MATEMATICAS FINANCIERAS

7/18/2019 MATEMATICAS FINANCIERAS

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de 181 a360 días

7.38 - 6.61 - .00

- 8.20 - - - - 6.89 - - - 7.23

Pr éstamos amás de 360días

8.23 10.00 7.24 12.00 - - - 7.90 - - - 7.31 - - - 8.08

MedianasEmpresas

13.05 17.71 10.16 11.7810.95

9.39 5.41 12.87 21.0010.86

- 8.64 - - - 11.10

Descuentos 12.49 21.37 9.86 9.4110.5

3

9.36 6.43 9.84 -10.86

- 8.50 - - - 10.43

Pr éstamoshasta 30días

13.10 12.59 9.72 15.0013.27

8.61 6.75 14.21 20.339.32

- - - - - 10.73

Pr éstamosde 31 a 90días

13.52 12.20 10.98 10.7911.94

7.56 5.11 10.46 22.6810.61

- - - - - 10.16


13.44 13.18 11.61 10.6811.94

10.15 7.78 9.48 -11.87

- - - - - 12.19

Pr éstamosde 181 a360 días

13.51 - 8.88 12.83 10.11

8.19 8.25 12.14 22.95 13.33

- 8.66 - - - 11.58

Pr éstamos amás de 360días

12.62 14.07 11.31 18.5611.43

15.94 - 19.61 20.5412.00

- - - - - 14.00

PequeñasEmpresas

23.29 27.97 16.86 25.0814.23

25.05 8.25 19.30 25.8710.30

- - - - - 23.32

Descuentos 26.41 26.09 13.83 12.9614.4

4

13.94 - 11.38 -10.23

- - - - - 15.94

Pr éstamoshasta 30días

24.84 14.00 13.28 38.00 - 20.20 - 11.82 23.9510.46

- - - - - 23.33


22.56 26.80 19.72 27.2710.19

19.95 - 20.37 31.3310.48

- - - - - 21.56


22.73 34.00 23.64 25.7218.76

21.03 8.25 24.50 29.1715.50

- - - - - 23.34

Pr éstamos

de 181 a360 días

23.20 29.67 8.35 26.0116.28

24.62 - 20.42 28.09 - - - - - - 25.55

Pr éstamos a 17



Matemáticas Financieras

Autor:

Cuarta Edición

Editorial: McGraw Hill

Matemáticas FinancierasAutor: Alfredo Díaz Mata / Victor M. Aguilera Gómez

Cuarta Edición

Editorial: McGraw Hill

Problemario de Matemáticas Financieras

Autor: Abraham Hernández Hernández / Abraham HernándezVillalobos / Alejandro Hernández Suarez

Editorial: Thomson



Las Matemáticas Financieras o Ingeniería

Económica tienen como objetivo

fundamental el estudio y análisis de todasaquellas operaciones y planteamientos en

los cuales intervienen las magnitudes de:

Capital, Interés, Tiempo y Tasa.



La Matemática Financiera la podemos asociarcon dos símbolos es decir el de los números (#)y el de los soles (S/.), ya, que cuando hablamos

de Matemáticas automáticamente hacemosrelación con los números; y cuando hablamos

de Finanzas lo relacionamos con el signo soles;

de allí la asociación.



FUND MENT CIÓN

FIN NCIER

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://desarrollogerencial.files.wordpress.com/2011/01/contadurc3ada-1-2.jpg&imgrefurl=http://desarrollogerencial.wordpress.com/category/finanzas/&usg=__T1iqGE80Bv0jRnbjaDoLEn5TIJo=&h=331&w=500&sz=114&hl=es&start=2&zoom=1&tbnid=DEoI07kMZzfboM:&tbnh=86&tbnw=130&ei=5005Tsu9JYTd0QG1hdnZAw&prev=/search%3Fq%3Dfinanzas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://paraemprender.kt-corp.com/wp-content/uploads/2011/02/finanzas-personales-2011.jpg&imgrefurl=http://paraemprender.kt-corp.com/tag/finanzas-personales-2/&usg=__M5MOnMHkBEatpIlrc2hgqp8lNkw=&h=300&w=300&sz=91&hl=es&start=5&zoom=1&tbnid=E-jIrKjOKRpbkM:&tbnh=116&tbnw=116&ei=5005Tsu9JYTd0QG1hdnZAw&prev=/search%3Fq%3Dfinanzas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1

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Es la disciplina que se encarga del estudio de la teoría y desu aplicación en el tiempo y el espacio, sobre la obtenciónde los recursos, su asignación, distribución y minimizacióndel riesgo en las organizaciones a efectos de lograr losobjetivos que satisfagan sus requerimientos.

Decía Bernard Shaw que “no tenemos mas derecho aconsumir felicidad sin producirla, que a consumir riqueza sinproducirla”, por lo cual es importante poner en claro que estadisciplina tiene por finalidad servir de apoyo, dar informacióny coordinación y ser facilitadora de las actividades querealizan las otras áreas de la organización, producción (debienes y/o servicios), marketing (de bienes y/o servicios).



Filosóficamente pensamos que el dinero no es importante por si

solo, sino como medio o instrumento que nos sirve para lograrsatisfacer algunas de las necesidades que tienen los sereshumanos, como las fisiológicas, de seguridad, de estatus, etc.

Sector PublicoDeterminacion de necesidades publicas

Gasto publico como causa del ingreso publico

Ingreso publico

Maximizacion del bienestar integral de la poblacion

Sector PrivadoEstimacion de ingresos e inversiones

Financiamiento

Maximizacion del valor del capital invertido

Distribucion de dividendos

Actividad Financiera



Podemos diferenciar tres periodos de las finanzas:La visión descriptiva de las finanzas empresarialeshasta la segunda guerra mundial

Desde mediados de la década de los 40 hasta la

cimentación de la moderna teoría de la finanzasempresariales

Finanzas empresariales expansión y profundización

de las finanzas hasta nuestros días.



El origen del dinero como unidad de cuenta o de valor se remonta enuna de las citas de la Biblia, pinturas rupestres y jeroglíficos.

Antes de Cristo

Existencia de elementos que favorecían los intercambios comerciales y

el cobro de impuesto como por ejemplo el código de Hammurabi,asimismo aparecen una especie de “opciones “ descritas por Aristóteles.

Anos 1500 – 1900

En el siglo XV nacen los bancos internacionales con el poder de losgrandes bancos florentinos (Italia).

En 1590 nacen sociedades con el capital distribuidos entre variosinversores que se denominaron inversionistas en Inglaterra con el

registro de East India Compani.



En 1650 nacen los “futuros” (protección ante la fluctuación de losprecios de los mercados) .

En 1792 nace la bolsa de Nueva York.

A principio del siglo XVIII la inquietud de las finanzas era como obtenerlos fondos de la forma mas económica posible descuidando elfinanciamiento a corto plazo .

En el siglo XIX avanza considerablemente la teoría económica como

disciplina académica surgiendo el llamado modelo clásico de la manode Adan Smith hasta principios del siglo XIX los gerentes financieros sededicaron a llevar libros de contabilidad o controlar la teneduría, siendosu principal tarea buscar financiación cuando fuera necesario.



Anos 1900-1930Las innovaciones tecnológicas y las nuevas industrias provocaron lanecesidad de mayor cantidad de fondo.

En 1929 la economía se encuentra inmersa en una crisis internacional caída

la bolsa de Nueva York y enfrentamiento de grupos norteamericanos ybritánicos se encontraban enfrentados (excesos de prestamos) comoconsecuencia de ello empresas fueron quebradas y otras liquidadas.

Aparece al interes por la preocupación financiera de la empresa y elintervencionismo estatal .

Después de la segunda guerra mundial a mediados de la década de los 50,adquiera importancia la planificación y control reorganizando la estructuraorgánica de las empresas.

Priman los objetivos de rentabilidad; crecimiento y diversificación

internacional. Se analizan profundamente la teoría del riesgo.



En la década de los 50 después de la segunda guerra mundial comose ve a la gerencia financiera como parte de la gerencia total. Se leda importancia al presupuesto de capital; aparecen nuevos métodosy técnicas para seleccionar proyectos de inversión, basadosfundamentalmente en el valor presente de los flujos de fondo.

En la década de los 60 se da en el mercado los dos tipos de riesgoel Diversificable y el Sistemático.

En la década de los 70 hasta nuestros días crece el interes delestudio de las finanzas surgiendo nuevas líneas de investigaciones

como:La teoría de valoración de opciones.

La teoría de valoración por arbitraje.

La teoría de agencia.



Durante la década de los 80 se da gran atención a lasimperfecciones del mercado y su efecto sobre el valor . Nace lasideas de calidad total y la ingeniería financiera, además se

implementan nuevas formas de las operaciones con títulos ,valores y nuevos tipos de contrato.

Se avanza en la teoría sobre opciones, futuros y swaps , etc.

En la década de los 90 aparecen las pymes y la globalización dela finanzas produciéndose la integración de los mercadosfinancieros mundiales en forma creciente.



La función financiera actual presta especial atención al costo decapital correspondiente al proyecto de inversión.

Nivel de endeudamiento que mas le conviene a la empresa.

Gestión de la liquidez y la tesoreríaPlanificación financiera a largo y mediano plazo

Control financiero.

Técnicas analíticas para la adopción de decisiones internas enel campo de la inversión y financiación de la empresa.



Teoría Financiera- Política Financiera – Objetivo Financiero.

Las decisiones empresariales suponen un aumento o disminución delempleo de los recursos de las empresas y responden a las tresinterrogantes planteadas:

Cual debe ser la dimensión de la empresa y su ritmo de crecimiento.Que clase de activos debe poseer la empresa.

Cual debe ser la composición de su pasivo.

La empresa debe ser frente a tres categorías de decisionesfinancieras:

Volumen y destino de sus inversiones.

Volumen de los dividendos a distribuir.

Volumen y origen de los recursos a utilizar.



Las funciones de la administración financiera en una organizaciónadquieren gran importancia por tratarse del que administra ( laplanificación , gestión y control), del recurso que oficia comounidad de cuenta, medida de valor, coordinador y facilitador de las

actividades de las demás áreas ( producción , comercialización,dirección ).



EMPRESASINDICATOS

CLIENTES

PROVEEDORES

ACCIONISTAS

COMPETIDORES

BANCOS GOBIERNO

COMUNIDAD



a Caja y bancos

b Cobranzas

c Planeamiento y control de los fondos

d Analisis de los costos financieros

e Relevamiento de las fuentes de fondos y sus costos y plazosf Relevamiento de inversiones de corto plazo y su rendimiento

gAnalisis del riesgo implicado en todas las operaciones

financieras tanto de inversion como de financiamiento

hCustodia de titulos, valores, polizas y toda otra documentacion

que represente la propiedad de bienes de capitali Resguardo documentacion legal de la oprganizacion

j

Relacionarse con Instituciones financieras y mantener

actualizadas las carpetas de credito con la documentacion que

las mismas exigen

PROCESOS DE TESORERIA

aContabilidad general: registro, analisis y confeccion de balances

y estados de resultado y anexos

bContabilidad de costos: determinacion costos

estandares,analisis de desvios, niveles de equilibrio

cLiquidacion y registros de sueldos y jornales, control de la

documentacion y legajos del personal de la organizacion.

d Supervision y seguimiento area procesamiento de datos

PROCESO DE REGISTRO

a Analisis de la organizacion, estructura y proceso

b Diseno de la estructura, procedimientos y formularios

c Redaccin de manuales

d Control y organizaciones de archivos

METODOS Y PROCEDIMIENTOS



a Cordinacion del planeamiento estrategicode la organizacion

b Coordinacion del presupuesto

c Evaluacion de las inversiones

d Analisis de la informacion micro y macroeconomica

e Seguimiento y anticipacion del mercadof Confeccion del tablero de comando o control

PLANEAMIENTO ECONOMICO-FINANCIERO

a Organizacion del sector

b Deteccion de proveedoresc Supervision de la logistica interna

d Control de las existencias

COMPRAS

a Control interno

b Mantener relaciones con el control externo

AUDITORIA



Objetivo tradicional de las empresas: Maximización del beneficio.Objetivo planteado por la gestión financiera: Maximización delvalor del mercado de la empresa desde el punto de vista de suspropietarios (accionistas en el caso de una SA).

Este objetivo, puede ser criticado puesto que no todas lasempresas cotizan en bolsa, sin embargo es un esquema quepermite demostrar la debido a que puede tener una demostraciónoperativa, sencilla, única y con objetivos cuantificables.

Ello puede darse debido a que la toma de decisiones en unaempresa es tomada no por los propietarios sino por los directivos,que tienen a satisfacer los intereses de los accionistas

maximizando el precio de las acciones.



A mediano plazo, se puede optar por maximizar las ganancias conproductos de baja calidad, consecuencia de la utilización deinsumos también de baja calidad, lo que repercutirá en que en ellargo plazo se pierdan los clientes y reduzca la productividad.

Los rendimientos a largo plazo, dependerán de la planeación que

se realice en el inicio de algún proyecto, siendo responsabilidadde los directivos de la empresa, adoptar una actitud sistémica yuna metodología de mejora continua.



•

Proporcionar las herramientas necesarias para plantear solucionesa problemas generales o específicos de las finanzas empresariales.

•Dar a conocer el análisis, uso y el desarrollo de las distintasherramientas y estrategias financieras.

•Desarrollar la capacidad para identificar, analizar y dar soluciones alos diferentes problemas financieros.

•Orientar el diseño de estrategias.

•Generar habilidades que permitan prever tendencias y escenariosnegativos.

• Análisis correcto de la información financiera.

•Proporcionar herramientas a la alta gerencia para liderar procesos

de desarrollo empresarial y toma de decisiones.



El principal objetivo de la gerencia financiera, es lamaximización del valor de las acciones de la empresa.

O p e r a

c i o n e s d e

l a e m p r e s a

( c o n j u n t o d e

a c t i v o

s r e a l e s ) M

e r c a

d o d e

c a p i t a l e s

( i n v e r s o

r e s q u e

p o s e e n

a c t i v o s

f i n a n c

i e r o s )

Gerente

Financiero

( 1 )

(4a)

(4b)( 3 )

( 2 )

El flujo comienza cuando se emiten los títulos para obtener dinero ( línea 1 en la figura ). Eldinero es utilizado para comprar activos reales empleados en las operaciones de la empresa(línea 2). (Puede usted imaginar las operaciones de la empresa como un Conjunto de activosreales). Mas tarde, si la empresa marcha bien, los activos reales generan flujos de tesoreríasuperiores al reembolso de la inversión inicial (línea 3). Finalmente el dinero es reinvertido(línea 4ª) o devuelto a los inversores que adquirieron la emisión inicial de títulos (línea 4b). Porsupuesto la elección entre las líneas 4a y 4b no es algo completamente libre. Por ejemplo, si un

banco presta dinero a la etapa 1, este debe recobrar su dinero a la empresa en la etapa 1, estedebe recobrar su dinero mas los intereses en la etapa 4b.



¿En qué debe invertir la empresa?

¿Cómo conseguir los fondos para esas inversiones?

DECISIONES DE INVERSION

Cuanto invertir y en que activos hacerlos?

DECISIONES DE FINANCIAMIENTO

Como conseguir los fondos necesarios?

Analisis de proyectos (estimacion de

costos, riesgos y opciones futuras.

Identificacion de fuentes de

financiacion (fondos propios, acciones y

deuda)

Tesoreria (calculo y colocacion de fondos) Calculo de costos de financiacion.

Adquisicion de otras empresas (calculo de

costos y riesgos)

Estimacion de contribucion de metodos

de financiacion al riesgo de la empresa.

Gastos independientes de proyectos (de

capital fijo y administrativo)

Evaluacion de otras ventajas y

desventajas (impacto sobre el control

de la empresa, senales del mercado,

etc)



¿En qué consiste la planificación financiera de un individuo?



•Maximización de las utilidades.

•Maximización del patrimonio neto.

•Maximizar el valor actual neto de la empresa – Valor de una empresa.

•Maximización de la creación de valor.•Responsabilidad social.



la responsabilidad social de las empresas se refiere a aspectos

relacionados con los empleados y aspectos medioambientales; lo

mismo que con las comunidades locales, socios comerciales,proveedores, compradores, los derechos humanos y problemasecológicos mundiales. Su practica requiere de la voluntad políticade las diferentes naciones así como el dialogo y la negociación de

los diferentes accionistas



Interés es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I.Otra forma de conceptualizar el interés o rédito es “el cambio en elvalor del dinero con el paso del tiempo”.

El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para queotros lo usen sin ser de su propiedad. Por ejemplo, si usted consigueun préstamo bancario, estará utilizando un dinero que no es suyo,sino del banco. También se invierte un capital en un banco, entoncesel banco le pagará intereses por usar el dinero de usted.

El precio que tiene el dinero como cualquier otro bien, es el pago porla adquisición de bienes y servicios en operaciones de crédito, etc.

Numéricamente hablando, los intereses son la diferencia entre dos

cantidades: el capital y el monto.



Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero P, se incrementahasta otra S, entonces el interés es I = S-P, donde P es el capital y Sel monto del capital.

Dependiendo del caso y las circunstancias, el capital también tieneel nombre de principal, valor presente o valor actual. De igualmanera algunos sinónimos del monto del capital son valor futuro,valor acumulado o simplemente monto.



Al numero de días u otras unidades de tiempo que transcurrenentre las fechas inicial y final en una operación financiera se le

llama plazo o tiempo.

CAPITAL CAPITALINTERESES

Fecha TerminalFecha InicialPlazo

De este punto de vista, el monto siempre es mayor que elcapital y se ubica en un tiempo futuro respecto del capital.



La razón entre el interés I y el capital P por unidad de tiempo sellama tasa de interés, por lo tanto:

i = I/P

Gracias a la estabilidad económica que actualmente sevive en el país, las tasas de interés son relativamentebajas, muy por debajo a la de épocas anteriores. No

obstante a pesar de lo anterior, estas tasas son variabley se determinan sumando puntos porcentuales a las

tasas de referencia siguientes:



La tasa líder, de rendimiento.

El costo porcentual promedio de captación.La tasas de interés interbancaria de equilibrio.

Estas varían con lapsos diferentes y su nuevo valor se publica enla pagina web del BCRP.

Si la tasa de interés se multiplica por 100 se obtiene la tasa deinterés en porcentaje. De esta manera la tasa de interés es el

valor de una unidad monetaria en el tiempo. Si esta en proporciónserá el valor de 100 unidades monetarias en el tiempo.



Cuando la tasa de interés se expresa en porcentaje se le llamatipo de interés, y al valor correspondiente expresado endecimales, el que se emplea en las operaciones, se denominacomo tasa de interés., pero en la practica es al primero al que lellaman tasa de interés.

http://www.sbs.gob.pe/app/stats/TasaDiaria_7A.asp?FECHA_CONSULTA=02/08/2011





La licenciada Adriana invierte $ 4000 a al termino de 01 año recibe $ 4500por su inversión. El valor presente del capital es P = $ 4000, el monto es S

= $ 4500 y los intereses son la diferencia de S y P:

I = 4500 – 4000

I = 500

La tasa de interés es i = 500/4000 = 0.125. El tipo de interés es, por lotanto, 0.125 (100) = 12.5% anual y el plazo de 01 año.



En diapositivas anteriores se dijo que la tasa de interés por unidadde tiempo es i = I/P. Si se despeja I multiplicando los dos miembrosde la ecuación por P, se obtienen los intereses:

I = Pi

Pero si el plazo no es la unidad sino cualquier otro valor, digamos nperiodos, entonces los intereses serán:

I = Pni

Es decir, que son proporcionales al capital, al plazo y a la tasa de

interés, lo cual se formaliza en el siguiente teorema:



Los intereses que produce un capital P con una tasa de interéssimple anual i durante n años, están dados por:

I = Pin



¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $ 14,644 se liquidaun préstamo de $ 14,000 en un plazo de 06 meses?.

Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital prestado

I = 14,644-14000 (I = S – P)

I = $ 644El plazo es n = ½, que equivale a un semestre. La tasa anual i, se

despeja de la ecuación siguiente que resulto de sustituir los valoresanteriores en I = Pin

644 = 14,000(i)(1/2)De donde, 644(2)/14000 = i

I = 0.092 o 9.2% simple anual.



La unidad de tiempo para la tasa de interés puede no ser anual, sino mensual,

diaria, trimestral, o de cualquier otra unidad de tiempo. Sin embargo, encualquier caso es importante hacer coincidirla con las unidades de tiempo delplazo; por ejemplo, si la tasa de interés es semanal entonces el plazo debeexpresarse y manejarse en semanas.Si no se dice otra cosa con respecto a la tasa de interés, esta se considerará

como simple anual. Por ejemplo, al decir una tasa del 11.5% se sobreentenderácomo 11.5% simple anual.Recuerde además, que para las operaciones la tasa dada debe dividirse entre100, recorriendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda y lo masimportante, que debemos en todo caso aclarar, la forma en que se están

tratando las tasas de interés de cualquier operación financiera o comercial, yaque de no hacerlo podrían podrían suscitarse ciertos problemas entre las partesque intervienen en tales operaciones. Veremos que, una tasa del 13% arrojadiferentes resultados si es simple, compuesta por meses o compuesta porsemestres, por ejemplo, aunque en todo caso es una tasa anualizada.



Anteriormente se menciono que los intereses son la diferencia entreel monto y el capital:

I = S – P

Si pasamos sumando la P al lado izquierdo, se despeja S

S = P + I y I = Pin

Entonces,

S = P + Pin

Factorizando:

S = P(1+in)



El valor acumulado S de un capital P que devenga intereses con latasa de interés simple anual i, al final de n periodos anuales es:

S = P(1+in)

Es muy importante insistir en que si la tasa de interés no es anual,

entonces es necesario que tanto la tasa como el plazo esten en lasmismas unidades de tiempo.



¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Morales,si invierte $ 28,000 ganando intereses del 7.3% simple anual.

Solución.

Los valores a sustituir en la ecuación anterior son:P= $ 28,000, el capital

N = 2 el plazo en años.

I = 0.073, la tasa de interés simple anual

M = la incógnita, entones,



M = 28,000[ 1+0.073(2)]

M = $ 32,088

Recuerde que de esta formula, o de cualquier otra, puede

determinarse una de las variables que en ella aparecen. Paradespejar una cualquiera, es recomendable hacerlo hasta despues dehaber reemplazadolos valores que son conocidos, es decir los datos.



¿En cuanto tiempo se duplica una inversión con un tipo de interésdel 13% simple anual?

Solución:Si P es el capital inicial, entonces el monto S al final delplazo será el doble de P, es decir S = 2p, por lo que al reemplazar

esto en la ecuación del teorema, esta quedará así:2P = P(1+0.13n) ya que S = P(1+in)

Paradespejar la incognita n, la ecuación se divide entre P y se anula,se resta el 1 y por último, se dividen los dos miembros entre 0.13

2 = 1+0.13nN= 1/0.13 o n = 7.69.2307692



Para expresar este plazo en años con meses y días, la parte decimal se

multiplica por 12, que son los meses que tien el año:0.692307692(12) = 8.307692304

Esto significa que 0.692307692 años equivalen a 8.307692304 meses. Ahorabien, la parte fraccionaria de este número se multiplica por 30, los díascontenidos en un mes.

0.307692304(30) = 9.23076912

Resultado que se redondea a 9, por lo que el plazo queda como: 7 años, 8meses y 9 días

Note que el plazo puede expresarse en horas, mediante la multiplicación de la

fracción por 24, por lo que esto pudiera continuar sucesivamente.En el resultado no tiene importanciael tamaño del capital que se invierta, P,puesto que se elimino desde el primer paso en el dearrollo anterior, lo cualquiere decir que cualquier capital se duplicará en este plazoa una tasa del 13%

simple anual



¿Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo del 30% y undocumento a tres meses con valor nominal de $ 3,600? Suponga que la tasa deinteres es igual a la TIIE mas 4 puntos porcentuales y que el día de la compra la

TIIE fue de 9.8%.

Solución.

Prmero se encuentra el valor presente de los $ 3600, sustituyendo la tasa I =0.098+0.04 = 0.138 en la formula del interes simple y los demas valores:

S por $ 3600, el valor futurodel credito, y n por 3/12 o 0.25 años, que es elplazo. La ecuación queda así:

3600 = P[1+0.138(0.25)] S = P(1+in)C= $ 3479.94



El valor presente del documento es $ 3479.94, puesto que el anticipofue del 30%, este resultado corresponde al 70% del precio del

televisor y por eso:

(0.70) Precio = 3479.94

De donde:

Precio = 4971.35



¿Con que tasa de interessimple se realizó una operación crediticiaque se liquedo con un pago a los 10 meses con $ 42,350,

suponiendo que el credito fue por $ 37644.44?

Solución.

Los valores a sustituir en la formula del interes simple son:S = 42,350, el calor futuro del credito

P = 37,644.44, el valor presente, es decir, el valor del crédito.

n = 10 meses, el plazo o n = 10/12 añosi = la tasa de interes simple annual es la incógnita.



Entonces:

42,350 = 37,644.44 [1+(10/12)i] S = P(1+in)

42350/37644.44 = 1+(10/12)I

1.125-1 = (10/12)I

I = 0.15 o 15% simple anual.



1) ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene mas a

los intereses de un empleado?a. Recibir ahora $7,700.

b. Recibir $ 4,400 ahora y otros $ 4,000 en dos meses.

c. Recibir tres pagos de $ 2,800 cada uno a 30, 60 y 90 días.

2) La Exportadora Quiriarte SA realizo un importante operación de

compra venta por $ 350,000 y le pagan en tres bonos iguales. Elprimero el día de la compra y los otros dos a 30 y 60 días. ¿Decuanto es cada uno si tienen cargos del 13.2% de interés simpleanual.



Para plantear y resolver situaciones en las que interviene un numero

relativamente grande de cantidades y fechas – por ejemplo, cuandoun conjunto de obligaciones que deudores y acreedores contrajeroncon anterioridad se reemplaza por otro que es equivalente, pero conotros tiempos y cantidades – se utilizan graficas que se conocen

como diagramas de tiempo. Estos consisten en una simple linearecta en la que se anotan los valores, los montos, los capitales, lasfechas y los plazos del problema a resolver.

Algunas veces, cuando los periodos son iguales, en el tema deanualidades, por ejemplo, en lugar de una recta se utilizanrectangulos que representan los periodos. En todo caso es precisosenalar que un diagrama de tiempo o temporal sirve para ilustrar

cantidades en el tiempo.



Cuanto deberá invertirse al 5.1% simple anual el 15 de febrero, para disponerde $ 7000 el 9 de mayo, $ 15500 el 20 de junio y de $ 10000 el 23 dediciembre?

15 febrero 9 mayo 20 junio 23 diciembre

84 dias 41 dias 183 dias

7000 15500 10000P1

P3

P2

Formula: S = P(1+in)

SOLUCION



El 11 de marzo Adriana depositó $ 10000 en una cuenta que devenga interesesdel 12.48% simple anual. El 15 de diciembre había depositado otros $ 15000,pero el 28 de enero retiro $ 9500 Cuánto podrá retirar el 9 de mayo?. Cuantogano por intereses?

Formula: S = P(1+in)

SOLUCION



El 15 de noviembre un comerciante compro mercancia que liquido con un 35%de contado, un pago por $ 32050, que corresponde al 40% el dia 3 de marzo, yotro por el resto el dia 22 de abril. Considerando cargos del 16.8% anual.Determinar:

a)El valor de la mercancia el dia de la compra.

b)El monto que se paga el 22 de abril.

c)Los intereses o cargos por no pagar de contado.

Formula: P= S(1+in) -1

SOLUCION



INTERES Y TASAS DE INTERES



Tipos de tasas de interés:

Tasa de interés activa: Es el precio que un individuo paga por uncrédito o por el uso del dinero (no es en sí el precio del dinero).

Tasa de interés Pasiva: es la que pagan los intermediariosfinancieros a los oferentes de recursos por el dinero captado



Tasa Nominal:es la tasa que se pacta en la operación. Una tasa anual quese capitaliza en períodos más cortos que el año.

Ej: Tasa Nominal Anual que capitaliza trimestralmente

Tasa Proporcional (en el caso de las tasas nominales):Fijada una tasa anual, se llama tasa proporcional ( semestral,cuatrimestral, trimestral, etc ) al cociente entre la tasa anualpor el número de períodos ( semestres, cuatrimestres,

trimestres, etc )Ej. i/2 ; i/3 ; i/4



Tasas Equivalentes: las que correspondiendo a períodos de

tiempo diferentes y aplicadas a capitalesiguales, producen montos iguales al cabo deun mismo tiempo.

Tasa Efectiva Anual: es la que se obtiene reinvirtiendoperiódicamente durante un año, capital másintereses, obtenidos por el uso de la tasaproporcional

Tasa Contínua: es la tasas que se obtiene capitalizandocontínuamente intereses

• e = 2,71828• S = P x e nxi



Tasa de interés compuesto discreto:

Es la tasa de interés que se aplica cuando el período de capitalización esuna variable discreta, es decir, cuando el período semide en intervalos fijos de tiempo tales como año,semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre, mes, día uotro.

Ademas…

Interés compuesto discreto: Es el que se aplica cuando los interesescausados, no retirados o pagados, pasan a su vez acausar intereses cada cierto período de tiempoespecificado previamente.



AHORA, VEAMOS LASTASAS CON LAS

TRABAJAREMOSCONSTANTEMENTE…

…Tasas nominales yefectivas…



Período de Capitalización

El interés puede ser convertido en capital anual, semestraltrimestral, y mensual así como diario,dicho período es

denominado período de capitalización. Al número de veces que elinterés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de

conversión.

Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario quepaga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

Un año = 12 meses/3 meses= 4

4 es el período de capitalización trimestral

é i



Tasa de Interés Nominal,

Efectiva (o real) y Equivalente Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una

tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure laoperación, ésta es denominada tasa de interés nominal.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral ,trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada

es mayor que si se compone en forma anual. Cuando estosucede, se puede determinar una tasa efectiva deinterés.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos decapitalización serán equivalentes si al cabo de un añoproducen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasasanuales de interés con diferentes períodos de capitalizaciónes se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenidopor capitalización es igual al final del año.

Ej l d i l



Ejemplos de tasas nominales:

… conversiones… ejercicios de la hoja de trabajo.

Conversión de las tasas nominales a efectiva…

Conversión entre tasas efectivas y alternativa deconversión…



TIPS:

Puntos porcentuales:1 punto porcentual = cambio de un 1% en la cotización.

Ejemplo:Ejemplo: La tasa de interés se redujo en 5 puntos porcentuales:

Tasa de interés menos 5%

Puntosa básicos:

100 puntos básicos = 1 punto porcentual (1%)

Ejemplo: La tasa de interés se redujo en 50 puntos básicos:

Tasa de interés menos 0.5%



Concepto:

Es el interés que se generasobre intereses.

Los intereses que segeneran en el primerperíodo de capitalizaciónse convierten en capirtalpara generar mas intereses

para el segundo periódode capitalización y asísucesivamente.



Si por ejemplo en una inversión a plazo fijo, no se retiran el capital ni los

intereses que se generaron, entonces estos pueden agregarse al capital,

por lo que a partir del segundo periodo producirán sus propios intereses,

y si esto continua, el capital en la inversión, al comenzar un periodo

cualquiera, será mayor que el que se tenia al empezar el periodo anterior.

Se trata de la caracteristica escencial del interes compuesto, lo cual lo

hace diferente del interes simple, en cuyo caso solo el capital original

genera intereses, es decir, al comenzar cualquier periodo el capital esconstante, es el mismo.

Si bien es cierto que el interes compuesto ha existido desde siempre, se

puso de manifiesto con el llamado anatocismo, cuando los deudores de labanca no pueden liquidar sus deudas, ya que aun estando al corriente en

sus pagos, el capital que debian, en vez de reducirse, crecia cada vez mas,

por lo que se buscaron otras formas para liquidarlas. El interes compuesto

no es mas que una aplicación importante de las progresiones geometricas.



Suponga que nuestra población aumenta un 3 cada año.

¿Cuánto crecerá en 3 años?



Cuando la variación de los valores es uniforme y seexpresa como un tanto por ciento, se distinguen dostasas de crecimiento, o reducción, la que corresponde alporcentaje dado, el 3% del incremento anual en la

población por ejemplo y la que resulta de dividircualquier termino, es decir, cualquier valor entre el queprecede, 1.03 en el mismo ejemplo. Ésta, el 1.03, es laque se aplica en las formulas de las progresiones

geométricas, denotándola como r, la razón común, yestará dada en general por r = 1+v, donde v es elporcentaje del incremento en la suceción de valores.



INTERES COMPUESTO

FORMULA GENERAL

nS = P ( 1 + i )



El monto acumulado S de un capital P al final de nperiodos es

S = P(1+i) n

Donde:

n es el plazo de tiempo

S el monto que se acumulaP el capital inicial.

i es la tasa de interés efectiva.



Despejemos otras incógnitas…

P = …

i = …

n = …

… y ahora, el interés será…



Comparativo entre el interés simple y el

interés compuesto

Capital 100,000$

Tasa 10% AnualTiempo 5 Años

Periodo Diferencia

en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses

0 0 0 0 0 0

1 110,000 10,000 10,000 110,000 10,000 10,000 02 120,000 10,000 20,000 121,000 11,000 21,000 1,000

3 130,000 10,000 30,000 133,100 12,100 33,100 3,100

4 140,000 10,000 40,000 146,410 13,310 46,410 6,410

5 150,000 10,000 50,000 161,051 14,641 61,051 11,051

Interés simple Interés compuesto



Periodo Int. Sim. Int. Com.

en años Monto Monto

01 110,000 110,000

2 120,000 121,000

3 130,000 133,1004 140,000 146,410

5 150,000 161,051

Comparativo entre el interés simple y el

interés compuesto

Veamos un ejemplo gráfico: MAT. FIN\Comparación I simple i compuesto.xls

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/MAT.%20FIN/Comparaci%C3%B3n%20I%20simple%20i%20compuesto.xls






Decir que el interés es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que segeneran se capitalizan, es decir se suman al capital.



¿Qué capital debe invertirse ahora al 12.69% anualcapitalizable por bimestres para tener $ 40,000 en 10meses?



Obtenga el monto que se acumula en tres años, si uncapital de $ 65,000 se invierte al 10% compuesto porsemestres.



¿Que día deberá invertir $10,000 el matemáticoGutierrez para disponer de $10,512.00 el 11 de mayo?Suponga que la inversión genera intereses del 13%compuesto por semanas.



El 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documentocon valor nominal de $4,000 y vencimiento a 30 días. Un 30 % seliquida mediante un pago a 60 días de plazo, otro 30% con undocumento a 90 días de la compra y el 15% restante se deja comoanticipo. Obtenga:

a)El precio del mueble.

b)El anticipo y los otros dos pagos.

c)El cargo total por intereses.

Suponga que la mueblería carga el 22.20% anual compuesto pormeses en sus ventas a crédito.



¿Con que tasa de interés anual capitalizable porbimestres se duplica un capital por tres años?.



INTERES COMPUESTO

5 . 0 0 0

4 . 0 0 0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fechafocal

1 0

. 0 0 0

Regla comercial:



INTERES COMPUESTO

5 . 0 0 0

4 . 0 0 0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fechafocal

1 0

. 0 0 0

Regla de saldos insolutos:



En el interés simple, estudiamos los diagramas de tiempoque constituyen herramientas útiles para plantear y resolver

problemas financieros, ya que facilitan los desplazamientossimbólicos de capitales en el tiempo. Estos desplazamientospermiten llevar todas las cantidades de dinero queintervienen en un problema hasta una fecha común, que seconoce como fecha focal o fecha de referencia.

Con todos los valores en esa fecha focal y separando



Con todos los valores en esa fecha focal y separandoaquellos que corresponden a las deudas de los quecorresponden a los pagos, es decir, agrupando por unlado los del debe y por otro los del haber , se estableceuna igualdad que se conoce como ecuación de valoresequivalentes o simplemente como ecuación de valor.

Después esta ecuación se resuelve despejando laincógnita o las incógnitas que en cela aparezcan, paralograr así la solución del problema.

Esta solución varia un poco de acuerdo con la localización de



Esta solución varia un poco de acuerdo con la localización dela fecha focal tratandose de interés simple; pero cuando elinterés es compuesto, la solucióin es la misma para cualquier

ubicación de la fecha focal.

Cabe señalar que las cantidades de dinero pueden estar anteso despues de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero

A esta antes de esa fecha, se suman los intereses hallando suvalor futuro equivalente en la fecha focal; pero si estadespués, entonces se restaran los intereses obteniendo suvalor presente equivalente en la misma fecha focal.

En la siguiente figura se ilustran las dos



BA

FECHA FOCAL

PB

SA

En la siguiente figura se ilustran las dosposibilidades, donde SA es el monto de A y PB

es el valor presente de P

En ambos casos, el traslado se realiza con laformula del interés compuesto o del interéssimple si así lo estipula el problema

LIQUIDACION DE CREDITOS CON PAGOSDIFERIDOS



DIFERIDOS

El día de hoy se cumplen 5 meses de que uncomerciante de alimentos consiguió un créditode $ 30000 firmando un documento a 7meses de plazo. Hace tres meses le

concedieron otro y firmo un documento convalor nominal de $ 54000, valor que incluyelos intereses de los 6 meses de plazo. Hoyabona $ 60000 a sus deudas y acuerda con suacreedor liquidar el resto a los cuatro meses,contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidades este pago, si se tienen cargos o intereses

del 11 76% nominal mensual

INTERESES EN CREDITO CON ABONOSDIFERIDOS



DIFERIDOS

Hallar los intereses que se cargan en elejemplo anterior.

COMPRAS A CREDITO, PAGOS EQUIVALENTESE INTERESES



E INTERESES

Con intereses del 16.56% nominal diario, el 21de abril se otorga un crédito en mercancía por $63000, para pagarse el 01 de octubre. El 30 dejunio se concede otro por $ 46000 que vence el

15 de diciembre y otro el día 25 de julio por $76000, incluidos los intereses, con vencimiento al3 de setiembre. En un arreglo se acuerda liquidarlos compromisos con 2 pagos, uno el 10 de

agosto y otro el 10 de noviembre, de tal maneraque el segundo duplica al primero. Determine:¿Por qué cantidad es cada uno de los dos pagos?

¿Cuánto se paga por intereses?



EJEMPLO



Suponiendo que una persona realiza los

siguientes depósitos y disposiciones en unacuenta que bonifica el 9.36% nominal diario enlos primeros tres meses y el 10.32% capitalizablepor meses, después, obtenga el monto en su

cuenta el día 20 de diciembre luego de sudisposición, considerando que cuando hizo suprimer retiro tenia $ 47925.



PROBLEMAS DEAPLICACIÓN

FLUJO DE CAJA EN CONSTRUCCION DEVIVIENDA



VIVIENDA

Para la construcción de un núcleo de vivienda, un

contratista requiere de $ 5´000,000 distribuidosde la siguiente forma: 40% al comenzar lasobras, 30% a los tres meses, 20% a los 6 mesesy el 10% restante al entregar las viviendas, 8meses después de haber empezado las obras.Con este propósito, el propietario deposita $2´000,000, un mes antes de comenzar la

construcción. Tres meses después del primerdeposito, hace otro, equivalente al resto delpresupuesto, en un banco que paga el 13.92%de interés anual capitalizable por meses. ¿De que

cantidad es este pago?

REESTRUCTURACION DE UN CREDITOAUTOMOTRIZ



AUTOMOTRIZ

Se compra un camión con precio de contado de $

193,500 con un anticipo y tres abonosbimestrales iguales al anticipo, con un interés del16.2% anual capitalizable por bimestres. Pocoantes de hacer el primer pago bimestral seconviene en reestructurar la deuda con dos pagosa 3 y 6 meses de la compra, de tal manera que elsegundo pago es un 25% mayor que el primero.

¿De cuanto es cada pago?¿Cuánto se paga por intereses?

CONSTITUCION DE UN FIDEICOMISO CONTASA VARIABLE



TASA VARIABLE

¿Cuánto debe depositarse ahora, cuanto dentro

de 2 años y cuanto mas 3 años despues, paraconstituir un fideicomiso y disponer de 4.5millones de soles, al cabo de 12 años contados apartir de ahora, considerando que el segundodeposito es un 25% mayor que el primero y queel ultimo exede en S/. 450,000 al anterior?Suponga que se devengan intereses del 9.3%

nominal mensual en los primeros cuatro años, del10.4% anual capitalizable por semestres en los 3años siguientes y del 11.8% efectivo en losúltimos cinco.

¿A cuanto ascienden los intereses que se

PLAZOS EQUIVALENTESQ é dí d b á f ú i $



¿Qué día deberá efectuarse un pago único por $60000 que sustituye a dos montos, el primero

por $ 25000 con plazo de 5 meses y el segundopor 35000 con plazo de 8 meses, suponiendointereses del 10% efectivo?

EJEMPLO¿Q é dí d b $ 50500 i ió



¿Qué día deben pagarse $ 50500 en sustituciónde 3 pagos: el primero por $ 9000 del día 10 de

julio, el segundo por $ 28500 del 25 de agosto yel otro por $ 13000 del 3 de octubre,considerando intereses del 12.87% nominalmensual?



Una operación de descuento, es una de las formas de

crédito que consiste en obtener el pago anticipado detítulos valores – letras de cambio, pagares u otrosdocumentos, mediante la cesión del mencionado titulo aotra persona, generalmente una institución de crédito, la

cual adelanta el importe del valor nominal del titulodeduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempoque falta para el vencimiento de la obligación.



El descuento constituye la diferencia entre el valornominal o monto de una deuda a su vencimiento y surespectivo importe recibido en el presente:

D = VN-VL

Donde

VN : Valor nominal

VL : Valor liquido

D : Descuento



Es necesario distinguir los diferentes conceptos deltermino descuento aplicados en el sistema financiero yen las actividades comerciales y mercantiles:

CLASES DE DESCUENTO

RACIONAL BANCARIO COMERCIAL

SIMPLE SIMPLE UNITARIO

COMPUESTO COMPUESTO SUCESIVO



El descuento racional aplicado a un titulo de crédito quevence en el futuro es el interés deducidoanticipadamente calculado con la tasa i, sobre elimporte que verdaderamente recibe el descontante.

Este importe es el respectivo valor presente del valornominal del titulo. De este modo el interés y eldescuento racional calculados para el mismo plazo yaplicando la misma tasa generan iguales resultados.



Descuento racional simple (equivalencia)

Descuento racional compuesto (equivalencia)



¿Cual es el descuento real de un documentocon valor nominal de $ 25300, 72 dias antes desu vencimiento con una tasa de descuento del11.4% simple annual?



Una letra de S/. 3800 con vencimiento el 26 defebrero es descontada el 18 de enero a una tasade interes simple annual del 24%. Calcule elimporte del descuento racional.



En la fecha se tienen dos obligaciones de S/.3000 y S/. 4000 que vencen dentro de 28 y 46días respectivamente. ¿Cuál será el pago totalpor ambas obligaciones si deciden cancelarsehoy?. El acreedor aplica una tasa annual deinteres simple del 15% para la letra a 28 días y

del 18% para la letra a 46 días.



Hallar el valor nominal de un documentosabiendo que su descuento racional es S/ 20000y la tasa de interés es 50%. Se sabe además, quefaltan 75 días para el vencimiento del plazo.



Un equipo dental cuyo precio al contado es deS/ 4 000 000, se vende mediante una inicial deS/ 1 000 000 y el resto en tres letras de 30, 60 y90 días, utilizando una tasa de descuento del50% anual. Hallar el importe de las letrassabiendo que son iguales.



La empresa X firmo letras a favor de susproveedores por S/ 10’000000 a 90 días; S/8’000,000 a 60 días, mientras que tiene en su

poder 7 letras con vencimiento cada 30 días porun importe de S/ 1’000,000 cada una; 4 letrasde S/ 2000000 a 45, 90, 135 y 180 días,respectivamente, 3 letras de S/. 2’000,000 a 30,

60 y 90 días respectivamente. Hallar su saldofinanciero el día de hoy, utilizando 50% parasus obligaciones y deudores.



Calcule el descuento racional compuesto apracticarse a un pagare con valor nominal deS/. 10,000 y vencimiento a 60 días. Utilice unatasa efectiva mensual del 4%.



Por qué monto deberá aceptarse un pagaré convencimiento a 60 días, para descontarloracionalmente hoy, si se requiere disponer unimporte de S/. 10,000?. Utilice una tasa efectivamensual del 4% y compruebe la respuesta.



El Comite de Descuentos del Banco Interbank aprobohoy (7 de enero) a la empresa Transur su cartera deletras, de acuerdo a la siguiente relación:

El banco cobra una tasa efectiva mensual del 5% yportes de S/.5 por cada documento. ¿Cual será elimporte que dispondra Transur?

Letra # Vencimiento Importe Aceptante

420 01-Feb 6348 Cargil

510 18-Feb 8946 Transportec

586 23-Feb 9673 Alitec



Supongamos un pagare de valor nominal deS/. 30,000 que genera intereses del 6.25% fuedescontado en el banco el mismo día de suemisión a una tasa de descuento del 7%,siendo su producto liquido de S/. 29,950.¿Cuál fue la vida del pagaré?



El descuento bancario constituye el interes calculadosobre el valor nominal o valor futuro (S) de un titulovalor, importe a deducir del monto del documento paraencontrar su valor liquido, el cual va a representar el

verdadero importe financiado. La tasa de interesaplicada es conocida como tasa adelantada o tasa dedescuento “d”, la cual se diferencia de la tasa vencida “i” en que esta se aplica sobre P y aquella sobre S, lo que

origina un importe liquido menor al valor presente deldocumento.



Descuento bancario simple

Descuento bancario compuesto



Calcule el descuento bancario simple al 3 demarzo, sobre un documento con valor nominalde S/ 5000 y fecha de vencimiento el 15 de

abril. La tasa de descuento mensual es del 5%?



Calcule la tasa de descuento bancario simpleaplicada a un pagaré de valor nominal de S/.6,666.66 y cuyo descuento ha sido S/. 500 en

un periodo de 45 días.



Supongamos que un pagare de S/. 10000, fuedescontado en el banco el 1º de Marzo de 2007y que tenia esa misma fecha, devengaba el 5 %

de interés y vencía el 1º de Septiembre de2007. El tipo de descuento del banco tambiénfue del 5 %. ¿Cuál fue le descuento retenido

por el banco?



¿A cuantos días se ha efectuado el descuentobancario de un pagaré con valor nominal deS/. 4000 utilizando una tasa de descuento

simple mensual del 4%, si recibio un importeliquido de S/. 3500.



¿Cual es el valor comercial el 12 de mayo deun documento que ampara un prestamo de $26500 recibido el 25 de enero pasado conintereses del 12% simple annual y cuyo

vencimiento es el 30 de julio. Suponga que latasa de descuento simple anual es de 12.5%?

Q di i $ 32406 l i i t d t



Que dia se negocia en $ 32406 el siguiente documento condescuento del 10.02% simple anual? Cual fue la tasa de interes

simple anual?

Pagare por $ 33050

Por este pagare me obligo a pagar incondicionlamente a la orden de CB DATA SRL en lima el 17de diciembre del 2010 la cantidad de $ 33050 (treinta y tres mil cincuenta dolares americanos)valor recibido a mi entera satisfaccion.

Lugar y fecha: Lima, Republica del Peru a 11 de agosto del 2010

Nombre: Paolo Cesar Davila Escudero

Domicilio: Victor Estremadoyro 172 San Borja

______

Acepto



El Banco de Comercio descuenta al Sr. Grandez el15% de interes simple anual (tasa de descuento)de un documento con valor nominal de $ 30000que vence 45 dias despues. El mismo dia, elbanco descuenta el pagare en el Banco Interbankcon el 13.5% annual. Cual fue la utilidad delBanco de Comercio?



¿En cuanto se descuenta un documento con valor

nominal de $ 20,250 el 10 de abril, si vence el 10 deoctubre y se descuenta el 13.5% nominal mensual.



El 21 de julio se transfiere, es decir, se comercializa un

pagaré en $ 55,770 con descuento compuesto del 11%nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito queorigino el documento, si se cargan intereses del 10%simple anual?. Suponga que la firma se realizó el 5 demarzo con plazo hasta el 10 de diciembre.



Un pagaré con valor nominal de S/. 5000 y que se vence

dentro de 4 meses, ha sido descontado bancarimaneteaplicando una tasa de descuento mensual del 3% para elprimer mes y 4% para los ultimos 3 meses. ¿Cuál será elvalor liquido?



En el financiamiento de un auto cuyo precio decontado es de $ 10000 la institución financieraexige al cliente una cuota inicial de $ 4000, un pagoadelantado de $ 1000 y una letra a 90 días por $

5312.41, en la cual le han cargado una tasa dedescuento bancario compuesto mensual del 2%. Siel cliente solicita que el importe de los $ 1000 seincluya en la letra a los 90 días. ¿Cuál será el nuevovalor nominal de la letra?



Determine el tiempo que falta para el vencimientode una letra de S/. 5000, la que descontadabancariamente a una tasa de descuento del 1%mensual, ha producido un valor liquido de S/.

4938.40.



Calcule el descuento bancario compuestoefectuado a una letra con valor nominal de S/.2500 faltando 37 días para su vencimiento , si aeste titulo valor se le aplico una tasa de descuento

mensual del 1.5%.

El 21 d j li t fi d i i li



El 21 de julio se transfiere, es decir, se comercializa un

pagaré en $ 55,770 con descuento compuesto del 11%nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito queorigino el documento, si se cargan intereses del 10%simple anual?. Suponga que la firma se realizó el 5 de

marzo con plazo hasta el 10 de diciembre.



Determinar el valor liquido de un documentocomercial cuyo valor nominal es de S/. 130,000que vence dentro de 16 meses, si le hacen lossiguientes ajustes en cuento a las tasas de

descuento del 2.5%, 4% y 5% mensuales al 4º, 5º y7º mes respectivamente.



En cuanto tiempo podrá vencerse un documento decrédito, si al decontarlo hoy día al tipo de descuento del10% se ha obtenido un valor efectivo de 1/8 de su valornominal.

El d t i l l b j did b l



El descuento comercial es la rebaja concedida sobre elprecio de lista de un articulo.

Descuento comercial unitario: Se practica una solavez.

Descuento comercial sucesivo: Mas de un descuentosobre el mismo articulo.

La DepreciaciónEs la pérdida del valor de un activo fijo, la depreciación es la



disminución del valor de propiedad de un activo fijo, producido porel paso del tiempo, desgaste por uso, el desuso, insuficienciatécnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo,tecnológico, tributario, etc.

La depreciación puede calcularse sobe su valor de uso, su valor enlibros, el número de unidades producidos o en función de algúníndice establecido por la autoridad competente o por estudios

técnicos de ingeniería económica sobre reemplazamientos deactivos.

La depreciación constituye la pérdida progresiva de valor de unamáquina, equipo o inmueble por cada año que envejece. Algunosautores señalan la depreciación como un arrendamiento que la

empresa se paga así misma por el uso y deterioro de susinstalaciones y equipos.

Según la Superintendencia Nacional de Administración Tributaria – SUNAT.Pérdida o disminución del valor de un activo fijo debido al uso, a la acción del tiempo

o a la obsolescencia. La depreciación tiene por objeto ir separando y acumulando

fondos para restituir un determinado bien, que va perdiendo valor por el uso.

Finalidad de la Depreciación

Las depreciaciones se realizan con el fin de cargar a gastos es costo



del activo, y que este valor será reembolsable en un futuropróximos, ya sea para la adquisición de otro activo, o el

mejoramiento de ella, dependiendo de las decisiones gerencialesde la empresa.

Así mismo tiene las siguientes finalidades:

• Log rar que cada ejercic io económ ico venga gravado por el total degastos que le corresponden y han contr ibu ido a forma el prod ucto

de éste.

• Valorar el desgaste anual de los elementos que forman su A ct ivo

Fijo.

• Cons ti tuir un a reserva para reponer el valor inic ial de los elementosque forman el Ac t ivo Fi jo.

ImportanciaRealizar las depreciaciones es tan importante para la empresa ya que



p p p p y qmediante ellas la empresa deduce los gastos, siempre y cuando estasestén aceptadas por Ley.

Mediante las depreciaciones se pueden reponer una unidad completa,o de lo contrario reacondicionarlos.

Para cubrir la depreciación del activo fijo es necesario formar unfondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciaciónefectuados periódicamente de acuerdo con el método previamenteescogido.

El fondo de reserva o depreciación acumulada permitirá sufragar elcosto de reemplazo del activo al final de su vida útil.

Con la excepción de los terrenos, la mayoría de los activos fijostienen una vida útil limitada, o sea, que darán servicio a la compañíadurante un número determinado de futuros periodos contables

Mét d d D i ió



Métodos de Depreciación

• Línea Recta• Doble saldo decreciente

• Decreciente• Suma de años dígitos• Unidades producidas



Bienes Vida útil PorcentajeGanado de trabajo y reproducción 4 años 25%

Vehículos de transporte terrestre; hornos en general 5 años 20%Maquinarias y equipo para actividad minera y petrolera (excepto muebles) 5 años 20%

Equipo de Procesamiento de Datos 5 años 20%

Otros bienes del Activo Fijo 10 años 10%

Selección del Método

Para decidir respecto del mejor método aplicable a la depreciación,l id i d d l t d i t fi l d b d



las consideraciones desde el punto de vista fiscal deben separarse delas consideraciones de la contabilidad financieras. Para los fines

fiscales, el mejor método es aquel que minimiza los efectos de losimpuestos en la empresa. Generalmente se escoge uno de losmétodos de depreciación acelerada permitidos.

Con respecto a la contabilidad financiera, cada uno de sus conceptos

que se han descrito con anterioridad tiene sus partidarios. La granmayoría de los negocios usan el método de línea recta, en razón de susimplicidad, pero el número de empresas que van aplicando los otrosmétodos está aumentando. Debe hacerse hincapié en que en una solanegociación pueden usarse diferentes métodos para diferentes tipos

de activos. Por ejemplo, el de línea recta para los edificios uno de losacelerados para ciertos tipos de maquinaria y equipo, y el deunidades de producción para otras clases de activo. Un imperativoesencial es que exista un método. La práctica de antaño de cargardepreciación en la medida que aguanten los resultados es

insubstancial

CASO PRÁCTICO

Enunciado



EnunciadoSe compra una camioneta al precio de S/. 7,000, su

vida útil estimada es de 5 años, su valor dedesecho de S/. 1000.

Se pide elaborar tablas de depreciación por los

métodos conocidos.

Para el caso del sistema de unidades producidas,considerar 75,000 kms.

ANUALIDADES



El objetivo de este estudio es reconocer, definir y clasificar losdiferentes tipos de anualidades y manejar los distintosfactores que intervienen en las anualidades. Al terminar esteestudio, podremos calcular los montos o valores futuros,valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasas deinterés o tiempos de las anualidades ciertas ordinarias.Podremos elaborar diagramas de flujo y resolver ecuacionesde equivalencia entre anualidades.

En matemáticas financieras la expresión anualidad se emplea para indicar el



En matemáticas financieras, la expresión anualidad se emplea para indicar elsistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se

utiliza por costumbre desde sus orígenes. Asi es que se usa en las anualidadescontingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de laspersonas. En finanzas anualidad no significa pagos anuales, sino pagos aintervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anualidades los dividendossobre las acciones, fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos

periódicos de las compañías de seguros y en forma mas general los sueldos ytodos los tipos de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la derentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según elcaso y costumbres.

Definición de anualidad



Una anualidad es una sucesión de pagosperiódicos iguales. Si los pagos son

diferentes o alguno de ellos es diferente

de los demás, la anualidad toma, segúnel caso los nombre de las anualidades

variables o anualidades impropias.

TEMPORAL



Anualidades Ciertas: Son aquellas anualidades cuyascondiciones se conocen de antemano (plazo tasas días delperiodo capitalizable, etc.) y se establecen previamente,generalmente por contrato entre las partes intervinientes. Estas

anualidades de acuerdo a duración pueden ser:Temporales (leasing, cuotas, sueldos a plazo determinado,pensiones estudios,etc)Perpetuas (emisión de bonos)

TEMPORAL

PERPETUA

VITALICIA

TEMPORAL

SIMPLE

GENERAL

IMPROPIA O VARIABLE

CIERTA

EVENTUAL

VENCIDA U ORDINARIA ANTICIPADA O DIFERIDA

VENCIDA O ANTICIPADA

Anualidades eventuales o contingentes: Son aquellas cuya fechainicial o terminal dependen de algún suceso previsible, pero cuyafecha de realización no puede especificarse por estar en función



ec a de ea ac ó o puede espec ca se po esta e u c óde algún acontecimiento externo no previsible (ej. seguros de

vida). El desarrollo de estos flujos corresponden al campo de lasmatemáticas actuariales, el cual de manda no solo el conocimientodel interes compuesto, sino también las probabilidades. Estasanualidades a su vez pueden ser:

Vitalicia: Dura mientras dure la vida del rentista.Temporales: Esta determinada por una fecha de inicio y de fin,aun cuando el rentista continúe con vida.

Las anualidades ciertas y contingentes pueden se a su vez:

ANULAIDAD VENCIDA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SEREALIZAN AL FINAL DE CADA PERIODO.

EJEMPLO COMPRA A CUOTAS SERVICIOS BASICOS PRESTAMOS EN



EJEMPLO: COMPRA A CUOTAS, SERVICIOS BASICOS, PRESTAMOS, ENGENERAL EL SISTEMA COMERCIAL.

ANULAIDAD ANTICIPADA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SEREALIZAN AL INICIO DE CADA PERIODO.

EJEMPLO: PAGO DE PRIMAS DE SEGURO, ALQUILERES, ESTUDIOS, ETC.

ANULAIDAD DIFERIDA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SEREALIZAN AL INICIO O FINAL DE CADA PERIODO, CONSIDERANDOUN PERIODO DE GRACIA (DIAS, SEMANAS, MESES, ETC)

EJEMPLO: PAGO DENTRO DE 90 DIAS, “PAGUE DENTRO DE TRESMESES” HIOTECAS, COMPRAS COMERCIALES (SAGA, RIPLEY,

CURACAO, ETC)

ANUALIDADES

VENCIDAS



VENCIDAS

ANUALIDADES VENCIDAS



ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL

DE CADA PERIODO. APLICACIÓN: COMPRA A CUOTAS, SERVICIOS BASICOS,PRESTAMOS, EN GENERAL EL SISTEMA COMERCIAL.

CARACTERISTICAS

•Todos los pagos deben tener el mismo valor.

•Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

• A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.

•El numero de pagos es igual al numero de periodos.

PRINCIPIO ANULAIDADEl valor presente de una anualidad queda ubicado a principio

del periodo en que se efectúa el primer pago



Renta.- Es el valor de cada pago periódicoPeríodo de Pago.- Tiempo que se fija entre dospagos sucesivos

Plazo de la Anualidad.- Intervalo de tiempo quetranscurre entre el comienzo del primer períodode pago y el final del último.

Tasa de la anualidad.- Tipo de interés que se fija a

la anualidad, puede ser nominal o efectivo.

Supongamos que queremos calcular el valor de una anualidad, existen dosformas: cuando la calculamos a su terminación es el Monto, y cuando lacalculamos a su comienzo es el valor actual



calculamos a su comienzo es el valor actual.

Supongamos nuevamente que al final de cada año recibimos una renta de S/.2000.oo, durante 6 años, tendrá un Monto S, al finalizar los seis años y tendráun valor actual A, en su fecha inicial.

Gráficamente tenemos A S

0 1 2 3 4 5 6 años

2000 2000 2000 2000 2000 2000

Monto.- Los pagos efectuados al final de cada periodo ganan intereses, hastala fecha final, entonces tenemos para el primer pago, el segundo pago y hastael final de la anualidad, suponga que esta renta gana una tasa de interés del 10% efectivo anual



% efectivo anual.

S=15431,22 S = 15431.22

1 2 3 4 5 6

" " " " " “

3221,02 + 2928,20 + 2662,00 + 2420,00 + 2200,00 + 2000,00

Es decir el monto de una anualidad de S/. 2000 pagaderos al finalde año, durante 6 años, a la tasa de interés del 10 % ascenderá a

S/. 15431,22.

012345)1,01(2000)1,01(2000)1,01(2000)1,01(2000)1,01(2000)1,01(2000

Supongamos que la anualidad se efectúa durante n periodos, gráficamente

tenemos:

0 1 2 3 ............ n-2 n-1 n años

R R R R R R



En que R es el pago periódico de una anualidad es decir la Renta. Entonces elprimer pago se acumula durante (n – 1) períodos, el segundo (n – 2) períodos yasí sucesivamente hasta él último pago que no ganará intereses ya que supago coincide con la fecha del término de la anualidad:

Invirtiendo la suma, tenemos:

Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica de ntérminos, la razón es (1+i) y el primer miembro es R.

Si multiplicamos la ecuación por (1+i), tenemos:

Esta ecuación la restamos de la primera:

Reordenando la ecuación tenemos que:

012321 )1()1()1(.....)1()1()1( i Ri Ri Ri Ri Ri RS nnn

122 )1()1(.....)1()1( nni Ri Ri Ri R RS

nni Ri Ri Ri RiS )1()1(.....)1()1()1( 12

12

12

)1(.....)1()1(

)1()1(.....)1()1()1(

n

nn

i Ri Ri R RS

i Ri Ri Ri RiS

n

i R RS iS )1()1(

Ri RSi

i R RiS

n

n

)1(

)1(1)1(

)1(1)1(

i

i RS

n

Cálculo del Valor Actual.- El valor actual de una anualidad es aquellacantidad A, de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de laanualidad dará una cantidad equivalente al monto de la anualidad. Regresandoal ejemplo anterior, tenemos:

A = 8710,52



1 2 3 4 5 6

años

1818,18 + 1852,89 + 1502,63 + 1366,03 + 1241,84 + 1128,95 = 8710.52

Formulando la ecuación de equivalencia y utilizando como fecha focal la fechafinal:

Fórmula para calcular el valor actual de una anualidad de R por año, durante n años a la tasa de interés i efectiva anual.

"

)1,01(

2000

"

)1,01(

2000

"

)1,01(

2000

"

)1,01(

2000

"

)1,01(

2000

"

)1,01(

200065432

)2()1(1

)1(1)1(

)1(

i

i R P

inalmente quedando

i i

i R

i

n

n n

n

)1(1

i i

n

P



0 1 2 3 4

TASA DE INTERÉS %

P S

R R R R



0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

P P

2 3 1 2 3 41 4 5

1 2 3 4 4321

ANUALIDADES VENCIDADP S



0 1 2 3 4

1 2 3 4

1)1(

i

i RS

n ) 1 ( 1

i

i R P

n

i

i R P

n

)1(1

EJEMPLO



¿Cuanto podrá retirar cada viernesdurante 8 meses el Ingeniero Serrano,si al comienzo del plazo se deposita $30000 devengando intereses del 26%

compuesto por semanas?

Valor presente se un segurode vida



La beneficiaria de un seguro de vidarecibiría $ 3100 mensuales durante 10anos, aunque prefieren que le den elequivalente total al inicio del plazo.

Cuanto le darán si el dinero reditua unpromedio del 19.35% anual compuestopor meses.

Plazo en la compra de untractor



¿Cuantos abonos trimestrales vencidosde $40000 son necesarios para pagar el preciode un tractor que se compro con un anticipoy un crédito de $ 350000? Supongaintereses del 13.8% capitalizable porbimestres.

Toma de decisiones alvender un camión



El dueño de un volquete tiene las siguientesopciones para vender su unidad:

•Un cliente puede pagarle $300000 al contado.

•Otro le ofrece $ 100000 de contado y 7mensualidades de $ 30000 cada una.

•Un tercero le ofrece $ 63000 de contado y 20abonos quincenales de $12500 cada uno.

Determine cual le conviene mas, si sabe que eldinero reditúa el 9.6% de interés anualcapitalizable por quincenas.

EJERCICIOS TIPO

U i ió i i i h $300 d á



Una inversión se inicia hoy con $300.oo, además,

cada mes el inversionista deposita $60.oo, perotambién cada mes le hacen una retención del 1%sobre los intereses devengados en ese mes por

concepto de mantenimiento de cuenta. Si la tasa de

interés es del 3.23%, nominal anual que secapitaliza mensualmente. Determinar el monto total

que tendrá el inversionista al cabo de tres años,antes del depósito de esa fecha.

EJERCICIOS TIPO

Un joven estudiante desea disponer de $ 230 oo



Un joven estudiante desea disponer de $ 230.oo

mensuales desde enero hasta Diciembre de cada añode carrera universitaria durante los cinco años deestudio .¿Que cantidad uniforme debió haberledepositado anualmente el padre del estudiante ,

desde que el hijo cumplió diez años de edad, en unainstitución financiera (digamos fondos mutuos) quepaga un interés del 2.8% efectivo anual durante lostres primeros años y de 3.2% los siguientes años,

sabiendo que el hijo ingresa a la universidad cuandocumpla los 17 años de edad y que los depósitos se

harán hasta la fecha de ingreso.

EJERCICIOS TIPO



Una persona adquiere un apartamento con elsiguiente plan: cuota inicial financiada a seis pagosmensuales de $2100.oo cada una y un interés del 14%al rebatir, es decir 14%/12 = 1.167 mensual y el resto

a diez años en cuotas mensuales iguales; debe pagarla primera una vez que haya cancelado la ultimacuota de la inicial, es decir en el mes séptimo y el

interés es del 11,25% también al rebatir. Determinar el

valor de las cuotas mensuales, si el apartamento tieneun valor de contado (VA) $ 42500.oo

EJERCICIOS TIPO



Una empresa construyó una gran bodega en el cualsobra un espacio considerable. La empresa puede

arrendar parte de la bodega y depositar ese dinero al3.1% efectivo anual. Si el metro cúbico de bodegapuede arrendarse por $6.50/mes ¿Cuantos metros

cúbicos deberá arrendar la empresa para lograr tener,por este concepto un total acumulado en la cuenta de

$6000 al cabo de cuatro años?

EJERCICIOS TIPO



Financiar dos obligaciones, una por $23000.oo de hoyotra de $ 17000.oo para dentro de quince meses,

ambas con un interés de 8.7% efectivo anual, por suequivalente en 36 cuotas mensuales iguales y un

interés del 6.9% efectivo mensual para el primer año ydel 9.15% efectivo anual de allí en adelante, sabiendo

que la primera de estas cuotas se pagara dentro de

tres meses.

EJERCICIOS TIPO



Una persona compra un automóvil que de contadotiene un valor de $16000.oo. Lo adquiere con una

cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto en36 cuotas mensuales iguales; siendo la primera

después del pago de la cuota inicial y a un interés del14% efectivo anual. Cada mes debe pagar un seguro

del 0.15% del crédito. Determinar el valor de las

cuota.

EJERCICIOS TIPO

Una empresa adquiere un crédito por el valor de



p q p$70000 de una institución bancaria con el fin de

ampliar la producción. La deuda debe pagarse en diezaños en cuotas trimestrales iguales y un interés del

7.6% nominal anual capitalizable trimestralmente. El

gerente de finanzas de la empresa ordena ahorrarcada mes la cuarta parte de las utilidades mensualesen una institución de fondos mutuos que le abona el6% efectivo anual. Cuales deberán ser las utilidades

mensuales de la empresa para que con este plan deahorros la deuda quede saldada al cabo de los diez

años.

EJERCICIOS TIPO



Una inversión requiere hoy $160000 los cuales seobtienen de una entidad financiera que cobra un

interés del 10.8% efectivo anual y deben cubrirse condos pagos iguales a uno y dos años. Para cubrir esta

obligación, el gerente de finanzas deberá depositarmensualmente cantidades iguales en un fondo mutuo

que paga el 8.55 % nominal anual capitalizablemensualmente,.. Determinar el valor de los depósitos

mensuales.

EJERCICIOS TIPO

Un individuo acaba de jubilarse de una empresa y



Un individuo acaba de jubilarse de una empresa y

decide seguir trabajando libremente y para tal fincompra un taxi amarillo. Debe pagar de cuota inicialel equivalente al 30% del valor del auto y el resto a

cuatro años con cuotas mensuales iguales y un interés

del 8.1% nominal anual capitalizable mensualmente.Al cabo de dos años y medio de estar pagando lascuotas, el banco que financio la compra del auto le

informa al propietario que las cuotas que aún faltanpagar tienen un valor actual de $ 5925. Determinar el

valor de contado del taxi.

EJERCICIOS TIPO



Un pequeño inversionista abre una cuenta en unfondo mutuo hoy con $860.oo y liego hace depósitos

mensuales de $ 75.oo cada uno. El fondo tieneinvertidos los depósitos una tasa anual del 4.7%, pero

cuando el saldo sea igual o superior a $3500, se haráun descuento cada mes del 1% sobre los intereses

devengados en ese mes por concepto demantenimiento de cuenta. ¿Dentro de cuanto tiempo

tendrá $4250.oo?

ANUALIDADES ANTICIPADAS



Una anualidad anticipada (o inmediata)es cuando los pagos se hacen al

comienzo del período, es decir el 1º deEnero de cada año o el primer día de

cada mes. Ejemplo de anualidadesanticipadas son los pagos del alquiler de

inmuebles, pago de la pensión en los

colegios, o pagos de deudas contraídas.




La diferencia entre una anualidad simplevencida y una anualidad simple anticipada,

dado un numero igual de rentas, radica en queen la anualidad vencida la ultima renta no

percibe interés porque coincide con el terminodel plazo de la anualidad, mientras que en laanualidad anticipada la ultima renta no

coincide con el final del plazo de la anualidad,

ubicándose al inicio del ultimo periodo de larenta y percibiendo el interés o beneficio hastael final del periodo, fecha en que concluye el

plazo de la anualidad.


P S



0 1 2 3 4

1 2 3 4

11)1( 1

i

i

RS

n

1)1(1 )1(

i

i R A

n

P




En lugar de estar pagando S/. 125 poruna renta al principio de cada mes, por

los próximos 8 anos, el Sr. Caverodecide comprar una casa. ¿Cuál es elvalor actual en efectivo de los 8 anos

de renta al 5% convertiblemensualmente?




El señor Lescanito esta percibiendo una rentade S/. 150,000 a principio de cada mes,

faltan 8 anos para que se agote, pero esteseñor espera recibir S/. 250,000 a principio

de cada mes. Por cuanto tiempo percibiráesta renta, si el interés es del 51%capitalizable semestralmente?.


El S ñ R b C ld d it S/ 100 000



El Señor Ruben Calderon deposito S/. 100,000 a

principio de cada mes, excepto en dosoportunidades: el tercer mes del segundo ano, nopudo depositar nada, mas bien retiro S/. 200,000que necesitaba con urgencia y el cuarto mes del

tercer ano deposito a parte de los S/. 100,000, S/.300,000 mas por haber recibido el pago de un

préstamo que había hecho un pariente. Si el bancopaga 55% capitalizable semestralmente ¿Cuánto

tendrá en su cuenta final al final del tercer ano?


El S E i Z t li d



El Sr. Enrique Zapata compro una poliza de seguro

de vida, por la cual cuando llegará a los 60 años deedad, recibiria S/. 15’000,000. Al llegar a esta fecha,

la compañía de seguros le ofrecio en lugar de esasuma de dinero, una renta de S/. 600,000 a

principio de cada mes, durante 15 años, y si elfallecia a sus herederos. ¿Cuál de las dos

alternativas le conviene, si el interés es de 55%capitalizable semestralmente?.


El Sr Daniel Hernández recibe una renta de S/ 700 000 al principio de



El Sr. Daniel Hernández recibe una renta de S/. 700,000 al principio de

cada año, durante 7 años. Después comienza a recibir durante los10 años siguientes S/. 400,000 al principio de cada año, durante 5años. Durante los 10 años siguientes transfiere una renta de S/.300,000 a principios de cada año para su hijo y él percibe una rentade solo S/. 200,000 al principio de cada año. La renta se le agota alfinal de estos 10 años. Si los intereses han sido del 30.5%

capitalizable semestralmente, durante los 7 primeros años, los 5años siguientes y los últimos 10 años respectivamente. Calcular:¿Cuando se hubiese agotado la renta del Sr. Hernández si recibía

S/. 700,000 durante todo el tiempo y no hacia ningunatransferencia.

Si el Sr. Hernández Hubiese cobrado S/. 200,000 a principio decada año durante todo el tiempo ¿Cuánto hubiese recibido suhijo al principio de cada año durante los 10 años?.

Calcular el monto para cada una de las rentas al final de los 22 años yel monto total.

RENTAS PERPETUAS

Rentas perpetuas son aquellas que empiezan a pagarse en unafecha definida y se pagaran siempre debido a que provienen



fecha definida, y se pagaran siempre debido a que provienen

solo de los intereses generados de un capital.

Los términos R por periodo, son iguales, mínimo a los interesespor periodo generado por el capital. Si los términos fuesen

mayores que el interés por periodo, el capital se agotaría con eltranscurso del tiempo y la renta ya no sería perpetua.

Si los términos fuesen menores que los intereses por periodo, elcapital crecería con el transcurso del tiempo y la renta seguiría

siendo perpetua.

Nosotros consideraremos que los términos R, son iguales a losintereses por periodo.

MONTO DE LAS RENTAS PERPETUAS

Como los términos de la renta perpetua se pagan durante un



numero infinito de periodos, el monto es imposible de sercalculado.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA

Se presentan tres casos:

•Valor actual de una renta perpetua de pago vencido.

•Valor actual de una renta perpetua de pago anticipado.

•Valor actual de una renta perpetua de pago diferido, ya sean

vencidas o adelantadas.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGOVENCIDO



Digamos que P es el capital cuyos intereses por periodoconstituyen el término de la renta perpetua de pago vencidoentonces:

R = P x i

es el termino de la renta perpetua, y

P = R / i

Formula del valor actual, la misma que puede ser deducida dela formula del valor actual de rentas de pago vencido:

En efecto:

La formula (17) podemos obtenerla como un limite de: Ra in



Por lo tanto él,

Es decir P = R * 1/i

Resulta la misma fórmula hallada por definición, con lo que lasrentas perpetuas resultan un caso particular, cuando , de lasrentas de pago vencido.Ejemplos: Material de trabajo.

initoatiendencuandoi

pero

i

i R

i

i R Ra

nn

nn

nin

n

in

inf 0)1(

1lim

)1(11

)1(1limlim

i R Ra

in

1lim

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGOANTICIPADO



El valor actual en este caso, es el capital, digamos P queposibilita cobrar los intereses R a inicio de cada periodo. Esdecir:

P = R + R/io

P = R [ (1+i)/i ]Donde R es el cobro a inicio del primer periodo y R/i es el valoractual del resto de periodos.Despejando R, obtendremos:

R = Pi / 1+i

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGODIFERIDO



Dependiendo de si se trata de rentas vencidas o anticipadas, acada formula se le multiplica por el factor (1/1+i)y

Para el caso de las rentas perpetuas diferidas de pago vencido,la formula del valor actual es:

P = R/i (1/1+i)y

Para el caso de las rentas perpetuas diferidas de pago

anticipado, la formula del valor actual es:

P = R [ (1+i)/i ] [(1/1+i)y]

Valor presente de una perpetuidad a pagar al final de cadacierto numero de periodos de capitalizaciónSucede en la practica que las rentas perpetuas estipulan pagosque deberán efectuarse a intervalos de mas de un año, por



ejemplo carreteras, edificios o activos fijos. Como el coste desustitución ocurre un número infinito de veces y por lo tantoconstituye una renta perpetua, es conveniente hallar el valoractual de esos cargos que se renuevan perpetuamente.

La formula es la siguiente:

Donde:k = Numero de años o periodos que median entre dos pagos sucesivos de una rentaperpetua.W: Monto de los k pagos de importe R, efectuados al final de cada periodo decapitalización.

1)1(1)1(

k k

i

W P

i

i

i

W P

Capitalización



Capitalización es el valor presentede una renta perpetua.

Ejemplo No 24.– La Empresa Eléctrica resuelve crear un

fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de lospostes de alumbrado publico, que ha costado S/. 150000 enun distrito de la capital, los postes deben ser reemplazados



cada 10 años, con un coste de S/. 91000. ¿Hallar el valor quehabrá que poner en el fondo para proveer los reemplazosfuturos, si la tasa de interés es del 7 % efectivo anual? Solución:

75,9409096715136,0

91000

107,1

9100010

P P

W = 91000; k = 10; i = 0,07; P =?

Respuesta.- Al cabo de 10 años se tendrá un valor de S/185,090.75, de los cuales S/. 91000 se utilizaran para reponerlos postes de alumbrado publico y S/. 94,090.75 se utilizarápara generar un nuevo monto de 91000 para futurosreemplazos.

VALOR CAPITALIZADO

Se conoce como costo capitalizado al valor de un activo, masla actualización de todos los costos futuros que garanticen su



la actualización de todos los costos futuros que garanticen su

reposición perpetuamente.El coste capitalizado de un activo se define como el costeinicial del activo mas el valor actual de un número infinito derenovaciones.

Símbolos:

K = coste capitalizado del activoC = coste inicial del activoW = coste de reemplazo del activok = número de años de vida útil del activoi = tasa de interés supuesta.

Por definición el Coste Capitalizado es:

K = C + P



Donde P es el valor actual de la renta perpetua, necesariapara las renovaciones futuras. Sustituyendo P por su valortenemos:

1)1(

k i

W C K

Ejemplo:Hallar el coste capitalizado de una máquina que se compra enS/. 50000, si su vida útil es de 10 años, al final de los cualesdebe ser reemplazarse al mismo coste. El precio del dinero esd l 5 % f ti l?



del 5 % efectivo anual?Solución:

W = 50000; C = 50000; k = 10; i = 0,05;K =?

Reemplazando estos valores en la formula (20) tenemos:

Respuesta.- El coste de la maquina es S/. 50000 y S/.79504.57 generará dentro de 10 años S/. 50000 para larenovación.

57,1295041)05,01(

5000050000

10

K

Cuando C = W, podemos utilizar a siguiente fórmula:

C



Ecuaciones del Coste Capitalizado.-

Muchas veces es necesario tomar decisiones sobre activosque hay que comprar o construir, cuando este tiene que serreemplazado periódicamente, en estos casos la decisión tieneque basarse en la comparación de costes capitalizados.

)1(1 k i

C K

Ejemplo. - La municipalidad de un pueblo debe tomar una decisión para laconstrucción de un puente, las ofertas más convenientes son:

• Construir un puente de madera con un coste de $ 75000 y su vida de 20 añosque debe ser reemplazado al mismo coste.

• Construir un puente de acero con un coste de $ 140000, su vida útil de 50 años yque debe ser reemplazado también al mismo coste.



que debe ser reemplazado también al mismo coste.

¿Cuál de los puentes resulta a la larga mas económico?. La tasa de interés sesupone del 4 % efectivo anual.Solución:Puente de Madera: C = W = 75000; k = 20; i = 0,04; Km =?Reemplazando en la formula tenemos:

Respuesta.- El Coste Capitalizado del puente de madera es de $ 137965,78

Puente de Acero: C = W = 140000; k = 50; i = 0,04; Ka =?

Respuesta.- Así el coste capitalizado del puente de acero es $ 162925,70.Puesto que el coste del puente de madera es menor, resulta más económico.

78,137965)04,01(1

75000 20 m K

70,162925)04,01(1

14000050

a K

Estos casos de gastos comparados de construir o comprar unactivo, sugieren otro tipo de problema.

¿Cuánto podrá gastarse en la construcción de un puente de acero

para que el desembolso, en un período de tiempo infinitamente



largo fuera igual al desembolso para el puente de madera?

Regresemos al ejemplo anterior:Si el coste del puente de madera se fija en $ 75000 y su vida en 20

años. ¿Cuánto deberá gastarse en construir uno de acero quedure 50 años, prestando el mismo servicio y que a la larga sea

tan económico como el puente de madera?. La tasa de interéses del 4 % efectivo anual?En este caso tenemos que hallar el coste inicial y de reemplazo de

un puente de acero tal que su coste capitalizado sea igual alcoste capitalizado del puente de madera.

Designemos, el coste inicial y de reemplazo del puente demadera por K, su duración por k años y la tasa de interés por i.Entonces el coste capitalizado “K” del puente de madera es.

La incógnita, esto es, el coste inicial y de reemplazo del puente

k i

C K )1(1



La incógnita, esto es, el coste inicial y de reemplazo del puente

de acero, lo representamos por el símbolo C,la duración delpuente por k años y la tasa de interés por i. El costecapitalizado K del puente de acero es, según formula es:

Puesto que el coste capitalizado del puente de madera debeser igual al coste capitalizado del puente de acero, para quea la larga sean ambos económicamente iguales, entonces

puede establecerse la siguiente relación: K = K

k

i

C K

)1(1

k k i

C

i

C

)1(1)1(1

Despejando C. Que es coste inicial del puente acero, tenemos

20

50

)1(1

)1(1k

k

i

iC C



Reemplazando valores tenemos:

Respuesta: Así, para que el puente de acero resulte a la largatan económico como el de madera, su coste de construccióny de reemplazo debe ser de $ 118552,26.

)1(1 i

20

50

)04,01(1

)04,01(175000

C

26,118552543613,0

859287,075000

C



ANUALIDADES VARIABLES



las anualidades variables, son aquellas en lasque las cuotas sufren variaciones de aumento

o de disminución, son cantidades constantesy las definimos como anualidades devariación uniforme. La cantidad de variaciónrecibe el nombre de gradiente y la primeracantidad del flujo de caja es la base. Elgradiente puede ser positivo o negativo.

GRADIENTES



En una anualidad vencida cuyas rentasconsecutivas varían de acuerdo con una leypredeterminada, se denomina gradiente a la

diferencia entre cualquier renta a partir de lasegunda y la anterior.

Cada renta es igual a la cuata base más la suma

de los gradientes acumulados, siendo la cuotabase un importe igual a la primera renta.

GRADIENTE ARITMETICO

En una anualidad cuyas rentas varían en progresiónaritmética los gradientes son uniformes es decir la



aritmética, los gradientes son uniformes, es decir ladiferencia entre una renta y la anterior es siempre la

misma.El siguiente gráfico representa una anualidad con

gradientes uniformes: A

1 2 3 n-1 n

RR+g

R+2gR+(n-2)g

R+ (n-1) g

FORMULAS DEL GRADIENTE ARITMETICO

INCREMENTO



n

nn

in

ii

i g

ii R P

11111

n

i

i

i

g

i

i RS

nn1111

DISMINUCIÓN

n

nn

i

n

i

i

i

g

i

i R P 1

1111

n

i

i

i

g

i

i RS

nn1111

GRADIENTE GEOMETRICO

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos



periódicos en la cual cada pago es igual al delperíodo inmediatamente anterior incrementando enun mismo porcentaje.

Sea una serie de n pagos, por período vencido, en la

que el primero tiene un valor de R y cada uno de lossiguientes es igual al del período inmediatamente

anterior aumentando en un porcentaje de G % y enla tasa de interés es i % por período. Se trata de

hallar expresiones que nos midan el monto y el valoractual en esta serie. El presente diagrama muestra

la serie de pagos.

S A St St+1



0 1 2 3 .. t t+1 ... n

RR(1+G)

t G R )1(

1)1( nG R

en que el primer pago es R, el segundo pago es R ( 1+ G ), el tercero es y así sucesivamente. Engeneral el pago n-ésimo será .

2)1( G R 1)1(

n

G R

FORMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICO

INCREMENTO PORCENTUAL



n

i

G

G i

R P

1

11

nn

G i

G i

RS

11

DISMINUCIÓN PORCENTUAL

n

GR 1

MATEMATICAS FINANCIERAS

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