INVESTIGACIN DE OPERACIONES I

PROGRAMA DE ESTUDIOObjetivoFamiliarizar al alumno con las tcnicas de modelamiento y metodologas de resolucin de problemas de la Investigacin de operaciones, con especial nfasis en la aplicacin de algoritmos de solucin para modelos de programacin matemtica, en especial modelos lineales ContenidoIntroduccin Investigacin de operaciones Modelos matemticos Programacin Lineal ProgramacinLineal Formulacin de modelos Mtodos Grfico Mtodo Simplex Problema Dual y Anlisis de Sensibilidad Programacin Entera, Binaria y Mixta

INVESTIGACION DE OPERACIONESPROGRAMA DEL CURSODESCRIPCIONEl curso trata principalmente sobre la aplicacin de los modelos usuales de Investigacin de Operaciones en la solucin de problemas reales, tales como modelos de Programacin Lineal, Entera, Binaria y MixtaOBJETIVOSAplicar modelos cuantitativos en la resolucin de problemas lineales.Optimizar soluciones usando la Investigacin de Operaciones.

METODOLOGAClases expositivas para conceptos tericos con discusiones sobre cada tema.Practicas en laboratorio, donde se conocern diversos software de apoyo a la Investigacin de Operaciones.

BIBLIOGRAFIATAHA HAMDY A. Investigacin de operaciones. PEARSON. 9 Ed. 2010HILLIER, FREDERICK Y LIEBERMAN, GERALD: Introduccin a la Investigacin de Operaciones, McGraw Hill InteramericanaWINSTON WAYNE L.: Investigacin de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamericana.DAVIS K ROSCOE y MC KEOWN Patrick. Modelos Cuantitativos para Administracin. Grupo editorial Iberoamerica. 2 Ed. 1986. PRAWDA, Juan. Mtodos y modelos de Investigacin de operaciones. Limusa.JORGE ALVAREZ ALVAREZ, Investigacin de Operaciones, Universidad Nacional de Ingeniera, Edicin 2001

INVESTIGACION DE OPERACIONESDefinicin:Conjunto de tcnicas matemticas y estadsticas aplicable a diversos sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de accin; esto mediante el modelamiento matemtico de los problemas en estudio.

Kamblesh Mathur: Es el uso de la Matemtica y computadoras para ayudar a tomar decisiones racionales frente a problemas de administracin.

Jorge Alvarez: Es un procedimiento o un enfoque para resolver problemas relacionados con la toma de decisiones.

Resumiendo: La Investigacin de Operaciones es el uso de la matemtica e informtica para resolver problemas del mundo real, tomando decisiones acertadas que garanticen el xito.Qu es la investigacin de operaciones?

Qu es la investigacin de operaciones?Lawrence y Pasternak, (1998) Es un enfoque cientfico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en:

El arte de modelar situaciones complejas,La ciencia de desarrollar tcnicas de solucin para resolver dichos modelos.La capacidad de comunicar efectivamente los resultados.

TOMA DE DECISIONESToda toma de decisin empieza con la deteccin de un problema.Definir el problema en forma claraIdentificar las restriccionesIdentificar las alternativas de solucinFormular el o los objetivosEvaluar las alternativas y elegir la mejorPara tomar la decisin correcta, se debe:

TOMA DE DECISIONESComo se elige la mejor alternativa?Mtodos CualitativosMtodos CuantitativosEn base a la experiencia y al juicio profesional de la persona que toma la decisinEn base a la utilizacin de herramientas matemticas que permitan maximizar la efectividad en la toma de decisiones.

INVESTIGACIN DE OPERACIONESLa dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la bsqueda de una herramienta o mtodo que le permita tomar las mejores decisiones de acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue.

Este conjunto de herramientas o mtodos es lo que llamaremos Investigacin de Operaciones. Enfoque cientfico de la toma de decisiones que requiere la operacin de sistemas organizacionales.Definicin ms formalLa IO nos ofrece una serie de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones.

INVESTIGACIN DE OPERACIONESPara la aplicacin de la IO se siguen los siguientes pasos: La IO comienza con la observacin cuidadosa de la realidad.

Formular el problema.

Construir un modelo que intente abstraer la esencia del problema real.

Solucin del modelo.

Anlisis de sensibilidad, hay que ver como se comporta el modelo ante cambios en las restricciones y/o parmetros del modelo

Implementar los resultados, se debe interpretar los resultados y dar conclusiones y cursos de accin para la optimizacin del problema real

MODELOS DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Modelos de IOProgramacin LinealMtodosClsicosDeterminsticosHbridosEstocsticosTransporte yAsignacinProg Enteray 0,1RedesOptimizacin LinealOptimizacin no LinealMtodosde bsquedaProgramacin no linealProgramacinDinmicaTeora de InventariosSimulacinPert / CPMHeursticasCadenas de MarkovTeora de ColasProcesosEstocsticosTeora de Decisionesy Juegos

Qu se busca en el curso de Investigacin de Operaciones?

Se intenta encontrar una mejor solucin llamada solucin ptima.

Areas de Aplicacin de la Investigacin de Operaciones

Manufactura.Transporte.Telecomunicaciones.Salud. Planeacin.Servicios.Finanzas.Otros.

Proceso: Conjunto de actividades que crean una salida o resultado a partir de una o ms entradas o insumos.

Sistema: Un conjunto de elementos interconectados utilizados para realizar el proceso. Incluye subprocesos pero tambin incluye los recursos y controles para llevar a cabo estos procesos.

En el diseo de procesos nos enfocamos en QU se ejecuta.

En el diseo del Sistemas el nfasis est en los detalles de CMO, DNDE Y CUNDO.SISTEMAS V/S PROCESOS

SISTEMAS V/S PROCESOS

Problema

Es identificar, comprender y describir en trminos precisos, el problema que la organizacin enfrenta. El enunciado es la definicin del problema. Un problema no se formula sino se define.Cada vez es ms difcil asignar los recursos o actividades de la forma ms eficazLos recursos son escasosLos sistemas son cada vez ms complejosMETODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificacin de los modelos segn la Investigacin OperacionesModelo MatemticoEs aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a travs de relaciones matemticas y supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por ende tiene una solucin optima.

Modelo de SimulacinEs un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo dado, esta basado en observaciones estadsticas. Este tipo de modelo entrega soluciones aproximadas.

Modelo HeursticoEs una regla intuitiva que nos permite la determinacin de una solucin mejorada, dada una solucin actual del modelo, generalmente son procedimientos de bsqueda. Este tipo de modelo tambin entrega soluciones aproximadas.

INVESTIGACION DE OPERACIONESEl Arte del ModeladoLa Investigacin de Operaciones debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.Una ciencia por el uso de tcnicas matemticas para la resolucin de los problemas.Un arte ya que la formulacin del modelo depende en gran parte de la creatividad y la experiencia de las operaciones del equipo investigador.

ELEMENTOS PARA FORMULACIN DE PROBLEMASHabilidad para describir el diseo en trminos matemticos

VariablesParmetrosFunciones

VARIABLES DE DISEOLos valores del conjunto de estas variables caracterizan un diseo particular

Cambian en un determinado rango a medida que buscamos el diseo ptimo

Son las incgnitas del problemaTamao de un objeto, nmero de objetos,

Deben ser linealmente independientes

VARIABLES DE DISEOEl conjunto de variables de diseo se identifica como vector de diseo

Nomenclatura [ X ] X x [x1, x2, , xn] xi, i = 1,2,,n

PARMETROS DE DISEOConstantes que no cambian para los diferentes diseos

Importantes en modelo pero no en la bsqueda del diseo ptimo

Nomenclatura: [ P ] P [p1, p2, , pq]

FUNCIN OBJETIVOProblema: Minimizar o maximizar cierta cantidad que se calcula con una funcin

Un problema de maximizacin se puede convertir en uno de minimizacin sin ms que cambiar el signo de la funcin objetivo

Nomenclatura: f f(x1, x2, , xn) o f(X)

RESTRICCIONESComparacin con un valor numrico que limita

Tipos: De igualdad: = De desigualdad: ,

Ejemplo 1 Volumen de la lata: fun1(X) = 500 cm3

Ejemplo 2 Deflexin: fun2(X) 1 mm

RESTRICCIONESSi las restricciones no se cumplen No hay solucin

Diseo factible Todas las restricciones se satisfacen

Un diseo ptimo debe ser factible

El espacio definido por las restricciones se llama dominio factible

FORMATO ESTNDARMinimizar f(x1, x2, , xn)

Sujeto a hk(x1, x2, , xn) = 0, k=1,2,,l gj (x1, x2, , xn) 0, j=1,2,,m xil xi xiu, i=1,2,,n

Lenguaje natural Minimizar la funcin objetivo f, sujeto a 1 restricciones de igualdad, m restricciones de desigualdad, con n variables de diseo comprendidas entre unos lmites inferior y superior

MODELADO EJEMPLO 1Variables de diseo: d, hParmetro de diseo: C (coste del material por unidad rea)Volumen = d2h/4rea = dhRestriccin esttica: h2dhd

MODELO EJEMPLO 1Minimizar f(d,h): CdhSujeto a h1(d,h): d2h/4 500 = 0 g1(d,h): 2d h 0 6 d 9;5 h 20

Minimizar f(x1,x2): Cx1x2Sujeto a h1(x1,x2): x12x2/4 500 = 0 g1(x1,x2): 2x1 x2 0 6 x1 9;5 x2 20

Desarrollo de un modelo matemtico Es la traduccin del problema a trminos matemticos.

Es formular un modelo matemtico:Identificando variablesIdentificando la Funcin Objetivo Identificando las restricciones

Objetivos: funcin objetivoalternativas: variables de decisinlimitaciones del sistema: restricciones

METODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESI) Identificacion de las variablesXij = # de consultores que viajan del origen i al destino jII) Identificacion de la funcion objetivoMax 540X11+300X12+420X13+500X21+330X22+330X23+520X31+310X32+350X33III) Identificacion de las restriccionesX11+X12+X13 2X21+X22+X23 1X31+X32+X33 4X11+X21+X31 = 3X12+X22+X32 = 2X13+X23+X33 = 1Xij 0 ; entero

Desarrollo de un modelo matemtico

Paso 1. Identificar las variables de decisinSobre qu tengo control?Qu es lo que hay que decidir?Cul sera una respuesta vlida del caso?

Paso 2. Identificar la funcin objetivoQu pretendemos conseguir?qu me interesara ms?

Paso 3. Identificar las restricciones o factores que limitan la decisin, recursos disponibles (trabajadores, mquinas, material), fechas lmite, naturaleza de las variables (no negatividad, enteras, binarias).

Paso 4.Traduccin de los elementos bsicos a un modelo matemtico.METODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Resolucin del modelo

Es resolver el modelo usando una tcnica adecuada, es decir obtener valores numricos para la variable de decisin.

Es determinar los valores de las variables de decisin de modo que la solucin sea ptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones.

Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos. En esta parte se usa el Software WIN QSB. Hay otros como el LINDO, MLP y TORA

METODOLOGA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Un mtodo ptimo para lograr un objetivo.Una forma de evaluar preguntas de sensibilidad de la forma: Qu sucedera s ...?VENTAJA DE LOS MODELOS

EL MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA

Es un Arte que mejora con la prctica

PRACTIQUEMOS!

Hoy en da, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada ms complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologas para la formulacin matemtica de estos problemas y, conjuntamente, de mtodos y herramientas de resolucin, como los que provee la Investigacin de Operaciones.

FORMULACION DE UN PROBLEMA PROGRAMACIN LINEALLa Programacin Lineal es una herramienta para resolver problemas de optimizacin que se caracterizan por tener como funcin objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de decisin. Funcin Objetivo: Max o Min (Z) = C X

Sujeto a : A X B Xi 0 ; i = 1, 2,...., nConceptos Bsicos: Variables de Decisin Funcin Objetivo Restricciones Restricciones de SignoConsideremos los siguientes ejemplos para describir los conceptos bsicos presentes en todo problema de programacin lineal (PPL)

CONSTRUCCIN DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEALEjemplo N 1La Compaa PARGOLF es un pequeo fabricante de equipo y suministros para golf. El distribuidor de PARGOLF cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, denominada modelo estndar, como para una bolsa de precio elevado, denominada modelo de lujo. El distribuidor est tan confiado en el que, si PARGOLF puede hacer las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor comprar todas las bolsas que PARGOLF pueda fabricar durante los siguientes tres meses. Un anlisis cuidadoso de los requerimientos de tiempo de produccin para las cuatro operaciones de manufactura y la estimacin hecha por el departamento de contabilidad de la contribucin a la ganancia por bolsa.

El director de manufactura estima que dispondrn de 630 horas de tiempo de corte y teido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspeccin y empaque para la produccin de bolsas de golf durante los siguientes tres meses.Si la compaa desea maximizar la contribucin a la ganancia total, Cuntas bolsas de cada modelo debera fabricar?b) Cuntas horas de tiempo de produccin se programaran para cada operacin?c) Cuntas horas de tiempo de ocio se tendrn en cada operacin?

Formulacin:Variable de decisin:Xi = Nmero de bolsas de modelo i a fabricar por trimestre i = 1, 2Objetivo:Maximizar: Ganancia/trimestreRestricciones:Tiempo disponible por trimestre Corte y teidoCorte AcabadoCondiciones tcnicas.X1, X2 > 0Inspeccin y empaque

Modelo Matemtico de Programacin Lineal:Mx: GananciaMax. (Z) = 1.42X1 + 1.43X2Sujeto a:7/10X1 + X2 < 630 Corte y teido 1/2X1 + 5/6X2 < 600 Costura X1 + 2/3X2 < 708 AcabadoX1, X2 > 0S/.Trimestre =BolsaTrimestreHoraBolsaBolsasTrimestre= 1/10X1 + 1/4X2 < 135 Inspeccin y empaque

Ejemplo N 2: El problema de la industria de juguetes Galaxia. Galaxia produce dos tipos de juguetes:* Space Ray* Zapper

Los recursos estn limitados a:* 1200 libras de plstico especial.* 40 horas de produccin semanalmente.

Requerimientos de Marketing.

* La produccin total no puede exceder de 800 docenas.* El nmero de docenas de Space Rays no puede exceder al nmero de docenas de Zappers por ms de 450.

Requerimientos Tecnolgicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plstico y 3 minutos de produccin por docena.* Zappers requiere 1 libra de plstico y 4 minutos de produccin por docena.

Plan comn de produccin para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad por docena).* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por docena).

Solucin Variables de decisin

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana).* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana).

Funcin objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.

Modelo de Programacin Lineal

Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:2X1 + 1X2 1200 (Cantidad de plstico)3X1 + 4X2 2400 (Tiempo de produccin) X1 + X2 800 (Limite produccin total) X1 - X2 450 (Produccin en exceso) Xj 0, j = 1, 2. (Resultados positivos)

El plan comn de produccin consiste en:Space Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenas

Utilidad = S/. 4900 por semana

EJEMPLO N 3Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse con el fin de maximizar los beneficios.El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformacin o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.

X1 = N de unidades de producto P1 X2 = N de unidades de producto P2Entonces el programa lineal correspondiente es:Max (Z) = 4X1 + 3X2Sujeto a : 1X1 + 3X2 15,000 2X1 + 1X2 10,000 2X1 + 2X2 12,0001X1 + 1X2 10,000 X1, X2 0

EJEMPLO N 4En una fbrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de S/. 0.5 / litro y S/. 0.3 / litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5,000 y 2,000 soles de materias primas por cada 10,000 litro.

La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10,000 soles para materias primas, y desea maximizar su beneficio. Cuntos litros debe producir?

FORMULACIN

Ejemplo N 5 Una mueblera produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27.000 y se requiere $10.000 en materiales para su construccin, adems, el costo unitario por mano de obra es de $14.000. En el caso de las sillas, el precio de venta es de $21.000 y los costos de materiales y mano de obra son $9.000 y $10.000 respectivamente.

La fabricacin de cada producto requiere de dos labores: carpintera y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpintera y 2 de terminaciones, mientras que la silla requiere de 1 hora en cada labor.Cada semana, la mueblera puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpintera. La demanda por mesas no est limitada, mientras que la demanda por sillas es de 40 unidades.

Formule un modelo matemtico que permita maximizar las utilidades de la mueblera.

FormulacinVariables de decisin: Se debe comenzar definiendo las variables de decisin relevantes. En un PPL las variables de decisin deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan ser tomadas y todas las variantes que existan.Antes de definir las variables de decisin es importante definir las unidades involucradas en el problema.

En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda semanal. De acuerdo a ello, una buena opcin para definir las variables de decisin consiste en asociar las variables al nmero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos definir: X1 = Nmero de mesas producidas por semana.X2 = Nmero de sillas producidas por semana.

Funcin Objetivo: En un PPL, se debe tomar la decisin de maximizar (usualmente las utilidades) o de minimizar (usualmente los costos) cierta funcin de las variables de decisin. En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de X1 o X2 por lo tanto basta concentrarse en maximizar la diferencia entre:La funcin que se va a optimizar se llama Funcin Objetivo y en ella no aparece ningn trmino independiente o constante. Los valores de las variables de decisin son independientes de cualquier constante.Ingresos Semanales Costos de Materiales Costos por mano de obra

Luego se deben expresar los trminos anteriores en funcin de las variables de decisin X1 y X2.Por lo que la funcin objetivo queda (expresada en miles de $):(27X1 + 21X2) (10X1 + 9X2) (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2 As, el objetivo de la mueblera es escoger los valores X1 y X2 tal que se maximice 3X1 + 2X2 Denotando por Z el valor de la Funcin Objetivo para cualquier Problema de Programacin Lineal, la funcin de la mueblera es:Max Z = 3X1 + 2X2 El coeficiente que acompaa a cada variable en la Funcin Objetivo se denomina coeficiente en la funcin objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable.

Restricciones: En las medidas que las variables crecen, la Funcin Objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si se pudiera escoger arbitrariamente el valor de la variables, la mueblera podra hacer crecer el valor de sus utilidades en forma infinita. En la prctica esto no es posible y en el ejemplo el valor que toman las variables est limitado por las siguientes 3 restricciones: Mximo 100 horas semanales para terminaciones. Mximo 80 horas semanales para carpintera. Produccin mxima de 40 sillas semanales.Luego, el prximo paso consiste en formular matemticamente las restricciones anteriores en funcin de las variables de decisin.

Para formular la primera restriccin en funcin de las variables X1 y X2 observamos que: Hrs. terminaciones x mesa + hrs. terminaciones x silla hrs. disponibles para terminacinPor lo que la restriccin queda: 2X1 + X2 100Es importante notar que todos los valores en la expresin anterior son por semana, ya que las variables de decisin se han escogido con esa referencia.

Anlogamente la segunda restriccin queda: X1 + X2 80Finalmente, la tercera restriccin slo limita el valor de la variable X2X2 40Restricciones de Signo: Para completar la formulacin del modelo es importante definir si existe alguna restriccin de signo para cada variable de decisin.

Si una variable de decisin Xi debe cumplir condiciones de NO NEGATIVIDAD, debemos agregar la siguiente restriccin:Xi 0

Si la variable de decisin Xi puede asumir valores positivos o negativos se dice que Xi no tiene restriccin de signo (SRS).Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matemtico para este problema de optimizacin, quedando de la siguiente forma: En el ejemplo ambas variables de decisin se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son no negativas. Sin embargo, en otros ejemplos las variables pueden ser SRS, por ejemplo en el caso de que Xi se refiere al saldo de alguna cuenta.

Definicin de variables:X1: nmero de mesas producidas por semana.X2: nmero de sillas producidas por semana.Funcin Objetivo:Max Z = 3X1 + 2X2 Sujeto a: 2X1 + X2 100 Horas disponibles para terminaciones por semana X1 + X2 80 Horas disponibles para carpintera por semana X2 40 Produccin mxima de sillas por semana Xj 0 j = 1 y 2 No negatividad

Sujeto a: . . . . . . . . . . . . . . . X1,2,.....n > 0Variables de decisinCoeficientes objetivoCoeficientes tecnolgicosCoeficientes recursoCondiciones tcnicas o No negatividadMODELO GENERAL DE PROGRAMACIN LINEALnnXCXCXCMax(Z)Optimizar+++=......2211222221211),,(.....bXaXaXann=+++

Donde el vector c tambin conocido como el vector costos, viene dado por:

El vector de lado derecho o b, viene dado por:

Este es un vector columna, que representa los recursos de las m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano derecha de cada una de las m ecuaciones.

La matriz A, representa los coeficiente tecnolgicos; es la matriz para el sistema de ecuaciones Ax = b:

El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda representado por:

EL MODELO DE P.L.Z: funcin objetivoC (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f. o.X (x1,...,xn): vector de variables de decisinA (...,aij,...): matriz de coeficientes tcnicosb (b1,...,bm): vector de demandas

Matricialmente,

Optimizacin Max o Min = CXS.A.AX bx 0Forma cannica

Problema N 3Variables de DecisinX1 = Cantidad de Manteles comprados (slo se puede comprar el primer da).X2 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rpido el primer da.X3 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio normal el primer da.X4 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rpido el segundo da.

Restricciones.a) Satisfaccin de la necesidad de manteles al primer da X1 40b) Satisfaccin de la necesidad de manteles al segundo da. (X1 40) + X2 60 X1 + X2 100c) Satisfaccin de la necesidad de manteles al tercer da. (X1 40) + X2 60 + X3 + X4 70 X1 + X2 + X3 + X4 170d) El nmero de manteles mandados a lavar el primer da, puede a l o mas ser igual al nmero de manteles usados ese da. X2 + X3 40e) El nmero de manteles mandados a lavar hasta el segundo da, puede a lo mas ser igual al nmero de manteles usados hasta ese da. X2 + X3 + X4 40 + 60 X2 + X3 + X4 100f ) No negatividad. X1, X2, X3, X4 0

Funcin ObjetivoMin (Z) = 20X1 + 15X2 + 8X3 + 15X4

Problema N 4Variables de DecisinX1 = numero de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albndigas.X2 = numero de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albndigas. RestriccionesCada libra de albndigas tendr 0.20 X1, libras de grasa provenientes de la carne de res y 0.32 X2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total de grasa de una libra de albndigas no debe ser mayor de 0.25 libras. Entonces: 0.20X1 + 0.32X2 0.25 El nmero de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de albndigas debe sumar 1; entonces: X1 + X2 = 1Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, as que hay dos restricciones de no negatividad: X1 0 y X2 0. Funcin Objetivo Min (Z) = 80X1 + 60X2

Problema N 5Variables de decisinX1: Unidades de A producidas en totalX2: Unidades de B producidas en totalX3: Unidades de C producidas en totalX4: Unidades de A vendidasX5: Unidades de B vendidas

Funcin ObjetivoMax (Z) = 700 X4 + 3,500 X5 + 7,000 X3

RestriccionesSujeto a:X1 + 2X2 + 3X3 40X1 = X4 + 2X2X2 = X5 + X3X1, X2, X3, X4, X5 0

Problema N 7

La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compaas de servicios electrnicos: aisladores de aplicacin general, de aplicacin especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a travs de tres operaciones de produccin en la planta de la D & M: horneado, lavado y laminado y pulimiento. Slo existe disponible de una mquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de produccin (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operacin se muestran en tabla N 02. Los costos de las materias primas asociados con la fabricacin de los aisladores son de S/. 5 (aplicacin general), S/. 6 (aplicacin especial) y S/. 10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas operaciones de produccin son: S/. 250 (horneado), S/. 200 (lavado y laminado), y S/. 100 (pulimiento). Los precios unitarios de venta son S/. 25,00, S/. 39.75 y S/. 67.50 para los tres productos respectivamente. A la compaa le gustara asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora.

Solucin

X1: Nmero de unidades por hora de aisladores de aplicacin general que se fabricaranX2: Nmero de unidades por hora de aisladores de aplicacin especial que se fabricaranX3 Nmero de unidades por hora de aisladores de alto voltaje que se fabricaran

Maximizar utilidades por hora para la planta, donde la funcin Z son unidades totales, expresadas en soles por hora: X1, X2 y X3 se expresan en unidades por hora.

Max (Z) = 6 X1 + 7.5 X2 + 17.5 X3

Sujeto a:0.02 X1 + 0.025 X2 + 0.04 X3 10.025 X1 + 0.05 X2 + 0.10 X3 10.04 X1 + 0.01 X2 + 0.10 X3 1 X1 , X2 X3 0

A. Aplicacin General

A. Aplicacin Especial

A. Aplicacin Alto Voltage

Precio de Venta

Costo de Operacin

Horneado

Lavado y Laminado

Pulimiento

Costo de Materiales

Costo Unitario Total

Utilidad Unitaria

25

5

5

4

5

19

6

39.75

6.25

10.00

10.00

6.00

32.25

7.50

67.50

10

20

10

10

50

17.50

Problema N 11Una compaa fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturn A es de alta calidad, y el cinturn B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturn es de S/. 0.40 y S/. 0.30. Cada cinturn de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compaa podra fabricar 1000 da, el abastecimiento de piel es suficiente nicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturn A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene nicamente 700 hebillas al da para el cinturn B. Establezca las ecuaciones de programacin lineal para el problema.

Tipo de cinturn GananciaDisponibilidad S/. / Cinhebillas/daA 0.4 400B 0.3 700

Xi: Nmero de cinturones producidos por da del tipo i; donde i = A, BtA = 2tB

FUNCIN OBJETIVO: Max (Z) = 0.4 XA + 0.3 XBSujeto a:2 XA + XB 1,000 XA + XB 800 XA 400 XB 700 XA, XB 0

Problema N 8MUEBLES DESK Compaa, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de muebles de escritorio: ejecutivos y secretariales. La compaa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta ms nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla N 03 muestra el tiempo de produccin (en horas por unidad) y los costos estndar (en soles por unidad) en cada planta.

La compaa ha competido con xito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compaa tendr que reducir el precio de los escritorios secretariales a S/. 275 con el objetivo de estar en posicin competitiva. La compaa ha estado experimentando exceso de costos en las ltimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restriccin presupuestaria semanal sobre los costos de produccin. El presupuesto semanal para la produccin total de escritorios ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustara determinar cual es el nmero de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.

TABLA N 03

Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compaa

Tiempo de produccin

Costo estndar

(Horas/unidad)

(Soles/unidad)

Planta 1 Planta 2

Planta 1 Planta 2

Escritorios ejecutivos 7.0

6.0 250 260

Escritorios secretariales 4.0

5.0

200 180

Solucin1.No se dispone de ms de 80 horas para la produccin combinada de escritorios en la planta 1.2.No se dispone de ms de 50 horas para la produccin combinada de escritorios en la planta 2.3.Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder S/. 2,000.4.Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder S/. 2,200.

X1: Nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1X2: Nmero de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1X3: Nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2X4: Nmero de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2

C1 = 350 250 = S/. 100 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P1C2 = 275 200 = S/. 75 Escritorio secretarial que se fabrica en la P1C1 = 350 260 = S/. 90 Escritorio ejecutivo que se fabrica en la P2C4 = 275 180 = S/. 95 Escritorio secretarial que se fabrica en la P2

Funcin Objetivo: Max (Z) = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4

Sujeto a:Limitacin del tiempo de produccin en la planta 1 (80 horas)7 X1 + 4 X2 80Limitacin del tiempo de produccin en la planta 2 (50 horas)6 X3 + 5 X4 50Restriccin de costos de los escritorios ejecutivos250 X1 + 260 X3 20004.Restriccin de costos de los escritorios secretariales200 X2 + 180 X4 2200 X1 , X2,, X3, X4 0

Problema N 10Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B, y C. Los combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes mximo y mnimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla N 1.

La provisin de los tres grados de aguardientes bsicos, junto con sus costos se presente en la tabla N 2.TABLA N 2 DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTETABLA N 1 ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS

Indique cmo se obtiene la primera matriz en un modelo de programacin lineal de una poltica de produccin que haga mxima la ganancia.

AGUARDIENTEMAXIMA CANTIDADDISPONIBLEBOTELLAS POR DIACOSTO POR BOTELLAA2000S/. 7.00B2500S/. 5.00C1200S/. 4.00

MEZCLAESPECIFICACIONPRECIO POR BOTELLASper FuerteNo menos de 60% de ANo mas de 20% de CS/. 6.80FuerteNo ms de 60% de CNo menos de 15% de AS/. 5.70Menos Fuerte No ms de 50% de CS/. 4.50

SolucinX11 : Cantidad de A usada para el super fuerteX21 : Cantidad de B usada para el super fuerteX31 : Cantidad de C usada para el super fuerteX12 : Cantidad de A usada para el fuerteX22 : Cantidad de B usada para el fuerteX32 : Cantidad de C usada para el fuerte

Max (Z) = 6.80 (X11 + X21 + X31) + 5.7 (X12 + X22 + X32) [ 7(X11 + X12) + 5(X21 + X22) + 4(X31 + X32)]Sujeto a:X11 + X12 2,000X21 + X22 2,500 DisponibilidadX31 + X32 1,200

X11 0.60 (X11 + X21 + X31) X31 0.20 (X11 + X21 + X31)

X32 0.60 (X12 + X22 + X32)X12 0.15 (X12 + X22 + X32)Xij 0 : i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2

Problema N 9Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm., si dicha empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20 cm., cual debe ser el programa que debe seguir para minimizar desperdicios sabiendo que el mximo debe ser de 140 cm3.

Solucin

2

3

3

2

1

1

2

2

2

3

4

1

3

4

3

2

2

2

1

2

2

2

1

3

3

3

2

2

2

2

4

1

1

X1

X2

X3

20

7

5

140 cm3 = 7 cm2 20 cm350 2 x 4 x 20 200 2 x 3 x 20 Xi = cantidad de barras a obtenerse en la modalidad de corte iMin (Z) = 100 X1 + 60 X2 + 140 X3 X1 X2 X32 x 4 x 200122 x 3 x 20542Sujeto a: X2 + 2 X3 350 5 X1 + 4 X2 + 2 X3 200 X1, X2, X3 0

Problema N 12X1 = toneladas de mineral 1 en el moldeX2 = toneladas de mineral 2 en el molde Mineral 1Mineral 2Hierro forjado 60% 13%Plomo 10% 3%Min (Z) = 260 X1 + 80 X2Sujeto a: 0.60 X1 + 0.13 X2 0.20 (X1 + X2) 0.10 X1 + 0.03 X2 0.05 (X1 + X2) X1, X2, 0

Mineral N 1

Mineral N 2

Problema N 13Un fabricante de lminas metlicas recibe un pedido para producir 2000 lminas de tamao 2 x 4 y 1000 lminas de tamao 4 x 7. Se dispone de dos lminas estndar de tamao 10 x 3000 y 11 x 2000. El personal del departamento de ingeniera decide que los tres siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de programacin lineal.

SolucinLminas 2 x 4 2,000 10 x 3,000 4 x 7 1,000 11 x 2,000

Xij = Cantidad de patrones i utilizado para cortar en la lmina jSujeto a:2 x 4 1 X11 + 5 X31 + 2 X22 + 5 X32 2,0004 x 7 1 X11 + 0 X31 + 1 X22 + 0 X32 1,000 X11 + X31 3,000/4 X22 + X32 2,000/4 X11, X31, X22, X32 0Min (Z) = Min (Z) = 4 X11 + 0 X31 + 0 X22 + 4 X32

750 para cotar500 para cotar

2

2

7

4

1

2

3

3

Problema N 14El Real Hotel opera los 7 das a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 das consecutivos y descansar 2 das. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Real hotel requiere como mnimo las horas de servicio.Lunes 150, Martes 200, Mircoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sbado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programacin de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mnimo.

Formule este problema como un modelo de programacin lineal.

Solucin

L

Ma

Mi

J

V

S

D

L

Ma

Mi

J

V

S

D

L

Ma

Mi

J

XL

XMa

XMi

XJ

XV

XS

XD

XL

XMa

XMi

XJ

XV

XS

XV

Continuacin..Xi = Nmero de mucamas que empiezan a trabajar el da i durante cinco dias consecutivos

XJ + XV + XS + XD + XL 150 / 6 XV + XS + XD + XL + XMa 200 / 6 XS + XD + XL + XMa+ XMi 400 / 6 XD + XL + XMa+ XMi+ XJ 300 / 6 XL + XMa+ XMi+ XJ + XV 700 / 6 XMa+ XMi+ XJ + XV +XS 800 / 6 XMi+ XJ + XV +XS + XD 300 / 6XL , XMa, XMi, XJ , XV , XS , XD 0

Min (Z) = XL + XMa+ XMi+ XJ + XV + XS + XD

Problema N 15La Compaa XYZ produce tornillos y clavos. La materia Prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento N 1 y tres en el departamento N 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento N 1 y 2 horas en departamento N 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2. Si ambos productos se venden a S/. 18, y el nmero de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos son de 160 y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades.

DPTO 1

DPTO 2

MATERIA PRIMA

JORNAL

PRECIO

Clavos

2 hrs.

3 hrs.

S/. 2 / unid

S/. 2 / hora

S/. 18 / unid.

Tornillo

4 hrs.

2 hrs.

S/. 2.5/unid.

S/. 2 / hora

S/. 18 / unid

Disponibilidad

160 hrs./sem.

180 hrs./sem.

SolucinX1 : unidades de clavos a producirse por semanaX2 : unidades de tornillos a producirse por semana

Max (Z) = 18(X1 + X2) [10 X1 + 2 X1 + 12 X2 + 2.5 X2]Sujeto a:2 X1 + 4 X2 1603 X1 + 2 X2 180 X1 , X2 0

Problema N 16A un estudiante de Ingeniera de Sistemas se le pidi que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pens que sera una excelente idea que el husped se emborrache. Se le dio al estudiante S/. 50, adems saba que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre beba menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de whisky y martn.Los precios de la bebida eran:Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vasoWhisky S/.2 el vaso, Martini S/. 4 el vasoEl estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohlico durante los 90 minutos que tena que entretener a su husped. Logro que un amigo qumico le diese el contenido alcohlico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohlicas por un vaso de cerveza, ginebra, whisky y martn, 17, 15 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre beba un mnimo de 2 whiskys.Cmo resolvi el estudiante el problema?

SolucinXi : Nmero de vasos del tipo ii = 1, 2, 3, 41 = Cerveza2 = Ginebra3 = Whisky4 = Martini

Maz (Z) = 17 X1 + 15 X2 + 16 X3 + 7 X4

Sujeto a :

1 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 50 X1 8 X2 10 X3 12 X3 2 X4 2415 X1 + 6 X2 + 7 X3 + 4 X4 90 X1 , X2 , X3 , X4 0

Problema N 16Xi : cantidad de unidades del tipo i a ser fabricados para ser vendidos a la semanai : 1, 2, y 31 = vlvula globo2 = vlvula aguja3 = mdulo

Max (Z) = 10 X1 + 20 X2 + 60 X3Sujeto a: 10X1 + 15X2 + (25 + 2 x 10)X3 25,000 5X1 + 5X2 + (10 + 2 x 5) X3 15,000 5X1 + 5X2 + 10 X3 45,000 5X2 + 10 X3 45,000 5X2 + 20 X3 45,000 X3 200 X1, X2 , X3 0

Problema N 17Un fabricante de muebles desea determinar cuantas mesas, sillas, escritorios y libreros debe fabricar para optimizar el uso de los recursos disponibles. En estos productos se utilizan dos tipos de madera diferente y tienen en existencia 1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo total cuenta con 800 horas hombre.

Su pronstico de ventas ms sus rdenes pendientes de entrega hacen necesario fabricar no ms de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies respectivamente del primer tipo de madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una mesa requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2 horas/hombre, 5 horas/hombre un escritorio y 10 horas/hombre el librero.El fabricante obtiene una utilidad de S/. 12 por mesa, S/. 5 por silla, S/. 15 por escritorio y S/. 10 por librero.Formular como un problema de programacin lineal.

SolucinX1: Cantidad de mesas a fabricarseX2: Cantidad de sillas a fabricarseX3: Cantidad de escritorios a fabricarseX4: Cantidad de libreros a fabricarse

Max (Z) = 12 X1 + 5 X2 + 15 X3 + 10 X4

Sujeto a: 5 X1 + 1 X2 + 9 X3 + 12 X4 1,500 2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + 1 X4 1,000 3 X1 + 2 X2 + 5 X3 + 10 X4 800 X1 40 X2 130 X3 30 X4 10 X1,,, X2, X3, X4 0

Mesas

Sillas

Escritorios

Libreros

Disponibilidad

M. Tipo I (pies)

5

1

9

12

1,500

M. Tipo II (pies)

2

3

4

1

1,000

Horas-Hombre

3

2

5

10

800

Utilidad S/. / unid.

12

5

15

10

Demanda

40

130

30

10

Problema N 18PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presin mxima de vapor aceptable y el octanaje mnimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en siguiente cuadro:

Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las caractersticas de las gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro:

PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina normal por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compaa le gustara determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades.

Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU

Octanaje

Presin

Precio

Gasolina

mnimo

mxima

de venta

de vapor

(por barril)

Normal

80

9

S/. 21

Extra

100

6

S/. 24

Caractersticas de la gasolina base: PETROPERU

OctanajePresin Disponibilidad

Costo por

Gasolina

de vapormxima

barril

base

(barriles)

Tipo 1

108

4

32,000

S/. 22

Tipo 2

90

10 20,000

S/. 20

Tipo 3

73

5

38,000

S/. 19

SolucinX1N: Nmero de barriles de gasolina base tipo I que se utiliza para fabricar gasolina normal.X2N: Nmero de barriles de gasolina base tipo 2 que se utiliza para fabricar gasolina normal.X3N: Nmero de barriles de gasolina base tipo 3 que se utiliza para fabricar gasolina normal.X1E: Nmero de barriles de gasolina base tipo I que se utiliza para fabricar gasolina extra.X2E: Nmero de barriles de gasolina base tipo 2 que se utiliza para fabricar gasolina extra.X3E: Nmero de barriles de gasolina base tipo 3 que se utiliza para fabricar gasolina extra.

Max (Z) = 21(X1N + X2N + X3N) + 24(X1E + X2E + X3E) - (22X1N + 20X2N + 19X3N) - (22X1E + 20X2E + 19X3E)

ContinuacinDisponibilidad X1N + X1E 32,000 X2N + X2E 20,000 X3N + X3E 38,000Presin de Vapor4 X1N + 10 X2N + 5 X3N 9 X1N + X2N + X3N X1N + X2N + X3N X1N + X2N + X3N4 X1E + 10 X2E + 5 X3E 6 X1E + X2E + X3E X1E + X2E + X3E X1E + X2E + X3EOctanaje de Gasolina 108 X1N + 90 X2N + 73 X3N 80 X1N + X2N + X3N X1N + X2N + X3N X1N + X2N + X3N 108 X1E + 90 X2E + 73 X3E 100 X1E + X2E + X3E X1E + X2E + X3E X1E + X2E + X3E

ContinuacinPedidos Comprometidos X1N + X2N + X3N 30,000

No negatividad X1N, X2N, X3N, X1E, X2E, X3E 0

Problema N 19TAKAGAKI S. A. fabrica dos tipos de alimentos balanceados, recibe un pedido especial de 200 TN de una mezcla de protenas y carbohidratos, la mezcla debe contener a lo ms 40% de protenas y por lo menos 30% de carbohidratos, el costo de cada TN de protenas es de S/. 3 y de cada TN de carbohidratos es de 8, determinar la mezcla ptima. XP: TN. de protenas utilizadas en la mezclaXc: TN. de carbohidratos utilizadas en la mezcla

Max (Z) = 3 XP + 8 XCSujeto a: XP + XC = 200 XP 0.40 ( XP + XC) XC 0.30 ( XP + XC)

XP , XC 0

Problema N 20Xi: Nmero de acres que se destinan a cada cosecha en cada comunidad I = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Max (Z) = 1,000 (X1 + X2 + X3) + 750 (X4 + X5 + X6) + 250 (X7 + X8 + X9)

Sujeto a:Terreno para uso en cada comunidadX1 + X4 + X7 400X2 + X5 + X8 600X3 + X6 + X9 300

Cosecha

Comunidad

1

2

3

1 Remolacha

2 Algodn

3 Sorgo

X1

X4

X7

X2

X5

X8

X3

X6

X9

Cosecha

Comunidad

1

2

3

1 Remolacha

2 Algodn

3 Sorgo

X11

X21

X31

X12

X22

X32

X13

X23

X33

ContinuacinAsignacin de agua para cada comunidad 3 X1 + 2 X4 + X7 6003 X2 + 2 X5 + X8 8003 X3 + 2 X6 + X9 375

Total de acres para cada cosechaX1 + X2 + X3 600X4 + X5 + X6 500X7 + X8 + X9 325

Igual proporcin del rea planteada X1 + X4 + X7 = X2 + X5 + X8 400 600 X2 + X5 + X8 = X3 + X6 + X9 600 300Xi 0 , i = 1,,9

Problema N 19Variable de decisinXi = El uso de cada uno de los tres mtodos de abatimiento en cada tipo de horno, expresado como una fraccin de la capacidad de abatimiento de tal manera que Xi no exceda a 1

Funcin ObjetivoMin (Z) = 8X1 + 10X2 + 7X3 + 6X4 + 11X5 + 9X6 Sujeto a:12X1 + 9X2 + 25X3 + 20X4 + 17X5 + 13X6 6035X1 + 42X2 + 18X3 + 31X4 + 56X5 + 49X6 15037X1 + 53X2 + 28X3 + 24X4 + 29X5 + 20X6 125

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 1 X1, X2 , X3 , X4, X5, X6 0

Mtodo de abatimientoTecnologa

Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal.El conjunto de puntos que satisface todas las restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS LINEALESMtodos: Grfico. Fcilmente comprensible y permite visualizar algunas propiedades. Analtica. El mtodo simplex ha demostrado ser eficiente por el uso del computador. Algeibraca

Mtodo Grfico: Este mtodo consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condicin de no negatividad) la regin de soluciones factibles; luego sobre ella se grafica la funcin objetivo.Ejemplo 1Xi = Nmero de unidades del producto i

Max (Z) = X1 + X2 Sujeto a: 2 X1 + 2 X2 8 6 X1 + 2 X2 18 2 X1 + 4 X2 16 X1 , X2 0

SOLUCION GRAFICA

Cualquier punto dentro de la regin cumple simultneamente con las tres restricciones y con la no negatividad. Ahora el problema consiste en maximizar la funcin objetivo Z = X1+X2 sobre la regin sombreada que representa a las restricciones del problema lineal en estudio:

X1+X2 = 0 M = - X2 X1

La recta X1+X2 = 4 representa el mximo valor de Z, Sujeta a las restricciones del programa lineal propuesto. Cualquier valor de Z > 6, no tendr ningn punto con la regin sombreada Z = 0Z = 2

Regin Factible. Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad.

Solucin Factible. Es cualquier punto situado en la regin factible.Solucin Bsica. Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o hiperplanos o en la interseccin con los ejes coordenados.Solucin Bsica Factible. Es una solucin bsica que pertenece a la regin factible.

Solucin Optima. Es una solucin factible que maximiza o minimiza la funcin objetivo segn sea el caso

Solucin Bsica Factible Degenerada. Es una solucin factible bsica en la que una o ms variables bsicas toman el valor de cero.

TEOREMA 1. El conjunto de todas las soluciones factibles al problema de programacin lineal es un conjunto convexo.

TEOREMA 2. La funcin objetivo alcanza su mximo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de programacin lineal.

1. Existe un punto extremo del polgono (poliedro) convexo en el cual la funcin objetivo tiene su mximo (mnimo).2. Cada solucin factible bsica corresponde a un punto extremo del polgono (poliedro) convexo.

Se tendr que buscar que investigar nicamente los puntos extremos del polgono (poliedro) convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (menor) valor para que la funcin objetivo y as obtendremos la solucin buscada.

Restriccin de mayor o igual que cero, lmite mnimoEjemplo 2Min (Z) = 2 X1 + 6 X2Sujeto a: 12 X1 + 6 X2 16 4 X1 + 12 X2 12 X1 , X2 0

Ejemplo 3Min (Z) = 2 X1 + 3 X2Sujeto a: X1 + X2 4 6 X1 + 2 X2 = 8 X1 + 5 X2 4 X1 3 X2 3 X1 , X2 0

La solucin se encuentra en el segmento A y B, donde X1 = 8/7 y X2 = 4/7. la funcin objetivo toma el valor de 4. AB

Ejemplo 4Max (Z) = X1 + X2Sujeto a:- 4 X1 + 2 X2 2 2 X1 4 2 X1 + 2 X2 6 X1 , X2 0

Se aprecia que la recta de la funcin objetivo no es ahora tangente a un vrtice del polgono factible, si no es coincidente con uno de los lados del mismo.Cul es entonces la solucin?En este caso es posible definir cualquier punto sobre la recta BC y hallar en consecuencia los valores X1 y X2.X1 = 2 ; X2 = 1; Z = 3, otro resultado X1 = 2/3 , X2 = 7/3 ; Z = 3

CB(2,1)(2/3,7/3)

Ejemplo 5 Max (Z) = 2 X1 + 2 X2Sujeto a: X1 - X2 11/ 2 X1 + X2 2 X1 , X2 0

No tiene un valor mximo finito.En problemas prcticos no puede presentarse este tipo de solucin

(6,5)

Ejemplo 6Max (Z) = 3 X1 + 2 X2Sujeto a: X1 + X2 1 2 X1 + 2 X2 4 X1 , X2 0

Ejemplo 7Max (Z) = X1 + X2Sujeto a: 3 X1 - X2 - 3 X1 + X2 4 X1 , X2 0No se puede garantizar que todo problema tenga solucin factible.

USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD.

Ejemplo: El problema de la industria de juguetes Galaxia. Galaxia produce dos tipos de juguetes:* Space Ray* Zapper

Los recursos estn limitados a:* 1200 libras de plstico especial.* 40 horas de produccin semanalmente.

Requerimientos de Marketing.

* La produccin total no puede exceder de 800 docenas.* El nmero de docenas de Space Rays no puede exceder al nmero de docenas de Zappers por ms de 450.

Requerimientos Tecnolgicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plstico y 3 minutos de produccin por docena.* Zappers requiere 1 libra de plstico y 4 minutos de produccin por docena.

Plan comn de produccin para:

Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray (S/. 8 de utilidad por docena).

Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad (S/. 5 de utilidad por docena).

SolucinVariables de decisin

X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana). X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana).

Funcin objetivo

Maximizar la ganancia semanal.

Modelo de Programacin Lineal

Max (Z) = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:2X1 + 1X2 1200 (Cantidad de plstico)3X1 + 4X2 2400 (Tiempo de produccin) X1 + X2 800 (Limite produccin total) X1 - X2 450 (Produccin en exceso) Xj 0, j = 1, 2. (Resultados positivos)

El plan comn de produccin consiste en:Space Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenas

Utilidad = S/. 4900 por semana

Tipos de Puntos de factibilidad1200600FactibleX2No FactibleHoras deProduccin3X1 + 4X2 2400 Restriccin del total de produccin: X1 + X2 800600800Punto InferiorPunto MedioPunto ExtremoX1

Resolucin grfica para encontrar la solucin optima

6008001200400600800X2X1 comenzar con una ganancia dada de = S/. 2,000... 2,Entonces aumente la ganancia... 3,4,...y contine hasta que salga de la regin factibleGanancia = S/. 5,040

6008001200400600800X2X1Se toma un valor cercano al punto ptimoFeasibleregionReginFactible

Regin no factible

Resumen de la solucin ptima

Space Rays = 480 docenasZappers = 240 docenasGanancia = S/. 5,040

*Esta solucin utiliza todas las materias primas (plstico) y todas las horas de produccin. * La produccin total son 720 docenas (no 800). * La produccin de Space Rays excede a la de Zappers por solo 240 docenas y no por 450.

Soluciones ptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programacin lineal tiene una solucin ptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

Mltiples soluciones ptimas.

*Cuando existen mltiples soluciones ptimas implica que la funcin objetivo es una recta paralela a uno de los lados de la regin factible.* Cualquier promedio ponderado de la solucin ptima es tambin una solucin ptima.

Cuntos artefactos de A y B deben de producir para obtener el mximo beneficio?

ARTEFACTO A(min/unid)ARTEFACTO B(min/unid)DISPONIBILIDADMaquinadoArmadoMontajeBeneficio4512100866120480600540

Xi: Cantidad de artefactos del tipo i a producirse al da.FUNCIN OBJETIVOMax (Z) = 100 X1 + 120 X2Sujeto a: 4 X1 + 8 X2 480 5 X1 + 6 X2 600 12 X1 + 8 X2 540X1, X2 0

METODO SIMPLEXbi 0Restricciones Restricciones Restricciones =Xj 0; xi = - Xi, donde Xi 0Xi Sin Restriccin de Signo (SRS)+ , - , 0X1 ; SRSX1 = X1+ - X1-X1 = A1 - D1A1 > D1; X1 > 0; X1 = A1 - 0A1 = D1; X1 = 0; X1 = 0 - 0 A1< D1; X1 < 0; X1 = 0 - D1donde : A1, D1 0

Empate en el criterio en la variable que ingresa se escoge arbitrariamente cualquiera.Seleccionamos la variable que sale {i menor}

Empate en el criterio en la variable que sale se escoge arbitrariamente cualquiera.Criterio de OptimalidadMax Zj - Cj 0 ; Cj - Zj 0Min Cj - Zj 0 ; Cj - Zj 0

9.Tipo de soluciones.

Ejemplo Mtodo Simplex

La compaa SONYT S. A. produce radios y televisores, cada radio se vende con una ganancia de S/. 30, mientras que cada televisor vendido se gana S/. 50.

Ambos productos deben pasar por los departamentos A y B (impresin de circuitos y ensamble) respectivamente: mensualmente se dispone de 200 horas en el departamento A y 140 horas en el departamento B. Cada radio requiere de una hora en departamento A como en el departamento B, cada televisor requiere de 2 horas en departamento A y una hora en el departamento B. Cul es el programa de produccin que maximiza la ganancia.

DEPARATMENTO

REQUERIMIENTOS

DISPONIBILIDAD

RADIO

TELEVISOR

A

B

1 hr.

1 hr.

2 hrs.

1 hr.

200 hrs / mes

140 hrs. / mes

Xi:Numero de unidades del producto tipo i que se deben producir mensualmente.

Max (Z) = 30 X1 + 50 X2

Sujeto a: X1 + 2 X2 200 X1 + X2 140 X1 , X2 0

Solucin(80,60)(140,0)(0,100)

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