estáticamente indeterminada si tiene más de tres reacciones desconocidas en sus apoyos. El grado de indeterminación se puede definir como el número de reacciones redundantes de la viga y se determina restando el número de reacciones que pueden calcularse por medio de la estática menos el número total reacciones en sus apoyos. Dicho de otra manera, si ambos números son iguales , la viga es isostática, por lo que, su grado de indeterminación es cero. Si el número de reacciones de los apoyos es mayor que el de las ecuaciones de equilibrio , la viga es hiperestática de grado . Si el número de reacciones de los apoyos es menor que el número de ecuaciones de equilibrio, la viga es inestable . 1 Analista Estructural de la Gerencia de Ingeniería Estructural, Centro de Tecnología Cemento y Concreto CEMEX, 3ª. Cerrada de minas No. 42 Colonia Francisco Villa Delegación Álvaro Obregón, C.P: 01280, México, D.F. Teléfono, (55) 5235-3800 ext. 4204; [email protected] 2 Gerente del Área de Estructuras, Centro de Tecnología Cemento y Concreto CEMEX, 3ª. Cerrada de minas No. 42 Colonia Francisco Villa Delegación Álvaro Obregón, C.P: 01280, México, D.F. Teléfono: (55) 5626- 8369; fax: (55) 5626-8325; [email protected]
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ELEMENTOS MECÁNICOS DE VIGAS HIPERESTÁTICAS
Miguel Angel Castillo Mata1 y Ángel Ponce Córdova
2
RESUMEN
Con el continuo desarrollo de la tecnología de los programas de cómputo, basta con ejecutar un par de
comandos para obtener los elementos mecánicos de diferentes estructuras. Sin embargo, cuando el ingeniero o
el estudiante no cuenta con estas herramientas, tiene que hacer uso de los diferentes métodos para el cálculo
de dichos elementos, tarea que se vuelve engorrosa cuando el grado de indeterminación es alto, otra opción
para resolver el problema, es hacer uso de formularios, pero estos solo contemplan vigas estáticamente
determinadas o vigas con grados de indeterminación bajos. Por ello, en este trabajo se desarrollan fórmulas
para el cálculo de los elementos mecánicos de vigas estáticamente indeterminadas con diferentes
configuraciones de carga.
ABSTRACT
With the continuous development of technology of computer programs, just run a few commands to get the
mechanical elements of different structures. However, when the engineer or the student does not have these
tools, you have to use different methods for calculating these elements, a task that becomes cumbersome
when hyperstaticity degree is high, another option for solving the problem, is to make use of formulas, but
they only provide for statically determinate beams or beams with low degrees of indeterminacy. Therefore, in
this paper we develop formulas for calculating the mechanical elements of statically indeterminate beams
with different loading configurations.
INTRODUCCIÓN
Una estructura se puede idealizar como un sistema, esto es, como un conjunto de partes o componentes que se
combinan en forma ordenada para cumplir una determinada función. Las vigas son usualmente miembros
horizontales rectos usados principalmente para soportar cargas perpendiculares a su eje.
Una forma de clasificar las vigas consiste en agruparlas según su grado de indeterminación, se considera una
viga estáticamente determinada si todas sus reacciones pueden calcularse con las ecuaciones de la estática
( ), es decir, se desconocen tres reacciones. Una viga es estáticamente
indeterminada si tiene más de tres reacciones desconocidas en sus apoyos.
El grado de indeterminación se puede definir como el número de reacciones redundantes de la viga y se
determina restando el número de reacciones que pueden calcularse por medio de la estática menos el número
total reacciones en sus apoyos. Dicho de otra manera, si ambos números son iguales , la viga es
isostática, por lo que, su grado de indeterminación es cero. Si el número de reacciones de los apoyos es mayor
que el de las ecuaciones de equilibrio , la viga es hiperestática de grado . Si el número de
reacciones de los apoyos es menor que el número de ecuaciones de equilibrio, la viga es inestable .
1
Analista Estructural de la Gerencia de Ingeniería Estructural, Centro de Tecnología Cemento y Concreto
CEMEX, 3ª. Cerrada de minas No. 42 Colonia Francisco Villa Delegación Álvaro Obregón, C.P: 01280,
México, D.F. Teléfono, (55) 5235-3800 ext. 4204; [email protected] 2
Gerente del Área de Estructuras, Centro de Tecnología Cemento y Concreto CEMEX, 3ª. Cerrada de minas
No. 42 Colonia Francisco Villa Delegación Álvaro Obregón, C.P: 01280, México, D.F. Teléfono: (55) 5626-
8369; fax: (55) 5626-8325; [email protected]
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CONSIDERACIONES GENERALES
MÉTODO DE LAS FUERZAS
Una vez que se ha clasificado la viga y se ha determinado el grado de indeterminación, se puede hacer uso de
cualquiera de los métodos existentes para el cálculo de las reacciones, siendo uno de ellos y el que se empleo
en este trabajo, el método de las fuerzas.
En este método, la estructura original con grado de hiperestaticidad se reemplaza por una estructura
isostática, lo cual se obtiene eliminando apoyos, que por lo general corresponde al grado de
indeterminación de la estructura.
El nuevo esquema obtenido se denomina sistema primario. Esta nueva estructura isostática debe ser
geométricamente estable, debiendo ser sencilla para el cálculo de las deformaciones bajo las cargas que
actúan en la estructura original. Estas deformaciones se denominan incompatibilidades geométricas.
Posteriormente al sistema primario se le aplican fuerzas arbitrarias en las secciones donde se eliminaron las
restricciones reemplazándolas por fuerzas desconocidas .
El sistema primario, que se encuentra bajo la acción de los factores antes indicados, debe ser completamente
equivalente al sistema original, por ende, deben surgir las mismas fuerzas internas y desplazamientos, que en
el sistema inicial.
Después se pueden analizar los puntos del sistema primario, en los cuales están aplicadas las fuerzas
desconocidas . Se escriben los desplazamientos de estos puntos en las direcciones de las
desconocidas Los desplazamientos indicados se igualan a los desplazamientos de los mismos puntos del
sistema inicial. De esta manera, se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas con incógnitas ,
cuya solución debe dar los valores de las fuerzas . A este sistema de ecuaciones se llama sistema de
ecuaciones canónicas del método de las fuerzas.
SISTEMA DE ECUACIONES CANÓNICAS
En general, para una viga con grado de hiperestaticidad sometida a cargas externas, el sistema de
ecuaciones canónicas tiene la siguiente forma:
[
]
[ ]
Donde:
Desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita en la dirección , debido a la
acción de la carga
Desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita en la dirección , debido a la
acción de las cargas que originalmente actúan en el sistema.
Como y son desplazamientos, para su cálculo se puede utilizar la fórmula de Mohr y sus
correspondientes formas de cálculo de integrales, como la fórmula de Simpson- Kornoujov, esto es:
∑∫
∑∫
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Donde:
Diagrama de momento flector, que surge en el sistema principal, debido a la acción de las
cargas que originalmente actúan en el sistema.
Diagramas de momento flector, que surgen en el sistema principal, debido a la acción de
las fuerzas y ;
La ecuación 1, cuyos coeficientes se calculan con la ecuación 2 configura la matriz del sistema de ecuaciones
canónicas del método de las fuerzas. Una vez obtenida la matriz se procede a resolverla por el método de
eliminación Gauss-Jordan
DESARROLLO DE FORMULAS
La viga mostrada en la figura 1 se tomara como ejemplo para describir la metodología que se empleo para el
desarrollo de las formulas.
Figura 1 Viga doblemente empotrada con un apoyo y carga uniformemente repartida
Como primer paso se tiene que clasificar y determinar el grado de indeterminación de la estructura analizada,
como se cumple con la condición podemos deducir que es hiperestática de tercer grado.
Posteriormente se procede a reemplazar la estructura original por una estructura isostática conservando la
misma configuración de carga, lo cual se obtiene eliminando el apoyo simple ubicado en el eje J y el
empotramiento ubicado en el eje K, el sistema primario obtenido se muestra la figura 2. Así mismo, al sistema
primario se le aplican fuerzas en las secciones donde se eliminaron las restricciones reemplazándolas por
fuerzas unitarias como lo muestran las figuras 3, 4 y 5.
Figura 2 Sistema primario
Figura 3 Sistema primario
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Figura 4 Sistema primario
Figura 5 Sistema primario
Determinación del Momento Flector para el Sistema Primario
Enseguida, se calculan las ecuaciones de momento flector para cada uno de los sistemas.
Reacción
(
)
Reacción vertical
Tramo
Figura 6 Diagrama de cuerpo libre del sistema primario
Determinación del Momento Flector para el Sistema Primario
Reacción
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Reacción vertical
Tramo
Figura 7 Diagrama de cuerpo libre del sistema primario
Determinación del Momento Flector para el Sistema Primario
Figura 8 Diagrama de cuerpo libre del sistema primario
Reacción
Reacción vertical
Tramo
Determinación del Momento Flector para el Sistema Primario
Figura 9 Diagrama de cuerpo libre del sistema primario
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Reacción
Reacción vertical
Tramo
Planteamiento del Sistema de Ecuaciones Canónicas
∫
∫ [(
) ]
∫
∫[(
) ]
∫
∫[(
) ]
∫
∫[ ]
∫
∫[ ]
∫
∫[ ]
∫
∫[ ]
∫
∫[ ]
∫
∫[ ]
[
]
[
]
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, obtenemos los correspondiste valores de las reacciones que se
habían sustituido por cargas unitarias, por último, se calculan las reacciones correspondientes al apoyo
empotrado.
Reacción vertical
(
)
Reacción
(
)
Viga Doblemente Empotrada y Dos Apoyos Simples
De la misma manera que el ejemplo anterior se obtuvieron las formulas para las siguientes vigas
hiperestáticas.
Figura 10 Viga doblemente empotrada y dos apoyos simples con carga uniformemente repartida
Viga Doblemente Empotrada y Tres Apoyos
Figura 11 Viga doblemente empotrada y tres apoyos simples con carga uniformemente repartida
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Viga Doblemente Empotrada con Carga Parcial
Figura 12 Viga doblemente empotrada con carga uniformemente repartida en un extremo
Viga Empotrada a la Izquierda y dos Apoyos Simples
Figura 13 Viga empotrada a la izquierda con dos apoyos simples y carga uniformemente repartida
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Viga Empotrada a la Izquierda y Tres Apoyos Simples
Figura 14 Viga empotrada a la izquierda y tres apoyos simples con carga uniformemente repartida
Viga Empotrada a la Izquierda y Cuatro Apoyos Simples
Figura 15 Viga empotrada a la izquierda y cuatro apoyos simples con carga uniformemente repartida
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Viga Empotrada a la Izquierda y Dos Apoyos Simples
Figura 16 Viga empotrada a la izquierda y dos apoyos simples con carga uniformemente repartida y dos cargas puntuales
Viga Doblemente Empotrada con Carga Parcial y Puntual
Figura 17 Viga doblemente empotrada con carga uniformemente repartida y una carga puntual
En esta viga se presenta un caso especial, ya que al tener un mayor número de variables, las formulas se
vuelven muy complejas, por ello solo se muestran dos de las cuatro reacciones, una vez calculadas estas dos
reacciones la viga se convierte en isostática, por lo que el cálculo de las reacciones verticales es más sencilla.
Viga Empotrada a la Izquierda y un Apoyo Simple
Al igual que el caso de la viga anterior las formulas para la viga mostrada en la figura 18 se vuelven
imprácticas, por esa razón cuando se obtuvieron las formulas se supusieron valores de a y b en función de L y
se obtuvo una grafica en la que fácilmente se pueden determinar las reacciones para una infinidad de
variaciones de longitud y de valores en las cargas, siendo esta la principal contribución de este trabajo ya que
nunca se había desarrollado algo similar para este tema.
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Figura 18 Viga empotrada a la izquierda y un apoyo con carga uniformemente repartida y una carga puntual
Para el cálculo de las reacciones utilizando las graficas descritas en este trabajo, basta con determinar el valor
de a/L y localizar el valor en el eje de las abscisas, una vez determinado el punto a/L se traza una línea
vertical, en cada intersección con las líneas mostradas en la grafica se traza un línea horizontal hasta
determinar el valor del factor Ω, por último, se sustituyen los valores en las ecuaciones mostradas.
Figura 19 Grafica para determinar los elementos mecánicos de una viga empotrada a la izquierda y un apoyo con carga uniformemente repartida y una carga puntual
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Viga Empotrada a la Izquierda y Un Apoyo Simple
Figura 20 Viga empotrada a la izquierda con carga triangular y una carga puntual
Figura 21 Grafica para determinar los elementos mecánicos de una viga empotrada a la izquierda y un apoyo con carga triangular y una carga puntual
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REFERENCIAS
Computers and Structures, Inc. (2010), “SAP 2000 V14.2.4. Integrated Software for structural analysis
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González O. (2003), “Análisis estructural”, Alfaomega, México. 584 pp.
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Villareal G. (2009), “Análisis estructural”, Asamblea Nacional de Rectores, Lima. 314 pp.
