Ctedra: Investigacin Operativa Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza

-.Formulacin de Modelos.-

Problemas resueltos

Ctedra: Investigacin Operativa Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza

EJEMPLO 1.

Considere el problema enfrentado por Mark, graduado de la maestra en administracin de empresas, quien recientemente obtuvo un puesto como analista financiero. Uno de los beneficios del empleo es un plan de retiro en el que el empleado pone el 5% de su ingreso mensual y la compaa pone una cantidad similar. El dinero de este plan es invertido en dos fondos, un fondo de acciones y otro de bonos. El departamento de beneficios le ha pedido a Mark que especifique la fraccin del dinero del plan de retiro que habra que invertir en cada fondo. Mark ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y ha determinado que el fondo de acciones ha crecido a una tasa anual promedio del 10 %, mientras que el fondote bonos, mas conservador, ha promediado una retribucin anual del 6 %. Para diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los huevos en una sola canasta, identificando dos pautas:

Ninguno de los 2 fondos puede tener mas del 75 % de la inversin total La cantidad Invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble

invertido en el fondo de bonos.

Identificacin del problema:

La definicin del problema es brindada en el enunciado del mismo, se identifican rpidamente el objetivo y los datos del problema.

Objetivo: Especifique la fraccin del dinero del plan de retiro que habra que invertir en cada fondo para maximizar ganancias

Desarrollo de un modelo matemtico:

El primer paso es la identificacin de las variables de decisin, que en este caso es la cantidad de dinero a invertir en cada fondo.

S: cantidad de dinero a invertir en el fondo de acciones B: cantidad de dinero a invertir en el fondo de bonos

Luego procedemos a identificar el objetivo del problema planteado, o sea la funcin objetivo. En este caso es maximizar la retribucin anual, los coeficientes en los que se mide la retribucin anual es el 10 % y 6 % expresados en el enunciado. Poniendo todo junto debemos elegir valores para S y B, tal que:

Maximizar 0.10 S + 0.06 B

Finalmente no se pueden tomar valores arbitrarios para las variables, las pautas descriptas en la formulacin del problema representan una limitacin, entonces procedemos a identificar las restricciones.

Ninguno de los 2 fondos puede tener mas del 75 % de la inversin total

S 0.75 (lmite superior del fondo de acciones) B 0.75 (lmite superior del fondo de bonos)

La cantidad Invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en el fondo de bonos.

S 2B o expresado como S 2B 0

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Finalmente debemos tener en cuenta que es imposible asignar cantidades negativas a las variables

S, B 0

Juntando todo lo expuesto el modelo matemtico es el siguiente

Maximizar 0.10 S + 0.06 B Condicionado por

S 0.75 (lmite superior del fondo de acciones) B 0.75 (lmite superior del fondo de bonos)

S 2B 0 (limitacin mezcla de carteras) S , B 0

Resolucin del modelo matemtico:

Como todava no vamos a abordar la resolucin por mtodos ptimos, tomemos sin embargo una resolucin heurstica tomando los valores derechos de las restricciones de lmite. Podemos observar que en ambos casos se pueden aplicar sin problema, por lo tanto este modelo permite como vlida la solucin

S = 0.75 y B = 0.75

Lo cual no es factible, ya que es imposible aplicar el 75 % del total en cada fondo.

Validacin del modelo matemtico:

Validar la solucin anterior nos lleva al descubrir que debemos limitar nuestras variables de forma que la cantidad invertida sume exactamente el 100 % del capital disponible; por lo que debemos agregar una restriccin ms para que el modelo sea coherente

S + B = 1

Puede suceder nuevamente que la solucin al modelo no sea factible (aunque el modelo y la solucin sean vlidos) por razones que no pueden reflejarse en un modelo matemtico, en ese caso hay que ver como se adecua la solucin del modelo a la realidad.

Modificacin del modelo matemtico:

Agregando la limitacin del paso anterior, tenemos que el modelo resultante es:

Maximizar 0.10 S + 0.06 B Condicionado por

S 0.75 (lmite superior del fondo de acciones) B 0.75 (lmite superior del fondo de bonos)

S 2B 0 (limitacin mezcla de carteras) S + B = 1 S , B 0

Donde la solucin optima para el mismo es S = 0.667 B = 0.333