Suma y resta de enteros

1 Calcula:

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8

b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2

c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11

d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = (5 + 1 + 8) – (3 + 7) = 14 – 10 = 4

b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = (2 + 4 + 1 + 2) – (3 + 8) = 9 – 11 = –2

c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = (1 + 5 + 9) – (3 + 7 + 11) = 15 – 21 = –6

d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (2 + 4 + 10 + 14) – (6 + 8 + 12) = 30 – 26 = 4

2 Quita paréntesis:

a) a + (b + c) b) a – (b + c)

c) a + (b – c) d) a – (b – c)

a) a + (b + c) = a + b + c b) a – (b + c) = a – b – c

c) a + (b – c) = a + b – c d) a – (b – c) = a – b + c

3 Quita paréntesis y después opera:

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = 1 – 7 + 2 + 10 – 3 + 8 = (1 + 2 + 10 + 8) – (3 + 7) == 21 – 10 = 11

b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = 8 – 4 – 3 – 5 + 8 + 1 = (8 + 8 + 1) – (4 + 3 + 5) == 17 – 12 = 5

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – 5 – 1 + 4 + 5 – 8 = (3 + 4 + 5) – (5 + 1 + 8) == 12 – 14 = –2

d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 3 – 5 + 8 – 11 + 4 + 13 – 9 == (3 + 8 + 4 + 13) – (5 + 11 + 9) = 28 – 25 = 3

1

4 Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6)

b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4)

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (–7) + (1) – (– 8) = –7 + 1 + 8 = 2

b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = (– 8) – (–1) + (15) = –8 + 1 + 15 = 8

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = 15 + (–1) – (3) + (– 8) = = 15 – 1 – 3 – 8 = 3

5 Quita paréntesis y calcula:

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]

b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)])

c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)])

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 3 – [(–3) – (–3)] = 3 – [–3 + 3] = 3

b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = 1 – (3 – [4 – (–2)]) = 1 – (3 – 6) = 1 + 3 = 4

c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = 9 – (5 – [6 – 6]) = 9 – 5 = 4

6 Calcula:

a) (–7) · (+11) b) (–6) · (–8)

b) (+5) · (+7) · (–1) d) (–2) · (–3) · (–4)

a) (–7) · (+11) = –77 b) (–6) · (–8) = 48

c) (+5) · (+7) · (–1) = –35 d) (–2) · (–3) · (–4) = –24

7 Opera:

a) (–45) : (+3) b) (+85) : (+17)

b) (+36) : (–12) d) (–85) : (–5)

a) (–45) : (+3) = –15 b) (+85) : (+17) = 5

c) (+36) : (–12) = –3 d) (–85) : (–5) = 17

8 Opera las expresiones siguientes:

a) (+400) : (–40) : (–5) b) (+400) : [(–40) : (–5)]c) (+7) · (–20) : (+10) d) (+7) · [(–20) : (+10)]e) (+300) : (+30) · (–2) f) (+300) : [(+30) · (–2)]

2

a) (+400) : (–40) : (–5) = (–10) : (–5) = 2

b) (+400) : [(–40) : (–5)] = (+400) : (+8) = 50

c) (+7) · (–20) : (+10) = –140 : 10 = –14

d) (+7) · [(–20) : (+10)] = 7 · (–2) = –14

e) (+300) : (+30) · (–2) = 10 · (–2) = –20

f ) (+300) : [(+30) · (–2)] = 300 : (–60) = –5

Operaciones combinadas

9 Calcula:

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3

b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3

c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6)

d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2)

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 24 – 30 – 6 = –12

b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 15 – 18 + 10 – 12 = –5

c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = –20 – 8 + 30 + 18 = 20

d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) = 18 – 15 – 20 + 6 = –11

10 Opera estas expresiones:

a) (–5) · (8 – 13)

b) (2 + 3 – 6) · (–2)

c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3)

d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3)

a) (–5) · (8 – 13) = (–5) · (–5) = 25

b) (2 + 3 – 6) · (–2) = (–1) · (–2) = 2

c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = 4 · (–6) : (–3) = (–24) : (–3) = 8

d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = (–22) : (–11) = 2

11 Calcula:

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7)

b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6)

c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)

3

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 13 – [8 – 3 – 12] : (–7) = 13 – (–7) : (–7) == 13 – 1 = 12

b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 5 · 5 – 4 · (–5) – 5 · (–5) == 25 + 20 + 25 = 70

c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = 12 · (–2) – 8 · 5 – 4 · (–12) == –24 – 40 + 48 = –16

12 Realiza las operaciones siguientes:

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12

b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]

c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17]

d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5]

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 18 – 40 : 8 – 3 = 18 – 5 – 3 = 10

b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 4 + 4 – 50 : 25 = 8 – 2 = 6

c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 48 : [15 + 8 – 17] = 48 : 6 = 8

d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = 12 – 15 : [12 + 4 · (–5) + 5] == 12 – 15 : [12 – 20 + 5] = 12 – 15 : (–3) = 12 + 5 = 17

13 Calcula:

a) (–2)7 b) (–3)5 c) (–5)3

d) (–10)3 e) (–1)16 f) (–1)17

a) (–2)7 = –128 b) (–3)5 = –243 c) (–5)3 = –125

d) (–10)3 = –1 000 e) (–1)16 = +1 f ) (–1)17 = –1

14 Expresa como una única potencia:

a) (–2)4 · (–2)3 b) (+2)3 · (–2)3

c) (–3)5 : (–3)3 d) (–5)6 : (–5)3

a) (–2)4 · (–2)3 = (–2)7 b) (+2)3 · (–2)3 = (+2)3 · (–2)3 = –(23 · 23) = –26

c) (–3)5 : (–3)3 = (–3)2 d) (–5)6 : (–5)3 = (–5)3

15 Calcula:

a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3

b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3)

c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2]

d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2

4

a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3 = (–8) + (–27) – (–64) = –8 – 27 + 64 = 64 – 35 = 29

b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3) = [(–5) · (–2)]2– 33 = 102 – 33 = 100 – 27 = 73

c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2] = 4 · (25 – 16) = 4 · 9 = 36

d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2 = [(–6) : (–3)]3 + [(–8) : (–4)]2 = 23 + 22 == 8 + 4 = 12

16 Calcula, si existe:

a) �(–6)2� b) �(–6)3� c) �(–5)3�d) �(–5)4� e) �(–1)7� f) �(–1)8�

a) �(–6)2� = �36� = ±6 b) �(–6)3� = �–216� → No existe

c) �(–5)3� = �–125� → No existe

d) �(–5)4� = �625� = ±25

e) �(–1)7� = �–1� → No existe

f ) �(–1)8� = �1� = ±1

17 Calcula, si existe:

a) �(+2)2 ·�(–2)4� b) �(–2)7 :�(–2)3�c) �83 : (–2�)5� d) �(–6)3 :�33�

a) �(+2)2 ·�(–2)4� = �26� = �64� = ±8

b) �(–2)7 :�(–2)�3 = �(–2)4� = �16� = ±4

c) �83 : (–2�)5� = �29 : (–2�)5� = �–24� = �–16� → No existe

d) �(–6)3 :�33� = �(–6 : 3�)3� = �(–2)3� = �–8� → No existe

Múltiplos y divisores

18 Verdadero o falso:

a) 195 es múltiplo de 13.

b) 13 es divisor de 195.

c) 745 es múltiplo de 15.

d) 18 es divisor de 258.

e) 123 es divisor de 861.

5

a) Verdadero. 195 = 13 · 15

b) Verdadero. 195 : 13 = 15

c) Falso.

d) Falso.

e) Verdadero. 861 : 123 = 7.

19 Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 por encima de 1000.

1 005, 1 020, 1 035, 1 050, 1 065

20 Escribe todos los divisores de 140.

1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

21 Verdadero o falso:

a) La suma de dos múltiplos de 8 es múltiplo de 8.

b) La diferencia de dos múltiplos de 6 es un múltiplo de 6.

c) Si un número es múltiplo de 4 y de 3, también es múltiplo de 12.

d) Si un número es múltiplo de 2 y de 4, también es múltiplo de 8.

e) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de todos los diviso-res de 12.

a) Verdadero. a · 8 + b · 8 = (a + b) · 8

b) Verdadero. a · 6 – b · 6 = (a – b) · 6

c) Verdadero. a · 4 · 3 = a · 12

d) Falso. Por ejemplo, 20 = 10 · 2 = 5 · 4 y, sin embargo, no es múltiplo de 8.

e) Verdadero. a · 12 = a · 2 · 6 = a · 3 · 4…

Números primos y compuestos

22 Escribe todos los números primos comprendidos entre 80 y 100.

83, 89, 91, 97

6

23 Calcula cuánto debe valer a para que el número sea:

a) Múltiplo de 2

b) Múltiplo de 3

c) Múltiplo de 5

a) a = 0, 2, 4, 6, 8

b) a = 1, 4, 7

c) a = 0, 5

24 Descompón en factores primos:

a) 48 b) 54

c) 90 d) 105

e) 120 f ) 135

g) 180 h) 378

i) 700 j) 1 872

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33

c) 90 = 2 · 32 · 5 d) 105 = 3 · 5 · 7

e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 378 = 2 · 33 · 7

i) 700 = 22 · 52 · 7 j) 1 872 = 24 · 32 · 13

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

25 Calcula:

7 1 a

a) m.c.m. (12, 15) b) m.c.m. (24, 60)c) m.c.m. (48, 54) d) m.c.m. (90, 150)e) m.c.m. (6, 10, 15) f ) m.c.m. (8, 12, 18)

a) m.c.m. (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60

b) m.c.m. (24, 60) = 23 · 3 · 5 = 120

c) m.c.m. (48, 54) = 24 · 33 = 432

48 = 24 · 354 = 2 · 33

24 = 23 · 360 = 22 · 3 · 5

12 = 22 · 315 = 3 · 5

7

26 Calcula:

27 Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de a y b?¿Cuál es el máximo común divisor de a y b?

Si a es múltiplo de b, a = k · b

m.c.m. (a, b) = m.c.m. (k · b, b) = k · b = a

M.C.D. (a, b) = M.C.D. (k · b, b) = b

d) m.c.m. (90, 150) = 2 · 32 · 52 = 450

e) m.c.m. (6, 10, 15) = 2 · 3 · 5 = 30

f ) m.c.m. (8, 12, 18) = 23 · 32 = 72

8 = 23

12 = 22 · 318 = 2 · 32

6 = 2 · 310 = 2 · 515 = 3 · 5

90 = 2 · 32 · 5150 = 2 · 3 · 52

a) M.C.D. (16, 24) b) M.C.D. (48, 72)

c) M.C.D. (105, 120) d) M.C.D. (135, 180)

e) M.C.D. (8, 12, 16) f ) M.C.D. (45, 60, 105)

a) M.C.D. (16, 24) = 23 = 8

b) M.C.D. (48, 72) = 3 · 23 = 24

c) M.C.D. (105, 120) = 3 · 5 = 15

d) M.C.D. (135, 180) = 32 · 5 = 45

e) M.C.D. (8, 12, 16) = 22 = 4

f ) M.C.D. (45, 60, 105) = 3 · 5 = 15

45 = 32 · 560 = 22 · 3 · 5105 = 3 · 5 · 7

8 = 23

12 = 22 · 316 = 24

135 = 33 · 5180 = 22 · 32 · 5

105 = 3 · 5 · 7120 = 23 · 3 · 5

48 = 24 · 372 = 23 · 32

16 = 24

24 = 23 · 3

8

28 Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningúndivisor común aparte del 1. Por ejemplo, el 15 y el 16. Busca otras parejas denúmeros primos entre sí.

Por ejemplo: 17 y 24

13 y 9

29 Se desea envasar 100 litros de aceite en recipientes iguales. ¿Cuál ha deser la capacidad de los mismos? Busca todas las soluciones posibles, e indica,en cada caso, el número de recipientes necesarios.

Las soluciones posibles son todos los divisores de 100:

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

30 En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averiguacuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de18 unidades.

El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor deellos es 90.

Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270…

Por tanto hay 180 libros.

31 Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la ma-ñana desde el mismo punto de partida.

Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36minutos, ¿a qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas?

Los autobuses coinciden cada 72 minutos.

Volverán a coincidir a las 8 horas y 12 minutos de la mañana.

32 Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo másgrandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo.

¿Cuánto medirá cada trozo?

Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.

m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 32 · 5 = 90

5 = 59 = 32

15 = 3 · 518 = 2 · 32

M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10

20 = 22 · 530 = 2 · 3 · 5

m.c.m. (24, 36) = 23 · 32 = 72

24 = 23 · 336 = 22 · 32

9

33 En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno delos corredores da una vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 se-gundos. Parten juntos de la línea de salida.

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la lí-nea de salida?

b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo?

a)

Volverán a encontrarse al cabo de 216 segundos, es decir, después de 3 mi-nutos y 36 segundos.

b) El primer ciclista habrá dado 216 : 54 = 4 vueltas.El segundo, 216 : 72 = 3 vueltas.

34 ¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utiliza-do para pavimentar el suelo de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm deancho?

(Las baldosas han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna).

35 Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 man-tecados en cajas, lo más grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja.

¿Cuántas unidades irán en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta?

m.c.m. (54, 72) = 23 · 33 = 216

54 = 2 · 33

72 = 23 · 32

123 dm = 1 230 cm

90 dm = 900 cm

M.C.D. (1 230, 90) = 2 · 3 · 5 = 30

Cada baldosa cuadrada mide 30 cm de lado.

1 230 = 2 · 3 · 5 · 4190 = 22 · 32 · 52

M.C.D. (250, 75) = 52 = 25

En cada caja deberán ir 25 unidades.

Completará 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de mantecados.

250 = 2 · 53

75 = 3 · 52

10

36 Un alumno quiere cambiar con otro cuadernos de 3,6 euros por rotula-dores de 4,8 euros. ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cam-biar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el valor de lo que aporta ca-da uno?

Pueden intercambiar 4 cuadernos por 3 rotuladores, por un valor, cada paque-te, de 14,4 €.

37 En un colegio, el número de profesoras es el doble que el número deprofesores. ¿Cuál de los siguientes números será igual al total de docentes de dicho colegio?

17 20 24 26El número total de docentes tiene que ser múltiplo de 3.

El único múltiplo de 3 de los números que se dan es 24. Por tanto, el númerototal de docentes del colegio es 24.

Si en total son 24, dos partes son profesoras y una profesores:

24 : 3 = 8

8 × 2 = 16 profesoras

Hay 16 profesoras y 8 profesores.

38 El mayor de los tres hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días,el mediano cada 10, y la menor cada 12. El día de Navidad se reúne toda la familia. ¿Qué día volverán a encontrarse los tres juntos? ¿Y el mayor con elmediano?

Los tres hermanos volverán a encontrarse 60 días después de Navidad (25 dediciembre). Es decir, el 22 de febrero del año siguiente.

m.c.m. (15, 10) = 2 · 3 · 5 = 30

El mayor y el mediano se encontrarán transcurridos 30 días, es decir, el 23 deenero del año siguiente.

3,6 € = 360 céntimos de euro

4,8 € = 480 céntimos de euro

m.c.m. (360, 480) = 25 · 32 · 5 = 1 440

1 440 : 360 = 41 440 : 480 = 3

360 = 23 · 32 · 5480 = 25 · 3 · 5

m.c.m. (15, 10, 12) = 22 · 3 · 5 = 60

15 = 3 · 510 = 2 · 512 = 22 · 3

11

39 En una excursión a la montaña, organizada por un club alpino, cada tresmiembros comparten una mochila, cada cuatro una brújula y cada seis unmapa. Si entre mochilas, brújulas y mapas hay 27, ¿cuántos miembros delclub participan en la excursión?

El número de miembros ha de ser múltiplo de 3, de 4 y de 6.

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

Como hay 27 objetos entre mochilas, brújulas y mapas, y 27 : 9 = 3, debe ha-ber:

12 · 3 = 36 miembros

Veamos que es cierto:

40 Rosa tiene el triple de discos que Manuel. Si cada uno comprase un disco, Rosatendría el doble. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

41 Federico tenía la cuarta parte de dinero que Amelia. Por hacer un reca-do reciben una moneda de 2 € cada uno. Ahora Amelia tiene el triple queFederico. ¿Cuánto tiene ahora cada uno?

�

El dinero que tenían al principio entre los dos es múltiplo de 5.

4 + 3 + 2 = 9

12 : 3 = 4 mochilas12 : 4 = 3 brújulas12 : 6 = 2 mapas

12 + 9 + 6 = 27

36 : 3 = 12 mochilas36 : 4 = 9 brújulas36 : 6 = 6 mapas

Rosa tiene 3 discos y Manuel, 1.

Rosa →

Manuel →+ 1 = 2 · ( + 1) = + 2

+ 1 = 2 → = 1 disco

ANTES

AHORA

4 €

12

42 El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filasde 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es el número de participantes si sabemos que es mayor que 1 000,pero menor que 1 250?

Múltiplos de 3, de 5 y de 25 → múltiplos de 75

Múltiplos de 75 comprendidos entre 1 000 y 1 250:

1 050 1 125 1 200

Descartamos 1 200 porque es múltiplo de 4, y 1 125 porque es múltiplo de 9.

Así, el número de participantes es 1 050.

Un múltiplo de 5 más 4 debe ser múltiplo de 4.

20 + 4 = 24

Amelia tenía 16 € y Federico, 4 €.

Ahora, Amelia tiene 18 € y Federico, 6 €.

13

ú l t i p l o s y d i v i s o r e s

1 Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• 143 y 13

• 124 y 31

• 364 y 13

• 364 y 52

2 Responde justificando tu respuesta.

a) ¿Es 132 múltiplo de 11?

b) ¿Es 11 divisor de 132?

c) ¿Es 574 múltiplo de 14?

d)¿Es 27 divisor de 1 542?

a) Sí, 132 = 12 · 11

b) Sí, 132 : 11 = 12

c) Sí, 574 = 41 · 14

d) No, 1542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3 Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10.

b)Los cinco primeros múltiplos de 13.

c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50.

b) 13, 26, 39, 52 y 65.

c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4 Calcula.

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 23.

c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1 y 23.

c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

135231180

36412412143

M

14

5 Copia estos números y selecciona:

a) Los múltiplos de 2.

b)Los múltiplos de 3.

c) Los múltiplos de 5.

a) 66, 90, 156, 220 y 708.

b) 66, 90, 105, 156 y 708.

c) 90, 105, 220 y 315.

6 Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha losmúltiplos de 9:

33 41 54 87 108

112 231 341 685

33 41 54 87 108

112 231 341 685

ú m e r o s p r i m o s y c o m p u e s t o s

7 Escribe:

a) Los diez primeros números primos.

b)Los números primos comprendidos entre 50 y 60.

c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100.

d)Los tres primeros números primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97.

d) 101, 103 y 107.

8 Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los com-puestos:

• Primos: 7, 17, 31, 41 y 67.

• Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

6751413124

17151074

N

708421315220156

105103907166

15

9 Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguien-tes cantidades:

• 6 = 2 · 3 • 8 = 23 • 10 = 2 · 5

• 14 = 2 · 7 • 15 = 3 · 5 • 18 = 2 · 32

• 20 = 22 · 5 • 24 = 23 · 3 • 25 = 52

• 27 = 33 • 30 = 2 · 3 · 5 • 42 = 2 · 3 · 7

10 Descompón en factores primos.

a) 48 b)54 c) 90

d)105 e) 120 f ) 135

g) 180 h)200 i) 250

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33 c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 200 = 23 · 52 i) 250 = 2 · 53

11 Descompón en el máximo número de factores:

a) 378 b)1 144 c) 1 872

a) 378 = 2 · 33 · 7 b) 1 144 = 23 · 11 · 13 c) 1 872 = 24 · 32 · 13

í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o y m á x i m o c o m ú n d i v i s o r

12 Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10.

b)Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15.

d)El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100.

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150.

c) 30, 60, 90, …

d) 30

13 Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (2, 3) b)mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10)

d)mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18)

a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20

d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

M

423027252420

1815141086

16

14 Calcula.

a) mín.c.m. (12, 15) b)mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54) d)mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15) f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

a) mín.c.m. (12, 15) = 60 b) mín.c.m. (24, 60) = 120

c) mín.c.m. (48, 54) = 432 d) mín.c.m. (90, 150) = 450

e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30 f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

15 Escribe:

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24.

d)El máximo común divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

c) 1, 2, 3 y 6.

d) 6

16 Calcula mentalmente.

a) máx.c.d. (4, 8) b)máx.c.d. (6, 9)

c) máx.c.d. (10, 15) d)máx.c.d. (12, 16)

e) máx.c.d. (16, 24) f ) máx.c.d. (18, 24)

a) máx.c.d. (4, 8) = 4 b) máx.c.d. (6, 9) = 3

c) máx.c.d. (10, 15) = 5 d) máx.c.d. (12, 16) = 4

e) máx.c.d. (16, 24) = 8 f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

17 Calcula.

a) máx.c.d. (36, 45) b)máx.c.d. (48, 72)

c) máx.c.d. (105, 120) d)máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16) f ) máx.c.d. (45, 60, 105)

a) máx.c.d. (36, 45) = 9 b) máx.c.d. (48, 72) = 24

c) máx.c.d. (105, 120) = 15 d) máx.c.d. (135, 180) = 45

e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15

17

18 ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermeladaen cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el núme-ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di-ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.

80 = 24 · 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

2 · 40 16 · 5

4 · 20 1 · 80

8 · 10

19 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su lon-gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en tro-zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200es 180.

20 Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cadacuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 días.

mín.c.m. (10, 18) = 90

21 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su acti-vidad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, yla línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada losautobuses de ambas líneas?

A las 8 h 12 min.

mín.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo másgrandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Cada trozo medirá 10 metros.

máx.c.d. (20, 30) = 10

8 cajas de 10 botes10 cajas de 8 botes

1 caja de 80 botes80 cajas de 1 bote

4 cajas de 20 botes20 cajas de 4 botes

16 cajas de 5 botes5 cajas de 16 botes

2 cajas de 40 botes40 cajas de 2 botes

18

23 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de an-cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidadde cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo quese han empleado las mayores que había en el almacén?

30 cm de lado.

8 máx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rec-tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadra-do? ¿Cuántas piezas ha empleado?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.

mín.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado.

(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado.

3 · 2 = 6 piezas

25 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser-va de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias?¿Cuántos botes irán en cada caja?

• Se necesitan 12 cajas como mínimo.

• Habrá 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 ode 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25botes.

8 5 + 7 = 12 cajas en total

26 En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 man-tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unida-des y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos manteca-dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe sersuperior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa.

8

8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20

Divisores comunes de 2 400 y 2 640 que son mayores de 15 y menores de 30

°¢£

2 400 = 25 · 3 · 52

2 640 = 24 · 3 · 5 · 11

°¢£

125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos

°¢£

12,3 m = 123 dm9 m = 90 dm

19

27 Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor co-mún es la unidad. Por ejemplo:

Son primos entre sí.

Escribe otras tres parejas de números primos entre sí.

Por ejemplo:

• 4 y 15

• 14 y 15

• 22 y 39

28 Justifica la siguiente afirmación:

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

8 a = ? · c

a = (k · h ) · c

8 a = k · b = k · (h · c ) = (k · h ) · c 8 a es múltiplo de c.

29 Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a esdivisor de c.

8 c = ? · a

c = (m · n) · a

8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c.

30 Si m es múltiplo de n, calcula:

a) mín.c.m. (m, n)

b)máx.c.d. (m, n)

a) mín.c.m. (m, n) = m

b) máx.c.d. (m, n) = n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

a = k · bb = h · c

°¢£

b = k · bb = h · c

22 = 2 · 1139 = 3 · 13

°¢£

14 = 2 · 715 = 3 · 5

°¢£

4 = 22

15 = 3 · 5°¢£

°¢£

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 235 = 5 · 7

20

u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s

31 Calcula mentalmente.

a) 5 – 9 b)5 – 11 c) 13 – 9

d)22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52

g) –8 – 14 h)–21 – 15 i) –33 – 22

j) –13 + 18 k)–22 + 9 l) –37 + 21

a) –4 b) –6 c) 4

d) –8 e) –12 f ) –6

g) –22 h) –36 i) –55

j) 5 k) –13 l) –16

32 Calcula.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 b)10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 d)–7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

a) –1 b) 2 c) 0 d) –8

33 Quita paréntesis y calcula.

a) (+5) – (–3) – (+8) + (–4)

b)–(–7) – (+5) + (–6) + (+4)

c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5)

d)–(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2)

a) –4 b) 0 c) –6 d) –4

34 Calcula.

a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9)

b)4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4)

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13)

d)–(6 – 3 – 5) – (–4 – 7 + 15)

a) 10 b) –4 c) 2 d) –2

35 Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b)8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d)(2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

a) 3 b) 5 c) –18 d) –7 e) 3

S

21

36 Quita paréntesis y calcula.

a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])b)6 – (7 – [8 – (9 – 10)])c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])d)10 – (9 + [8 – (7 + 6)])e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)])a) 4 b) 8 c) 10 d) 6 e) –13

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s e n t e r o s

37 Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3)

c) (–4) · (+7) d)(+42) : (–6)

e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5)

g) (+10) · (+5) h)(–63) : (–9)

i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14)

a) 30 b) –7 c) –28 d) –7 e) 48

f ) 6 g) 50 h) –8 i) 45 j) –8

38 Obtén el valor de x en cada caso:

a) x · (–9) = +9 b)(–5) : x = –1 c) (–5) · x = –45

d)x : (–4) = +3 e) x · (+6) = –42 f ) (+28) : x = –7

a) x = –1 b) x = 5 c) x = 9

d) x = –12 e) x = –7 f ) x = –4

39 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d)[(+40) : (–4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (–6)] f ) [(–8) · (+3)] : (–4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (–4)] h)[6 · (–10)] : [(–5) · 6]

a) 12 b) –30 c) 3 d) 2

e) –15 f ) 6 g) 6 h) 2

p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s c o n n ú m e r o s e n t e r o s

40 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b)2 · 9 – 7 c) 4 · 5 – 6 · 3

d)2 · 8 – 4 · 5 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

a) –7 b) 11 c) 2

d) –4 e) –21 f ) 0

O

M

22

41 Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.

a) 3 · (9 – 11)

b)–5 · (4 – 9)

c) 5 · (9 – 4) – 12

d)1 + 4 · (6 – 10)

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11)

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15)

a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = –6

b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25

c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13

d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (–4) = 1 – 16 = –15

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (–4) – 3 · (–6) = –24 + 18 = –6

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (–6) = 20 – 18 = 2

42 Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d)[(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5

b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22

c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = –4

d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36

e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17

f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

43 Calcula paso a paso.

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13

b)–6 · (+4) + (–3) · 7 + 38

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4)

d)–(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6)

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5

b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = –45 + 38 = –7

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82

d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496

23

44 Opera.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13

d)4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)]

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (–4) · [12 + 3 · (–3)] = (–4) · [12 – 9] = (–4) · 3 = –12

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (–4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 =

= 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] =

= 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (–4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] =

= –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45 Calcula paso a paso.

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)]

b)6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)]

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5

b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] =

= –3 – [–2 + 2] = –3

o t e n c i a s d e n ú m e r o s e n t e r o s

46 Calcula.

a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3

d)(–2)4 e) (–2)5 f ) (–2)6

g) (–2)7 h)(–2)8 i) (–2)9

a) –2 b) 4 c) –8

d) 16 e) –32 f ) 64

g) –128 h) 256 i) –512

47 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (–6)3

d)(+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

a) 625 b) 1 024 c) –216

d) 343 e) 64 f ) –10 000 000

P

24

48 Observa…

(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8 (+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8

–23 = –2 · 2 · 2 = –8 +23 = +2 · 2 · 2 = +8

…y calcula.

a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d)+34

a) 81 b) 81 c) –81 d) 81

49 Expresa como potencia de un único número.

a) 104 : 54 b)127 : (–4)7 c) (–9)6 : 36

d)26 · 26 e) (–4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

a) 104 : 54 = (2 · 5)4 : 54 = (24 · 54) : 54 = 24

b) 127 : (–4)7 = (3 · 4)7 : (–4)7 = (37 · 47) : (–4)7 = –37

c) (–9)6 : 36 = 312 : 36 = 36

d) 26 · 26 = 212

e) (–4)5 · (–2)5 = –(45) · (–25) = 45 · 25 = 210 · 25 = 215

f ) 24 · (–5)4 = 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104

50 Reduce a una sola potencia.

a) x4 · x6 b)m3 · m4

c) m8 : m6 d)x7 : x6

e) (x2)5 f ) (m4)3

g) [a10 : a6]2 h)(a · a3)3

i) (x5 : x2) · x4 j) (x6 · x4) : x7

a) x4 · x6 = x10 b) m3 · m4 = m7

c) m8 : m6 = m8 : m6 = m2 d) x7 : x6 = xe) (x2)5 = x10 f ) (m4)3 = m12

g) [a10 : a6]2 = a8 h) (a · a3)3 = a12

i) (x5 : x2) · x4 = x7 j) (x6 · x4) : x7 = x3

51 Expresa como una potencia única.

a) 43 · 4 b)52 · (–5)3

c) (–6)8 : (–6)5 d)78 : (–7)

e) (52 · 54) : 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6

g) (24)3 : 29 h)(–4)7 : (42)2

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 j) (52)5 : [(–5)3]2

a) 43 · 4 = 44 b) 52 · (–5)3 = –55

c) (–6)8 : (–6)5 = –63 d) 78 : (–7) = –77

e) (52 · 54) : 53 = 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72

g) (24)3 : 29 = 23 h) (–4)7 : (42)2 = –43

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 j) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

25

52 Opera y calcula.

a) [29 : (23)2] · 53

b)102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2

d)[(62)2 · 44] : (23)4

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000

b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6

d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 =

= [(3 · 23) : 23]4 = 34 = 81

a í c e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

53 Calcula.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±7 b) ±7 c) No existe.

d) ±15 e) ±15 f ) No existe.

g) ±50 h) ±50 i) No existe.

54 Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

55 Calcula, si existen, estas raíces:

a) b) c)

d) e) f )

a) 1 b) –1 c) 4

d) ±5 e) No existe. f ) ±10

4√10 0004√–6254√625

3√643√–13√1

√–m6√(–m)6√m6

√–a4√(–a)4√a4

√–x2√(–x)2√x2

√–2 500√502√2 500

√–225√225√152

√–49√72√49

R

26

56 Calcula.

a) b) c)

a) a b) ±x c) m

57 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12

a) b) c)

a) = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12

b) = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10

c) = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10√x10

5√m10

3√a12

√x105√m103√a12

4√x12

5√m54√x43√a3

27