Inventarios II

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SISTEMAS DE INVENTARIOLos sistemas de inventario ms utilizados son: El sistema de pedido de tamao fijo Q El sistema de pedido de intervalo fijo P La diferencia bsica entre los dos sistemas es: Para el sistema Q se pide una cantidad fija a intervalos variables de tiempo Para el sistema P se pide una cantidad variable a intervalos fijos de tiempo

Formulas para el sistema Q son: Para determinar la cantidad a pedir es: El tiempo entre pedidos es (IP intervalo entre pedidos): Las existencias de seguridad (ES):2

SISTEMAS DE INVENTARIOPara el sistema P (pedido a intervalo fijo) la existencia de seguridad ES, se calcula de la siguiente forma: Se usa como base, el intervalo entre pedidos ms el tiempo promedio de anticipacin (IP + L), entonces queda:

Cantidad de pedido = Q ptimo + existencias de seguridad inventario disponible unidades pedidas + demanda promedio en el tiempo de anticipacin El costo total anual se calcula con la siguiente ecuacin.

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SISTEMAS DE INVENTARIOen donde: C1 : C2 : C3 : Dm : D : D t= L= ES : Costo de una unidad Costo de hacer una compra Costo de almacenar Demanda mxima Demanda promedio Tiempo entre pedidos Tiempo de anticipacin Existencias de seguridad

Cuando el sistema de inventario es determinstico y la tasa de demanda es constante, realmente hay poca diferencia entre los sistemas Q y P. Primero analizaremos el sistema Q con los siguientes datos.4

EjemploLa demanda (Dm) de un articulo es de 18,000 unidades / ao. El costo de almacenamiento (C3) por unidad es de $1.20 / ao y el costo de ordenar (C2) una compra es de $400, el tiempo de anticipacin (L) es de 20 das, el costo de una unidad (C1) es de $1.0. (Suponer 1 ao = 250 das). Para determinar la cantidad a pedir se hace lo siguiente:unidades

El intervalo entre pedidos es: (1 ao = 250 das)das

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EjemploLa demanda diaria se obtiene de la siguiente forma: Como la demanda es de 18,000 por unidades por ao y 1 ao = 250 das, entonces:unidades / da

La demanda en el periodo de anticipacin (DL), se obtiene: Si el tiempo de anticipacin es de L = 20 das y la demanda diaria es de 72 unidades / da, entonces la demanda en el periodo de anticipacin es: DL = 72(20) = 1,440 unidades

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EjemploLa representacin grfica de estas cantidades se muestran en la siguiente figura, e indican la siguiente regla de pedido. Verificar continuamente el nivel de inventario y cuando este nivel alcance 1,440 unidades, se ordenan 3,465 unidades.

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EjemploAplicando esta regla se obtiene un costo total anual de $22,156 sin permitir dficit.

C = 18,000 + 2,078 + 2,078 = $ 22,156 por ao. Si se permite dficit, el nivel o punto de pedido disminuye Por ejemplo, suponer que el tiempo de anticipacin es de 20 das y el nmero de unidades agotadas de 747, entonces el nivel de pedido es: 72(20) - 747 = 693 unidades

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EjemploSi el tiempo de anticipacin hubiera sido mayor que 48 das, el nivel (punto) de pedido sobrepasa el nivel de inventario. Por ejemplo, puede suponerse que el tiempo de anticipacin sea de 60 das, en lugar de 20 das. Esto indicara un nivel o punto de pedido de: 60(72) = 4,320 unidades Sin embargo, esto es imposible ya que la figura indica que el nivel inventario nunca es mayor que 3,465 unidades. El valor de 4,320 unidades implica que, cuando el nmero de unidades en inventario (disponible) y el nmero de unidades pedidas pero no recibidas es 4,320 unidades, entonces se hace un pedido de 3,465 unidades.9

Ejemplo Ahora considerar el sistema P.En el ejemplo anterior debera usarse un intervalo entre pedidos de 48 das, ya que este intervalo es el ptimo indicado por un balance entre los costos de compra e inventario. Cualquier intervalo entre pedidos menor que 48 das, ocasiona mayores costos de compra, y cualquier intervalo entre pedidos mayor que 48 das, ocasiona dficit.

das

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Ejemplo

El sistema P representado en la figura anterior para los datos del ejemplo, indica la siguiente regla de pedido: Determinar el nivel de inventario cada 48 das y en ese momento pedir una cantidad indicada como: Cantidad pedida = Q ptimo + existencias de seguridad - existencias disponibles - unidades pedidas + cantidad requerida para un perodo completo de anticipacin En este caso, el tamao del pedido es igual a: 3,465 + 0 1,440 - 0 + 72(20) = 3,465 unidades11

EjemploEsta cantidad pedida debe ser la misma en cada nivel (punto) de pedido, ya que todas las componentes de la ecuacin de la cantidad de pedido son constantes, debido a que el sistema es determinstico y la tasa de demanda es constante. Adems por las mismas causas, los perodos entre pedidos (48 das) son iguales en ambos sistemas. Por consiguiente, los dos sistemas dan iguales resultados siempre que, los sistemas sean determinsticos y la tasa de demanda sea constante. En general se presentan diferencias entre los dos sistemas cuando: la demanda, el tiempo de anticipacin o ambos se vuelven probabilsticos.

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MODELO DE INVENTARIO SIN DFICITEste modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos, para desarrollar las actividades de cualquier empresa. El modelo de inventarios se encuentra basado en las siguientes suposiciones: La demanda se efecta a tasa constante. El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes. En este modelo no se permite la falta de productos, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancas para la venta.13

Modelo de inventario sin dficitEn la siguiente figura se ilustra esquemticamente este modelo.

Smbolos Q = Cantidad ptima a pedir Im = Inventario Mximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeacin En este modelo se representan de igual forma, el inventario mximo y la cantidad econmica de pedido14

Modelo de inventario sin dficitEl costo total para un periodo en este modelo, esta conformado por tres componentes: Costo unitario del producto, (C1) Costo de ordenar una compra, (C2) Costo de mantener un producto en almacn, (C3) El costo para un periodo se establece de la siguiente manera: Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] El costo total para el periodo de planeacin, estar integrado de la manera siguiente: Costo total = Costo por periodo x Nmero de pedidos a realizar

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ANLISIS DE ECUACIONES

Costo unitario por periodo El costo unitario por periodo simplemente es, el costo de la cantidad ptima a pedir. C1 X Q Costo de ordenar una compra Puesto que solo se realiza una compra en un periodo, el costo de ordenar una compra esta definido por: C2 Costo de mantener el inventario por periodo El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es:

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ANLISIS DE ECUACIONESPara determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuacin: El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera: Nota: La demanda del artculo en un periodo de planeacin se define con la letra D. El nmero de periodos se expresa de la manera siguiente: Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeacin (T), se multiplica el costo de un periodo por el nmero de inter-periodos (t), que contenga el periodo de planeacin. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuacin: Costo Total = Costo (Q *) t17

ANLISIS DE ECUACIONESOtra manera de representar el costo total para el periodo de planeacin, es por medio de la siguiente ecuacin:

Cuando los componentes del costo total se representan grficamente, se obtiene un punto ptimo (de costo mnimo).

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ANLISIS DE ECUACIONESUna forma para determinar la cantidad ptima a pedir, es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuacin anterior, hasta encontrar el punto de costo mnimo. Un procedimiento ms sencillo consiste en, derivar la ecuacin del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero.

Al resolver esta derivada tenemos la ecuacin para determinar la cantidad ptima a pedir. Q= Esta ecuacin implica un costo mnimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.

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EjemploUna empresa vende un artculo que tiene una demanda de 18,000 unidades por ao, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantnea. Determinar: La cantidad ptima a pedir El costo total anual El nmero de pedidos por ao El tiempo entre pedidos Datos C1= $ 1.00 (Costo de una unidad ) C2 = $ 400.00 (Costo de hacer una compra) C3 = $ 1.20 (Costo de almacenar)20

EjemploLa cantidad ptima a pedir se calcula de la siguiente forma. = 3,465 unidades El costo total estar determinado por: Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22,156 por ao El nmero de pedidos por ao es: N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 pedidos por ao El tiempo entre pedidos es: t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 aos21

MODELO DE INVENTARIO CON DFICIT

El modelo de compra que permite dficit tiene como base las siguientes suposiciones: La demanda se efecta a tasa constante. El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes. Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario), pero adems tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante.

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MODELO DE INVENTARIO CON DFICITEn este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida, desaparece el dficit. Esto se representa claramente en el siguiente esquema.

Q = Cantidad ptima a pedir S = Cantidad de unidades agotadas Im = Inventario Mximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeacin t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.

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MODELO DE INVENTARIO CON DFICIT

Por consiguiente, en este modelo, los costos del dficit son ocasionados por agotamiento de las existencias durante el periodo de tiempo, y no por la prdida de ventas. En este modelo se incluyen los costos de dficit para determinar el costo para un periodo. Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [Costo de dficit por periodo]

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ANLISIS DE ECUACIONESEl costo unitario y el costo de ordenar un pedido, se determinan de manera semejante, a como se determinan en el modelo de compra sin faltante. Para determinar el tiempo t1, el inventario mximo y el tiempo t2, en funcin de la cantidad ptima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S), se realiza el siguiente proceso. El inventario mximo estar definido por: Im = Q S Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de tringulos:

Con t = t1 + t225

ANLISIS DE ECUACIONESDebido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden representarse de la siguiente forma:

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la de costo por periodo tenemos:

Multiplicando el costo de un periodo por el nmero total de interperodos, del periodo de planeacin, obtenemos el costo total.

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ANLISIS DE ECUACIONESPara determinar la cantidad ptima a pedir Q y la cantidad de existencias agotadas S, se obtiene la derivada parcial con respecto a cada una de estas variables.

El resultado de estas operaciones nos da como resultado:

Para entender este modelo, se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos ms importantes, de este modelo de compra.27

EjemploUna empresa vende un artculo que tiene una demanda de 18,000 unidades por ao, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artculo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por ao. Determinar: La cantidad ptima de pedido. El costo total por ao. El nmero de pedidos por ao. El tiempo entre pedidos.

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EjemploDatos

C1= $ 1.00 (Costo de una unidad ) C2 = $ 400.00 (Costo de hacer una compra) C3 = $ 1.20 (Costo de almacenar) C4 = $ 5.00 (Costo por unidad faltante)

La cantidad ptima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3,465 Unidades

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EjemploEl nmero de unidades faltantes es:= 747 Unidades

El costo total estar determinado por:= 21,733.01

El nmero de pedidos por ao es= 4.66

El tiempo entre pedidos es= 0.21530

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADES Este modelo se basa en manejar diferentes costos segn las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definir el precio de los mismos. Algunas empresas usan este modelo de inventario, debido a que sus costos les permiten realizar sus compras de esta forma. El modelo les proporciona costos totales ms bajos, segn sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente grfica se representa este modelo.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADES

Ni = Cantidades a pedir Costo i = Costos de adquirir la cantidad Ni32

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESEn este modelo se realizan descuentos segn la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa que distribuye artculos y sus precios son los siguientes:De 0 10, 001 20, 001 30, 001 A 10, 000 20,000 30, 000 En adelante Costo Unitario $ 5.00 $4.50 $3.00 $2.00

De acuerdo con estos costos, si se desean comprar: de 0 y 10,000 unidades, se tendr un costo de $5.00, entre 10,0001 y 20,000 se tendr un costo de $4.50, de 20,001 y 30,000 se tendr un costo de $3.00 y arriba de 30,001 se tendr un costo de $2.00.33

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESEn la siguiente grfica se presentan los datos antes descritos.

Esto resulta positivo para algunas empresas, que cuentan con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos. Con este tipo de modelo, los costos unitarios de los productos se ven disminuidos, pero los costos de mantener un almacn se pueden incrementar sustancialmente.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESPara realizar el desarrollo con este modelo, se debe estructurar un algoritmo que consta de cuatro pasos, considerando aspectos importantes del mismo. Pasos para la aplicacin de este modelo. Para realizar el desarrollo del algoritmo nos apoyaremos en la siguiente grfica, en donde se representa el modelo.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESPASO 1. El primer paso es, determinar la cantidad ptima a pedir, segn los costos (costo de pedir, costo de mantener, etc.) que maneje la empresa, para cada uno de los intervalos de descuento. Determinar la cantidad ptima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4), de los descuentos. Q = Cantidad ptima D = Demanda del artculo. C1j = Costo unitario del artculo j. C2 = Costo de ordenar un pedido. i = Porcentaje sobre el precio del artculo por mantenimiento en inventario.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADES

Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacn adicional, entonces la ecuacin queda definida de la siguiente forma:

En donde C3 + iC1j ser el costo total de mantener en almacn.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESPASO 2. El segundo paso es, realizar una comparacin de los valores Qj obtenidos, con sus respectivos niveles de precio (C1j). Por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si ste se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1, entonces este valor de Q, se tomar como un valor ptimo. De igual manera se realiza un a comparacin entre Q2 y el intervalo entre N1 y N2. Esta comparacin se realiza para todos los valores de Q obtenidos.38

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESEn caso de que el valor obtenido no se encuentre dentro de este intervalo, la cantidad ptima estar definida por el lmite inferior del intervalo.

En la grfica, el valor de Q2 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 ser su lmite inferior, o sea, Q2 = N1.39

MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADES PASO 3. El tercer paso es, determinar los costos totales para cada uno de los valores ptimos obtenidos anteriormente. El costo total se determina con la siguiente ecuacin.

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MODELO INVENTARIO CON DESCUENTO EN LAS UNIDADESPASO 4. El cuarto paso es, determinar el menor costo total de los costos obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo, ser la cantidad ptima a pedir.

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EjemploDetermine la cantidad ptima a ordenar para una parte que se compra, con las siguientes caractersticas: Uso estimado anual a tasa constante: 10, 000 unidades Costo de procesar una orden: $ 32.00. Intereses anuales, impuestos y seguros como una fraccin del valor de la inversin sobre el inventario promedio: 20 %. El esquema de precios es el siguiente: Cantidad 0 < Q < 1, 000 1,000 < Q < 2, 000 Precio $ 3.50 $ 2.95

2,000 < Q $ 2.00 No se permiten faltantes y el lote se entrega en un embarque.

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EjemploRESOLUCIN.Datos. D = 10, 000 Unidades C2 = $ 32.00 C11 = $ 3.50 C12 = $ 2.95 C13 = $ 2.00 i = 20 % Nota: Cabe hacer mencin que el costo de mantener una unidad en almacn, esta definido por C3 = iC1j.

Representando los costos unitarios proporcionados, tenemos la siguiente grfica.

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EjemploPara iniciar con el desarrollo del problema, seguir el algoritmo antes descrito. PASO 1. Determinar la cantidad ptima a pedir, para cada uno de los costos proporcionados.

Para C11 = $ 3.50 tenemos:

= 956.18

Para C12 = $ 2.95 tenemos: Para C13 = $ 2.00 tenemos:

= 1041.51 = 1264.9144

EjemploCon los datos obtenidos anteriores, determinar las cantidades ptimas que se encuentran dentro del intervalo correcto. Cantidad 0 < Q1 = 956.18 < 1,000 1,000 < Q2 = 1041.51 < 2,000 2,000 < Q3 = 1264.91 Consideracin X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo, su valor quedar definido por el intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.45

EjemploPASO 2. Los datos obtenidos anteriormente, pueden quedar representados en la siguiente grfica.

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EjemploPASO 3.Ahora procederemos a determinar la costo total de los valores ptimos obtenidos anteriormente.

El costo total para el primer valor ptimo obtenido es (Q1 = 956.18): = $ 35, 669.32 El costo total para el segundo valor ptimo obtenido es (Q2 = 1041.51): = $ 30, 114.4847

EjemploEl costo total para el tercer valor ptimo obtenido es (Q3 = 2000)

= $ 20, 560.00

PASO 4.Ahora solo falta determinar el mnimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mnimo es el Costo Total 3, por consiguiente la cantidad ptima a ordenar es Q = 2,000 unidades.

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EjemploEn la siguiente grfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de los costos totales y la determinacin del menor costo.

Como se puede ver en la grfica, el menor costo se produce al pedir 2,000 unidades. Podemos concluir que la cantidad ptima a pedir para este problema, es de 2,000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20,560.00.

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MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEste modelo consiste en manejar el precio unitario del producto, con referencia a la cantidad necesitada. A diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades, ste realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artculos que se encuentran dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo, suponer que tenemos la siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25,000 unidades de cierto producto. De A Costo Unitario 0 10, 000 C11 10, 001 20,000 C12 20, 001 30, 000 C13 30, 001 En adelante C1450

MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEn la siguiente grfica se presentas los costos unitarios de este producto.

Para determinar el costo de 25,000 unidades, se tomarn 10,000 unidades a un costo de C11, 10,000 unidades a un costo de C12 y 5,000 unidades a un costo de C13.51

MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESSe toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios, hasta que se logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en comparacin al modelo de descuentos en todas las unidades, en donde el precio se toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida. Por consiguiente el costo de 25,000 unidades ser: Costo = C11(10,000) + C12(10,000)+ C13(5,000) Para el modelo de descuentos en todas la unidades estara definido de la siguiente manera: Costo = C13(25,000)52

MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEn la siguiente grfica, se muestran el costo que nos representara adquirir una cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que se encuentre entre el intervalo de N0 y N1, la lnea de costo estara definida de la siguiente manera:

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MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESSi la cantidad a adquirir sobrepasar el intervalo de N0 y N1, y se ubicar ahora entre el intervalo de N1 y N2 la lnea de costo estar representada por:

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MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEsto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la siguiente grfica.

Ahora es posible concluir que, el costo no se incrementa linealmente, sino que toma diversos estados con relacin a la cantidad requerida.55

MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEn este modelo se deber determinar la cantidad optima a pedir, con base en los costos unitarios con los que se cuente, es decir, se determinar la cantidad ptima para cada costo unitario. Es necesario tambin definir el costo de adquirir una cantidad Nj, mediante la siguiente ecuacin.

Para adquirir una cantidad N3, el costo de sta se le deber sumar los costos anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se fundamenta el modelo, anteriormente explicadas. El costo ptimo total de un lote de productos, estar definido por la siguiente ecuacin.56

MODELO DE INVENTARIO CON DESCUENTOS INCREMENTALESEl costo total para un periodo de planeacin estar definido por la siguiente ecuacin.

Si a esta ecuacin la derivamos con respecto a Q, obtendremos la ecuacin para determinar la cantidad ptima a pedir.

En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacn adicional, entonces la ecuacin es la siguiente:

En donde C3 + iCj ser el costo total de almacn.

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EjemploDetermine la cantidad ptima a ordenar para un artculo a comprar, que tiene las siguientes caractersticas: Uso estimado anual a tasa constante: 120,000 unidades Costo de procesar una orden: $ 800.00 Intereses anuales, impuestos y seguros como una fraccin del valor de la inversin sobre el inventario promedio: 10 %. El costo de mantener es de: $ 6.00. El esquema de precios es el siguiente: Cantidad 0 < Q < 10,000 10,000