Matematicas Financieras. Recorrido Rapido

Rodolfo Enrique Sosa Gmez 1

MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS



Las Matemticas Financieras o Ingeniera Econmica tienen como objetivo fundamental el estudio y anlisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Inters, Tiempo y Tasa.



La Matemtica Financiera la podemos asociar con dos smbolos es decir el de los nmeros (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemticas automticamente hacemos relacin con los nmeros; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de all la asociacin.



Variables financieras:Capital CTiempo tTasa iInters ICuota RMonto M


VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

NUNCA SE DEBEN SUMAR VALORES EN FECHAS DIFERENTES


INTERESINTERES

ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE

Es aquel inters que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEFormula general de la tasa de inters:i = I / C

Si condicionamos esta frmula a la expresin de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuacin:I = i . C . t


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE

Clasificacin del inters simple: Inters simple comercial en forma ordinaria Inters simple comercial en forma exacta Inters simple exacto en forma comercial Inters simple exacto en forma ordinaria


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEClasificacin del inters simpleInters simple comercial:360 das al ao, 180 das al semestre, 90 das al trimestre, 30 das al mes

Inters simple exacto:365 das al aoTabla o calculadora para las dems equivalencias


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEValor futuro a inters simple:Tambin conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado perodo de tiempoM = C + IM = C + ( i . C . t ), luego por factorizacinM = C ( 1 + i . t )


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEConcepto de Equivalencia Financiera:Es la relacin de igualdad que se establece entre una o unas deudas y uno o unos pagos en un momento determinado en el tiempo denominado fecha focal (momento de la negociacin)


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEEquidad entre el tiempo y la tasa:

- La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la misma unidad de base.- La tasa es la que condiciona la expresin del tiempo.


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLESeries uniformes a inters simple:

Series vencidas:Valor presenteValor futuro

Series anticipadasValor presenteValor futuro

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6Valor presente

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6Valor presente


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOConcepto:Es el inters que se genera sobre intereses.Los intereses que se generan en el primer perodo de capitalizacin se convierten en capital para generar mas intereses para el segundo perodo de capitalizacin y assucesivamente.


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOComparativo entre el inters simple y el inters compuesto

Capital 100.000$ Tasa 10% AnualTiempo 5 Aos

Periodo Diferenciaen aos Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses

0 0 0 0 0 01 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 02 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.0003 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.1004 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.4105 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051

Inters simple Inters compuesto


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

Periodo Int. Sim. Int. Com.en aos Monto Monto

00,5 105.000 104.8811 110.000 110.0002 120.000 121.0003 130.000 133.1004 140.000 146.4105 150.000 161.051

Comparativo entre el inters simple y el inters compuesto



tM = C ( 1 + i )

FORMULA GENERALFORMULA GENERAL



Capital o valor presente: VA Tasa: TASA Monto o valor futuro: VF Tiempo: NPER Cuota: PAGO

EXCELEXCEL



5.00

0

4.00

0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12fechafocal

10.00

0

Regla comercial:



5.00

0

4.00

0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12fechafocal

10.00

0

Regla de saldos insolutos:



TASAS:TASA NOMIAL

TASA EFECTIVA

TASAS EQUIVALENTESTASAS ANTICIPADAS

TASAS VENCIDAS


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOTabla para el calculo de las tasas de inters de equivalencia:

Tasa nominal Tasa efectivaPeriodicidad PeriodicidadModalidad ModalidadTasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%

Anual A Vencida VSemestral S Anticipada ACuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa GmezTrimestral T Peguntas o comentarios:Bimestral B e-mail: [email protected] M Telfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258Diaria D Condominio Caaveral Casa 135. Santa Marta.

Periodicidad: Modalidad

MANUAL DE INGENIERA ECONMICACONVERSIN DE TASAS DE INTERS

SIMULADORPara obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOTabla para el calculo de las tasas de inters de equivalencia:

MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICATABLA DE CONVERSIN DE TASAS DE INTERSPOR: RODOLFO SOSA GMEZ

J = i p . m i E.A. i p =

COMPLEMENTOS: Tasa de Inters ContinuaiE.A. i p = Tasa efectiva o peridica / 100J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1

m = Nmero de periodos contenidos en un ao

e = 2,71828182846

NOMINAL ANTICIPADA NOMINAL ANTICIPADA

PERIODICA NOMINAL VENCIDA NOMINAL VENCIDA PERIODICA

O R I G E NC O N O C I E N D O L A T A S A:

EFECTIVA ANUAL

D E S T I N OP A R A O B T E N E R L A T A S A:

J = 1 + i E.A. 1 / m

- 1. m

J =1 +

i E.A.

1 / m

- 1

. m

1 + i E.A.

1 / m - 11 +

J

m

m

i E.A. = - 1 1 +

J m

J m

1 -

1 + i E.A. =

m

- 1

J

1 -

i VENCIDA = i ANTICIPADA

i ANTICIPADA

1 +i ANTICIPADA =

i VENCIDA

i VENCIDA

J


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS

MANUAL DE INGENIERIA ECONMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Peridico EquivalenteFORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relacin Beneficio CostoRodolfo Sosa Gmez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de RetornoC = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad RealM = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o %I = Inters V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflacini = Tasa de inters V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluacint = Tiempo: nmero de perodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangeram = Peridos contenidos en un ao V.P.Eq. = Valor Peridico Equivalente i = Tasa TotalR = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Peridico Equivalente

INTERS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS: 2 . m . I

1 i = 2 M = C + I 3 I = i.C.t 4 M = C ( 1 + i . t ) 5 i = 6 I = ( R . t ) - B 7 B = Pc - CiB ( t + 1 ) - I ( t - 1)

SERIES PERIDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE

2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 ) R . R .2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2

8 M = R . 9 C = 10 M = R . 11 C = 2 2

INTERS COMPUESTO t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t

12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )

SERIES PERIDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C = i i i

SERIES PERIDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R +i i i

Tambin puede ser: t + 1 - ( t - 1 )( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )

23 M = R -1 24 C = R 1 +i i

GRADIENTE LINEAL O ARITMTICO CRECIENTE Y DECRECIENTEClculo de la cuota uniforme: Infinito: Clculo de una cuota:

1 t R1 g25 R = R1 + / - g . 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )

t i ii ( 1 + i ) - 1

( 1 + ti ) ( 1 + ti )

I

C

- 2 t

r

T


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTESi g es diferente de i: Si g es igual a i:

t t t - t( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t

28 C = R1. 29 C = 30 C = t

( i - g ) . ( 1 + i )

t t t t( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1

31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i ) t

( i - g ) . ( 1 + i )

Infinito, si i es mayor que g: Clculo de una cuota en gradientes gemetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:R1 t - 1

34 C = 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )i - g

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE t t t t

( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )36 C = R1. 37 M = R1.

t( i + g ) . ( 1 + i )

EVALUACIN DE PROYECTOS:V.P.N.

38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. = - t 1 - ( 1 + i )

V.P.I. V.P.E.41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i

- t - t 1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )

43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.i i Resultado ideal: R.B.C. > 1

Nota:V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0

44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0

Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:i - F 1 + i Nota:

46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i1 + F 1 + i

g - i

1 + i

( i + g )

g - i

t

222 2 1

2 121

1 2 1

1 2

21 1

22 212

r r T 1 2 T2

11 2


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOINFLACION - I.P.C.

DEVALUACION

TASAS COMBINADAS

TASAS DEFLACTADAS

D.T.F.

T.C.C.

T.B.S.

LIBOR

PRIME RATE

TMAR = T.I.O + Spreads


ANUALIDADESANUALIDADES

VENCIDAS

ANTICIPADAS

PERPETUAS

DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS



Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10


ANUALIDADESANUALIDADESAnualidad de 5 periodos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10

Anualidad diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10


ANUALIDADESANUALIDADESAnualidad perpetua

0 1 2 3 4 5

10 10 10 10 10

Anualidad perpetua diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10 10 10 10 10


GRADIENTESGRADIENTES

LINEALES O ARITMETICAS:

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA


GRADIENTESGRADIENTES

EXPONENCIALES O GEOMETRICAS

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA


GRADIENTESGRADIENTES1600

14001200

1000

0 1 2 3 4

1 0 0 09 5 0

9 0 08 5 0

0 1 2 3 4

Gradiente lineal creciente

Gradiente lineal decreciente


GRADIENTESGRADIENTESGradiente exponencial creciente

Gradiente exponencial decreciente

1.331,001.210,00

1.100,001.000,00

0 1 2 3 4

1000950

902,5857,38

0 1 2 3 4


GRADIENTESGRADIENTESR1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)Ru (Cuota Uniforme) #DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #DIV/0!V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #DIV/0!V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #DIV/0!CUOTA No. 24 CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO 0,00

R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00CUOTA No. CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO Si i > g 0,00

GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICOCRECIENTE DECRECIENTE

GRADIENTE LINEAL O ARITMETICOCRECIENTE DECRECIENTE


EVALUACIONES EVALUACIONES FINANCIERASFINANCIERAS

FLUJO DE CAJAFLUJO DE CAJA NETOV.P.N.

T.I.R.


U.V.RU.V.R..

t / d UVRt = UVR 15 * ( 1 + i )


U.V.RU.V.R..

Del 31 de Julio al 5 de Agosto:El DANE pblica los resultados de la inflacin del mes deJulio de 2002Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:El Banco de la Republica le informa los valores de la UVRque regirn entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.El sistema financiero actualiza sus bases de datos15 de Agosto:U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anteriorDel 16 de Agosto al 15 de Septiembre:Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre

Procedimiento para el calculo de la U.V.R.


U.V.RU.V.R..- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRDel da t del perodo de calculo.-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRel da 15 de cada mes.- i = Variacin mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes de inicio del perodo de calculo-t = Nmero de das calendario transcurridos desde el inicio de un perodo de calculo hasta el da de calculo de la UVR.Por lo tanto, t tendr valores entre 1 y 31 de acuerdo con el nmero de das calendario del respectivo perodo de calculo.- d = Nmero de das calendario del respectivo perodo de calculo


U.V.RU.V.R..VALORES

VALOR DE LA UVR 127,9002FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84TIEMPO EN AOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74TIEMPO EN MESES 180

PERI

ODO

FECHA VALOR UVR CUOTA EN

UVR

ABONO A CAPITAL EN

UVR

INTERESES

EN UVR

SALDO EN UVR CUOTA EN

PESOS

ABONO A CAPITAL EN

PESOS

INTERESES EN

PESOS

SALDO EN

PESOS0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,001 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,352 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,983 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,764 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,395 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,336 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,857 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,988 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,569 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,1910 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,2511 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,8912 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,0413 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,3714 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,3515 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16

DATOS

TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOSPAGO

RESUMEN DEL CREDITO


U.V.RU.V.R..Curva de Amortizacin de Crditos Hipotecarios

-5.000.000

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

30.000.000

Periodos (Cuotas mensuales)

$


MATEMATICAS FINANCIERAS

FIN DE LA PRESENTACION

RODOLFO ENRIQUE SOSA GOMEZ

Matematicas Financieras. Recorrido Rapido

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