Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales...

Funciones Exponenciales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

donde

Ejemplos de funciones exponenciales:

Base 2 Base 3Base 10

Base (1/2)

Def inición

Ejemplos:

Es una función exponencial con base 2.

Veamos con la rapidez que crece:

Si se compara con:


Gráfica de la función exponencial



Gráfica de las funciones

Grafica de las funciones

Función Exponencial Natural

La función exponencial natural es la función exponencial

de base e

El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología. Apartir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante , el tiempo de enfriamiento de un cuerpo , la antigúedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el creciemiento de la población y otras


Recordar que las características de esta función son las mismas que la función exponencial para a > 1

(0,1)

El numero e es un numero irracional cuyo valor es aproximadamente 2,7182 8182845904523536028747135266…

Gráfica de

Ejemplo estructural

El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como parecería. Es una función de la forma:

Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.


Ecuación de la curva de un puente colgante

Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por se define

Funciones Logarítmicas

Definición

Comparación

Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica

Exponencial: Logarítmica:

Base

Exponente

Base

Exponente

En ambas formas la base es la misma.

Funciones Logaritmicas

© copywriter

Forma Logarítmica

Forma Exponencial


Ejemplo:

Evaluación de logarítmos


Se debe elevar a a la potenciax para obtener .

Propiedad de los logarítmos

Propiedad Razón

Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.


EjemploAplicación de las propiedades logarítmicas

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4


Ejemplo : Graficas de funciones logarítmicas

Traza la gráfica de Resolución:

x

3

2

1

0

-1

-2

-3

Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.


Familia de Funciones Logarítmicas


Logarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10

© copywriter

Definición:

Logarítmo común

El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:


Ejemplo :Evaluación de logarítmos comunes

Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica.

x Log x

0.01

0.1

0.5

1

4

5

10

-2

-1

-0.30

0

0.602

0.699

1

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6


Logarítmo natural

El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln:

La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la

función exponencial, :

4

3

2

1

01 2 3 4 5 5 6

6 5 4 3 2 1



GRÁFICAS PARA

0<a<1

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.

APLICACIONES

Modelo de crecimiento y decrecimiento de poblaciones

Donde “Ao” es la población inicial.

Si el modelo es de crecimiento la tasa “k” > 0 , si es de decrecimiento la tasa k < 0 .

APLICACIONES

Desintegración radiactiva

Donde “Co” es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo

APLICACIONES

Los elementos radiactivos tienden a disminuir su masa conforme transcurre el tiempo, sea t el tiempo medido en años y C(t) la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo, entonces la cantidad de masa C(t) esta dada por :

Ley de enfriamiento de Newton.

k > 0

APLICACIONES

donde “u” es la temperatura del medio, “T” es la temperatura inicial del cuerpo y “K” es la constante de enfriamiento del cuerpo

Modelo logístico de crecimiento

APLICACIONES

Donde a , b y c son constantes, c > 0 y b > 0

MAGNITUD DE UN TERREMOTO

APLICACIONES

Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un terremoto estándar de referencia

Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismógrafo que deben ser representadas en una escala por ejemplo : La Escala Richter cuya magnitud se halla :

Interés compuestoEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula

donde: A(t) = cantidad después de t años

P =Capital o valor actualr = tasa de interés por año

n = número de veces que el interés se compone por año

t = número de años

APLICACIONES

Interés compuesto en forma continua

El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula:

donde A(t) = cantidad después de t añosP = capital o valor actualr = tasa de interés por añot = número de años

APLICACIONES

Modelo exponencial para la diseminación de un virus

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

CALCULAR:1. Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)

b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día, despues de dos dias y después de cinco días.

c) Haz la gráfica de la función y describe su comportamiento.(puedes utilizar la hoja de cálculo y la calculadora WIRIS)

Practicando lo aprendido

Problema Nº01

Interés compuestoEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula

donde: A(t) = cantidad después de t años

P = Principal

r = tasa de interés por año

n = número de veces que el interés se compone por año

t = número de años


Problema Nº02 Cálculo del interés compuesto

Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario.:DatosP = 1000r = 12% = 0.12t = 3Luego estos datos se reemplazan en A(t) donde n= 1, 2, 4, 12, 365 para anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente y diariamente respectivamente . Los cálculos y resultados se muestran en la siguiente tabla:


RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 02:

Capitalización n Cantidad después de tres años

Anual 1

Semianual 2

Trimestral 4

Mensual 12

Diaria 365

Practicando lo aprendidoUtiliza Wiris para los cálculos y completa unaTabla como ésta en Writer


Interés compuesto en forma continua

El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula

donde A(t) = cantidad después de t añosP = principalr = tasa de interés por añot = número de años

Problema Nº03



Calcular el interés compuesto de manera continua

• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.

Datos: P = 1000 r = 0.12 y t = 3

Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ 1433.33 ( compararlo con el ejemplo anterior)

Problema Nº 04



Magnitud de un sismo• El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue

el sismo de Ica del 15 de Agosto de 2007de 1,9 ?

Considerando

Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940

Problema Nº 05



Desintegración de una sustancia• Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial . La

cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de masa después de 100 años

i) Como la sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a

Para Co = 10 se tiene

ii) Ademas C(200) =2

Luego reemplazando k en i) se tiene:

iii) Nos piden C(100)

Luego la cantidad de masa después de 100 años es de 4,47 gramos aproximadamente


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