3. RELACIÓN NO LINEAL

3.1 Relación no lineal en variables de la circunferencia.

El objetivo general de esta práctica, es ver o refutar algún tipo de relación no lineal para variables de la circunferencia. Se plantea que si se toma un punto dentro de la circunferencia y por este punto pasa un segmento de la recta, se forma un segmento d1 y otro segmento D1.Por lo cual este laboratorio buscamos verificar si la relación no lineal se cumple para los datos obtenidos, que los obtuvimos midiendo desde un punto indicado para el ejercicio de una circunferencia dada, trazando una línea A hasta una línea B, las cueles se debía tomar el segmento de mayor y menor, para que estas cumpliera con la relación no lineal. Para obtener los diez datos para el estudio, se invirtieron los cinco primeros datos tanto del eje X como del eje Y.

3.2 Datos

A continuación se muestra la tabla de recolección de datos y los resultados de los cálculos realizados.

Tabla 1. Datos de laboratorio.N° Dato X cm Y cm1 11,00 13,202 12,30 12,003 13,00 11,204 13,50 10,905 13,80 10,606 13,30 11,007 11,90 12,308 11,30 13,009 10,80 13,6010 10,60 13,80

3.3 Tratamiento de Datos y Gráficas y Análisis de Resultados

De esta manera se elaboro la relación no lineal en el programa Excel, con los siguientes pasos:

1. Acceso a Excel.

2. Generación de la tabla de donde se tomarán los datos para diseñar la regresión lineal.

3. Seleccionar los datos.4. Clic derecho: insertar grafico.5. Seleccionar: dispersión xy.6. Clic en aceptar.7. Seleccionar cualquier punto de la grafica y dar clic derecho.8. Seleccionar línea de tendencia.9. Seleccionar el tipo relación (según el caso: lineal, exponencial,

potencial).10.Seleccionar: mostrar ecuación y presentar valor R.

Nota: con cada tipo de relación se repiten los pasos.

La siguiente grafica muestra la relación no lineal entre el segmento menor y el segmento mayor de la circunferencia objeto de estudio. Para el ejercicio los datos se procesaron de modo lineal, exponencial y potencial.

Grafico1. Grafico lineal.

10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 12.50 13.00 13.50 14.000.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

f(x) = − 0.994978756276555 x + 24.2489918887601R² = 0.994669852595624

Series2Linear (Series2)

Grafico2. Grafico Exponencial.

10.0010.50

11.0011.50

12.0012.50

13.0013.50

14.000.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

f(x) = 32.8230379628554 exp( − 0.0820861739257121 x )R² = 0.99713895686408

Series2Exponential (Series2)

Grafico3. Grafico Potencial.

10.00 100.001.00

10.00

100.00

f(x) = 144.724628380934 x -̂0.995233900088195R² = 0.997584174099681 Series2

Power (Series2)

Al realizar el análisis de las graficas tenemos los siguientes índices de correlación 0.9947, 0.9971 y 0.9976 que son de tipo lineal, exponencial y potencial respectivamente. Por lo cual el coeficiente de correlación es de 0.9976 por esta más cerca de 1, lo que indica que existe una relación potencial directamente proporcional entre las dos variables (el segmento menor y el segmento mayor).

Para el ajuste y=144.72x-0.993 r2= 0.9976 y aplicamos la función inversa de y=a/x y=ax-1

3.4 Error Absoluto y Error Porcentual.

Tabla 2. Valores teóricos, error absoluto y % de error.

N° Dato

X(cm) Y(cm) y=ax-1 (cm) E=VT-VP = absolutoE%=VT-VP*100= error porcentual

1 11.00 13.20 13.16 E=13.16-13.20=0,04 4%2 12.30 12.00 11.77 E=11.77-12.30=0,23 23%3 13.00 11.20 11.13 E=11.13-11.20=-0,07 7%4 13.50 10.90 10.72 E=10.72-13.50=0,18 18%5 13.80 10.60 10.49 E=10.49-10.60=10-0,11 11%6 13.30 11.00 10.88 E=10.88-11=-0,12 12%7 11.90 12.30 12.16 E=12.16-12.30=-0,14 14%8 11.30 13.00 12.81 E=12.81-13=-0,19 19%9 10.80 13.60 13.40 E=13.40-13.60=-0,20 20%10 10.60 13.80 13.65 E=13.65-13.80=-0,15 15%3.5 Conclusiones

En la práctica de laboratorio, se observo la relación entre dos variables independientes como lo son el segmento mayor y segmento menor, que guardan una relación Potencial.

Teniendo en cuenta que existen varios tipos de relaciones no lineales, como lo son las cuadráticas, inversas, logarítmicas, exponenciales, y exponenciales negativas. En la práctica se comprobó que la relación entre las variables es potencial, ya que el coeficiente de correlación fue de 0,9947, 0,9971, 0,9976 positivo. Entre más cerca este el coeficiente a 1, la relación no lineal será más fuerte, pues a medida que una variable cambie, cambiara la otra directamente, en cierta proporción exponencial.

Los errores obtenidos en el laboratorio, se pueden relacionar con la exactitud al tomar las medidas y los instrumentos de medición utilizados. Estas alteraciones en las medidas pueden ser por un error visual en el momento de hacer la lectura de las dimensiones en la regla, se pudo cometer un error de paralaje.

3.6 Preguntas Guías del Laboratorio.

a. ¿cual es la dependencia funcional de t con n?

t(días) 50 28,72 20,76 13,8 11,92 9,47 7,92 6,85 6,42 5,73n 1 2 3 5 6 8 10 12 13 15

1 10 1001

10

100

f(x) = 50.0023303591186 x -̂0.800112553919915R² = 0.999999826468246

Series2Power (Series2)

Si analizamos la grafica, se observa que el coeficiente de correlación es de 1, lo que indica que existe una relación potencial directamente proporcional entre las dos variables (número de trabajadores y el tiempo de duración de la obra). Es decir a mayor numero de trabajadores menor número de días y viceversa.

b. ¿cuanto tiempo emplearían 17 obreros en realizar la obra?

y= ax-1

y= 17*50-1

y= 2,94

R// 17 obreros demorarían en la obra 2.94 días

c. ¿cuanto tiempo emplearían 20 obreros en realizar la obra?

y= ax-1

y= 20*50-1

y= 2.5

R// 17 obreros demorarían en la obra 2.5 días

d. ¿cuantos obreros se necesitan para realizar la obra en 15 días?

y= ax-1

a=x/ya=50/15a=3,33 ≈ 4

R// Necesita 3.33 obreros, pero como los obreros no pueden ser fraccionarios, se aproxima a 4 obreros.

e. ¿Por qué razón n no podría ser 100?

R//b La principal razón lo plantea el ejercicio por que limita a n de 1 a 20 obreros.

8. VECTORES

8.1 Objetivos

Los objetivos de este experimento fueron definir un vector, poder distinguir entre una cantidad escalar y una vectorial, distinguir entre resultante y equilibrante, aplicar el método geométrico y el de descomposición para la suma de vectores, y predecir la dirección de fuerza a partir de dos y tres fuerzas dadas.

8.2 Datos

En este experimento se utilizó una mesa de fuerzas, nivelada mediante un nivel y ajustando la altura de sus patas, la cual tenía un anillo en el medio del cual colgaban cuatro porta masas. Se dieron dos situaciones en las cuales se tenían tres y otra con cuatro vectores (dependiendo de la situación) y se tenía que buscar la resultante de los vectores con la masa necesaria para balancear las fuerzas.

8.2.1 datos del experimento

Datos 1

X= 103g - 0°Y= 123g - 90°Z= 149g - 230°

Datos 2

X= 51g - 0°Y= 196g - 90°Z= 199g - 253°

Datos 3

X= 233g - 0°Y= 114g - 90°Z= 169g - 210°

Datos 4

1= 109g - 100°

2= 88g - 21 0°3=149g - 300°4=224g - 350°

8.3 Descomposición y suma de vectores

Para hacer la conversión de la masa colgada en cada uno de los hilos que actuaron como vectores en la mesa de fuerza, se utiliza la fórmula [pic], donde F es la fuerza medida en Newtons (N), m siendo la masa medida en Kilogramos (kg) y g corresponde a la medida de la aceleración gravitacional (9.8m/ s2).

La suma de vectores se puede hacer por medio de diferentes métodos, ya sea el gráfico o el analítico. Se usará, como uno de ellos, el Método de cabeza y cola, que representa gráficamente en escala los vectores a ser sumados.. Otro método a usarse es el Método de Descomposición vectorial, en otras palabras el método analítico. Se buscan los componentes en x y en y de cada vector con las fórmulas anteriores y se suman los componentes del eje x y los del y para obtener Rx y Ry del vector resultante. Luego de encontrar los componentes de [pic], se utiliza la fórmula [pic] , del Teorema de Pitágoras, para buscar la magnitud del vector resultante. Generalmente, la dirección o el ángulo con respecto al eje de x para el vector resultante se encuentran empleando la fórmula tan-1(y/x).

8.3.1 Descomposición

8.3.1.1 Calculo para lo datos N°1

X= 103g - 0°Y= 123g - 90°Z= 149g - 230°

Las fuerzas de cada una de las poleas se calculan de la siguiente manera: Como la unidad para la fuerza es N, se tiene que cambiar los gramos por kilogramos:

m=103g * 1kg/103g= 0.103 kgm=123g * 1kg/103g= 0.123 kgm=149g * 1kg/103g= 0.149 kg

Una vez cambiada de gramos a kilogramos, se multiplica esta masa por la aceleración gravitacional.F1 = (0.103kg)* (9.81m/s2) = 1 NF2 = (0.123kg)* (9.81m/s2) = 1.2 N

F3 = (0.149kg)* (9.81m/s2) = 1.46 N

Tabla 1: Fuerzas de Vectores (Datos 1)Vector Dirección(°) Masa(g) Fuerza(N)x 0 103 1y 90 123 1.2Z(equilibrante) 230 149 1.46

Esta fuerza también se utiliza para determinar geométricamente el valor y la dirección de la fuerza que resulta al sumar F1 y F2. Esto se ve en los siguientes cálculos:

F= F1 + F2 F1= (1 cos 0,1 sen 0) = (1,0)F2= (1.2 cos 90,1.2 sen 90)= (0,1,2)

F= (1cos0+ 1.2 cos 90)x ,( 1 sen 0 + 1.2 sen 90)yF2= 1x , 1.2yFR= √(1)2 + (1.2)2

FR= 1.56O= Tan-1(1.2/)= 50.19

Magnitud= 1.56NDirección: 50.19°

Error de fuerza

E%=VT-VP*100= ERROR PORCENTUALE%=1.56-1.46*100= 10%E=VT-VP = ABSOLUTOE=1.56-1.46= 0.1

8.3.1.2 Calculo para lo datos N° 2

X= 51g - 0°Y= 196g - 90°Z= 199g - 253°

Las fuerzas de cada una de las poleas se calculan de la siguiente manera: Como la unidad para la fuerza es N, se tiene que cambiar los gramos por kilogramos:

m=51g * 1kg/103g= 0.051 kg

m=196g * 1kg/103g= 0.196 kgm=199g * 1kg/103g= 0.199 kg

Una vez cambiada de gramos a kilogramos, se multiplica esta masa por la aceleración gravitacional.

F1 = (0.051kg)* (9.81m/s2) = 0.50 NF2 = (0.196kg)* (9.81m/s2) = 1.92 NF3 = (0.199kg)* (9.81m/s2) = 1.95 N

Tabla 2: Fuerzas de Vectores (Datos 2)Vector Dirección(°) Masa(g) Fuerza(N)x 0 51 0.50y 90 196 1.92Z(equilibrante) 253 199 1.95

Esta fuerza también se utiliza para determinar geométricamente el valor y la dirección de la fuerza que resulta al sumar F1 y F2. Esto se ve en los siguientes cálculos:

F= F1 + F2 F1= (0.50 cos 0, 0.50 sen 0) F2= (1.92 cos 90, 1.92 sen 90)F= (0.50cos0+ 1.92 cos 90)x ,( 0.50 sen 0 + 1.92 sen 90)yF2= 0.5x , 1.92yFR= √(0.5)2 + (1.92)2

FR= 1.98O= Tan-1(1.92/0.5)= 75.40

Magnitud= 1.98 NDirección: 75.40°

Error de fuerza

E%=VT-VP*100= ERROR PORCENTUALE%=1.98-1.95*100= 3%E=VT-VP = ABSOLUTOE=1.98-1.95= 0.03

8.3.1.3 Calculo para lo datos N° 3

X= 233g - 0°Y= 114g - 90°Z= 169g - 210°

Las fuerzas de cada una de las poleas se calculan de la siguiente manera: Como la unidad para la fuerza es N, se tiene que cambiar los gramos por kilogramos:

m=233g * 1kg/103g= 0.233 kgm=114g * 1kg/103g= 0.114 kgm=169g * 1kg/103g= 0.169 kg

Una vez cambiada de gramos a kilogramos, se multiplica esta masa por la aceleración gravitacional.

F1 = (0.233kg)* (9.81m/s2) = 2.28 NF2 = (0.114kg)* (9.81m/s2) = 1.11 NF3 = (0.169kg)* (9.81m/s2) = 1.65 N

Tabla 3: Fuerzas de Vectores (Datos 3)Vector Dirección(°) Masa(g) Fuerza(N)x 0 233 2.28y 90 114 1.11z 210 169 1.65

Esta fuerza también se utiliza para determinar geométricamente el valor y la dirección de la fuerza que resulta al sumar F1 y F2. Esto se ve en los siguientes cálculos:

F= F1 + F2 F1= (2.28 cos 0, 2.28 sen 0) F2= (1.11 cos 90, 1.11 sen 90)F= (2.28cos0+ 1.11 cos90)x ,( 2.28 sen 0 + 1.11 sen 90)yF2= 2.8x, 1.11yFR= √(2.28)2 + (1.11)2

FR= 2.53O= Tan-1(1.11/2.28)= 21.62

Magnitud= 2.53 NDirección: 25.95°

Error de fuerza

E%=VT-VP*100= ERROR PORCENTUALE%=2.53-1.65*100= 88%E=VT-VP = ABSOLUTOE=2.53-1.65= 0.88

8.3.2 Suma de vectores

8.3.2.1 Calculo para lo datos N° 4

1= 109g - 100°2= 88g - 210°3=149g - 300°4=224g - 350°

Las fuerzas de cada una de las poleas se calculan de la siguiente manera: Como la unidad para la fuerza es N, se tiene que cambiar los gramos por kilogramos:

m=109g * 1kg/103g= 0.109 kgm=88g * 1kg/103g= 0.088 kgm=149g * 1kg/103g= 0.149 kgm=224g * 1kg/103g= 0.224 kg

Una vez cambiada de gramos a kilogramos, se multiplica esta masa por la aceleración gravitacional.

F1 = (0.109kg)* (9.81m/s2) = 1.06 NF2 = (0.088kg)* (9.81m/s2) = 0.86 NF3 = (0.149kg)* (9.81m/s2) = 1.46 NF4 = (0.224kg)* (9.81m/s2) = 2.19 N

Tabla 4: Fuerzas de Vectores (Datos 4)Vector Dirección(°) Masa(g) Fuerza(N)x 100 109 1.06y 210 88 0.86z 300 149 1.46p 350 224 2.19

Esta fuerza también se utiliza para determinar geométricamente el valor y la dirección de la fuerza que resulta al sumar F1, F2 y F3. Esto se ve en los siguientes cálculos:

F= F1 + F2 +F3 +F4

F1= (-1.06 cos 100, 1.06 sen 100) F2= (-0.086 cos 210, -0.086 sen 210)F3= (1.46 cos 300, -1.46 sen 300) F4= (2.19 cos 350, -2.19 sen 350)

F= (-1.06 cos 100 -0.086 cos 210+1.46 cos 300+2.19 cos 350)x ,( 1.06 sen 100 -0.086 sen 210 +1.46 sen 300-2.19 sen 350)yF= 2.62x , -0.64 yFR= √(2.62)2 + (-0.64)2

FR= 2.69 ≈ 2.70O= Tan-1(-0.64/2.70)= -13.80 ≈ -14

Magnitud= 2.70 NDirección: -14°

8.3.2.2 Suma método grafico.

Grafico 4. Solución Grafica: Método Cabeza y cola

8.3.3 Conclusión

Para estudiar los vectores de fuerza se utiliza como instrumento una mesa de fuerzas. A través de la mesa de fuerzas logramos un estudio cuantitativo de la composición de fuerzas.

En las poleas puede ser que se presente la fuente de error ya que hay una fuerza de fricción entre el hilo y cada polea que puede afectar los resultados.

A pesar de las posibles fuentes de error; el utilizar la mesa de fuerzas es muy certero para poder apreciar la interacción de las fuerzas en el experimento.

y

x

F1=1.06,100° F3=1.46,300°

F2=0.086,210°

F4=2.19,350°

FR=2.70,-14°

Teniendo distintas fuerzas (ej. F1 y F2) a diferentes ángulos, ponemos una masa para equilibrar ambas fuerzas y la multiplicamos por g para que ésta se convierta en la F de contra peso de las otras dos, llevando el sistema a equilibrio.

L fuerza que logra el equilibrio se denomina F de contra peso y resulta de la suma de dos ó más F.

La F de contra peso es diferente de la F resultante quien a su vez es la F que cuando se aplica nos podemos olvidar de F1 y de F2.

Fe contra peso y F resultante tienen la misma magnitud pero diferente dirección.

Este experimento con la mesa de fuerzas es muy útil para aclarar y enfatizar de forma práctica las características de un vector e ilustrar la suma de vectores.