Guia Teoria Cartera Advance

7/25/2019 Guia Teoria Cartera Advance

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GUIA TEORIA DE CARTERA

Profesor : Renato Balbontn S.

1) Considere un inversionista que posee slo 2 alternativas de inversin en el mercado

accionario, a saber: Accin 1: R1= 0.10 12= 0.0025 Precio = $50

Accin 2: R2= 0.16 22= 0.0064 Precio = $100

El coeficiente de correlacin entre ambas acciones es 12= -1.0Cul ser su decisin de inversin bajo los siguientes criterios?a) Maximizar su retorno esperado.b) Minimizar el riesgo.

c) Maximizar su utilidad como funcin de Rpy p.

Solucin:a) Maximizar slo el retorno esperado, sin considerar el riesgo asumido o el nivel de utilidad

alcanzado, implica maximizar:

)()()( 2211 REXREXRE p

Este portfolio se maximiza para: X1= 0 y X2= 1, es decir, invertir el 100% de la riqueza en laaccin 2.

Luego: )(%1616,016,0110,00)( 2RERE p

b) Minimizar slo el riesgo, sin importar el retorno esperado o el nivel de utilidad alcanzado,implica minimizar:

),(2 212122

22

21

21

2 RRCovXXXXp

21122122

22

21

21

2 2 XXXXp . Minimizando esta expresin a travs de

un Lagrangeano se obtiene:

08,005,0)1(20064,00025,0

08,005,0)1(0064,0

2),(2

),(

211222

21

211222

2122

21

2122*

1

RRCov

RRCovX

%54,616154,00169,0

104,0

08,005,0)1(20064,00025,0

08,005,0)1(0064,0*1

X

%46,383846,06154,011 *1*2 XX

Portfolio libre de riesgo: se forma inviertiendo un 61,54% en accin 1 y un 38,46% en accin 2.Otra Forma: Sabemos que la formula de varianza de dos activos riesgosos es:

21122122

22

21

21

2 2 XXXXp

Adems, sabemos que cuando dos acciones estn correlacionadas en forma perfecta negativa,existe una nico punto que determina la proporcin optima de inversin en cada activo tal quese puede diversificar todo el riesgo y hacerlo cero. Tal punto, determina el portfolio libre deriesgo.

212122

22

21

21

2 20 XXXXp


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2

222110 XX 02211 XX . Como (X1+ X2)= 1 X2= (1X1)

0)1( 2111 XX . Despejando X1, se obtiene el portfolio libre de riesgo:

%54,616154,0

08,005,0

08,0

21

2*1

X

%46,383846,06154,011 *1*2 XX

%31,12%163846,0%106154,0)()( 2*21

*1 REXREXRF

RFes el retorno del Portfolio libre de riesgo.

c) Maximizar la utilidad del inversionista como funcin del retorno del portafolio (Rp) y el

riesgo del portafolio (p),va a depender de si el inversionista es averso, neutro o preferente alriesgo.

Tenga presente que los individuos aversos al riesgo son los nicos que diversifican. Vale decir,en este caso, son aquellos que combinan en diferentes proporciones los activos F y 2dependiendo de su grado de aversin al riesgo y se ubican sobre recta que une F con 2.


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3

2) Suponga un mercado de capitales perfecto donde existen slo dos activos riesgososperfectamente correlacionados en forma positiva, definidos por los siguientes parmetros:

Activo A: Ra= 25% anual a= 10%

Activo B: Rb= 18% anual b = 4%

a) Si adems existe un activo libre de riesgo que rinde un 7% anual, determine la estrategia de

inversin ptima para alcanzar un retorno meta esperado de 21%.

Por lo tanto, la estrategia ptima de inversin para alcanzar un retorno meta de 21%, es invertiren el Activo f (libre de riesgo) y el Activo B.

1con21,0 BfBBffp XXRXRXR

Bfff RXRX )1(21,0 %18)1(%721,0 ff XX

2727,0%27,27 fX

2727,1%27,127 BX

b)

A cunto asciende el riesgo (desviacin estndar) del portfolio ptimo encontrado en a)?Dado que el activo B es libre de riesgo, el nico activo que contribuye al riesgo del portafolioes el activo A.

%09,5%42727,1 BBp X

c) Cul sera su respuesta en las preguntas a) y b) si los retornos de los activos A y Bestuviesen correlacionados en forma perfecta negativa?

Si ab= -1, entonces:

Para obtener un retorno meta de21%, es ms eficiente obtenerlo almenor riesgo posible. Luego, esms eficiente la LMC formadapor el activo B y el activo libre deriesgo cuando el coeficiente de

correlacin entre el Activo A yel Activo B es +1.

Al invertir en los Activos A y B,que estn correlacionados enforma perfecta negativa, puedodiversificar parte del riesgo yobtener un retorno meta del 21%a un riesgo menor que si inviertoen el Activo f (libre de riesgo) yel Activo B, o si invierto en elActivo f (libre de riesgo) y elActivo A.


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4

Por lo tanto, la estrategia ptima de inversin para alcanzar un retorno meta de 21%, es invertiren los activos A y B.

1con21,0 BfBBAAp XXRXRXR

BAAA RXRX )1(21,0 %18)1(%2521,0 AA XX

429,0%9,42 AX

571,0%1,57 BX

1con222222 ABBAABBABBAAp XXXX

0004,004,01,0)1(571,0429,0204,0571,01,0429,0 22222 p

%202,0 p

3) Se est estudiando en el Congreso la aprobacin de una ley regulatoria para el mercadofinanciero que limitara los niveles de riesgo a tomar por los inversionistas. Lo anterior

permitira aumentar el bienestar general ya que se eliminaran alternativas de inversin quepor su alto riesgo resultan perniciosas. Comente (Acompae con grfico).

Respuesta: El comente es falso. Esta ley disminuira o limitara el bienestar de algunosinversionistas (dado por el nivel de utilidad que alcanzan dado por sus preferencias de retorno yriesgo), ya que limitara o dejara fuera a los menos aversos al riesgo y a los preferentes alriesgo.

4) Suponga una economa donde los individuos disponen de slo tres activos riesgosos dondeinvertir sus ahorros. De acuerdo a los siguientes retornos esperados con horizonte de unao:

Activo 1 Activo 2 Activo 3Retorno real anual esperado: 15% 11% 7%

Analice y fundamente cual sera la decisin de inversin para:

i) Un individuo neutro (indiferente) al riesgo.ii)

Un individuo averso al riesgo.

Solucin: Los individuos disponen de 3 activos riesgosos donde invertir sus ahorros.Supondremos que en general se cumple, a mayor riesgo asumido se exige mayor retorno, es

decir: 1> 2> 3.


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5

Vale decir, los individuos aversos al riesgo diversifican su fortuna entre los 3 activos ubicndoseen algn punto de la frontera eficiente (envolvente) que est constituida por carteras que considerandiferentes proporciones entre los 3 activos.

5) Considere los siguientes retornos proyectados a un ao plazo para las acciones A y B, deacuerdo a cinco escenarios alternativos:

Estado Retorno Accin A (Ra) Retorno Accin B (Rb)

1 11% -3%

2 9% 15%

3 25% 2%

4 7% 20%

5 -2% 6%

Asuma que cada par de retornos es igualmente probable.

a)

Determine el retorno esperado de cada accin.

4

1

, %10%)2(2,0%72,0%252,0%92,0%112,0)(i

iAiA RPRE

%10)( ARE

4

1

, %8%62,0%202,0%22,0%152,0%)3(2,0)(i

iBiB RPRE

%8)( BRE

b) Determine la varianza de cada accin, covarianza y coeficiente de correlacin entre las dosacciones.

4

1i

2Ai,Ai

2AA )R(ERP)R(Var

222222 )1,002,0(2,0)1,007,0(2,0)1,025,0(2,0)1,009,0(2,0)1,011,0(2,0 A

0076,02

A %72,80872,0 A


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6

4

1i

2Bi,Bi

2BB )R(ERP)R(Var

222222 )08,006,0(2,0)08,020,0(2,0)08,002,0(2,0)08,015,0(2,0)08,003,0(2,0 B

00708,02

B %41,80841,0 B

4

1

,, )()(),var(i

BiBAiAiABBA RERRERPRRCo

)08,002,0()1,025,0(2,0)08,015,0()1,009,0(2,0)08,003,0()1,011,0(2,0 AB

)08,006,0()1,002,0(2,0)08,020,0()1,007,0(2,0

0024,0AB

3273,00841,00872,0

0024,0),var(),var(

BA

BAABBAABBA

RRCoRRCo

3273,0

AB

c) A cuanto asciende el retorno esperado y riesgo de un portfolio con 40% invertido en activoA y 60% en activo B.

%8,8%86,0%104,0)()()( BBAAp REXREXRE

%8,8)( pRE

),(222222 BABABBAAp RRCovXXXX

0026128,00024,06,04,0200708,06,00076,04,0 222 p

%11,50511,0

p

6) Considere los siguientes datos:

Estado Pbb Retorno de mercado Retorno de la firma

1 0.1 -0.15 -0.3

2 0.3 0.05 0

3 0.4 0.15 0.2

4 0.2 0.2 0.5

Asuma que la tasa libre de riesgo es de 6%. Se le pide:

a.

El retorno esperado de mercadob. La varianza del retorno esperado de mercadoc. El retorno esperado de la firmad. La covarianza del retorno de la firma con el retorno de mercadoe. Determine el retorno requerido por la firma. Compare esto con el retorno esperado

anteriormente calculado.

Solucin:


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7

a. El retorno esperado de mercado

4

1

, %101,02,02,015,04,005,03,015,01,0)(i

imimm RPRRE

%10)( mm RRE

b.

La varianza del retorno esperado de mercado

4

1

2,

2 )()(i

mimimm RERPRVar

01,0)1,02,0(2,0)1,015,0(4,0)1,005,0(3,0)1,015,0(1,0 22222 m

%101,0 m

c. El retorno esperado de la firma

4

1

, %1515,05,02,02,04,003,03,01,0)(i

ifirmaifirmafirma RPRRE

%15)( firmafirma RRE

d. La covarianza del retorno de la firma con el retorno de mercado

4

1

,, )()(),var(i

mimfirmaifirmaimfirma RERRERPRRCo

)1,005,0()15,00(3,0)1,015,0()15,03,0(1,0),var( mfirma RRCo

)1,020,0()15,05,0(2,0)1,015,0()15,02,0(4,0

0215,0),var( mfirma RRCo

e. Determine el retorno requerido por la firma. Compare esto con el retorno esperadoanteriormente calculado.

%6,14%)6%10(1,0

0215,0%6)( firmaRE

El retorno requerido o que se le debe exigir a la firma en el equilibrio corresponde a 14,6%

anual. El retorno esperado para esta firma es del 15%. Luego se puede concluir que el

retorno esperado por la firma est sobre el retorno de equilibrio. Por lo tanto, podemos

concluir que convendra invertir en la accin de esta empresa.

7) Sea la siguiente tabla:

E de la economa Probabilidad Retorno A Retorno B

Baja 0.4 3% 6.5%

Alza 0.6 15% 6.5%


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8

a)Calcule los rendimientos esperados y las desviaciones estndar de los dos activos.

4

1

, %2,10%156,0%34,0)(i

iAiA RPRE %2,10)( ARE

4

1

, %5,6%5,66,0%5,64,0)(i

iBiB RPRE %5,6)( BRE

4

1

2,

2 )()(i

AiAiAA RERPRVar

003456,0)102,015,0(6,0)102,003,0(4,0 222 A %88,50588,0 A

4

1

2,

2 )()(i

BiBiBB RERPRVar

0)065,0065,0(6,0)065,0065,0(4,0 222 B %0B

El activo B, equivale al activo libre de riesgo.

b)Suponga que una persona invierte $2500 en el activo A y $3500 en el activo B, estime elrendimiento esperado y la desviacin estndar de la cartera.

000.6$500.3$500.2$ TotalBA III000.6

500.3y

000.6

500.2 BA XX

%04,8%5,6000.6

500.3%2,10

000.6

500.2)()()( BBAAp REXREXRE

Dado que el activo B es libre de riesgo, el nico activo que contribuye al riesgo del portafolioes el activo A.

%45,2%88,5000.6500.2 AAp X

8) Suponga que se tienen dos acciones con las siguientes caractersticas. La covarianzaentre los rendimientos de las acciones es de 0.001.

Retorno Desviacin Estndar

Accin A 0.05 0.1

Accin B 0.1 0.2

a) Cual ser el rendimiento esperado de la cartera de mnima varianza.

La cartera de mnima varianza esta dada por la expresin:

%25,818125,0

048,0

039,0

001,022,01,0

001,02,0

),(2

),(22

2

22

2

*

BABA

BAB

ARRCov

RRCovX

%75,181875,08125,011 ** AB XX

%9375,5%101875,0%58125,0)()()( ** BBAAp REXREXRE


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9

b) Si la Covarianza fuese de -0.02, Cuales sern los ponderadores de la cartera demnima varianza?

%67,666667,0

09,0

06,0

)02,0(22,01,0

)02,0(2,0

),(2

),(22

2

22

2

*

BABA

BAB

ARRCov

RRCovX

%33,333333,06667,011 ** AB XX

c) Cul ser la varianza de la cartera cuando la covarianza entre las acciones es de -0.02?

Si la Covarianza entre dos acciones riesgosas es de0,02:

),(222222 BABABBAAp RRCovXXXX

)02,0(3333,06667,02)2,0()3333,0()1,0()6667,0( 22222 p

02 p

9)

Suponga que existen dos activos riesgosos en los cuales podemos transar, el activo C yel activo S. Sea C fabricante de aviones y S una generadora de electricidad. Supongatambin, que los retornos esperados para C y S son 14% y 8% respectivamente. Y lasdesviaciones estndar 6% y 3% respectivamente.

a) Si la correlacin de retornos entre C y S es cero, encuentre la ecuacin querepresenta los retornos y las desviaciones estndar de los posibles portafolios entreestos dos activos. Adems grafique estos portafolios para los siguientes valores deXc (el porcentaje invertido en C): 0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0

b) Con los datos anteriores calcule el valor de Xc que minimiza el riesgo.

10)Sitese en el mundo idealizado de la teora de cartera, donde tanto el portafolio A como elB se encuentran en la frontera eficiente riesgosa. Una combinacin de ellos es el portafoliode mercado. Las caractersticas son las siguientes:

Portafolio Retorno Esperado VarianzaA 25% 0,8000B 10% 0,6875

Adems el coeficiente de correlacin entre A y B es1.

Cul es la ecuacin de la frontera eficiente riesgosa? Deje su resultado expresadoreemplazando todos los nmeros correspondientes.

8944,08,0con%25)( 2A AARE

8292,06875,0con%10)( 2B BBRE

1AB

El Portafolio A se encuentraen la frontera eficienteriesgosa y corresponde orepresenta al Portafolio deMercado, ya que pertenece ala Lnea del Mercado de

Capitales (LMC).


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10

Dado que el coeficiente de correlacin entre el portafolio A y B es 1, se puede diversificartodo el riesgo, tal que encontremos el portafolio libre de riesgo (RF). Para ello, debemosencontrar las proporciones ptimas que hacen el riesgo cero.

BABABBAAp XXXX 2022222

20 BBAA XX 0 BBAA XX . Como (XA+ XB)= 1 XB= (1XA)

0)1( BAAA XX . Despejando XA, se obtiene el portfolio libre de riesgo:

%11,484811,08292,08944,0

8292,0*

BA

BAX

%89,515189,04811,011 ** AB XX

%22,17%105189,0%254811,0)()( ** BBAAF REXREXR

RFes el retorno del Portfolio libre de riesgo.

El portafolio A es el Portafolio de Mercado: %44,898944,0con%25)( mmRE

pp

m

fm

Fp

RRERRE

%44,89

%)22,17%25%22,17

)()(

ppRE 087,0%22,17)( Lnea del Mercado de Capitales o Frontera Eficiente.

11)Suponga que un inversionista quiere invertir en un activo libre de riesgo y en un activo querenta lo que ofrece el mercado. El mercado ofrece un retorno del 14% y la desviacin

estndar del mercado m= 4%. La tasa libre de riesgo es del 5%. Determine:

a) El retorno y el riesgo de un portfolio si el inversionista es totalmente averso al riesgo.b) El retorno y el riesgo de un portfolio formado por la inversin de un 25% en el activo

libre de riesgo y un 75% en el activo del mercado.c) El retorno y el riesgo de un portfolio si el inversionista desea maximizar su retorno.d) El retorno y el riesgo de un portfolio formado por la inversin de un 125% en el activo

del mercado (Short Sell).e) Cuales son las proporciones que debe invertir el inversionista para lograr un retorno

meta de un 20% en su portfolio?f) Cul ser el riesgo del portfolio anterior?g) Grafique cada uno de los puntos anteriores.

Solucin:


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11

a) Si el inversionista es totalmente averso al riesgo, invierte toda su riqueza o el 100% en elactivo libre de riesgo (Xf= 100% = 1). El retorno de este portafolio ser igual al retorno delactivo libre de riesgo.

140%51)()( mmffp REXRXRE

%5)( fp RRE

%0 fp

b) Portafolio { Xf= 25% = 0,25 y Xm= 75% = 0,75 }

%1475,0%525,0)R(EXRX)R(E mmffp %75,11)( pRE

%475,0 mmp X %3p

c) Si el inversionista desea maximizar el retorno de su portafolio, debe invertirel 100% de suriqueza en el portafolio del mercado (Xm= 100% = 1).

%141%50)()( mmffp REXRXRE

%14)()( mp RERE

%41 mmp X %4 mp

d) Portafolio Xm+ Xf= 1

{ Xm= 125% = 1,25 y Xf= -25% = -0,25 (Venta Corta en el activo libre de riesgo) }

%1425,1%525,0)()( mmffp REXRXRE

%25,16)( pRE

%425,1 mmp X %5p

e) Para lograr un retorno meta del 20%:

1con)()( mfmmffp XXREXRXRE

%14)1(%5%20 ff XX Xf= -66,7% = -0,667 y Xm= 166,7% = 1,667

Venta Corta en el activo libre de riesgo para sobreinvertir en el portafolio de mercado.

f) El riesgo del portafolio anterior: %4667,1 mmp X %67,6p

g)


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12

12)

Suponga que dos acciones tienen un coeficiente de correlacin ab= 0,5, adems la accin

A tiene una varianza a2 = 0,0256 y am= 0,7, por otro lado Rb = 10% y b =0,327. El

mercado ofrece un retorno del 8% y varianza del mercado m2= 0,0196, la tasa libre de

riesgo es del 5%.

a) Cul es el retorno de equilibrio de la accin A?b) Cul es el riesgo de la accin B?

c)

Si Ud. decide invertir un 50% en cada una de las acciones anteriores, cul es el retornoesperado de esa cartera y el riesgo de ella?

d) Cules debieran ser las proporciones ptimas de inversin en A y en B que minimizanel riesgo?, Cul es el retorno esperado?

13)a) Cules son los factores determinantes del riesgo de un portfolio balanceado que contiene

un alto nmero de activos.

Si un portfolio balanceado contiene un alto nmero de activos, quiere decir que la participacin

de cada activo es igual aN

Xi 1 , para todo i = 1,.....,N, donde:

N: n total de acciones del portfolio.

El riesgo de un portfolio con N activos riesgosos esta dada por la expresin:

N

i

N

i

N

j

jijiiip RRCovXXX1 1 1

222 ),( (1)

ji

Si el portfolio es balanceado y ijji RRCov ),(

N

i

N

i

N

j

ijipNN1 1 1

2

2

2

2 11

ji

N

i

N

i

N

j

ijipNN 1 1 1

2

2

2

2 11 (2)

ji

Suma de las Varianzas Suma de las Covarianzas


13/14

13

0 1

Si definimos Varianza promedio portfolio:

N

i

iiN 1

22 1

N

i

i

i

NN 1

2

2

21

Si definimos Covarianza promedio portfolio:

N

i

N

j

ijijNN

1 1

)1(

1

ji

ji

NN

NN N

i

N

j

ijij

1 1

22

1)1(

Luego, podemos expresar el riesgo de un portfolio balanceado con N activos riesgosos como:

iji

pN

NN

N

2

2

2 )1( iji

pN

N

N

)1(2

2

Si N es muy grande y tiende al infinito ( N ) iji

pN

N

N

)1(2

2

ijp 2

Por lo tanto, en un portfolio balanceado con alto nmero de activos, el riesgo total de unportfolio con alto nmero de activos queda determinado mayormente por el aporte de lascovarianzas que de las varianzas en la medida que agregamos ms activos al portfolio. En elextremo, si el nmero de activos tiende al infinito, el riesgo equivale a la varianza promedio oriesgo aportado por la suma de las covarianzas.

b) Determine el riesgo de un portfolio balanceado constituido por 6 activos, de los cuales setiene la siguiente informacin:

Activo Varianza Correlaciones

A a2= 0,09 ab= 0,5 ac= 0,2 ad= 0,8 ae= -0,1 af= 0,3

B b2= 0,04 bc= 0,5 bd= 0,2 be= 0,8 bf= -0,1

C c2= 0,01 cd= 0,5 ce= 0,2 cf= 0,8

D d2= 0,16 de= 0,5 df= 0,2

E e2= 0,36 ef= 0,5

F f2= 0,25

De formula (1):


14/14

14

FEEFFEFDDFFD

EDDEEDFCCFFCECCEEC

DCCDDCFBBFFBEBBEEB

DBBDDBCBBCCBFAAFFA

EAAEEADAADDACAACCA

BAABBAFFEEDDCCBBAAp

XXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXXXX

22

222

222

222

222

22222222222222

N = 6 6

1 FEDCBA XXXXXX

Luego, por formula (2):

FEEFFDDFEDDE

FCCFECCEDCCDFBBFEBBE

DBBDCBBCFAAFEAAEDAAD

CAACBAABFEDCBAp

222

22222

22222

22[6

1

6

12

222222

2

2

03628,002528,0306,136

191,0

36

15,06,05,025,04,02,026,04,05,02

5,01,08,026,01,02,024,01,05,025,02,0)1,0(26,02,08,02

4,02,02,021,02,05,025,03,03,026,03,0)1,0(24,03,08,02

1,03,02,022,03,05,02[6

125,036,016,001,004,009,0

6

122

2

p

06156,02 p

%81,242481,0 p

c) Determine y calcule la proporcin del riesgo que es mayor para el portfolio anterior.

06156,003628,002528,0306,136

191,0

36

12p

10006156,0

02528,0 100

06156,0

03628,0

41,07% 58,93%

Por lo tanto, la mayor parte del riesgo representa un 58,93% del riesgo total, y equivale alriesgo dado por la suma de las covarianzas.

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