Módulo 2: TIC y educación OLGA L. TORRES SANCHEZUnidad 1 - Actividad 2

CONSTRUCTIVISMO

El constructivismo es una corriente de la didáctica que se basa en la teoría del conocimiento constructivista. Postula la necesidad de entregar al alumno herramientas que le permitan crear sus propios procedimientos para resolver una situación problemática, lo cual implica que sus ideas se modifiquen y siga aprendiendo. El constructivismo en el ámbito educativo propone un paradigma en donde el proceso de enseñanza-aprendizaje se percibe y se lleva a cabo como proceso dinámico, participativo e interactivo del sujeto, de modo que el conocimiento sea una auténtica construcción operada por la persona que aprende (por el «sujeto cognoscente»).Se considera al alumno como poseedor de conocimientos que le pertenecen, en base a los cuales habrá de construir nuevos saberes. No coloca la base genética y hereditaria en una posición superior o por encima de los saberes. Es decir, a partir de los conocimientos previos de los educandos, el docente guía para que los estudiantes logren construir conocimientos nuevos y significativos, siendo ellos los actores principales de su propio aprendizaje. Un sistema educativo que adopta el constructivismo como línea psicopedagógica se orienta a llevar a cabo un cambio educativo en todos los niveles.

Jean Piaget (Neuchâtel, Suiza, 1896-Ginebra, 1980) Psicólogo suizo. Jean Piaget se licenció y doctoró (1918) en biología en la Universidad de su ciudad natal. A partir de 1919 inició su trabajo en instituciones psicológicas de Zurich y París, donde desarrolló su teoría sobre la naturaleza del conocimiento.Publicó varios estudios sobre psicología infantil y, basándose fundamentalmente en el crecimiento de sus hijos, elaboró una teoría de la inteligencia sensoriomotriz que describía el desarrollo espontáneo de una inteligencia práctica, basada en la acción, que se forma a partir de los conceptos incipientes que tiene el niño de los objetos permanentes del espacio, del tiempo y de la causa.

Jean PiagetPara Piaget, los principios de la lógica comienzan a desarrollarse antes que el lenguaje y se generan a través de las acciones sensoriales y motrices del bebé en interacción con el medio. Piaget estableció una serie de estadios sucesivos en el desarrollo de la inteligencia:1. Estadio de la inteligencia sensoriomotriz o práctica, de las regulaciones afectivas elementales y de las primeras fijaciones exteriores de la afectividad. Esta etapa constituye el período del lactante y dura hasta la edad de un año y medio o dos años; es anterior al desarrollo del lenguaje y del pensamiento propiamente dicho.2. Estadio de la inteligencia intuitiva, de los sentimientos interindividuales espontáneos y de las relaciones sociales de sumisión al adulto. Esta etapa abarca desde los dos a los siete años. En ella nace el pensamiento preoperatorio: el niño puede representar los movimientos sin ejecutarlos; es la época del juego simbólico y del egocentrismo y, a partir de los cuatro años, del pensamiento intuitivo.3. Estadio de las operaciones intelectuales concretas, de los sentimientos morales y sociales de cooperación y del inicio de la lógica. Esta etapa abarca de los siete a los once-doce años.4. Estadio de las operaciones intelectuales abstractas, de la formación de la personalidad y de la inserción afectiva e intelectual en la sociedad de los adultos (adolescencia).

http://www.segciencias.com.ar/tezanos1.htm

QUÉ ES LOGO?                                     

LOGO es un Lenguaje Informático diseñado para el aprendizaje.Fue creado por Seymour Papert quien  basó su trabajo en la filosofía de Jean Piaget sobre la forma de aprender de los niños mediante sus propios descubrimientos.

 Papert junto a un grupo de investigadores empezaron a desarrollar en 1969 dentro  del departamento de Inteligencia artificial del MIT (Instituto tecnológico de Massachussets) un lenguaje que permitiera de manera simple realizar programas, aunque la tarea no fue tan fácil; recién en  1979  se hicieron las dos primeras implementaciones de LOGO para los computadores: Texas Instruments y Apple. LOGO es el camino más fácil para introducir al niño en la lógica; le permite ser un programador, buscando que adquiera un sentido de dominio sobre este elemento tecnológico tan difundido en la actualidad.

WEB PAGEShttp://www.rmm.cl/index_sub.php?id_contenido=5349&id_seccion=3437&id_portal=520http://www.softronix.com/

VIDEOS

http://www.youtube.com/watch?v=l5VAll7S1W8&feature=endscreen&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=h-scLNYJrG8&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=9GQGLxQzf-k

FIGURAS PARA REALIZAR GUIAS DE ÁREAS ACHURADAS

NÚMEROS NATURALES

El Conjunto de los Números Naturales se representa con la letra IN y está formado por los siguientes elementos: 1, 2, 3, 4, …Es decir: IN = { 1, 2, 3, 4, …}

El primer elemento de IN es el número 1.

Antecesor de un número natural:

Si n IN n > 1 entonces el Antecesor de n se define como n – 1

Nota: Todo número natural mayor que uno tiene antecesor.-

Sucesor de un número natural:

Si n IN entonces el Sucesor de n se define como n + 1

Nota: Todo número natural tiene sucesor.-

El Conjunto de los Números Cardinales se representa con la letra IN0 y está formado por los siguientes elementos: 0, 1, 2, 3, 4, . . .Es decir: IN0 = { 0, 1, 2, 3, 4, …}

El primer elemento de IN0 es el número 0.

Relación entre IN y IN0

Todo elemento de IN está contenido en IN0, lo que expresamos matemáticamente como:

IN IN0

ALGUNOS SUBCONJUNTOS DESTACADOS DE IN:

Conjunto de los Números Pares:

P = { n / n= 2.k k IN }Es decir:P= { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . . }

El primer número Par es el 2.

Conjunto de los Números Impares:

I = { n / n= 2.k- 1 k IN }Es decir:I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . }

El primer número Impar es el 1

Conjunto de los Números Primos:

Un número es Primo si es divisible por 1 y por sí mismo.

IP = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,23, 29, 31, . . . }

El primer número Primo es el 2

Conjunto de los Números Compuestos::

Un número es Compuesto si admite más de dos divisores.

IC = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, . . . }

El primer número Compuesto es el 4

Nota Importante:

El número 1: no es Primo y no es Compuesto

* Podemos expresar el conjunto de los números Naturales como la unión de tres subconjuntos:IN = { 1 } U { Primos } U { Compuestos }

* Podemos expresar el conjunto de los números Naturales como la unión de dos subconjuntos:IN = { Pares } U { Impares }

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL

Los múltiplos de un número natural k se definen como: M(k) = { k, 2.k, 3.k, 4.k, 5.k, . . . }

Ejemplo: M(3) = { 3, 6, 9, 12, 15, . . .}

Nº DE DIVISORES DE UN NÚMERO NATURALExiste una fórmula matemática que determina la cantidad de divisores de un número natural:1º) Descomponer el número N en sus factores primos:

2º) Los exponentes , ….. se reemplazan en la fórmula:

Nº de Divisores = (Ejemplo: Determine el número de divisores de 60.Sol: 60 = 22 x 31 x 51 Por lo tanto, El número de divisores de 60 es = (2+1).(1+1).(1+1)= 3 x 2 x 2 = 12D(60)={1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60}EJERCICIOS1.-¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) Verdadera(s)?I) Cero es un número Natural.II) Entre dos números naturales existe al menos un número natural.III) Todo número natural tiene un siguiente.IV) Todo número natural tiene un antecesorEl conjunto de los números naturales es infinito.

2.- Observa la siguiente relación: A= 2, B=3, C= 5, D= 7, E=11, ….que asocia a cada letra un número primo. Determina el valor de:

(A + F) x ( H x J - M )

3.- Contesta las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es el único número primo par?b) ¿Cuál es el número primo más cercano a 100?

4.-Determina todos los números naturales menores que 200 que son múltiplos de 6, 10 y 15 a la vez.-

5.- ¿Cuántos divisores tienen los números?a) 36b) 512c) 1.500d) 12.346

6.- Un número es Perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores propios.Ejemplo: El número 6 es perfecto ya que 6 = 1 + 2 + 3.¿Cuál de los siguientes números es perfecto?812242856

NOTACIÓN MATEMÁTICA

INTRODUCCION:

La matemática tiene, como la mayoría de las ciencias y otras disciplinas del saber, un lenguaje particular, específico, el cual simplifica, en algunos casos, la comunicación, y por otro lado clarifica y designa de una manera exacta, sin posible confusión, sus contenidos.

En este lenguaje, que podemos llamar lenguaje matemático, las afirmaciones son presentadas de una manera propia, siendo tajantes, con demostraciones de su veracidad, y sin permitir ambigüedades. Todos y cada uno de los símbolos de escritura definidos y utilizados tienen una tarea determinada, exacta, sin solapamientos ni posibles equívocos, mientras que también la estructura de su presentación es idónea para su perfecta comprensión.

El desconocimiento del lenguaje matemático produce errores de construcción, de interpretación, y en definitiva hace imposible la comunicación.

Es decir, si se pierde la gran virtud de las matemáticas que es, su exactitud, nos queda una ciencia con un lenguaje que producirá errores y confusiones.

Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de lenguaje matemático?Pues a dos cosas distintas pero interrelacionadas, a saber: la simbología utilizada enmatemática y, por otro lado, la estructura y presentación de los contenidos matemáticos.

La simbología matemática está repleta de signos o caracteres gráficos, que son como las “palabras” de un idioma. Éstas deben ser conocidas con el objeto de poder interpretar lo que se quiere decir con ellas, al tiempo que se deben utilizar para decir lo que se quiera. Cada uno de estos símbolos utilizados en matemática, son necesarios para la perfecta construcción de ideas, de manera que la sustitución de alguno de ellos por otro diferente, aunque sea gráficamente parecido, cambiaría totalmente el significado. Es decir, todas y cada una de las “palabras matemáticas” tienen un significado particular, no existiendo la posibilidad de sinónimos.Por otra parte, la presentación de los contenidos matemáticos se realiza mediante enunciados con nombres o etiquetas (como por ejemplo: Definición, Teorema, Proposición, Lema, Demostración, Corolario, etc.), de manera que cada una de ellas predice su contenido. Así, todo enunciado o afirmación en matemática, debe ser presentado dentro de uno de estos epígrafes, ayudando así a una clara organización y estructura de los contenidos de la materia.----------------------------------------------------------------------------------------------NOTA IMPORTANTE:El profesor de matemática debe dominar el lenguaje formal de la matemática. Debe escribir las fórmulas muy bien en la pizarra, con cuidado y elegancia, y no olvidar abrir o cerrar ningún paréntesis. Manejar con fluidez la simbología general de la matemática, con sus letras latinas y griegas. El buen profesor de matemática sabe leer adecuadamente sus fórmulas. Conoce el nombre de las letras griegas y de las señales diacríticas. Dice los teoremas con corrección y emplea adecuadamente los giros lingüísticos que son característicos del lenguaje hablado de los matemáticos.

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II.- DESARROLLO DEL TEMA:

1.-SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA :a) CONJUNTOS NUMÉRICOS:Los Conjuntos Numéricos se designan con las letras:IN : Conjunto de los números Naturales.IN0 : Conjunto de los números Cardinales.Z : Conjunto de los números Enteros.Q : Conjunto de los números Racionales.Q’ : Conjunto de los números Irracionales.IR : Conjunto de los números Reales.C : Conjunto de los números Complejos.

b) RELACIÓN DE PERTENENCIA:

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto escribimos:x A (se lee: x pertenece al conjunto A)

Para indicar que un elemento NO pertenece a un conjunto escribimos:x A (se lee: x no pertenece al conjunto A)

Cuando un elemento forma parte de un Conjunto, se dice que pertenece ( ) al Conjunto y, en caso contrario, que no pertenece ( ) al Conjunto.-

c) DEFINICIÓN DE CONJUNTOS:

Un Conjunto puede definirse de dos maneras:c1) Por Extensión:

Nombrando todos y cada uno de los elementos que lo forman.Para escribirlos, se encierran los elementos entre llaves y separados por comas:Ejemplo: V= { a, e, i, o, u } y se lee “ V es el conjunto formado por las letras a,e,i,o,u”

c2) Por Comprensión:Nombrando una propiedad que cumplan todos los elementos del

conjunto y sólo ellos.-

El conjunto del ejemplo anterior, definido por comprensión, se escribe:V= { x / x es letra vocal } y se lee “V es el conjunto de los elementos x, tal que x es letra vocal.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota 2: El símbolo / se lee “tal que”--------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) CUANTIFICADORES:

d1) CUANTIFICADOR EXISTENCIAL:

Ejemplo: Para representar que en el conjunto A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, existen elementos que son MÚLTIPLOS DE 2, se escribiría:

x A / x =

y se lee: “ existe al menos un elemento x que pertenece al conjunto A tal que x es múltiplo de 2 ”

!

Ejemplo: La expresión ! x IN / x es par ^ x es primo se lee: “existe un único x que pertenece al conjunto de los números naturales tal que x es par y x es primo”.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota 3: El número dos con un punto arriba representa a los múltiplos de dos.En general, representa a los múltiplos de --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d2) CUANTIFICADOR UNIVERSAL:

En el ejemplo anterior, todos los elementos de A son números naturales. Se escribiría así: x A, x IN

Se utiliza para expresar la existencia de al menos un elemento que cumple una condición o propiedad.

Se representa por el símbolo , y se lee “existe al menos”

Se utiliza para expresar que una propiedad o condición es cierta para todo elemento del conjunto.

Se representa por el símbolo , y se lee “para todo”

Nota 1: Un elemento se escribe siempre con letra minúscula y un conjunto se escribe siempre con letra mayúscula.-

Se utiliza para expresar la existencia de un único elemento que cumple una condición o propiedad.

Se representa por el símbolo ! , y se lee “existe un único”

Y se lee: “ para todo elemento x que pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto de los números naturales”--------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) CONECTIVOS LOGICOS BASICOS:Los Conectivos Lógicos Básicos son:

e1) Conjunción: “ ” que se lee “y”

Ejemplo: Para indicar que el 2 es un número natural y que el - 5 es un número entero, se escribe: 2 IN - 5 Ze2) Disyunción: “ ” que se lee “o”Ejemplo: Para indicar que x es un elemento de la Unión de los conjuntos A y B, se escribe: x A x Be3) Implicación: “ ” que se lee “entonces”Ejemplo: a IN - a Z y se lee: “ Si a pertenece al conjunto de los números naturales entonces -a pertenece al conjunto de los números enteros”. e3) Doble Implicación: “ ” que se lee “ si y sólo si”Ejemplo: a IN ( a Z a > 0 )y se lee: “ a pertenece a los números naturales si y sólo si a pertenece a los números enteros y a es mayor que cero”.

f) EVOLUCIÓN DE LOS SIGNOS ARITMÉTICOS:

Estamos habituados desde nuestros primeros años escolares a reconocer, junto con las cifras, una serie de símbolos aritméticos tales como el de la suma (+) y la multiplicación (x), etc. Muchos pensarán que estos símbolos son tan antiguos como las letras o tal vez como los propios números, sin embargo, no es así. A medida que el álgebra fue progresando, los matemáticos, para facilitar la escritura de las fórmulas, fueron introduciendo, con más o menos éxito, nuevos símbolos operativos.

Al principio las fórmulas matemáticas eran una especie de imitación del lenguaje hablado, algo así como si en vez de 40 + 50 - 3 =87 escribiésemos "40 más 50 menos 3 igual a 87". Tal manera de proceder se ha llamado "cálculo literal" o "álgebra retórica". Digamos, de paso, que la palabra álgebra viene del árabe al-yabra, "la reducción".

MICHAEL STIFEL (1485-1567), alemán, en su obra Arithmetica Integra, popularizó los símbolos (+) y (-) .-

WILLIAM OUGHTRED (1574-1660), clérigo inglés, propuso, entre propios y ajenos, unos 150 signos matemáticos. De ellos se han conservado el de la multiplicación x, y la abreviatura log, para logaritmo.

GOTTFRIED LEIBNIZ, (1646-1716) fue de los mayores creadores de notación. Propuso el signo ~ para designar "semejante a" y : para la división. También difundió el punto . como símbolo de multiplicación.

ROBERT RECORDE, inglés, publica en 1557 su obra The Whetstone of Witte es decir, La piedra de afilar el ingenio, primer tratado inglés de álgebra, en que introduce el signo = "por no haber nada más igual que estos dos trazos paralelos"; sin embargo pasarán más de cien años antes de que este signo triunfe sobre otras notaciones rivales.DESCARTES en su Geometría, (Leiden 1637), escribió las potencias como lo hacemos ahora: a3, b2, etc. y popularizó el signo = de Recorde. A partir de Descartes la notación algebraica es ya poco más o menos la que empleamos hoy.TOMAS HARRIOT (1560 - 1621) se debe la introducción y uso por primera vez de los signos actuales de mayor que ">” y menor que "<”. En alguna ocasión utilizó el punto como símbolo de multiplicación, más tarde difundido por Leibniz.

PIERRE BOUGUER (1698-1758) introdujo los signos de mayor o igual que " ≥ " y menor o igual que " ≤ ”.ALBERT GIRARD (1590-1633) introdujo el uso de los paréntesis ( ), creó las primeras abreviaciones trigonométricas, e introdujo en los cálculos el símbolo ¥ para el infinito.LEONHARD EULER (1707-1783) introdujo el símbolo "i" primera letra de imaginarius para denotar a la raíz cuadrada de menos uno; diversas notaciones trigonométricas; la letra "e" para la base de los logaritmos neperianos y la letra griega como símbolo sumatoria.-

KRAMP (1808) introduce el símbolo ! , para designar los factoriales.

CHRISTOPH RUDOLFF (1500-1545), alemán, publica en 1525, el primer tratado de álgebra en alemán vulgar titulado Coss. La cosa era el nombre que se daba a la incógnita, que hoy representaríamos por x y el "arte cóisico" era el álgebra. En esta obra aparece, por primera vez, el símbolo Ö , corrupción de la inicial de la palabra radix, para indicar la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número se designaba antes del siglo XVI poniendo un punto delante del número.g) Signos de OPERACIONES:

Operaciones Símbolos ¿Cómo se lee?Adición a + b “a más b”Sustracción a - b “a menos b”Multiplicación a.b “a por b”División a : b “a dividido por b”Potenciación an “a elevado a n”

”enésima potencia de a”Radicación “raíz enésima de a”

Logaritmación a “logarítmo de a en base b”

Factorial n ! “ ene factorial”Porcentaje a% “a por ciento”

h) Signos de Relaciones:

Relaciones Símbolos ¿Cómo se lee?Igualdad a = b “ a es igual a b”Desigualdad a b “a es distinto de b”Desigualdad a > b “a es mayor que b”Desigualdad a < b “a es menor que b”Desigualdad o igualdad

a ≥ b “a es mayor o igual que b”

Desigualdad o igualdad

a ≤ b “a es menor o igual que b”

Congruencia a b (módulo n) “a es congruente con b módulo n”

i) Signos Geométricos:

Conceptos Geométricos Símbolos ¿Cómo se lee?Punto .A Punto ARecta Recta AB

Recta Recta 1

Semirrecta (rayo) Semirrecta (rayo) AB

Segmento Segmento AB

Longitud segmento Longitud del segmento AB

Ángulo Ángulo ABC

Medida ángulo Medida del ángulo ABC

Triángulo Δ Triángulo ABCParalelogramo Paralelogramo ABCD

Nota 5: Para indicar que el segmento mide 10 cm se escribe AB = 10 cm (se omite la barra sobre las letras A y B)

Conceptos GeométricosRelaciones

Símbolos ¿Cómo se lee?

Rectas Paralelas L1 // L2 Recta 1 paralela a recta 2Recta Paralelas

// Recta AB paralela a recta CD

Segmento Paralelos Segmento AB paralelo a segmento CD

Rectas Perpendiculares L1 L2 Recta 1 perpendicular a recta 2

Rectas Perpendiculares Recta AB perpendicular a recta CD

Segmentos Perpendiculares Segmento AB perpendicular a segmento CD

Triángulos Semejantes ΔABC ~ΔCDE Triángulo ABC semejante a triángulo CDE

Triángulos Congruentes ΔABC ΔCDE Triángulo ABC congruente a triángulo CDE

Nota 6: Para indicar que el mide 30º se escribe = 30º

h) Letras Griegas:

  ¿Cómo se lee” Letras

Minúsculas griegas \alpha, \beta, \gamma, \delta,

  \epsilon, \zeta, \eta, \theta,

  \iota, \kappa, \lambda, \mu,

  \nu, \xi, \pi, \rho,

  \sigma, \tau, \upsilon, \phi,

  \chi, \psi, \omega.

Mayúsculas griegas \Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda,

  \Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon,

  \Phi, \Psi, \Omega.

Utilizando Letras en enunciados matemáticos:

1.- La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Si las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son , y respectivamente, entonces escribimos simbólicamente:

+ + = 180º

2.- En un triángulo rectángulo: Las longitudes de los catetos las representamos por a y b, respectivamente y la longitud de la hipotenusa se representa por c, entonces el Teorema de PITÁGORAS queda expresado en símbolos por:

c2 = a2 + b2

Y se lee “El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos”

3.- “V es directamente proporcional a J e inversamente proporcional al cuadrado de U”El enunciado (3) lo podemos escribir simbólicamente como:

4.- Las fórmulas que nos permiten calcular el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia son:

Área Círculo: Ao = .r2

y se lee “el área del circulo es igual al producto entre pi y el cuadrado de la longitud del radio”

Perímetro de la Circunferencia: Po = 2..r

y se lee “el perímetro de la circunferencia es igual al doble producto entre pi y la longitud del radio”

4.- Los subíndices son utilizados frecuentemente en matemática:

sucesiones de números: x1, x2, x3, x4, x5, . . .

y se leen: “equis sub uno”, “equis sub dos”, etc.

elementos de una matriz: a11, a2o, a35, …

y se leen: “a sub once”, “a sub veinte”, etc

EJERCICIOS

I.-Corrige los siguientes enunciadosEnunciado INCORRECTO o Falso. Enunciado CORRECTO o Verdadero

1) El ángulo ABC vale 30º.2) La raíz de 4 es 23) a ≤ b se lee “a es menor e igual que b”4) A IN 5) Si x { 2,4,6,8} entonces x es impar.6) x IN, x ≥ 0

II.- Escribe por comprensión los siguientes conjuntos:

1) Conjunto de los números pares mayores que 4 y menores o iguales que 10.2) { 1,3,5,7,9}3) { 2,3,5,7,11,13,17}

III.-Escribe en forma simbólica los siguientes enunciados:

a) “Dos Rectas son Paralelas si y sólo si tienen igual pendiente”

b) “El área de un trapecio es igual al producto entre la semi-suma de las longitudes de sus bases y la longitud de su altura”

IV.- ¿Cómo se lee la siguiente fórmula? x = log b y +