L A T I G I D O Escola Superior de Tecnologia de Viseu T N ...

3 de Maio de 2004

1

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL

Departamento de Informática

2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Instituto Superior Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia de ViseuCurso de Engenharia de Sistemas e Informática

Manuel A. E. Baptista, Eng.º

Processamento Digital de SinalAula 124.º Ano – 2.º Semestre

3 de Maio de 2004

2

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Programa:

1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal

2. Representação e Análise de Sinais

3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR

4. Processamento de Imagem

5. Processadores Digitais de Sinal

3 de Maio de 2004

3

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Bibliografia:Processamento Digital de Sinal:•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998 Cota: 621.391 MIT DIG•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.Cota: 621.391 KUC INT•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.Cota: 621.391 JOH INTG. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.Cota: 621.391 PRO DIG•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988Cota: 621.391 CAN SIG•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.Cota: 621.391 SMI INT•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.Cota: 621.391 MCC COM

Processamento Digital de Imagem:•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.Cota: 681.5 GON DIG. •I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000. Cota: 621.391 PIT. •William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991. Cota: 681.5 PRA DIG •Bernd Jãhne, “Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications”, Springer, 1997. Cota: 681.5 JAH

3 de Maio de 2004

4

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Avaliação:A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática

ponderadas da seguinte forma:

Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática

O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida.

A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB

3 de Maio de 2004

5

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Filtros FIR e IIR

• Projecto de Filtros FIR– Windowed Impulse Response– Formas de Janelas– Projecto através de Optimização Iterativa

3 de Maio de 2004

6

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response

• Filtros FIR– Sem pólos (apenas zeros)– sem precedências no projecto de filtros analógicos

• Aproximações– windowing ideal impulse response– projecto iterativo (ajuda computacional)

3 de Maio de 2004

7

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Dada a FT Hd(ej ) desejada, qual é a melhor ht[n]

finita que a aproxima?

• Pode-se tentar minimizar o Integral Squared Error (ISE) das respostas em frequência:

Melhor em que aspecto?

12 Hd e j Ht e j 2

d

= DTFT{ht[n]}

3 de Maio de 2004

8

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error

• A resposta impulsional ideal é hd[n] = IDTFT{Hd(ej )},(normalmente com extensão inifinita)

• Por Parseval, ISE

• Mas: ht[n] só existe para n = -M..M ,

hd n ht n 2

n

hd n ht n 2

n M

Mhd n 2

n M , n M

Minimizada fazendoht[n] = hd[n], -M n M

Não alterada por ht[n]

3 de Maio de 2004

9

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Assim, a aproximação do erro médio quadrático

mínimo no ponto 2M+1 do FIR é a IDFT truncada:

• Tornando-o causal atrasando em M pontosh't[n] = 0 for n < 0

outros

j j nd

tH e e d M n M

h n1

2

0

3 de Maio de 2004

10

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais

• Um Filtro Passa-Baixoideal tem:

e:

cc

HLP e j 1 c

0 c

hLP n sin cnn

(duplamente infinito)

3 de Maio de 2004

11

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais• Assim, a aproximação causal com o mínimo ISE,

a um Filtro Passa Baixo Ideal é

outros

sinˆ

c

LP

n Mn M

h n n M0 2

0

2M+1 pontos

Deslocamento causal

0 5 10 15 20 25-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

h LP[n

]

n

3 de Maio de 2004

12

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response –Cálculo da Resposta em Frequência (FR)• Um FPB ideal LPF tem uma FR puramente real FR

i.e.( ) = 0, H(ej ) = H(ej )Pode-se construir uma FR aproximadamente

constante, combinando respostas ideais, e.g. FPA:

cc

1

1

1

[n]–

hLP[n]=

hHP[n]

i.e. H(ej ) = 1

HLP(ej ) = 1 for < c

= [n] - (sin cn nNão

func

iona

seas

fase

sfo

rem

zero

!

3 de Maio de 2004

13

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Fenómeno de Gibbs• Os filtros ideais truncados apresentam Gibbs’ Ears:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 ω/π-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ht(e

jω)

129point

25point

Gibbs ‘ears’Aumentando o comprimento do filtro

ears mais estreitas(reduz ISE)mas a amplitude é igual

não é óptimo pelo critério minimax

(11% overshoot)

3 de Maio de 2004

14

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• A Truncagem de hd[n] para 2M+1 pontos significa

a multiplicação por uma janela rectangular:

• A Multiplicação no domínio do tempo é a convolução no domínio da frequência:

ht n hd n wR n

wR n1 M n M0 otherwise

wR[n]

g[n] h[n] 12

G(e j )H (e j( ) )d

3 de Maio de 2004

15

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Assim, a FR da resposta truncada

é a convolução da FR ideal com aFR da janela rectangular:

ωπ−π

ωπ−π

ωπ−π

∗ =

Hd(ej ) DTFT{wR[n]}sinc periódica...

Ht(ej )

3 de Maio de 2004

16

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Janela Rectangular:

• A Largura do Lóbulo Principal( 1/L) determina aBanda de Transição

• A altura do Lóbulo Lateraldetermina o ripple

caso contrarioR

M n Mw n

10

WR e j e j n

n M

M

sin 2M 1 2

sin 2

“sinc periódica”-π -0.5π 0 0.5π π

0

WR(ejω)

ω

±2π2M + 1

Mainlobe

Sidelobes

Não varia com o comprimento

3 de Maio de 2004

17

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros

• Resposta Ideal (infinita) do Janelamentofiltro FIR :

• A janela Rectangular tem o melhor erro ISE• As outras janelas variam em termos do(s):

– Lóbulo Principal largura da banda de transição– Lóbulos Laterais tamanho do ripple junto à transição

• Variedade de janelas ‘clássicas…

ht n hd n w n

3 de Maio de 2004

18

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

. . cos( ). cos( )

nM

nM

2 12

2 1

0 42 0 46 20 08 2

Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros FIR

• Rectangular:

• Hann:

• Hamming:

• Blackman:

w n M n M1

. . cos( )nM2 10 5 0 5 2

. . cos( )nM2 10 54 0 46 2

Largura duplado lóbulo principal

1.º Lóbulo lateral reduzido

Largura triplado lóbulo principal

grandeslóbulos laterais!

3 de Maio de 2004

19

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR – Formas de Janelas – Filtros FIR• Comparação na escala em dB:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 πω

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 Blackman

Hamming

Hann

Rectangular|W(e

jω)|

/ dB

22M+1

3 de Maio de 2004

20

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Janelas ajustáveis

• Têm tradeoffs discretos ao nível do lóbulo principal... • Janela de Kaiser = paramétrica, tradeoff continuo:

• Empiricamente, para mínimo SB aten. de dB:

w nI0 1 ( n

M )2

I0 ( )M n MFunção de Bessel

de ordem zero modificada

.

. ( . ). ( )

. ( )

0 4

0 11 8 7 500 58 21 21 50

0 08 210 21

N 82.3

Ordemnecessária

largurade transição

3 de Maio de 2004

21

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado

• Desenhe um filtro FIR passa-baixo de 25 pontos com freq. de corte de 600 Hz (SR = 8 kHz)

• Sem req. específicos sobre o ripple de transição compromisso: usa-se a janela de Hamming

• Conversão da frequência para rad/amostra:

8 kHz4 kHz600 Hz

H(ej )c

6008000 2 0.15

3 de Maio de 2004

22

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado1. Obtem-se a resposta impulsional do filtro ideal:

2. Usa-se a janela: Hamming em N = 25 M = 12 (N = 2M+1)

3. Aplica-se a janela:

c 0.15 hd n sin0.15 nn

w n 0.54 0.46cos 2 n25 12 n 12

h n hd n w nsin0.15 n

n 0.54 0.46 cos 2 n25 12 n 12

-20 -10 0 10 n

h[n]

0

0.05

0.1

0.15

3 de Maio de 2004

23

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa

• Pode-se derivar os coeficientes do filtro através de optimização iterativa:

• Gradiente descendente / optimização não linear

Coefs do Filtroh[n]

Aproximação docritério

erro

Derivadasde estimação

h[n]

Actualização do filtro para reduzir

respostadesejada

H(ej )

3 de Maio de 2004

24

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Error Criteria

W D e j H e jR

pd

região demedição do

erro pesodo erro

respostadesejada

respostaactual

expoente:2 least sq’s

minimax

ω1 ω2 ω3 ω4ω

ω

H(ejω)

W(ω)R

D(ejω)

ωε(ω) = W( )·[D(ej ) – H(ej )]

3 de Maio de 2004

25

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax

• Desenho Iterativo de filtros FIR com:– Equiripple (Critério minimax)

– Fase linear Resposta Impulsional simétrica h[n] = (–)h[-n]

• Note-se, que os filtros FIR simétricos têm FRpuramente real

i.e. combinação de co-senos de freq. múltiplas de

n

H e j e j M H̃

H̃ a k cos kk 0

Ma[0] = h[M]a[k] = 2h[M - k]

M

(type I)

3 de Maio de 2004

26

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax• Agora, cos(k ) pode ser expresso como um

polinómio em cos( )k e com potências mais baixas– e.g. cos(2 ) = 2(cos )2 - 1

• Assim, podem determinar ’s tal que

Polinómio de ordem M em cosOs [k]s estão relacionados simplesmente com os a[k]s

H̃ k cos kk 0

Mpolinómio de

ordem Mem cos

3 de Maio de 2004

27

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax

• Um polinómio de ordem M tem pelo menos M - 1 máximos e mínimos:

has at most M-1 min/max (ripples)

H̃ k cos kk 0

M polinómio de ordem M em cos

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω = 0ω = π

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

cosω

cosω

ω

1

2

3

4

H̃

H̃

polinómiode ordem 5

em cos

1

2

3

4

3 de Maio de 2004

28

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

• Ingrediente chave para Parks-McClellan:é a única, a melhor, aprox. pesada minimax de

ordem 2M. para D(ej )– tem pelo menos M+2 freq. “extremas”

ao longo do subconjunto Rde

– o módulo do erro é igual a cada extremo:

– O pico do erro alterna em sinal:

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância

H̃

H̃0 1 ... M M 1

i i

i i 1

3 de Maio de 2004

29

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Teorema da Alternância• Assim, para a resposta em frequência:

0 ωp ωc π

ω2 ω3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω1ω0 ω4 ω5 ω6

-ε

0

ε

ε

ω

D(ejω) desired frq.resp.

H(ejω) response mag.

ε(ω)error

W(ω)scaled error

bound

band-edge extrema

local min/max extrema

– Se ( ) alcança o módulo do pico de erro em algum conjunto de frequênciasextremas i

– E o sinal do pico de erro alterna– E temos pelo menos M+2

destes– Então minimax óptima

(10th order filter, M = 5)

3 de Maio de 2004

30

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância• Pelo Teorema da Alternância,

M+2 extremos de alternância sinaisfiltro minimax óptimo

• Mas tem no máximo M-1 extremosprecisa de pelo menos mais 3 a partir dos limites

das bandas• 2 bandas fornecem 4 limites das bandas

pode passar bem com a “perda” de apenas uma• As regras de Alternância dão-nos os limites das

bandas de transição, assim tem-se 1 ou 2 limitesexteriores

H̃

3 de Maio de 2004

31

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância

– Para M = 5 (Ordem 10):– 8 extremos (M+3,

4 limites de banda) - bestial!

– 7 extremos (M+2,3 limites de banda)- OK!

– 6 extremos (M+1,apenas 2 limites da banda de transição)

Não Óptimo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω

ω

H1(ω)~

H2(ω)~

H3(ω)~

ω

π

π

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.5

1

3 de Maio de 2004

32

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Parks-McClellan Algorithm• Recapitulando:

– FIR CAD limitaçõesD(ej ), W( ) ( )

– FIR de Fase Zero H( ) = k kcosk M-1 min/max

– Teorema da Alternânciaóptimo M+2 picos de erros, alternâncias de sinal

• Mas, como determiná-lo?

~

3 de Maio de 2004

33

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004M

anue

l A. E

. Bap

tista

Erne

sto

R. A

fons

o

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Algoritmo de Parks-McClellan ~ ~• Alternância [H( )-D( )]/W( ) deve ser = ± em

M+2 frequências (desconhecidas) { i}...• Actualização Iterativa de h[n] com

Algoritmo de troca de Remez :– estima/prevê M+2 extremos { i}– resolve para [n], ( h[n] )– determina-se o min/max actual em ( ) novo { i}– repete-se até ( i) ser constante

• Converge rapidamente!

3 de Maio de 2004

34

SIST

EMAS

DE

PRO

CESS

AMEN

TO D

IGIT

AL


2003-2004

Man

uel A

. E. B

aptis

taEr

nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Algoritmo de Parks-McClellan• No Matlab,

>> h=remez(10, [0 0.4 0.6 1],[1 1 0 0],

[1 2]);

Ordem do filtro (2M)Limites das bandas ÷

módulo desejadonos limites das bandas

Peso dos errospor banda

-5 0 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1

0

0.5

1

-1 0 1 2

-1

-0.5

0

0.5

1h[n] H(ω)

n ω

~

z-plane

L A T I G I D O Escola Superior de Tecnologia de Viseu T N ...

Documents

Transcript of L A T I G I D O Escola Superior de Tecnologia de Viseu T N ...