Lección 2: Contracciones Factoriales y aplicaciones.

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1

LECCION N° 2 (07 de Julio de 2005)

El objetivo principal de esta lección es el desarrollo del concepto de Contracción Factorial. Sin embargo, hemos considerado necesario introducir previamente el operador de “Suma Contractiva”. La importancia de este operador y sus propiedades especiales, se pondrán de manifiesto de maneras diversas, en relación al cálculo con contracciones. A.- SUMA CONTRACTIVA. 1.- Definición. Para cada par de números reales no negativos α, β, se define la Suma Contractiva α β⊕ , del modo siguiente:

1lim (1 )x

xα

α β α β+

−

→⊕ = ⊕

Aunque pudiera parecer que la Def. 1. generaliza el concepto de primera contracción, puesto que genera una identidad cuando 1α = ; debemos advertir que la suma contractiva tiene su origen en la geometría, fundamentándose en rigor, en los axiomas de Euclides. Por ahora no necesitamos explorar esa materia. Dejaremos como ejercicio la demostración de las siguientes propiedades: 2.- Propiedades. 2.1.- 0 0 0β β⊕ = ⊕ = 2.2.- 1 1 1( )α β α β− − −⊕ = + , , 0α β > 2.3.- α β β α⊕ = ⊕ 2.4.- ( )( )α β α β αβ⊕ + = 2.5.- ( ) 1 1( ) 1α β α β− −⊕ + = , , 0α β > 2.6.- ( )α β γ αβ αγ⊕ = ⊕ 2.7.- ( ) ( )α β γ α β γ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ 2.8.- { }0 min ,α β α β≤ ⊕ ≤ 2.9.- lim( )

αα β β

→∞⊕ =

2.10.- α α αβ γ β γ⊕ =

+ , , 0β γ >

Las propiedades anteriores muestran enlaces sintácticos muy fuertes entre el operador de suma contractiva y el operador de suma usual en el conjunto de los números reales. En realidad, existen diferencias sintácticas no advertidas aquí; y además, profundas diferencias semánticas entre ambos operadores. Nuestro objetivo inmediato, es la simplificación algebraica de algunos procesos de cálculo. Obsérvese en detalle el siguiente ejemplo numérico de suma contractiva, basado en la propiedad 2.10.


2

2.12.- 2 5 4 10 20 20 20 20 20 203 8 9 7 30 32 45 14 30 32 45 14 121⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ = =

+ + +

La reducción de la suma contractiva a las operaciones usuales en los números reales, se nos presenta de manera oportuna; y también imperativa, si necesitamos ajustarnos al contexto universal del cálculo numérico. El teorema que sigue registra una relación fundamental. Será referido como Teorema de Multiplicación de Sumas (T.M.S.). 2.13.- Teorema. (T.M.S.). Sean { } { }1 1

, , 2,i n i ni ii i

x y n= =

= =≥ conjuntos de números reales no

negativos. Si existe un número real α , tal que para cada i, 1 ,i n≤ ≤ i ix y α= , entonces

1 1

i ni n

i ii i

x y α==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

donde, 1 21

...i n

i ni

x x x x=

=

= ⊕ ⊕ ⊕⊕ .

Demostración. Sólo insinuaremos un método de prueba. 2.13.1.- Si 0,α = pruébese que

10

i n

ii

y=

=

≠∑ ⇒ 1

0=

=

=⊕i n

ii

x

2.13.2.- Si 0,α ≠ aplíquese Inducción Completa, usando la propiedad 2.5. El T.M.S. puede ser usado como modelo para resolver problemas en los cuales, las variables principales varían en relación inversa con otras variables que también pueden afectar la solución. 3.- Ejemplos. 3.1.- Un capataz de obras contrata n obreros altamente especializados, con el objeto de formar un equipo (trabajo simultáneo) para realizar un trabajo de magnitud W. Como desea tener una estimación del tiempo en el cual concluirá la obra; ejecuta una consulta individual sobre el tiempo en que cada trabajador supone que realizaría la tarea trabajando solo. Los datos obtenidos son 1 2, ,..., .nT T T El siguiente razonamiento permite al capataz obtener el valor buscado. “Cada obrero tiene una eficacia propia ie (trabajo por unidad de tiempo), luego, para cada i, 1 ,i n≤ ≤ se tiene . =i iT e W .


3

La eficacia del equipo es 1

i n

ii

e=

=∑ . Si T es el tiempo buscado, debe ocurrir que

1. .=

=

=∑i n

ii

T e W Pero el T.M.S. afirma que

3.1.1 1 1

i ni n

i ii i

T e W==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

Por lo tanto, 1

i n

ii

T T=

=

=⊕ es el tiempo estimado que el capataz desea conocer”.

Sugerimos al lector comprobar que el tiempo promedio de trabajo para los trabajadores es:

3.1.2 1

i n

m ii

T n T=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⊕

mT es el “Promedio Contractivo” de los tiempos 1 2, ,..., .nT T T 3.2.- Si 1 2, ,..., nR R R son los valores de n resistencias eléctricas conectadas en paralelo, en un circuito en el cual es válida la Ley de Ohm, comprobar que el valor de la resistencia única equivalente TR , viene dada por,

3.2.1 1

k n

T kk

R R=

=

=⊕

Si se desea reemplazar las resistencias de valores 1 2, ,..., nR R R por otras de igual valor R, entonces

3.2.2 1

k n

kk

R n R=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⊕

La resistencia de valor R en la fórmula 3.2.2 es la resistencia media. El próximo ejemplo 3.3 se sustenta en elementos teóricos que en esta ocasión, no intentaremos analizar. Únicamente, solicitamos al lector que realice una prueba de la veracidad del enunciado. 3.3.- Supóngase que un móvil recorre rectilíneamente con velocidad variable una distancia s en un tiempo t. Subdividamos s en n etapas kE , 1 k n≤ ≤ (En general, diferentes); y t en n periodos kt , donde kt es el tiempo de duración del movimiento en la etapa correspondiente kE . Bajo estas condiciones, existen n números reales 1 2, ,..., nλ λ λ con

la propiedad 1

1k n

kk

λ=

=

=⊕ , tales que,

3.3.1 1

.k n

kk

kk

Est t

λ=

=

=⊕

Obsérvese que si el movimiento es uniforme, 3.3.1 es una identidad.


4

3.4 Considérese una sustancia de masa total m que ocupa una región espacial R de

volumen V. La densidad promedio será mV

δ = . Si { } 1

k nk k

R =

= es una partición de R, siendo kδ

la densidad promedio en la subregión kR , entonces existen n números reales 1 2, ,..., nλ λ λ

con la propiedad 1

1k n

kk

λ=

=

=⊕ , tales que,

3.4.1 1

.k n

k kk

δ λ δ=

=

=⊕

Es claro que si la sustancia es homogénea, entonces 3.4.1 se reduce a una identidad. El lector debería percatarse de que las fórmulas 3.1.2, 3.2.2, 3.3.1 y 3.4.1 tienen exactamente la misma forma. 3.5 Tres personas trabajan en una obra, de tal modo que en ocasiones lo hacen en

equipo (en forma simultánea) y a veces individualmente, por turnos. Se estima que el trabajo en equipo cubrirá un 40% de la obra total; y el trabajo individual un 20% por cada trabajador. Se ha determinado que si los tres trabajaran al ritmo del trabajador más calificado, terminarían la obra en 55 días. Pero ocurre que los otros dos realizan 20% y 25% menos cantidad de trabajo por unidad de tiempo que el trabajador más efectivo. Se pide determinar el tiempo que demoran en hacer la obra total.

Solución. Si x, y, z son los tiempos correspondientes en que cada trabajador pudiera hacer la obra total trabajando solo, entonces el tiempo t buscado viene dado por la ecuación:

3.5.1 2 1( ) ( )5 5

t x y z x y z= ⊕ ⊕ + + +

Si suponemos que x es el tiempo del trabajador más calificado, y del segundo y z del

tercero, entonces debe tenerse que 54xy = , 4

3xz = .

De donde,

3.5.2 2 5 4 1 5 45 4 3 5 4 3

x x x xt x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Esto es,

3.5.3 2 5 4 1 5 41 15 4 3 5 4 3

t x ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Luego, 297.340

t x=

Pero x debe satisfacer la ecuación,

3.5.4 ( )2 155 ( )5 5

x x x x x x= ⊕ ⊕ + + +

2 155 (1 1 1) (1 1 1)5 5

x ⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Obteniéndose


5

x = 75 días. Para el valor de t se tiene entonces,

29775. 65.5340

t = ≈ días.

B.- CONTRACCIONES FACTORIALES Introducción.

La Contracción Factorial es un instrumento del Cálculo Numérico. Es el operador que forma la estructura de los coeficientes de una importante serie de funciones, llamada “Serie de Contracciones” (Serie Geométrico-Factorial), la cual constituye una parte esencial de la Función Contráctil. Es imperativo, conocer en profundidad sus propiedades; y desarrollar habilidad en la manipulación sintáctica de este operador; si se desea progresar en el estudio de esta área de la Matemática, es decir, el Cálculo Contractivo. La contracción factorial tiene como una de sus componentes, la suma contractiva. Es necesario ver la suma contractiva como un operador independiente de la suma usual en los números reales, aunque, existan fuertes enlaces sintácticos entre ambos operadores. Debe suponerse (aunque por su definición, parezca paradójico) que existe un tercer operador elemental, ajustado a los números reales no negativos, la “Suma Contractiva”. En el contexto más amplio del “Álgebra Circular”, teoría que esperamos exponer más adelante, la suma contractiva es un operador primario, independiente de todo otro operador. Un aspecto relevante de las contracciones factoriales, que se muestra en esta lección, es su aplicación al cálculo de la función Beta. También se estudia el comportamiento de la Serie Factorial (serie cuyos términos son contracciones factoriales); y se muestran nuevas relaciones con la función Beta, además, de una particular analogía con la serie geométrica. Otra de las aplicaciones particularmente importante está referida al estudio de las condiciones de convergencia de cierto tipo de integrales impropias. Allí se observarán innovaciones teóricas y métodos realmente no convencionales en el cálculo del valor límite de tales integrales. En la preparación de la lección se usaron dos instrumentos de cálculo numérico para operaciones interactivas. El primero de ellos es un programa de computación para calcular contracciones factoriales. Tal programa ha sido elaborado por Daniel Saavedra, miembro activo del Grupo de Investigación en Cálculo Contractivo (G.I.C.C.). El otro instrumento es una calculadora Casio fx-3600Pv. Los problemas que se dejan propuestos en la parte final de la Lección, deberían servir a su objetivo, esto es, preparar al lector para el estudio de las funciones contráctiles y sus aplicaciones.


6

1.- Definición. Sean ,qα números reales no negativos y k un número entero positivo o nulo. La “q-Contracción Factorial de α en grado k”, denotada por ( , )1 q k α , se define por recurrencia mediante las siguientes relaciones:

1.1.- ( ,0 )1 1q α =

1.2.- ( , )1 q k α

= (1 ( ) ).q k α⊕ + ( , 1 )1 q k α− , k =1,2,…

Nota: Cuando q = 0, se escribe ( )1 k α

en lugar de (0 , )1 k α

. 2.- Ejemplos. Los siguientes ejemplos deberían ayudar al lector a entender la naturaleza de los algoritmos que se representan por medio de contracciones factoriales.

2.1.- 243 2 4 6 81 1 1 1 1

3 3 3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = 2 4 6 8 128. . .

5 7 9 11 1155=

2.2.- 2 , 3 251

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2 2 21 1 .2 1 2 .2 1 3 .2

5 5 5⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊕ + ⊕ + ⊕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 14 24 341 1 15 5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 14 24 34. .19 29 39

2.3.-

13 , 521

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 3 1 3 2 3 3 3 4 3 51 . 1 . 1 . 1 . 1 .

2 2 2 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5. . . .3 3 3 4 3 5 3 6 3 7+ + + + ++ + + + +

= 3 1 3 2. .3 6 3 7+ ++ +

2.4.- 1,

1q k

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ( 1)( 2)...( )

( 1)( 2)...( )q q q k

q q q kα α α+ + +

+ + + + + +, 0α > , k =1,2,…

Esta fórmula se prueba fácilmente, por Inducción Completa. 2.5.- La fórmula 2.4 puede ser usada para escribir

7.13.19.25.31.37.4317.23.29.35.41.47.53

λ =

en forma de contracción factorial.


7

En efecto, 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 76 6 6 6 6 6 6

5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 11 2 3 4 5 6 73 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6

λ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + + + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

De donde, 1 3, 76 51λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

2.6.- Si 0α > , q = 0, la fórmula 2.4 se reduce a la siguiente:

( )( ) ( )

1 !11 2 ...

k kk

α

α α α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+ + + , k =1,2,…

2.7.- Si α es un entero positivo, entonces aplicando 2.6 se tiene,

1

1k

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = !. !

( )!kk

αα +

, k =1,2,…

De 2.7 se deducen los siguientes resultados importantes, para el caso en que α es un entero positivo.

2.8 1

1k

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

1kαα

−+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, k =1,2,…

2.9 1

1k

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

1

1 kα⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , k =1,2,…

La fórmula 2.9, además de constituir una importante identidad, tiene incidencia significativa en operaciones numéricas. Obsérvense los ejemplos 2.10 y 2.11.

2.10 ( )11k

=

111⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠k

= 11k

⊕ = 11k +

, k =1,2,…

2.11 11321

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

12131

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 1 21 1

13 13⎛ ⎞⎛ ⎞⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 2 1.14 15 105

=


8

3.- Propiedades. Proponemos al lector, demostrar las siguientes propiedades.

3.1 ( , )0 1 1q k α≤ ≤

3.2 limk→∞

( , )1 0q k α =

3.3 limq→∞

( , )1 1q k α = , 0>α , k =1,2,…

3.4 limα→∞

( , )1 1q k α = , k =1,2,…

3.5 0

limq→

( , ) ( )1 1q k kα α= , k =1,2,…

3.6 0

limα→

( , )1 0q k α = , k =1,2,…

3.7 ≥α β ⇒ ( , )1 q k α

≥ ( , )1 q k β

, k =1,2,…

3.8 ( ) ( ), ,1 1q n q kn k α α> ⇒ ≤ , n, k =1,2,…


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4. Teoremas. Proposiciones, Resultados, Problemas, Definiciones, Ejercicios Didácticos.

Serán referidas como teoremas, aquellas proposiciones en las cuales deseamos hacer énfasis, porque las consideramos especialmente relevantes en el cálculo con contracciones factoriales.

4.1.- Teorema. Primera Identidad Factorial. (P.I.F.)

1( , )1 q k α−

. ( )1 k q

= ( )1k qα ⊕

, q > 0.

Demostración: Inducción Completa.

4.1.1 Para k = 0, la identidad es obvia.

4.1.2 Hipótesis de Inducción. Sea válida la identidad para un entero k≥0, arbitrario.

4.1.3 Sea 1,k k= + luego,

1( , )1q k α−

.( )1 k q

= ( ) ( ) ( )1,11 ( ) .1 .(1 ) .1q k k qq k k qαα−

−⊕ + ⊕

=( )1(1 (1 ( ) ) )(1 ) .1 k qk q k k q αα ⊕−⊕ + ⊕ (4.1.2)

= ( )1(1 (1 ) . )(1 ).1 k qk q k k q αα ⊕−⊕ ⊕ ⊕

= ( )(1 ( )) .1 k qk q αα ⊕⊕ ⊕

= ( )1 k qα ⊕

├

4.2.- Teorema. Segunda Identidad Factorial. (S.I.F.)

( )1 k α

= ( )1 1(1 ).1 kk αα − ⊕⊕ , k =1,2,…


10

Demostración.- De la Def. 1, es obvio que,

4.2.1 ( )1 k α

= ( )1 , 1( 1 ) .1 k αα −⊕ , k =1,2,…

Pero,

4.2.2 ( 1 , 1 )1 k α−

.( 1 1)1 k−

= ( )1 11 k α− ⊕, k =1,2,… (P.I.F.)

Además,

4.2.3 ( 1 1)1 k −

= 1k

, k =1,2,…

Luego,

4.2.4 (1, 1 )1 k α−

= ( )1 1.1 kk α− ⊕

, k =1,2,…

Sustituyendo ahora 4.2.4 en 4.2.1, se tiene

4.2.5 ( )1 k α

= ( )1 1(1 ) .1 kk αα − ⊕⊕ , k =1,2,…

├

4.3.- Teorema. Tercera Identidad Factorial. (T.I.F.)

( , )1 q k α

= 1( )( 1 )q k q α−+ ⊕ ⊕ .( , 1 1 )1 q k α− ⊕

, q>0, k =1,2,…

Demostración.- Inducción Completa.

4.3.1 k = 1.

( ,1 )1 q α = 1 ( 1)q α⊕ +

= 1( 1)(( 1) )q q α−+ + ⊕

= 1( 1)( 1 )q q α−+ ⊕ ⊕

= 1( 1)( 1 )q q α−+ ⊕ ⊕ .( ,1 1 1 )1 q α− ⊕


11

4.3.2 Hipótesis de Inducción.

Sea válida la Identidad para un entero 1,k ≥ arbitrario.

4.3.3 Sea 1,k k= +

( , )1 q k α

= ( ) ( ),1 ( ) .1 q kq k αα⊕ +

= ( ) ( ), 1 111 ( ) .( ).( 1 ).1 q kq k q k q αα α − ⊕−⊕ + + ⊕ ⊕ , (4.3.2)

= ( ) ( ), 11 1 11 ( ) .( ).( 1 ).(1 ( ) (1 ) )1q kq k q k q q k αα α α ⊕− − −⊕ + + ⊕ ⊕ + + ⊕

= ( ) ( ), 11 11 ( ) .( 1 ).( 1 )1 q kq k q q k αα α α ⊕− −⊕ + ⊕ ⊕ + + +

= ( ) ( ), 11 11 ( ) .( 1 ).( )1 q kq k q q k αα α α ⊕− −⊕ + ⊕ ⊕ + +

= ( ) ( ), 11 1 11 ( ) .( 1 ).( ).(1 ( ) )1 q kq k q q k q k αα α α ⊕− − −⊕ + ⊕ ⊕ + + +

= ( ) ( ), 1 11.( 1 ).1 q kq k q αα − ⊕−+ ⊕ ⊕ ├

4.4.- Proposición.

( 1 )1 k α⊕

= ( 1 1 )1 k α− ⊕

⊕ ( )1 k α

, k =1,2,…

Demostración.

4.4.1 ( ) ( )1 11 .1 kk αα − ⊕⊕ = ( )1k α

, (S.I.F.)

Luego,

4.4.2 ( )( ) ( )1 11 1 .1 kk αα − ⊕⊕ ⊕ = ( )1 11 k α− ⊕

⊕ ( )1 k α


12

De donde,

4.4.3 ( )11 k α⊕ =

( )1 11k α− ⊕ ⊕

( )1 k α

├

4.5.- Proposición.

( 1 )1 k α⊕ =

( )

01

i ki

i

α=

=⊕

Demostración.

4.5.1. Si k = 0, la proposición es obvia.

Para k =1,2,… haremos la prueba por Inducción completa.

4.5.2 k =1.

(1 1 )1 ⊕ α = ( )1 1 α⊕ ⊕ =

( 0 )1 α ⊕

(1 )1 α

4.5.3 Hipótesis de Inducción. Sea válida la proposición para un entero 1k ≥ , arbitrario.

4.5.4 Sea 1,k k= +

( 1 )1 k α⊕ = ( 1 )1 k α⊕

⊕ ( )1 k α

, (4.4)

= ( )

01

i ki

i

α=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⊕ ⊕

( )1 k α, (4.5.3)

= ( )

01

i ki

i

α=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⊕

├

4.6. Proposición.- Si n, k son números enteros no negativos, entonces

( , )1 q n k α+ = ( , )1 q n α

. ( , )1 q n k α+

Demostración.- Proponemos al lector que realice la prueba de esta proposición.


13

4.7.- Proposición.- Si n, k son números enteros no negativos, entonces.

( )1 n k α+ =

( )1 n α.

( ),1 n k α

Demostración.- Esta proposición es un caso especial de 4.6.

4.8.- Proposición.-

( , 1)1 q k = 1, 1

1q

k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , k =1,2,…

Demostración. Inducción Completa.

4.8.1 Para 1k = , es obvio.

4.8.2 Hipótesis de Inducción.- Sea válida la Proposición para un entero 1k ≥ , arbitrario.

4.8.3 ( , 1 1 )1 q k+

= ( )( ) ( ), 11 1 .1 q kq k⊕ + +

= ( )( ) ( )1, 11 1 .1

q kq k

−

⊕ + + , (4.8.2)

= ( )( ) ( )( )11 1 . 1 1q k q k −⊕ + + ⊕ +

= ( ) 1 1 11 (( 1 ) 1)( 1)(( 1) )q k q k q q k− − −+ + + + ⊕ + + ⊕

= 1 1(( 1) 1)( 1)q k q− −+ ⊕ ⊕ +

= ( ) ( )( )11 1 1q k −⊕ + +

=

1, 111

qk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

├

4.9. Proposición.- Si k, n son números enteros positivos, entonces,

1,1

q kn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

1,1

q nk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


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Demostración.- Inducción Completa.

4.9.1 k = 1,

1,1

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

qn =

( ), 11 q n, (4.8)

4.9.2 Hipótesis de Inducción.- Sea válida la fórmula para un entero 1k ≥ , arbitrario.

4.9.3

1, 11

q kn

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ =

1,1(1 ( 1). ).1

q knq k n

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠⊕ + +

= 1,

1(1 ( 1). ).1q n

kq k n⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠⊕ + + , (4.9.2)

= ( 1) ( 1)( 2)...( ).( 1 ) ( 1)( 2)...( )

q k q q q nq k n k q k q k q n

+ + + + ++ + + + + + + + +

, (2.4)

= ( 1)( 2)...( ).( 2)( 3)...( 1)

q q q nk q k q k q n

+ + ++ + + + + + +

= ( 1)( 2)...( )( 1 1)( 1 2)...( 1 )

q q q nk q k q k q n

+ + ++ + + + + + + + +

= 1,

11q n

k⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ , (2.4)

├

Las proposiciones 4.8 y 4.9 son fórmulas de reducción, que sirven a los procesos de cálculo, de manera análoga a los ejemplos mostrados en 2.10 y 2.11.

4.10. Proposición.- La serie,

( ), 1

0

1 q k

k

∞

=∑ es divergente.

Demostración.-

4.10.1. Para q = 0, la prueba es simple a partir del ejemplo 2.10.

4.10.1.- Si q > 0, es fácil ver que para 11k q−> + se tiene que


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( ), 11 q k > 1

k

Comparando ahora con la serie armónica 1

1k k

∞

=∑ , se concluye que la serie

( ), 1

0

1 q k

k

∞

=∑

es divergente.

├

4.11. Proposición.- Para cada número real no negativo α , la serie

( ), 1

01 q k

k

α∞

+

=∑ , es divergente.

Demostración.- La proposición se prueba a partir de la Propiedad 3.7 y la Proposición 4.10.

4.12. Teorema.- Para cada número real no negativo α ,

( ), 1

0

1k n

q k

k

α=

⊕

=∑ = ( )( ) ( )( ), 11 1 . 1 1 q nq αα ++ + −

Demostración.-

4.12.1.- Si 0α = , el teorema es evidente.

4.12.2.- Para 0α > , razonamos por Inducción Completa.

4.12.3.- n = 0, Para el primer miembro de 4.12 se tiene: ( )

0, 1

0

1 1q k

k

α⊕

=

=∑ ; y para el

segundo miembro,

( )( ) ( )( ),0 11 1 1 1 ++ + − qq αα = ( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 1q qα α+ + − ⊕ + = ( )1 ( 1) 1q qα α+ + − + =1

4.12.4.- Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para un entero 0n ≥ , arbitrario.

4.12.5 1n n= +

( ), 1

0

1k n

q k

k

α=

⊕

=∑ =

( ), 11 q n α⊕ +

( ), 1

0

1k n

q k

k

α=

⊕

=∑


16

= ( ), 11 1( 1) ( 1 ).1 q nq n q αα +− −+ + + + +

( )( ),(1 ( 1) ) 1 1 q nq αα+ + −

(T.I.F.), (4.12.4)

= ( ) ( )( )( )( )1 1 ( , 1 )1 1(1 ( 1) ) 1 1 . 1 1 .1 q nq q n q n αα α α− − +− −+ + + + + − + + +

= ( )( ) ( )( ), 11 1 1 1 q nq αα ++ + −

├

El teorema 4.12 tiene un extraordinario valor teórico. La demostración algebraica

que hemos presentado aquí, está inspirada en un método usado por el matemático inglés G. H. Hardy en su libro: “A Course of Pure Mathematics”.Pág. 169. ex. 25. Cambridge. at the University Press. 1955. Tenth edition.

Sin embargo, la fórmula proporcionada en el teorema 4.12 no está relacionada con los trabajos de Hardy. Además, ignoramos si algún otro matemático ha encontrado un resultado semejante. La fórmula 4.12 fue obtenida por J. N. Urra por métodos analíticos, a través de la serie de contracciones y la función contráctil. 4.13. Proposición.- Para cada número real no negativo α .

( ), 1

01 1 ( 1)q k

kqα α

∞⊕

=

= + +∑

Demostración.-

4.13.1 ( ) ( ), 1 , 1

0 01 lim 1

k nq k q k

nk k

α α=∞

⊕ ⊕

→∞= =

=∑ ∑

= ( )( ), 1 1lim (1 ( 1) ) 1 1 q n

nq αα + ⊕

→∞+ + − , (4.12)

= 1 ( 1)q α+ + , (3.2) ├

En realidad, el intento por hacer una demostración algebraica de 4.13 fue lo que nos acercó al método de Hardy, referido anteriormente.

La serie ( ),

01

∞

=∑ q k x

k se denominará “Serie Factorial”. Las Proposiciones 4.11 y 4.13

se refieren entonces, al comportamiento de la serie factorial. En efecto, la Prop. 4.11 afirma


17

que la serie diverge para 1x ≥ y 4.13 afirma que converge para 0 1x≤ < , proporcionando además, el valor límite de la serie. Las notaciones usadas son adecuadas y útiles en cálculo contractivo. Es necesario percatarse de lo siguiente: “Si α es un número real no negativo, entonces 1 [1, )α+ ∈ ∞ y 1 [0,1)α⊕ ∈ ”. En algunas ocasiones nos referiremos a 1 α+ y 1 α⊕ como “variables contractivas” y supondremos 0α ≥ , a menos que se especifique lo contrario. 4.14 Proposición.-

( ), 11 q k

k n

α∞

⊕

=∑ = ( ),(1 ( 1) ).1 q nq αα+ + , n = 0,1,2,…

Demostración.- Basta aplicar 4.12 y 4.13. Los siguientes ejemplos ayudarán al lector a entender la naturaleza de la serie factorial. 1.- Estudiar el comportamiento de la serie:

7.11 7.11.15 ...13.17 13.17.21

λ = + +

y calcular su valor límite, si es convergente. Solución.- Escribiendo los términos de la serie λ en la forma 2.4, se tiene,

3 3 3 3 31 2 1 2 34 4 4 4 4 ...

3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 1 2 32 4 2 4 2 4 2 4 2 4

λ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= + +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

3 2 3 2, 2 , 34 3 4 31 1 ...λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + +

De donde, 3 2,4 3

21

k

kλ

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=∑

Se observa de inmediato que la serie converge.

Escribiendo ahora, 2 1 23= ⊕ , se tiene,

3 , 1 24

2

1⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑k

k

λ

= 3 , 2 2431 1 .2 .1

4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, (4.14)


18

= 7 7 111 1 12 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 7726

2.- Estudiar el comportamiento de la serie.

( )( ) ( )( )( )8 8.10 8.10.12 ...

8 2 8 2 10 2 8 2 10 2 12 2σ = + + +

+ + + + + +

Solución.- Escribiendo los términos de la serie en la forma 2.4, se tiene,

( )3, 2

11

k

kσ

∞

=

=∑

Mostrando que la serie diverge. Es conveniente destacar la forma del teorema 4.12 y las proposiciones 4.13 y 4.14, para el caso q = 0. Se obtienen los siguientes resultados.

4.15 ( ) ( ) ( )( )1 1

01 1 1 1

nk n

k

α αα⊕ +

=

= + −∑

4.16 ( )1

0

1 1∞

⊕

=

= +∑ k

k

α α

4.17 ( ) ( )11 (1 ).1

∞⊕

=

= +∑ k n

k n

α αα

Por otra parte, haciendo leves modificaciones en los segundos miembros de dos de las fórmulas, 2.12.3, 2.12.1 y 2.12 en la Lección N° 1, se tiene.

4.18 ( ) ( ) ( )( )1

01 1 1 1

k nk n

kα α α

=+

=

⊕ = + − ⊕∑ , 0.α >

4.19 ( )0

1 1k

k

α α∞

=

⊕ = +∑ , 0.α >

4.20 ( )1 (1 )(1 )∞

=

⊕ = + ⊕∑ k n

k n

α α α , 0.α >

La perfecta analogía que se observa entre las parejas de fórmulas 4.15↔4.18,

4.16↔4.19 y 4.17↔4.20, tiene gran importancia teórica; y será referida como “Analogía Geométrico-Factorial”


19

Pero hay que advertir que la relación entre 4.16 y 4.19 es más profunda. Se trata de un resultado sorprendente, el cual es necesario resumir.

4.21. ( ) ( )1

0 01 1 1

∞ ∞⊕

= =

⊕ = = +∑ ∑k k

k k

αα α , 0.α >

El siguiente ejemplo permitirá al lector ver el alcance de la fórmula 4.21. Ejemplos: Considérense las series numéricas

2 32 2 21 ...3 3 3

σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2.4 2.4.61 ...5 5.7 5.7.9

λ = + + + +

Estas series pueden escribirse en las formas siguientes:

( ) ( )1 2

0 0

1 2 , 1k k

k k

σ λ∞ ∞

⊕

= =

= ⊕ =∑ ∑

Por lo tanto, según 4.21 debe tenerse que, 1 2 3σ λ= = + =

Es claro que σ puede obtenerse por métodos convencionales. En efecto, 1 321

3

σ = =−

Veremos ahora una importante aplicación de las contracciones factoriales, relacionada con el cálculo de la función Beta.

Usaremos la definición:

( )1

1 1

0

, (1 )x yx y t t dtβ − −= −∫

4.22.- Teorema. Primera Forma Factorial de Beta (P.F.F.β .) Para cada número real positivo α ,

( ) ( )111, .1−−−=

kk

αβ α α , k = 1,2,…

Demostración.- Inducción Completa. 4.22.1 k = 1

( )111 11 1

0

( ,1) .1t dtααβ α α−−− −= =∫

4.22.2 Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para un entero 1k ≥ , arbitrario 4.22.3 Sea 1k k= +


20

( )1

1

0

, (1 )kk t t dtαβ α −= −∫ =

1 11 1 1

0 0

(1 ) (1 )k kt t dt t t dtα α− − −− − −∫ ∫

= ( , ) (1 , )k kβ α β α− +

= ( ) ( ) ( )( )11 1 11 11.1 1 .1

kk ααα α

−− − +− −− − + , ( )4.22.2

= ( ) ( ) ( )1 11 1 11 1.1 1 .1

k kα αα α

− −− − ⊕− −− ⊕

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 11 .1 1 . . 1 .1

k kk k

α αα α α α

− −− − − −+ − ⊕ + , (S.I.F.)

= ( )( ) ( )11 1 11 .1

kk k

αα α

−− − −+ −

= ( )1

1.1k α

α−

− ├ Ejemplos.

1.- 3422 3 3 3.6.9.12 729,5 .1 .

3 2 2 5.8.11.14 1540

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠β

2.- ( ) ( )( ) ( )( )1251 1 1.2 25,3 .1 .

5 5 1 5 2 5 5 1 5 2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

+ + + +β

4.23.- Teorema. Segunda Forma Factorial de Beta (S.F.F. β .) Para cada número real positivo α ,

( )11(1 , ) .1

kk

kα

β α−

+ = , k = 1,2,…

Demostración.-

4.23.1 ( ) ( ) ( )( )11 111 , 1 .1k

kα

β α α−− +−+ = + (P.F.F. β .)

( ) ( )11 111 .1−− ⊕−= ⊕

k αα

( ) ( ) ( )11 11 . . 1 .1

−− −= ⊕ +

kk

αα α , (S.I.F.)

( )11 .1

−

=k

kα

├


21

4.24. Teorema.- Para cada número real positivo α , la serie

1

(1 , )k

kβ α∞

=

⊕∑ diverge

Demostración.-

4.24.1 1

(1 , )k

kβ α∞

=

⊕∑ = ( ) ( )( )11 11

1

1 .1k

k

αα

−∞ − ⊕−

=

⊕∑ (P.F.F. β .)

= ( ) ( )11 11

11 .1

k

k

αα

−∞ − +−

=

+∑

= ( ) ( )111

0

1 .1k

k

αα

−∞ +−

=

+∑

Pero la serie ( )11

01

k

k

α −∞ +

=∑ diverge según 4.11, luego, la serie

1(1 , )

kkβ α

∞

=

⊕∑

también diverge.

Nota: Obsérvese que ( )1

1,k

kβ∞

=∑ es también divergente.

4.25. Teorema.- (J. N. Urra) Para cada número real positivo α ,

1

1(1 , )

kkβ α α

∞−

=

+ =∑

Demostración.-

4.25.1 ( ) ( )( )11 11

1 1

( 1 , ) 1 .1k

k k

kα

β α α−∞ ∞ − +−

= =

+ = +∑ ∑ , (P.F.F. β .)

= ( ) ( )11 11

1

1 1k

k

αα

−∞ − ⊕−

=

⊕ ∑

= ( ) ( )111

01 1

−∞ ⊕−

=

⊕ ∑ k

k

αα

= ( )( )1 11 1α α− −⊕ + , (4.16)

= 1α− ├


22

4.26.- Teorema.- Urra-Saavedra (U-S) Para cada número real positivo α ,

( )(1 , ) ,k n

k nβ α β α∞

=

+ =∑ , n =1,2,...

Demostración.-

4.26.1 ( ) ( )11 (1 )11 , (1 ) .1k

k n k nk

αβ α α

−∞ ∞ − +−

= =

+ = +∑ ∑ , (P.F.F. β .)

= ( ) ( )111

11 . 1

k

k n

αα

−∞ ⊕−

= −

⊕ ∑

= ( ) ( ) ( )111 11 . 1 .1n α

α α−−− −⊕ + , (4.17)

= ( )111 .1

n αα

−−−

= ( ), nβ α , (P.F.F. β .) ├ 4.27. Proposición.- Para cada número real positivo α ,

( ) ( )(1 , ) , , 1m

k nk n mβ α β α β α

=

+ = − +∑ , 1m n≥ ≥

Demostración.-

4.27.1 1

(1 , ) (1 , ) (1 , )m

k n k n k mk k kβ α β α β α

∞ ∞

= = = +

+ = + − +∑ ∑ ∑

= ( ) ( ), , 1n mβ α β α− + , (U-S) ├ 4.28. Proposición.- Para cada número real positivo α ,

( ) ( )11 .1 ,k

k nn

kα β α

∞−

=

=∑ , n =1,2,...

Demostración.- Es suficiente aplicar la S.F.F. β . y el teorema de Urra-Saavedra. A modo de un primer ejercicio didáctico, usaremos la Prop. 4.28 para resolver el Ex.25 que aparece en la Pág. 169 del libro A Course of Pure Mathematics de Hardy, del cual se hizo referencia a continuación de la demostración del teorema 4.12.


23

Con la más profunda admiración a Hardy, nos atrevemos a invadir algunas áreas de su trabajo. Plantearemos el problema en su forma original. SUM THE SERIE

( ) ( )1

11 ... kϑ ϑ ϑ

∞

+ +∑

Solución:

( ) ( )

1

1 1

1 1 111 ... !

⎛ ⎞∞ ∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

=+ +∑ ∑

k

k kϑ

ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ , (2.6)

1

1

1 1 1!

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑ k

k

ϑ

ϑ ϑ , (2.9)

1 ( , 1 )

!= k

kβ , (4.28)

1!

=k k

Nos proponemos ahora hacer un segundo ejercicio didáctico. Mostraremos una relación entre la función Gama y las contracciones factoriales. En el libro “Higher Trascendental Functions”. Volumen 1. Segunda Edición, basado en parte en las notas manuscritas dejadas por Harry Bateman, quien fue profesor del Instituto Tecnológico de California; impreso y publicado por Robert E. Krieger, Publishing Company Inc. Malabar, Florida. 1981, se afirma que la definición 1.1.(2) presentada en la Pág. 1. del capitulo 1, para la función Gama, es decir,

( ) ( ) ( )!.lim

1 ...

z

n

n nzz z z n→∞

Γ =+ +

, Re(z) > 0

fue utilizada por Gauss en sus trabajos. Ningún miembro de nuestro grupo de investigación sobre funciones contráctiles ha tenido acceso a los trabajos originales de Gauss. Pero sabemos de la magnitud de su Obra; y de nuestra gran admiración al genio. Lo que haremos es simple. A partir de la definición usada por Gauss, probaremos la siguiente proposición. 4.29. Proposición.- Para cada número real positivo α ,

( ) ( )lim , 1n

n nαα β α→∞

Γ = +


24

Demostración.

4.29.1 ( ) ( )!lim

( 1)...n

n nn

α

αα α α→∞

Γ =+ + , (Gauss)

= ( )1

1lim . 1n

nn

αα α−

−

→∞, (2.6)

= ( )lim . , 1n

n nα β α→∞

+ , (P.F.F. β .)

├ A partir de la Prop. 4.29, se deducen directamente y de manera muy simple, algunas propiedades algebraicas de la función Gama, que son de uso común.- Veamos los siguientes ejemplos.

1.- ( ) ( )1 lim 1, 1n

n nβ→∞

Γ = + , (4.29)

= ( )1lim .1

→∞

n

nn , (P.F.F. β .)

=

11lim .1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→ ∞

n

nn

= 1lim . 1

nn

n→∞

⎛ ⎞⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )lim 1n

n→∞

⊕

= 1

2. ( ) ( )11 lim 1 , 1k

nk n k nβ+

→∞Γ + = + + , k=1,2… (4.29)

=

11 1lim .1

1

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

→ ∞ +

k nk

n

nn , (S.F.F. β .)

=

111lim .1

1

k kn

n

nn

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

→ ∞ + , (2.9)

= ( )( ) ( )1 !lim .

1 2 3 ... 1

k

n

n kn n n n k

+

→∞ + + + + +


25

= !lim

1 2 11 1 ... 1n

kk

n n n→∞ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= k! , k=1,2…

3.- ( ) 11 lim (1 , 1)n

n nαα β α+

→∞Γ + = + + , (4.29)

= ( )111 1lim 1

1n

nn

nαα

−++

→ ∞ + , (S.F.F. β .)

= ( )( ) ( )11lim (1 ) 1 1 1

n

nn n n

αα α−

−

→∞⊕ ⊕ +

= ( )( )1lim 1 1 ( , 1)n

n n nα α αβ α−

→∞⊕ ⊕ + , (P.F.F. β .)

Pero, ( )( )1lim 1 1 1n

n α −

→∞⊕ ⊕ = y ( )lim ( , 1)

nn nαβ α α

→∞+ = Γ

Luego, ( ) ( )1 α α αΓ + = Γ .

Es necesario dar sentido a la contracción factorial

1,1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

q kα para el caso 0α =

4.30. Definición,

1 1, ,0

01 lim 1

q k q kx

x +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→=

El lector debe percatarse de los siguientes aspectos relevantes de la Def. 4.30.

4.30.1. La Def. 4.30 da sentido formal a la contracción factorial

1,01

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

q k

, pero no al

cociente “ 10

”.

4.30.2 En cada caso,

1,01 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

q k, k = 1,2,…

Haremos un tercer ejercicio didáctico. Resolveremos otro problema tomado del libro de Hardy, referido previamente. Iremos al párrafo 73 de la Pág. 142. Se trata del clásico problema de identificar el valor del número e. Nuestro método lleva otra vez el sello de Hardy en su parte inicial. En este caso, el uso de la fórmula de Newton para calcular las potencias enteras de un binomio.


26

4.31. Problema.-

Determinar 1lim 1n

n n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución:

4.31.1. 0

1lim 1 limn k n

k

n n k

nn

kn

=−

→∞ →∞=

⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ , (Newton)

= 0

lim .k n

k

n k

nn

n k

=−

→∞=

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

=

11

1

lim 1 1 .k n k

n k k

n k

n−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

→∞=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ , (2.8)

= ( ) ( ) ( )1

1 2 ...lim 1

!

k nk

n k

n k n k n k kn

k

=−

→∞=

− + − + − +⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

= 1

1 21 1 ... 1lim 1

!

k n

n k

k k k kn n n

k

=

→∞=

⎛ − − − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

= 1

11!k k

∞

=

+ ∑

Antes de realizar la próxima aplicación es necesario hacer una importante observación sobre la definición de contracción factorial. Observación: “La Def. 1 puede aplicarse sin modificaciones, para valores q > -1”. Además son válidos si q > -1, todos los teoremas y proposiciones en los cuales se aplica esta definición, siempre que no contemplen restricciones adicionales para q. Calcularemos ahora el valor límite de la serie.

4.32. 0

1( )( )k k n k n p

∞

= + + +∑ , siendo n, p números enteros positivos.

La relación

4.32.1 1

0 0

1 1( )( ) ( )( ( 1) )

= + −∞ ∞

= = =

=+ + + + + +∑ ∑ ∑

i n p

k i n kk n k n p i kp i k p

se obtiene por reordenación de términos. Lo que es posible, por tratarse de una serie convergente de términos positivos. En lo que sigue, recurriremos al cálculo contractivo.


27

4.32.2 0 0

1 1 1.( )( ( 1) ) ( ) (1 )(1 )

∞ ∞

= =

=+ + + + + +

+

∑ ∑k k kp kpi kp i k p i i p

i i p

= 0

1 (1 )(1 )( ) k

i i pi i p kp kp

∞

=

+⊕ ⊕

+ ∑

= 11 , 2

0

1 1( )

ip k

ki i p

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=+ ∑

= 1 , 1 1

0

1 1( )

i kp

ki i p

⎛ ⎞∞ − ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

=+ ∑ , (4.9)

= 1 . 1( )

ii i p p

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

, (4.13)

= 1p i

Introduciendo este resultado en 4.32.1, se tiene,

4.32.3 1

0

1 1 1( )( )

= + −∞

= =

=+ + +∑ ∑

i n p

k i nk n k n p p i

No conocemos bibliografía que haga referencia a la fórmula 4.32.3. Pero Hardy, Ramanujan y algunos matemáticos anteriores a ellos, disponían de los métodos para encontrar el valor límite de la serie 4.32.2. Por esta razón, debemos suponer que la fórmula 4.32.3 es conocida. Consideremos ahora el siguiente ejemplo:

4.33. 11

i n

i k

i nk k

=

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ , n k≥

La demostración de esta fórmula se ubica en el ámbito del álgebra convencional. En efecto, basta aplicar el axioma de Inducción Completa. Pero nuestro interés, es aproximarnos a la esencia del cálculo contractivo, por lo tanto recurriremos a las contracciones factoriales y haremos una demostración que consistirá en calcular el valor de la suma del primer miembro de 4.33. Así, veremos además, un método para generar la fórmula. Demostración: 4.33.1 Sean n, k enteros no negativos, tales que n k≥ . 4.33.2 Para cada i, ,k i n≤ ≤


28

1

.1 1i k

kik

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠, (2.8)

Luego,

4.33.3

1

1 1i n i n i k

k

i ki k

ik

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

==

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⊕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ , (T.M.S.)

Pero

4.33.4 1 1

01 1 ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =⊕ = ⊕ = +

j n ki n i k jk k

i k ji j k

11

11

1

1 , ( . 4.5)

1

1(2.8)

1

⎛ ⎞− ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

−

=

=

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

n kk

n kk

Prop

nk

Introduciendo este valor en 4.33.3 se tiene,

4.33.5 11

i n

i k

i nk k

=

=

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

├ Mostraremos ahora la forma contractiva del Teorema del Binomio de Newton. 4.34. Proposición. Para cada par de números reales positivos a, b y cada entero no

negativo n,

( )1

01 . .

k n n kn k n k k

ka b a b

⎛ ⎞= −⎜ ⎟ −⎝ ⎠

=⊕ = ⊕


29

Demostración:

4.34.1 ( ) ( )1

1 1. .1 . . 1n kn k k k n k kn

a b a bk

⎛ ⎞−⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0 k n≤ ≤

4.34.2 ( ) ( )1

1 1

00. 1 . . 1

k n k n n kn k k k n k k

kk

na b a b

k

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠

==

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⊕ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ , (T.M.S.)

Pero,

4.34.3 ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0

.k n n k k n

k

na b a b

k

= −− − − −

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , (T. Binomio de Newton)

Además,

4.34.4 ( ) ( )1 1 . 1n na b a b− −+ ⊕ =

Relacionando 4.34.2, 4.34.3 y 4.34.4 se completa la demostración. La siguiente aplicación se relaciona con el cálculo de integrales impropias de la forma

4.35.- ( ) k 10

x dx1 x

α∞

α+ ++∫ , α > 0, k = 1,2,…

En general, este tipo de integrales se ubica en el ámbito de las funciones contráctiles, pero veremos que en este caso, por ser un caso particular (k entero), las contracciones factoriales son suficientes para obtener el resultado.


30

Solución:

4.35.1 ( )( ) ( )k 11

k 10 0

x dx 1 x 1 x dx1 x

α∞ ∞ +α −α+ + = ⊕ ⊕

+∫ ∫

( ) ( )( )k 1

01 x 1 1 x dx

∞ +α= ⊕ − ⊕∫

Haciendo el cambio de variable 1 x t⊕ = , se tiene,

4.35.2 ( )( )

1 k 1k 10 0

x dx t 1 t dt1 x

α∞ −αα+ + = −

+∫ ∫

( )1 , k= β + α El resultado se obtiene ahora aplicando S.F.F. β .

4.35.3 ( )

1k

k 10

x 1dx .1 , 0, k 1,2,...k1 x

⎛ ⎞α ⎜ ⎟∞ α⎝ ⎠α+ + = α > =

+∫

Los lectores pueden comprobar directamente que, con arreglo a la Def. 4.30, la fórmula 4.35.3 es válida también para 0α = . Veremos ahora una aplicación relevante desde el punto de vista teórico. Probaremos el siguiente teorema: 4.36.- Teorema.- Para cada número real positivo p y cada entero positivo k,

( )1

0

(1 ) 1 k pp kx dx− =∫

Demostración.- Haciendo el cambio de variable pu x= se tiene, 4.36.1

( )

11 1 1

0 0

1(1 ) (1 )

1 1( , 1 )

1 ( . . . )

−− = −

= +

=

∫ ∫p k kp

k p

x dx u u dup

kp p

P F F

β

β

├


31

Usaremos la fórmula 4.36 para generalizar el concepto de contracción factorial. 4.37. Definición. Para cada par de números reales positivos α , p, se define la Contracción Factorial Generalizada, por la relación:

( )1

0

1 (1 )p px dxα α= −∫

El lector puede probar que para el caso p = 2, el cambio de variable x = sen t induce la transformación

4.37.1 ( )

22 2 1

0

1 (cos )t dt

π

α α += ∫

La fórmula 4.37.1 puede ser usada en dos sentidos diferentes. Para calcular la integral del segundo miembro o para calcular la contracción factorial del primer miembro. Veamos los siguientes ejemplos:

4.37.2 ( )

23 27

0

16cos 135

t dt

π

= =∫

4.37.3 ( )

25 211

0

256s 1693

en t dt

π

= =∫

4.37.4

1 2222

0

1 cos4

t dt

π

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =∫

4.37.5

3 2242

0

31 cos16

t dt

π

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =∫

La primera forma factorial para la función Beta (P.F.F. β .), se extiende también a contracciones factoriales generalizadas, tomando la forma siguiente:


32

4.38

11( ,1 ) 1 , 0 , 0pp pp

α

β α α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ = > ≥

En efecto,

4.38.1

11

0

( ,1 ) (1 )pp x x dxαβ α −+ = −∫

Haciendo el cambio de variable 1px t= , se tiene

4.38.2

111

0

1 1( ,1 ) (1 ) 1 ppp t dtp p

ααβ α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ = − =∫

El teorema que sigue resume una de las propiedades más relevantes de las contracciones factoriales generalizadas. 4.39 Teorema. Para cada par de números reales positivos α , p,

( ) ( )1 1

1 1pp αα− −

=

Demostración: A partir de la P.F.F. β se tienen las siguientes relaciones:

4.39.1 ( ) 1 11 . ( , 1 )p p pα β α− −= +

4.39.2 ( )1 111 . ( , 1 )

pp

αα β α

− −−= +

Pero ocurre que,

4.39.3 1 1 1. ( ,1 ) . ( , 1 )p p pβ α α β α− − −+ = +

Luego,

4.39.4 ( ) ( )1 1

1 1pp αα− −

= ├

Veamos algunos ejemplos prácticos del teorema 4.39.


33

4.39.5

11 323 2 61 1

(1 2)(2 2)(3 2)

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =+ + +

4.39.6

1 2 3 22 3 2 31 1

16π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = (4.37.5)

4.39.7 ( )

1 112 33 23

0

91 1 114

xdx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− = = =∫

4.39.8

11 5353

0

(1 ) 1x dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− =∫

135 61

(1 5)(2 5)(3 5)

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+ + +

El teorema que sigue es útil en el cálculo contractivo. 4.40 Teorema. Para cada par de números reales positivos α , p,

( ) ( ) ( )1 111 1 (1 ).1p p ppα α α+ ⊕−= − ⊕

Demostración:

4.40.1 ( )1

1 1

0

1 (1 )+ += −∫p px dxα α

1

01 1

0 0

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

= − −

= − − −

∫

∫ ∫

p p

p p p

x x dx

x dx x x dx

α

α α

Pero,


34

4.40.2 1

1

0

1(1 ) . (1 ,1 )p px x dx pp

α β α−− = + +∫

Luego,

4.40.3 ( ) ( )1 111 1 . (1 ,1 )p p p

pα α β α+ −= − + +

De donde,

4.40.4 ( ) ( ) ( )1 111 1 (1 )1p p ppα α α+ ⊕−= − ⊕ , (P.F.F. β .)

├ 4.41. Ejemplos.

1) 3 1 12 2 1 22 2 211 1 (1 ).1

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⊕

1 22 311

4 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= −

π

Pero,

1 2 3 22 3 21 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= , (4.39)

Luego,

3 22 31

16π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ =

2) 5 3 32 2 1 22 2 211 1 (1 ).1

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⊕

3 22 33 11

16 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= −

π

Luego,

2-1)

3 25 22 32 1 31 1

3 16π⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =

Por otro lado,


35

2-2) 3 2 1 2 1 212 3 2 3 2 331 1 (1 ).1

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⊕

1 22 53 3 .1

16 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= −

π

De donde,

2-3)

3 25 22 323 31 1

5 16π⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por 2-1) y 2-3) se obtiene,

2-4)

3 22 3 31

32π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = ,

5 22 51

32π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ =

4.42. En los siguientes ejemplos haremos integración numérica.

1) Calcular la integral definida, 4

793

0

3(1 )2

I x dx= −∫

Solución.- El cambio de variable 49

x t= induce la siguiente transformación.

1-1) 7 11 73 23

0

4 4(1 ) .19 9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − =∫I t dt

3274 .1

9465

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

=

2) Calcular el valor límite de la integral impropia

4

200 3(1 )

xI dxx

∞

=+

∫

Solución: La integral puede escribirse en la forma,


36

2-1) 8 203 3

0

(1 )∞

−= ⊕∫I x x dx

Haciendo el cambio de variable 5(1 )u x= ⊕ se tiene,

2-2) 1 2

5 3

0

1 (1 )5

= −∫I u du

2 13 5

352

1 .15

1 729.15 13090

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= =

En el ejemplo que sigue se aplica la idea inicial que se usó en le problema 2). Pero hay una variante que resuelve el problema sin necesidad de recurrir a contracciones factoriales. La presentación de este caso se hace por razones didácticas.

3) Probar que, 1

10

1 , 0(1 )

∞ −

+ = >+∫

p

p

x d x px p

Solución:

3-1)

12 1

10 0

(1 )(1 )

pp

p

x dx x x dxx

∞ ∞−− +

+ = ⊕+∫ ∫

Esta es la idea inicial en la solución de 2). Pero en lugar de cambiar variable, seguiremos el método convencional.

3-2) 1

2 11

0 0

lim (1 )(1 )

∞ −− +

+ →∞= ⊕

+∫ ∫tp

pp t

x dx x x dxx

1lim (1 )

1

→∞

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

p

tt

p

p


37

Debemos advertir que los ejemplos anteriores son casos particulares de integrales cuyo valor numérico puede calcularse mediante el uso de funciones contráctiles. Probaremos ahora una importante fórmula, referida como Forma Factorial Generalizada para la función Beta (F.F.G. β .). 4.43.- Teorema.- (F.F.G. β .) Para cada par de números reales positivos x, y,

( ) ( )11 1( , ) .1

y xx y x yβ

−− −= +

Demostración.- Partimos de la conocida relación

4.43.1 ( , ) ( , 1) ( 1, )x y x y x yβ β β= + + + Luego,

4.43.2 ( ) ( )1 1

1 1( , ) .1 .1 ,y x x y

x y x yβ− −

− −= + (P.F.F. β )

( ) ( )1 1

1 1.1 .1y x y x

x y− −

− −= + (4.39)

( )1

1 1( ) .1y x

x y−

− −= + ├

Ejemplos.

1) 3 221 3 2 8 3, 2 .1 .

2 2 3 3 16 2π πβ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) ( )1431 13,4 .1

43

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠β

4 3 24.4 3 (1 3)(2 3)(3 3)(4 3)

63(1 3)(2 3)(3 3)

+=

+ + + +

=+ + +


38

Consideremos ahora dos números reales positivos α , p. Si α no es entero, entonces existe un número entero n tal que 1n nα< < + . Luego, debe ocurrir que:

4.44 ( ) ( ) ( )11 1 1n p p n pα+ < <

El intervalo abierto

4.44.1 ( ) ( )( )11 , 1n p n p+

será referido como Intervalo de Aproximación Factorial para la contracción ( )1 pα

y se denotará por IAF ( )pα .

La longitud de IAF ( )pα es

4.44.2 ( )( ) ( ) ( )1IAF p 1 1 += −n p n pl α

( )( )1 .1

1 1=

+ +n p

n p

Es claro que,

4.44.3 ( )( )0 1l IA F pα< <

El Intervalo de Aproximación Factorial es de gran utilidad en el cálculo con contracciones factoriales. Veamos algunos ejemplos.

1) ( )33 2

1 33 220

cos 1x dxπ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠=∫

No es fácil intuir una aproximación decimal al resultado. Pero 3 32 3 .2

< <

Luego,

( ) ( )

33 23 2 2 221 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠< <

De donde,


39

( )1 3320

16 8cos35 15

x dxπ

+< <∫

La longitud del intervalo es:

33 82 0.0762 105

l IAF⎛ ⎞⎛ ⎞

= ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2) ( )

6 8 77 1

0 7

1 .111

x dxx

πππ

π π

−⎛ ⎞⎜ ⎟∞ +⎝ ⎠=

++∫

Pero,

7 6 8 7 72 11 7 1 11 1 1

ππ π π

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠< <

Luego,

( )( )( ) ( ) ( )( )0 7

98 71 8 15 1 81

x dx

x

π

ππ π π π π∞

< <+ + + + ++

∫

De donde,

( )0 70 .1 1 7 0 .1 5 2

1

x d xx

π

π

∞< <

+∫

La longitud de este intervalo de aproximación es l = 0.035

3)

13921 1( 2, 39) .1

2 39β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠, (F.F.G. β )

Pero,

1 1 17 39 62 2 21 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠< <

Luego,


40

13920.063937169 1 0.076854428

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠< <

Para ( )2 , 39β se obtiene el intervalo de aproximación

( )0.055 2, 39 0.067β< <

la longitud de este intervalo es. 0.012l ≈ Aplicaremos ahora la teoría de las contracciones factoriales al estudio de la integral

impropia

4.45.- ( )0 1

r

qp

x dxx

∞

+∫

Siendo p, q, r números reales no negativos. Necesitamos demostrar previamente dos proposiciones que servirán posteriormente como premisas. 4.46.- Proposición.- Para cada par de números reales α ,p tales que α >0, p>1,

( )

11 1

0

1 .11

p

px dxx

αα

α α

⎛ ⎞∞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =+∫

Demostración:

4.46.1 ( )

( ) ( )1 11 1

0 0

1 11

∞ ∞− +− −+ = ⊕ ⊕

+∫ ∫p

px dx x x dxx

αα

α

( ) ( )( ) 11

0

1 1 1∞

+−= ⊕ − ⊕∫p

x x dxα

Haciendo el cambio de variable 1t x= ⊕ , se tiene


41

4.46.2 ( )

( )11

11

0 0

11

∞ −−−

+ = −+∫ ∫

pp

x dx t t dtx

αα

α

( )( )( ) ( )

( )11

,

, 1 1 , 1

1 .1 , . . . .⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= − + >

=p

p

p p

P F Fα

β α

β α

βα

├

4.47.- Proposición.- Para cada par de números reales positivos , pα

( )

1

10

1 .11

pp

x dxpx

α α

α

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + =+∫

Demostración.-

4.47.1 ( )

( ) ( ) 111

0 0

1 11

∞ ∞+−

+ + = ⊕ ⊕+∫ ∫

p

px dx x x dxx

αα

α

( ) ( )( ) 1

0

1 1 1∞

+= ⊕ − ⊕∫

px x dxα

mediante el cambio de variables 1t x= ⊕ se tiene,

4.47.2 ( )

( )1

11

0 0

11

∞−

+ + = −+∫ ∫

pp

x dx t t dtx

αα

α

( )

( )1

1 ,

1 .1 , . . . .⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

= p

p

P F Fp

α

β α

β

├

Nota: La Prop. 4.47 es también válida si 0α = . Sobre la integral impropia 4.45, demostraremos 4 proposiciones. 4.48.- Proposición.- Para cada número real p >1,


42

11

0

.11 1

pp p

p

dx px p

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=+ −∫

Demostración.- 4.48.1.- El cambio de variables pt x= induce la siguiente transformación:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1

0 01 1

20

1 11

1 2 1 1 1 10 0

111

11

11 1

111

1 1

1 1

11 .1 , 4.46 , 4.471

.1 , 4.391

p

p

p

p p

p pp p p p

pp pp pp

pp p

dx t dtx p t

t tdt

p t

t tdt dtp pt t

p

pp

−∞ ∞

−∞

−∞ ∞

− −+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

=+ +

+=

+

= ++ +

= +−

=−

∫ ∫

∫

∫ ∫

├ Ejemplos:

1)

1 22

20

2.1 2.1 4 2

dxx

π π⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

+∫

4.49.- Proposición.- Para cada par de números reales positivos p, r, tales que p > r + 1,

( ) ( )( )( )

11

0

.11 1 1

r prp p r

p

x pdxx r p r

⎛ ⎞+∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠=+ + − +∫

Demostración: Basta hacer el cambio de variable 1rt x += y aplicar 4.48. ├


43

Nota: La Prop. 4.49 es también aplicable si r > -1. Ejemplo:

1) 1 22

30

411 3 3

x dxx

π⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+∫

4.50.- Proposición: Para cada par de números reales p, q, tales que p > 0, 1 pqp+

≥ ,

1

0

1(1 )

pq pp

p q

dxx

⎛ ⎞+∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+∫

Demostración: Basta hacer el cambio de variable px t= y aplicar 4.46. Ejemplos:

1) ( )3 33 2 22 2

320

31 1161

dx

x

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

+∫

2) ( )11 3773

1130

11 11201

dx

x

⎛ ⎞⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =+

∫

4.51.- Proposición.- Si p, q, r son números reales positivos tales que 1r pqp

+ +≥ ,

entonces

( )

11

0

1 .111

r p pr qp r

qp

x dxrx

⎛ ⎞+ +∞ −⎜ ⎟+⎝ ⎠=++

∫

Demostración.- Basta hacer el cambio de variable 1rt x += y aplicar la Prop. 4.50. Nota: La Prop. 4.51 es todavía válida si r > -1. ├ Ejemplo:


44

1) ( )1 222 3

320

1 .13 161

x dxx

π⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+∫

2) ( )13 48

130

1 1.14 19801

x dxx

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+∫

3) ( )25 03

420

1 1.16 61

x dxx

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+∫

El lector debe percatarse de que las proposiciones 4.50 y 4.51 se refieren a condiciones suficientes para asegurar la convergencia de la integral impropia de la forma 4.45 y calcular al mismo tiempo su valor. Pero tales condiciones no son necesarias. En efecto, las integrales que tienen la forma de la Prop. 4.48 no satisfacen la hipótesis de la Prop. 4.50, sin embargo, son convergentes. Del mismo modo, las integrales que tienen la forma de la Prop. 4.49 convergen, sin satisfacer la hipótesis de la Prop. 4.51. Terminaremos la parte expositiva de esta lección, demostrando la “Cuarta Identidad Factorial” o “Teorema del Ensamble”. Se trata de un teorema fundamental, de fuerte impacto teórico, que muestra una relación que conecta (ensambla) la Contracción Factorial Generalizada de la Def. 4.37, con la Contracción Factorial Algebraica de la Def. 1. 4.52.- Teorema.- Cuarta Identidad Factorial (C.I.F.) Para cada par de números reales positivos α , p; y cada entero positivo k,

( ) ( ) ( )k p p ,k p1 1 .1α+ α α= Demostración: (Inducción Completa).

4.52.1. k=1, ( ) ( )1 11p p

01 1 x dx

α+α+ = −∫ , (4.37)

( ) ( )1 1p p p

0 01 x dx x 1 x dx

α α= − − −∫ ∫

( ) ( ) ( )

11p pp

0

11 t 1 t dt , t xp

αα= − − =∫


45

( )p 11 1, 1

p pα ⎛ ⎞1

= − β + α +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )

1 1,p p 111 .1

p 1

⎛ ⎞⎜ ⎟α α+⎝ ⎠= −

α + , (P.F.F.β )

( )

( )( )p 1p11 .1

1 pα α+= −

α + , (4.39)

Luego,

4.52.2. ( )

( )( )1p p11 1 1

1 pα+ α⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎜ ⎟α +⎝ ⎠

De donde,

4.52.3. ( ) ( ) ( )( )1p p1 1 . 1 1 pα+ α= ⊕ α +

( ) ( )p ,1p1 .1α α=

Mostrando que el teorema es válido para k = 1. 4.52.4. Hipótesis de Inducción. Sea válido el teorema para un entero k ≥ 1, arbitrario.

4.52.5. Sea k k 1,= + ( ) ( )k p 1 k p1 1α+ α+ +=

( ) ( )1p 1,k p1 .1α+ α+= , (4.52.4)

( ) ( ) ( )p ,1p 1,k p1 .1 .1α α α+= , (4.52.3)

( ) ( )p ,k 1p1 .1α α += , (Prop. 4.6)

( ) ( ),k pp1 .1 αα=

├ La cuarta identidad factorial tiene incidencia significativa en las aplicaciones del cálculo numérico contractivo. Veamos algunos ejemplos. 4.53. Ejemplos.


46

4.53.1. 7 2282

0cos tdt 1

⎛ ⎞π ⎜ ⎟⎝ ⎠=∫ , (4.37.1)

1 3 221

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=

1 12 ,3 22 21 .1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= , (C.I.F.)

( )( )( )1 3 1 5 1 74π

= ⊕ ⊕ ⊕ , (4.37.4)

35256π

=

4.53.2.

1 2k2 5

k 0 k 0

5 3 2,k .12 2 5

⎛ ⎞∞ ∞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞β + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , (P.F.F.β )

1 2 1 2,k2 5 2 5

k 0

2 1 .15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= ∑ , (C.I.F.)

1 2 1 2,k 12 5 2 3

k 0

2 .1 . 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= ∑

2 5 1 2. . 1 1 .5 32 2 3

π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, (4.13), (4.41)

8π

=

4.53.3. Probar que,

( ) ( )k 1

2 12 1 k, 3 1 2, 33 1

∞

=

+β + + = β +

−∑

Demost.

( )12 k3

k 1 k 1

12 1 k, 3 .13

⎛ ⎞∞ ∞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

β + + =∑ ∑ , (P.F.F.β )

1 12 2 ,k3 3

k 1

1 1 .13

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= ∑ , (C.I.F.)

1 12 2 ,k 13 3 1

k 1

1 .1 13

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= ∑


47

( )12 ,13 12 11 2, 3 1 .1

3 1

⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎛ ⎞+

= β + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ , (4.14) (P.F.F.β )

( ) 2 1 2 11 2, 3 1 . 13 1 3 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += β + + ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 1. 1 2, 33 1+

= β +−

├


48

5. PROBLEMAS PROPUESTOS Palabras previas.- Hemos advertido sobre la importancia de conocer en profundidad el operador de contracción factorial, así como la necesidad de desarrollar habilidades para el cálculo contractivo; si se tiene interés en progresar en el conocimiento de esta área de la Matemática. Los problemas que se presentan a continuación deberían servir para que los lectores interesados se orienten en la dirección correcta, esto es, se preparen para el estudio de las funciones contráctiles. 5.1.- Calcular el valor numérico de las siguientes contracciones factoriales-

1 1, 97 31

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , ( )5,11 11 ,

2 1,353 21

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5.2.- Comprobar las siguientes igualdades.

5.2.1 1 132 317 81 4.1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

5.2.2 3 2 1 331 , 31 31

14 3 4 21 1 .1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

5.2.3 1 12 ,11 2 ,105 6131 .1

8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

5.3.- Comprobar las siguientes igualdades

5.3.1 ( ) ( )32 1 3 2 31 31 1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ = ⊕ ⊕

5.3.2 ( )5 53 2 3 56 61 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⊕

5.4.- Calcular el valor límite de la serie:

24 24.27 24.27.30 ...29 29.32 29.32.35

σ = + + +


( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

2 3 4 3 2 3 4 3 6 32 3 ...2 3 3 2 3 3 4 3 3 2 3 3 4 3 3 6 3 3

λ+ + + + ++

= + + ++ + + + + +

5.6.- Comprobar que las series:

5.6.1 ( ) ( )2 3

3 9 271 ...3 2 3 2 3 2

λ = + + + ++ + +

5.6.2 ( )( ) ( )( )( )

3 3.6 3.6.91 ...6 2 6 2 9 2 6 2 9 2 12 2

σ = + + + ++ + + + + +


49

son ambas convergentes al valor 2 3 22

+ .

5.7.- Comprobar los siguientes resultados

5.7.1 3 129 ,2 3

0

19441871

k k

k

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=∑

5.7.2 ( )

1 2,3 1 2

2

5613 3 7 2

k

k

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

=

=+

∑

5.8.- Comprobar los siguientes resultados

5.8.1 ( ) 12!.14!13,1527!

β =

5.8.2 91 3,7

3 13832β ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5.9.- Calcular el valor límite de las siguientes series:

5.9.1 1

17 ,8

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑k

kβ

5.9.2 5

3 ,2k

kβ∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.10.- Calcular.

5.10.1 ( )( ) ( )1

11 2 ... 13k k k k k

∞

= + + +∑

5.10.2 ( )( ) ( )0

11 2 ... 13k k k k

∞

= + + +∑

5.10.3 19

1

1 1 15 6 7

k k k k

∞

= ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

5.10.4 ( )( )( ) ( )7

18 9 10 11k k k k k

∞

= + + + +∑

5.11.- Determinar los valores de α, para los cuales la serie

( )( ) ( ) ( )3

6.11... 1 55 6 5 11 ... 5 1 5k

kkα α α

∞

=

++ + + +∑

es convergente. Además, calcular los valores límite de la serie para esos valores de α.


50

5.12.- Probar que para cada número real positivo α , se satisfacen las siguientes identidades:

5.12.1 ( )í k

2í 0k 1

1,1 i∞ =

==

⊕β α + =α∑

5.12.2 ( )2

k 1

,1 k 1k

∞

=

β α +=α∑

5.13.- Sea 1 13 ,3 2

01

k k

kλ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑

5.13.1 Calcular λ mediante el desarrollo directo de la sumatoria. 5.13.2 Calcular λ aplicando la Prop. 4.12.

5.14.- Sea

2 15 ,3 3

01

k k

kλ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=∑

5.14.1 Similar a 5.13.1 5.14.2 Similar a 5.13.2 5.15 Calcular.

5.15.1

5 148 ,7 3

0

1k k

k

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=∑

5.15.2

5 1,7 3

01

k

k

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=∑

5.16.- Calcular.

5.16.1 ( )( )3

12 5 7 5k k k

∞

= + +∑

5.16.2 ( ) ( )( )1

13 4 7 4 11 4k k k k

∞

= + + +∑

5.17.- Calcular.

5.17.1 1 1 1 ...5.7 7.9 9.11

λ = + + +

5.17.2 1 1 1 ...7.11.15 11.15.19 15.19.23

σ = + + +


51

5.18.- Si a, b son números reales positivos, probar que:

( )( ) ( )1 1 .12 ... . !

bna

na b a b a nb b n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ + +

5.19.- Si a, b son números reales positivos y k un entero no negativo, probar que:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 ,

11 1 .1 .1. . !1 2 ...

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

+ + + + + + +

b an ka b n

na b na kb a k b a k b a k n b

5.20.- Si q > 0, probar que:

( ) ( ) ( ), 1 , 11 .1 1q k q kq α αα − +⊕ =

5.21.- Calcular el valor límite de la serie: 1 1 1 ...

34.39.44.49 39.44.49.54 44.49.54.59λ = + + +

5.22.- Considérese la serie contractiva

1 1lim

i n

i ini ix x

∞ =

→∞= =

⎛ ⎞⊕ = ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

5.22.1 Probar que para cada familia { } 1i ix ∞

= de números reales positivos, la serie

contractiva 1 iix

∞

=⊕ es convergente.

5.23.- Probar que:

( ) ( ) ( )1

3 2 5 2 7 2 140∞

=⊕ + + + =k

k k k

5.24.- Probar que:

1 2 3 ... 0⊕ ⊕ ⊕ =

5.25.- Usar contracciones factoriales para probar que las siguientes series son divergentes:

5.25.1 1 1 1 ...5 7 9

λ = + + +

5.25.2 5

13 7k k

σ∞

=

=+∑


52

5.26.- Estudiar el comportamiento de la serie 5 5.12 5.12.191 ...

11 11.18 11.18.25λ = + + + +


1 8 1 8.10 1 8.10.121 . . . ...2.3.4 9 3.4.5 9.11 4.5.6 9.11.13

λ = + + + +


( )( ) ( )( )( )1 9.12 1 9.12.15. . ...

3.4 4.59 3 12 3 9 3 12 3 15 3λ = + +

+ + + + +


( )3

195 ,7k

k kλ β∞

=

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


5 13 8 13 11 132 ,1 2 , 2 2 , 3 ...3 4 3 4 3 4

λ β β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.31.- Probar que la serie:

( )1

72 3 ,4k

k kβ∞

=

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , diverge.

5.32.- Determinar los valores de α para los cuales la serie

1( , )

kk kβ α

∞

=∑ , converge.


( )7

2

1 .1 k

k k

∞

=∑ es convergente y

determinar su valor límite. 5.34.- Comprobar el siguiente resultado:

1

1. (5, )3k

k kβ∞

=

=∑


( )5

031

i k i

ikλ

∞ =

==

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ es convergente y

determinar su valor límite.


53

5.36.- Probar que para cada número real positivo α,

( )0

(1 ,1 ) 1 ( ,1 )i k

ik iβ α α β α

=

=+ + = ⊕ ⊕ +

5.37.- Probar que para cada número real no negativo p,

1,2

1

1p k p

k

p⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=∑

5.38.- Usar contracciones factoriales para probar la identidad

. (1 , ) . ( ,1 )k k kβ α α β α+ = + , α > 0, k = 1,2,…

5.39.- Calcular 35

7

. (3, )k

k

k kλ β=

=

= ∑


( ) ( )( )1

. (2 , ) 1 , 2 ( , 2)k n

kk k nβ α α β α β α

=

=

+ = + − +∑


1

1. (2 , )

kk kβ α α

∞−

=

+ =∑


( )(2 , ) 1 ( ,1 )k n

k k nβ α α β α∞

=

+ = + +∑ , n = 1,2,…


1

4 ,51 ,3

k

k

k

β

β

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ es divergente.


54


1

7 11, ,5 7

1 ,3

k

k k

k

β β

β

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


determinar su valor límite. 5.45.- Determinar los valores de α para los cuales la serie

1

2 ,3

1 ,7

k

k

k

β α

β

∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , converge.

5.46.- Probar que,

1 , 17

1 0

2 1 0 ,13 2 1 1

1 8,7

k

k k

k

k

β

β

⎛ ⎞∞ ∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑


1 , 47

3

1 .11 7

k

k k

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= +∑ es convergente y

determinar su valor límite. 5.48.- Comprobar que las series:

( )2 , 5

3

52 ,6

2

1 1 .15 2

1 116

k

k

k

k

kλ

σ

∞

=

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=+

=

∑

∑

convergen a un límite común. 5.49.- Calcular el valor límite de la serie:

1 5,3 2

1

1 .13 1

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=+∑

k

k kλ


55


3 , 15

0

3 , 1 .15

k

k

kλ β⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


determinar su valor límite. 5.51.- Probar que:

22

1 31 4k k

∞

=

=−∑

5.52.- Probar que:

23

1 254 48k k

∞

=

=−∑

5.53.- Probar que:

21

1 1(2 ) 1 2k k

∞

=

=−∑

5.54.- Demostrar la fórmula: 2

2 21 1

1 1 12

n

k n kk n n k

∞

= + =

=−∑ ∑ , n = 1,2,…

5.55.- Comprobar la fórmula 5.54 para n = 4, n = 5. 5.56.- Calcular el valor límite de la serie:

22

14 5k k k

∞

= + −∑


2 44

136 13k k k

∞

= − +∑


4 22

14 5 1

∞

= − +∑k k k


0

1( 3)( 7)k k k

∞

= + +∑


3

1( 2)( 3)k k k

∞

= − +∑


56

5.61.- Comprobar que:

2(1 3 , ) 1

kk kβ

∞

=

+ =∑

5.62.- Probar que:

90

1(1 ) 56

x dxx

∞

=+∫

5.63.- Probar que:

255 2 07

1 1 20 5

5 .17

(1 )

x d xx

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠=

+∫

5.64.- Probar que:

70

21(1 ) 1024

∞

=+∫

x dxx

π

5.65.- Probar que:

2

7 20

120( 2 1)(2 2)(3 2)(4 2)(5 2)(6 2)(1 )

∞

+

−=

+ + + + ++∫x dxx


150 3

14

(1 )

dx

x

∞

=+

∫


1130

23( 1 )

x dxx

∞

=+

∫

5.68.- Calcular el valor numérico de la integral impropia,

2

50

(1 2 )(2 3 )

x dxx

∞ ++∫

5.69.- Comprobar que,

( )1 135

3

0

11428536

x dx− =∫


57

5.70.- Demostrar las identidades.

5.70.1.- ( ) ( )1 1

0 0

1 1 , , 1, 2,...k n

n kx dx x dx n k− = − =∫ ∫

5.70.2.- ( ) ( )1 1

0 0

1 1 , , 1, 2,...nknk x dx x dx n k− = − =∫ ∫


1 221

4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ =

5.72.- Calcular el valor numérico de las siguientes integrales:

5.72.1.-

15

13 3

25

1 5 2x dx−

−

− +∫

5.72.2.- ( )23 71

13

1 2 3t dt− −∫

5.73.- Comprobar que

33 30

1(1 ) 1

dxx x

∞

=+ +

∫

5.74.- Demostrar que para cada número real p > 0,

0

1(1 ) 1pp p

dxx x

∞

=+ +

∫


( )1

0

1 , 1, 2, ...(1 ) 1

k p

pp k p

dx kx x

∞−= =

+ +∫

5.76.- Calcular el valor límite de la integral impropia:

2 3 20 (1 ) 1

∞

+ +∫

dxx x

5.77.- Calcular el valor numérico de las integrales impropias,


58

5.77.1.- 227

0 (1 )dx

x

∞

+∫

5.77.2.- 365

0 (1 )dx

x

∞

+∫


12 210 3 3

1 3

1 1k

k

dx

x x

∞ ∞

+=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫

5.79.- Demostrar que para cada número real positivo α ,

( )

0

( 1)1 , 1, 2 , ...

1

kk n

n

k

nk

nk

α

α

=

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ = =+∑

5.80.- Calcular el valor numérico de:

35

0

35( 1)

3

kk

k

kk

=

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠+∑

5.81.- Demostrar que para cada número real positivo α ,

0

( 1)lim 0

kk n

n k

nk

kα

=

→∞=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠ =+∑

5.82.- Demostrar que,

1

0

11 , 1, 2, ...2

k n kn k

nkn

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

=⊕ = =

5.83.- Calcular el valor de la suma contractiva

5 0

4 3

n

n

n=

=

⎛ ⎞⊕ ⎜ ⎟

⎝ ⎠


59


53

4n

n∞

=

⎛ ⎞⊕ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5.85.- Demostrar que para cada número real 0α > y cada entero positivo n,

( )( )

0

1,1

k

k n

k

nk

nk

β αα

=

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠+ =+∑

5.86.- Calcular el valor numérico de las contracciones factoriales de la forma

1 22 2 11 k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

para los valores 1,2,3,4,5.k = 5.87.- Calcular el valor numérico de las siguientes contracciones factoriales.

7 2 5 2 7 2 7 22 3 2 5 2 7 2 51 , 1 , 1 , 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.88.- Calcular el valor de la siguiente integral definida, usando contracciones factoriales.

21 3

0

s e n t d t

π

∫

5.89.- Determinar un intervalo de longitud 1l < que contenga el valor de ( )3, 97β .

5.90.- Calcular, mediante contracciones factoriales,

21 2

0

c o s∫ td t

π

5.91.- Determinar un intervalo de longitud 1l < que contenga el valor de la integral impropia:

( )3

1 350 1

x d xx

∞

+∫

5.92.- Sea n un entero positivo impar.


60

Demostrar que,

( )1

2 122 22 2

1

11 1 12

2

nkn kk

k

n

k

π+

= −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.93.- Aplicar 5.92. Para determinar el valor de 1 221

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Obsérvese que no es posible determinar el valor numérico de 3 221⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ por medio de 5.92.-

Para calcular 3 221

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ es suficiente aplicar el Teorema 4.40.

5.94.- Sabiendo que

1 221

4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = y

3 22 31

1 6π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = , determinar el valor de

5 221⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando 5.92.

5.95.- Determinar el valor de 3 5,2 2

β ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

5.96.- Determinar el valor de 5 7,2 2

β ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.


( )30

381

d xx x

π∞

=+∫


( )

2

70 2

16151

x dx

x

∞

=+

∫


( )50

51 2 81

x d xx

π∞

=+∫


61

5.100. Comprobar que,

( )5 131 1 22

14 7

0 0

1 4 1x dx x dx⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

5.101.- Comprobar la siguiente desigualdad:

43 60

0.552 0.675(1 ) 1

∞

< <+ +∫

dxx x x

5.103.- Comprobar la siguiente relación:

1 273

0 0

1 co s− =∫ ∫t d t td t

π

5.104.- Demostrar que para cada par de números reales positivos α,p,

( ) ( ) ( ) ( )1 111 11 .1 1 1ppp

αα α− −⊕⊕ −⊕ = ⊕

5.105.- Probar que:

( )6

420

53 21

x d xx

π∞

=+

∫

5.106.- Probar la desigualdad,

( )6

24

8 25 1

x d xx

∞

−∞

< <+

∫

Comentario sobre el Problema 5.106.-


62

Este problema está relacionado con el ejercicio 16-31 de la Pág. 516, del libro “Análisis Matemático” de TOM APOSTOL. EDITORIAL REVERTÉ S.A., Barcelona, 1960. En efecto, en 16-31 se solicita integrar en variable compleja y calcular mediante residuos la integral impropia, para comprobar que,

5.106.1 ( )6

24

3 2161

x dxx

π∞

−∞

=+

∫

Pero este resultado no concuerda con la desigualdad 5.106. Puesto que 3 2 8 , 2

16 5π ⎛ ⎞∉⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ahora bien, usando un método de interpolación (no tratado en la Lección N° 2) hemos obtenido el valor aproximado,

5.106.2 ( )6

241 .7

1

x dxx

∞

−∞

≈+

∫

Además, aplicamos otros métodos para calcular la integral.

5.106.3 Las funciones contráctiles (tema de las próximas lecciones) arrojaron el valor aproximado 1.7, concordando con 5.106.2. y 5.106.

5.106.4 El programa MATHEMATICA® versión 5.1 (de Wolfram Research)

permitió obtener el valor 34 2π , concordando con 5.106 puesto que,

8 3 25 4 2

π< < .

Esto nos hace suponer que siguiendo el método de los residuos en variable compleja, debería obtenerse,

( )6

24

3 281

x d xx

π∞

− ∞

=+

∫

Dejamos esta tarea al lector. Es necesario advertir que el libro Análisis Matemático de Tom Apóstol es un excelente texto de estudio que recomendamos con gran entusiasmo a nuestros lectores.


63

5.107.- Probar que para cada número real p >1.

0

11 p

dxx

∞

>+∫

5.108.- Probar que para cada número real p > 1.

2

201 1 1p

p dx pp x p

∞

< <− + −∫

5.111.- Demostrar que para cada par de números reales positivos p,r tales que r > -1, p > r +1,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

220 1 1 11 1

r

p

p x pdxx r p rr p r

∞

< <+ + − ++ − +

∫

5.112.-Calcular, 40 1

x d xx

∞

+∫

5.113.-Calcular, ( )0 1d x

x x

∞

+∫

5.114.- Probar que

( ) ( )2 4

4 42 20 01 1

x xdx dxx x

∞ ∞

=+ +

∫ ∫

5.115.- Probar que para cada par de números reales positivos p, q, tales que 1pqp+

> ,

( ) ( ) ( )0 0

11 11 1

∞ ∞

=− −+ +

∫ ∫p

q qp p

x dxdxp qx x


64

5.116.- Verificar los valores de las contracciones factoriales que aparecen en la siguiente tabla.

Tabla 1 Contracción Factorial Valor Numérico

1 221

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

22π

1 22 31

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 4

32π

1 22 51

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 5

52π

1 22 71

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 8

3 52π

1 22 91

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 9

6 32π

1 22 111

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1

3 . 7 . 1 12

π

3 22 31

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 5

32π

3 22 51

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 8

1 52π

5 22 51

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 9

1 52π

3 22 71

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 9

2 12π

5 22 71

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1

3 52π

3 22 91

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1

6 32π

7 22 71

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2

3 52π

5 22 91

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2

4 52π


65

5.117.- Sea p > 0. Probar que, si existe un entero positivo n > 2, tal que: p 1np+

= , entonces

( )k0 pk n

dx 11 p1 x

∞ ∞

=

=−+

∑∫

5.118.- Sea 0 < p < 1 y n un entero tal que p 1n 1 np+

− < < . Probar que,

( )k0 pk n

p dx 11 p 1 p1 x

∞ ∞

=

< <− −+

∑∫

5.119.- Probar que, si 0 < p < 1, entonces

( ) pp p p0

dx p1 px 1 x 1 x

∞=

−+ +∫

5.120.- Probar que, si p≥1, la integral impropia

( ) pp p p0

dxx 1 x 1 x

∞

+ +∫

diverge. 5.121.- Probar que,

k0 2k 33

dx 34

1 x

∞ ∞

=

π=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∫

5.122.- Probar que,

k0 3k 47

3 dx 74 4

1 x

∞ ∞

=

< <⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑∫

5.123.- Probar que,

( )k0 4k 7

dx 2151 x

∞ ∞

=

=+

∑∫

5.124.- Si p ≥ 1 y n ≥ 2, probar que la serie

( )k0 pk n

dx

1 x

∞ ∞

= +∑∫

diverge. 5.125.- Si p ≥ 1 y n ≥ 2, probar que

( )n0 p p

dx

x 1 x

∞

+∫

diverge.


66

5.126.- Si 0 < p < 1, probar que

( )1k p 10 pk 1

dx p1 p1 x

−

∞ ∞

+ +=

=−+

∑∫

5.127.- Probar que

( )

3 1

3 k0k 1

x 1dx3 11 x

−∞ ∞

+=

=−+

∑∫

5.128.- Si α>1, probar que

( )

1

k0k 1

x 1dx11 x

α−∞ ∞

α+=

=α −+

∑∫

5.129.- Si p > 1, probar que

( ) ( )k

k p 10k 1

x 1dxp p 11 x

∞ ∞

+ +=

=−+

∑∫

5.130.- Probar que

( )k0k 3

dx 21 x

∞ ∞

=

=+

∑∫


( ) 2k 1

1 1,1 kk

∞

=

β α + =α∑


( )( )22

k 1

1 1 2, 2 kk 1

∞

=

+ αβ α + =

α +α∑


( ) ( )k n

1 1,1 k ,nk

∞

=

β α + = β αα∑


( ) ( ) ( )k n

k 2 ,k 1 ,1 n∞

=

β +α = +α β α +∑


k 1

3 512, k 52 693

∞

=

⎛ ⎞β + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.136.- Calcular: 2

k 1

k 1 5 , k 1k 2

∞

=

+ ⎛ ⎞β +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.137.- Calcular:

k 1

13k ,k 34

∞

=

⎛ ⎞β +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


67

5.138.- Determinar:

( )k 1

1 , k 3k

∞

=

β α +∑ , 0α >

5.139.- Determinar el valor numérico de la serie doble,

( )n 3 k 3

n, k∞ ∞

= =

β∑∑

5.140.- Probar que,

( )n 3 k 2

12 n, k4

∞ ∞

= =

β + =∑∑

5.141.- Probar que la serie

( )n 1 k 1

k 2 n, k∞ ∞

= =

β +∑∑

es divergente. 5.142.- Probar que la serie

n 1 k n

5k , k2

∞ ∞

= =

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑

es divergente. 5.143.- Probar que,

n 3 k n

7 16k , k2 7

∞ ∞

= =

⎛ ⎞β =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑

5.144.- Probar que para cada número real α>0,

( ) ( )n 1 k n

2k 3 , k1

∞ ∞

= =

+ αβ +α =

α +α∑∑

5.145.- Estudiar el comportamiento de las series

5.145.1.-

1k3

2kk 0 3

1

1

⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎝ ⎠

∑

5.145.2.-

2k5

3kk 0 7

1

1

⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎝ ⎠

∑


68

5.146.- Calcular el valor límite de la serie

5k38

5kk 0 3

1

1

⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎝ ⎠

∑


3k13k 71

3kk 0 7

1 468113

1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎝ ⎠

=∑

5.148.- Calcular el valor límite de la serie

2 2,k5 3

k 3

12 5k

⎛ ⎞⎜ ⎟

∞ ⎝ ⎠

= +∑

5.149.- Calcular el valor límite de la serie doble

2 3,k3 7

n 3 k n

1⎛ ⎞∞ ∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= =∑∑

5.150.- Calcular el valor límite de la serie doble

( )

1k3

k 2n 1 k n

11

⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ∞ ⎝ ⎠

= =∑∑

5.151.- Probar que,

( ) ( )k 1

7 5k 5, 7 1 5, 77 1

∞

=

+β + = β +

−∑

5.152.- Probar que,

( ) 2 k1 3

0k 0

31 x dx4 3 2

∞ +

=

− =+

∑∫

5.153.- Calcular, 1 k2 21

30

k 0

1 x dx+

∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫

5.154.- Si 0,α > p >1, probar que

( ) ( )k 1

pp, k p,1p 1

∞

=

+ αβ α + = β +α

−∑


69

5.155.- Calcular por medio de contracciones factoriales,

1420

cos tdtπ

∫

5.156.- Si , p 0,α > calcular,

( )k 1

1 p, k∞

=

β + α +∑

5.157.- Calcular, 311

k 10

k 0

1 x dx∞

+

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫

5.158.- Calcular, 15

3 k

k 21⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟

+⎝ ⎠

=∑

5.159.- Calcular, 27

3 2k

k 3

1⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

=∑

5.160.- Calcular,

( )k 3

4, k 3∞

=

β −∑


p0

dx p 1 p 1,1 x p p

∞ ⎛ ⎞+ −= β⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫

5.162.- Demostrar que para cada par de números reales p, r tales que p > r +1 > 0

r

p0

x 1 r 1 r 1dx 1 ,11 x r 1 p p

∞ ⎛ ⎞+ += β + −⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

∫


2k 12

0k 1

cos t dt 2k

π +∞

=

=∑∫

5.164.- Comprobar que, 2k

20

k 2

cos t dt2k 1 4

π∞

=

π=

−∑∫

5.165.- Usar contracciones factoriales para probar que, 13 22

0

1024sen x cos x dx45045

π

=∫


70

5.166.- Comprobar que, 3

22 20

8 10sen x cos x dx35 35

π

< <∫

5.167.- Comprobar que, 13

42 20

64 64sen x cos x dx4165 3570

π

< <∫

5.168.- Probar que para cada número entero positivo par n,

( )1 1k n,n 2 ,k 1 2k2 2

k 1

n 111 1 1 1k2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

+⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

5.169.- Demostrar la Fórmula de Reducción Factorial para la función Beta (F.R.F.β )

( ) ( ) ( )1y 1,k xx, y k x, y 1 , x, y 0 , k 0,1,2,...

−−β + = β > =

5.170.- Probar que para cada par de números enteros positivos k, n, y cada par de números reales positivos x, y, se tiene,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1x 1,k y y 1,n x kx k, y n x, y 1 1

− − −− − ⊕β + + = β

Comentario sobre la fórmula 5.170.- Esta fórmula reduce el cálculo de la función Beta al cálculo de ( )x, yβ , para valores ( ]x, y 0,1∈ . Los otros factores son contracciones factoriales algebraicas.

Por ejemplo. El valor 1 1,2 2

⎛ ⎞β = π⎜ ⎟⎝ ⎠

se obtiene aplicando la forma factorial generalizada de

beta. Entonces, para cada par de números enteros positivos k, n se tiene: 5.170.1 .- 11 1,k 2 ,n 2 k

2 21 1k, n .1 12 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞β + + = π⎜ ⎟

⎝ ⎠

5.171 .- Usar la F.R.F.β . para calcular, 5.171.1 .-

k 0

15,k3

∞

=

⎛ ⎞β +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.171.2 .- 7 11 3 13, , ,2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞β β⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


71

5.172.- Probar que cada número entero no negativo n, satisface la identidad,

1 3,2n 12 ,2n 22 24.1 3.1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

5.173.- Calcular el valor límite de la serie, i k

i 0k 1

5 ,1 i3

∞ =

==

⎛ ⎞⊕β +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5.174.- Probar que,

( )

( ) ( )( )

k 5

k 4

1 625k k 1 k 2 k 3 16896

∞

=

=− − −∑

5.175.- Probar que,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k 3

1 1k k 1 k 2 k 1 k 2 k 3 k 4 4320

∞

=

=− − + + + +∑

5.176.- Calcular el valor límite de la serie, ( )( )k 2

, k 1, 0

k k 1

∞

=

β α +α >

−∑

5.177.- Demostrar la Segunda Identidad Factorial, a partir de la Primera Identidad Factorial y el Teorema del Ensamble. 5.178.- Probar que,

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )2

k n 1

, k 1, 0

k k 1 k 2 ... k n n n

∞

= +

β α + Γ α= α >

− − − α + Γ α +∑

Sugerencia: Comparar el resultado obtenido en el problema 5.176 con la fórmula proporcionada en el problema 5.178. 5.179.- Probar que,

( ) ( ) ( )( )

1k1 k 1 ! k , 0, k 1,2,...

k

⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠

Γ α= − α⊕ α > =

Γ α +

5.180.- Demostrar la “Forma Beta” de la cuarta identidad factorial. (F.β -C.I.F.). Para cada número entero no negativo k y cada par de números reales positivos x, y,

( ) ( ) ( ) ( )1 1k y x y,k x1 x y x, y 1

− −+= ⊕ β

5.181.- Usar la F.β -C.I.F. para calcular el valor límite de la serie, 7 22 3 2k

k 01⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

=∑


72

5.182.- Probar que,

k 1

2 3 2k , 32 5 3 3

831 3,2

∞

=

⎛ ⎞+ +β⎜ ⎟

+⎝ ⎠ =⎛ ⎞

β +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Sugerencia: Aplicar F.R.F.B. 5.183.- Comprobar que,

( )( )

23

70 2

2 3x 10240 3397 15dx14400000005 3x

∞ + + π=

+∫

5.184.- Evaluar numéricamente las siguientes integrales: 5.184.1 ( )33 22

02sen x 5cos x dx

π

+∫

5.184.2 ( )44 22

03cos 2sen x dx

π

−∫

Sugerencia: En la solución de los problemas 5.184.1 y 5.184.2 es oportuno combinar métodos convencionales con los métodos del cálculo contractivo. 5.185.- Comprobar que,

( )

32

k 30n 1 k n

x dx21 x

∞ ∞ ∞

+= =

π=

+∑∑∫

5.186.- Demostrar la siguiente identidad,

( ) ( )( ) ( )p 1 p1 1 1 p 1 , , p 0α α ⊕= + α ⊕ α > 5.187.- Si α , p > 1 y M = máx {1⊕ α , 1⊕ p}, probar que

( ) 1 1p M , pp

⎛ ⎞α + < β < α +⎜ ⎟α⎝ ⎠

5.188.- Comprobar las siguientes desigualdades:

5.188.1.- 2 539.8 < , 40.93 197

⎛ ⎞β <⎜ ⎟⎝ ⎠


73

5.188.2.- 5

1 1305.0164 , 306.01972 2

⎛ ⎞< β <⎜ ⎟π −⎝ ⎠


( )n 1 k 0

15,3 n k60

∞ ∞

= =

β + + =∑∑

5.190.- Demostrar la Identidad Serial para la Función Beta (I.S.β .).- Para cada par de números reales positivos α , p

( ) ( )n 1 k 1

n, p k , p∞ ∞

= =

β α + + = β α∑∑

Presentaremos a nuestros lectores una demostración de ésta fórmula; que difiere de la demostración original. Tenemos las siguientes motivaciones para hacerlo:

--- En la I.S.β . yace en forma implícita una cantidad significativa de teoría sobre la función beta.

--- Es necesario percatarse de que la función beta es un operador de cálculo numérico, en el ámbito del Cálculo Contractivo. A esta propiedad nos hemos referido sólo tangencialmente en ocasiones anteriores.

--- La demostración original de la I.S.β . contiene elementos de Álgebra Circular (Álgebra Contractiva) que están fuera del alcance de esta lección. Demostración de la I.S.β .

1.- Sea ( )n 1 k 1

n, p k , , p 0∞ ∞

= =

λ = β α + + α >∑∑

2.- Aplicando la F.R.F.β . se tiene,

( )1p 1,k

n

n 1 k 1

n, p 1⎛ ⎞∞ ∞ −⎜ ⎟α+⎝ ⎠

= =

λ = β α +∑∑

3.- Luego,

( )1p 1,k 1n 1

n 1 k 1n,p 1

⎛ ⎞∞ ∞ − ⊕⎜ ⎟α+ −⎝ ⎠

= =

λ = β α +∑ ∑

4.- Ahora, según la Prop. 4.14,

( )1p 1,1n 1

n 1

pn,p 1 1n 1

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟α+ −⎝ ⎠

=

⎛ ⎞λ = β α + +⎜ ⎟α + −⎝ ⎠∑

( )n 1

p pn, p 1 1n 1 n 1

∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞λ = β α + + ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟α + − α + −⎝ ⎠⎝ ⎠∑


74

5.- De donde, ( )

n 1

n, pp

n 1

∞

=

β α +λ =

α + −∑

6.- Aplicando nuevamente la F.R.F.β . se tiene,

( )11,np

n 1

1p , p 1n 1

⎛ ⎞∞ α−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

λ = β αα + −∑

Hasta aquí, la demostración es idéntica a la original. Ahora bien, obsérvese que no es posible aplicar la tercera identidad factorial en su forma 4.3 – lo que daría acceso al resultado – porque 1α − puede ser negativo o nulo, con arreglo a la hipótesis de la I.S.β . En esta etapa de la demostración original, se usó una forma de T.I.F. que es válida solamente en el contexto del Álgebra Circular.

En esta ocasión, recurriremos a la fórmula proporcionada en el Prob. 5.20 y así, nos mantendremos dentro de las limitaciones de esta lección.

7.- Aplicando 5.20 queda,

( )1,n 1p

n 1

1p , p 1 1n 1 p

⎛ ⎞∞ α −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ ⎞αλ = β α ⊕⎜ ⎟α + − ⎝ ⎠

∑

( ) ( )1,n 1p

n 2

1 1p , p 1n 1

⎛ ⎞∞ α −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ ⎞⎜ ⎟λ = α⊕ β α +α α + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

8.- Ahora puede aplicarse T.I.F. en su forma 4.3, obteniendo,

( ) ( )1,n 2 1p

n 2

1 1 1p ,p 1 1p

⎛ ⎞∞ α − ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟λ = α⊕ β α + ⊕ ⊕⎜ ⎟α α⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑

9.- Cambiando índices n = i + 2, se tiene,

( ) ( )1,i1p

i 0

1 1p , p 11 p

⎛ ⎞∞ α ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ ⎞⎜ ⎟λ = α⊕ β α +α α + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

10.- De donde,

( ) ( ) 1 1 1p , p 11 p p

⎛ ⎞⎛ ⎞α +λ = α⊕ β α + +⎜ ⎟⎜ ⎟α α + + ⎝ ⎠⎝ ⎠

11.- Luego, ( ) ( )( )1 1p , p p− −λ = α⊕ β α α +


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12.- Probando definitivamente la I.S.β .

( ), pλ = β α 5.190.1.- Aplicar la I.S.β . para resolver los problemas 5.139 y 5.140. 5.190.2.- Aplicar la I.S.β . para determinar el valor límite de la serie

( )n r k s

n, p k∞ ∞

= =

β α + +∑∑

Siendo , pα números reales positivos y r, s números enteros positivos.

5.190.3.- Si , pα son números reales positivos y ( )n 3 k 7

n, p k∞ ∞

= =

λ = β α + +∑∑ , determinar una

función M = M( ,pα ), tal que ( ) ( )M , p , pλ = α β α 5.191.- Demostrar la forma generalizada de la fórmula de Urra-Saavedra

( ) ( )k n

1 ,p k ,p n , , p 0, n 1,2,...∞

=

β +α + =β α + α > =∑

5.192.- Probar que la fórmula 5.191 es aplicable también si n = 0. En tal caso,

( ) ( )k 0

1 , p k , p , , p 0∞

=

β + α + =β α α >∑

5.193.- Aplicar la fórmula de Urra-Saavedra para resolver los problemas 5.135, 5.151, 5.154, 5.156 y 5.160. 5.194.- Aplicar la fórmula de Urra-Saavedra para demostrar la Identidad Serial de la función Beta.


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Sugerencia: Sugerimos a los lectores que necesiten información adicional para resolver alguno de los problemas propuestos o deseen aclarar conceptos teóricos, dirigirse a nuestro correo electrónico: [email protected]. Pueden comunicarse en Inglés o Español. Daremos respuesta a sus preguntas tan pronto como nos sea posible.


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PALABRAS A LOS LECTORES

Los lectores que hayan resuelto los problemas propuestos, siguiendo la lección número 2, se habrán percatado del extraordinario poder de resolución de las contracciones factoriales, así como de la economía de pensamiento que supone el uso del cálculo contractivo. Sugerimos a los interesados en profundizar sus conocimientos, buscar bibliografía que haga referencia a estos problemas, como también revisar software matemáticos actualizados con la intención de hacer estudios metodológicos comparativos. Nuestro grupo de investigación espera que la segunda lección logre producir en nuestros lectores el estímulo necesario para continuar el estudio del cálculo contractivo.

SOLICITUD A LOS LECTORES

Solicitamos a los lectores, que nos hagan llegar sus críticas, inquietudes y comentarios sobre el material presentado en las dos primeras lecciones, a nuestro correo electrónico: [email protected]

Esta solicitud va dirigida especialmente a aquellos que hayan estudiado a

profundidad la Lección N° 2. Particularmente a las personas interesadas en ampliar sus conocimientos sobre el tema; y que deseen recibir material complementario sobre las contracciones factoriales, la función beta y el teorema…

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 1.- HIGHER TRANSCENDENTAL FUNCTIONS. (BATEMAN MANUSCRIPT PROJECT. CALIFORNIA 1NSTITUTE OF TECHNOLOGY). PUBLISHED BY ROBERT E. KRIEGER PUBLISHING COMPANY INC. MALABAR, FLORIDA. 1981. 2.- A COURSE OF PURE MATHEMATICS. G. H. HARDY. CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS. 1955. 3.- ANÁLISIS MATEMÁTICO, TOM APOSTOL. EDITORIAL REVERTÉ S.A., BARCELONA, 1960.

SOFTWARE RECOMENDADO 1.- Mathematica® 5.1 de Wolfram Research. 2.- Maple® 9 de Waterloo Maple Inc 2005.


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ADVERTENCIA SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA Y SOFTWARE

Consideramos necesario hacer saber a nuestros lectores que los libros que hemos recomendado han sido de invalorable ayuda en la preparación de la Lección No. 2. Los lectores podrían encontrar en ellos los métodos para resolver – sin recurrir al cálculo contractivo – algunos de los problemas propuestos en la última sección.

Pero debemos advertir que, nosotros, los miembros del Grupo de Investigación en

Cálculo Contractivo, no hemos encontrado allí los métodos que nos permitan hallar la solución de problemas tales como: 5.44, 5.45, 5.142, 5.143 y otros, incluyendo problemas de la misma naturaleza que 5.151 y 5.154.

La advertencia es también aplicable al software que se ha recomendado.

Lección 2: Contracciones Factoriales y aplicaciones.

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