Hidraulica de Tuberías - Capitulo1

7/23/2019 Hidraulica de Tuberías - Capitulo1

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Capítulo 1

Hidráulica de Tuberías

Juan Saldarriaga



Flujo uniforme en tuberías

En flujo uniforme las características del flujo (presión y velocidadmedia) permanecen constantes en el espacio y en el tiempo. Por

consiguiente, es el tipo de flujo más fácil de analizar y sus ecuaciones

se utilizan para el diseño de sistemas de tuerías. !omo la velocidad no

está camiando, el fluido no está siendo acelerado. "uego, seg#n la

segunda ley de $e%ton&

Es decir, e'iste un euilirio de fuerzas.

∑ = 0 Fx

fuerzas de presión fuerzas gravitacionales

fuerzas de fricción. En el flujo en tuerías act#an tres fuerzas&



Distribución de Esfueros en Tuberías Circulares

*olumen de control para el flujo en una tuería. +e muestran todas las fuerzas

ue act#an en un fluido contenido en un volumen de control.

d x

D i r e c c i ó nd e l f l u j o

τ ,

W

θ

1

2

τ ,

X z

d z



+i el fluido contenido en el volumen de control mostrado en la

figura no se está acelerando , entonces ∑ Fx = 0. -eniendo en

cuenta sto, se otiene la siguiente ecuación&

donde& P / perímetro mojado ( Perímetro interno del tuo ).

W / peso del fluido en el volumen de control.

El peso del volumen de control es&

"uego&

Pero, de acuerdo con la figura&

cos)( =−++− PdxW Adp p pA τ θ

gAdxW ρ =

cos =−+− Pdx gAdxdpA oτ θ ρ

dz dx −=θ cos



Por consiguiente&

En esta #ltima ecuación dz incluye el signo negativo. !omo ( p + ρ gz) = p*, la presión piezomtrica, entonces&

de donde finalmente se otiene&

,=−−− Pdx gAdz dpAo

τ ρ

)( gdz dp A Pdxo ρ τ +=

0)(dp A Pdxo =τ

dx

dp

P

Ao

0=τ (1.1)



2espejando el esfuerzo cortante en la pared de la tuería se otiene&

Esta ecuación representa la forma más general de las ecuaciones de

prdidas por fricción en el flujo a travs de una tuería. En esta ecuación

el trmino&

3epresenta la pendiente de fricción del flujo en la tuería, S f .

3eemplazando 45P por el radio 6idráulico 3, y el producto de la densidad

y la gravedad por el peso específico del fluido se tiene&

( ) gz pdx

d

P

A

o ρ+=τ

+ρρ=τ z g

p

dx

d

g P

A

oo

+ρ z g

p

dx

d

(1.7) f o RS γ =τ



E!perimento de "e#nolds

4parato utilizado por 8. 3eynolds para estalecer el rgimen del flujoen tuerías. 3eynolds varió tanto el diámetro de las tuerías como el

líuido ue fluía por stas.

Válvula

Tinta

Boquilla



a) !audales ajos& "a

tinta no se mezcla

) !audales intermedios& El

filamento de tinta

comenzaa a 6acerse

inestale

c) !audales altos& 9ezcla agua

tinta.

d) !audales más altos&

9ezcla aguatinta

T i n t a m e z c l a d aT i n t a m e z c l a d a

TintaFilamento de tinta



Reynolds defne los tipos de ujo de la siguiente orma:

Flujo laminar& !uando la tinta no se mezcla. El flujo se mueve encapas sin intercamio de :pauetes; de fluido entre ellas.

Flujo turbulento& !uando la tinta se mezcla completamente. +e presenta intercamio de :pauetes; de fluido entre las capas ue semueven a diferente velocidad. "as partículas no tienen un vector develocidad muy definido. *elocidad promedio (flujo cuasi

permanente).

Flujo en transición& !uando el filamento de la tinta comienza a6acerse inestale, con un patrón de oscilación manifiesto.



$%&E"' DE "E($')DS

3eynolds fue el primero en introducir elconcepto de similaridad dinámica.

+u e'perimento lo realizó con diferentesdiámetros de tuería y fluidos, y encontró ue

los resultados eran similares. Por lo cual pensóue las leyes físicas ue goernaan stefenómeno eran similares.

Para reproducir su e'perimento se deíantener condiciones de velocidad y geometría

similares, medidas en sitios similares, taminlas líneas de corriente deían ser similarescomo se muestra en la siguiente figura&



<lujos similares alrededor de esferas de diferentes tamaños. "os puntos

6omólogos 1 y 1= y 7 y 7= deen estar sometidos a fuerzas 6omólogas.

-riángulos de fuerza para los puntos 6omólogos 7 y 7> de los flujos alrededor

de esferas similares.

2

1 1 ’

2 ’

2

F P

F V

F = m aI

F P

F V

F = m aI

2 ’

L í n e a d e c o r r i e n t e

L í n e a d e c o r r i e n t e



-eniendo en cuenta los puntos 7 y 7? de la figura anterior, por semejanza

de triángulos

2onde las fuerzas inerciales&

(1.@)

>7

>7

7

7

FV FI

FV FI =

vv;

v;

dsdt entonces

dt

ds

dt

d ama FI ====

Lds

d a

2vvv α=

@

LV m ρ α ρ =

22v L FI ma ρα=



y las fuerzas viscosas&

dy

d dondeen A FV

vµ=ττ=

L Ady

d FV v

vµαµ=

υ=

µρ

=µρ

= L L

L

L

F

F

V

I vv

v

v 22

'22

vv

µρ

=

µρ L L

(1.A)

(1.B)



$#mero de 3eynolds

3eynolds encontró ue&

Re C 7 <lujo "aminar

7 C Re C B <lujo en -ransición

Re D B <lujo -urulento

E'plicó numricamente el camio entre los diferentes regímenes de

flujo.

µρ vd



Segundo Experimento de Reynolds

4parato diseñado por 3eynolds para estudiar la caída de presión

por unidad de longitud a lo largo de una tuería en función del tipo

de flujo.

L > 2 ! d

d V

l

ρ 2

∆ "

# o n t r o l $ v á l v u l a %a & u a ' a ( a j o

ρ 1



ráfica logarítmica de los resultados del segundo e'perimento de

3eynolds

"esultados del segundo e!perimento de "e#nolds*

L o gl

∆ p

L o g vF l u j o t u r ( u l e n t oF l u j o l a m i n a r F ) T r a n ' i c i ó n

12

*

+

1

1

1

1

2

1 . 7 5

T u ( e r í a r u & o ' a

T u ( e r í a l i ' a



De la fgura anterior se pueden otener las siguientes!on!lusiones:

a) "a línea 1 presentaa una pendiente de 1 a 1, lo cual implicaa una

variación directa del logaritmo de las prdidas de presión por unidad

de longitud con respecto al logaritmo de la velocidad. Esto eraválido para el flujo laminar.

) +i el e'perimento se 6acía ariendo la válvula se alcanzaa a tener

flujo laminar 6asta el punto 7 (3e/7BA).



"ontinua!i#n !on!lusiones:

c) +i el e'perimento se 6acía cerrando la válvula, el flujo laminar se

restalecía en el punto 1 (3e/77).

d) En el punto @ (3eDB) la variación log(Fp5l) vs. log(v) volvíaa ser apro'imadamente lineal con pendientes desde 1.GB para

tuos muy lisos, 6asta 7. para tuos muy rugosos.

e) "a zona de transición se otenía para 7H3eHB. En sta lavariación log(Fp5l) vs. log(v) era muy compleja.



+iscosidad de remolino, )ongitud de mecla

Ioussines introdujo el concepto de viscosidad de remolino, teniendo

en cuenta la siguiente figura&

Dos placas de fluido moviéndose a diferente velocidad

dentro de un campo de flujo en una tubería.

d y y

x x

δ

δ vv +

xv

J

K

L

# a m , o d e f l u j o

d -

. n t e r c a m ( i o d e , a q u e t e 'd e m ó l e c u l a '

+upuso ue el intercamio de pauetes de molculas entre capas de flujo

-urulento añade momentum acelerando las capas o resta momentum

frenando las capas, esto produce un efecto similar al de viscosidad dinámica M.



El intercamio de momentum producía un nuevo

esfuerzo cortante, causado por la turulencia del

flujo&

(1.N)

µ O propiedad del flujo

O propiedad del fluido

Por similaridad con la viscosidad cinemática&

Para flujo laminar& η / .

Para flujo turulento& H η H 1 µ .

y x

yxT δδη=τ v

y y x x

yx δδ

η+δ

δµ=τ

vv

( ) y

x yx δ

δη+µ=τ

v

ρ

η ε =

τ yxT / Esfuerzo !ortante -urulento

(1.G)



Esfuero de "e#nolds

Tra#ectoria seguida por una partícula de -uidoen un campo de -ujo turbulento

3eynolds se asó es sus oservaciones de flujo turulento en sus

e'perimentos y encontró ue la trayectoria seguida por una partícula individual era aleatoria y ue ninguna otra partícula

seguiría una trayectoria e'actamente igual a la de otra, como se

muestra en la siguiente figura&

1*2

+

Direccióndel flujo

Y

X

X V

Tra-ectoria de la ,artícula

individual



Esfuero Cortante de "e#nolds

!on el fin de otener una mejor ecuación ue definiera el aumento del

esfuerzo cortante cuando el flujo era turulento, 3eynolds supuso losiguiente&

1. "a velocidad en el sentido principal del flujo (eje x) está compuesta por

una velocidad media y una variación aleatoria de sta&

Tra-ectoria

'e&uida ,or

una ,artícula

de un fluido

/n un

cam,o deflujo

tur(ulento

Y

X

' x x x vvv +=



Esfuero de "e#nolds

y y y>vvv +=

7. "a velocidad en el sentido vertical del flujo (eje y) está compuesta

por&

-rayectoria seguida por una partícula de

fluido en un campo de flujo turulento

J

K



t

v'

v'

*elocidad en K y J en un punto dado de la tuería

4nc6o de anda

para el QBR

4nc6o de anda para el QBR

vy



-eniendo en cuenta la suposición para la velocidad en y, 3eynolds calculó la

tasa de flujo de volumen Q ue pasa de una capa a otra en un determinado

intervalo de tiempo&

2os placas de fluido dentro de un campo de flujo turulento mostrando elcaudal instantáneo de la placa inferior a la superior.

2ic6o caudal resultó ser& Q = Av' y

d y y

x x x

δ

δ vv 0v ++

3

x x v 0v +

d xd z

-v 0

# a m , o d e f l u j o

d -



"uego, la tasa de flujo de masa entre las dos capas es&

y AQTFM 'vρ=ρ=J el momentum transmitido por la placa inferior a la superficie es&

+i se promedian los 9' con respecto al tiempo se otiene lo siguiente&

E'pandiendo el parntesis anterior se otiene&

Pero&

y&

( ) x x y x At

M >= vvv += ρ

SSSSSSSSSS SSSSSSSSSS SSSSS

>v>vv>v x y x y

x A At

M ρ ρ +=

x y x y v>vv>v

SSSS SSSSSSSSSS

=

0'v $$$$

= y

( )' x x y At

vvv M ' X += ρ



!on lo cual resulta ue&

y

2onde&

"a ecuación (1.T) es superior a la ecuación (1.N)U sin emargo, una correcta

definición de v' x y v' y es difícil de 6acer con lo cual tamin e'istenlimitaciones en la aplicación de esta forma de determinar el esfuerzo

cortante e'tra causado por la turulencia del flujo.

(1.T)

$$$$$$$$$$

'v'v x y yx x

t A

F ρ=τ=

$$$$$$$$$$

'v'v x y yxt ρ=τ

3eynoldsdeesfuerzo=t yx

τ



!on el fin de evitar los prolemas de definición de v' x y v' y, ". Prandtl

(1Q7B) introdujo su concepto de longitud de mezcla L.

"a longitud de mezcla L es la distancia ue tiene ue viajar un :pauete;

de molculas típico para perder su momentum e'tra, cuando se mueve

entre capas de diferente velocidad.

Prandtl supuso ue tanto v' x como v>y eran proporcionales a ,elcamio de entre las diferentes capas del flujo&

)ongitud de &ecla

xv

4dicionalmente, supuso ue F era proporcional a , la longitud de lamezcla, y al gradiente de F con respecto a y&

$$$

v x

∝∆

y x

x

vv

δ

δ

$$$

v x

$$$

v'v x y ∆α

y x ∆∆ 5v

SSS

v>v x x ∆α



-eniendo en cuenta ue&

+i el factor de proporcionalidad se incluye en L, se otiene la siguiente

e'presión&

(1.Q)

4dicionalmente, -. *on Vármán, uien en ese momento era alumno de

Prandtl, demostró ue L era proporcional a δv'5δ y e inversamente

proporcional a δ(δv'5δ y)5δ y&

donde&! / .A, la cual se conoce como la constante universal de Prandtl -

Von Krmn!

$$$$$$$$$$

'v'v x y yxt ρ=τ

7

7

∝

y

x yxT

v

δ

δ ρ τ

=

y y x x

yxT

v

v

δ

δ

δ

δ ρ τ 7

77 y

y

! x

x

v

v

δ δ

δ δ

=



"uego&

(1.1)

Estudios posteriores 6an demostrado ue la constante ! tiene una

variailidad muy ajaU era la segunda constante de la naturaleza en cuanto a

su valor poco variale para e'perimentos con condiciones muy diferentes.

( )( ) 777

A

7

5v

5v

y

y!

x

x

t yx

δ δ

δ δ ρ τ =



.nteracción -ujo/pared sólida

+iempre ue un fluido en movimiento interact#a con una pared sólida,

el esfuerzo cortante ue se genera afecta una zona de dic6o flujo. Esta

zona recie el nomre de la capa límite " la cual puede ser laminar o

turulenta.

La pared sólida afecta la distribución de velocidades del flujo. La velocidad

es cero en la superficie sólida y crece a medida que el flujo se aleja de ésta.

δ

#a,a límite

Dirección

del flujo

40

4

B0

B

5ared 'ólida



En el flujo turbulento la superficie sólida impide ue cerca a ella ocurran

las viraciones de v' y en forma lire, razón por la cual se genera una zona

de flujo laminar. Esta se conoce con el nomre de la su"capa laminar

viscosa!

2esarrollo de una capa límite turulenta mostrando la su"capa

laminar ue se genera cerca a la superficie.

δ =

δ

# a , a l í m i t e t u r ( u l e n t a

6 u ( c a , a l a m i n a r v i ' c o ' a

# a , a l í m i t e l a m i n a r


5 a r e d ' ó l i d a



Flujos hidrulicamente lisos e hidrulicamente ru!osos.

El espesor de la sucapa laminar es muc6o menor ue el de la capa límite

(δ’ << δ). El tipo de flujo depende del tamaño relativo entre el espesor de la

su"capa laminar viscosa (">) y el tamaño de la rugosidad media (!s).

! s

δ =

δ =

! s # $ δ

F l u j o " i d r á u l i c a m e n t e l i ' o

! s % $ δ

F l u j o " i d r á u l ic a m e n t e r u & o ' o

B

! s

6 u ( c a , a l a m i n a r 7 u & o ' i d a d m e d i a



Para conocer el esfuerzo cortante en las paredes de la tuería (Wo) 6ay ue

conocer la caída en la presión piezomtrica en una determinada longitudde la misma tuería y la geometría de sta.

Para tuerías circulares&

7

o& A π = o& P π 7=

+e sae&

"uego#

x

p&

x

p

&

& o

o

oo ∆

∆=∆∆=

0

7

0

7

7

π

π τ

x

p& & ∆

∆=0

7τ (1.Q?)

4dicionalmente, si se aplica un razonamiento similar a un XtuoX de fluido

de radio &#& o se otendría&

Distribución de Esfueros en Tuberías Circulares

dx

dp

P

A %0 =τ (1.11)



2ividiendo esta #ltima ecuación por la ecuación para # o se otiene lo

siguiente&

Esta #ltima ecuación indica una variación lineal de # con respecto a & , tal

como se muestra en la siguiente figura&

2istriución lineal del esfuerzo cortante en tuerías

circulares

oo

&

&

&

=τ

τ

$o



Ytilizando la ecuación (1.11) se otiene&

donde&

f / prdidas por fricción

L / longitud del tramo de tuería

$uevamente, para tuos circulares&

Esta #ltima ecuación estalece una relación directa entre el esfuerzo cortante

en la pared de una tuería y la caída en la altura piezomtrica f . "uego, es

un primer paso para la deducción de una ecuación de diseño.

L

g

P

A f

o

ρ

τ =

L

& g o f

o7

ρ τ =

(1.17)



Distribución de +elocidades0Tuberías Circulares

2istriución de velocidades

en secciones transversales de

tuerías circulares.

2iferencias entre los tipos deflujo, para encontrar las

ecuaciones de resistencia

fluida.

4plicación& 2iseño de

sistemas de -uerías.



En el caso de flujo laminar en tuerías el

esfuerzo cortante está definido por laecuación de $e%ton para fluidos viscosos&

Para tuerías circulares, de acuerdo con la

distriución de esfuerzos, se tiene lo

siguiente&

1, Flujo )aminar

d&

d o

vµ=τ

o

o& &

&

d&

d

τ=µ=τ v

2onde& & # & o



2e esta #ltima ecuación se otiene&

Zntegrando con respecto al radio & se otiene la distriución de velocidades&

∫ ∫ µ

τ==

&

o

o &d&

&

d 0

vv

cte&

& o

o +

µτ=

2v

2

o

o

&

&

d&

d

µ

τ=

v

Para evaluar la constante de integración se utiliza el 6ec6o de ue cuando

& ( &o, entonces v ( )U luego&

oo & cte µ

τ

7−=



<inalmente&

"a cual es una distriución paraólica de la velocidad. En flujo laminar la

velocidad sigue esta distriución con su má'imo en el centro y su mínimo

(v ( )) en las paredes internas de la tuería.

2istriución de velocidades para flujo laminar en

una tuería de sección circular.

−

µτ

= o

o

o & &

& 2

2v

D i r e c c i ó nd e l f l u j o r ! r

τ ,

τ ,

(1.1@)



2, Flujo Turbulento"a presencia de esfuerzos cortantes en las fronteras fluidossólidos y entre

las diferentes capas del fluido afecta la distriución de velocidades ue en principio, deería ser uniforme. En flujo turulento la presencia de la

sucapa laminar viscosa modifica a#n más dic6a distriución.



τ

τ'y

Direccióndel flujo

V8

δ= Di'tri(ución lineal Zona Laminar

Zona

de transii!n

Zona t"r#"lenta

Di'tri(ución lo&arítmica

Di'tri(ución ,otencial

/je de la tu(ería

5ared dela tu(eria

Distribución de esfuer%os y velocidades para flujo turbulento enuna tubería de sección circular. &e muestra media tubería.



Subcapa laminar 3iscosa 0fujo laminar *

El esfuerzo dee estar goernado por la ecuación de viscosidad de $e%ton&

lo cual implica ue los gradientes de velocidad en esta zona deen ser muy

grandes. Zgualmente, por ser de espesor tan peueño, en la sucapa laminarse cumple ue&

"uego&

y x

o

vµ=τ

ydy

d x x vv≈

dyd x

ovµ=τ



y y x xo vv υ=ρµ=ρτ

46ora, dividiendo por la densidad&

2onde& [ / viscosidad cinemática

"a raíz cuadrada del trmino # o $%, localizado en la parte izuierda de

esta #ltima ecuación, tiene las siguientes dimensiones&

)velocidaddees(dimension smo =

ρ τ



Por definición&

"uego,

2e donde se otiene la siguiente ecuación&

"a ecuación (1.1A) indica ue la velocidad sigue una distriución lineal con

respecto a y" siempre y cuando y H \?, el espesor de la sucapa laminarviscosa. Esta ecuación 6a proado ser válida 6asta el siguiente límite&

%v=ρτo

y xv

v %2 υ=

υ=

y x %

%

v

v

v

&((v

v

%

= x

(1.1A)



lo cual implica ue&

Este #ltimo resultado permite estalecer una ecuación para el cálculo del

espesor de la sucapa laminar viscosa y así estalecer claramente ladiferencia entre flujos 6idráulicamente lisos e 6idráulicamente rugosos. En

el límite y / δ?, lo cual implica ue&

&((v% ≤υ y

%v

&((

'

υ=δ

(1.1B)



En esta zona el flujo gradualmente deja de ser laminar para convertirse en

turulento donde las fuerzas viscosas pierden importancia sore las

inerciales. Esta zona se uica entre la su"capa laminar y la zona

completamente tur"ulenta, ue se e'tiende entre los siguientes limites&

En esta zona los esfuerzos cortantes deen seguir la definición de Prandtl

dada anteriormente&

4ona de Transición

∗∗ ≤≤ v

v

)0v

v

* y

22 v

ρ=τ

dy

d L x

yx



2e alguna manera , la longitud de mezcla, dee ser función de y, la longitud

significativa del prolema en la zona de transición. "uego&

L ( !y

"uego&

2ividiendo por ] se otiene&

222 v

ρ=τ dy

d

y!

x

o

2%

222 vv = =

ρτ

dyd y! xo



+implificando la e'presión, se otiene&

!on el fin de encontrar la distriución de velocidad, se dee integrar la

ecuación anterior&

y

dy

!

d x 1

v

v

0 =

∫ =∫ y

dy

!

d x 1

0v

v

"o ue resulta en&

c y!

x += ln(vv

%(1.1N)



Para evaluar la constante de integración, se supone ue en el límite de las

zonas laminar y de transición las ecuaciones (1.1A) y (1.1N) son válidas al

mismo tiempo&

v ( veoc*dad en e +m*te

4plicando la ecuación (1.1A)&

se encuentra ue el espesor de sucapa laminar viscosa es&

&(('vvv =

υδ= ∗

∗

(1.1G)

%v&((

'υ

=δ (1.1B)



utilizando la ecuación (1.1N)&

c!

+= >ln1

v

v

0

δ

+e llega a&

"uego, reemplazando la ecuación ( 1.1B ) en la ecuación ( 1.1N )&

c! +υ=

%v&((ln(&(( (1.1Q)

c!

+υ

=%% v&((

ln(

vv

(1.1T)



2espejando la constante de integración se otiene&

"uego, reemplazando la ecuación ( 1.1N ) se otiene&

%% v

&((

ln

(

&((ln

(

v

v υ−+= ! y!

x

0v

N.11ln

1N.11

ν

! c −=



Esta #ltima ecuación se puede transformar en&

"uego, la distriución de velocidades en la zona de transición está definida

por la siguiente ecuación&

A

y

!

x

+υ= %

%

v

ln

(

v

v

( )N.11ln1

N.11!

A −=

AG.B= A

+)*vln+0(

vv %

%

+υ

= y x(1.7)

2onde&



+)*v

ln+0

(

v

v %

%

+υ

= y x

,

X y

m

- x

==υ

=

=

+)*

vln

+0(

v

v

%

%

,mX - +=

"a ecuación (1.7) puede ser graficada en forma lineal

escogiendo unos ejes de coordenadas apropiados. Esto se 6ace

de la siguiente forma&



,

-

m

0v

v x

A.

1

υ

yv0ln

AG.B

"a gráfica de la línea recta sería la siguiente&

'fecto de la ru!osidad de la pared interna de la



'fecto de la ru!osidad de la pared interna de la

tubería en la distribución de velocidades.

) + 9

V 8

V :

∗

v

yvl n

v

y∗=

∗v

v

v 8

v

y

!

∗+=

∗v

v

v 8l n

1B.B

) + 9

V 8

V :

∗

v

yvl n

B 7 B.Gl n −∗v

! sv

∆ B

7 a n & o d e d a t o ' e 8 , e r i m e n t a l e '

3 o n a t u r ( u l e n t a# a , a v i ' c o ' ad e , a r e d

a) <lujo turulento 6idráulicamente

"iso. (Ecuación 1.1Q)

) <lujo turulento 6idráulicamente

rugoso comparado con el liso.

!orrimiento 6acia la

derec6a. ($i^uradse)



Para el <_3 `. $i^uradse demostró ue la distriución de

velocidades seguía siendo logarítmica pero ue dependía de

(! s) de la tuería.

!omo se muestra en la figura anterior (), la relación

entre y v x .v/ se corría 6acia la derec6a para lo ue $i^uradse encontró&

,1.@v

ln

A.,

10

−=∆υ

s!

0

[

yv

ln

∗

(1.71)



Es claro ue el valor de la relación v x .v/ para un <_3 dee

ser un ∆ 0 menor ue el valor de la misma relación en un<_". Es decir&

(1.77)

0 y x ∆−+

υ

= +)*v

ln

+0

(

v

v %

%

+..ln

+0

(

v

v

%

+= s

x

!

y



4lgunos autores afirman ue la distriución de velocidad en esta zona es

similar a la de la zona de transición, especialmente en el flujo en tuerías.

Por lo cual la distriución logarítmica encontrada antes es aplicale a estazona.

8tros autores dicen ue la distriución es potencial, regida por la siguiente

ecuación&

4ona turbulenta

+i el n#mero de 3eynolds ( Re ) aumenta, el e'ponente n empieza a disminuir. Esta

distriución de velocidades se conoce como la Ley de la Potencia &$ .

n

o x

x

&

y

=

$$$

v

v / velocidad media /

r o / radio total de la tuería

n / 15G si 3e C 1.

xv A

Q2onde&

5er6les de +elocidad



5er6les de +elocidad

Yna vez determinados los diferentes perfiles de velocidad para el flujo en

tuerías circulares, es interesante 6acer una comparación entre estos para

estalecer algunas conclusiones cualitativas ue servirán para entender los procesos de diseño. Para esto se utilizan las ecuaciones ue descrien los

perfiles de velocidad&

<lujo laminar

(Ec.1.1@)

<lujo 6idráulicamente liso

(Ec.1.7)

<lujo 6idráulicamente

3ugoso (Ec.1.77)

−

µτ

= o

o

o & &

& 2

2v

+)*v

ln+0

(

v

v %

%

+υ

= y x

+..ln+0

(vv

%

+= s

x

!

y



<lujo laminar&

<lujo 6idráulicamente liso&

(1.7@)

(1.7A)

<lujo 6idráulicamente rugoso&

(1.7B)

−=

2

2

$$ 22

v

v

oo &

y

&

y

)2(vln+0(

+)*v

ln+0

(

v

v

%

%

$$ +υ

+υ=

o&

y

)/+ln+0

(

+..ln+0(

v

v $$

+

+=

s

o

s

!

&

! y

5E"F.)ES DE +E)'C.D7D



(elocidad media i!ual para todos los casos.



"a poca uniformidad de velocidades en el (lu)o laminar* indica ue el

efecto viscoso de las paredes de la tuería influye sore todo el campo de

flujo.

El camio en la distriución de velocidades de flujo laminar a flujo

6idráulicamente liso ( Re ( 1)))) es el más rusco de todos. Esto sugiere

ue la generación de turulencia es un proceso rápido.



En flujo 6idráulicamente liso&

$#mero de 3eynolds

"a relación entre velocidad má'ima y velocidad media

!onsecuencia de ue las viraciones turulentas de lavelocidad 6ace ue las partículas de fluido c6ouen conmayor momentum contra la sucapa laminar disminuyendosu espesor. +in emargo, los camios en el perfil son sutilescomparados con el camio entre flujo laminar y flujo liso.



2iferencias entre perfiles lisos y

rugosos&

En los perfiles lisos el e(ecto viscoso

de la pared se siente más ue en los

rugosos.

"os perfiles rugosos son ligeramente

más uniformes ue los lisos.

4 medida ue la rugosidad asoluta

de la tuería disminuye el perfil se

ac6ata a#n más. Es decir, el flujo se

vuelve cada vez más uniforme en lorelativo a la distriución de

velocidades.

Perfiles de velocidad para una tuería de concreto (! / @ m) con



Perfiles de velocidad para una tuería de concreto (! s / .@ m) con

diámetro de @N pulgadas y transportando agua a una temperatura de 1Bo!.Re Q

(-) (L/s) (m/s)

500 0.4094 0.0006234

1000 0.8188 0.001247

2000 1.638 0.002493

4000 3.275 0.004986

100000 81.88 0.1247

150000 122.82 0.1871

200000 163.76 0.250

250000 204.7 0.312

v

)audales y velocidades medias

En las siguientes gráficas se presenta la evolución de los perfiles de

velocidad desde flujo laminar 6asta flujo turulento 6idráulicamente

rugoso.

fl d l id d 1 i i# d j l i



!amio de los perfiles de velocidad de flujo laminar ($#meros de 3eynolds de B,1, y 7) a flujo 6idráulicamente liso ($#mero de 3eynolds igual a A). En este

#ltimo, el perfil se vuelve más uniforme reduciendo aprecialemente el efecto viscoso

causado por la presencia de las paredes. +e oserva el efecto de la turulencia sore los

perfiles.

erfles de velo!idad 1ransi!i#n de ujo laminar aidr3uli!amente liso

fl d l id d 1 i i# d j id 3 li t



erfles de velo!idad 1ransi!i#n de ujo idr3uli!amenteliso a rugoso

Perfiles de velocidad correspondientes al camio desde flujo 6idráulicamente liso

($#mero de 3eynolds de 1.) a flujo 6idráulicamente rugoso ($#meros de 3eynoldsde 1B., 7. y 7B.). El efecto del aumento de la turulencia es menos

apreciale, aunue sigue disminuyendo la zona de flujo afectada por la presencia de la

pared interna de la tuería.



Efecto de la rugosidad asoluta sore los perfiles de velocidad

(d / @N: , 3e / 1B, agua)



Ecuaciones para el Dise8o de

F)9J' )7&.$7"



"as fuerzas viscosas priman sore las fuerzas inerciales. +e cumple la ecuación de $e%ton para fluidos viscosos&

dyd vµ=τ

F)9J' )7&.$7"

"as ecuaciones ue controlan el flujo laminar fueron desarrolladas por

dos investigadores en forma simultánea e independiente&

1. . _agen (ingeniero alemán , 1GQA 1TTA) traajando en tuos de

core encontró ue la prdida de altura era proporcional al caudal

ue pasaa por la tuería e inversamente proporcional a la cuarta

potencia del diámetro de sta&

7. `. Poiseuille (mdico francs, 1GQQ 1TNQ) investigando en 1TA el

. flujo de sangre en las venas

llegó a las mismas conclusiones.

Ad

Q α ∆



Esuema de flujo laminar en tuerías tal como el utilizado por _agen y

Poiseuille. +e muestra un cilindro de corriente dentro del flujo general en la

tuería. + es el radio totalU r es un radio variale ue descrie los diferentes

cilindros de corriente.

d r r

7


, : , : ; d , :

1 2



El proceso de stos dos investigadores se puede resumir, con referencia a la

figura anterior y suponiendo ue el flujo se encuentra completamente

desarrollado, aplicando la ecuación de distriución de esfuerzos en tuerías

circulares (1.Q?)&

(1.Q=)

donde&

y&

"uego, fácilmente se llega a las siguientes ecuaciones&

x

p& & δ

δ=τ %

2

gz p p ρ +=0

& δδµ=τ v

x

p&

&

v

δ

δ

δ

δ µ

0

7=



Para el flujo laminar en tuerías, los diferenciales parciales pueden

reemplazarse por diferenciales totales&

+i se reemplazan estas dos e'presiones en la

anterior ecuación se otiene&

(1.7N)

y por consiguiente&

d& d

& v v=δδ

dx

dp

x

p 00 =δ

δ

dx

dp&

d&

d %

2

v =µ

dx

dp&

d&

d %

2

v

µ=

2 #l i ió i l i i ió l dif i l



2e esta #ltima ecuación se otiene la siguiente e'presión para el diferencial

de velocidad&

(1.7G)

Zntegrando esta #ltima ecuación en una sola sección transversal con

respecto al radio se otiene lo siguiente&

(1.7T)

Para evaluar la constante de integración se utiliza la siguiente condición de

frontera&

&d& dx

dp

d

%

2

(

v µ=

∫ ∫ µ== & & &d& dxdpd

00%

2(vv

cte

dx

dp& +

µ

= %

+

v2

r = r o entonces v = ,



"uego&

3eemplazando en la ecuación (1.7T) se otiene la siguiente ecuación para el

cálculo de la velocidad en función del radio&

(1.7Q) Ecuación de _agenPoiseuille

ctedx

dp& o +=0

A,

7

µ

dx

dp& cte o 0

A

7

µ −=

( )22%+(v & &

dxdp o −µ−=

" ió d _ P i ill f i i l #til



"a ecuación de _agen Poiseuille en su forma original no es muy #til, es

más usada ajo otra forma ue se otiene de la siguiente forma&

a) +e define un diferencial de caudal ue pasa por el anillo de áreadiferencial de la figura anterior &

d& & dQ π= 2v

) +e reemplaza la velocidad v utilizando la ecuación (1.7Q)&

(1.@)

( ) d& & & & dx

dpdQ o π

µ 7

0

A

1 77 −−=

( ) d& & & & dx

dpdQ o

@70

7−−=

µ

π



c) +e encuentra el caudal total ue pasa a travs de la sección transversal

integrando la ecuación (1.@) con respecto a el radio & variando entre y R&

( ) d& & & & dx

dpdQQ o

& & oo

@7

07 −−== ∫ ∫ µ π

( )d& & & &

dx

dpQ

o&

o

∫ −−=

@70

7 µ

π

o& o & & &

dx

dpQ

A77

A7

0

7

−−=

µ

π

A

0

7

A

o&

dx

dpQ

µ

π −=

46ora, teniendo en cuenta ue&



apro'imación válida para flujo uniforme (permanente) unidimensional en

tuerías, se llega a lo siguiente&

En el diseño de tuerías no es usual traajar con el radio si no con el

diámetro. En este caso la #ltima ecuación se convierte en&

(1.@1)

(1.@7)

L

p p

dx

dp %%% 2( −−=

( )00T

71

A

p p L

& Q o −=

µ

π

( )0017T

71

A

p p L

d Q −=

µ

π

<orma más usual de la ecuación de _agen Poiseuille



"a diferencia en la presión piezomtrica puede ser reemplazada por la

diferencia en altura piezomtrica con lo cual se otiene la siguiente

e'presión&

g L

d Q ∆= ρ µ

π 17T

A

de donde se otiene la siguiente ecuación&

(1.@@)

L

g

d Q ∆= ρ

µ

π

17T

A

"a relación entre la caída piezomtrica y la longitud es la pendiente de

fricción&

f S L

=∆

"uego&



"uego&

(1.@@=)

8tro resultado ue puede ser calculado mediante la ecuación de _agen

Poiseuille es la magnitud de la velocidad media en una tuería ajo

condiciones de flujo laminarU utilizando la ecuación (1.7Q) se tiene lo

siguiente&

µ

ρ π

17T

A

f gS d Q =

( ) ( )222( %%

+

(v & &

L

p po −

−µ=

"a velocidad má'ima se presenta en el centro de la tuería, es decir cuando

& ( )&

(1.@A)( )

L

p p& o %%

+v 2(

2

max−

µ=



"a velocidad media se calcula dividiendo el caudal por el área mojada&

"uego&

(1.@B)

!omparando las Ecuaciones (1.@A) y (1.@B) se llega al siguiente resultado&

(1.@N)

( )

2

2(

+

%%.v

o

o

&

p p L

&

A

Q

π

−µπ

==

( ) L

p p& o %%

.v 2(

2 $$ −µ=

max

$$

v2

(v =

Para calcular el sitio donde se deería colocar un tuo de Pitot para medir



Para calcular el sitio donde se deería colocar un tuo de Pitot para medir

la velocidad media y poder calcular fácilmente el caudal se deen igualar

las ecuaciones (1.@B) y (1.7Q)&

Esta #ltima ecuación estalece ue la velocidad media en un flujo laminar

se dee medir a una distancia igual el G por ciento del radio medida desde

el centro de la tuería.

( ) ( ) ( )777171

7

00A100

T& &

L p p

L p p&

oo −−=−

µ µ

( )777

7& &

& o

o −=

7

7

7 o& & =

oo &

& & GG.

7

7

==



F)9J'F)9J'

T9":9)E$T'T9":9)E$T'

http#**+++.ba,,er.or!*cfm*turbulence*turbulence-files*frame.htm

EC97C.'$ES 57"7 E) D.SE;' DE T9:E".7S

http://www.bakker.org/cfm/turbulence/turbulence_files/frame.htm

http://www.bakker.org/cfm/turbulence/turbulence_files/frame.htm



"as ecuaciones de fricción son mas generales ue la ecuación de _agenPoiseuille.

+on de naturaleza similar a la de las ecuaciones de flujo uniforme, para cualuier

tipo de conducto.4plicales a tuerías circulares y canales, aunue las fuerzas ue traten de acelerar

el flujo en los dos casos sean distintas&

A.AL/0 1 (uerzas gravitacionales!

234/+5A0 1 (uerzas de presi6n!

Para los dos tipos de conductos las fuerzas ue tratan de frenar el flujo son las

(uerzas viscosas o (uerzas de (ricci6n causadas por el esfuerzo cortante turulento.

Anlisis 7imensional1 se realiza para plantear la ecuación general de resistencia

fluida en tuerías circulares para flujo uniforme donde se involucran todas las

variales relevantes. "a variale dependiente es 8( , causada por el esfuerzo

cortante entre las paredes internas del ducto y el fluido.



ANTECEDENTES

1T1QB& desarrollo de muc6as ecuaciones de diseño para el caso delflujo uniforme en tuerías.

+olo dos de las ecuaciones terminaron siendo aceptadas por la

comunidad científica y tcnica internacional, a pesar de tener

naturalezas y procesos de deducción diferentes. "as dos ecuaciones

son&

La /cuaci6n de 7arcy-9eis"ac8& 2educida con ase en la <ísica

!lásica y en las teorías de la 9ecánica de <luidos moderna.

La /cuaci6n de :azen-9illiams & 3esultado de un procesoempírico llevado a cao con el fluido agua a temperaturas

normales y en tuerías con diámetros limitados.

Pérdidas en tuberías y accesorios



)7 EC97C.<$ DE D7"C(/=E.S:7CH*

(m5s)*elocidad&v

(m)tueríaladeinterno2iámetro&d

(m)tueríalade"ongitud&"

aladimensionfricciónde<actor&

(m)fricción porcaezadePrdida&

7v

7

f

g d L f

f

f =

y

Para el cálculo de las p;rdidas por (ricci6n enuna tuería, se emplea la ecuación desarrollada

por _enry 2arcy y `ulius beisac6 durante el

siglo KZK.

"a prdida de altura deida a la fricción ue e'perimenta un fluido al fluir por una

tuería circular depende de& 2iámetro de la tuería (d)



El n#mero de parámetros adimensionales es&

?s / n m / T @ / B

*43Z4I"E+ 2Z9E$+Z8$E+

6f (2ep.) "

d "

l "

v "5-1

^ s "

g "-7

ρ 9"@

µ 9"1-1

_________ n / T m / @

2iámetro de la tuería (d) "ongitud en ue se mida la prdida de altura por fricción (l). *elocidad media en la tuería (v)

3ugosidad 4soluta (^ s)

2e la aceleración de la gravedad (g) 2e la densidad (]) 2e la viscosidad del fluido ()

nlisis Dimensional

"as variales repetitivas son&



"as variales repetitivas son&

d & es la variale ue mejor descrie la geometría del prolema.

V & es la variale cinemática más importante

& porue el fenómeno del flujo en tuerías está goernado por fuerzas deorigen viscoso.

Primer & !ontiene la variale no repetitiva l ( longitud )&

Para 9& z1 /

Para -& y1 z1 / entonces y1 /

Para "& '1 y1 z1 1 / entonces '1 / 1

d z y x (((v( µ=Π

( ) ( ) LT ML LT L LT M z y x ((( (((000 −−−=

"uego, el primer parámetro adimensional es&

d

=Π(

+egundo & !ontiene la variale no repetitiva < s ( rugosidad asoluta )&



g p s ( g )

Para 9& z7 /

Para -& y7 z7 / entonces y7 /

Para "& '7 y7 z7 1 / entonces '7 / 1

"uego, el segundo parámetro adimensional es&

s

z y x! d 222v2 µ=Π

( ) ( ) s

z y x! T ML LT L LT M

222 (((000 −−−=

tuer4aladerelativa6Rugosidad 2d

! s=Π

-ercer & !ontiene la variale no repetitiva g (aceleración de la gravedad)&



-ercer & !ontiene la variale no repetitiva g (aceleración de la gravedad)&

Para 9& z@ /

Para -& y@ z@ 7 / entonces y@ / 7

Para "& '@ y@ z@ 1 /

'@ 7 1 / entonces '@ / 1

"uego, el tercer parámetro adimensional es&

g d z y x ///v/ µ=Π

( ) ( ) 2(((000 /// −−−−= LT T ML LT L LT M z y x

7roude5den8merodel!uadrado69nverso v2/ gd =Π

!uarto & !ontiene la variale no repetitiva r (densidad del fluido)&



!uarto & !ontiene la variale no repetitiva r (densidad del fluido)&

Para 9& zA 1 / entonces zA / 1

Para -& yA zA /

yA 1 / entonces yA / 1

Para "& 'A yA zA @ / entonces 'A / 1

"uego, el cuarto parámetro adimensional es&

ρµ=Π +++v+ z y x

d

( ) ( ) /(((000 +++ −−−−= MLT ML LT L LT M z y x

Reynoldsde6:8mero v

+ µρ

=Π d

h i t ! ti l i l titi d di t 8 ( lt d did



huinto & !ontiene la variale no repetitiva dependiente 8 ( (altura de prdida

por fricción)&

Para 9& zB /

Para -& yB zB / entonces yB /

Para "& 'B yB zB 1 / entonces 'B / 1

"uego, el #ltimo parámetro adimensional es&

f

z y x

d ***

v* µ=Π

( ) ( ) LT ML LT L LT M z y x *** (((000 −−−=

*d

f =Π

E t tili d t d l # di i l t d d



Entonces, utilizando todos los n#meros adimensionales encontrados se puede

estalecer la siguiente relación matemática&

"os tres primeros n#meros adimensionales de la ecuación (a) pueden

cominarse en la siguiente forma&

0Rev

< 2 =

∃

d

! dg

d

d

F F s f

dg

d dg

d

dg

d

d

f

f

f

2&)

2(

/*&

2/(*

v

22

v

v ; ;

=Π=Π

=

Π

ΠΠ=Π

=Π=Π=Π

(a)

Este nuevo n#mero adimensional puede ser remplazado en la ecuación (a)



Este nuevo n#mero adimensional puede ser remplazado en la ecuación (a)

para otener la siguiente e'presión&

lo cual implica ue&

2e esta #ltima ecuación se puede despejar la variale dependiente f &

0Rev

2'<' 2 =

∃

d

!

dg F F s f

=∃ Re;''

v2<'' 2 d

! F

dg F s f

(1.@G)

= Re "d

! ' '

g d

s f F

v2

7

"a ecuación de resistencia fluida (1 @G) es la más general ue e'iste



"a ecuación de resistencia fluida (1.@G) es la más general ue e'iste

porue& +e dedujo de análisis dimensional.

+e asa en las ecuaciones de la física ásica.

!ualuier otra ecuación utilizada para calcular las prdidas de energía en

un flujo dee ser necesariamente, un caso particular de la ecuación (1.@G),

4lgunos ejemplos son las ecuaciones de& auc^ler 9anning

!6zy

_azenbilliams

2eido a ue los argumentos de la función <>> de la ecuación (1.@G)

(3ugosidad relativa y $#mero de 3eynolds) son n#meros reales

adimensionales, el resultado de la ecuación tamin dee ser adimensional.

+i ste se denota como f se otiene&

f d ! F s = Re,''

g d

f f 2

v2

= (1.@T)

5>"D.D7S DE 7)T9"7 DE:.D7S 7 )7 F".CC.<$



5>"D.D7S DE 7)T9"7 DE:.D7S 7 )7 F".CC.<$

)onductos cerrados

2ne&g+a de p&es*3n & #nico tipo de energía ue se pierde por el movimientodel fluido. 2ne&g+a c*n4t*ca& constante si el área es constante. 2ne&g+a Potenc*a & solo depende de la posición.

"a energía de presión e'presada como energía por unidad de peso del fluido

tiene unidades de altura ()U tal como se encontró en el análisis dimensional

anterior la altura de prdidas por fricción es&

donde& g d

f ' f 2

v2

=

(1.@T)

f / energía por unidad de peso prdida por

fricción

f / factor de fricción de 2arcy

/ longitud del tramo de la tuería en la cual se

pierde f

d / diámetro de la tuería

v / velocidad media



+i se utiliza el radio 6idráulico ( R) en lugar del diámetro de la tuería (d ) la

ecuación (1.@T) se convierte en&

en donde el factor de fricción, tal como se estaleció anteriormente, es una

función compleja del n#mero de 3eynolds y de la rugosidad relativa&

=

d

! f s3e,f

g R

f

d

d

d

P

A R

f 2

v

+

+Rdenton!es ++

2

2

=

==π

π==

(1.@Q)

3E"4!Z8$ E$-3E f y τ



3E"4!Z8$ E$-3E f y τ o

El factor de fricción de 2arcy dee estar relacionado directamente con el

esfuerzo cortante ya ue este #ltimo es el responsale de las prdidas deenergía por fricción.

2espejando el factor de fricción se otiene la siguiente e'presión&

g d

d

f d f 2

v2

=

d

ddg f

f

2v

2= (1.A)

+i se utiliza el radio 6idráulico en lugar del diámetro de la tuería&



+i se utiliza el radio 6idráulico en lugar del diámetro de la tuería&

4dicionalmente se tiene, tal como se encontró anteriormente, ue&

2e donde&

d

d gR

f

f

2v

.

= (1.A1)

d

dp Rdx

dp

P

A **

==τ0 (1.11)

d

d g

Rd

dp f ρ=τ= 0

%

gRd

d f

ρτ= 0 (1.A7)

3eemplazando la ecuación (1 A7) en la ecuación (1 A1) se otiene&



3eemplazando la ecuación (1.A7) en la ecuación (1.A1), se otiene&

2e donde se otiene la siguiente e'presión ue relaciona el factor de

fricción con el esfuerzo cortante en la pared de la tuería&

(1.A@)

4 medida ue la velocidad aumenta las prdidas de energía por unidad de

peso (altura) disminuyenU es decir, es más eficiente mover un fluido, por

unidad de peso, con n#meros de 3eynolds altos ue con n#meros de

3eynolds ajos en una tuería dada.

gR

gR

f ρ

τ

= 0

2v

.

20

v

.

ρτ= f



E> 7?"1@R DE 7R9""9A ?R? 7>BC@ >?9?R:

S f

f =

Yna vez estalecida la ecuación general para las prdidas por fricción

en tuerías, beisac6 pudo determinar el factor de fricción para el

caso de flujo laminar utilizando la ecuación 1.@@ en conjunto con la

ecuación 1.@T así&

µρπ

=(2.

+ f gS d

Q

En donde&

(1.@@)



Por otro lado&

se puede despejar la energía por unidad de peso prdida&

gd Q

f

µρπ=

(2.

+

g d

g d

Q f ρ

µ=ρπµ= 2+ +

v(2.(2.(1.AA)

g d f f 2v

2

= (1.@T)



Zgualando las ecuaciones (1.AA) y (1.@T) se otiene

la relación ue descrie el factor de fricción f para

flujo laminar&

g d

g d

f

ρµ= 2

2

+v(2.

2v

ρµ=

d f

v&+

Re&+= f (1.AB)

EC97C.'$ES DE F".CC.<$ 57"7 T9:E"?7S



"E7)ES

EC97C.<$ DE :)7SS.9S 57"7 F)9J'S@ C S'S



En flujos 6idráulicamente lisos f es función #nicamente de Re . P.3._.

Ilassius, alumno de Prandtl, en 1Q11 encontró empíricamente ue para

n#meros de 3eynolds entre B y 1 el factor de fricción se podía

calcular de acuerdo a la siguiente ecuación&

4 pesar del limitado rango de aplicación de la ecuación de Ilassius, sirvió

para entender los resultados encontrados por 3eynolds @ años antes.

Ytilizando la ecuación de 2arcybeisac6 y reemplazando en ella la

ecuación de Ilassius se llega a&

g d

f f 2

v2

= (1.@T)

02*Re/(&0.

= f (1.AN)

H.D"@9).C7&E$TE ).S'S*

2e donde& f

v/(&0 2

0 2*=



2ividiendo por la longitud y multiplicando por el peso específico se otiene&

g d f 2Re02*

g d d f 2vv/(&0

02*2*0

22*0

υ=

g d

f

(2*

)*(2*0 v(*.0 υ=

(2*

)*(2*0 v(*.0

d

f ρυ=γ

2*()*(2*0 v(*.0 −ρυ=∆ d

p

En sta #ltima ecuación el trmino de la izuierda es proporcional a la



En sta #ltima ecuación el trmino de la izuierda es proporcional a la

potencia 1.GB de la velocidad para flujo 6idráulicamente liso. Este

resultado es idntico al encontrado por 3eynolds.

+i la ecuación se multiplica y divide por 1.GBd 1.GB &

3esulta claro ue la mejor forma de reducir las prdidas de presión por

unidad de longitud es aumentando el diámetro de la tuería.

)*+)*(

)*()*(2*0 +(*.0

d

Q

p

π

ρυ=∆

)*+)*(2*02+(0 −ρυ=∆

d Q

p



D/012 D' 3/451D&'

6ohann 3i,uradse & Zngeníero alemán, estudió la naturaleza de f5

E'perimentos (1Q@@) 1 Ytilizó tuos de diferentes diámetros

sore los ue pegó en el interior arenas de granulometría uniforme.

3esultados & otuvo diferentes relaciones !s.d perfectamente

determinadas.



1'&5L7D8& D' 3/451D&'. D/012 D' 3/451D&'.

@,

1=

d

!s

7.N1

1=

d

!s

17

1=d

!s

7B7

1=

d

!s

BA1=d

!s

11A

1=

d

!s

.@@

.1N

.T

.A

.7

.1d

! s

1!*

1!+

1!

!)1!!

!)!<!

!)!=!

!)!!

!)!+!

!)!2

!)!2!

f

7e

7 u & o ' i d a d

r e l a t i v a

c r e c i e

n t e

Flujo laminar

Flujo "idráulicamente

ru&o'o

F l u j o t r a n ' i c i o n a l

Flujo "idráulicamenteli'o



1'&5L7D8& D' 3/451D&'

3e



1'&5L7D8& 3/451D&'

3e

3 C 7



a. 3e C 7 &

<lujo laminar

f varía en forma lineal con respecto 3e

f es una función inversa de Re y es independiente de la

rugosidad relativa ! s .d5

. 3e D @&

<lujo -urulento f se vuelve complejo, mostrando las siguientes

características&

i. !erca al Re crítico (7) todas las curvas coinciden.

E'iste una curva límite desde la cual se separan poco a poco las curvas correspondientes a diferentes valores de

!s.d5



ii. "os tuos con mayor rugosidad relativa se separan más

rápidamente de la curva XlisaX. "os flujos pasan

gradualmente de 6idráulicamente lisos a rugososU estoocurre más rápido en los tuos de mayor rugosidad relativa

<s$d .

iii. <lujo -ransicional& Yna vez ue el flujo se separa de la

curva XlisaX el factor de fricción ( empieza a ser una funcióncompleja de +e y de <s$d 5

iv. 4 medida ue el +e sigue aumentando las curvas

individuales correspondientes a cada <s$d se vuelven

6orizontales. Esto implica ue el factor ( deja de ser una

función de +e y pasa a ser función de <s$d #nicamente.

T"7:7J'S DE )E=.S &''D(, D.7A"7&7 DE &''D(



2e la gráfica de $i^uradse, 9oody oservó la tendencia constante ue

tiene el factor de fricción cuando el flujo es turulento 6idráulicamente

rugoso (<-_3), con n#meros 3eynolds mayores ue 1N.

3e

9 d l i ó d l d id d l i (^ 5d) l f d

T"7:7J'S DE )E=.S &''D(, D.7A"7&7 DE &''D(



9oody relacionó cada valor de rugosidad relativa (^ s5d) con el factor de

fricción correspondiente, manteniendo la línea 6orizontal de la zona de

<-_3, oteniendo pares de valores de < s $d y ( .

3e

( &<s$d>&

<s$d>?

<s$d>@

<s$d>

( ?

( @

(

9:.:;< = >*?>.@A

<i l t 9 d t áfi l i l l d l

T"7:7J'S DE )E=.S &''D(, D.7A"7&7 DE &''D(



Figura 1.25 –Factor de Fricción para flujo altamente turbulento.

<inalmente 9oody otuvo una gráfica ue relaciona el valor de la

rugosidad relativa ^ s5d con el factor de fricción f , para la condición de

<-_3.

D.7A"7&7 DE &''D( &'D.F.C7D'



"uego de otener el diagrama para <-_3 ue relaciona ! s .d con f , 9oody

realizó un e'perimento con tuerías de distintos materiales y diámetros, de

la siguiente forma&

6f

9oody aseguró altos caudales con el fin de entrar a la zona de flujo

turulento 6idráulicamente rugoso (<-_3).

d

"

D.7A"7&7 DE &''D( &'D.F.C7D'



-eniendo el valor de 8 ( , el

diámetro, la longitud y la

velocidad, mediante laecuación de 2arcy

beisac6, se tiene como

#nica incógnita el factor de

fricción ( .

g v

d L f f

7

7

=

"uego, del diagrama de

9oody para <-_3, se

otiene el < s $d para cadavalor de ( determinado para

cada diámetro y material.

hf

d

"

4foro



2e cada valor de < s $d calculado, 9oody determinó el < s del material,

despejando el valor del diámetro ue es conocido.

9oody oservó ue al ensayar varios diámetros de un mismo material, el

valor para el ! s (diámetro de arena de $i^uradse) se mantenía constante.

f

! s .d

! sd1/ ! sd7

<inalmente, 9oody

elaoró una gráfica



2Z43494 2E 9882J

982Z<Z!428

elaoró una gráfica

ue relaciona el

diámetro, el factorde fricción y la

rugosidad relativa

para cada uno de los

materiales con un

determinado ! s.

1eB>:?



D/012 D' 288DY



Figura 1.27 –D/012 D' 288DY

Diferencia entre los diagramas de $iBuradse # &ood#



3e

Dia!rama de 2oody

Dia!rama de 3i,uradse

Diferencia entre los Diagramas de $iBuradse # &ood#



El espesor de la sucapa laminar viscosa (δ) disminuye a medida ue el n#mero

de 3eynolds y el caudal aumentan. En los tuos de $i^uradse la rugosidad afecta

en forma simultnea la 6idráulica del flujo. En los tuos reales, ese efecto es gradual " es decir, las mayores prominencias de la rugosidad afectan el flujo antes

ue las menores.

δ = 1

δ = 7

δ = @

δ = A

δ = B

! s

δ = 1

δ = 7

δ = @

δ = A

δ = B

! s

e q u i v a l e n t e

r a n o ' d e a r e n a 5 a r e d d e l a t u ( e r í a



EC97C.'$ES AE$E"7)ES57"7 )7 F".CC.<$ E$

T9:E"?7S "E7)ES

EC97C.'$ES AE$E"7)ES57"7 )7 F".CC.<$ E$

T9:E"?7S "E7)ES

Flujo idráulicamente liso



Flujo idráulicamente liso

Espesor de la sucapa laminar viscosa&

2istriución de velocidades en flujo turulento&

(1.1N)

%v

&((' υ=δ (1.1B)

c y!

x += ln(

v

v

%

+)*vln+0(

vv %

%

+υ

= y x (1.7)



Esfuerzo cortante en la pared de la tuería&

o apro'imadamente&

3elación entre el factor de fricción y el esfuerzo cortante&

(1.11)dx

dp

P

Ao

0=τ

x p&

& ∆∆= 0

7τ (1.Q?)

20

v.ρτ= f (1.A@)



2istriución de velocidades para flujo 6idráulicamente liso

completamente desarrollado en una tuería de sección circular.

D i r e c c i ó nd e l f l u j o r

d $

T u ( o d e 5 i t o t

x

$

A G.Bv

l n1

v

v0' +=

∗ s!

y

! $ 5 e r f i l d e v e l o c i d a d %

Por este diferencial de área pasa el siguiente diferencial de caudal&

( )dy y& dA −π= 2



Por este diferencial de área pasa el siguiente diferencial de caudal&

+i se integran los diferenciales de caudal se otiene el caudal total ue

pasa a travs de toda la sección transversal de la tuería. Por consiguiente&

En esta #ltima ecuación v se reemplaza por la función de y ue ladescrie, es decir, por la distriución de velocidades para flujo

6idráulicamente liso representada por la ecuación (1.7)

( )dy y& dQ

dAdQ

−π==

2v

v

( )

( )∫ ∫ ∫ −π=

−π==&

&

A

dy y& Q

dy y& dQQ

0

0

v2

v2

"uego&



( )∫ −

+= &

dy y& yv

Q 0

00 vAG.Bv

ln

A.

7

υ

π

∫

−−−++=

&

dy y5 yn

y

vn5

y

& 5 yn5

&

vn

&

Q,

AGBA,

AGBA,

7:

:::

:

:::v

!)+

vvvv

vv

!)+

v

π

& y

5 y

yn y

v

n y

5

&y5 y

5

& yn y

5

&

v

n y

5

& Q

,

7777

7

AGB

A77A,

AGB

A,A,A,

7

−+−−+−+=

:

::::

:

::::v

!)+

v

!)+

vvvv

vvvvπ

v+)*v

lnvv

lnv

62 22%2%%2% &&&&&Q ++π=



+υπ= %%%2 v)20(vln+0v & & Q (1.AG)

52

v+)*++0

vln2+0

vvln2+0

v

v+)*+0

ln+0

ln+0

62

2

%

2

%

2

%%

2

%

%

& & & & &

& & & & & Q

−+−υ−

+−+υ

π=

+−+= 7AGBA

@

777

7

7

77 &

5& & n

&

vn

&

Q :

::::

v!)+

v

!)+

vv

!)+

v

π

"a ecuación (1.AG) representa el caudal total ue pasa por una tuería

circular de radio r cuando el flujo es 6idráulicamente liso !on este caudal



circular de radio r cuando el flujo es 6idráulicamente liso. !on este caudal

se puede calcular la velocidad media dividindolo por el área transversal de

la tuería.

En esta #ltima ecuación se tiene una especie de n#mero de 3eynolds

conocido como 3e0&

v

& %%

vRe =

2v& Q

AQ

π==

%%% v)20(

vln

+0

vv +υ

=& (1.AT)

(1.AQ)



Por definición se tiene ue&

y&

f .v2

0ρ=τ

v.

v% f

= (1.B)

(1.A@)

3eemplazando la ecuación (1.B) en la ecuación (1.AQ) se llega a&



o&

<inalmente, reemplazando las ecuaciones (1.B) y (1.B1) en la ecuación

(1.AT) se otiene lo siguiente&

v.Re% ν=& f

v(

2.Re

% ν=

d f (1.B1)

+ ν

= )2(v2.

ln+0

(v

.v

d f f

2esarrollando esta #ltima ecuación&



2esarrollando esta #ltima ecuación&

E2+0Reln../..0(

&0.(0&*&E*

(ln../..0Reln../..0

(

&0.(0

&*&E*

Reln../..0

(

)2(Re2

(

.ln

+0

(.

−=

++=

+=

+=

f f

f f

f

f

f

f

(1.B7)

4l efectuar el camio de ase la ecuación (1.B) se transforma a&



2espus de confrontar su teoría contra datos de laoratorio, Prandtl y

*on Vármán estalecieron la forma final de la ecuación para el cálculo

del factor de fricción en flujos 6idráulicamente lisos. Esta ecuación, no

e'plicita para ( , es&

(1.B@)

(1.BA)

E2+0Relog0/*2( (0 −= f f

.0Relog2

(

(0 −= f f

<lujo 6idráulicamente rugoso



j g

2istriución de velocidades para flujo 6idráulicamente rugoso

completamente desarrollado en una tuería de sección circular.

D i r e c c i ó nd e l f l u j o r

d $

T u ( o d e 5 i t o t

x

$

A T.Tl n1

v

v'

+=

∗ s!

y

!

$ 5 e r f i l d e v e l o c i d a d %

( )dy y& dA −π= 2



Por este diferencial de área fluye el siguiente diferencial de caudal&

Para calcular el caudal total, se integran los diferenciales de caudal sore

el área de la sección transversal de la tuería&

( )

( )dy y& !

y

! dQ

dy y& dQ

dAdQ

s

−

+π=

−π==

%% v+..ln

v2

2vv

( )∫ ∫ −

+π== &

s A

dy y& ! y

! dQQ

0 %% v+..lnv2

E'pandiendo los parntesis de la anterior ecuación se llega a&



p p g

∫

−−+= &

s s

dy y! y

! y&

! y

! & Q

0

0

0

0 vAT.TlnvvAT.Tlnv7π

"uego se lleva a cao el proceso de integración&

)7

vAT.T1

ln7

v

A

vln

7

v

vAT.T1lnvvlnv(7

7

0

7

0

7

0

7

0

0

000

y

!

y

!

y

! y

y

!

&y!

y! & y

! & y y

! & Q

s

s

−++−

+−−= π

:

r



+=

−−−=

0

07

7

0

7

070

7

0

[email protected].

v

7

vAT.T1

ln

7

vv

A

@ln

7

v7

s

s

!

& & Q

&

!

&

!

&

!

& &

!

Q

π

π

Ytilizando esta #ltima ecuación resulta claro ue la velocidad media es&

2v& Q

AQ

π

==

Lue!o#



%% v)/+ln

+0

vv +=

s!

&

(1.BB)

%% v)/+

2ln

+0vv +=

s! d

+= )/+2ln+0(vv %

s! d (1.BN)

)omo r C d*s se obtiene#

Por otro lado, se tiene ue&

f



"uego, reemplazando en la ecuación ( 1.BN) se llega a&

2espejando el factor de fricción ( &

v.

v% f

=

+= [email protected]

7ln

A.

1v

Tv

s!

d f

0&0(ln../..0(

&)2(

2

ln../..0(

+=

+=

s

s

!

d

f

!

d

f

$uevamente, Prandtl y *on Vármán 6icieron el camio en la ase del

logaritmo para otener la siguiente e'presión para el cálculo de la

ecuación de fricción ( en flujos 6idráulicamente rugosos&



ecuación de fricción ( en flujos 6idráulicamente rugosos&

<inalmente, ajustaron su ecuación a datos e'perimentales estaleciendo

la siguiente ecuación&

Ecuación válida para casos en los cuales el espesor de la sucapa esmenor ue el tamaño real de la rugosidad asoluta de las paredes internas

de la tuería.

0&0(log0/*2((0 +=

s! d

f (1.BG)

(+(log2(

(0 += s!

d

f (1.BT)

C)7S.F.C7C.<$ DE )7S "9A'S.D7DES E$ T9:E"?7ST"7:7J'S DE C')E:"''/=H.TE*



Esuema parcial del diagrama de $i^uradse mostrando la diferencia de

comportamiento entre las tuerías reales y los tuos de $i^uradse en la zonade flujo transicional. Este traajo fue utilizado posteriormente por 9oody para

desarrollar su diagrama de tuerías comerciales.

R e< 8 1 !*

2 8 1 !+

f

T u ( e r í a ' r e a l e '

T u ( o ' d e ? i @ u r a d ' e

F l " % o& i d r ' " l i a m e n t e

r " g o s o

F l " % o

& i d r ' " l i a m e n t el i s o

F l " % o t r a n s i i o n a l

d

! s

1) !ompararon la rugosidad asoluta con el espesor de la sucapa laminar

viscosa&!s



En esta ecuación se puede reemplazar el valor del espesor de la sucapa

laminar viscosa&

"uego, se llega al siguiente resultado&

Por otro lado se tiene ue&

%v

&((' υ=δ (1.1B)

d

d

! !

s

s

FF δ

=

δ

d d %v&((F υ

=δ (1.BQ)

ρτ

= 0%v (1.N)

3eemplazando la ecuación (1.B) se llega a&

.vv%

f =



y reemplazando este #ltimo resultado en la ecuación (1.BQ) se otiene&

<inalmente&

de donde&

!oleroo^ y b6ite comproaron con esta #ltima ecuación ue el trmino

.

f f d d Re

.(/2

v

.&((F=υ

=δ

.(/2

Re

F

f

d

! ! s s =δ

F.(/2Re

δ= s s !

f d

! (1.N1)

f d

! s 3e definía en forma clara la rugosidad relativa.

7) -omaron las ecuaciones de Prandtl y *on Vármán y las transformaron

como sigue&



<lujo 6idráulicamente rugoso

<lujo 6idráulicamente liso&

de donde se otiene, restando 6og 7) (d.! s) a amos lados de la anterior

ecuación, el siguiente resultado&

(+(log2(

(0 =− s!

d

f (1.BT?)

(1.BA).0Relog2(

(0 −= f f

.0Relog2log2(

(0(0 −

=− f

d

!

!

d

f

s

s

(1.N7)

@) !ompararon los trminos de la izuierda de las ecuaciones (1.BT?) y

(1 N7) con el trmino y produjeron la gráfica ue aparece en laf!

s 3e



(1.N7) con el trmino y produjeron la gráfica ue aparece en la

figura 1.@7, para tuos comerciales y tuos con rugosidad artificial.

3ugosidad relativa como función del factor de fricción f y el n#mero

de 3eynolds en la zona de flujo transicional.

f d

3e

A) 4 partir de los resultados de la figura, se otuvo lo siguiente&



<lujos 6idráulicamente lisos&

<lujos en la zona de transición&

<lujos 6idráulicamente rugosos&

(0Re ≤ f d

! s (1.N@)

200Re(0 ≤< f d

! s(1.NA)

200Re > f d

! s (1.NB)

B) "uego tomaron la ecuación (1.N1) de la cual otuvieron lo siguiente&



y reemplazando este resultado en las desigualdades (1.N@) a (1.NB), llegaron

a las siguientes desigualdades&

<lujos 6idráulicamente lisos&

(1.NN)

'

.(/2Re

δ=d

f

(0.(/2'

≤δ s!

/0*0' ≤

δ

s!

'/0*0 δ≤ s!

<lujos 6idráulicamente rugosos&



<lujos en la zona de transición&

(1.NT)

(1.NG)

200.(/2' ≥δ s!

(0&' ≥

δ s!

'(0& δ≥ s!

'(0&'/0*0 δ≤≤δ s!

N) Este resultado los llevó a razonar ue como la transición deía ser un

camio gradual entre las condiciones lisas y rugosas, la ecuación

necesaria para definir el factor de fricción en la zona de transición

d í i ió d l i fl j



deería ser una cominación de las ecuaciones para flujo

6idráulicamente liso y rugoso.

Partiendo de la ecuación (1.BA) se otiene&

y partiendo de la ecuación (1.BT) se otiene&

f f 3e

B1.7log7

11−=

d !

f s

G.@log71 1−=

B1.7

3elog7

11

f

f

=

s! d

f G.@log71 1=

2espus de estudiar el comportamiento de la rugosidad relativa en la zona

de transición, llegaron a la conclusión de ue las dos anteriores ecuaciones

eran dos casos particulares e'tremos del flujo turulento. Estas ecuaciones

d í i l



se podrían reunir en una sola&

(1.NQ)

+−=

f d

8

f

s

3e

B1.7

G.@log7

11

H'J7 DE "ES9&E$ DE EC97C.'$ES 57"7 F)9J' E$T9:E"?7S

1 E f í



1. Esfuerzo cortante en tuerías&

a. <lujo laminar&

. <lujo turulento (-eoría de longitud de mezcla de Prandtl)&

c. 2istriución de esfuerzos&

(1.1)( )

( )222

+2

<v

<v

y

y!

x

x

t yx

δδ

δδρ=τ

dy

d v0 µ=τ

00

&

& τ=τ

7. 2istriución de velocidades en tuerías&

a. Flujo laminar&

τ 2



. Flujo turbulento&

i +ucapa laminar viscosa.

ii <lujo turulento 6idráulicamente liso&

iii <lujo turulento 6idráulicamente rugoso&

−

µτ= o

o

o & &

& 2

2v (1.1@)

υ=

y x %

%

v

v

v(1.1A)

+)*v

ln+0

(

v

v %

%

+υ

= y x (1.7)

(1.71)+..ln+0

(vv

%

+= s

x

!

y

@. Ecuaciones para el cálculo de prdidas por fricción&



a. 'cuación !eneral de DarcyEeisbach

. Flujo laminar#

i. Ecuación de _agenPoiseuille&

ii. Ecuación para el factor de fricción&

g d

f f 2

v2= (1.@T)

(1.@@)

(1.AB)

L

g

d Q

∆= ρ µ

π

17T

A

Re&+

= f

c. Flujo turbulento

i <l jo 6idrá licamente liso&



i. <lujo 6idráulicamente liso&

-amaño de la rugosidad&

Ecuación de Ilassius&

Ecuación de Prandtl*on Vármán&

(1.AN)02*Re

/(&0.= f

(1.NN)'/0*0 δ≤ s!

(1.BA).0Relog2(

(0 −= f f

Hidraulica de Tuberías - Capitulo1

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