Listado de ejercicios de cálculo diferencial
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Listado 1-2 Reglas de Derivación
1. Demuestre usando la definicion de derivada que:
a)d
dx[cosx] = − sinx. b)
d
dx[tanx] = sec2 x. c)
d
dx[secx] = secx tanx
2. Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) =x3
1− xb) f(x) =
6− 1/xx− 2
c) f(x) =µ1 +
1
x
¶µ1 +
1
x2
¶d) f(x) =
5x
x2 + 1
e) f(x) =2(5 + x)
3(1 + x3)f) f(x) = sec2(x) cot(1− x)
g) f(x) = (5x−√x) h) f(x) =2
(1 + x)− cos(x)
i) f(x) =x (x2 + 1)
x+ 1j) f(x) =
1 + 5x
1− 5x −1
x5
k) f(x) =cos(x)
(x+ tanx)2l) f(x) = sin(2x) + sin2 x.
3. Hallar la derivada segunda de cada una de las siguientes funciones
a) f(x) =x2 − 3x
b) f(x) = x2 − 1
x2
c) f(x) = (x2 − 2) (x−2 + 2) d) f(x) = (2x− 3)µ2x+ 3
x
¶e) f(x) = (5x−√x) f) f(x) =
2
(1 + x)− sin(x)
h) f(x) =√x2 + 1 i) f(x) = (
x
1− x)3
4. Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones
a) f(x) = (x2 − x)5 ·√1− x b) f(x) =
2(5 + x)4
3(1 + x3)2
c) f(x) =x√x2 + 1
x+ 1d) f(x) = sec(x2) cot(1− x)
e) f(x) = cos(tan(1− x
x2)) f) f(x) = sin(cos(x2))!· tan( 3
√1− x)
g) f(x) = arctan(sin
r1
x2) h) f(x) =
2
(1 + x)2− cos(x4)
i) f(x) =cos(√x)
(x+ tanx)4j) f(x) = sin3(5x−
√2x2 + 1)
5. Hallar las derivadas indicadas
a)d
dx
∙xd
dx(x− x2)
¸b)
d2
dx2
∙(x2 − 3x) d
dx(x+ x−1)
¸6. Sea f una funcion tal que : f(2) = −3 y f 0(x) =
√x2 + 5
si g(x) = x2f
µx
x− 1
¶, calcule g0(2).
7. Sea h(x) =
½x2 si x ≥ 00 si x < 0
a. Demostrar que f es derivable en x = 0 y dar f 0 (0)b. Determinar f 0 (x) para todo x
c. Probar que f 00 (0) no existed. Dibujar las gráficas de f y f 0.
8. Suponga que g(1) = 4, g0(1) = 3 y g00(1) = −2. Suponga ademas que f(4) = 6,f 0(4) = −1 y f 00(4) = 5.¿Cual es el valor de la primera y segunda derivada de(f ◦ g)(x) en x = 1?
9. Sea f : R→ R definida por:
f(x) =
(1 + x+ (x− a)2 + (x− a)3 sin(
1
x− a) si x 6= a
1 + a si x = a
donde a es un numero real fijo.a) Pruebe que f es derivable en R e indique el valor de f 0(a).
b) Pruebe que f 0 es derivable en R− {a} y que f 00(a) no existe.
10. Dada:
h(x) =
⎧⎨⎩|x3 + 1| si x ≤ 1cos¡π2x¢
1−√x si x > 1
Calcule la derivada de h en cada punto donde exista.
11. Sean f y g dos funciones derivables en todo su dominio y sus valores en ciertos puntosse muestran en la siguiente tabla. Notar por ejemplo, el valor 1 en la primera fila y cuartacolumna significa g0(0) = 4. Se pide encontrar H 0(x) en cada caso:
x f(x) f 0(x) g(x) g0(x)0 2 1 5 41 7 3 6 22 5 4 1 73 1 2 6 84 3 3 2 55 6 4 1 46 0 5 4 67 4 1 5 1
a) Si la funcion H se define por H(x) = f(g(x)), Calcular H 0(2).
b) Si la funcion H se define por H(x) = f(x)g(x), Calcular H 0(3).
c) Si la funcion H se define por H(x) =x+ f(x)
g(x), Calcular H 0(4).
d) Si la funcion H se define por H(x) =∙f(
x2
4)
¸2+ g(√x),Calcular H 0(2).
e) Si la funcion H se define por H(x) =[g(x)]4 + f(x)
g(x) + 1, Calcular H 0(1).
12. Sea f : R→ R definida por : f(x) = 3px2(1− x),
a) Muestre que f no tiene derivada en el punto x0 = 0.
b) Determine la derivada de f para x 6= 0 y x 6= 1.