Matematicas Financieras

MATEMATICAS FINANCIERAS


HERRAMIENTAS, PROCESOS BASICOS, FORMULARIOS Y APLICACIONES

María Elena Fragoso Valdez

Matemáticas Financieras

Las Matemáticas Financieras como su nombre lo indica es la aplicación de la matemática a las finanzas centrándose en el estudio del Valor del Dinero en el Tiempo, combinando el Capital, la tasa y el Tiempo para obtener un rendimiento o Interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de Inversión.

Su aplicación es particularmente práctica en la solución de problemas comunes en el área de negocios. Principales herramientas y procesos que permiten realizar un análisis de las situaciones financieras:

MAPA CONCEPTUALHerramientas y Procesos fundamentales para realizar análisis y evaluaciones

financieras mediante la resolución de problemas básicosRazón La comparación entre dos números similares. Razones Aritméticas La comparación de cantidades se hace mediante una

diferencia (resta)Razones Geométricas La comparación está dada por el cociente (división) de las

dos cantidades.Razones Expresadas como Fracciones

Pueden ser menor que, igual a, o mayor que 1

Reparto Promocional Se dice y que es directamente proporcional a x, o varía directamente con x , si existe una constante proporcional directa k , diferente de cero, tal que y=k∗x

Variación Promocional Mixta

Se dice que y es inversamente proporcional a x , o varía inversamente con x , si existe una constante k , diferente de cero, tal que: yx=k y k constante de proporcionalidad inversa

Variación proporcional mixta o compuesta

Un tipo de variación proporcional con más de 2 variables es la variación compuesta. Se dice que una variable varía conjuntamente con 2 o más variables, si es directamente proporcional a su producto

Tanto Porciento El término porcentaje proviene de la palabra latina que significa “cien” y representa un quebrado cuyo denominador es 100. Independientemente del tema que se esté tratando, la relación entre dos cantidades se expresa frecuentemente en porcentaje %

Porcentaje decimal y quebrado

Aunque el signo de porcentaje % es conveniente y se utiliza comúnmente en la escritura, no se usa en el cálculo. Tiene un valor aritmético definido y antes de comenzar cualquier cálculo, la cantidad presentada como porcentaje se tiene que cambiar a un quebrado equivalente o un decimal. El equivalente aritmético de % es 1/100 o 0.01.

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En un caso específico el quebrado es más preciso cuando no existe un decimal exacto equivalente para el porcentaje. Aunque los problemas en los negocios se trabajan con decimales y/o quebrados, con frecuencia las respuestas se convierten a porcentajes.

Progresión Aritmética Sucesión de números llamados términos, tales que números cualesquiera consecutivos de la sucesión se encuentran separados por una misma cantidad llamada diferencia común.

Progresión Geométrica

Sucesión de números llamados términos, tales que números consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o una razón común. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común

La relación entre las herramientas y procesos es continua y se relaciona de forma constante en las actividades de nuestro día a día.

MAPA MENTAL

Sus principales elementos de estudio son capital, tiempo, y tasa de interés.

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Capital.- Cantidad de dinero. Se divide en capital inicial, aquel que a una tasa de interés dada alcanzará un monto igual a su valor futuro igual a la fecha del vencimiento; capital final o valor futuro, importe capitalizado que constituye la suma del capital inicial y el interés.

Tiempo.- Periodo durante el cual se hace uso del dinero. Tasa de interés.- Rendimiento o pago por el uso del dinero. La tasa de

interés se divide en tasa de interés efectiva y tasa de interés nominal.

Tasas

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NOMBRE FORMULA NOMENGLATURATasa nominal

F=P(1+ im

)mt P: Capital

i: Tasa de interésm: Veces en un añot: tiempo

Tasa efectivaie=(1+ i

m)m

−1i: Tasa de interésm: Veces en un año

Tasa equivalenteie=[(1+ i

m)mq−1]q i: Tasa de interés

m: Veces en un añoq: Numero de pagos o cobros

Capitalización y Amortización

El estudio del valor del dinero en el tiempo y la transferencia de capitales entre dos o más entes económicos, haciendo uso de una tasa de interés que puede ser simple o compuesta nos lleva al aprendizaje y diferenciación de los términos de capitalización y amortización.

La capitalización es la operación de posponer el cobro o el pago de un capital, para obtener otro superior. En algunos casos consiste en invertir o prestar un capital que produce interés a través de un periodo determinado. Cuando los intereses no se retiran y agregan al capital generando nuevos intereses y un monto total final mucho mayor, sencillamente se llama capitalización

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En cambio, la amortización es un proceso financiero mediante el cual una deuda se liquida gradualmente mediante pagos periódicos que pueden ser iguales o diferentes y que tienen como finalidad reducir el importe de la misma. La parte del capital prestado que se va cancelando en cada pago es la amortización.

La principal diferencia entre capitalización y amortización es que mientras la capitalización hace crecer el valor presente del dinero convirtiéndolo en un monto mayor, la amortización va reduciendo el valor de una deuda, es decir esta operación consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses

En general pienso que las personas estaríamos más interesadas en la capitalización de nuestro dinero a través del tiempo, sin embargo, las deudas son un medio por el cual también se puede invertir en bienes de capital duradero para construir nuestro patrimonio, siempre y cuando hagamos buen uso y manejo del pago puntual de ellas considerando las amortizaciones que se nos ofrecen en estos.

Formulario.- Interés simple y compuesto

Calculo de: Formula Nomenclatura

Inte

rés s

imp

le

Monto M=P+ I M = montoP = capital o principalI = interés

Interés I=Prt I= interésP= principal o capitalr= tasat= tiempo

Plazo M=P(1+¿) M = montoP = plazoi = interést = tasa

Descuento Comercial D=Mdt y M=P+DD=Pdt /1−dt

D = descuentoM = MontoP = valor del

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documentod = porcentaje de descuentot= tiempo

Valor Nominal bajo Descuento Real o Justo

M=P(1+dt) M = MontoP = valor del documentod = porcentaje de descuentot= tiempo

Inte

rés c

om

pu

esto

Fórmula para obtener el valor futuro de un capital presente (F/P)

Fn=F=P(1+i)n F =valor futuron = número de periodosP= valor presentei = tasa de interés compuesto

Fórmula para obtener el valor presente a partir de un valor futuro (P/F)

P=F [ 1

(1+i )n ] P= valor presenteF =valor futuron = número de periodosi = tasa de interés compuesto

Fórmula para obtener el valor futuro a partir de una serie uniforme (anual) de flujos monetarios (F/A)

F=A[ (1+i )n−1i ] F = valor futuro

A = valor componente en seriei = tasa de interés compueston= número de periodos

Fórmula para obtener una serie uniforme a partir de de un valor futuro en un periodo enésimo(A/F)

A=F[ i

(1+i )n−1 ] A = valor de una serie de pagos F = valor futuroi = tasa de interés compueston= número de periodos

Fórmula para obtener el valor presente derivado de una serie de depósitos iguales (P/A)

P=A [ (1+i )n−1

i (1+i )n ] P = valor presenteA = valor componente en seriei = tasa de interés compuesto

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n= número de periodos

Fórmula para obtener el valor uniforme a partir de un valor presente (A/P)

A=P[ i (1+i )n

(1+i )n−1 ] A = valor componente en serieP = valor presentei = tasa de interés compueston= número de periodos

Ecuación para calcular un valor futuro a partir de un gradiente (F/G)

F=G [ (1+i )n−1

i2−ni ] F = valor futuro

G =valor que se incrementa en cada periodoi = tasa de interés compueston= número de periodos

Factor de valor uniforme de una serie aritmética (A/G)

A=G [ 1i−ni×

i

(1+i )n−1 ] A = valor componente en serieG =valor que se incrementa en cada periodoi = tasa de interés compueston= número de periodos

Factor de valor presente de una serie aritmética (P/G)

P=G [ 1i [ (1+i )n−1

i (1+i )n− n

(1+ i)n ]] P = valor presenteG =valor que se incrementa en cada periodoi = tasa de interés compueston= número de periodos

Formulario.- Amortización

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Fórmula NomenclaturaFactor de capitalización (1+i )n i= tasa de interés por periodo

n = número de periodos

Calculo del valor futuro con interés simple

F=P+ I

P = valor presenteF = valor futuroI = interés

Calculo del Interés I=P∗i∗n

P = valor presentei= tasa de interés por periodon = número de periodos

Valor futuro de capitalización

F=P+(P∗i∗n )

P = valor presenteF = valor futuroi= tasa de interés por periodon = número de periodos

Calculo del valor futuro con interés compuesto

F=P(1+i)nP = valor presenteF = valor futuroi = tasa de interés por periodon = número de periodos

Calculo del valor presente

P=A [ (1+i )n−1

i (1+i )n ]P = valor presentei= tasa de interés por periodon = número de periodosA = renta de amortización

Calculo del valor Futuro F=A[ (1+i )n−1

i ]F = valor futuroi = tasa de interés por periodon = número de periodosA = renta de amortización

Renta de amortización

A=P[ i (1+i )n

(1+i )n−1 ]P = valor presenteF = valor futuroi = tasa de interés por periodon = número de periodosA = renta de amortización

Renta de capitalización

A=F[ i

(1+i )n−1 ]P = valor presenteF = valor futuroi = tasa de interés por periodon = número de periodosA = renta de amortización

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Numero de periodos de capitalización

n= I(P∗i )

P = valor presenteI = interésI = tasa de interés por periodon = número de periodos

Tasa de interés

i= IP∗n

P = valor presenteI = interésI = tasa de interés por periodon = número de periodos

Capital actual Ve=Vn– DVe = valor efectivo ( valor actual)Vn = valor nominal (valor futuro)D = descuento

Descuento D=Vn∗i∗nVe = valor efectivo ( valor actual)Vn = valor nominal (valor futuro)D = descuento

Aplicaciones reales

El uso de las matemáticas financieras es muy comúnmente observado cuando entendemos los conceptos de capitalización y amortización. Ambos términos son utilizados para el manejo de las finanzas personales, empresariales y gubernamentales

Renta de Capitalización

Pensión y ahorro para el retiro.- En México los llamados AFORES, administran los recursos depositados de los trabajadores de las empresas en una cuenta personal, a través de rentas periódicas para ofrecer al trabajador una pensión en el momento de su retiro. La cuenta de Afore de cada trabajador permite que sus aportaciones se capitalicen a una tasa anual ofreciendo la garantía de que el dinero depositado se convertirá en el tiempo en una garantía de efectivo que será devuelta en pagos parciales o totales para el beneficio de una jubilación digna

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Proyectos de inversión.- Todas las empresas tienen la necesidad de elaborar un estudio de viabilidad llamado proyecto de inversión con el fin de reconocer los aspectos en que el emprendedor o empresario pueda tomar decisiones referidas a la aceptación o rechazo de inversiones el estudio del proyecto de inversión sirve como herramienta interna para evaluar el desempeño de la empresa y sus desviaciones sobre el escenario previsto, así como, ser una carta de presentación ante terceros: bancos, inversores institucionales y privados, sociedades de capital riesgo, organismos públicos y otros agentes implicados a la hora de solicitar cualquier tipo de colaboración y apoyo financiero. Estos proyectos de inversión son a largo plazo y para ellos se fijan aportaciones de capital con el fin de obtener una mayor rentabilidad en el uso de sus recursos

Renta de amortización

Deuda Externa.- Se refiere al endeudamiento que un país tiene con entidades extranjeras, incluye la deuda pública contraída por el Estado y la deuda privada contraída por los particulares, en este caso el Banco Mundial o el Fondo Monetario Internacional son encargados de la administración y otorgamiento de créditos. El gobierno deberá efectuar pagos periodicos de acuerdo a sus contratos establecidos. Si un país no cumple puntualmente con la obligación de pagar su deuda, es decir dinero e intereses, no solo harán más grande su deuda, sino también esta situación afecta su desarrollo económico

Capitalización

Mercado de capitales.- Es el escenario temporal donde se comercializan acciones y bonos y donde las organizaciones se hacen de fondos para poder financiarse ahí los agentes económicos con superávit de fondos pueden canalizar sus inversiones, participa como intermediario y canaliza los recursos frescos y el ahorro de los inversionistas para que los emisores lleven a cabo operaciones de financiamiento e inversión dentro de sus empresas.

Amortización

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Amortización de un crédito hipotecario.- De acuerdo a las características de las familias como sujetos de crédito, los bancos ofrecen créditos hipotecarios fijando una cuota mensual para que los clientes puedan realizar la compra de una vivienda. Considerando plazos que van de 5 y hasta 30 años, fijan rentas que en principio son bajas y van aumentando con el tiempo hasta la liquidación del mismo. Los primeros pagos son tomados a cuenta de los intereses del préstamo y posteriormente se toman a cuenta de capital

Descuentos

Descuentos por liquidación anticipada a INFONAVIT.- INFONAVIT otorga descuentos por liquidación anticipada de créditos otorgados por la compra de una vivienda. En el caso de que el crédito se haya concedido antes de 1995 y no se tenga un proceso de reestructura vigente el descuento es del 30% ; un descuento de 10% si la deuda es de 10 años o más y se ha pagado puntualmente sin haber hecho uso de prorrogas o reestructuras; y un porcentaje de descuento para quienes no cumple las anteriores opciones en función de las condiciones de crédito, saldo, tasa de interés, monto de la mensualidad y tiempo que falta por pagar

Fuentes consultadas

Manual de Matemáticas Financieras, Universidad Abierta y a Distancia de México

http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/2/mate_fin.pdf http://www.eco-finanzas.com/finanzas/matematicas_financieras.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Amortizaci%C3%B3n http://www.telefonica.net/web2/marodgar/Proporotraplica.htm http://www.bicgalicia.org/files/Manuais_Xestion/cast/

5ValoraruPproxectodeInvestimento_cas.pdf https://docs.google.com/viewer?

a=v&q=cache:gdz3VQNU8ZwJ:www.econ.uba.ar/www/departamentos/administracion/plan97/adm_financiera/De%2520La%2520Fuente/Presentaciones/Acciones%2520y%2520Bonos.pps+&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESihnxqSFndVW

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https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:gdz3VQNU8ZwJ:www.econ.uba.ar/www/departamentos/administracion/plan97/adm_financiera/De%2520La%2520Fuente/Presentaciones/Acciones%2520y%2520Bonos.pps+&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESihnxqSFndVW7R7YWocX2wlvyOHqHJqK_98sK4-9lij0iI_7TSBG7o50nGVkgr0b1uo-yGKOvuh2uGyE-2E_RA0z0FVraI8W0tP-OIlKAsh5lgw-tRSILOyHEMly8BQDxDYWdI8&sig=AHIEtbRWLRxiOj3EBH93-irrIiawJdGdvQ


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7R7YWocX2wlvyOHqHJqK_98sK4-9lij0iI_7TSBG7o50nGVkgr0b1uo-yGKOvuh2uGyE-2E_RA0z0FVraI8W0tP-OIlKAsh5lgw-tRSILOyHEMly8BQDxDYWdI8&sig=AHIEtbRWLRxiOj3EBH93-irrIiawJdGdvQ

http://www.euroresidentes.com/vivienda/hipotecas/hipoteca_plazo_de %20amortizacion.htm

http://definicion.de/deuda-externa/

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http://definicion.de/deuda-externa/

http://www.euroresidentes.com/vivienda/hipotecas/hipoteca_plazo_de%20amortizacion.htm

http://www.euroresidentes.com/vivienda/hipotecas/hipoteca_plazo_de%20amortizacion.htm



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