Introducción Al Análisis Dimensional y Al Ensayo de Modelos

8/18/2019 Introducción Al Análisis Dimensional y Al Ensayo de Modelos

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|INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL Y EL ENSAYO DE MODELOS(Autor: Ing. FRIEDRICH Mauricio C L – Profesor Titular – UT FRParan!"

ITR#DUCCI$

Cuan%o se a&or%a un 'roecto )ue in*olucre un s+li%o e,'uesto a la acci+n %e la corriente %e unflui%o (resistencia aero + -i%ro%in!ica" +/ en casos !s generales/ cuan%o se %eseen o&tener funciones + f+rulas )ue/ *inculan%o las *aria&les )ue inter*ienen en un fen+eno/ resuel*aneste en fora anal0tica/ *ereos resulta u 1til la utili2aci+n %el análisis dimensional.

Por otra 'arte/ iagineos )ue se trate %el 'roecto %e un e%ificio %e gran altura/ %e unae&arcaci+n %e gran 'orte/ %e un a*i+n coercial/ %e una torre %e so'orte %e l0nea %e alta tensi+no %e uc-os otros e3e'los )ue 'u%ieren encionarse )ue se %esee conocer/ 'ara su %ise4o%efiniti*o/ la agnitu% %e las resistencias aero + -i%ro%in!icas )ue se 'o%r0a generar + a las )ue

'o%r0an estar e,'uestos seg1n el caso. De -ec-o )ue el ensao %e un prototipo a escala real 'araco'ro&ar su co'ortaiento es 'r!cticaente i'ensa&le. 5urge a la ente casi %e ine%iato

'ensar en la 'osi&ili%a% %e lograrlo en &ase a los resulta%os )ue 'u%ieran o&tenerse %el ensao de!n modelo a es"ala red!"ida#

La 'regunta )ue surge a-ora es: 6-asta %+n%e es *!li%o este su'uesto7 Es lo )ue tratareos %e 3ustificar %e a)u0 en !s con eso re*ali%ar la i'ortancia )ue -ist+ricaente -a teni%o siguentenien%o la e$perimenta"i%n/ la modeli&a"i%n el ensao de modelos#

A8LI5I5 DIME5I#AL

El an!lisis %iensional/ una raa %e la ate!tica a'lica%a/ es la -erraienta )ue 'eriteo&tener e%iante la re%ucci+n %el n1ero %e *aria&les/ relaciones )ue ligan entre s0 a lasagnitu%es f0sicas )ue inter*ienen en el 'ro&lea 'lantea%o 'osi&ilitar su soluci+n. El 9to%ono i'lica necesariaente una resoluci+n anal0tica/ i'one restricciones so&re la '!n"i%n"ara"ter(sti"a del pro)lema &as!n%ose en la -oogenei%a% %iensional 'erite %e%ucir relaciones %e a'licaci+n general (parámetros adimensionales".

Para res'on%er a la 'regunta forula%a 'rece%enteente es necesario %efinir inicialente )u9 seentien%e 'or similit!d '(si"a a )ue/ 0ntiaente *incula%a al an!lisis %iensional/ es la &asefun%aental %e la e,'erientaci+n con o%elos.

*Dos sistemas son '(si"amente similares +% *seme,antes-. "on respe"to a "iertos parámetros'(si"os "!ando la rela"i%n de ma/nit!des "orrespondientes a di"0os parámetros entre los dossistemas es la misma en toda s! e$tensi%n-

Por e3e'lo/ cuan%o el parámetro + caracter0stica f0sica es la longitu% la siilitu% + see3an2af0sica es la /eom1tri"a#

Los %iferentes ti'os %e see3an2a )ue se 'ue%en encionar son:

Seme,an&a 2eom1tri"a3 Est! relaciona%o con el conce'to %e factor + relaci+n %e es"ala )ue es

la )ue e,iste entre longitu%es -o+logas %e modelo prototipo. En uc-os casos no resulta 'osi&le la see3an2a geo9trica a&soluta es necesario alterar %eli&era%aente alguna %iensi+n


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con lo )ue la siilitu% no se cu'lir! en to%a su e,tensi+n ('or e3e'lo/ la 'rofun%i%a% en uno%elo e,ten%i%o %e r0o %e llanura". Estas ;%istorsiones< + alteraciones %e fora se -acen a losefectos %e eliinar + 'or lo enos atenuar 'ertur&aciones no %esea%as consecuentes %e lare%ucci+n %e taa4o (rugosi%a%/ tensi+n su'erficial" %enoina%os usualente ;efectos %eescala


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%e un flui%o %e *iscosi%a% %in!ica µ )ue circula en una tu&er0a %e %i!etro D a una *eloci%a%e%ia :

Re µ

ρ DV + ta&i9n Re

ν

DV / %on%e ν

ρ

µ es la *iscosi%a% cine!tica (L @ .T :−

"

El interrogante )ue ca&e 'lantearse a-ora es el siguiente: 6cu!ntas *aria&les 'ue%en inter*enir enlos 'ro&leas %e ec!nica %e los flu0%os c+o cu!ntas relaciones + 'ar!etrosa%iensionales 'ue%en o&tenerse con )ue finali%a%7 A %arle res'uesta es entonces a lo )ue*aos a a'licarnos.

Las 6aria)les '!ndamentales (-a uc-as !s %eri*a%as %e 9stas" )ue inter*ienen en ec!nica%e los flu0%os p!eden ser red!"idas a siete/ e,'resa%as en su con3unto en tres %iensionesfun%aentales (L/M/T" a sa&er:

F 7!er&a +M.L.T @− " ρ Densidad (M.L ?− "L Lon/it!d (L" 8elo"idad (L.T :− " µ 8is"osidad dinámi"a (M.L :− .T :− "σ Tensi%n s!per'i"ial (M.T @− "c > 8elo"idad del sonido en el 'l!ido (L.T :− "

a la )ue se agrega / )ue 'artici'a en las e,'resiones 'ara o&tener relaciones in%e'en%ientes %e laasa ('or e3e'lo la energ0a cin9tica es'ec0fica + ;alt!ra de 6elo"idad< @ B@g "

/ A"elera"i%n de la /ra6edad (L.T @− "

o sea )ue resultan as0 o"0o 6aria)les '!ndamentales# ue )ue%e claro )ue la 'ala&ra *aria&les+lo significa la agnitu% %e una canti%a% + efecto f0sico/ %e a)u0 entonces )ue se 'ue%aconsi%erar coo una *aria&le as a /.Es 'osi&le iaginar entonces )ue una funci+n %e estas oc-o *aria&les 'o%r0a constituir la-erraienta uni*ersal 'ara la resoluci+n %e 'ro&leas %e ec!nica %e flui%os con lassi'lificaciones + 'articulari%a%es )ue ca%a ti'o %e 'ro&lea re)uiriera e,'resan%o ca%a una %ea)uellas en funci+n %e las %e!s. Tal funci+n ser0a %e la fora i'l0cita e,'resa&le coo

f (F/ / ρ L// µ /σ /c > /g" > 'ero una funci+n tal coo esta no e$iste#

La forulaci+n %e relaciones !s sencillas i'lica la re%ucci+n %el n1ero %e *aria&les 'aralograrlo se utili2a el an!lisis %iensional. ereos as a%elante )ue las o"0o enciona%as sere%ucen a "in"o parámetros adimensionales ()ue se %enoinan gen9ricaente ;π ("

%e car!cter uni*ersal/ in%e'en%iente %e las %iensiones %e ca%a sistea 'articular. De -ec-o )ue

ta'oco e,iste 'ero *aos a tratar %e o&tener soluciones en &ase a los resulta%os e,'erientalesra2onan%o %e la anera )ue *eos a continuaci+n.

?


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U5TIFICACI$ DEL MT#D# EJPERIMETAL

Pregunta:6Ka3o )u9 con%iciones es *!li%o su'oner )ue el 9to%o e,'eriental es *!li%o7

Res'uesta:

C!ando las rela"iones entre parámetros 9!e se tomen "omo 6aria)les independientes seani/!ales entre modelo prototipo o sea independientes de la rela"i%n de es"ala de las demásdimensiones 9!e le sean propias al modelo al prototipo#

Coo los 'ar!etros iπ %e la e,'resi+n (" son iguales 'ara ca%a sistea/ la funci+n sea cualfuere su fora/ a%o'ta el iso *alor satisfaci9n%ose 'ara ca%a caso. Esto con%uce a ace'tar )ue

F ( iπ /" G

: prot F ( iπ /"

G

: .o% con esta -erraienta se a&or%a la soluci+n.

F#RMULACI$ DE L#5 PAR8METR#5 ADIME5I#ALE5

La -erraienta utili2a%a 'ara o&tener 'ar!etros a%iensionales es el ;Teorea %e Kucing-a<ta&i9n llaa%o ;M9to%o π < 'or el no&re gen9rico )ue se les atri&ue a a)uellos. Elenuncia%o es el siguiente:

;En un 'ro&lea f0sico en el )ue inter*ienen n agnitu%es f0sicas en las )ue 'artici'an m%iensiones fun%aentales/ a)uellos 'ue%en agru'arse en n:m 'ar!etros a%iensionales<

5i sonA: 4 A @ 4 ;;# A n las agnitu%es f0sicas + ;*aria&les< / la funci+n i'l0cita7 +A: 4 A @ 4 ; A n . < =ser0a la funci+n caracter0stica )ue resol*er0a anal0ticaente el 'ro&lea. 5eg1n el m1todo π es

'osi&le %efinir

:π 4 @π 4 ; "( mn−π 'ar!etros a%iensionales tales )ue 'ue%an constituir una funci+n coo la7 + :π 4 @π 4 ; "( mn−π . < =)ue ser! a%iensional 'or lo tanto in%e'en%iente %e las %iensiones %e ca%a sistea 'articular ('rototi'o o%elo en nuestro caso"Ca%a 'ar!etro iπ estar! confora%o 'or el 'ro%ucto %e m cuales)uiera %e las A i )ue encon3unto contengan las m %iensiones otra %e las A i 'ara ca%a 'ar!etro/ tal cual se uestrana continuaci+n:

:π A :

:

α . A :@

β . A :? χ . A :δ m . A :+m

@π A @:

α . A @@

β . A @?

χ . A @δ m . A @+m # # # # # #


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mn−π A mn−α :

.A mn−β @

.A mn− χ ? . A mn

m−

δ .A n

)ue son los n:m 'ar!etros )ue 'ue%en o&tenerse seg1n el 9to%o.Los e,'onentes iα / iβ / i χ / iδ %e&en %eterinarse %e fora )ue los iπ resultena%iensionales. Para ello se sustituen las A i 'or sus %iensiones corres'on%ientes se igualana cero o&teni9n%ose co ello un sistea %e m ecuaciones con m inc+gnitas )ue una *e2 resuelto%eterina sus res'ecti*os *alores.

PAR8METR#5 ADIME5I#ALE5 FUDAMETALE5 DE LA MEC8ICA DE L#5FLUID#5

5ien%o o"0o las agnitu%es inter*inientes tres las %iensiones fun%aentales resultan "in"o 'ar!etros fun%aentales )ue se -an %enoina%o n1eros %e Renolds4 %e E!ler4 %e 7ro!de4

%e Ma"0 %e >e)er# La fora usual %e 'resentarlos es la siguiente:

Re µ

ρ .. DV 're%oinio %e resistencias *iscosas en el e%io flui%o

E! p

V

∆@

@ ρ %on%e son %eterinantes las %iferencias + gra%ientes %e 'resiones

7r Lg

V @

consi%era la influencia %e fuer2as gra*itatorias

M >c

V resistencias el!sticas en e%ios flui%os

>e σ

ρ @

LV resistencias 'or acci+n %e la tensi+n su'erficial

5e 'ue%en o&tener a'lican%o el 9to%o π -acien%o oc-o 'ar!etros A i con las oc-o *aria&lesenciona%as (N O g" tenien%o en cuenta tres %iensiones (LMT".

La funci+n caracter0stica resultar0a ser entonces

7 + E!4 Re4 7r4 M4 >e. < =

constituir0a la -erraienta uni*ersal 'ara la resoluci+n %e 'ro&leas seg1n el 9to%o %elan!lisis %iensional. A su *e2/ 'ara ca%a 'ar!etro 'o%r0a forularse %e fora e,'l0cita coo

'or e3e'lo

E! < ' + Re4 7r4 M4 >e. (@"

5e -a se4ala%o )ue estas e,'resiones anal0ticas no e,isten/ 'ero la apli"a"i%n a "asos reales se0a"e pro"ediendo a red!"ir el n5mero de 6aria)les "!ando p!eda s!ponerse ra&ona)lemente9!e no in'l!en apre"ia)lemente en el 'en%meno.

Por e3e'lo/ si se trata %e 're%ecir el co'ortaiento %e una estructura en altura soeti%a a la

acci+n %el *iento es ra2ona&le %es'reciar la acci+n %e la tensi+n su'erficial %e las fuer2asel!sticas 'ro%ucto %e *eloci%a%es 'r+,ias + su'eriores a la %el soni%o/ con lo )ue se eliinan los

G


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n1eros %e Qe&er Mac-. Ta&i9n es 'osi&le %es'reciar influencias %e fuer2as gra*itatorias enel e%io flu0%o con ello el n1ero %e Frou%e. Toa senti%o entonces la a'licaci+n %e lae,'resi+n re%uci%a

E! < ' +Re.

su consecuencia ine%iata 'ara la a'licaci+n en un ensao real se %ar0a %e la fora siguiente/ si

E! prot < '+Re prot . E! .o% < '+Re .o% .

la see3an2a %in!ica i'one )ue E! .o% < E! prot %e&er! ser ta&i9n Re .o% < Re prot

Esto 'ue%e e,'licarse ta&i9n se4alan%o )ue al no 'o%er %efinirse una funci+n tal coo la (@"!na sol!"i%n 5ni"a s!r/ir(a de la "ondi"i%n de se "!mpliera sim!ltáneamente 9!e3

Re prot Re .o% E! prot E! .o%7r prot 7r .o% M prot M .o% >e prot >e.o%

lo 9!e tam)i1n es imposi)le. Pero si se %esestian las influencias enciona%as anteriorentelas con%iciones se re%ucen a las %os 'rieras as0 estaos en con%iciones %e resol*erlo.

8as"04 A.: S5ur les lois %e siilitu%e en '-si)ueS. Annales T9l9gra'-i)ues =/ @G@ (=@"?!"@in/0am4 E.: #n '-sicall siilar sstes. Illustrations of t-e use of %iensional e)uations. P-sical Re*ieV / ?G?N (=".?!"@in/0am4 E# (NB=>" ;Mo%el E,'eients an% t-e for of e'irical e)uations

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