Matemáticas · 2020. 3. 13. · El Cuaderno de acompañamiento Matemáticas 1 para 1.o de ESO es...

El Cuaderno de acompañamiento Matemáticas 1 para 1.o de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Silvia Marín García Carlos Pérez Saavedra

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

Las actividades de este Cuaderno no deben ser realizadas en ningún caso en el propio material.

Matemáticas Cuaderno de acompañamientoSERIE RESUELVE

ES

O

1

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Contenidos del Cuaderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . . . . . 20

8 Estadística y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 22

AMPLIACIÓN

1 Polígonos. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Cuadriláteros y circunferencia . . . . . . . . . . . . 28

3 Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Índice

El Cuaderno de acompañamiento es un material diseñado y elaborado por Santillana para que esté contigo, para que te acompañe, siempre que estudies Matemáticas.

Puedes utilizar tu Cuaderno de acompañamiento:

• Antes de comenzar cada unidad, para darte cuenta de lo que necesitas recordar de cursos anteriores y poder repasarlo.

• Cuando encuentres cualquier dificultad a lo largo del curso: un concepto que no recuerdas, cómo se resuelve cierto tipo de problemas, de qué forma representamos una operación o un tipo de números…

• Antes de preparar cualquier examen o prueba, para asegurarte de que conoces lo más importante.

¿Qué es el Cuaderno de acompañamiento?

Es conveniente que tengas siempre a tu lado el Cuaderno para poder consultarlo cuanto te sea necesario.

Si lo utilizas a menudo, te darás cuenta de todas las posibilidades que te ofrece y se convertirá en un elemento importante, junto con tu libro de texto, para comprender mejor las Matemáticas y progresar en ellas adecuadamente.

Presentación

4

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1 Números naturales

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

a + b Indica la suma de dos números naturales.

a > b Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es mayor que el segundo, b.

a < b Indica una relación entre dos números naturales. El primer número, a, es menor que el segundo, b.

a ! b Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es distinto al segundo, b.

Los números naturales se representan mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras a, b, c…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.

A veces, cuando nos referimos a un número que no conocemos y que queremos hallar, se designa por x, y, z…


an Indica la potencia de un número natural, a, elevado a otro número natural, n.

a2 Indica un número natural, a, elevado al cuadrado.

a5 Indica un número natural a, elevado a la quinta.

2n Indica 2 elevado a un número natural, n.

La base de una potencia se representa igual que los números naturales, con letras minúsculas, a, b, c…

El exponente también son letras minúsculas, siendo las más utilizadas n, m…, o también b, c, d…, aunque se puede emplear cualquier letra del abecedario.


a = b El número a es la raíz cuadrada del número b.

Se suele expresar así cuando b es un cuadrado perfecto y, por tanto, a es un número natural.

CONVIENE QUE...

Sepas operar expresiones numéricas con paréntesis.

PORQUE...

Lo necesitarás para resolver operaciones combinadas.

Antes de empezar, repasa Para que comprendas, ten en cuenta

CONVIENE QUE...

Repases la ordenación del sistema de numeración decimal.

PORQUE...

Te servirá para calcular el valor de posición de las cifras de un número.

CONVIENE QUE...

Sepas aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

PORQUE...

Las necesitarás para operar con potencias.

ProPiedad asociativa de la multiPlicación

a ? (b ? c) = (a ? b) ? c

Ejemplo:

5 ? (3 ? 2) = (5 ? 3) ? 2

5 ? 6 = 15 ? 230 = 30

" "

ProPiedad conmutativa de la multiPlicación

a ? b = b ? a

Ejemplo:

4 ? 7 = 7 ? 4

28 28

""

Para calcular expresiones numéricas con paréntesis, primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis.

3 ? (5 - 4) + (3 ? 8) - 3

3 ? 1 + 24 - 3

3 + 21

24

"

"


an = a ? a ? …n ? aan = a ? a ? … ? a n veces

Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

5 veces

? ? ? ?a a a a a a5 =H

144424443

CONVIENE QUE...

Recuerdes cómo se descompone un número en sus distintos órdenes.

PORQUE...

Te ayudará a obtener la descomposición polinómica de un número.

46 513 = 4 DM 6 UM 5 C 1 D 3 U

DM UM C D U

4 6 5 1 3

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena Decena Unidad

CM DM UM C D U

100 000 U 10 000 U 1 000 U 100 U 1 U 1 U

10 DM 10 UM 10 C 10 D 10 U

98

PARA QUE COMPRENDAS, TEN EN CUENTA

Las Matemáticas tienen un lenguaje propio, tanto en los numerosos signos que utilizan como en la manera de denominar los conceptos.

Para que puedas avanzar con seguridad es muy importante que conozcas y entiendas este lenguaje.

En esta sección encontrarás los signos y el vocabulario utilizados en la unidad, junto con su significado.

Consúltala y acude a ella siempre que lo necesites.

ANTES DE EMPEZAR, REPASA

En esta sección encontrarás todo lo que debes conocer de cursos anteriores para poder comenzar a estudiar con éxito la unidad correspondiente de tu libro.

Aparecen los conceptos y técnicas más importantes, acompañados siempre de ejemplos concretos.

Puedes también acudir a ella cuando necesites repasarlos a lo largo de este curso y de otros posteriores.

El Cuaderno es un material que puedes conservar y utilizar en el futuro.

5


Unidad 1

• Sistema de numeración decimal.• Descomposición de un número

en factores primos.• Propiedades de la multiplicación.• Expresiones con paréntesis.

• Signo de la suma.• Signos de orden entre números.• Expresiones de las potencias y raíces.

Unidad 2• División exacta y entera.• Múltiplos de un número.• Divisores de un número.

• Signos de la división.• Expresiones de múltiplos y divisores.• Términos de la división.

Unidad 3

• Aplicaciones de los números enteros.

• Representación de los números enteros.

• Resolución de operaciones con paréntesis.

• Jerarquía de las operaciones.

• Expresiones de números enteros.• Valor absoluto y opuesto.• Regla de los signos.

Unidad 4

• Fracción y sus términos.• Representación de fracciones.• Fracciones menores y mayores que

la unidad.• Jerarquía de las operaciones.

• Expresiones de una fracción.• Mínimo común múltiplo.• Máximo común divisor.

Unidad 5

• Sistema de numeración decimal.

• Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros.

• Aproximaciones de números.

• Expresiones de números decimales.• Sucesiones de números.

Unidad 6

• Propiedad distributiva del producto.• Producto y cociente de potencias

de la misma base.• Simplificación de fracciones.

• Expresiones algebraicas.• Monomios.• Signo !.

Unidad 7

• Fracciones equivalentes.• Amplificación y simplificación de

fracciones.• Paso de número decimal a fracción.• Operaciones con números decimales

y fracciones.

• Proporción.• Relación entre magnitudes.• Expresiones y cálculos con porcentajes.

Contenidos

6


Unidad 8

• Medida de ángulos.• Tablas estadísticas.• Gráficos estadísticos.

• Expresiones de valores y frecuencias.• Expresión de la media, la mediana

y la moda.• Expresión de la probabilidad de

un suceso.

AMPLIACIÓN

Unidad 1

• Clasificación de triángulos.• Suma de los ángulos de un triángulo.• Altura de un triángulo.

• Expresión de vértices, lados y ángulos de un polígono.

• Expresión de los lados de un triángulo rectángulo y de la altura de cualquier triángulo.

Unidad 2

• Rectas paralelas.• Polígonos regulares.• Polígono inscrito y circunscrito.

• Expresión de vértices, lados y ángulos de un cuadrilátero.

• Expresión de la diagonal de un paralelogramo y la apotema de polígono regular.

• Expresión del radio, el diámetro y la circunferencia.

Unidad 3

• Clasificación de polígonos.• Área de figuras planas.

• Expresión del perímetro de un polígono.• Expresión de un arco.• Expresión del número r.• Expresión en grados.

7

1 Números naturales

CONVIENE QUE...

Sepas operar expresiones numéricas con paréntesis.

PORQUE...

Lo necesitarás para resolver operaciones combinadas.

Antes de empezar, repasa

CONVIENE QUE...

Repases la ordenación del sistema de numeración decimal.

PORQUE...

Te servirá para calcular el valor de posición de las cifras de un número.

CONVIENE QUE...

Sepas aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

PORQUE...

Las necesitarás para operar con potencias.

ProPiedad asociativa de la multiPlicación

a ? (b ? c) = (a ? b) ? c

Ejemplo:

5 ? (3 ? 2) = (5 ? 3) ? 2

5 ? 6 = 15 ? 230 = 30

" "

ProPiedad conmutativa de la multiPlicación

a ? b = b ? a

Ejemplo:

4 ? 7 = 7 ? 4

28 28

""

Para calcular expresiones numéricas con paréntesis, primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis.

3 ? (5 - 4) + (3 ? 8) - 3

3 ? 1 + 24 - 3

3 + 21

24

"

"

CONVIENE QUE...

Recuerdes cómo se descompone un número en sus distintos órdenes.

PORQUE...

Te ayudará a obtener la descomposición polinómica de un número.

46 513 = 4 DM 6 UM 5 C 1 D 3 U

DM UM C D U

4 6 5 1 3

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena Decena Unidad

CM DM UM C D U

100 000 U 10 000 U 1 000 U 100 U 10 U 1 U

10 DM 10 UM 10 C 10 D 10 U

8



a + b Indica la suma de dos números naturales.

a > b Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es mayor que el segundo, b.

a < b Indica una relación entre dos números naturales. El primer número, a, es menor que el segundo, b.

a ! b Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es distinto al segundo, b.

Los números naturales se representan mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras a, b, c…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.

A veces, cuando nos referimos a un número que no conocemos y que queremos hallar, se designa por x, y, z…


an Indica la potencia de un número natural, a, elevado a otro número natural, n.

a2 Indica un número natural, a, elevado al cuadrado.

a5 Indica un número natural a, elevado a la quinta.

2n Indica 2 elevado a un número natural, n.

La base de una potencia se representa igual que los números naturales, con letras minúsculas, a, b, c…

El exponente también son letras minúsculas, siendo las más utilizadas n, m…, o también b, c, d…, aunque se puede emplear cualquier letra del abecedario.


a = b El número a es la raíz cuadrada del número b.

Se suele expresar así cuando b es un cuadrado perfecto y, por tanto, a es un número natural.

Para que comprendas, ten en cuenta


an = a ? a ? …n ? aan = a ? a ? … ? a n veces

Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

5 veces

? ? ? ?a a a a a a5 =H

144424443

9

2 Divisibilidad


CONVIENE QUE...

Repases qué son los múltiplos de un número.

PORQUE...

Lo necesitarás para comprender sus propiedades.

Un número es múltiPlo de otro si la división del primero entre el segundo es exacta.

28 es múltiplo de 4 porque 28 : 4 es una división exacta.

28 4

0 7Resto F

40 no es múltiplo de 7 porque 40 : 7 es una división entera.

40 7

5 5Resto F

CONVIENE QUE...

Recuerdes lo que son los divisores de un número.

PORQUE...

Te servirá para establecer criterios de divisibilidad e identificar números primos y compuestos.

Un número es DIVISOR de otro si la división del segundo entre el primero es exacta.

4 es divisor de 28 porque 28 : 4 es una división exacta.

28 4

0 7Resto F

7 no es divisor de 40 porque 40 : 7 es una división entera.

40 7

5 5Resto F

CONVIENE QUE...

Conozcas la diferencia entre división exacta y entera.

PORQUE...

Te servirá para identificar los múltiplos y los divisores de un número.

Si en una división el resto es 0, se dice que es exacta. En caso contrario, es entera.

12 3

0 4Resto F

17 2

1 8Resto F

división exacta división entera

10



a : b

a : 5

9 : a

Todas estas expresiones indican la división de dos números.

Para indicar la división exacta entre dos números naturales se utiliza el símbolo : aunque también se puede usar si la división es entera.

Cuando la división es entera se suelen poner los números en forma de fracción.


Div (a) Indica el conjunto de los divisores de un número a.

Div (9) Indica el conjunto de los divisores de 9.

El conjunto de todos los divisores de un número se representa mediante las letras Div seguidas del número entre paréntesis.

El conjunto de los divisores de 9 es:

Div (9) = {1, 3, 9}


ao Indica el conjunto de todos los múltiplos de a.

3o Indica el conjunto de todos los múltiplos de 3.

El conjunto de todos los múltiplos de un número se representa mediante ese número con un puntito encima de él.

El conjunto de los múltiplos de 3 es:

? ? ? ? ?{ , , , , …}3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5=o

{ , , , , …}3 3 6 9 12 15=o


D Indica el dividendo de una división.

d Indica el divisor de una división.

c Indica el cociente de una división.

r Indica el resto de una división.

En una división existen cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y resto.

Resto

123 8

43 15 3

Dividendo F

F

Divisor

F

Cociente

F

Una división está bien hecha si se verifica que: D = d ? c + r y r < d.

123 = 8 ? 15 + 3

3 < 8


11

3 Números enteros

CONVIENE QUE...

Conozcas la jerarquía de las operaciones.

PORQUE...

Tendrás que aplicarla en las operaciones combinadas con números enteros.


Hay situaciones en las que es necesario utilizar números enteros.

– Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Así, 4 grados bajo cero se expresa como -4 °C.

– Al considerar deudas económicas. Si debemos 100 €, decimos que nuestro saldo es de -100 €.

– Al referirse a las plantas de un edificio. El garaje está en la planta -3 y la terraza en la 5.

CONVIENE QUE...

Recuerdes las aplicaciones de los números enteros.

PORQUE...

Te ayudarán a comprender sus propiedades y la forma de realizar sus operaciones.

Primero se resuelven las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

Después, las sumas y las restas en el mismo orden.

CONVIENE QUE...

Sepas representar números naturales en la recta numérica.

PORQUE...

Te servirá como base para representar los números enteros en la recta numérica.

1 2 3 4 5

CONVIENE QUE...

Tengas destreza en la resolución de operaciones con paréntesis.

PORQUE...

Lo necesitarás para resolver operaciones de números enteros en las que aparecen paréntesis.

Para resolver operaciones con paréntesis, primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis.

7 - (5 - 3) + (4 + 8) - 6

7 - 2 + 12 - 6

5 + 12 - 6

17 - 6

11

" "

.

.

.

.

25 - 4 ? 3 : 6 - 2 + 12 : 3 + 6 =

= 25 - 12 : 6 - 2 + 4 + 6 =

= 25 - 2 - 2 + 4 + 6 =

= 23 - 2 + 4 + 6 = 21 + 4 + 6 =

= 25 + 6 = 31

"

"

12



Z Indica el conjunto de todos los números enteros.

a Indica un número entero que puede ser positivo o negativo.

+a Indica un número entero positivo.

Cuando queremos indicar el conjunto de todos los números enteros lo designamos por Z.

El signo de los números enteros se debe colocar pegado al número, sin dejar espacios en blanco.


Regla de los signos. Nos da el signo que tendrá el resultado de multiplicar o dividir dos números enteros.

Factores Resultado

+ + +

+ - -

- + -

- - +

Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican o dividen prescindiendo del signo. Después, se pone el signo que corresponde según la regla de los signos.

(-3) ? (+5) = -15 (+12) : (-3) = -4

(+3) ? (-5) = -15 (-8) : (-2) = +4



2

+2

(+2)

Las tres formas indican el mismo número, +2.

Si un número no lleva signo, se considera que es un entero positivo.

El número entre paréntesis se suele utilizar en las expresiones de operaciones.


-2

(-2)

Ambas formas expresan el mismo número negativo.

El número entre paréntesis se suele utilizar en las expresiones de operaciones.


a

Op (a)

Asigna a cada número él mismo prescindiendo del signo.

Asigna a cada número él mismo cambiándole el signo.

El valor absoluto de un número es el mismo número prescindiendo del signo.

3 = 3 3- = 3

El opuesto de un número es él mismo cambiado de signo.Op (3) = -3 Op (-3) = 3

13

4 Fracciones

CONVIENE QUE...

Repases las prioridades en las operaciones combinadas.

PORQUE...

Tendrás que aplicarlas en las operaciones combinadas con fracciones.

25 - (4 ? 3 - 2) + 14 : (3 + 4) =

Primero se resuelven las operaciones entre paréntesis:= 25 - (12 - 2) + 14 : 7 = 25 - 10 + 14 : 7 =

Después, las multiplicaciones y divisiones:= 25 - 10 + 2 =

Y, por último, las sumas y restas: = 17


CONVIENE QUE...

Recuerdes lo que es una fracción y cuáles son sus términos.

PORQUE...

Lo necesitarás como punto de partida para ampliar tus conocimientos.

CONVIENE QUE...

Sepas llevar a cabo la representación de fracciones con gráficos.

PORQUE...

Te ayudará a comprender algunas propiedades de las fracciones.

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador. Después, se marcan las partes que señale el numerador.

65

CONVIENE QUE...

Sepas identificar cuándo una fracción es menor, mayor o igual a la unidad.

PORQUE...

Te servirá para clasificar las fracciones.

83

1<8

18

=8

110

>

Numerador < < Denominador

Numerador = = Denominador

Numerador > > Denominador

Los términos de una fracción son el numerador y el denominador.

83

Se lee tres octavos

El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad.

El numerador indica las partes que se toman de la unidad.

"Numerador F

Denominador F

14



m.c.m. (a, b) Indica el mínimo común múltiplo de a y b.

m.c.d. (a, b) Indica el máximo común divisor de a y b.

m.c.m. (a, b, c) Indica el mínimo común múltiplo de a, b y c.

m.c.d. (a, b, c) Indica el máximo común divisor de a, b y c.

m.c.m. (12, 21) = 84. El menor número natural que es múltiplo a la vez de 12 y de 21 es 84.

m.c.d. (12, 21) = 3. El número natural más grande que es divisor común de 12 y 21 es 3.

m.c.m. (10, 12, 20) = 60. El menor número natural que es múltiplo a la vez de 10, 12 y 20 es 60.

m.c.d. (10, 12, 20) = 2. El mayor número natural que es divisor a la vez de 10, 12 y 20 es 2.


ba

Indica una fracción.

a/bIndica la misma fracción que la expresión anterior.

a2

Indica una fracción de numerador a y denominador 2.

a/2 Indica la misma fracción que la expresión anterior.

Se puede expresar una fracción en forma vertical,

53

, o en horizontal, 3/5.

Ambas expresiones definen la misma fracción.


3274

o //

2 34 7

Indican la operación :74

32

.

527

o /5

7 2 Indican la operación :

27

5.

3

96

o /6 93

Indican la operación :396

.

La línea de fracción horizontal más larga es la que determina el dividendo y el divisor de la operación.

Fíjate bien en las longitudes de las rayas para no equivocarte.

527

107

2

35

527

!= =


15

5 Números decimales

CONVIENE QUE...

Realices con soltura la multiplicación y división de un número natural por la unidad seguida de ceros.

PORQUE...

Las utilizarás para transformar números decimales en fracciones decimales.

16 ? 100 = 1 600

160 ? 1 000 = 160 000

1 600 : 100 = 16

160 000 : 1 000 = 160


CONVIENE QUE...

Repases el sistema de numeración decimal y la descomposición polinómica de un número natural.

PORQUE...

Estudiaremos los órdenes menores que la unidad y te ayudará a comprender la descomposición polinómica de un número decimal.

El sistema de numeración decimal es posicional. El valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

2 ? 10 000 = 20 000 2 3 4 1 5 5 ? 1 = 5

3 ? 1 000 = 3 000 1 ? 10 = 10

4 ? 100 = 400

23 415 = 2 ? 104 + 3 ? 103 + 4 ? 102 + 1 ? 10 + 5

"

"

"""

CONVIENE QUE...

Sepas hacer aproximaciones de números naturales.

PORQUE...

Son útiles para realizar estimaciones y cálculos.

Se sustituyen por 0 todas las cifras siguientes a la del orden considerado, teniendo en cuenta, además, que si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad esta última.

Redondeo a las decenas: 3 720

Redondeo a las centenas: 3 700

Redondeo a los millares: 4 000

3 7 1 5"

"

"

16



a Puede indicar cualquier tipo de número, incluido un número decimal.

3,452… Indica un número decimal cuya parte decimal, además de las cifras que aparecen, 452, tiene muchas más cifras decimales.

4,56777… Indica un número decimal periódico en cuya parte decimal la cifra 7 se repite indefinidamente.

Los puntos supensivos en cualquier notación numérica indican que hay más elementos además de los escritos. En el caso de los números decimales significa que hay un número ilimitado de decimales.

Los puntos suspensivos se colocan inmediatamente detrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco.


2, 4, 6, 8… Indica una sucesión de números naturales.

Tras el último número citado de la sucesión se colocan tres puntos suspensivos. Eso indica que la sucesión continúa.


0,3; 0,5; 0,7… Indica una sucesión de números decimales.

Los números decimales se suelen separar por ; para distinguir dónde termina uno y dónde empieza el siguiente. Los puntos suspensivos deben ir pegados a la última cifra del último número de la sucesión.


,3 4! Indica un número decimal periódico

puro en el que 4 se repite indefinidamente.

,7 18! Indica un número decimal periódico

mixto en el que 8 se repite indefinidamente.

,2 4567$

Indica un número decimal periódico mixto en el que 67 se repite indefinidamente.

Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal se repiten indefinidamente, se pone un pequeño arco sobre ellas.

, , …3 4 3 4444=!

, ,7 18 7 18888…=!

, ,42 4567 2 5676767…=#


17

CONVIENE QUE...

Conozcas cómo realizar el producto y el cociente de potencias de la misma base.

PORQUE...

Lo necesitarás para operar con monomios.

Para multiPlicar Potencias de la misma base se mantiene la base y se suman los exponentes.

Para dividir Potencias de la misma base se mantiene la base y se restan los exponentes. El exponente del dividendo tiene que ser mayor que el del divisor.

an ? am = an+m

an : am = an-m

73 ? 75 = 73+5 = 78

46 : 42 = 46-2 = 44

CONVIENE QUE...

Sepas cómo llevar a cabo la simplificación de fracciones.

PORQUE...

Te servirá para realizar divisiones de monomios y para simplificar la solución de una ecuación.

simPlificar una fracción consiste en hallar otra equivalente que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador.

? ?

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

180120

2 3 52 3 5

2 2 3 52 2 3 5

32

32

2 2

3

= = =[ [ [ [

[ [ [ [

? ? ?

? ? ? ? ?

a cda b c

a a da a a b b c

dab

c2

3 2 2

= =[ [ [

[ [ [


ProPiedad distributiva del Producto resPecto de la suma y de la diferencia

a ? (b + c) = a ? b + a ? c

a ? (b - c) = a ? b - a ? c

7 ? (5 + 2) = 7 ? 5 + 7 ? 2 = 35 + 14 = 49

8 ? (4 - 3) = 8 ? 4 - 8 ? 3 = 32 - 24 = 8

CONVIENE QUE...

Recuerdes la propiedad distributiva del producto.

PORQUE...

Tendrás que aplicarla en la resolución de algunas ecuaciones.

6 Álgebra

18



x + y - z Indica una expresión algebraica con tres incógnitas.

Las incógnitas de una expresión algebraica se representan con letras minúsculas. Las más usuales son x, y, z, t, u, v…


axn Es la expresión general de un monomio. En la expresión general de un monomio se distinguen diferentes partes.

axnCoeficiente

Parte literal

F

F


3 + 4 ! 9 Indica que los dos miembros son distintos.

El símbolo ! expresa que el primer miembro no es igual al segundo.



-5 ? a ? b3

-5ab3 Indican el mismo monomio.

7 ? (3x - 2)

7(3x - 2)Indican la misma operación.

El signo de multiplicación entre un número y una incógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir.

El signo de multiplicación anterior a un paréntesis también se puede omitir.


x43

3/4 ? x

(3/4)x

x43

Todas estas expresiones representan el mismo monomio.

Un coeficiente fraccionario se puede expresar mediante cualquiera de sus representaciones.

19


Dos fracciones ba

y dc

son equivalentes, y se escribe ba

= dc

,

si a ? d = b ? c.

32

= 64

ya que 2 ? 6 = 3 ? 4 = 12

CONVIENE QUE...

Conozcas la relación entre las fracciones equivalentes.

PORQUE...

Te ayudará a identificar qué es una proporción.

7 Proporcionalidad y porcentajes

CONVIENE QUE...

Sepas amplificar y simplificar fracciones.

PORQUE...

Te servirá para estudiar las series de razones iguales.

amPlificación. Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.

32

= ?

?

3 52 5

= 1510

75

= ?

?

7 125 12

= 0846

simPlificación. Dividimos numerador y denominador entre un mismo número, divisor de ambos, distinto de cero.

::

1216

12 416 4

34

= = ::

33984

39 384 3

128

= =

24,16 4

0 1 6,04 16 0

3,6 5 × 1 2

7 3 03 6 54 3,8 0

CONVIENE QUE...

Recuerdes algunas operaciones entre números enteros y decimales.

PORQUE...

Tendrás que aplicarlas en la resolución de problemas de proporcionalidad.

Para multiplicar un número entero por un decimal, se multiplica normalmente y luego se separan tantos decimales como tenga el número decimal.

Para dividir un número decimal entre un entero, se divide normalmente y se coloca la coma en el dividendo al llegar al grupo de cifras decimales.

CONVIENE QUE...

Domines la técnica de paso de números decimales exactos a fracciones.

PORQUE...

Lo necesitarás para trabajar con porcentajes.

Se pone en el numerador el número decimal sin la coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya a la derecha de la coma. Simplificamos después todo lo que podamos.

1,6 = 1016

58

= 0,75 = 10075

43

=

"

Simplificamos

"

Simplificamos

20



ba

dc

k= = Indica una proporción y su constante de proporcionalidad.

ba

xc

= Indica una proporción con un término desconocido.

La constante de proporcionalidad se representa por k.

Los términos desconocidos de una proporción se suelen expresar mediante x, y, z…


% Indica que estamos expresando una cantidad en tanto por ciento.

k % de C Indica que, de cada 100 partes de C, tomamos k.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos el tanto por la cantidad y dividimos entre 100.

16 % de 230 " ?

10016 230

= 36,8

Para expresar una fracción en tanto por ciento, tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por 100.

52

" 52

= 0,4 = 0,4 ? 100 % = 40 %


…ba

ba

ba

nm

1

1

2

2

3

3= = = =

a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n

Los puntos suspensivos expresan que todos los pares de valores tienen la misma relación.


Magnitud A a1 a2 a3 … m

Magnitud B b1 b2 b3 … n

Los valores que puede tomar la magnitud A se expresan mediante a1, a2, a3… y los de la magnitud B mediante b1, b2, b3…

Las casillas con puntos suspensivos significan que la tabla tiene más valores intermedios que guardan la misma relación de proporcionalidad.



a " b

c " xIndica la proporción

ba

xc

= .Una proporción,

ba

xc

= , siendo x una cantidad

desconocida, indica que a es proporcional a b como c lo es a x.

21

El transportador sirve para medir ángulos de 0° a 180° y el resultado lo da en grados sexagesimales.

Un ángulo completo mide 360°.

CONVIENE QUE...

Sepas construir una tabla estadística.

PORQUE...

Te será útil para organizar los datos y hacer representaciones gráficas.

Una tabla estadística muestra los datos recogidos en una investigación estadística y el número de veces que se repiten.

Color de zapatillas

Azul Verde Amarillo Rojo

Estudiantes 6 9 4 3

Se lee: 6 estudiantes tienen zapatillas de color azul…

CONVIENE QUE...

Conozcas las gráficas estadísticas.

PORQUE...

Te servirán para analizar e interpretar conjuntos de datos.

Sirven para captar, rápidamente, las informaciones más relevantes del conjunto de datos.

Diagrama de barras Gráfico de sectores

CONVIENE QUE...

Recuerdes lo que es un sector circular.

PORQUE...

Te hará falta para realizar gráficos estadísticos.


CONVIENE QUE...

Sepas cómo obtener medidas de ángulos.

PORQUE...

Lo utilizarás para construir gráficos estadísticos.

8 Estadística y probabilidad

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

Para dibujar un sector circular determinado basta con conocer la longitud del radio y el ángulo que abarca el sector circular.

rr

22


xi Indica los valores o datos que obtenemos en un estudio estadístico.

La notación xi indica los datos obtenidos. El índice, i, expresa el orden, es decir, x1 es el primero, x2 el segundo…

El número de hermanos y hermanas de 10 estudiantes es:

0, 3, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 0x1 = 0, x2 = 3, x3 = 1, x4 = 1…

Si los datos se expresan agrupados, el significado de xi no es el valor de cada dato, sino los valores que aparecen.

xi = Número de hermanos/as 0 1 2 3

Número de estudiantes 4 3 2 1


P (A) Indica la probabilidad del suceso A. Para indicar la probabilidad de un suceso A, se escribe la letra P y, después, entre paréntesis, la letra correspondiente al suceso: P (A).



fi Indica la frecuencia absoluta del valor xi.

hi Indica la frecuencia relativa del valor xi.

N Indica el número total de datos que tomamos en el estudio.

La frecuencia absoluta de un valor se suele representar por fi, donde el subíndice i indica que pertenece al valor xi.

xi = Número de hermanos/as 0 1 2 2

fi = Número de estudiantes 4 3 2 1

f1 = 4, f2 = 3, f3 = 2, f4 = 1

La frecuencia relativa se representa por hi, hi = Nfi .

En el ejemplo: h1 = 0,4; h2 = 0,3…

El número total de datos de un estudio suele denotarse con la letra N o n. En el ejemplo: N = 10.


x Indica la media de un conjunto de datos.

Me Indica la mediana de un conjunto de datos.

Mo Indica la moda de un conjunto de datos.

La media aritmética se denota x .

La mediana se designa por Me, aunque también se puede nombrar como Md.

La moda se expresa Mo.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

23


CONVIENE QUE...

Repases las clasificaciones de los triángulos en cuanto a sus lados y sus ángulos.

PORQUE...

Te ayudarán a comprender las relaciones entre los elementos de un triángulo.

1 Polígonos. Triángulos

CONVIENE QUE...

Sepas qué es la altura de un triángulo.

PORQUE...

Vamos a estudiar las rectas y los puntos notables de un triángulo.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado, o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

CONVIENE QUE...

Recuerdes que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

PORQUE...

Lo necesitarás para calcular la medida de los ángulos interiores de un polígono.

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

M

A

B

C

N

M N

Ml Nl

M N

Ml NlA C

Escaleno Rectángulo

Equilátero Isósceles Acutángulo Obtusángulo

AMPLIACIÓN

24

GEOMETRÍA


Los vértices del triángulo se designan por letras mayúsculas, los lados con letras minúsculas y los ángulos con las mismas letras que los vértices y el símbolo W.

CA

B

c a

b

AW CW

BW

Para representar un triángulo primero se nombran los vértices, comenzando por cualquiera de ellos. Las letras que se suelen utilizar son A, B, C…, aunque es válida cualquiera del abecedario.

Posteriormente se nombran los lados, que se designan con la letra minúscula de la que representa el vértice opuesto: a, b, c…

Por último, los ángulos se designan añadiendo el símbolo W a la letra que representa su vértice, AW, BW, CW…

Un triángulo se designa por las letras de sus

vértices, ABC, con el símbolo &, ABC& .


a + c > b Indica que la suma de las longitudes de los lados a y c es superior a la longitud del lado b.

b > c - a Indica que la longitud del lado b es mayor que la diferencia de las longitudes de los lados c y a.

Se utiliza una notación de este tipo para indicar relaciones entre los lados de un triángulo.


La altura es el segmento perpendicular a un lado, o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

Se suele representar mediante la letra h.

A veces se añade a la letra h un subíndice, la expresión hc representa la altura sobre el lado c.h



En un triángulo rectángulo, el lado que es opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa, y lo solemos representar mediante la letra a. Los lados que forman el ángulo recto son los catetos, que se designan con las letras b y c.

A B

C

b

c

a

Hipotenusa

Cat

eto

Cateto

25


Dos rectas son Paralelas cuando no tienen ningún punto en común.CONVIENE QUE...

Sepas cuándo dos rectas son paralelas.

PORQUE...

Lo necesitarás para identificar si un polígono es un paralelogramo.

2 Cuadriláteros y circunferencia

Rectas paralelas En este polígono, los lados a y b son paralelos. Los lados c y d

no son paralelos.

c d

b

a

CONVIENE QUE...

Distingas los polígonos regulares del resto de polígonos.

PORQUE...

Vas a estudiar sus elementos.

Un Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, el polígono es irregular.

Octógono

8 lados igualesHexágono

6 lados igualesPentágono

5 lados iguales

CONVIENE QUE...

Recuerdes lo que es un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia.

PORQUE...

Vas a aprender a dibujar polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Un Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, el polígono es irregular.

Pentágono inscrito en una circunferencia

Hexágono circunscrito a una circunferencia

AMPLIACIÓN

26

GEOMETRÍA


En un cuadrilátero, los vértices se designan por letras mayúsculas y los ángulos con las mismas letras que los vértices y el símbolo W.

A B

D C

AW

CWDW

BW

Para representar un cuadrilátero, primero se nombran los vértices con letras mayúsculas. Se suelen utilizar las letras A, B, C…, aunque es válida cualquiera del abecedario.

Los lados del cuadrilátero se designan mediante las letras de los dos vértices que lo delimitan, AB, BC, CD y AD. También se pueden nombrar con letras minúsculas, a, b, c… A veces, sobre todo cuando los lados son iguales, se representan por l.

Los ángulos se designan añadiendo el símbolo W a la letra de su vértice, AW, BW, CW…

Para expresar un cuadrilátero se le nombra mediante las letras de sus vértices, ABCD.



a Esta letra, en los polígonos, indica la apotema.

La apotema es el segmento que va desde el centro de un polígono regular al punto medio de un lado.

a


d Representa la diagonal de un polígono.

D y d Indican las dos diagonales de un rombo.

La diagonal, d, de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.

Las diagonales de un rombo se representan por d, la diagonal menor, y por D, la mayor.

d

d

D


r Indica el radio de una circunferencia.

D Indica el diámetro de una circunferencia.

C Es la notación usada para designar a una circunferencia.

Una circunferencia se suele nombrar mediante una letra mayúscula, normalmente C.

El radio y el diámetro se suelen representar mediante las letras r y D (o d ), respectivamente.

C

D

r

27


Una forma de clasificar polígonos es atendiendo a su número de lados.

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Los cuadriláteros se clasifican atendiendo también a sus ángulos y al paralelismo de sus lados.

• Paralelogramos: sus lados son paralelos dos a dos.

Cuadrado Rectángulo

4 lados iguales. Lados iguales dos a dos. 4 ángulos rectos. 4 ángulos rectos.

Rombo Romboide

4 lados iguales. Lados y ángulos No tiene iguales dos a dos. ángulos rectos. No tiene ángulos rectos.

• Trapecios: tienen un par de lados paralelos.

Rectángulo Isósceles Escaleno

2 ángulos rectos. 2 ángulos iguales. Lados y ángulos distintos.

• Trapezoides: no tienen lados paralelos.

CONVIENE QUE...

Recuerdes cómo se clasifican los polígonos.

PORQUE...

Te permitirá establecer relaciones métricas entre ellos.

3 Perímetros y áreas

CONVIENE QUE...

Calcules con soltura áreas de figuras planas.

PORQUE...

Te servirá para determinar estrategias para el cálculo de áreas de polígonos.

¿Cuál es el área de la casa tomando como unidad de superficie el cuadrado? ¿Y tomando como unidad de superficie el triángulo?

Si tomamos como unidad :

Área de la casa = 11

Si se toma como unidad :

Área de la casa = 22

Observa que el área depende de la unidad de medida.

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

AMPLIACIÓN

28

GEOMETRÍA


p Indican el valor P del perímetro.

El perímetro de un polígono se representa mediante la letra p o P.

Se halla sumando la longitud de todos sus lados.


A

B

O

AB%

Indican queAr nos referimos

a un arco de circunferencia.

AOB Indica el ángulo que abarcan los radios OA y OB.

Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

El arco de una circunferencia se suele representar por las letras Ar, o bien por los puntos que lo delimitan, AB, y el símbolo

#, AB%

.

Un ángulo central de una circunferencia se representa como un ángulo cualquiera en el que el vértice del ángulo es el centro de la circunferencia, AOB.


r Representa un número con infinitas cifras decimales. Para trabajar con él se suele tomar una aproximación decimal del mismo, r = 3,14.

El cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro es una razón constante para cualquier circunferencia que llamamos pi y escribimos r.

La longitud de una circunferencia, L, se calcula multiplicando r por su diámetro.


k° Indica que la medida viene dada en grados sexagesimales.

Cuando medimos un ángulo lo hacemos en grados sexagesimales (una circunferencia tiene 360°).


A Indica el área de un polígono. El área de un polígono se suele representar por la letra A.

Por ejemplo, el área de un rombo es A = ?D d2

.


29

1 TECLAS DE ENCENDIDO Y APAGADO

Lo primero que tenemos que saber es cómo se enciende y cómo se apaga la calculadora.

ON/C La enciende. Aparece un cero en la pantalla.

0OFF La apaga. Borra todos los registros menos la me-

moria. La calculadora se apaga automáticamente al cabo de unos segundos sin ser utilizada. Las calculadoras solares suelen omitir esta tecla.

2 BORRAR REGISTROS

Son las teclas:

C AC

C Borra solo el último número que hemos introducido, pero no la operación ni la memoria.

AC Borra todos los registros, colocando la calculadora a cero, aunque normalmente no borra la memoria.

3 OPERACIONES BÁSICAS

Se realizan con las teclas:

+ - × ÷

5 ¿ES JERÁRQUICA LA CALCULADORA?

Lo primero que tenemos que conocer cuando encende-mos una calculadora es si es o no jerárquica, para saber si mantiene o no el orden de prioridad de las operaciones matemáticas. Se realiza llevando a cabo una simple com-probación.

Tecleamos, por ejemplo: 6 + 2 ? 5 = 4016

Si 16 es el número que nos devuelve la calculadora, en-tonces es jerárquica; si nos da 40, significa que no respe-ta la prioridad de las operaciones, sino que va realizándo-las a medida que las vamos introduciendo.

6 CAMBIO DE SIGNO

Si queremos cambiar de signo a un número que está en la pantalla, tenemos que dar a la tecla:

! o CS

Por ejemplo, escribe el número 5 y cámbiale de signo:

5 5

! –5En algunas calculadoras elementales no existe la tecla de cambio de signo; para introducir un número negativo en pantalla, se utiliza el símbolo - de la operación restar y, al final, el símbolo igual =.

Por ejemplo, si queremos que aparezca en pantalla -5, pulsamos:

- 5 5

= –5

7 MENSAJES

La calculadora nos envía mensajes de error, indicándonos qué tipo de error hemos cometido. Estos mensajes depen-den del tipo de calculadora que estemos utilizando.

Comprueba qué mensajes te da tu calculadora al teclear las siguientes operaciones:

05

7- 999999999945 9999999999-45

8 NÚMEROS DECIMALES

Si queremos escribir números decimales y que se vean en la pantalla, tenemos que utilizar la tecla ? para se-parar la parte entera de la parte decimal.

Por ejemplo, escribe el número decimal 5,334:

5 ? 3 3 4 5.334

Si el número decimal que queremos escribir tiene la parte entera nula, no hace falta pulsar la tecla del 0, sino que directamente empezamos pulsando la «coma» que separa la parte decimal de la parte entera.

Por ejemplo, escribe el número decimal 0,4567:

? 4 5 6 7 0.4567

9 ERROR Y DESBORDAMIENTO

Cuando en la pantalla se visualiza

-E- o -[-

significa desbordamiento o error.

Matemáticas y calculadora

30

• Desbordamiento o rebosamiento:

La calculadora trabaja en el campo de números com-prendidos entre !10100, no incluidos.

Si, al realizar una operación, el total acumulado es igual o excede este número, entonces aparece el signo de error en la pantalla.

• Error:

Cuando una operación es ilógica (como dividir entre cero) aparece el signo de error en la pantalla.

Prueba dividiendo cualquier número entre cero.

Para liberar los registros bloqueados por el control de rebosamiento o error, se presiona la tecla AC .

10 LOS PARÉNTESIS

Los paréntesis se introducen con las teclas:

( )

Abrir paréntesis Cerrar paréntesis

Cuando se abre un paréntesis, puede aparecer indicado en la pantalla de dos formas:

oIndicador de

paréntesis abiertoIndicador del número de paréntesis abierto

0.( DEG [01 0.( DEG

En una operación se pueden abrir de 16 a 18 paréntesis. El número de paréntesis permitido dependerá del modelo de calculadora que se use.

En el primer tipo de indicador, el símbolo del paréntesis desaparece cuando se cierra el último paréntesis o se está realizando una operación básica.

En el segundo tipo, aparece el marcador cuando se pulsa la tecla de «abrir paréntesis» y desaparece, a continua-ción, cuando pulsamos otra tecla distinta.

En todo caso, es importante tener clara la secuencia de operaciones en un papel, porque las teclas ( ) se utilizan siempre juntas, y si durante una operación se pul-sa por separado una de ellas, el cálculo no se realizará como es debido.

También tienes que saber que es importante pulsar la tecla ) antes de la tecla = , es una costumbre muy buena, el no hacerlo puede llevarnos a cometer errores importantes al calcular el resultado.

Para hallar el valor de la expresión

A = [-3 - [(9 - 3) - 1]] ? 5tecleamos:

Operaciones tecleadasResultado en pantalla

( 3 ! - ( ( 9 - 3 )

- 1 )

)

× 5 =

6

5

–8

–40

11 FRACCIONES

La calculadora científica nos permite trabajar con fraccio-nes. Para ello, tenemos que utilizar las teclas:

ab/c y d/c

El criterio que se utiliza para introducir fracciones, .º.º12

nn

, es el siguiente:

n.º 1 ab/c n.º 2 N.O 1 N.O 2

donde:

n.º 1 es el numerador de la fracción.

n.º 2 es el denominador de la fracción.

EJEMPLO: Escribe la fracción 21

1 ab/c 2 1 2

Para conseguir la fracción irreducible, después de introdu-cir la fracción dada, pulsa la tecla = .


6 ab/c 8 6 8

= 3 4

También permite trabajar con números mixtos:

n.º 1 .º.º32

nn

el proceso es:

n.º 1 ab/c n.º 2 ab/c n.º 3 N.O 1 N.O 2 N.O 3

donde:

n.º 1 es la parte entera del número mixto.

n.º 2 es el numerador de la fracción.

n.º 3 es el denominador de la fracción.

31

MATEMÁTICAS Y CALCULADORA


17 ab/c 5 17 5

= 3 2 5

Siempre que el numerador sea mayor que el denomina-dor, la calculadora, por defecto, al pulsar cualquier tecla de operación, lo escribirá como número mixto.

Para expresarlo de nuevo como fracción impropia, se pulsa la tecla d/c .

En algunas calculadoras esta función está por encima de la tecla:

d/c

ab/c

por lo que primero hay que pulsar la tecla SHIFT .


17 ab/c 5 17 5

= 3 2 5 d/c

SHIFT ab/c 17 5

Si pulsamos la tecla ab/c después de la tecla = , la fracción que hay en la pantalla se convierte en número decimal.

Si queremos volver a escribir el número decimal en frac-ción, pulsamos las teclas SHIFT y ab/c .


17 ab/c 5 17 5

= 3 2 5 d/c

SHIFT ab/c 17 5

ab/c 3,4 d/c

SHIFT ab/c 17 5

12 POTENCIAS

La calculadora científica nos permite calcular potencias de un número cualquiera.

Para ello, tenemos que utilizar las teclas:

x2 y xy

• Uso de la tecla x2

Con esta tecla se calcula el cuadrado de un número. El proceso que se sigue es:

n.º 1 x2 " RESULTADO

El resultado que se obtiene en pantalla es un número natural o un número decimal.

EJEMPLOS:

• Calcula el cuadrado de 5

5 x2 25

• Calcula el cuadrado de 86

6 ab/c 8 x2 0.5625

• Uso de la tecla xy

Con esta tecla se calcula cualquier potencia. El proceso que se sigue es:

n.º 1 xy n.º 2 = n.º 3

donde:

n.º 1 es la base, n.º 2 es el exponente y n.º 3 es el resultado.

Si la base es una fracción, se pulsa:

n.º 1 ab/c n.º 2 xy n.º 3 = n.º 4

EJEMPLOS:

• Calcula la potencia 74

7 xy 4 = 2.401

• Calcula la potencia 23 4

e o

3 ab/c 2 xy 4 = 5.0625

32

Matemáticas · 2020. 3. 13. · El Cuaderno de acompañamiento Matemáticas 1 para 1.o de ESO es...

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