MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES

FINANCIERAS

María Ángeles Fernández Izquierdo

María Jesús Muñoz Torres

Juana María Rivera Lirio

Idoya Ferrero Ferrero

Elena Escrig Olmedo

Año 2018

1

Índice

TEMA 1: LA LÓGICA FINANCIERA 1. Capital Financiero

2. Leyes financieras

3. Leyes de capitalización

4. Descuento simple comercial

5. Ejercicios propuestos

5.1. Ejercicios para resolver en pizarra

5.2. Ejercicios para resolver en laboratorio informático

TEMA 2. OPERACIONES FINANCIERAS 1. Operación financiera, definición y clasificación

2. Suma y saldo financiero

3. Características comerciales y tanto. Coste y rendimiento




TEMA 3. OPERACIONES FINANCIERAS A CORTO PLAZO. 1. El descuento comercial: Remesas de efectos.

2. Cálculo de tantos efectivos.

3. Principales activos financieros a corto plazo en el mercado: Letras del Tesoro.

4. Valor de mercado, coste y rendimiento

5. Operaciones dobles

6. Ejercicios propuestos.

6.1. Ejercicios para resolver en pizarra.

6.2. Ejercicios para resolver en laboratorio informático.

2

TEMA 4. VALORACIÓN DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES. 1. Concepto y valor financiero de una renta.

2. Clasificación de las rentas.

3. Valoración de Rentas.

3.1. Valoración de Rentas constantes y temporales.

3.2. Valoración de Rentas constantes y perpetuas.




TEMA 5. OPERACIONES DE CONSTITUCIÓN

1. Concepto

2. Cuadro de constitución

3. Constitución mediante imposiciones constantes

4. Cálculo de tantos efectivos




TEMA 6. OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

1. Concepto

2. El cuadro de amortización

3. Métodos de amortización

3.1. Método francés

3.2. El sistema americano

4. Operaciones de amortización indiciadas y cálculo de tantos efectivos




Tema 1: La lógica financiera

3

TEMA 1: LA LÓGICA FINANCIERA

1. Capital Financiero

2. Leyes financieras






1. Capital financiero

Cuando se habla de capitales, en la mayoría de los casos se está pensando en una cantidad

de dinero, que puede ser en metálico o como valoración de una serie de bienes materiales

o inmateriales, sin detenerse a pensar que ese “capital” toma ese valor en el momento de

tiempo en el que estamos hablando, y que dicho valor puede variar cuando cambiemos la

situación temporal.

Los decisores económicos racionales se basan en la denominada “Ley de subestimación

de las necesidades futuras” y toman el tiempo como un bien económico negativo. Es pues

imprescindible asociar la cuantía al momento de disponibilidad de ésta, y por lo tanto,

cuando hablamos de “capitales financieros” nos referimos a estos dos conceptos a la vez.

Capital financiero ⇒ La medida de un bien económico referida al momento

de su disponibilidad.

⇒ La medida de cualquier activo real o financiero,

expresada por su cuantía y por su vencimiento o momento

de disponibilidad.


4

Fenómeno financiero ⇒ Todo intercambio de bienes económicos en el que

interviene el tiempo, no simultaneidad de los intercambios.

Representación gráfica: Podemos representar los capitales financieros, dado que son un

par de números( )C t; en el sistema de coordenadas cartesianas, el tiempo en el eje de la X

y las cuantías en el eje de la Y. También podemos representar los capitales financieros de

forma simplificada en un sólo eje, tal y como se observa a continuación:

C C C

t t t Se denomina Espacio Financiero “Ε ” al conjunto de todos los posibles capitales

financieros:

( ){ }Ε = ∈ℜC t con C y t; desde una perspectiva subjetiva

( ){ }Ε = ∈ℜ ∈ℜ+C t con C y t; desde una perspectiva objetiva

2. Leyes financieras Valoración de Capitales

Cuando los decisores económicos necesitan comparar capitales financieros, ya sea para

elegir la opción mejor, o para realizar intercambios de capitales, se hace necesario

establecer criterios objetivos de comparación para poder efectuar dichos intercambios o

elecciones

Existen casos en los que la comparación se realiza de forma directa.

( )C C1 2= y t t1 2< ⇒ ( ; ) ( ; )C t C t1 1 2 2f

( )C C1 2> y t t1 2= ⇒ );();( 2211 tCtC f


5

Pero hay situaciones como cuando( )C C1 2> y (t t1 2> ) en los que la comparación no se

puede realizar de forma directa y deberemos de acudir a una comparación indirecta,

refiriendo ambos capitales a un mismo momento del tiempo p (Valoración en un punto p

de referencia).

Para ello definimos capitales equivalentes o intercambiables, que nos permitan establecer

un “Orden de preferencias” en el momento p :

V4 V3 V2 Curvas de indiferencia. V1 V4 > V3 > V2 > V1 Orden de preferencias p t Leyes Financieras

La ley financiera es la expresión matemática del criterio de sustitución del decisor

financiero. A través de ella, los decisores económicos serán capaces de establecer el

orden de preferencias y tomar decisiones en cuanto a qué capitales son intercambiables

o preferibles entre sí.

V = F (C ; t ; p) ; de tal forma que ( V; p) ≈ ( C; t )

Cuando p > t ley financiera de capitalización V= L(C; t; p)

Cuando p < t ley financiera de descuento V= A(C; t; p)

C C V=L(C; t) ← → . V=A(C; t) t p capitalización p t descuento


6

Suma Financiera

Al operar con capitales financieros, podemos estar interesados en:

• Sustituir Varios capitales financieros por uno solo equivalente a todos ellos.

• Un capital financiero también puede ser objeto de descomposición en varios

capitales financieros cuya suma es equivalente al capital inicial.

Dados los siguientes capitales financieros ( ) ( ) ( )C t C t C tn n1 1 2 2; ; ; ;.................; ; y una

ley financiera F (t; p) el capital ( )S;τ es su suma financiera cuando se verifica que:

S = C C C C n′ + ′ + ′ + + ′1 2 3 .................... siendo ( )C ti i; ( )τ;iC′≈

∀ =i n1 2 3, , ,.....,


El mercado siempre ha trabajado bajo supuestos sobre donde situar el punto de

aplicación de las leyes. Si el orden lógico de desplazamiento de los capitales es hacia el

futuro, se sitúa al final de la operación, suponiendo que p=n y en el caso de que el

desplazamiento lógico sea avanzar disponibilidades de capitales, los operadores del

mercado sitúan el punto p en el momento en que se inicia la operación es decir p=0.

Ley de capitalización simple

La ley de capitalización simple de mercado viene expresada como:

)(1);( ninptL ⋅+==

donde i > 0 y “n” es el tiempo que transcurre entre el origen y el final de la operación


7

Ejemplo 1.a) Calcular la cuantía obtenida al invertir 400 € al 5% de interés efectivo

anual durante 10 años en régimen de capitalización simple.

)10(05,01);(

)(1);(

⋅+==⋅+==

nptL

ninptL

Ejemplo 2.a) Calcular la cuantía obtenida al invertir 4.000 € al 8% de interés efectivo

anual durante 4 años en régimen de capitalización simple

)4(08,01);(

)(1);(

⋅+==⋅+==

nptL

ninptL

Tantos equivalentes en capitalización simple

Los tantos son magnitudes derivadas de dimensión (-1) con respecto al tiempo, si se

modifica la unidad de medida del tiempo, se ha de modificar en sentido inverso al

parámetro i.

Los tantos equivalentes son aquellos que aplicados a un mismo capital durante un

mismo periodo de tiempo generan el mismo capital final.

Obsérvese que el periodo de tiempo y el tipo de interés deben estar expresados en las

mismas unidades de tiempo. En los ejemplos previamente presentamos utilizamos la

unidad anual, no obstante podemos expresar ambos parámetros en “m periodos de

año”. En tal caso, debemos definir un tanto de interés im, conocido como “tipo de interés

C0 =

4.000 C

4 ?

0 1 2 3 4

( )€5280

408,01000.4

)1(

4

4

0

=⋅+=

⋅+=

C

C

niCCn

C10

?

0 10

C0 =

400

( )€600

1005,01400

)1(

10

10

0

=⋅+=

⋅+=

C

C

niCCn


8

periodal”, que mide la cantidad de intereses generados al final de cada periodo de

fraccionamiento. Donde mimi ⋅= y despejando podemos obtener el tipo de interés

periodal equivalente en capitalización simple.

m

ii m =

donde “m” es el número de periodos que contiene cada año.

Ley de Capitalización compuesta

La ley de capitalización compuesta de mercado viene expresada como:

L(t; p) = (1+ i)n

donde i > 0 y “n” es el tiempo que transcurre entre el origen y el final de la operación

Para esta ley, no es necesario fijar a priori donde se sitúa el punto de aplicación.

Ejemplo 1.b) Calcular la cuantía obtenida al invertir 400 € al 5% de interés efectivo

anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

10)05,01();(

)1();(

+=+=

ptL

iptL n

Si se hubiese calculado utilizando la ley de capitalización simple (ver ejemplo 1.a) el

resultado hubiera sido un montante de 600 €. La diferencia entre los dos capitales

(51,56€) son los intereses originados por los intereses generados y acumulados hasta el

final.

C0 =

400 C

10?

( )€56,651

05,01400

)1(

10

1010

0

=+=

+=

C

C

iCC nn

0 10


9

Tantos equivalentes en capitalización compuesta

Los tantos equivalentes en capitalización compuesta difieren de los tantos equivalentes

en capitalización simple ya que en capitalización compuesta los intereses generan a su

vez intereses cumpliéndose la siguiente expresión:

( ) ( )mmii +=+ 11

donde el tipo de interés periodal es ( ) 11 /1 −+= mm ii

Por otro lado, de dicha expresión también podemos calcular el tipo de interés efectivo

anual que mide la cantidad total de intereses obtenida al final del año con reinversión.

( ) 11 −+= mmii

Adicionalmente también podemos calcular el tipo de interés nominal que representa la

cantidad de intereses obtenida al final del año sin reinversión1.

m

jiimj mmmm =⋅= ;

Por lo tanto la relación de los distintos tantos es la siguiente.

( ) ( )mm

m

m im

ji +=

+=+ 111

1 Aun teniendo el subíndice m, el tanto nominal siempre es un tanto anual.


10

Ejemplo 3. Calcular el tipo de interés mensual equivalente a un tipo de interés anual del

8 %. Utilizando capitalización compuesta y Capitalización simple.

Interés equivalente en capitalización compuesta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )006434,0

108,01;108,01;11

12

1212/112

1212

12

==−++=++=+

i

iiii

Interés equivalente en capitalización simple.


La ley de descuento simple de mercado viene expresada como:

A (t ; p=0 ) = 1 - d ( n )

donde d > 0 y “n” es el tiempo que transcurre entre el origen y el final de la operación.

Ejemplo 2.b) Calcular el montante equivalente hoy de sustituir un pago de 4.000 euros

dentro de 4 años al 8% de descuento anual en régimen simple

)4(08,01)0;(

)(1)0;(

⋅−==⋅−==

ptA

ndptA

Tantos equivalentes en descuento simple:

En el caso de la ley de descuento simple los tantos equivalentes son los siguientes.

d d m dd

mm m= =.

0 1 2 3 4

C0 ? C

4 =4.000

( )€720.2

408,014000

)1(

0

0

0

=⋅−=

⋅−=

C

C

ndCC n

00667,012

08,0

1212 === ii


11



5.1.1. Dado un capital de 2.000 €, disponible el 31 de enero de 2018 , obtener la

cuantía equivalente el 31 de marzo de 2018, sabiendo que se valora en

capitalización simple a un tipo de interés anual del 12%, si el momento

de valoración (p) para el cálculo de intereses es:

a) 31 de marzo de 2018.

b) 30 de junio de 2018.

c) 31 de diciembre de 2018.

d) Resolver el apartado "c" usando la ley de capitalización compuesta

5.1.2. Establecer el orden de preferencia de los siguientes capitales:

(1.000;t),(1.240.;t+2), (1.500.;t+4) en base a la ley L(t;p) = (1+0,10)(p-t)

5.1.3. Dados una serie de capitales:

• 450 €. disponibles el 16 de junio

• 500 €. disponibles el 1 de julio

• 600 €. disponibles el 1 de agosto

Calcular un capital que, con vencimiento en el 1 de mayo, sea

financieramente equivalente al conjunto de estos capitales. Utilizando la

ley de descuento simple comercial y teniendo en cuenta un tipo de

descuento del 4%.

5.1.4. Obtener los tantos equivalentes al 5% anual para periodos semestrales,

trimestrales y mensuales, en el caso de usar:

a) Capitalización simple.

b) Capitalización compuesta.


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5.1.5. Teniendo en cuenta la importancia de saber calcular tipos de interés

equivalentes. En el siguiente ejercicio se pide:

a) Calcular el tipo de interés efectivo anual equivalente a un tipo de

interés mensual del 0,6%.

b) Calcular el tipo de interés cuatrimestral equivalente a un tipo de

interés nominal anual del 6%.

c) Calcular el tipo de interés nominal anual equivalente a un tipo de

interés efectivo anual del 6% que capitaliza semestralmente.

5.1.6. Un capital de dos millones de € se coloca en capitalización compuesta a

plazo de 5 años. Durante los tres primeros se abonan intereses al 5%

semestral y durante los dos últimos se abonan trimestralmente a un tanto

nominal del 12% anual. Obtener:

a) El montante al finalizar los cinco años.

b) Los tantos efectivos anuales (del primer periodo, del segundo periodo

y de la operación).

5.1.7. Calcular la cuantía de un capital con vencimiento dentro de 80 días que

sea financieramente equivalente a un capital de cuantía 2000€. y

vencimiento en el momento actual, en los siguientes casos:

a) Ley financiera, capitalización compuesta. Tipo de interés efectivo

anual, 2%. Base ACT/365.

b) Ley financiera, capitalización simple. Tipo de interés, 2%. Base

ACT/360.

c) Ley financiera, capitalización compuesta. Tipo de interés nominal del

2% con frecuencia de capitalización anual. Base ACT/360


13


5.2.1 La empresa A tiene tres deudas de 20.000, 40.000 y 50.000 euros con

vencimiento a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el

acreedor acuerdan hoy (punto de aplicación p) sustituir las tres deudas

por una sola de 112.000 euros.

Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de

descuento simple anual.

5.2.2 La empresa B (una empresa de capital riesgo) está pensando en adquirir

un 30% del capital social de la empresa C por un total de 1.250.000€. En

un primer momento considera adecuado mantener la inversión por un

plazo de 5 años. Posteriormente, vendería su participación en dicha

empresa. Ha realizado un Plan de Negocios realizando la siguiente

estimación de beneficios anuales que le corresponden a la empresa de

capitalización riesgo:

• 2019 – 125.000€

• 2020 – 25.000€

• 2021 – 150.000€

• 2022 – 175.000€

• 2023 – 145.000€

¿Por cuánto debería vender la acción considerando que el capital social

de la empresa se compone de 375.000 acciones, y quiere obtener una

rentabilidad del 20%?

Nota: Debe utilizarse una ley de capitalización compuesta.

Tema 2. Operaciones Financieras

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TEMA 2. OPERACIONES FINANCIERAS

1. Operación financiera, definición y clasificación






1. Operación financiera, definición y clasificación

Se denomina operación financiera a todo intercambio no simultáneo de capitales

financieros. Los elementos de una operación financiera son los siguientes:

• Capitales financieros que se intercambian.

• Ley financiera que rige el intercambio financiero.

• Origen: Entrega del primer capital; vencimiento del primer capital.

• Prestamista o acreedor: La persona que entrega el primer capital adquiere una

posición acreedora.

• Prestatario o deudor: La persona que recibe el capital toma una posición deudora, se

le denomina.

• Finalización: Entrega del último capital, vencimiento del último capital.

• Duración de la operación: Tiempo que transcurre entre el inicio y la finalización de

la operación.

• Prestación: Entrega de capitales, posición acreedora.

• Contraprestación: Devolución de capitales debidos, desde la posición deudora.

Clasificación

Las operaciones financieras se pueden clasificar:

• Según duración: Corto plazo (inferior a un año) y largo plazo (superior a un año).


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• Según el sentido crediticio: Unilaterales (si el sujeto acreedor conserva este carácter

durante toda la operación) y Recíprocas (caso contrario al anterior).

• Según el número de capitales: Simples (prestación y contraprestación están

formadas por sólo un capital) y Compuestas (prestación y/o la contraprestación, o

ambas están formadas por varios capitales).

• Según la ley financiera que interviene: Operación de capitalización y de descuento.


Suma financiera

En una operación financiera la suma financiera de los capitales de la prestación ha de

ser equivalente (iguales) a la suma de los capitales de la contraprestación.

Sean {(C1,t1) (C2,t2) (C3,t3) .......(Cn,tn)} los capitales de la prestación y S la suma de los

mismos en el momento τ .

Sean {(C’1,t’1) (C’2,t’2) (C’3,t’3) .......(C’m,t’m)} los capitales de la contraprestación y S’

la suma de los mismos en el momento τ .

S = S’

Saldo financiero

La reserva matemática o saldo financiero viene referido a un momento del tiempo τ y

nos permite conocer el valor del capital debido o capital acreedor en el momento τ .

Otra forma de definir a la reserva matemática es como el capital que restablece el

equilibrio financiero entre las obligaciones de los contratantes.

τττ ∀=∑∑==

m

ssss

n

ss tfCtfC

00

);'(.');(.


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También se puede definir como el capital adicional que salda la operación en el

momento τ .

Por ejemplo, consideremos una operación financiera cuyo período de duración es desde

el 1 de Septiembre de 2.017 al 28 de Agosto de 2.032, si queremos conocer a fecha 31

de Diciembre de 2.022 cuál será la parte debida por el deudor (o la posición del

acreedor) lo que calculamos es el saldo financiero o reserva matemática a fecha 31 de

Diciembre de 2.022.

La forma de cálculo de dicho capital se puede hacer de varias formas.

• Retrospectivo ⇒ Tenemos en cuenta los movimientos de capitales desde el inicio de

la operación hasta el momento τ

• Prospectivo ⇒ Tenemos en cuenta los movimientos de capitales desde el momento

τ hasta la finalización de la operación.

• Recurrente ⇒ Partimos de la existencia de un cálculo previo del saldo financiero en

un momento anterior a τ , calculáremos el saldo financiero en el momento τconsiderando el saldo calculado en un momento anterior a τ , sea τ − s , y los

movimientos de capitales desde τ − s a τ .

C1 C2 C3 Cn

/ / / / Prestación t1 t2 t3 tn C’1 C’2 C’m

/ / / Contraprestación t’1 t’2 t’m

Sea S1 la suma de los Capitales de la prestación desde t1 hasta τ , valorados en τ

Sea S2 la suma de los Capitales de la prestación desdeτ hasta tn, valorados en τ

Sea S’1 la suma de los Capitales de la Contraprestación desde t’1 hastaτ , valorados en

τ

Sea S’2 la suma de los Capitales de la Contraprestación desdeτ hasta t’m, valorados en

τ


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De acuerdo con el Equilibrio estático (Equivalencia Financiera) se cumple

S1+S2=S’1+S’2

Retrospectivo Prospectivo

Si en el momento τ vence un capital, para el cálculo del saldo financiero por el método

elegido, incluiremos o no dicho capital según consideremos que ha vencido un

momento antes o después del momentoτ .

Cuando consideremos que el capital ha vencido un momento antes del cálculo de la

reserva, lo incluiremos en el cálculo por el método retrospectivo y no en el método

prospectivo y se expresa como reserva por la derecha mediante:

Cuando consideremos que el capital vence un instante después del cálculo de dicha

reserva, dicho capital se incluye en el método prospectivo y no en el retrospectivo se

expresa como reserva por la izquierda mediante:

Consideremos que en el momento anterior a τ ; τ − s; Hemos calculado la reserva

matemática en τ − s, tendremos un nuevo capital financiero (Cτ − s; τ − s) ; si es

positivo será un saldo a favor de la prestación, si es negativo será un saldo a favor de la

contraprestación. Para el cálculo de la reserva por el método recurrente, tendremos en

cuanta el capital (Cτ − s; τ − s) y despreciaremos los capitales anteriores a τ − s, ya

que los mismos están incluidos en el cálculo de Cτ − s, obtendremos la reserva en τ

τRSSSS =−=− 2211 ''

R serva o saldo financeroτ → Re

+τR

Rτ−


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Ejemplo 1. Podemos representar un conjunto de capitales de la siguiente forma:

Han transcurrido cuatro años (t=4) y el empresario analiza la posibilidad de abandonar

este proyecto.

¿Qué importe debería entregar a la entidad bancaría (t=4) para saldar la operación? a) Método retrospectivo: por la izquierda y por la derecha

b) Método prospectivo: por la izquierda y por la derecha

c) Método recurrente teniendo en cuenta que en el año 3 la reserva matemática es de 46.331,25€.

0 3 6 1 2 4 5 Años

50.000€ -20.000€ 10.000€ -20.000€ 40.000€ -73.584,21€

( ) ( )€81,647.48

05,01000.20)05,01(000.1005,01000.50

4

3244

=

+−+++=−

−

R

R

( ) ( )€81,647.28

000.2005,01000.20)05,01(000.1005,01000.50

4

3244

=

−+−+++=+

+

R

R

( )€81,48647

05,01000.40)05,01(21,584.73000.20

4

124

=

+−++=−

−−−

R

R

( )€81,28647

05,01000.40)05,01(21,584.73

4

124

=

+−+=+

−−+

R

R

( )€81,647.48

05,0125,331.46

4

14

=

+=−

−

R

R

( )€81,647.28

000.2005,0125,331.46

4

14

=

−+=+

+

R

R


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Cuando trabajemos en operaciones financieras, en las cuáles además de los capitales

propios de la operación pura aparezcan otros adicionales debidos a la realización de la

operación en los mercados financieros donde existen operadores e intermediarios que

cobran por realizar su trabajo, se observa la necesidad de calcular costes efectivos o

rendimientos efectivos de las operaciones teniendo en cuenta el pago de todos esos

intermediarios.

Dichos pagos adicionales se denominan “características comerciales” y pueden

repercutir en ambas partes de la operación (características comerciales bilaterales:

comisiones,...) o sólo en una de ellas (características comerciales unilaterales (notarías,

registros, subvenciones, avales, impuestos...).

En el mercado existe la necesidad de establecer un índice para homogeneizar las

distintas alternativas (productos financieros) que se ofertan, este índice va a ser el rédito

o tanto efectivo.

Para calcular el tanto efectivo de coste o de rendimiento se deben considerar los

siguientes aspectos:

1) Identificar los capitales de la prestación y contraprestación que intervienen en la

operación.

2) Determinar la cuantía de los capitales que intervienen en la operación aplicando

la ley financiera correspondiente.

3) Establecer la equivalencia entre los capitales de la prestación y los de la

contraprestación utilizando una ley de capitalización compuesta.

4) Obtener de dicha equivalencia el tanto efectivo del coste o rendimiento.

Cuando todas las características comerciales son bilaterales (lo que es coste para una

parte, es beneficio para la otra, bonificaciones, descuentos, comisiones etc.) el tanto


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efectivo para el prestamista (tanto efectivo de rendimiento) es el mismo que para el

prestatario (tanto efectivo de coste).

Cuando existen condiciones unilaterales en la operación (impuestos, tasas, gastos

notariales, publicitarios etc.) el tanto efectivo de rendimiento no coincide con el tanto

efectivo de coste.

Ejemplo 2.Podemos representar un conjunto de capitales de la siguiente forma:

Adicionalmente, el empresario debe pagar en t=0 500€ en concepto de comisión de

estudio de la operación a pagar a la entidad bancaria y 1.000€ en concepto de seguro a

pagar a una compañía de seguros.

a) Calcule el tanto efectivo de coste para el prestatario (empresario)

Con el objetivo de conocer la solución utilizaremos un algoritmo iterativo, empleando la

función TIR de la hoja de cálculo Excel.

b) Calcule el tanto efectivo de rendimiento para el prestamista (entidad bancaria)

Con el objetivo de conocer la solución utilizaremos un algoritmo iterativo, empleando la

función TIR de la hoja de cálculo Excel.

0 3 6 1 2 4 5 Años

50.000€ -20.000€ 10.000€ -20.000€ 40.000€ -73.584,21€

( )641

52

)1(12,584.73)1(000.20)1(000.201000500

)1(000.401000.1050000−−−

−−

+⋅++⋅++⋅++

=+⋅++⋅+

ddd

dd

iii

ii

( )641

52

)1(21,584.73)1(000.20)1(000.20500

)1(000.401000.1050000−−−

−−

++++++=++++

aaa

aa

iii

ii


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La TAE (Tanto o Tasa Anual Equivalente) es el tanto efectivo procedente de la Ley de

capitalización compuesta que iguala la prestación a la contraprestación, recogiendo en

ellas aquellas características comerciales que plantea la Circular 8/1.990 del Banco de

España sobre transparencia de las operaciones. Actualmente en vigor la Circular 5/2012,

de 27 de junio, del Banco de España, a entidades de crédito y proveedores de servicios

de pago, sobre transparencia de los servicios bancarios y responsabilidad en la

concesión de préstamos.

En la circular, se recoge la expresión para el cálculo de la equivalencia entre los valores

actuales de las disposiciones (D) y los reembolsos (R), utilizando para ello una ley de

capitalización compuesta.

i = T.A.E

( )i i k

k= + −1 1( )D i R in

n

n

k

t

mm

m

ktmn

=

−

=

−∑ ∑+ = +1 1

1 1( )


22



4.1.1. En una entidad financiera realizamos las siguientes operaciones:

• Imposiciones de capitales: (100; 0) (250; 2) (30; 4) (80; 5)

• Disposición de fondos: (40; 1) (120; 3).

Se pide: Calcular el saldo financiero en el momento 9, siendo la ley financiera

utilizada la de Capitalización Compuesta y considerando un tipo de interés

efectivo de i = 0,02. El tiempo viene expresado en años.

4.1.2. Sea la operación:

• Prestación: (5000; 2016), (6000; 2020)

• Contraprestación: (3000; 2017), (4000; 2018), (X; 2022)

• La ley pactada es la de Capitalización Compuesta con un tipo de interés

efectivo de i=0,05.

Se pide:

a) Calcular la cuantía X.

b) Calcular la R+2019 por los métodos prospectivo y retrospectivo.

c) Calcular la R+2021 por el método recurrente.

4.1.3. Dado el siguiente intercambio de capitales financieros entre la Prestación y

Contraprestación.

• Prestación: (2.000, 2015) (3.000, 2018) (5.000, 2020)

• Contraprestación: (1.000, 2016) (X; 2022)

• La ley financiera que rige el intercambio es la de Capitalización Compuesta,

• El tipo de interés efectivo i = 0,10.

Se pide:

a) Calcular el valor de X

b) Calcular R- 2018 por el método retrospectivo


23

4.1.4. Se concierta una operación consistente en la entrega de los siguientes capitales:

• Prestación: (4000; 2018), (6000; 2021)

• Contraprestación: (2000; 2019), (3000; 2020), (X; 2022)

• Ley de Capitalización Compuesta y tipo de interés efectivo de i= 0,10.

Se pide:

a) Calcular el valor de X

b) Calcular el saldo financiero por la derecha y por la izquierda en 2019 por el

método retrospectivo.

c) Calcular el saldo financiero por la derecha y por la izquierda en el año 2020

por el método prospectivo.

d) Calcular el saldo financiero por la izquierda en el año 2020, 2021 y 2022

por el método recurrente.

4.1.5. En una operación financiera con una duración de 3 años, solo hay un capital

en la prestación por importe de 1.000€, con fecha 01 de Enero de 2019 y la

contraprestación realiza las devoluciones a 31 de Diciembre de cada uno de

los ejercicios, y los importes son constantes. Si la Ley financiera utilizada es

la de Capitalización Compuesta y el tipo de interés efectivo es i= 0,10.

Se pide:

a) Calcular el importe de las devoluciones.

b) Calcular saldo financiero al finalizar el segundo año (cálculo de la

reserva matemática por la derecha).

4.1.6. Para poder recibir el 01.11.2019 una cuantía de 2.500.000€ se van a realizar

tres ingresos de idéntica cuantía y vencimientos el 01.01.19; 01.03.19 y

01.05.19. Si dichos ingresos se valoran con la Ley de Capitalización

Compuesta y un tipo de interés efectivo anual del 14,04%.

Se pide:

a) Calcular la cuantía de los tres pagos a realizar.

b) Si se cancela la operación el 01.04.19, calcular el valor de la reserva

matemática por los métodos retrospectivo y prospectivo.

c) Calcular el valor de la reserva el 01.06.19 considerando el resultado b).


24


4.2.1. En una operación financiera con los siguientes capitales:

• Prestación: (2.000; 16-1) (2.500;14-2) (3.000;8-3) (2.000;7-5)

• Contraprestación: (4.500; 19-2) (3.000;26-3) (2.060; 25-9)

Tabla con los días que transcurren entre cada periodo.

Se pide: Calcular el tipo de interés efectivo anual de la operación.

Nota: En dicho ejercicio deben plantearse la ecuación utilizando una Ley de

Capitalización Compuesta. El cálculo debe realizarse utilizando un algoritmo

iterativo, como por ejemplo la función TIR de la hoja de cálculo Excel.

4.2.2. El tesorero de una empresa, tras realizar su previsión de tesorería, comprueba

que existe un excedente de tesorería de 10.000€. Con el objetivo de no tener

recursos ociosos en la organización, decide invertir dicho excedentes en bonos

de empresa.

En concreto, decide invertir los 10.000€ en una empresa de energías

renovables. A cambio recibirá en cada trimestre, durante 4 años, un cupón del

1% del capital invertido por pago de intereses. La compañía dedicada a la

distribución de electricidad, le devolverá el importe que le ha prestado al final

del cuarto año

Teniendo en cuenta los datos anteriormente expuestos, ¿Cuál será el

rendimiento que obtendrá la empresa con la inversión realizada y el coste

efectivo que supondrá para la compañía eléctrica el utilizar este tipo de

financiación?

Nota: En dicho ejercicio deben plantearse la ecuación o ecuaciones para el

cálculo del coste o rendimiento en términos anuales. El cálculo debe realizarse

utilizando un algoritmo iterativo, como por ejemplo la función TIR de la hoja

de cálculo Excel.

14/2 19/2 8/3 26/3 7/5 25/9 Del 16/1 29 34 51 69 111 252


25

4.2.3. Los capitales que intervienen en una operación financiera son los siguientes:

• Prestación (300; 0 ) (200; 1)

• Contraprestación (100; 2) ( 485,927; X)

Se pide: Calcular X, siendo la ley financiera utilizada la de Capitalización

Compuesta y considerando un tipo de interés efectivo de i = 0,05. El tiempo

viene expresado en años.

Tema 3: Operaciones Financieras a corto plazo

26

TEMA 3. OPERACIONES FINANCIERAS A CORTO PLAZO.

1. El descuento comercial: Remesas de efectos.



4. Valor de mercado, coste y rendimiento

5. Operaciones dobles


6.3.Ejercicios para resolver en pizarra.

6.4.Ejercicios para resolver en laboratorio informático.

1. El descuento comercial: Remesas de efectos.

En la práctica de los negocios es frecuente realizar operaciones comerciales en las cuales el

pago de los bienes o servicios objeto de la transacción se aplace en el tiempo. Para

formalizar la operación de pago por parte del cliente se suelen utilizar las Letras de

Cambio como documento donde se materializa el compromiso de realización del pago en

un momento futuro.

La operación de descuento de efectos está destinada a proporcionar liquidez a las

empresas, ya que transforma los créditos comerciales concedidos por los proveedores a sus

clientes en dinero efectivo. En función del tipo de empresas y de su capacidad de

negociación, el aplazamiento del pago será mayor o menor. Los plazos suelen variar desde

30 días hasta un máximo de 120 días.

Aunque generalmente en las operaciones de descuento comercial se descuenten letras de

cambio, también pueden descontarse otros títulos de crédito, como pagarés, cheques,

certificaciones de obra, etc.

En la operación de descuento de efectos, la entidad financiera realiza dos funciones, por un

lado, proporciona liquidez al conceder un crédito al cliente de cuantía igual al nominal del


27

efecto descontado y por otro lado efectúa la gestión del cobro del efecto librado, por la cual

recibe una comisión de cobranza.

producto

LIBRADOR descuento (0) BANCO gestión cobro (n) LIBRADO

Pago vía letra

Normalmente la entidad financiera se ocupa de la gestión del cobro de la letra, pero si el

librado de la letra no se hace cargo de ella a su vencimiento, el banco reclama el pago a su

cliente, el denominado librador, que es el que realizó la operación de descuento de la letra.

En el descuento comercial es habitual la utilización de la ley de descuento simple

comercial. Para calcular la cantidad C1 obtenida en t1 que denominamos “Efectivo de la

Letra (E)”, utilizamos el factor de descuento, suponiendo que el punto de aplicación de la

ley coincide con el momento de disposición del efectivo t1. La cantidad C2 del momento t2

es el “Nominal de la letra (N)”, siendo n, los días naturales que transcurren entre t1 y t2 y

“d” el tanto anual de descuento expresado en tanto por uno. La diferencia entre el nominal

y el efectivo de la letra se denomina descuento (D).

E N 0= t1 n= t2

⋅−⋅=360

1n

dNE

D=N-E


28

Ejemplo 1: Se desea descontar una letra de 2.550 euros cuando aún faltan 60 días para

su vencimiento a un tipo de descuento del 7% anual.

Se pide: Conocer el efectivo recibido por el cedente y la cuantía total del descuento

25,520.2

360

6007,01550.2

=

=

⋅−⋅=E

D=2.550-2.520,25= 29,75

Hasta ahora hemos descrito la operación pura, sin tener en cuenta las características

comerciales que acompañan al descuento de efectos. Ahora bien, la operación en el

mercado al intervenir unos mediadores financieros conlleva unas características

comerciales; las más comunes son: Comisión por negociación que es un porcentaje sobre

el nominal; Timbre, es el soporte documental del Impuesto sobre Actos Jurídicos y

Documentados, que debe ser pagado por el cliente, y que varía según la cuantía del

nominal del efecto y el plazo de vencimiento. La Comisión por gestión de cobro es un

porcentaje sobre el nominal. El descuento de efectos está exento del pago del I.V.A. pero

no así los servicios prestados por la entidad financiera cuando esta se encarga del cobro del

efecto (la gestión de cobro sí paga el IVA).

Así, el banco ingresará a su cliente el Efectivo neto, también denominado Líquido:

TgNEE n −⋅−=

donde “g” es la comisión de cobro y “T” es el timbre.


29


su vencimiento en las siguientes condiciones:

• Tipo de descuento: 7,5 % anual

• Comisión: 3‰ (mínimo 5 euros)

• Timbre: 6 euros

Se pide: Conocer el efectivo neto recibido por el cedente.

02,513.3

360

50075,01550.3

=

=

⋅−⋅=E

En = E – N·g – T En = 3.513,02 – 3.550·0,003 – 6= 3.496,37

En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco

con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales,

para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales. El documento en

el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociación.

Para el proceso de liquidación se calcula aplicando el denominado método del divisor

fijo con números comerciales, siendo el divisor fijo= 360/ tipo de descuento y el número

comercial= el nominal por los días que descuenta el banco el efecto Ni*ni:

)/(

360

1

11

odivisorfijercialesNúmeroscomNE

nNd

NE

m

i i

i

m

i i

m

i i

−=

=⋅⋅−=

∑

∑∑

=

==

Para ello se confecciona la factura con todos los efectos que componen la remesa y se

suman cada uno de los tres siguientes conceptos:

– Importe total números comerciales

– Cuantía del divisor fijo (DF).


30

Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte. El

importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal total de la

remesa el montante de todos los gastos habidos.

Ejemplo 3: Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos:

Nominal Días de descuento 30.000 € 25 25.000 € 30 18.000 € 35

Las condiciones de descuento son:

• Tipo descuento: 7,5%. • Comisión: 5‰ (mínimo 90 euros). • Correo: 6 euros/efecto. Se pide: Obtener el efectivo neto total del descuento de la remesa.

Nominal Días Números

Comerciales Tipo Comisión Correo

30.000 € 25 750.000 0,075 150 6 25.000 € 30 750.000 0,075 125 6 18.000 € 35 630.000 0,075 90 6 73.000 € = 2.130.000 DF= 4800 =365 =18

E= 73.000-(2.130.000/4800)=72.556,25

En= 72.556,25-365-18= 72.173,25

Una modalidad de descuento es el denominado descuento con compensación en el que se

producen retenciones “r” sobre el nominal que se remuneran a un tipo de interés “i”

durante la vida de la operación en C/C o C/A de teórica libre disposición. En esta

modalidad, los capitales de la operación pura para el prestatario serían los siguientes:

Nr -E ⋅ )365

niN(1rN- ⋅+⋅+

0 n


31


El tanto efectivo de coste es el tipo de interés real que paga el cliente, teniendo en cuenta

tanto las características comerciales bilaterales como unilaterales.

El tanto efectivo de rendimiento es el que percibe el banco y se tiene en cuenta

únicamente las características comerciales que le afectan.

Para su cálculo utilizaremos la Ley de Capitalización Compuesta, y lo que estaremos

buscando en cada caso es el tanto efectivo procedente de dicha ley que iguale lo realmente

recibido con lo realmente aportado por cada una de las partes.


su vencimiento a un tipo de descuento del 7 % anual.

Se pide: Conocer el coste efectivo de la operación para el cedente

074,0

550.2)1(25,520.2 365

60

==+⋅

ic

ic


La operación de compra de Letras del Tesoro o de otros activos asimilables, es una

operación de inversión para aquellas empresas o particulares que decidan realizarla. Con

este tipo de operaciones se pretende obtener una rentabilidad mediante la adquisición de

activos cuya vida es cercana a un año.

El denominado grupo de activos a corto plazo está compuesto por los pagarés de empresa y

de instituciones públicas y por las Letras del Tesoro. En este tema vamos a conocer el

funcionamiento de las Letras del Tesoro ya que el resto de activos pertenecientes a este


32

grupo presenta características similares en cuanto al funcionamiento del cálculo

matemático-financiero.

Las Letras del Tesoro son títulos de deuda pública emitidos a corto plazo (con una

duración no superior a 12 meses), emitidos al tirón, o descuento, con cupón cero y con

un nominal 1.000 €. Se emiten al descuento por lo que el precio de compra será inferior

al valor nominal, salvo en el caso de rentabilidades negativas. Estos títulos se

representan mediante anotaciones en cuenta en la Central de Anotaciones que está

gestionada por el Banco de España.

Siguiendo la operatoria del Tesoro Público, la ley que rige la operación depende de la

duración de esta. Así, en estas operaciones con duración inferior a un año, se utiliza le

ley de capitalización simple.

El procedimiento de emisión de las Letras del Tesoro es una subasta, en la cual

cualquier persona, ya sea física o jurídica puede presentar una petición, si bien lo normal

es que los particulares no operen por cuenta propia sino que lo hagan mediante una

entidad gestora del mercado (bancos, cajas de ahorro, sociedades de valores, etc.).

Generalmente, las Letras a 3 y 9 meses se subastan el cuarto martes de cada mes y las

Letras a 6 y 12 meses se subastan generalmente el tercer martes de cada mes.

Las peticiones que se pueden realizar al acudir a la subasta son de dos tipos: Peticiones

competitivas, en las cuales el ofertante que realiza la petición indica el precio "P" que

está dispuesto a pagar por las letras solicitadas. Peticiones no competitivas, en este

tipo de oferta el demandante no fija el precio "P" al que está dispuesto a comprar la

letra, sino que es precio-aceptante del resultado de la subasta. La cantidad máxima del

nominal de las peticiones no competitivas es de 200.000 €.

Para la adjudicación de la subasta, el Tesoro ordena las peticiones competitivas de

mayor a menor precio ofertado (PO), fijando cual es el precio mínimo (Pmin) al cual se

aceptan ofertas. Todas las ofertas por debajo de ese precio mínimo quedan fuera de la

adjudicación. Después se calcula el precio medio ponderado (PMP) de todas las ofertas

admitidas. Por último se determina el precio a pagar por cada oferta; éste será:


33

Peticiones competitivas:

Pmin <PO<PMP PO

PO>PMP PMP

Peticiones no competitivas Precio medio ponderado (PMP)

Con este sistema de adjudicación de la subasta por precio ofertado se fija la cuantía "P"

a pagar en t1 (prestación), siendo el nominal N=1.000 €, a devolver en t

2, sin hacerse

referencia explícita al rendimiento de la operación. Aunque las Letras del Tesoro son

activos emitidos al descuento, para el cálculo del tipo de interés de la operación se

utiliza una ley de capitalización simple.

P N=1000€

0 n = (número de días)

000.1360

1 ==

⋅+ Nn

iP


34

Fuente: www.tesoro.es

4. Valor de mercado, coste y rendimiento.

En la emisión de Letras del Tesoro no existen características comerciales bilaterales, sin

embargo, normalmente el pequeño inversor al no acudir directamente a la subasta y

adquirir las Letras por medio de un intermediario financiero sí suele tener que hacer

frente al pago de comisiones.

Si este intermediario financiero compra la Letra por cuenta de su cliente el precio al que

le facilita la Letra a su cliente coincidirá con el precio de adjudicación en la subasta;


35

además existirá una comisión de mantenimiento y una comisión de amortización (a

pagar en la fecha de vencimiento), ambas expresadas como un porcentaje sobre el

nominal.

n

n

ao CNiCP −=+⋅+ 365)1()(

Las Letras del Tesoro son activos de elevada liquidez, debido a la existencia de un

mercado secundario en el cual comprar o vender las Letras mientras están en

circulación. Esto implica que en todo momento existe un precio de compra-venta de

todas las emisiones vivas, de manera que si queremos comprar o vender Letras del

Tesoro siempre encontraremos contrapartida a dicho precio.

Fuente: www.aiaf.es

El valor de mercado de la letra varía de forma inversa a la evolución de los tipos de

interés. Si denominamos Cs al precio que tendría la letra en el momento “s” y los tipos

de interés se mantienen estables, es decir el tipo de interés de estos activos en este

momento es el mismo que cuando se emitieron, estaríamos en la siguiente situación:

i0 = is Vs= Cs


36

Pero si los tipos de interés en “s” están por debajo o por encima del que originalmente

tenía la Letra, entonces la situación sería:

i s > i

0 Vs < Cs

is < i

0 Vs > Cs

Gráficamente, para una Letra emitida a un año, y con tipos de interés positivos:

N

Cs

Vs

P

0 s n

Para calcular Vs (que es el valor de mercado), tenemos que tener en cuenta el tipo de

interés de valoración en “s” y el tiempo de vida que le queda a la Letra (n-s)

Nsn

iV ss =−⋅+⋅ )360

1(

Ejemplo 5: Un inversor adquiere una Letra del Tesoro a 364 días en el momento de su

emisión. El precio asciende a 100,25% sobre el valor nominal. Calculad la rentabilidad

efectiva obtenida por el inversor:

a) Si mantiene la letra hasta su vencimiento.

b) Si vende a la letra pasados 78 días y el tipo de interés de mercado en este momento

i=-0,0185.

a) 1002,5· (1+i)364/365 =1000 � i=-0,025

b) �� ∙ �1 − 0,0185 �� = 100; �� = 101,4916

1002,5· (1+i)78/365 =1014,9164� i=0,059293

Nota: Recuerde que el nominal de la Letra es de 1000 euros y que los precios se

expresan en % sobre el valor nominal.


37

5. Operaciones dobles.

Consisten en que las partes contratantes acuerdan cerrar simultáneamente dos

operaciones simples, una de compra y otra de venta, ya sea la primera al contado y la

segunda a plazo o las dos a plazo. El comprador de la primera operación será el

vendedor de la segunda y viceversa. Se trata de operaciones en firme, pactándose el

precio de venta y de recompra, a unas fechas determinadas (la primera fecha se

denomina fecha valor y la segunda fecha vencimiento). Dentro de las operaciones

dobles, cabe distinguir entre:

• Operaciones simultáneas: las dos operaciones (de compra y de venta) se refieren al

mismo tipo de activo y por el mismo importe nominal. El comprador tiene plena

disponibilidad de los valores adquiridos, con independencia de la fecha en que se ha

contratado la operación de retorno.

• Operaciones Repos: Un repo es una operación con pacto de recompra, es decir, una

entidad financiera vende un activo con un pacto de recompra por un precio

determinado dentro de un tiempo determinado. Esta operación también se conoce

como “Repurchase Agreement” o “Sale and Repurchase Agreement” y no conlleva

riesgos asociados a la variación de tipos de interés, dado que se realiza a un tipo de

interés determinado en el inicio de la operatoria Repo. Los tipos de interés

ofrecidos dependerán de los tipos de interés de la Deuda Pública.

El poseedor de títulos de renta fija que necesita liquidez puede utilizar el Repo para

obtener dinero, utilizando como colateral el título o activo de deuda pública, el

compromiso de recompra por parte del vendedor inicial en el repo garantiza el cierre

final de la operación.

Desde la perspectiva del inversor, los Repos permiten operar en periodos a muy corto

plazo, como días o semanas, y son óptimos como productos de inversión en un activo

seguro, ya que la operación Repo pacta el precio de venta y recompra, por lo tanto pacta

la rentabilidad de la operación (ir) en el momento inicial, siendo por tanto una operación

predeterminada. La duración máxima de un Repo es la vida que le queda al título. Hay


38

distintos tipos de Repo en función de su duración, los de “fecha fija” en el los que

conocemos el día de venta y el de recompra y los Repos “a la vista” en los que se conoce

el día de venta y el interés del repo, dejándose abierto su cierre.

La estructura financiera de una operación Repo es la siguiente:

E1 ir E2

0 t=n

Calculándose los precios en función del tipo de interés o viceversa:

21 3601 E

niE r =

⋅+

Ecuación de cálculo de coste del repo: En esta ecuación hay que tener en cuenta que a la

compra y a la venta se han de pagar comisiones de venta (Cv) y de recompra (Cr).

r

t

v CEiCE +=+⋅− 2365

1 )1()(


39

6. Ejercicios propuestos 6.1. Ejercicios para resolver en pizarra

6.1.1. Sea un efecto con vencimiento el 16 de noviembre y nominal 2.000€, que

se quiere descontar el día 28 de octubre. El tanto de descuento aplicado

es del 5%, la comisión del 0,2% y el timbre correspondiente a ese

nominal de 5 €. Calcular los costes y rendimientos efectivos de la

operación.

6.1.2. Una empresa negocia con su entidad financiera la reducción del tipo de

descuento que ésta le aplica al descontar sus remesas de efectos

comerciales. La entidad financiera le ofrece una reducción del tipo actual

del 8% a otro del 7%, pero a cambio le exige la retención del 10% del

nominal de las remesas en una cuenta remunerada a un tanto anual del

1% (en esta cuenta utiliza año de 365 días). Sabiendo que, por término

medio, la empresa descuenta remesas con un nominal de 6.000 € y un

plazo de 90 días, y que la comisión de negociación es del 0,2% y el

timbre a aplicar es de 18 €. Teniendo en cuenta el coste, ¿le conviene a

la empresa este cambio en las condiciones con su entidad financiera?.

6.1.3. Calcular el tipo de interés al que se compra una Letra del Tesoro si se ha

emitido a doce meses (363 días) y el precio a pagar es de 100,5% sobre el

valor nominal.

6.1.4. En una subasta de Letras del Tesoro, el precio marginal se fijó en

1000,913€, y el precio medio en 1000,980€. Sabiendo que la

amortización se realiza a los 364 días y que el nominal de las letras es de

1.000 €:

a) Tipo de interés medio de la emisión.

b) Para una letra adquirida al precio marginal, si la entidad financiera a

través de la cual se compró, percibe una comisión de suscripción del


40

0,35% y una comisión de venta o amortización del 0,35%, calculad el

tanto de efectivo de rentabilidad que obtendrá el suscriptor si mantiene

la letra hasta amortización.

c) Si el comprador de la letra la vende cuando han transcurrido ciento

veinticinco días al precio de 1000,950€. Calculad el tanto de

rentabilidad para el nuevo comprador de la letra sabiendo que la

mantiene hasta amortización y paga las mismas comisiones.

6.1.5. Una persona ha adquirido al emitirse seis Letras del Tesoro al precio

medio, el tipo de interés medio de la emisión ha sido del -0,25%.

Posteriormente cuando han transcurrido ciento cincuenta días desde la

fecha de emisión, las vende a un precio del 100,15% sobre el valor

nominal.

Calcular, si la duración de la letra es de un año (364 días):

a) Cuantía que desembolsó a la compra y precio medio de salida de esta

emisión.

b) Rentabilidad que obtiene esa persona si ha de pagar una comisión del

0,3% al adquirirlas y del 0,35% a su venta.

c) Rentabilidad que obtendrá el comprador si mantienen las letras hasta

su vencimiento sabiendo que se aplican las mismas comisiones que en

el caso anterior.

6.1.6. Una empresa necesitada de liquidez vende de una Letra del Tesoro

emitida a 364 días pero a la que le restan 150 días para el vencimiento. El

tipo de interés de mercado en el momento de la venta es del 0,75%. El

tipo de interés de emisión de la letra fue del 0,50%. Las comisiones

aplicadas en la suscripción y en la venta son del 2‰. Calcular el efectivo

que obtendrá y la rentabilidad efectiva obtenida en la operación de

compra y venta de la Letra del Tesoro.


41

6.1.7. Una empresa que posee una Letra del Tesoro a la que le quedan 160 días

hasta su vencimiento necesita financiación durante 15 días, por lo que

decide realizar una operación Repo a ese plazo con el banco con el que

trabaja habitualmente. El tipo de interés de mercado para las Letras del

Tesoro en el momento en que se va efectuar la Repo es del 0,7%. El tipo

de interés pactado para la operación Repo es del 3%. Calcular:

a) El importe que deberá pagar la empresa al finalizar la operación Repo.

b) El coste financiero para la empresa de la operación Repo.


6.2.1. Sea una remesa de efectos de las siguientes características:

Nominal(€) Vencimiento Timbre(€) 2000 16/11 5 3500 26/11 33

Se quiere descontar el día 28 de octubre, y el tipo de descuento es del

8%. La comisión cobrada por el banco es del 0,2% del nominal.

a) Calculad el coste y rendimiento efectivos de la operación.

b) Si realiza la operación con compensación, siendo la retención del 15%

del nominal y remunerándose al 0,5%, recalcular el coste y

rendimiento efectivos.

6.2.2. Una persona realiza una petición no competitiva en la subasta de Letras

del Tesoro a un año. El volumen de peticiones no competitivas asciende a

100 millones. Los precios ofertados y los volúmenes para las peticiones

competitivas cuyo precio es superior al marginal fijado por el Tesoro, son

los siguientes: 100,85% (120 mill.), 100,60% (150 mill.), 100,52% (50

mill.). Sabiendo que el Tesoro piensa adjudicar 400 millones, calcular el

precio que pagará esta persona por la Letra.


42

6.2.3. Obtener el coste efectivo de descontar dos efectos con vencimiento y

condiciones de descuentos siguientes:

Nominal de la letra

Vencimiento Tipo de descuento comercial

Comisiones de descuento

Timbre IAJD

20.000 50 días 7% 1 por mil 60 55.000 100 días 7,5% 1 por mil 250

6.2.4. Se adquiere en el mercado primario una Letra del tesoro a 12 meses (361

días) por 999,5 €. Trascurridos 2 meses (60 días) se compra una Letra en

el mercado secundario de esta misma emisión por 1000,50 €. Al tratarse

de la misma emisión ambas se amortizan en la misma fecha. Calcular la

rentabilidad obtenida por el inversor.

Tema 4. Valoración de Rentas. Rentas Constantes

43

TEMA 4. VALORACIÓN DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES.

1. Concepto y valor financiero de una renta.


3. Valoración de Rentas.

3.1. Valoración de Rentas constantes y temporales.





1. Concepto y valor financiero de una renta.

Concepto: Desde un punto de vista financiero se denomina renta a una

distribución de capitales asociada a una partición del tiempo T

denominado duración. Por lo tanto, a cada subintervalo, denominado

período de maduración de la renta, le corresponde un capital

financiero llamado término de la renta, que se encuentra disponible

dentro del mismo sub-intervalo.

De esta forma, el intervalo de Tiempo (T) se divide en diferentes

subintervalos (ti-1; ti), denominados periodos de maduración. En cada uno

de estos subintervalos se genera un capital financiero (C;τ ) denominado

término de renta, donde τ esta dentro del periodo de maduración.

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]nnnn ttC

ttC

ttC

;;

.........................

;;

;;

1

2122

1011

−↔

↔

↔

τ

ττ


44

Origen de la renta: Es el momento temporal correspondiente al extremo inferior del

primer período de maduración t0.

Final de la renta: Es el momento temporal que coincide con el extremo superior del

último período de maduración tn.

Duración de la renta: Periodo temporal que media entre el origen y el final de la renta

(tn-t0).

Ejemplos de rentas: Pago del alquiler de un inmueble, pago de las anualidades de un

préstamo, sueldo de un trabajador, etc.

Valor Capital o financiero de una renta: Dada una determinada renta y fijada la ley

financiera de valoración F(t, p), llamamos valor capital o financiero de la renta en un

momento del tiempo α al capital financiero cuya cuantía es la suma financiera de

todos los términos de la renta en α .

Una cuestión importante y que ayuda en los procesos de valoración de rentas es la

capacidad de transformar unas rentas en otras equivalentes. Dada una determinada renta

y una ley financiera de valoración, esta renta se puede transformar en otra

financieramente equivalente, siendo iguales los valores capitales de las rentas

equivalentes en cualquier momento del tiempo.


Según la naturaleza de las variables:

Hablamos de rentas ciertas: cuando son conocidos los términos de la renta y la

duración.

( )V C fSS

N

sα τ α==∑

1

;


45

Hablamos de rentas aleatorias: Cuando alguna o algunas de sus variables depende de

un suceso aleatorio.

Según la cuantía de sus términos:

Rentas constantes: Cuando la cuantía de los capitales es constante. Si la cuantía es la

unidad (1) tenemos el caso especial de la renta unitaria.

Rentas variables: Cuando las cuantías de los capitales son distintas. Un caso especial

ocurre cuando los términos de la renta varían siguiendo alguna estructura matemática

conocida, así podemos hablar de rentas que varían en progresión aritmética, geométrica,

en forma polinómica, etc.

Según la disponibilidad:

Renta prepagable: Cuando el vencimiento de los capitales financieros que conforman

la renta coincide con los extremos inferiores de los períodos de maduración.

Renta postpagable: Cuando el vencimiento de los capitales financieros que conforman

la renta coincide con los extremos superiores de los períodos de maduración.

Según la amplitud de los períodos de maduración:

Rentas discretas: Cuando los periodos de maduración son finitos.

Rentas continuas: Cuando los períodos de maduración son infinitesimales,

produciéndose un flujo continuo de capitales.

Según la duración de la renta:

Rentas temporales: Duración finita. Se conoce el origen y el final de la renta.

Rentas perpetuas: Duración infinita. Se conoce el origen, pero no el final de la renta.

Según la posición del punto de valoración:

Rentas inmediatas: Cuando el momento de valoración está situado dentro del Intervalo

de duración de la renta.

Rentas diferidas: Cuando el momento de valoración de la renta es anterior al origen de

la renta.

Rentas anticipadas: Cuando el momento de valoración es posterior al final de la renta.


46

3. Valoración de Rentas

3.1. Valoración de rentas constantes y temporales.

• Renta postpagable.

La renta unitaria constante y postpagable, vendría definida por los siguientes capitales:

(1,t1) ; (1,t2) ; (1,t3) ;..................... (1,tn-1) ; (1,tn) .

1 1 ............................................................. 1 t0 t1 t2 tn

Para obtener el valor actual de esta renta, deberemos valorar cada uno de los capitales

que conforman los diferentes términos de la renta en el origen (t0), utilizando la ley de

capitalización compuesta, y así obtendremos S que sería la suma de los capitales

valorados en el origen.

nn iiiiS −−−−− ++++++++= )1()1(..................)1()1( )1(21


47

S, por lo tanto, es la suma de una progresión geométrica de razón ( )1 1+ −i .

Aplicando las propiedades de la progresión geométrica2, obtenemos:

El valor inicial se simboliza por an i :

an i

= 1− (1+ i )−n

i

El valor final de la renta se obtiene mediante la suma de los términos de renta valorados

en el momento n y se simboliza mediante ins :

sn i

= (1+ i )n −1

i

Los capitales (an i

;0) y ),( nsin son equivalentes de tal forma que se tiene que

cumplir necesariamente que n

ininis )1(a +⋅=

Para una renta constante de cuantía C, prepagable y duración n por aplicación de las

propiedades de las funciones financieras obtendremos que el valor inicial V0 y el valor

final Vf son los siguientes:

�� = � ∙ a�¬�; �� = � ∙ ��¬�

�� = ��(1 + ")�

2 Recordamos que la suma de una progresión geométrica de razón q<1 es igual a q

qaa n

−⋅−

11

[ ].

)1(1;

)1(

)1(1)1(

)1()1(1;)1(1

)1()1()1(

1

1

111

11

i

iS

ii

iiS

iiiquedoconsiderani

iiiS

nn

n

−

−

−−

−−−

−−−

+−=+⋅

+−⋅+=

+⋅=+−+−

+⋅+−+=


48

Ejemplo 1: Una estudiante ha de pedir un préstamo al banco para realizar un máster, el

banco tiene una línea de concesión de préstamos asequibles para estudiantes y tras

analizar su expediente académico de grado, decide concederle el préstamo de 3000€ a

devolver en mensualidades constantes durante 4 años, aplicando un tipo de interés del

2% nominal. ¿Cuál será la mensualidad que se deberá pagar para hacer frente a la

devolución del préstamo? Finalmente, ¿Cuál ha sido el valor monetario del máster

después de 4 años?

Estamos hablando de una operación cuyo valor inicial es de 3000 € y se ha de devolver

en 48 mensualidades. El tipo de interés hay que transformarlo en mensual.

"$% = 0,0212

V0

= 3000= C(1− (1+ i

12)−48

i12

) = C46,0933

C = 3000

46,0933= 65,08€

� � = ��(1 + "$%) � =3249,64€

Renta constante pospagable y anticipada. La valoración se produce en un momento

posterior al final de la renta (n). Supongamos que el momento de valoración es (n+K),

el valor final en (n+k) sería:

Renta constante pospagable y diferida. La valoración se produce en un momento

anterior al inicio de la renta, suponemos que el inicio de la renta es el momento d, y la

valoración en el momento 0 sería:

in

k

inkf siCsCV ⋅+⋅== )1(/

in

d

indo iCCV a)1(a/ ⋅+⋅== −


49

• Renta prepagable.

La renta unitaria constante y prepagable, vendría definida por los siguientes capitales:

(1,to) ; (1,t1) ; (1,t2) ;..................... (1,tn-2) ; (1,tn-1)

1 1 1 .............................................. 1 t0 t1 t2 tn-1 tn

Observemos que en el caso de la renta pospagable el primer capital financiero era (1,t1)

y el último capital (1,tn ). En el caso de renta prepagable el primer capital financiero es

(1,t0) y el último capital (1,tn-1).

Aplicando los mismos criterios de valoración que en el punto anterior, para el caso de la

renta temporal unitaria y prepagable, obtendremos las siguientes valoraciones:

Valora inicial: Valor final:

Si la cuantía de la renta es C:

infinsCVCV &&&& ⋅=⋅= ;a0

Renta constante prepagable y anticipada. La valoración se produce en un momento

posterior al final de la renta (n). Supongamos que el momento de valoración es (n+K),

el valor final en (n+k) sería:

in

k

inkf siCsCV &&&& ⋅+⋅== )1(/

)1(1)1(

ii

is

n

in+⋅−+=&&)1(

)1(1a i

i

i n

in+⋅+−=

−

&&


50

Renta constante prepagable y diferida. La valoración se produce en un momento

anterior al inicio de la renta, suponemos que el inicio de la renta es el momento d, la


Ejemplo 2: Al principio de cada mes realizamos aportaciones a una cuenta de ahorro

por importe de 100 €. Adicionalmente, en los meses de Marzo, Junio, Septiembre y

Diciembre, realizamos también imposiciones de 50 € al final de cada mes. Si el tipo de

interés nominal anual es del 1,50 % y los intereses se pagan de forma trimestral, ¿Cuál

es el valor final de la operación de ahorro, al finalizar el tercer año?.

Consideramos que se trata de una renta mensual prepagable de 100 € durante 36 meses

(3 años) y una renta trimestral postpagable de 50 € durante 12 trimestres (3 años) y

calculamos su valor final.

Como nos indican que los intereses son trimestrales, y nos dan un tipo de interés

nominal, tendremos que calcular el rédito trimestral como:

i4

= 0,015

4= 0,00375

Para calcular el rédito mensual equivalente a un rédito trimestral :

i12

= (1+ i4)1/3 −1= 0,001248

Al final del tercer año tendremos ahorrado:

€87,42962506,12508434,3610021 =⋅+⋅=+ ff VV

)4(i

in

d

indo iiCCV a)(a/ &&&& ⋅+⋅== −

214

124

1212

3612 1)1(

50)1(1)1(

100 fff VVi

ii

i

iV +=−+⋅++⋅−+⋅=


51


Una renta perpetua se caracteriza por una duración indefinida en el tiempo asimilable a

una duración infinita (t=infinito). Evidentemente no podemos hablar de un valor final

ya que no esta definido el final de la renta, por tanto, solo podremos estudiar el valor

actual de esta renta.

Para el caso de una renta unitaria pospagable obtendremos:

Valor inicial de una renta constante, perpetua, pospagable.

Renta perpetua diferida y pospagable. La valoración se produce en un momento

anterior al inicio de la renta, suponemos que el inicio de la renta es el momento d, en el

momento 0 sería:

iiCiCCV d

i

d

ido

1)1(a)1(a/ ⋅+⋅=⋅+⋅== −

∞−

∞

Para el caso de una renta unitaria prepagable la valoración en el origen de la renta

será:

Valor inicial de una renta constante, perpetua, prepagable de cuantía C:

iii

ii

n

ninni

1a

1)1(1limalima ==+−==

∞

−

∞→∞→∞

i

CCV

i=⋅=

∞a0

)1(1

a iii

+⋅=∞&&

)1(a0 ii

CCV

i+⋅=⋅=

∞&&


52

Renta perpetua diferida y prepagable. La valoración se produce en un momento

anterior al inicio de la renta, suponemos que el inicio de la renta es el momento d, la


i

iiCiCCV d

i

d

ido

)1()1(a)1(a/

+⋅+⋅=⋅+⋅== −∞

−∞

&&&&

Ejemplo 3: Una Fundación quiere instaurar un premio de 6.000 € de forma anual,

pagadero a final de cada año, y de forma permanente. Cual será el importe del capital

fundacional que deberá destinar al premio, sabiendo que el tipo de interés efectivo anual

es del 2 %.

Al tratarse de una renta perpetua y potspagable lo que nos piden es calcular su valor

inicial Vo. Por lo tanto:

Donde C = 6000€ e i = 0,02

i

CCV

i=⋅=

∞a0

€12000002,0

6000a60000 ==⋅=

∞ iV


53



4.1.1. Una persona tiene derecho a percibir una renta de 600 €/mes postpagables

durante 10 años, y desea cambiarla por otra prepagable, trimestral, de la

misma duración pero diferida dos años. Si el tanto efectivo de valoración

es del 1,2%, ¿cuál es la cuantía trimestral?.

4.1.2. Una persona tiene derecho a una renta postpagable de 1.200 € al trimestre

durante 5 años, y desea cambiarla por otra prepagable, bimestral de

duración 5 años, si i=0,011, ¿Cuál es la cuantía de los términos de la renta

bimestral?

4.1.3. ¿Qué se prefiere desde la perspectiva financiera: Una renta constante

trimestral de 1.500 € prepagables, percibiéndose el primer término dentro

de 2 años y medio y de duración 8 años, o una renta bienal de 12.020 €

postpagable, pagándose el primer término dentro de medio año y duración

10 años?. El rédito semestral es del 0,8%.

4.1.4. Una persona tiene derecho a percibir una renta de 6.000 €/semestrales,

postpagables durante 10 años y desea sustituirlo por un solo capital a

percibir dentro de 5 años. Si el tanto efectivo es del 1,5%, ¿Cuál es la

cuantía de dicho capital?

4.1.5. Se tiene una finca rústica que se desea vender y se tienen 2 opciones. El

tanto efectivo de valoración en ambos casos es del 1,2%:

a) 6.000 € al contado, 6.000 € dentro de un año y a partir de entonces 10

pagos semestrales y postpagables de 1.800 €.

b) Sesenta pagos mensuales de 480 € abonando el primero a la firma del

contrato

¿Cuál de las dos opciones se prefiere?


54

4.1.6. Un inmueble produce unos alquileres de 12.000 € pagaderos al principio

de cada mes; sabiendo que se ha de abonar 1.500 € al final de cada

trimestre en concepto de gastos de mantenimiento y 2.400 € al final de

cada semestre por contribuciones, determinar el valor actual si se utiliza

como tanto efectivo de valoración el 0,5%.

4.1.7. Una persona desea constituir un capital de 60.000 € en 6 años, mediante

imposiciones constantes mensuales y prepagables de cuantía "C" durante

los tres primeros años y de cuantía "2C" durante los tres últimos. Si la

operación se valora con rédito semestral del 2,2%. Se pide la cuantía “C”

a imponer y el capital constituido a los tres años y medio del origen.


4.2.1. Una empresa tiene la posibilidad de realizar una inversión de las

siguientes características: Desembolso inicial 60.000€ y duración 10

años, transcurridos los cuales el valor residual de la inversión es de

10.200€. La inversión lleva aparejados unos gastos mensuales

postpagables de 750€ durante los 5 primeros años y de 1.050€ durante los

restantes y genera unos ingresos semestrales de 11.000€, percibiéndose el

primero al final del segundo año desde el desembolso inicial.

Si el tanto efectivo de valoración es del 2,5%, determinar la conveniencia

o no de llevarlo a cabo.

4.2.2. Se ha adquirido un piso en las siguientes condiciones: aportación de

12.000€ a la firma del contrato. Aportaciones de 2.400€ trimestrales

durante tres años, realizando el primer pago tres meses después de

firmado el contrato. Entrega de 3.600 € año y medio después de firmado

el contrato (en el acto de la entrega de las llaves) y pagos de 180 €/mes

durante 5 años, ingresando el primer término un mes después de

satisfacer el último pago trimestral. Se pide determinar el precio de

contado del piso (i=2,5%).


55

4.2.3. El banco X oferta planes de ahorro para sus clientes. Una persona desea

formar un capital de 60.000€ en 5 años, con aportaciones constantes al

principio de cada mes. Si la entidad valora con un tanto efectivo del 1% se

pide:

a) Cuantía a ingresar cada mes.

b) Si transcurridos tres años el tipo de interés desciende al 0,8% ¿qué

cuantía habrá que aportar mensualmente para obtener el montante

prefijado?

4.2.4. Hay dos alternativas para pagar el “renting” de una moto durante un año:

• pagar 120€ al principio de cada mes

• pagar 360€ al final de cada trimestre

Se debe calcular la opción más ventajosa, teniendo en cuenta que el tipo de

interés nominal anual es del 2,2%. En el caso de haber diferencias, indicar

la cantidad trimestral que habría que aportar para que ambas opciones

fueran indiferentes desde un punto de vista financiero.

Tema 5. Operaciones de Constitución

56

TEMA 5. OPERACIONES DE CONSTITUCIÓN

1. Concepto







1. Concepto

Concepto

Se denomina operación de constitución a toda operación compuesta de prestación

múltiple y contraprestación única que determina el final de la operación. La finalidad de

la prestación es formar o constituir el capital de la contraprestación.

Los capitales de la prestación reciben el nombre de imposiciones o términos

constitutivos y su vencimiento se sitúa normalmente en el extremo inferior de cada uno

de los periodos, es decir forman una renta prepagable.

Vn = CSS=1

n

∑ f τ s;n( )


57

Ejemplo 1: Un estudiante va a disponer de los siguientes importes semestralmente:

200€, 300€, 200€ y 500€. El estudiante se plantea para los próximos dos años depositar

dichas cuantías, al principio de cada semestre, en una cuenta remunerada de una entidad

financiera. Si el tipo de interés nominal pactado es del 2%, determine el capital

constituido al final de la operación.

En primer lugar, calculamos el tipo de interés periodal:

01,02

02,02 ==i

A continuación, calculamos el capital constituido al final de la operación:

En la siguiente tabla se recogen las principales magnitudes de una operación de

constitución.

Nomenclatura Magnitud

Cn Capital a constituir3

as Término constitutivo o imposición que vence al principio del período s

Cs Capital constituido desde el inicio hasta el final del periodo s

Ks Capital pendiente de constituir al final del periodo s

Is Cuota de interés (intereses generados en el período s)

∆s Cuota de constitución del periodo s

Planteamiento general

La reserva matemática en un punto intermedio s calculado por la izquierda, es decir,

instantes antes de realizar la nueva imposición, por el método retrospectivo es Cs y tiene

el significado de capital acumulado hasta ese momento.

3 También definido como el valor final de una renta (Vn)

( ) ( ) ( ) ( )€23,226.1

01,0150001,0120001,0130001,01200 234

=+⋅++⋅++⋅++⋅=nV


58

Ejemplo 1 (continuación): Determine el capital constituido al final del primer año

utilizando el concepto de reserva matemática.

Utilizamos el método retrospectivo:

Planteada por el método recurrente se obtiene la ecuación que recoge la evolución de la

operación, ilustrada en la siguiente figura:

�$ = ('$) ⋅ (1 ! "$#

�% � �$ ! '%# ⋅ 1 ! "%#

…

�( � �(�$ ! '(# ⋅ 1 ! "(#

Operando

�( � �(�$ � '( ! �(�$ ! '(# ⋅ "(

Teniendo en cuenta las expresiones de las siguientes magnitudes:

, donde ∆s es la cuota de constitución y expresa el incremento del capital

constituido en el periodo [ts-1, ts)

∆s = Cs − Cs−1

( ) ( ) €02,50701,0130001,01200 222 =+⋅++⋅== −RC

a1

a2

a3


59

)( = (�(�$ + '() ⋅ "(, donde Is es la cuota de interés y recoge los intereses generados por

el capital (Cs−1 + as) en el intervalo [ts-1, ts)

Obtenemos que la cuota de constitución de un determinado periodo (capital constituido

en el periodo s) es igual a la imposición realizada al principio del periodo (término

constitutivo) más los intereses generados durante dicho periodo, es decir:

∆$= '( + )(

Adicionalmente, el capital constituido hasta el periodo s es igual al capital constituido

hasta s-1 más la cuota de constitución en el periodo s, es decir:

�( � C(�$ ! ∆(

�(�$ � C(�% ! ∆(�$

Sustituyendo:

�( � C(�% ! ∆(�$ ! ∆(

… (de forma recurrente):

Cs= ∆

rr=1

s

∑


El cuadro de constitución recoge todos los elementos que definen la operación, de

manera que podamos tener, de forma sencilla, todo el desarrollo a lo largo del tiempo,

qué capitales aportamos, o términos constitutivos; qué capital hemos formado en el

periodo o cuota de constitución; qué parte de esta cuota de constitución son intereses;

cuál es el capital que hemos formado hasta el momento y cuánto nos quedaría por

constituir, o capital pendiente.


60

A lo largo de la vida de la operación, el cuadro de constitución quedaría:

t

Tipo de interés

del periodo

im,s

Imposiciones prepagables

a

Cuotas de interés

I s

Cuotas de constitución

∆∆∆∆s

Capital constituido

Cs

Capital pendiente

K s

0 a1 C0=0 K0 = C4

1 im,1 a2 I1 = a1⋅ im,1 ∆1 = a1+ I 1 C1 = ∆1 K1 = K0 - ∆1 2 im,2 a 3 I2 = (C1 +a2) ⋅ im,2 ∆2 = a2+ I 2 C2 = C1 + ∆2 K2 = K1 - ∆2 3 im,3 a 4 I3 = (C2 +a3) ⋅ im,3 ∆3 = a3+ I 3 C3 = C2 + ∆3 K3 = K2 - ∆3 4 im,4 I4 = (C3 +a4) ⋅ im,4 ∆4 = a4+ I 4 C4 = C3 + ∆4 K4 = K3 - ∆4 = 0

Ejemplo 1 (continuación): Elabore el cuadro de constitución.


El desarrollo de la operación con aportaciones constantes sería el siguiente:

t i a I ∆ C K0 - 200,00 € - - 0 1.226,23 € 1 0,01 300,00 € 2,00 € 202,00 € 202,00 € 1.024,23 € 2 0,01 200,00 € 5,02 € 305,02 € 507,02 € 719,21 € 3 0,01 500,00 € 7,07 € 207,07 € 714,09 € 512,14 € 4 0,01 12,14 € 512,14 € 1.226,23 € 0

a

a

a


61

El modelo para el cuadro con imposiciones constantes de cuantía a:

t

Tipo de interés

del periodo

im,s


a

Cuotas de interés

I s


∆∆∆∆s

Capital constituido

Cs

Capital pendiente

K s

0 a C0=0 K0 = C4

1 im,1 a I1 = a ⋅ im,1 ∆1 = a+ I1 C1 = ∆1 K1 = K0 - ∆1 2 im,2 a I2 = (C1 +a) ⋅ im,2 ∆2 = a+ I2 C2 = C1 + ∆2 K2 = K1 - ∆2 3 im,3 a I3 = (C2 +a) ⋅ im,3 ∆3 = a+ I3 C3 = C2 + ∆3 K3 = K2 - ∆3 4 im,4 I4 = (C3 +a) ⋅ im,4 ∆4 = a+ I4 C4 = C3 + ∆4 K4 = K3 - ∆4 = 0

Teniendo en cuenta que, en este caso, la fórmula para el cálculo del término constitutivo

a es la siguiente:

�� = ' ∙ ��,- |/

�� = ' ∙ 0(1 + ")� − 1" ∙ (1 + ")1

' = ��2(1 + ")� − 1" ∙ (1 + ")3

Ejemplo 2: Sea una operación de constitución de 2 años de duración. Si se desea

constituir una cuantía igual a 1.230,30€ en dos años y las imposiciones se realizan

semestralmente ¿a cuánto ascenderá cada una de las aportaciones? El tipo de interés

nominal pactado es del 2%. Elabore el cuadro de constitución.

En primer lugar, calculamos el tipo de interés periodal:

01,02

02,02 ==i

A continuación, calculamos el término constitutivo:

' = 1230,302(1 + 0,01) − 10,01 ∙ (1 + 0,01)3 = 300,00€


62

A continuación, presentamos el cuadro de constitución: El capital constituido al final del periodo s se puede calcular a través de la reserva

matemática o saldo financiero.

Si utilizamos el método retrospectivo, obtenemos la siguiente expresión:

�( = 6(� = ' ∙ 0 1 ! "#( � 1" ∙ 1 ! "#1

�( � ' ∙ �(̅- |/

Cuando las imposiciones son constantes, podemos expresar la cuota de constitución del

periodo s en función del término constitutivo.

Partimos de la diferencia entre dos capitales constituidos consecutivos:

�(8$ = (�( + ') ∙ 1 ! "# ��( = (�(�$ + ') ∙ 1 ! "# �(8$ � �( � �( � �(�$# ∙ 1 ! "# Expresado de otra forma:

∆(8$� ∆( ∙ 1 ! "#

De forma recurrente y siendo ∆$� ' ∙ 1 ! "#:

∆(8$� ∆( ∙ 1 ! "# � ⋯ � ∆$ ∙ 1 ! "#( � ' ∙ 1 ! "#(8$

t i a I ∆ C K0 - 300,00 € - - 0 1.230,30 € 1 0,01 300,00 € 3,00 € 303,00 € 303,00 € 927,30 € 2 0,01 300,00 € 6,03 € 306,03 € 609,03 € 621,27 € 3 0,01 300,00 € 9,09 € 309,09 € 918,12 € 312,18 € 4 0,01 12,18 € 312,18 € 1.230,30 € 0,00 €


63

Ejemplo 2 (continuación): Calcular la cuota de constitución del tercer periodo a partir

del términos constitutivo.

∆�= 300 ∙ (1 + 0,01)�= 309,09€

Las cuotas de constitución siguen una progresión geométrica de razón (1+i). Es decir,

cada cuota de constitución se puede calcular multiplicando la anterior por (1+i).

Alternativamente, las cuotas de constitución y las cuotas de interés del cuadro también

se pueden calcular siguiendo las siguientes expresiones:

t

Tipo de interés

constante i


a

Cuotas de interés

I s


∆∆∆∆s

Capital constituido

Cs

Capital pendiente

K s

0 a C0=0 K0 = C4

1 i a I1 = ∆1 - a ∆1 = a⋅ (1+i) C1 = ∆1 K1 = K0 - ∆1 2 i a I2 = ∆2 - a ∆2 = ∆1⋅ (1+i) C2 = C1 + ∆2 K2 = K1 - ∆2 3 i a I3 = ∆3 - a ∆3 = ∆2⋅ (1+i) C3 = C2 + ∆3 K3 = K2 - ∆3 4 i I4 = ∆4 - a ∆4 = ∆3⋅ (1+i) C4 = C3 + ∆4 K4 = K3 - ∆4 = 0


El tanto efectivo de rendimiento es el tipo de interés que iguala la suma financiera de los

capitales de la prestación con la suma financiera de los capitales de la contraprestación,

valorados en el mismo momento de tiempo y aplicando una ley financiera de

capitalización compuesta.

Las operaciones de constitución, al pactarse a largo plazo, suelen estar referenciadas a

un tipo de interés que puede variar a lo largo de la vida de la operación, o relacionadas

con la rentabilidad que genere una cartera de inversión formada por activos que generan

rendimientos variables (ej. fondo de pensiones compuesto por activos de renta variable

y o de renta fija). En este sentido, para el cálculo del rendimiento efectivo de esta

operación es necesario esperar a que la operación se termine para poder conocer la

variación del tipo de interés y por lo tanto los capitales realmente constituidos a lo largo

de la vida de ésta.


64

Una vez tengamos conocimiento de todos los capitales aportados a lo largo de la vida de

la operación y del capital finalmente constituido, derivado de la capitalización a interés

variable, podremos enfrentarlos a través de una ley de capitalización compuesta, donde

el rendimiento efectivo es el tipo de interés que iguale la suma financiera de los

capitales de la prestación, valorados en un determinado momento de tiempo, con la

suma financiera de los capitales de la contraprestación valorados en el mismo momento

de tiempo.

Ejemplo 3: Sea una operación de constitución de 2 años de duración. Las aportaciones

se realizan semestralmente y cada una de ellas asciende a 300€. Para el primero de los

años se ha pactado un tipo de interés nominal anual 2%. El tipo de interés se revisará a

final de año según el Euribor. El tipo de interés nominal anual para el segundo año se

calculará añadiéndole un 0,5% al valor que al final del año presente el Euribor.

Transcurrido un año desde el inicio de la operación el Euribor se ha situado en el 0,5%.

Calcular el capital constituido al finalizar la operación y el tanto efectivo anual de

rendimiento de esta operación.

En el momento inicial no estamos en condiciones de determinar el capital constituido de

la operación, ya que desconocemos la evolución del Euribor. Para calcular el capital

constituido debemos conocer todos los tipos de interés. En este ejercicio, una vez

transcurrido el primer año, ya conocemos los valores de los tipos de interés.

Los tipos de interés periodales son los siguientes:

Primer y segundo semestre (primer año)

j= 0,02

01,02

02,02 ==i


65

Tercer y cuarto semestre (segundo año)

j |= Euribor + 0,05= 0,05+0,05= 0,01

005,02

01,0|2 ==i

A continuación calculamos el capital constituido al finalizar la operación:

C: � 300 ∙ (1 + 0,01)% − 10,01 ∙ (1 + 0,01) ∙ (1 + 0,005)% +

300 ∙ (1 + 0,005)% − 10,005 ∙ (1 + 0,005) = 1.219,64€

Respecto al tanto efectivo anual de rendimiento, en primer lugar plantemos la ecuación:

1219,64 = 300 ∙ (1 + i%>) − 1i%> ∙ (1 + i%>)

Recuerde que el tanto efectivo de la expresión anterior es semestral, por tanto,

hallaremos el tanto efectivo anual de la siguiente forma:

"? = (1 + "%?)% − 1

Con el objetivo de conocer la solución, utilizamos un algoritmo iterativo, empleando la

función TIR de la hoja de cálculo Excel. La solución obtenida es la siguiente:

Solución función TIR: "%? = 0,0065

"? = (1 + 0,0065052)% − 1 = 0,0130

El tanto efectivo anual de rendimiento de esta operación es de 1,30%


66

5. Ejercicios propuestos 5.1. Ejercicios para resolver en pizarra

5.1.1. Sea una operación de constitución de las siguientes características:

• Imposiciones anuales prepagables de 100€, 200€, 300€ y 400€

• Duración: 4 años

• Tipo de interés nominal pactado del 1% los dos primeros años y del 2%

los siguientes.

a) Determine el capital constituido al finalizar la operación.

b) Determine el capital constituido al final el segundo año utilizando el

concepto de reserva matemática utilizando el método retrospectivo.

c) Confeccione el cuadro de constitución y represente la operación

gráficamente teniendo en cuenta las variables: tiempo y cuantía.


• Imposiciones trimestrales prepagables constantes


• Tipo de interés efectivo: 1,3%

• Capital constituido al finalizar la operación: 12.000€

Con los datos anteriores y sin elaborar el cuadro de amortización,

determine las siguientes magnitudes:

a) Término constitutivo

b) Cuota de interés del séptimo trimestre

c) Cuota de constitución del octavo trimestre

d) Capital constituido a finales del quinto trimestre

e) Capital pendiente a finales del tercer trimestre

5.1.3. Una persona es capaz de ahorrar todos los meses 400€ y se plantea para

los próximos cinco años las siguientes alternativas de inversión:

a) Depositar el primer día de cada mes sus ahorros en la entidad

financiera A que los remunera a un tipo de interés efectivo del 1,5%


67

b) Realizar las imposiciones al principio de cada mes en la entidad

financiera B que los remunera a un tipo de interés nominal del 1,2%

los dos primeros años y del 1,8% los restantes

Calcular el capital final que obtendría al cabo de los 5 años para cada una

de las dos alternativas. ¿Qué opción recomendaría a un inversor?

5.1.4. Un particular dispone de una finca rústica por la que percibe un

arrendamiento anual de 3000€. Una entidad financiera le ofrece la

posibilidad de depositar cada anualidad que recibe de su arrendatario en

una cuenta de ahorro remunerada a un tipo de interés nominal del 1%.

a) Trascurridos 10 años y coincidiendo con el momento de la jubilación,

determinar el capital constituido.

b) Si transcurridos 10 años, la entidad financiera le propone una

modalidad de pago del capital constituido en forma de renta mensual

pospagable constante a lo largo de 15 años a un tipo de interés nominal

del 1%, ¿a cuánto ascenderá cada mensualidad? (Nota: la cuantía no

entregada permanece en la cuenta de ahorro remunerada).


• Imposiciones trimestrales prepagables constantes


• Tipo de interés nominal:

Primer año: 1%

Segundo año: 1,5%

• Capital que se desea constituir al finalizar la operación: 6.000€

Con los datos anteriores:

a) Calcular el término constitutivo.

b) Si transcurrido un año, la entidad financiera la ofrece un tipo de interés

nominal del 3% para el segundo año de la operación ¿cuáles serán las

nuevas imposiciones para el segundo año si desea constituir los 6.000€?

c) Si con el nuevo tipo de interés para el segundo año, el ahorrador decide

no modificar la cuantía de las imposiciones ¿qué capital constituirá una

vez finalizada la operación?


68


5.2.1. El 01/01/2018 abrimos una cuenta de ahorro-vivienda, con aportaciones

mensuales el día 1 de cada mes de 350€. La entidad financiera remunera la

cuenta a un tipo de interés nominal del 1,75%.

a) Calcular el importe constituido a fecha 31/12/2022.

b) Confeccionar el cuadro de constitución de la operación.

5.2.2. Un particular ha introducido los siguientes parámetros en un simulador

de Pensiones y Jubilación:

•••• ¿Cuántos años tiene? 45 años

•••• ¿A qué edad cree que se jubilará? 65 años

•••• ¿Cuánto dinero quiere aportar a su plan de pensiones? 180€

•••• ¿Con qué periodicidad quiere hacer sus aportaciones? Mensual

•••• ¿Cuándo quiere realizar sus aportaciones? El día 1 de cada mes

Si con estos parámetros, el simulador ha estimado un capital final

acumulado de 50.000€, ¿cuál es el tanto efectivo de rendimiento de dicho

plan de pensiones?


•••• Imposiciones mensuales prepagables constantes de 150€

•••• Duración: 3 años

•••• Tipo de interés nominal:

Primer año: 1%

Segundo año: 1,5%

Tercer año: 2%

Con los datos anteriores:

a) Calcular el capital constituido al finalizar la operación.


c) Calcular el tanto efectivo de rendimiento de la operación. Si el

promedio del tipo de interés es del 1,5% ¿por qué el tanto efectivo de

rendimiento de esta operación es diferente?


69

5.2.4. El 01/01/2017 abrimos una cuenta de ahorro-vivienda, con aportaciones

mensuales el día 1 de cada mes de 250€. Además, el 01/01/2017 y cada seis

meses realizamos aportaciones de 500€ adicionales correspondientes a las

pagas extras. La entidad financiera remunera la cuenta a un tipo de interés

efectivo del 2,25%.

a) Calcular el importe constituido a fecha 31/12/2020.


Tema 6. Operaciones de amortización

70

TEMA 6. OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

1. Concepto

2. El cuadro de amortización


3.1. Método francés

3.2. El sistema americano

4. Operaciones de amortización indiciadas y cálculo de tantos efectivos




1. Concepto

En una operación de préstamo o amortización, el fin principal es hacer frente a la

devolución de un capital prestado al comienzo de la operación. El prestamista entrega

un capital al prestatario o deudor (C0; t0) que designamos por capital inicial, éste se

compromete a su devolución mediante uno o varios pagos que reciben la denominación

de términos amortizativos (ai; ti).

El préstamo es una operación financiera a largo plazo, consistente en la amortización de

un capital (prestación) mediante la entrega de varios capitales (contraprestación). Como

en toda operación financiera, se debe cumplir el principio de equivalencia financiera de

capitales, según la cual la suma de los capitales que forman la prestación valorados en

un momento determinado, debe ser igual a la suma de los capitales que forman la

contraprestación valorados en ese mismo momento, utilizando una ley financiera. Dado

que suelen ser operaciones financieras a largo plazo, la ley financiera que habitualmente

se establece es la ley de capitalización compuesta


71

Son generalmente operaciones compuestas de una única prestación y contraprestación

múltiple, de crédito unilateral.

En la siguiente tabla se recogen las principales magnitudes de una operación de

amortización.

Nomenclatura Magnitud

C0 Capital inicial, nominal de la operación

as Término amortizativo que vence al final del período s

Cs Capital vivo, capital pendiente de amortizar al final del periodo s

Ms Capital amortizado desde el inicio de la operación hasta el periodo s

Is Cuota de interés (intereses devengados durante el período s)

∆s Cuota de amortización del periodo s

La estructura de amortización del capital prestado a lo largo del tiempo es:

En el momento @�, al inicio de la operación, el capital vivo es �� (nominal del préstamo)

la cuantía íntegra de la prestación. Durante dicho periodo, la deuda crece debido a los

intereses que va devengando hasta que en el momento t$tiene un valor de C� · 1 + "). En t$ se realiza el primer pago de la contraprestación (primer término amortizativo a1):

• Una parte se destina a compensar los intereses que se han generado hasta

ese momento (cuota de interés): )(

A1

A2

A3

A4

t0 t1 t2 t3 t4

a1

a2

a3

a4

C0

C1

C2

C3

C4

a1

a2

a3

a4


72

La cuota de interés del periodo s dependerá del capital vivo al principio

del periodo s y del tipo de interés aplicable en dicho periodo: Is = Cs-1· is

• El exceso de término amortizativo –en su caso- se destina a amortizar

capital vivo (cuota de amortización): C(

Por lo tanto: as = )( + C(, es decir, el término amortizativo es la suma de la cuota de

interés y la cuota de amortización.

La cuota de amortización del periodo s también puede expresarse como la diferencia

entre el capital vivo al principio del periodo s y al final de dicho periodo: C(= Cs-1 - Cs

El capital amortizado hasta el periodo s, será la diferencia entre el capital inicial y el

capital vivo en ese mismo momento de tiempo: Ms = C0 - Cs

El saldo financiero de la operación de préstamo (reserva matemática) en un momento

determinado de tiempo se denomina capital vivo o capital pendiente de amortizar Cs,

calculado una vez efectuado el pago del término amortizativo correspondiente a dicho

periodo (reserva por la derecha).

Ejemplo 1: Sea una operación de amortización, donde se ha solicitado un préstamo de

10.000€ a devolver anualmente durante 5 años. Los términos amortizativos son

variables y ascienden a 2.000€, 3.000€, 1.000€, 3.000€, y 2.337,88€. El tipo de interés

es del 4,25%. a) Plantear la equivalencia financiera de esta operación en t=0.

b) Determine el capital pendiente de amortizar al final del tercer año utilizando el

concepto de reserva matemática (Método retrospectivo y prospectivo y recurrente

sabiendo que 6%8=5.783,06€)

Prestación: 10.000 Contraprestación: 2.000 3.0001.0003.0002.337,88

012345


73

a) En primer lugar planteamos la equivalencia financiera de la operación, por ejemplo

en el origen, teniendo en cuenta los siguientes capitales: principal del préstamo

(prestación) y términos amortizativos (contraprestación):

10.000 = 2.000 · (1 + 0,045)�$ + 3.000 · (1 + 0,045)�% + 1.000 · (1 + 0,045)��+ 3.000 · (1 + 0,045)� + 2.337,88 · (1 + 0,045)�E

b) Método retrospectivo:

6�8 = 10.000 · (1 + 0,045)� − 2.000 · (1 + 0,045)% − 3.000 · (1 + 0,045)$ − 1.000=5.028,84€

Método prospectivo:

6�8 = 3.000 · (1 + 0,045)�$ + 2.337,88 · (1 + 0,045)�%=5.028,84€

Método recurrente:

6�8 = 5.783,0625 · (1 + 0,045) − 1.000=5.028,84€

2. Cuadro de amortización

El cuadro de amortización recoge todos los elementos que definen la operación

financiera, de manera que permite analizar todo su desarrollo a lo largo del tiempo, cuál

es el capital inicial, qué capitales aporta el prestatario, o términos amortizativos, qué

parte de este término amortizativo son intereses (cuota de interés) y qué parte se destina

a amortizar capital (cuota de amortización), cuál es el capital que queda pendiente de

amortizar o capital vivo y cuánto se ha amortizado hasta el momento.

+


74

A lo largo de la vida de la operación, el cuadro de amortización sería el siguiente:

t

Tipo de interés

del periodo

im,s

Término amortizativo

a

Cuotas de interés

I s

Cuotas de amortización

∆∆∆∆s

Capital amortizado

M s

Capital vivo

Cs

0 M0 = 0 C0 1 im,1 a1=∆1 + I 1 I1 = C0·im,1 ∆1 M1 = M0+∆1 C1 = C0- ∆1 2 im,2 a2=∆2+ I 2 I2 = C1·im,2 ∆2 M2 = M1+∆2 C2 = C1-∆2

3 im,3 a3=∆3+ I 3 I3 = C2·im,3 ∆3 M3 = M2+∆3 C3 = C2-∆3 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. n im,n an=∆n+I n In= Cn·im,n ∆n Mn = Mn-1+∆n = C0 Cn = Cn-1 -∆n=0

Ejemplo 1 (continuación): Confeccionar el cuadro de amortización.

Momento de

tiempo

Tipo de

interés del

periodo

Término

amortizativo

Cuota de

Interés

Cuota de

amortización

Capital

amortizado Capital Vivo

0

- 10.000,00

1 0,0425 2.000,00 425,00 1.575,00 1.575,00 8.425,00

2 0,0425 3.000,00 358,06 2.641,94 4.216,94 5.783,06

3 0,0425 1.000,00 245,78 754,22 4.971,16 5.028,84

4 0,0425 3.000,00 213,73 2.786,27 7.757,43 2.242,57

5 0,0425 2.337,88 95,31 2.242,57 10.000,00 0,00


Es posible identificar diferentes formas de amortizar un préstamo, es decir, de extinguir

la deuda contraída, dando lugar a lo que se conoce como métodos o sistemas de

amortización de los préstamos. En los siguientes subapartados vamos a abordar dos de

los métodos más habituales: el método francés y el método americano.


75

3.1. Método Francés

Este método de amortización se caracteriza por tener términos amortizativos a

constantes a lo largo de la vida de la operación financiera si el tanto de valoración es

constante durante la duración de dicha operación.

'$ � '% � '� � ⋯ ='��$ = 'Los términos amortizativos forman una renta constante, pospagable de “n” periodos.

Si planteamos la ecuación de equivalencia financiera en el origen:

�� = ' · a�F/

De donde:

' = GHIJFK

Esquema de la operación:

Prestación: C�

Contraprestación: ' ''''

@�@$@%@� ………………………………… ..@��$MJ

Capital pendiente de amortizar (capital vivo o saldo financiero de la operación):

• Método prospectivo:

�( = ' · a��(F/

Actualizamos los (N − �) periodos que quedan pendientes hasta el vencimiento en el

instante �.


76

• Método retrospectivo:

�( � �� · 1 + ")( − (' · �(F/) Capitalizamos el capital prestado hasta el momento � y le restamos los � términos

amortizativos vencidos capitalizados hasta el mismo momento.

• Método recurrente:

�( = �(�$ · (1 + ") − '

A partir de esta expresión, podemos comprobar que cualquier cuota de amortización se

puede escribir en función de la primera cuota de amortización. Comparando el capital vivo

en dos períodos consecutivos:

C

s = C

s-1 · (1+ i) - a

Cs+1

= Cs · (1+ i) - a

------------------------------------- C

s - C

s+1 = (C

s-1 - C

s) · (1 + i)

O lo que es lo mismo:

∆s+1 = ∆s · (1+i)

De forma recurrente podemos llegar a:

∆s = ∆1 · (1+i)s-1

Esta expresión nos indica que las cuotas de amortización crecen en progresión geométrica

de razón (1 + i).

A partir del cálculo de la primera cuota ∆1 se pueden obtener las siguientes.

iCaiCa •• −=∆→∆+= 01101


77

Cuadro de amortización:

t

Tipo de interés

del periodo

im


a

Cuotas de interés

I s

Cuota de amortización

∆∆∆∆s

Capital amortizado

M s

Capital vivo

Cs

0 M0 = 0 C0 1 im a I1 = C0·im ∆1 =a1- I1 M1 = M0+∆1 C1 = C0- ∆1 2 im a I2 = C1·im ∆2 =a2- I2 M2 = M1+∆2 C2 = C1-∆2

3 im a I3 = C2·im ∆3 =a3- I3 M3 = M2+∆3 C3 = C2-∆3 . . .

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. n im a In= Cn·im ∆n =an- In Mn = Mn-1+∆n = C0 Cn = Cn-1 -∆n=0

Como se ha comentado anteriormente, en el método de amortización francés también es

posible calcular la cuota de amortización ∆s a partir de la cuota de amortización del

periodo anterior ∆s = ∆s-1 · (1+i).

Ejemplo 2: Una entidad financiera ha concedido un préstamo de 60.000 €, a un tipo de

interés nominal del 5% y a devolver en 6 años mediante mensualidades constantes.

Calcular el importe de cada término amortizativo y obtener el cuadro de amortización.

Calcular el capital pendiente en el periodo 34 por los métodos prospectivo y

retrospectivo. Calcular la cuota de amortización del periodo 54 sin hacer el cuadro de

amortización.

�� 60.000

O$% � 5% → "$% �0,05

12 = 0,004167

N = 6 · 12 = 72RST"UVU�


78

Solución Ejemplo 2:


Prestación: 60.000

Contraprestación'''''

0123 ………………………………… . .7172

�� ' B a�F/

�� ' B 1 � 1 ! "#��"

60.000 � ' B 1 � 1 ! 0,004167#��%0,004167

' � 966,30


En el primer periodo:

)$ � �� B "$ � 60.000 B 0,004167 � 250

C$ � ' � )$ � 966,30 � 250= 716,30

W$ �C$ � 716,30

�$ � �� C$= 60.000-716,30 = 59.283,70

En el segundo periodo:

)% � �$ B "% � 59.283,70 B 0,004167 � 247,02

C% � ' � )%=966,30-247,02 =719,28

W% � W$ ! C% � 716,30 ! 719,28 � 1.435,58

�% � �$ � C%=59.283,70-719,28=58.564,42


79

Y así sucesivamente para el resto de la operación.

Periodo Término Cuota de interés Cuota de amortización Capital amortizado Capital vivo

ts as Is ∆s Ms Cs 0

60.000

1

966,30 250,00 716,30 716,30 59.283,70

2

966,30 247,02 719,28 1.435,58 58.564,42

3

966,30 244,02 722,28 2.157,85 57.842,15

4

966,30 241,01 725,29 2.883,14 57.116,86

5

966,30 237,99 728,31 3.611,45 56.388,55

... ... ... ... ... ... 71

966,30 8,00 958,29 59.037,71 962,29

72

966,30 4,01 962,29 60.000,00 0,00

Capital pendiente en el periodo 34:

Método prospectivo:

�� 966,30 · a �%�� #F�,�� $��

�� 966,30 ·1 − (1 + 0,004167)��

0,004167 = 33.894,72

Método retrospectivo:

�� = 60.000 · (1 + 0,004167)� − X966,30 · �� F�,�� $��Y = 33.894,72

Cuota de amortización del periodo 54:

CE = C$ · (1 + 0,004167)E �$

CE = 716,30 · (1 + 0,004167)E �$ = 892,89


80

3.2. El sistema Americano

Este método de amortización se caracteriza porque la amortización del capital prestado

es única y se produce en el último periodo de la operación de préstamo.

Por lo tanto, ∆s =0, salvo en el último período ∆n =C0.

La estructura del proceso de amortización del método americano es la siguiente:

En este caso, lo que permanece constante es la cuota de interés (siempre que

permanezca constante el tipo de interés) y los términos amortizativos son todos iguales

a la cuota de interés, excepto el último:

'$ � �� · "$

'% � �� · "%

'� � �� · "�

……

'��$ � �� · "��$

'� � �� · "� ! ��


81


Prestación: C�

Contraprestación: �� · " �� · " �� · " ………………………… �� · " �� ! �� · "

@�@$@%@� ………………………………… ..@��$ @�

La ecuación de equivalencia financiera planteada en el origen de la operación y

suponiendo tipos de interés constantes, sería la siguiente:

�� = ) · 1 − (1 + ")��" + �� · (1 + ")��

Capital pendiente de amortizar (capital vivo o saldo financiero de la operación):

El capital pendiente de amortizar, capital vivo o saldo financiero de la operación en

cualquier momento �, es siempre igual a ��, ya que no se amortiza capital hasta el

último periodo. Por lo tanto, el capital vivo al final de un periodo s coincidirá con el

capital vivo al principio del periodo s.


t

Tipo de interés

del periodo

im


a

Cuota de interés

I s


∆∆∆∆s

Capital amortizado

M s

Capital vivo

Cs

0 C0 1 im,1 a1= I1 I1 = C0·im,1 0 M1 = 0 C0 2 im,2 a2= I2 I2 = C0·im,2 0 M2 = 0 C0 3 im,3 a3= I3 I3 = C0·im,3 0 M3 = 0 C0 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. n im,n an=∆n+I n In= C0·im,4 ∆n = C0 Mn = C0 Cn = 0


82

Esta estructura de amortización es la utilizada normalmente en las operaciones de

emisión de deuda a medio y largo plazo por parte del Tesoro, los denominados bonos a

3 y 5 años y las obligaciones a 10, 15 y 30 años.

Ejemplo 3: Se desea invertir 20.000€ en Bonos del Estado a 5 años. Calcular el cuadro

de amortización asociado a la operación teniendo en cuenta la siguiente información:

• Producto: Bonos del estado a 5 años

• Valor nominal de la inversión: 20.000,00€

• Número de bonos: 20

• Tipo nominal del cupón: 0,45 %

• Fecha pago del próximo cupón: 31/10/2018

'$ � �� · "$ � )1 '$ = 20.000 · 0,0045 = 90€

C$ = C% = C� = ⋯ = C

ZE = �� = 20.000

t


a

Cuota de interés

I s


∆∆∆∆s

Capital amortizado

M s

Capital vivo

Cs

0 20.000 1 90 90 0 0 20.000

2 90 90 0 0 20.000

3 90 90 0 0 20.000

4 90 90 0 0 20.000 5 20.090 90 20.000 20.000 0


83

4. Operaciones de amortización indiciadas y cálculo de tantos

efectivos

Cuando un particular o una empresa (prestatario) decide realizar una operación de

préstamo se encuentra con que debe hacer frente, no sólo a los capitales procedentes de

la operación pura (sea cual sea el método de amortización utilizado), sino que además

aparecerán otro conjunto de capitales adicionales (las características comerciales de la

operación) que harán que sea necesario el cálculo del coste efectivo de la operación para

poder comparar las distintas alternativas de financiación.

Si observamos la operación desde el punto de vista del prestamista, la incorporación de

las características comerciales que le afecten implicará el cálculo del rendimiento

efectivo de la operación.

En ambos casos, de forma coherente con las recomendaciones de la normativa del

Banco de España, calcularemos los tantos efectivos de coste o rendimiento mediante el

cálculo del tipo de interés procedente de la aplicación de una ley de capitalización

compuesta que iguale prestación real con contraprestación real en un determinado

momento de tiempo.

En cuanto al tipo de interés que se aplica a las operaciones de amortización, en los

métodos estudiados en apartados anteriores hemos supuesto que este permanece

constante a lo largo de la vida de la operación, pero en muchas operaciones de mercado

esto no es así, sino que el tipo de valoración varía a lo largo del tiempo. La variación de

tipos de interés puede ser conocida a priori (en el inicio de la operación conocer cuándo

y qué valor irá tomando el tipo de interés aplicable) o no conocer a priori el valor del

tipo pero sí el momento de cambio y las estructura de dicho cambio. Este tipo de

operaciones se denominan indiciadas ya que la estructura de la variación va ligada a la

variación de un índice representativo y conocido por ambas partes (prestamista y

prestatario).


84

Operaciones Indiciadas:

Una operación de amortización está indiciada cuando sus términos amortizativos varían

ligados a cambios de un índice representativo.

Lo normal es que la operación esté indiciada en la cuota de interés. En este caso el tipo

de interés utilizado en la operación será igual al tipo de referencia más (o menos) un

diferencial.

is = irs±d

Por ejemplo, si el préstamo está referenciado al EURIBOR (european interbank ofered

rate) más 0,25 puntos, y el tipo EURIBOR en la fecha de modificación es del 2%, el

tipo de interés aplicable a nuestra operación será del 2,25%.

Las Circulares del Banco de España 8/1990, de 7 de septiembre, 5/1994, de 22 de julio

y 5/2012, de 27 de junio, han venido regulando las operaciones financieras,

estableciendo qué tipos de interés pueden utilizarse y cómo calcular los costes de dichas

operaciones. De forma específica, la Circular 5/2012 establece que “en las operaciones

a tipo de interés variable, la TAE Variable se calculará bajo el supuesto teórico de que

el tipo de referencia inicial permanece constante, durante toda la vida de la

operación”.

Al igual que en el cálculo de la TAE según la Circular del Banco de España, para el

cálculo del tanto efectivo de coste de una operación de amortización con tipo de interés

indiciado, se realizará una estimación de dicho coste efectivo, planteando la

equivalencia financiera en los términos descritos anteriormente, y suponiendo que el

tipo de interés se mantiene fijo al valor que tiene en el momento de realizar el contrato.

Por lo tanto, para calcular en cada momento la cuantía de los términos amortizativos, se

realiza el cálculo de toda la operación de préstamo bajo el supuesto de que el tipo de

interés aplicado es el que esté en vigor en ese momento y permanece fijo para el resto

de la operación (al comienzo de la operación la calculamos como a tipo fijo). En el

momento de la revisión se recalcula el cuadro de amortización teniendo en cuenta el

capital vivo (capital que falta por amortizar) y el nuevo tipo de interés, como si se fuera

a mantener constante para todo el resto de la operación. De esta forma estamos


85

recalculando la operación en cada momento de la revisión (una vez al año, cada seis

meses....).

Es de destacar que, dado que no conocemos el valor futuro del índice de referencia, no

conoceremos el valor real que tomarán los términos amortizativos hasta que no

concluya toda la operación y por lo tanto, el coste real no podrá calcularse (aunque sí

estimarse) hasta que no finalice la operación.

Cálculo de los tantos efectivos:

Para el cálculo de los tantos efectivos de coste de este tipo de operaciones se plantea la

equivalencia financiera entre todos los capitales que forman la prestación y la

contraprestación:

• Principal del préstamo

• Términos amortizativos

• Características comerciales.

Las características comerciales más comunes para una operación de préstamo son:

• Comisión de apertura (porcentaje del principal)

• Comisión de estudio (porcentaje del principal)

• Gastos que se pagan por la intervención de un fedatario público (por ejemplo

un notario).

Cuando los préstamos son con garantía hipotecaria tenemos además:

• Gastos de tasación del inmueble a hipotecar

• Gastos derivados de la garantía hipotecaria

• Gastos de constitución de hipoteca: Impuestos, gastos notariales, de registro.

• Gastos por levantamiento de hipoteca: Notariales, de registro.

• Seguros.


86

• Subvenciones estatales, autonómicas, etc...: Pueden ser subvenciones en los

tipos de interés o cantidades a fondo perdido.

• Comisión en caso de cancelación anticipada.

Ejemplo 4: Una empresa ha solicitado un préstamo a interés variable referenciado al

EURIBOR a un año más 1,25 puntos con revisión anual, siendo el tipo de interés

aplicable el primer año del 3%. El nominal del préstamo es de 70.000€, a devolver en 7

años mediante términos amortizativos mensuales constantes.

Calcular:

a) El término amortizativo antes de la primera revisión

b) El cuadro de amortización

c) El nuevo término amortizativo tras la primera revisión si el EURIBOR a un año

en ese momento es del 0,5%

d) El nuevo cuadro de amortización

a) Término amortizativo antes de la primera revisión:

O$% � 3%

"$% �0,03

12 = 0,0025

70.000 = ' · 1 − (1 + 0,0025)�� 0,0025

' = 924,93€


87

b) Cuadro de amortización:



0 0 0 0 70.000

1

924,93 175,00 749,93 749,93 69.250,07

2

924,93 173,13 751,81 1.501,74 68.498,26

3

924,93 171,25 753,69 2.255,42 67.744,58

4

924,93 169,36 755,57 3.010,99 66.989,01

... ... ... ... ... ... 83

924,93 4,61 920,32 69.077,38 922,62

84

924,93 2,31 922,62 70.000,00 0,00

c) Nuevo término amortizativo:

�$% � 924,93 ·1 − (1 + 0,0025)��%

0,0025 = 60.876,05

O′$% = 0,5% + 1,25 = 1,75%

"′$% = 0,017512 = 0,00146

60.876,05 = ' · 1 − (1 + 0,00146)��%0,00146

' = 891,28€

d) Nuevo cuadro de amortización:



891,28 88,78 802,50 802,50 60.073,55

14

891,28 87,61 803,67 1.606,18 59.269,87

15

891,28 86,44 804,85 2.411,03 58.465,03

16

891,28 85,26 806,02 3.217,05 57.659,01

... ... ... ... ... ... 83

891,28 2,59 888,69 59.986,07 889,98

84

891,28 1,30 889,98 60.876,05 0,00


88

Ejemplo 5: Sea un préstamo hipotecario de 120.000€ de nominal con las siguientes

características:

-interés nominal fijo: 4,25%

-comisión de apertura: 1%

-comisión de estudio: 1%

-plazo: 15 años

-modalidad de amortización: términos amortizativos mensuales constantes

Gastos inherentes a la solicitud de préstamo a pagar por el prestatario:

-notario: 225€

-registro: 120€

-gestión: 100€

-tasación: 350€

Calcular:

a) El cuadro de amortización

b) El tanto efectivo de coste para el prestatario

c) El tanto efectivo de rendimiento para el prestamista

a) Cuadro de amortización:

Es un préstamo amortizable por el método francés. En primer lugar en necesario

conocer el término amortizativo mensual (constante):

O$% � 4%

"$% ��,� %E

$%� 0,003542

120.000 = ' · 1 − (1 + 0,003542)�$��0,003542

' = 902,73€


89


ts as Is ∆s Ms Cs

0 120.000

1

902,73 425,00 477,73 477,73 119.522,27

2

902,73 423,31 479,43 957,16 119.042,84

3

902,73 421,61 481,12 1.438,28 118.561,72

4

902,73 419,91 482,83 1.921,11 118.078,89

... ... ... ... ... ... 179

902,73 6,36 896,37 119.100,45 899,55

180

902,73 3,19 899,55 120.000,00 0,00

b) Tanto efectivo de coste:

Planteamos las ecuaciones de equivalencia (en este caso en el origen) entre prestación

real y contraprestación real desde la perspectiva del prestatario.

Gastos inherentes a la operación de préstamo (características comerciales) a satisfacer

por el prestatario al inicio de la operación4:

Comisión de apertura= 0,01 · 120.000 = 1.200€

Comisión de estudio=0,01 · 120.000 = 1.200€

Notario= 225€

Registro=120€

Gestión= 100€

Tasación= 350€

120.000 = 1.200 + 1.200 + 225 + 120 + 100 + 350 + 902,73 · 1 − (1 + "$%G )�$��"$%G

Calculado "$%G , debemos calcular el tanto efectivo equivalente expresado en términos

anuales:

"G = (1 + "$%G )$% − 1

4 A efectos del supuesto práctico, consideramos que dichos gastos son satisfechos íntegramente por el prestatario


90

No podemos calcular el tanto efectivo anual de forma analítica. Con el objetivo de

conocer la solución, podemos utilizar un algoritmo iterativo, por ejemplo, empleando la

función TIR de la hoja de cálculo Excel. La solución obtenida es la siguiente:

Solución función TIR: "$%G � 0,003878

"? � 1 ! 0,003878#$% � 1 � 0,0475

El tanto efectivo de coste de esta operación es de 4,75%

c) Tanto efectivo de rendimiento:

Planteamos las ecuaciones de equivalencia (en este caso en el origen) entre prestación

real y contraprestación real desde la perspectiva del prestamista.

Ingresos inherentes a la operación de préstamo (características comerciales) que recibirá

el prestamista al inicio de la operación:

Comisión de apertura= 0,01 B 120.000 � 1.200€

Comisión de estudio=0,01 B 120.000 � 1.200€

120.000 � 1.200 ! 1.200 ! 902,73 B 1 � 1 ! "$%? #�$��"$%?

Calculado "$%? , debemos calcular el tanto efectivo equivalente expresado en términos

anuales:

"? � 1 ! "$%? #$% � 1

De igual modo que en el caso anterior, no podemos calcular el tanto efectivo de forma

analítica. Con el objetivo de conocer la solución, podemos utilizar un algoritmo

iterativo, por ejemplo, empleando la función TIR de la hoja de cálculo Excel. La

solución obtenida es la siguiente:

Solución función TIR: "$%? � 0,003793

"? � 1 ! 0,003793#$% � 1 � 0,0465

El tanto efectivo de rendimiento de esta operación es de 4,65%. Dado que en este caso

existen gastos de carácter unilateral que ha sufragado el prestatario, el tanto efectivo de

coste para el prestatario supera al tanto efectivo de rendimiento para el prestamista.


91



5.1.1. Un préstamo de 20.000€ se amortiza en 5 años por el método francés

mediante términos amortizativos trimestrales. Si el tipo de interés nominal

es del 2,5%, se pide:

a) Término amortizativo

b) Capital amortizado al final del 3er año

c) Cuota de interés del periodo 6

d) Cuota de amortización del periodo 12

5.1.2. Una empresa decide solicitar un préstamo en la entidad financiera de

cuantía 60.000€. Las condiciones del préstamo son las siguientes:

Préstamo indiciado, el tipo aplicable será el EURIBOR a un año más 2

puntos. Amortización anual por el método francés. En el momento de

solicitar el préstamo, el EURIBOR a un año está en el 0,03%. La duración

del préstamo es de 4 años. Calcular:


b) Cuadro de amortización

c) Si transcurrido el primer año, el EURIBOR a un año fuese de 0,02%,

calcular el nuevo término amortizativo

5.1.3. A una empresa se le ha concedido un préstamo por parte de una entidad

financiera el día 1 de enero de 2015. Las condiciones de este préstamo son

las siguientes: nominal de 300.000€, duración 3 años, amortizable por el

método americano con pago anual de intereses, tipo de interés nominal del

3%. Debido a la bajada de los tipos de interés que se está produciendo en

el mercado, la empresa decide cancelar el préstamo anticipadamente el día

1 de enero de 2016 y refinanciarse con un nuevo préstamo de las

siguientes características: préstamo francés con pagos trimestrales,

duración 2 años, tipo de interés nominal del 2,5%. Calcular:

a) La cuantía de los términos amortizativos a lo largo de la vida de la

operación

b) El cuadro de amortización en cada una de las opciones


92

5.1.4. Un particular contrata un préstamo con las siguientes condiciones: capital

prestado 15.000 €, a devolver mediante 4 términos amortizativos

semestrales con términos amortizativos constantes, tipo de interés nominal

del 3%. La operación conlleva una comisión de apertura de 100 € y unos

gastos por la intervención de un fedatario público de 60 €.

a) Plantear las ecuaciones para calcular el tanto efectivo de coste y el tanto

efectivo de rendimiento

b) Un año después tiene suficiente dinero para cancelar la operación, no

obstante, la entidad financiera le cobra una comisión por cancelación

anticipada del 2% del capital amortizado anticipadamente. Plantear la

nueva expresión del tanto efectivo de coste.


5.2.1. Un préstamo de 125.000€ amortizable en 20 años por el método francés

mediante términos amortizativos mensuales. Si el tipo de interés nominal

es del 1,75%, se pide:


b) Cuadro de amortización

5.2.2. Una empresa emite bonos a tres años por importe de 20 millones de euros,

a un tipo de interés nominal del 4% (cupón pagadero trimestralmente).

Calcular el cuadro de amortización de la operación teniendo en cuenta que

se amortiza por el sistema americano. Si la emisión conlleva unos gastos

del 1,5%, calcular el tanto efectivo de coste asociado a la operación.


93

5.2.3. Una empresa recibe un préstamo de 95.000€ de nominal de una entidad

financiera las siguientes características:

• Amortización mensual mediante términos amortizativos mensuales

constantes


• Tipo de interés nominal: 3,5%

• Comisión de apertura: 1% del nominal del préstamo

Además, la intervención de un fedatario público ocasiona unos gastos de

150€ sufragados por el prestatario.

a) Calcular el cuadro de amortización

b) Calcular el tanto efectivo de coste

c) Calcular el tanto efectivo de rendimiento

5.2.4. Una empresa decide solicitar un préstamo en la entidad financiera, de

cuantía 75.000 €. Las condiciones del préstamo son las siguientes:

• amortización mensual por el método francés

• tipo de interés variable, referenciado a EURIBOR a un año más un

diferencial de 1 punto. El primer año se aplica un tipo de interés

nominal del 2,5%.

• duración: 6 años. Anualmente se revisa el préstamo con unas

condiciones de tipo de interés nominal igual al del Euribor más 1%.

Finalizada la operación, se sabe que la evolución del EURIBOR a un año

ha sido la siguiente:

Año EURIBOR de referencia

2 0,1%

3 0,07%

4 0,05%

5 0,04%

6 0,02%


94

a) Determinar la cuantía de los términos amortizativos de los diferentes

periodos en los que se puede subdividir el préstamo

b) Cuadro de amortización de la operación financiera incluyendo las

variaciones de tipos de interés en los distintos periodos.

5.2.5. Una empresa recibe un préstamo de 150.000€ de nominal de una entidad

financiera las siguientes características:

• Amortización mensual mediante términos amortizativos mensuales

constantes

• Duración: 14 años con 2 años de carencia de principal

• Tipo de interés nominal: 2,75%

• Comisión de apertura: 1% del nominal del préstamo

• Gastos fedatario público: 170€ sufragados por el prestatario.

a) Calcular el cuadro de amortización

b) Calcular el tanto efectivo de coste

c) Calcular el tanto efectivo de rendimiento

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

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