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Pablo GómezMiguel Tenreiro

Razón y proporción desde la Razón y proporción desde la geometríageometría

La razón como concepto geométrico se define como:La razón como concepto geométrico se define como: La razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el La razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el

segundo. segundo. Es importante el orden en que se dicen o escriben los términos.Es importante el orden en que se dicen o escriben los términos. Se indica en forma de fracción.Se indica en forma de fracción. Los dos números se llaman términos de la razónLos dos números se llaman términos de la razón.. El primer termino se llamaEl primer termino se llama  antecedenteantecedente  y el segundo termino y el tercero y el segundo termino y el tercero

se llaman consecuentese llaman consecuente..

La proporciónLa proporción  es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados:tanto cuatro términos ordenados:

Los cuatro números se Los cuatro números se llamanllaman  términos de la proporcióntérminos de la proporción El primero y el ultimo se llaman extremosEl primero y el ultimo se llaman extremos  y el segundo y el tercero se y el segundo y el tercero se

llaman medios.llaman medios.

Las distintas denominaciones de la Las distintas denominaciones de la propoción áurea y como se propoción áurea y como se

representarepresenta A la proporción áurea se le llama de diversas A la proporción áurea se le llama de diversas manerasmaneras:número:número

plateado, razón extrema y media, razón áurea, razón plateado, razón extrema y media, razón áurea, razón dourada,media áurea,proporción áurea y divina proporcióndourada,media áurea,proporción áurea y divina proporción.. Y esta Y esta representada por la letra griega φ (fi) en honor al escultor representada por la letra griega φ (fi) en honor al escultor griego Fidias.griego Fidias.

Tambien se representa por el símboloTambien se representa por el símbolo

El segmento áureoEl segmento áureo El segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca El segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca

perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi como ésta es a la suma AB. como ésta es a la suma AB.

La relación entre el lado y la La relación entre el lado y la diagonal de un pentágono diagonal de un pentágono

Los griegos obtuvieron este número al hallar la

relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado. Esto hace posible construir un pentágono regular usando regla y compás.

Al trazar las diagonales de un pentágono resulta la estrella pentagonal o estrella de Italia, era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.

Personajes importantes Personajes importantes Platón: describió cinco posibles cuerpos regulares que,en su opinión, podían construir la base de la estructura armoniosa del universo.La proporción aurea determina las dimensiones y la formación de algunos ellos.

Euclides:en sus elementos formulo la primera definición que se conserva de la proporción aurea.

Fibonacci:ideó la sucesión numérica que lleva su nombre.Guarda una estrecha relación con la proporción aurea.

Luca Pacioli:en Divina Proporción expone los motivos por los que la proporcion aurea debe llamarse divina proporción.

La Serie de FibonacciLa Serie de Fibonacci En matemática, la sucesión de Fibonacci es la

siguiente sucesión infinita de números naturales: siguiente sucesión infinita de números naturales:

A cada elemento de esta sucesión se le llama A cada elemento de esta sucesión se le llama número de número de FibonacciFibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de . Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación ,  matemáticas y teoría de juegos. También aparece computación ,  matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Como se calcula el numero de oroComo se calcula el numero de oro

Ejemplos de la serie de FibonacciEjemplos de la serie de FibonacciLa cría de conejos

La posición de las hojas de las plantas

El número de oro en la arquitectura El número de oro en la arquitectura antigua.antigua.

E l número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, E l número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...objetos, partes de nuestro cuerpo, ...Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=Φ . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=Φ y CD/CA= Φ .

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2   .

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de laTumba Rupestre de Mira en Asia Menor

La proporción aurea en la La proporción aurea en la arquitectura moderna, en el arte en arquitectura moderna, en el arte en

la música.la música.El edificio de la ONU

Leda Atómica de Dalí

La 5ª Sinfonía de Beethoven

La proporción aurea en la vida La proporción aurea en la vida cotidiana y en el cuerpo humanocotidiana y en el cuerpo humano

Redes Sociales (twitter)

DNI, Tarjetas de crédito y cajetillas de tabaco

La mano y orejas humanas

En una manzana

La espiral de Dalí o ‘‘mágica’’La espiral de Dalí o ‘‘mágica’’ Se construye así:Se construye así:

La encontramos en la naturaleza, pintura, escultura La encontramos en la naturaleza, pintura, escultura ….….

BOCETOSBOCETOS

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