Gestión Económica y Financiera

Valoración de Opciones

Ing. Wilbert Zevallos Gonzales

Contenido

Estrategias con opciones

Factores que determinan el valor de una opción

Modelos de valoración de opciones

Ejercicios

2

3

4

5

1 Teoría de valoración de opciones

Teoría de Valoración de Opciones

Concepto de Opción

Una opción es un contrato entre dos partes en el que el comprador adquiere el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender un determinado activo subyacente a un precio específico, en o durante un periodo de tiempo también determinado, a cambio de una prima o premio.

Paralelamente, el vendedor o emisor se obliga a vender o comprar dicho activo en las condiciones pactadas.

Teoría de Valoración de Opciones

Opciones de compra (Call)

Da el derecho al comprador del contrato de adquirir el activo subyacente. Es decir a tomar una posición larga o compradora, si la opción se ejerce.

Opciones de venta (Put)

Da el derecho al comprador a vender un activo subyacente. Es decir, a adoptar una posición corta o vendedora si decide ejercer la opción.

Cuando el comprador puede ejercer su derecho en cualquier día en que la opción sea negociada, la opción se dice que es de estilo americano, y cuando solo puede ser ejercida en su fecha concreta de vencimiento, se dice que es de estilo europeo.

Teoría de Valoración de Opciones

Elementos de los contratos de opciones

Comprador (Buyer)

Vendedor (Seller)

Prima o Premio (Premium)

Activo subyacente (Underlying)

Precio de ejercicio de la opción (Strike price)

Fecha de expiración (Expiration date)

Teoría de Valoración de Opciones

El tenedor de una opción puede realizar tres acciones diferentes:

No hacer nada: la opción expira en una fecha determinada.

Ejercer la opción: lo que se traducirá en comprar o vender el activo

subyacente al precio del ejercicio de la opción.

Vender o compensar la opción: lo que supondrá el tener que vender

una opción idéntica a la que hubo comprado previamente

Factores que determinan el valor de una opción

El comprador de una opción paga una prima al vendedor por el derecho que adquiere.

La prima es siempre un costo efectivo para el comprador ya que sólo debe realizar una inversión inicial y no incurre en ninguna otra obligación.

En cambio, para un vendedor, la prima representa la cantidad máxima que puede ganar, ya que se enfrenta a la posibilidad de que la opción se ejerza.

Al ejercerse ésta, el vendedor tendrá una posición de perdida, ya que el comprador sólo ejercerá una opción cuando ésta tenga lo que se denomina “valor intrínseco”

Factores que determinan el valor de una opción

Los tres elementos esenciales de la prima de una opción son: el precio del subyacente, el tiempo que falta hasta el vencimiento y la volatilidad del precio del activo subyacente.

Por lo tanto los componentes de una prima son:

Prima = Valor intrínseco + Valor en el tiempo

Valor intrínseco es la diferencia entre el precio de mercado del activo subyacente y el precio de ejercicio de la opción.

Factores que determinan el valor de una opción

Las opciones se pueden clasificar de acuerdo a si el precio del activo subyacente es mayor o menor que su precio de ejercicio en:

Opciones dentro de dinero (in the money, o ITM): Son aquellas que si se ejerciesen ahora mismo proporcionarían una ganancia.

Opciones fuera de dinero (out of the money, o OTM): Son aquellas que si se ejerciesen ahora mismo proporcionarían una perdida.

Opciones en el dinero (at the money, o ATM): Son aquellas cuyo precio de ejercicio es igual, o muy parecido, al precio del activo subyacente.

Factores que determinan el valor de una opción

En cuanto al valor tiempo, es el montante monetario que el comprador de una opción ha de pagar por la posibilidad, en el tiempo, de un cambio en el precio del subyacente que, a su vez, pueda originar un aumento en el valor de la opción.

Valor en el tiempo= Prima - Valor intrínseco

Los componentes del valor tiempo son: El tiempo que queda hasta el vencimiento La volatilidad del precio del activo subyacente Los tipos de interés sin riesgo a corto plazo La oferta y la demanda de la opción.

Estrategias con opciones

• Comprar una opción de compra (buy a call)

• Vender una opción de compra (write a call)

• Comprar una opción de venta (buy a put)

• Vender una opción de venta (write a put)

Estrategias con opciones “Compra de una call”

Ejemplo: Analice la siguiente opción Call sobre libras esterlinas. La opción le da el derecho a comprar 25.000 £ en un plazo de dos meses y a un precio de ejercicio (strike-price) de 1.8U$/£. El costo de la opción (prima) será de 0.04 US$/£.

Ganancias

Pérdidas

1.8 1.84

($1.000)PERDIDAS: Limitadas

BENEFICIOS: ilimitados

SituaciónComprador

Precio Costo opción Ejercer Ingresos Flujo de caja0 $1,000 0 0 -$1,0001 $1,000 0 0 -$1,000

1.5 $1,000 0 0 -$1,0001.8 $1,000 0 0 -$1,000

1.82 $1,000 45000 45500 -$5001.84 $1,000 45000 46000 $01.9 $1,000 45000 47500 $1,5002 $1,000 45000 50000 $4,000

Estrategias con opciones “Compra de una call”

Flujo de caja Call Option

-$2,000

-$1,000

$0

$1,000

$2,000

$3,000

$4,000

$5,000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Precio (Tasa US$/libra)

Flujo de caja

Estrategias con opciones “Compra de una call”

Estrategias con opciones “Venta de una call”

$1.000Ganancia

1.80

1.84Situaciónvendedor

PERDIDAS: ilimitadas

BENEFICIOS: limitados

Perdidas

Estrategias con opciones “Venta de una call”

Flujo de caja Call Option (Vendedor)

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Precios (Tasa US$/libra)

Estrategias con opciones “Compra de una put”

2,925

3,000

Pérdidalimitada

-75

Ganancias

BENEFICIOS: ilimitados

PERDIDAS: limitadas

PRECIO DE EJERCICIO: 3000PRIMA: 75

Estrategias con opciones “Venta de una put”

2,925

3,000

+ 75

Perdidas

BENEFICIOS: limitados

Ganancias

PRECIO DE EJERCICIO: 3000PRIMA: 75

PERDIDAS: ilimitadas

Modelos de Valoración de Opciones

Los modelos de valoración de opciones pretenden, mediante estructuras analíticas, dar a conocer el valor teórico de una opción en función de una serie de variables.

Dado que la reproducción de la realidad es imposible, los modelos teóricos parten de supuestos basados en el ideal de mercado perfecto.

Los modelos de valoración de opciones se basan en la consideración de las siguientes variables: precio del activo subyacente, precio de ejercicio, tiempo hasta la expiración, tipo de interés y volatilidad del mercado.

Los modelos mas utilizados son:El modelo Binomial

El modelo Black - Scholes

El modelo Binomial

Es un modelo discreto que considera que la evolución del precio del activo subyacente varia según un proceso binomial multiplicativo.

Es decir, solo puede tomar dos valores posibles, uno al alza y el otro a la baja, con probabilidades asociadas “p” y “(1-p)”

S

Su

Sd

Con probabilidad de p

Con probabilidad de 1- p

S = Precio del activo subyacente en el momento presenteu = Movimiento multiplicativo al alza del preciod = Movimiento multiplicativo a la baja del precio

Modelo Binomial para un solo periodo

Supongamos que el valor de una acción ordinaria es de $100 y que dentro de un periodo dicho titulo puede tomar un valor de $120, o bien, haber descendido hasta los $90.Si adquirimos por C dólares una opción de compra europea sobre dicha acción con vencimiento dentro de un periodo, entonces:

100

120

90

C

20

0

Movimientos del precio de la acción Valor de la opción de compra

Modelo Binomial para un solo periodo

Si H es el numero de acciones ordinarias que compramos por cada opción de compra emitida tenemos que si:

El valor de la acción ordinaria dentro de un periodo es de $120, y el de la opción de compra es $20, por lo tanto el flujo de caja será: H x 120 – 20

El valor de la acción ordinaria dentro de un periodo es de $90, y el de la opción de compra es $0, por lo tanto el flujo de caja será: H x 90 – 0

Igualando ambos flujos de caja y despejando H obtendremos :

120 H – 20 = 90 H – 0 H = 2/3

Modelo Binomial para un solo periodo

fR1Inversion

caja de Flujo

Esto es, la cartera formada por 2/3 de una acción ordinaria y la venta de una opción de compra sobre ella no tiene ningún riesgo, por lo tanto, el rendimiento que se obtendrá con ella, será un rendimiento sin riesgo (Rf)

Si el precio de la acción fuese de $120 y el tipo libre de riesgo durante ese periodo fuese del 6%, tendríamos que el valor del flujo de caja seria: 2/3 x 120 – 20 = $60, y el de la inversión: 2/3 x 100 – C, despejamos C

0629,1006,01100*3/2

60

C

C

Modelo Binomial para un solo periodo

Si la opción de compra valiese en el mercado $11, entonces el rendimiento seria:

%8,7078,111100*3/2

60

fR

Una vez visto como se calcula el ratio de cobertura a través de un ejemplo numero, ahora vamos a obtenerlo de una formula.

S = Precio de la acción subyacente en la actualidadSu = Precio de la acción dentro de un periodo si es alcistaSd = Precio de la acción dentro de un periodo si es bajista

Modelo Binomial para un solo periodo

S

Su

Sd

C

Cu

Cd

Movimientos del precio de la acción Valor de la opción de compra

El flujo de caja esperado al final del periodo será:a) Si los precios suben: H x Su – Cub) Si los precios bajan: H x Sd - Cd

3/2)9,02,1(*100

020

)(*

H

DUS

CdCuH

Modelo Binomial para un solo periodo

Las probabilidades implícitas a cada evento son:

DU

RUp

DU

DRp

f

f

11

1

p = (1 + 0,06-0.9) / (1,2 – 0,9) = 53,33 % de que ascienda1 – p =46,66 % de que descienda

Modelo Binomial para un solo periodo

Entonces, para calcular el valor de la opción:

fR

pCdpCuC

1

1*

C = (20 x 0,5333 + 0 x 0,4666) / (1,06) = $10,0629

Modelo Binomial para dos periodos

Suponiendo que el coeficiente de crecimiento del precio de la accion es U=1,2 y que el de decrecimiento es D=0,9, podemos ver como, transcurridos un par de periodos, la cotización ordinaria ha podido ascender hasta un máximo de $144, o bien hasta un mínimo de $81, o tomar un valor intermedio de $108.

S100

Su120

Sd90

Movimientos del precio de la acción Valor de la opción de compra

Su2

144

Sud108

Sd2

81

C

Cu

Cd

Cuu44

Cud8

Cdd0

Modelo Binomial para dos periodos

025,406,1

466,0*0533,0*8

1

)1(

66,2506,1

466,0*8533,0*44

1

)1(

Rf

pCddCudCd

Rf

pCudCuuCu

El proceso comenzara de derecha hacia la izquierda, periodo a periodo. Primeramente deberemos calcular el valor de la opción al final del primer periodo, tanto en el caso de ascenso como de descenso

Una vez que tenemos dos valores podemos calcular el precio teórico de la opción de compra europea a través de la misma expresión matemática:

68,14$06,1

466,0*025,4533,0*66,25

1

)1(

Rf

pCdCuC

El Modelo Black - Scholes

Las hipótesis básicas del modelo B-S, que son similares a las del modelo binomial, son las siguientes:

Mercado financiero perfecto y profundo No existen comisiones no costos de transacción ni de información Ausencia de impuestos y, si existen, gravarían por igual a todos los

inversores La acción o activo subyacente no paga dividendos El precio del activo subyacente “S” realiza un recorrido aleatorio con

varianza δ2

La distribución de probabilidad de los precios del subyacente es lognormal y la varianza de la rentabilidad es constante por unidad de tiempo del periodo.

El Modelo Black - Scholes

Según B-S, el valor teórico de una opción de compra se determina por la siguiente formula:

tdd

t

trESd

Donde

dNeEdNSC tr

*

*

)2/()/ln(

:

)(**)(*

12

2

1

2*

1

C = Precio de la opción call

S = Precio del activo subyacente

E = Precio del ejercicio

r = Tasa de interés continua en el tiempo: r = ln(1+r f)

t = Tiempo de expiración de la opción

δ = Volatilidad del precio del subyacente (medido por la desviación estándar anualizada)

N(i) = Valores de la función de distribución normal estandarizada para “i”

e = Base de los logaritmos neperianos: 2,7183

El Modelo Black - Scholes

12* *** dNSdNeEP tr

El valor teórico de una opción de venta “P”:

También puede obtenerse a partir de la paridad put call que, en este caso, seria:

treESCP **

El Modelo Black - Scholes

Ejercicio:

Calcular el valor de una opción CALL y una opción PUT, con los siguientes datos:S=90 umE=85 umt = 3 mesesi = 12% anualδ = 30%

umP

NNeP

umC

NeNC

d

Lnd

28,22595,0*903103,0*9721,0*85

)6449,0(*904949,0**85

66,96897,0*9721,0*857405,0*90

)4949,0(**85)6449,0(*90

4949,025,0*30,06449,0

6449,025,0*30,0

25,0*30,0*21

1133,0()85/90(

25,0*1133,0

25,0*1133,0

2

2

1

El Modelo Black - Scholes