COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL

ESTADO DE SONORA

MÓDULO DE APRENDIZAJE

Matemáticas III

Hermosillo, Sonora. Agosto de 2012.

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA Dirección Académica Subdirección de Desarrollo Académico Departamento de Desarrollo Curricular Física I Módulo de aprendizaje Tercer semestre Elaboradores Jorge Mario Aldama López José Ernesto Palomares Acosta Gilberto Perea Mendoza Alfonso Mitre Carbajal Supervisión académica María Asunción Santana Rojas Jesús Enrique Córdova Bustamante Edición y diseño Miguel Ángel Velasco González Coordinación técnica Ana Lisette Valenzuela Molina Coordinación general José Carlos Aguirre Rosas Copyright ©, 2012 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora Todos los derechos reservados

Directorio

MTRO. Martín Alejandro López García Director General

M.C. José Carlos Aguirre Rosas Director Académico

ING. José Francisco Arriaga Moreno Director Administrativo

L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján Director de Finanzas

LIC. Alfredo Ortega López Director de Planeación

LIC. Jesús Andrés Miranda Cota Director de Vinculación

L.A. Mario Alberto Corona Urquijo Director del Órgano de Control

Ubicación Curricular

Componente: Formación Básica

Asignatura antecedente: Matemáticas II

Créditos: 10

Campo de conocimiento: Matemáticas

Asignatura Consecuente: Cálculo Diferencial

Horas:

5 HSM

Datos del Estudiante

Nombre ____________________________________________________

Plantel _____________________________________________________

Grupo _________ Turno _________ Teléfono _____________________

Correo electrónico ___________________________________________

Domicilio___________________________________________________

ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE MATEMÁTICAS III

Sistema de Coordenadas

Secciones cónicas

Línea Recta

Segmento Rectilíneo

Lugares Geométricos

Plano Cartesiano

Rectangulares

Ecuaciones y

transformaciones

Intersección de

rectas

Polígonos

Elipse

Circunferencia Parábola

Resolución de

Problemas

Áreas y Perímetros Ecuaciones

7

ÍNDICE Presentación 10

Recomendaciones para el alumno 11

Competencias 13

Bloque I. Reconoces Lugares Geométricos 15

Evaluación diagnóstica 17

1.1 Conoces las coordenadas cartesianas para la localización de puntos en el plano 19

1.1.1 Conoces la historia de la geometría analítica relacionándola en su entorno. 19

1.1.2 Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares para localizar lugares en tu comunidad.

22

1.2 Resuelve y grafica lugares geométricos para ubicar graficas en el plano 28

1.2.1 Obtén el lugar geométrico a partir del lenguaje verbal 28

1.2.2 Determina el lugar geométrico que representa una ecuación dada y viceversa. A partir de la noción de parejas ordenadas……………………………………...…………….

28

1.2.3 Obtén las intersecciones con los ejes coordenados Para observar el comportamiento de la gráfica -

34

1.2.4 Desarrolla una tabla de valores y realiza la gráfica para explicar lo que sucede con el comportamiento de un fenómeno dado

34

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. 37

2.1 Conoce segmentos rectilíneos para identificar su dirección 39

2.1.1 Identifica las características de segmentos dirigidos y no dirigidos 39

2.1.2 Determina la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, mediante ejercicios contextualizados

43

2.1.3 Resuelve problemas y/o ejercicios donde reconozcan la noción de razón, como un criterio para dividir un segmento rectilíneo

46

2.2 Determina áreas y perímetros de polígonos para aplicarlos en problemas cotidianos 52

2.2.1 Resuelve problemas cotidianos donde involucre obtención de perímetros a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos.

52

2.2.2 Resuelve problemas cotidianos donde involucres obtención de áreas, a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos.

52

Bloque III. Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico 57

3.1 Conoce la línea recta para su aplicación en diversas situaciones. 59

3.1.1 Reconoce la recta como lugar geométrico que permitan determinar su posición…………………………………………………………………………………………...

59

3.1.2 Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta aplicados en problemas de su entorno ……………………………………………………….

59

3.2 Determina el ángulo entre dos rectas para la solución de problemas. 67

8

3.2.1 Encuentra el ángulo formado entre dos rectas, utilizando el concepto de pendiente. 67

3.2.2 Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el concepto de pendiente.

67

Bloque IV. Utiliza distintas formas de la ecuación de una recta 76

4.1 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la recta aplicados a diferentes contextos

78

4.1.1 Resuelve la ecuación pendiente-ordenada al origen para la solución de problemas 78

4.1.2 Resuelve la ecuación punto-pendiente para la solución de problemas....................... 78

4.1.3 Resuelve la ecuación punto-pendiente para la solución de problemas……………… 78

4.2 Conoce la ecuación general y normal de una recta en situaciones reales. 85

4.2.1 Transforma la ecuación normal a general y viceversa para la solución de problemas

85

4.2.2 Obtén la distancia de un punto a una recta y entre dos rectas paralelas para la solución de problemas

88

4.2.3 Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas cotidianos.

88

Bloque V. Aplica los elementos y las ecuaciones de una circunferencia 92

5.1 Identifica la circunferencia como lugar geométrico para ubicar su aplicación en su entorno

94

5.1.1 Conoce la definición de la circunferencia como lugar geométrico en su aplicación en tu entorno.

94

5.1.2 Identifica los elementos asociados a una circunferencia 94

5.2 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la circunferencia para solucionar problemas

98

5.2.1 Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y fuera del origen dada una situación problemática

98

5.2.2 Encuentra la ecuación general de la circunferencia a partir de ecuación ordinaria o viceversa, dada una situación problemática.

98

5.2.3 Desarrolla la ecuación de la circunferencia dados tres puntos, dada una situación problemática.

108

Bloque VI. Aplica los elementos y las ecuaciones de la parábola 112

6.1 Identifica una parábola como lugar geométrico para relacionarlo en su entorno 114

6.1.1 Conoce la definición de la parábola como lugar geométrico relacionándola en tu entorno.

114

6.1.2 Identifica los elementos asociados a una parábola y el comportamiento de los parámetros h, k y p.

114

6.2 Determina la ecuación ordinaria de la parábola en situaciones relacionadas en tu entorno………………………………………………………………………………………………

119

6.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen…………

119

6.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana

119

9

6.3 Resuelve la ecuación general de la parábola relacionadas en tu entorno…………….. 140

6.3.1 Obtén la ecuación general de una parábola a partir de la ecuación ordinaria o viceversa, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana

140

6.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la parábola en problemas de tu entorno

145

Bloque VII. Aplica los elementos y las ecuaciones de la elipse……………………… 147

7.1.1 Conoce la definición de la elipse como lugar geométrico, relacionándola en tu vida cotidiana

149

7.1.2 Identifica los elementos asociados a una elipse y la función de los parámetros: a, b y c, en la gráfica

149

7.2 Utiliza distintas ecuaciones de la elipse para resolver diversos problemas cotidianos…

154

7.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse Horizontal y vertical con centro en el Origen en situaciones cotidianas

154

7.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse Horizontal y vertical con centro fuera del origen, en situaciones cotidianas

154

7.3 Resuelve la ecuación general de la elipse para realizar diversos problemas Cotidianos

166

7.3.1 Obtén la ecuación general de una elipse a partir de la ecuación ordinaria o viceversa en situaciones de tu vida cotidiana

166

7.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la elipse en problemas de tu entorno

172

Bibliografía 175

10

PRESENTACIÓN

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Matemáticas III, que cursarás durante este cuarto semestre.

La asignatura de Matemáticas, tiene como propósito desarrollar la capacidad del razonamiento matemático haciendo uso al pensamiento numérico, algebraico, geométrico y probabilístico, a partir de observaciones, generalización y formalización de patrones, de plantear y resolver problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto.

Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de siete bloques, descritos a continuación:

Bloque I. Reconoces Lugares Geométricos.

Bloque II. Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

Bloque III. Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico.

Bloque IV. Utiliza distintas formas de la ecuación de una recta.

Bloque V. Aplica los elementos y las ecuaciones de una circunferencia.

Bloque VI. Aplica los elementos y las ecuaciones de la parábola.

Bloque VII. Aplica los elementos y las ecuaciones de la elipse.

En el contenido de estos bloques, se relaciona la teoría con la práctica, a través de

ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los

alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a

realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias,

para tu éxito académico.

11

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de

Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los

contenidos que se abordarán en la asignatura de Matemáticas III.

Los contenidos de Matemáticas III, serán abordados a través de diversos textos,

ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las

actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas

otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu asesor.

Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser

enriquecido consultando otras fuentes de información.

Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas

conocimientos previos de lo que se estudiará.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,

propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo,

sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos.

Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las

Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.

Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de

aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

12

Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje,

y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te deseamos el

mayor de los éxitos.

Evaluación diagnóstica

Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase.

Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.

Tarea de investigación.

Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa.

Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.

Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.

Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.

Práctica de laboratorio a realizar

13

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Genéricas

Disciplinarias

Disciplinares

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

Desarrollar en el alumno habilidades, conocimientos y actitudes en relación con el

conocimiento comprensión y aplicación de las funciones, en los campos de estudio de las

ciencias naturales, las disciplinas económico-administrativas y las ciencias sociales.

14

15

Bloque

I Reconoces

Lugares

Geométricos

16

COMPETENCIAS

El alumno:

Aplica los sistemas de coordenadas en la orientación espacial y el cálculo de distancia entre puntos para resolver situaciones reales relacionadas con su entorno.

.

TEMARIO

1.1 Conoces las coordenadas cartesianas para la localización de puntos en el plano 1.1.1 Conoces la historia de la geometría analítica relacionándola en su entorno. 1.1.2 Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares para localizar lugares en tu comunidad. 1.2 Resuelve y grafica lugares geométricos para ubicar graficas en el plano 1.2.1 Obtén el lugar geométrico a partir del lenguaje verbal 1.2.2 Determina el lugar geométrico que representa una ecuación dada y viceversa. A partir de la noción de parejas ordenadas 1.2.3 Obtén las intersecciones con los ejes coordenados Para observar el comportamiento de la gráfica 1.2.4 Desarrolla una tabla de valores y realiza la gráfica para explicar lo que sucede con el comportamiento de un fenómeno dado.

17

Sesión

1

Evaluación diagnóstica

Los siguientes ejercicios tienen la intención de conocer cuál es el

nivel de conocimientos que tienes al comenzar el estudio del bloque

I. Permitirá al docente recabar información importante para utilizar las

estrategias adecuadas para su fortalecimiento.

1.- El punto P(-4 , -3), en que cuadrante se encuentra localizado.

a) primero b) segundo c) tercero d) cuarto

2.-En el cuarto cuadrante se encuentra localizado el punto:

a) (3 , 2 ) b) ( -4 , -2 ) c) (-4 , 2 ) d) ( 3 , -3 )

3.- Encuentra la distancia entre los puntos A( 3,2) y el punto B(10,2)

a) 7 b) 13 c) 8 d) 5

4.- Localiza en un sistema de coordenadas el polígono con los siguientes

vértices:

A(4,2), B(-3,3), C( -5,1) , D( 3,-2)

18

5.- Grafica los siguientes lugares geométricos:

a) x-2=0 b) 2x-y+3=0

6.- Encuentra el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

A (4,3) y B (6,7)

7.- El lugar geométrico representado por la siguiente tabla de valores es:

X 3 4 6

Y 10 17 37

a) Una parábola b) Una circunferencia c) Una línea recta d) Una

elipse

8.- Las parejas ordenadas (8,6 ) y (6,8)_____son iguales,

porque___________________________________________________________

________________________________________________________________

9.- El punto (2,-1) no pertenece al lugar geométrico representado por la ecuación

x+3y

porque___________________________________________________________

________________________________________________________________

10.- La intersección con el eje x de la recta x+y=2 es en el punto:_________,

porque___________________________________________________________

________________________________________________________________

_

19

1.1 Conoces las coordenadas cartesianas para la localización de puntos en el plano. 1.1.1 Conoces la historia de la geometría analítica relacionándola en su entorno.

1.- Un grupo de amigos se ha ido de excursión. Uno de ellos ha realizado un pequeño croquis

con la ayuda de un sistema de ejes coordenados. ¿Cuáles son las

coordenadas de la Ermita?

__________________________ __________________________ 2.- Escribe, a partir de los datos de la gráfica, el nombre del volcán más alto y el nombre del volcán que ha sufrido más erupciones. _________________________ _________________________

Sesión

2

Conoce la historia de la geometría analítica Identifica las características de un sistema de coordenadas

rectangulares para localizar lugares en tu comunidad .

Aprendizajes a lograr

20

Historia de la Geometría analítica

La Geometría Analítica es la rama de las matemáticas, que se encarga del estudio de

las figuras geométricas (punto, recta, línea, etc.), utilizando los métodos propios del análisis

matemático y del Álgebra.

La Geometría Analítica pretende obtener la ecuación de los sistemas de coordenadas a

partir de su lugar geométrico. Por otra parte, esta disciplina permite determinar el lugar

geométrico de los puntos que forman parte de la ecuación del sistema de coordenadas.

Los orígenes de la geometría se remontan a

los principios de la humanidad, el hombre primitivo

clasificaba inconscientemente los objetos según su

forma, realizando abstracciones que lo acercaban de

manera intuitiva a la geometría.

Los dominios de la Aritmética y la Geometría

nunca han sido completamente independientes, las

ideas de áreas, y la de volumen suponen la

aplicación de números a configuraciones

geométricas, y este concepto general puede ser

considerado como la fuente de la cual surge la

Geometría. Analítica.

La Geometría. Analítica. Se define como un

método que unifica el Álgebra y a la Geometría. La

idea de este método cuando se aplica al plano

comienza con el establecimiento de una

correspondencia entre parejas ordenadas,

números reales y puntos en el plano. Pero lo

verdaderamente rico de este método es que la

correspondencia entre puntos y parejas, condujo a

la idea que se podían a su vez, a ser corresponder

formulas algebraicas con figuras geométricas, y

figuras geométricas con fórmulas algebraicas.

La Geometría Analítica como tal surge en

siglo XVII, sin embargo podemos considerar

algunos antecedentes, por ejemplo, que Apolonio

ya tenía una caracterización de secciones cónicas,

por medio de lo que ahora llamamos coordenadas,

aun cuando no había valores numéricos

asignados. Por otro lado la latitud y la longitud en la geografía de Tolomeo eran coordenadas

numéricas, también Papo en la colección matemática tenía un tesoro de análisis, en el que

solo tenemos que modernizar la notación para obtener una aplicación del Álgebra a la

Geometría. Incluso una representación gráfica se vislumbra en el siglo XIV como por ejemplo,

21

en el trabajo de Nicole Oresme, pero esta forma de vincular el Álgebra con la Geometría tuvo

que esperar al desarrollo de la que llegó el Álgebra en el siglo XVI y al pensamiento racionalista

del siglo XVII. Estos dos factores permitieron una aplicación conveniente del algebra al análisis

de los antiguos. Condición necesaria para el surgimiento de la Geometría Analítica. En siglo

XVII, resulta maravilloso por su fecundidad en las ciencias y las artes, basta pensar en galileo

(1564-1642), Harvey (1578-1657), Rubens (1577-1640), Newton (1642-1727) y Rembrando

(1606-1669) entre otros.

El descubrimiento de la Geometría fue hecho de forma simultánea e independiente por 2

franceses: Pierre de Fermat y Rene Descartes. Fermat (1601-1665) aplicó en una nueva

dirección el estudio de los lugares geométricos en su trabajo publicado en 1629. En cuanto a

Descartes su único trabajo sobre el tema de Geometría, aparece como una aplicación en su

tratado filosófico conocido como el discurso

del método, publicado en 1637. El discurso

del método, marco el comienzo de una nueva

aproximación de las ciencias, pues,

establece los fundamentos de una

metodología científica. El discurso expone un

método general del pensamiento idóneo,

para facilitar las invenciones y encontrar la

verdad de las ciencias. El anexo de su

geometría se publicó como una aplicación de

su método general y dos siglos después,

Ampere denominó a este método de la Geometría Analítica. El trabajo de Descartes es más

general en alcance que el de Fermat, el cual está limitado a ecuaciones de primero y segundo

grado. El mérito de Descartes consiste sobre todo en la aplicación conveniente de la bien

desarrollada Álgebra del siglo XVI, al análisis geométrico de los antiguos.

Elaborar un resumen sobre los principales autores y menciona la

aplicación de la geometría analítica en tu comunidad

Ejercicio no. 1

22

1.1.2 Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares para

localizar lugares en tu comunidad

1. En la tabla siguiente anota la edad de 15 alumnos y su respectivo peso. En esta actividad use, de ser posible dos colores.

Edad (m) Peso (kg)

2. Representa los pares ordenados en donde cada punto representa la edad y la altura de tus compañeros. Ubica los pares ordenados en la siguiente gráfica ¿Cómo interpretas la gráfica? ¿Cuál es el alumno más alto? ¿Cuál es el más bajo de estatura y el más joven? ¿cuál es la estatura promedio? ¿Quienes tienen la misma estatura y quienes tienen la misma edad?

Ejercicio no. 2

Sesión

3

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios

Grupo

23

3. Rosita inventó un código para enviar información a sus amigos, el código está determinado en una tabla y la información enviada es:

(3, 3), (2, 3), (5, 3) (6, 1), (1, 1), (6, 4), (2, 3), (5, 3), (3, 1), (2, 3), (2, 2) (7, 4), (1, 2) (6, 2),(4, 3) (7, 4), (5, 1), (1, 2), (6, 3) (5, 1), (1, 1) (3, 2), (7, 3), (5, 1), (3, 2), (5, 1), (6, 1), (2, 3)(1, 2), (2, 3) (1, 5), (7, 5) (4, 5), (6, 5), (7, 6)

Interpreta la información en las líneas, encontrando cada letra que corresponde a las parejas ordenadas, donde el primer elemento se ubica en la parte inferior del 1 al 7 y el segundo elemento hacia arriba.

Sesión

4

x

y

A

l

t

u

r

a

Edad

24

Un sistema coordenado cartesiano bidimensional, está construido por 2 rectas infinitas que se cortan entre sí formando un ángulo recto, es decir, rectas que son perpendiculares al punto de corte, este punto recibe el nombre de origen de coordenadas.

El eje en sentido horizontal de derecha a izquierda se denomina eje X o también denominado eje de las abscisas, la recta vertical se denomina eje Y o también denominado eje de las ordenadas. La dirección positiva del eje X es hacia la derecha; la dirección positiva del eje Y, hacia arriba. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes numerados en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se indica en la figura. Los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes están indicados en la figura.

Este sistema de ejes coordenados rectangulares también se le llama sistema de coordenadas cartesianas, en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650).

En matemáticas, una pareja ordenada es un par de números o letras (a, b) o (x, y). En general, la pareja ordenada (x, y) es un elemento de una relación en la que x pertenece al dominio que se le conoce como abscisa y a y al contradominio conocida como ordenada.

Para ubicar los puntos en el plano cartesiano está determinado por una pareja ordenada de números reales, simbolizado por (x, y), de los cuales el primero (x) es la distancia del punto al eje de las y, y el segundo (y) es la distancia del punto al eje de las x y se representa por P(x, y). Unicidad del par ordenado

A cada punto P del plano coordenado le corresponde uno y solo un par de coordenadas (x, y). Recíprocamente a cada par de coordenadas (x, y) le corresponde uno y sólo un punto en el plano coordenado.

Dadas las coordenadas (x, y), x ≠ y, quedan determinados dos puntos, uno de coordenadas (x,y) y otro de coordenadas (y,x) que son diferentes. De aquí que sea importante escribir las coordenadas en su propio orden, escribiendo la abscisa en el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razón un par de coordenadas en el plano se llama un par ordenado de números reales.

Por ejemplo, si consideramos un punto P y decimos que tiene coordenadas 5 y 2,

entonces tendremos que decir cuál de ellas será la abscisa y cual la ordenada, ya que pueden determinar dos puntos diferentes: P1 (5,2) o el punto P2 (2,5).

25

x

yx=2

EJEMPLO

Hay que tomar en cuenta que el par ordenado A (-1,3) es diferente del par ordenado B (3,-1), ya que en el punto A su abscisa es -1 y su ordenada es 3 y en el punto B su abscisa es 3 y su ordenada es -1. Por lo tanto en cada uno su ubicación en el plano coordenado es diferente. Representación de las parejas ordenadas Las parejas ordenadas se pueden representar por medio de:

Una expresión simbólica que establece una condición o un enunciado

Una tabla de valores

Una gráfica

En la gráfica se aprecia que la parte

sombreada está formada por el conjunto de los puntos (parejas ordenadas), para todos los valores mayores que 2.

2.- Hacer la gráfica de la ecuación

Para la realización de la gráfica en el plano cartesiano nos apoyaremos de una tabla de valores.

x -2 -1 0 1 2

Y=x2 4 1 0 1 4

1.- Hacer la gráfica de las parejas ordenadas (x,y) tales que x˃2.

26

x

y

Y procedemos a realizar la gráfica.

1.- Para la ecuación y= 3x+2, realizar una tabla de valores de las parejas ordenadas.

X 0 1 2 3 4

Y=3x+2 2 8 14

Las parejas ordenadas que la conforman son: ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 2.- Identifica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (0,1), B (2,2), C (2,3), D (3,2), E (3,-1), F (-1,3), G (-1,-3), H (-3,-1)

Ejercicio 3

En equipos de 5 integrantes. Realiza las siguientes actividades

Grupo

x

y

27

x

y

1.- En el arreglo rectangular se representan 10 tiradas de un dado, localiza las coordenadas de cada tirada.

( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ) 2.- Escribe 5 parejas ordenadas formada por los valores arbitrarios que quieras dar a x y los correspondientes valores que obtengas de y. Y= 3x2+3

( ),( ),( ),( ),( )

3.-¿Es correcto decir que el punto K(-2,5)es igual al punto L(5,2)?________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.- ¿Coincide la localización de los puntos C (3,-2) y D (-2,3) en el plano cartesiano en un solo punto?_________________ ¿Porqué?_______________________________________________________________________________________________________________________

Valor Obtenido

Número de tiradas

28

1.2 Resuelve y grafica lugares geométricos para ubicar graficas en el plano

1.2.1 Determina el lugar geométrico a partir del lenguaje verbal 1.2.2 Determina el lugar geométrico que representa una ecuación dada y

viceversa. A partir de la noción de parejas ordenadas

Ejercicio no. 4

Sesión

5

Obtiene el lugar geométrico a partir del lenguaje verbal Representa un lugar geométrico de una ecuación dada..

Aprendizajes a lograr

En equipos de 5 integrantes. Realiza las siguientes actividades

Grupo

1.- Relaciona con alguna letra los siguientes puntos ejemplo : M(6,-2) y ubícalos en el plano cartesiano. (-3, 4), (3, -4), (3, 4), (-3, -4), (0, 2), (2, 0), (1, 1), (-1, -1)

29

2.- Grafique los siguientes puntos e indique el cuadrante al que pertenecen: A(1,-3); B(-4,-4); C(-3,1); D(-2,4); E(3,3); F(3,-2); G(0,0).

Primer cuadrante _______________ Segundo cuadrante _____________ Tercer cuadrante_______________ Cuarto cuadrante_______________ 3.- En una hoja de papel cuadriculado se habían marcado los cuatro vértices de un cuadrado, pero uno de ellos se ha borrado. Con la ayuda de las coordenadas indica dónde debe marcarse el vértice que falta.

30

EJEMPLO 1

Obtención del lugar geométrico a partir del lenguaje verbal.

Lugares geométricos

Definición de lugar geométrico: Es el conjunto de todos los puntos que cumplen con una o más condiciones o propiedades geométricas.

Cuando se desea trazar un lugar geométrico apoyándose de una oración, es necesario encontrar la condición o propiedad que deben cumplir los puntos y comprobar que así sucede para todos ellos, como se muestra a continuación:

.

Primer paso: Identificar la condición para que los puntos pertenezcan al lugar geométrico que se pretende dibujar, y dicha condición es: que los puntos deben de equidistar de los extremos.

Ejemplo 1.- Una primera idea para construir, es dibujar el segmento de tamaño 6 y colocar un punto que equidiste de los extremos, el que más se conoce es el punto medio del mismo.

Segundo paso. En seguida, se localizan otros puntos que estén a la misma distancia.

Dibuja en un segmento de longitud 6 unidades y

encuentra puntos que equidisten de los extremos

del segmento.

Así que el lugar geométrico del

conjunto de puntos que equidistan

de los extremos del segmento es la

mediatriz del mismo.

Sesión

6

31

x

y

x

y

x

y

Ejemplo 2. Dibuja todos los puntos del plano que equidisten de una recta dada. Primer paso: Trazamos una recta cualquiera, y por conveniencia se traza horizontal.

Segundo paso: Se ubica un punto a una distancia cualquiera de la recta

Tercer paso: Se empieza a trazar otros puntos que estén a la misma distancia de la recta.

Por lo tanto, el lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de una recta son los puntos que dibujan dos rectas paralelas a la recta dada.

32

Ejemplo 3. Dibuja los puntos del plano equidistantes de un punto fijo.

Primer paso se dibuja el punto fijo, enseguida se dibuja un punto a una distancia determinada. El siguiente paso es ubicar varios puntos que estén a la misma distancia.

En la gráfica se visualiza que el lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo es una circunferencia.

Traza el lugar geométrico del conjunto de puntos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Equidistan de los lados que forman a un ángulo. 2. Equidistan de dos puntos fijos. 3. Equidistan de una recta fija y de un punto fijo.

Ejercicio no. 5

Reunidos en binas, realiza las siguientes actividades

Grupo

33

I. Traza cada uno de los lugares geométricos 1) Los puntos del plano que equidistan dos unidades de la recta x + 4 = 0

2) Los puntos que equidistan de (0,0) en 4 unidades.

3) Los puntos que equidistan de los puntos (3, 0) y (-3, 0)

4) Los puntos cuya suma de distancias a los puntos (5, 0) y (-5, 0).

5) Los puntos que se mueven de tal manera que su coordenada “x” es siempre igual a 3.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Desarrolla lo que se pide en cada sección en tu cuaderno y entrégaselo a tu asesor.

Ejercicio no. 6

34

1.2.3 Determina las intersecciones con los ejes coordenados Para observar el comportamiento de la gráfica 1.2.4 Desarrolla una tabla de valores y realiza la gráfica para explicar lo que sucede con el comportamiento de un fenómeno dado

Esto quiere decir, que si se conoce la ecuación de un lugar geométrico, se puede realizar su gráfica en el plano cartesiano, también, si se conoce la gráfica, es posible representarlo por medio de una ecuación.

La condición dada queda establecida por una ecuación algebraica en dos variables.

Problemas fundamentales de la geometría analítica:

A partir de una ecuación construir la gráfica del lugar geométrico.

Dada una condición obtener la ecuación del lugar geométrico.

Primer problema fundamental

Soluciones y gráfica de una ecuación.

Se llama solución de una ecuación de dos variables, al conjunto de pares ordenados que satisfacen la ecuación

La gráfica de una ecuación es la representación en el plano cartesiano de todos los puntos cuyas coordenadas son los pares ordenados que son soluciones de la ecuación.

Para graficar una ecuación de dos variables se sigue los siguientes pasos:

Simplificar la ecuación dada, siempre que sea posible.

Despejar cualquiera de las dos variables de la ecuación. Generalmente se despeja la y.

Determinar el dominio de la ecuación, es decir, los valores de x.

Asignar valores del dominio para la x.

Sustituir los valores asignados en la ecuación despejada, para calcular el valor de la y.

Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos correspondientes y unirlos.

Sesión

7

Determina intersecciones de las gráficas con los ejes coordenados.

Elabora gráficas de fenómenos dados.

Aprendizajes a lograr

35

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

¿Qué forma tienen las gráficas?______________________________________________ Ubica los puntos donde las gráficas se cortan y remárcalos. Determina en forma aproximada las coordenadas de esos puntos._____________________________________________________________________ De las siguientes expresiones, ¿cuál corresponde a cada tabla?

a) Y= -x2______________________________________________ b) Y = √(16 – x2)________________________________________ c) Y= -2x+1____________________________________________

x

y

x

y

x

y

x y

-4 0

-3 2.6

-2 3.5

-1 3.9

0 4

1 3.9

2 3.5

3 2.6

4 0

x y

-4 -16

-3 -9

-2 -4

-1 1

0 0

1 1

2 -4

3 -9

4 -16

x y

-4 9

-3 7

-2 5

-1 3

0 1

1 -1

2 -3

3 -5

4 -7

Ejercicio no. 7

Usando los datos de las tablas que se muestran a continuación, haz la gráfica para cada tabla utilizando una escala que consideres adecuada para los valores..

Grupo

36

1) 3x + 4y − 8 = 0 2) x2 + y2 − 25 = 0

x

y

x

y

Sesión

8

Traza el lugar geométrico del conjunto de puntos que satisface la ecuación:

Ejercicio no. 8

37

Bloque II Aplicas las

propiedades de

segmentos

rectilíneos y

polígonos.

38

Competencias de la unidad:

Al término de esta unidad, el estudiante:

Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos y polígonos, al resolver problemas

derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.

TEMARIO:

2.1 Conoce segmentos rectilíneos para identificar su dirección 2.1.1 Identifica las características de segmentos dirigidos y no dirigidos 2.1.2 Determina la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, mediante ejercicios contextualizados ................................................................................................................. 2.1.3 Resuelve problemas y/o ejercicios donde reconozcan la noción de razón, como un criterio para dividir un segmento rectilíneo. 2.2 Determina áreas y perímetros de polígonos para aplicarlos en problemas cotidianos 2.2.1 Resuelve problemas cotidianos donde involucre obtención de perímetros a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos 2.2.2 Resuelve problemas cotidianos donde involucres obtención de áreas, a partir de la aplicación de

distancia entre dos puntos.

39

2.1.1 Identifica las características de segmentos dirigidos y no dirigidos

Sesión

9

Identifica las características de segmentos dirigidos y no dirigidos

Aprendizajes a lograr

Evaluación diagnóstica

Realiza los siguientes cuestionamientos:

1.- Describe con tus propias palabras, lo que entiendes por segmento.______________________________________________________________________________________________________________________________

2.- Describe con tus propias palabras, lo que entiendes por segmento dirigido________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Describe cuál es la utilidad de los segmentos en los siguientes contextos:

A)Escuela:_____________________________________________________________________________________________________________________________

b)Casa:________________________________________________________________________________________________________________________________

c) En tu comunidad___________________________________________________

d)Deporte:__________________________________________________________

5.- En la siguiente gráfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia de las dos anteriores, no se trata de puntos aislados sino que es una línea cont inua:

40

En la Geometría Analítica se estudia algebraicamente las figuras geométricas con base en los lugares geométricos que las componen, para ello se establecen las figuras en un plano cartesiano por medio de la conexión de puntos y la distancia entre ellos.

En el bloque anterior se estableció el sistema de coordenadas cartesianas y la ubicación de puntos, también se mencionó sobre los lugares geométricos, y en ellos está implícito el concepto de distancia.

En algún momento has utilizado una regla para trazar líneas o medir objetos, por lo general se establece el inicio en el cero y se procede a trazar la línea o medir.

La porción de línea que se traza se conoce como segmento, el cual posteriormente se definirá formalmente, y la medida que se hace de los mismos se le conoce como longitud.

Definición de segmento rectilíneo.

Un segmento rectilíneo es la parte o porción de una recta considerada entre dos de sus puntos. También se le conoce como segmento de recta.

En la siguiente ilustración tenemos en caso de un segmento de recta para el que no está considerada una orientación o sentido. De aquí que se conocen los puntos extremos del segmento con una rayita así PQ

P Q

Se lee segmento PQ

Sesión

10

La interpretación de la gráfica: El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a ______ km. En cuanto tiempo recorre los siguientes 20 km pero volviendo hacia atrás. Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante _____hrs. Finalmente se vuelve a montar en su bicicleta y regresa al punto de partida tardando en esa última parte del recorrido, de ____ km, dos horas.

41

La recta puede recorrerse en dos sentidos diferentes. Convendremos en llamar a uno de ellos sentido positivo, y al otro, sentido negativo. Una vez establecido el sentido positivo, se dice que la recta está orientada. Segmentos dirigidos. Si se considera una recta orientada y un segmento de la misma, se dirá que éste tiene orientación positiva si es recorrido en el sentido positivo de la recta; cuando un segmento tiene una orientación negativa se define en forma análoga. Una vez que en un segmento se establece un sentido, decimos que éste está dirigido. Al segmento que une los puntos P y Q se le denota por PQ. Para indicar la forma de recorrerlo se usa la notación PQ, indicadora de que el segmento se recorre de P a Q; es decir, esta última notación sirve para denotar los segmentos dirigidos. Así, un segmento PQ determina dos segmentos dirigidos, a saber, PQ y QP. Llamamos origen de un segmento dirigido al punto inicial del mismo, y extremo, al punto final.

O P Q

Una recta es infinita por sus dos extremos, para ello, al dibujarla se le coloca una flecha en ambos extremos, para dar la idea de extenderse infinitamente.

El punto O divide a la recta en dos semirrectas opuestas. El punto O es el origen de las semirrectas como se observa en la figura.

A la porción de recta comprendida entre dos puntos que se llaman extremos, se le conoce como segmento rectilíneo o simplemente segmento.

Segmento Interpretación

Gráfica

Notación Equivalencia

No dirigido

AB o BA

AB = BA

Dirigido

AB

AB = - BA

Dirigido

BA

BA = -AB

42

1.- Un biólogo observa en su computadora la ubicación de una manada de osos polares en el Ártico, mediante ciertos transmisores que se les han colocado al cuello. Respecto de la posición donde el biólogo se encuentra (Base de operaciones), tomándola como origen, puede saber la distancia a la que se encuentra cada oso y la distancia que hay entre ellos. En la cuadrícula donde observa a los osos, la base coincide con el origen que se observa en el centro de la pantalla. Si una unidad en el monitor equivale a 2km, calcula la distancia (en km) a la cual están dos osos respecto de la base y la distancia que hay entre ellos si se ubican en los puntos (3, 5) y (-2, 1).

2.- El siguiente mapa muestra el Estado de Sonora y Baja California Norte. En él se observan las ciudades más importantes (Hermosillo (H), Navojoa (N), Mexicali (M), Obregón (O) y Tijuana (T)). Las coordenadas (longitud y latitud) de las ciudades son: H (29.1137, -111.0498), N (27.0787, -109.4897), M (32.7134, -115.4883), O (27.5472, -109.9731) y T (32.5468, -117.0703) respectivamente.

a) Traza con una regla una línea recta que represente cada una de las distancias N-O, O-H, H-M, M-T

b) Calcula cada distancia y obtén el resultado en Km, si cada grado (longitud o latitud) = 111.1

km.

c) Considera que Tecate se encuentra sobre la línea recta que une Tijuana con Mexicali. Si aproximadamente Tecate divide al segmento Tj-M en la razón 2/7, obtén las coordenadas de esta ciudad.

Sesión

11

Ejercicio no. 1

En equipos de 5 integrantes. Analicen la siguiente actividad.

Grupo

43

d) Verifica tus resultados en Google Maps. Abre Google Maps y busca Tecate. Ubica el ratón sobre el punto que representa Tecate (verá que la flecha del ratón se transforma en una manita). En esa posición oprime el botón derecho y aparecerá un menú en el cuál, una de las opciones es la pregunta: ¿Qué hay aquí? Selecciona esa opción y observa inmediatamente el renglón que aparece arriba del mapa junto a las palabras Google maps.

En ese renglón podrás leer la longitud y latitud del punto en el que esté la manita.

2.1.2 Determina la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, mediante

ejercicios contextualizados

Longitud y distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x ó en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 5-(-4) = 9 unidades.

Sesión

12

44

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y ó en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar

del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por

la relación

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d= 5 unidades.

45

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea 1

I.- En los siguientes ejercicios, encuentra la distancia de los puntos cuyas coordenadas son las que se indican.

1.- X1 = 2 , X2 = 5 2.- X1 = 5 , X2 = 2 3.- X1 = -2 , X2 = 5

4.- X1 = 4 , X2 = 9 5.- X1 = 0 , X2 = 7 6.- X1 = 0 , X2 = - 5

7.- X1 = -3 , X2 = 5 8.- X1 = -4 , X2 = 5 9.- X1 = -4 , X2 = -8

10.- Se tiene una fuerza de magnitud de 30 dinas, aplicada sobre un objeto, en el sentido positivo del eje x y otra fuerza de 19 dinas aplicada en el sentido negativo del eje de las x, ¿cuál es el valor resultante?

II.- Utiliza la ecuación de distancia entre dos puntos para determinarla en cada caso.

1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:

a). A (-7, 4), B (6, 4) b). A (3, 4), B (3, 9) c). A (-5, 11), B (0, -1)

2. Calcula el valor de k para que la distancia de A (-1, 4) a B (k, 1) sea igual a 5.

3. Halla las coordenadas de dos puntos tales que la distancia entre ellos sea igual a 4.

4. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:

a). A (-2, 2), B (1, 6), C (6, -6) b). A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

46

2.1.3 Resuelve problemas y/o ejercicios donde reconozcan la noción de razón, como un

criterio para dividir un segmento rectilíneo

Sesión

13

Conoce los criterios para dividir segmentos rectilíneos .Realiza la división de segmentos

Aprendizajes a lograr

Evaluación diagnóstica

Analiza el siguiente problema y describe tu comentario

Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos) salen

de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol

colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura.

Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomoda

exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos.

¿Puedes determinar las coordenadas del lugar (Punto medio) en donde se colocó

la última hormiguita?

47

División de un segmento en una razón dada

Uno de los casos de mayor aplicación en la geometría es aquel en la que el punto P(x,y), llamando punto de división, divide a un segmento de recta en una razón dada r.

Vamos analizar los siguientes casos:

Caso 1. En este caso, la longitud del segmento AP es la sexta parte del segmento AB.

La longitud del segmento PB es 5/6 de la longitud AB.

(

)

(

)

,

El punto P divide al segmento AB en una razón de 1 : 5

Caso 2

En este caso la longitud del segmento AP es 2/6 del segmento AB.

La longitud del segmento PB es 4/6 de la longitud de AB.

,

El punto P divide al segmento AB en una razón

de 1 : 2

48

Caso 3

En este caso la longitud del segmento AP es 3/6 del segmento AB.

La longitud del segmento PB es 3/6 de la longitud de AB.

, 1

El punto P divide al segmento AB, justo a la mitad. P es el punto medio.

Caso 4

En este caso la longitud del segmento AP es 4/6 del segmento AB.

La longitud del segmento PB es 2/6 de la longitud de AB.

El punto P divide al segmento AB en

una razón =2

Ejemplo

Indica en qué razón el punto P(-1,-7), divide al segmento de recta AB, cuyos extremos son A(-3,-15) y B(2,5)

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√ √

√ √

√

√

El punto P está a una razón de 2/3 del segmento AB.

Para localizar las coordenadas de un punto P(x,y), que divide a un segmento de recta una razón dada P1P2 y cuyas coordenadas son P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2), respectivamente en una razón r.

El punto medio se expresa con las fórmulas:

49

Pm ( xm , ym )

1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y), que divide al segmento

determinado por los puntos P1(-2,-1) y P2(3,3), si la razón es r = 3.

2. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divide con una

razón de r = 4 al segmento que une los puntos A (3,2) y B (0,8).

3. Determina las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento

que une los puntos Q (-2,-5) y U (3,-4) en una razón de r = 6.

4. Trazar un plano cartesiano y determina las coordenadas del punto

P(x,y), que divida al segmento determinado por los puntos P1(7,5) y

P2(-4,-4) en relación

Resuelve los ejercicios siguientes.

Ejercicio no. 2

50

1. Obtén las coordenadas del punto que divida al segmento determinado por los puntos

A(− 2,1) y B(3,−4).en razón de:

2. Obtén las coordenadas del extremo D del diámetro de una circunferencia cuyo centro está ubicado en C (−4,1) y que además tiene como extremo el punto E (2,6).

x

y

x

y

Sesión

14

Encuentra lo que se indica en cada uno de los problemas y realiza la gráfica correspondiente.

Ejercicio no. 3

51

3. Encontrar la razón r en la que el punto P (4,2) divide al segmento A (−2,− 4) y B (8,6).

BL

OQUE 2 73

4. Los vértices de un triángulo DEF son: D (-2,4), E (4,2) y F (-1,-3). Comprueba si es un triángulo isósceles.

5. Dibuja el triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos A (5, 7), B (1, 3) y C (9, 1).

x

y

x

y

x

y

52

6.- Una grúa sujeta una viga que queda empotrada en el punto M (6,0). El extremo de la viga es el punto N (2,12). En P, punto medio entre M y N, se hará colgar una plomada. ¿Cuáles son las coordenadas de P?

2.2 Determina áreas y perímetros de polígonos para aplicarlos en problemas cotidianos

2.2.1 Resuelve problemas cotidianos donde involucre obtención de perímetros a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos. 2.2.2 Resuelve problemas cotidianos donde involucres obtención de áreas, a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos.

x

y

Sesión

15

Resuelve problemas para obtener perímetros y áreas a partir de la aplicación de distancia entre dos puntos

Aprendizajes a lograr

Ubica los puntos P(0,0); Q(8,0); R(4,5) en un sistema coordenado cartesiano, únelos

por medio de rectas y calcula el área del triangulo que se forma y su perímetro.

53

Obtén las áreas y perímetros de los polígonos, si sus vértices son los puntos: a) A (−8, − 2), B (−4,− 6) y C (− 1, 5).

b) J (−7, − 4), K (−1,1), L (−5, 7), M (3,4) y N (5,− 3).

Áreas y perímetros de polígonos.

A continuación se obtendrán las áreas y perímetros de algunos polígonos, utilizando la fórmula de distancia y la de un punto que divide a un segmento en una razón dada y posteriormente se propondrán algunos procedimientos alternativos para obtener el área de cualquier polígono.

Primero se abordarán ejemplos básicos de triángulos, cuadrados y rectángulos, posteriormente, se retoman el cálculo de áreas y perímetros de polígonos regulares,

Ejemplo 1.

Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A (1, 1), B (-2, 3) y C (-3,-1). Para encontrar el área del triángulo utilizaremos la fórmula de Herón:

√ donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y s es su

semiperímetro.

Entonces, debemos primero calcular las longitudes de los lados del triángulo aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos.

√

Una vez calculados los lados se calcula el semiperímetro que es igual al perímetro del

triángulo entre dos:

.

x

y

54

Después se sustituyen los datos en la fórmula de Herón y el resultado es el área del triángulo= 7.01846

A continuación se abordará una forma más sencilla de calcular el área de un polígono, creada por el francés Pierre Fréderic Sarrus. Esta fórmula se desarrolla mediante determinantes (como los que manejaste en matemáticas 1) y depende del número de vértices que tiene el polígono.

Si los vértices de un polígono son P1(X1,Y1 ), P2(X2,Y2 ), P3(X3,Y3 ),…. Pn(Xn,Yn ), la fórmula es:

Sea A1, A2, A3,..., An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario

tiene como coordenadas: , ,

Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:

Llamada también fórmula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite, al final, el primer par ordenado (X1,Y1) correspondiente a la coordenada de A1

……. (1)

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

:

Por lo tanto sustituyendo

Nota: La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

55

Ejemplo

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: (-6,16), (16,6) , (-10,-4), (12,12) y (20,-8)

Solución

Hacemos un gráfico aproximado:

Elijamos como primer vértice al par ordenado (12,12) luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría:

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3), el área de dicha región será:

Por lo tanto:

Sesión

16

56

El punto H(x, y) es el quinto de los puntos que dividen al segmento AB cuyas coordenadas son A (–6, 2) y B (2, –1), se divide 8 partes iguales, hallar las coordenadas de H.

El punto M (–3, 5) divide al segmento AB en la razón

, hallar las

coordenadas de A, si B (4, –2).

57

Bloque III Aplica los

elementos de una

recta como lugar

geométrico

58

3.1 Conoce la línea recta para su aplicación en diversas situaciones. 3.1.1 Reconoce la recta como lugar geométrico que permitan determinar su posición 3.1.2 Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta aplicados en problemas de su entorno 3.2 Determina el ángulo entre dos rectas para la solución de problemas 3.2.1 Encuentra el ángulo formado entre dos rectas, utilizando el concepto de pendiente 3.2.2 Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el concepto de pendiente3.1 Conoce la línea recta para su aplicación en diversas situaciones. 3.1.1 Reconoce la recta como lugar geométrico que permitan determinar su posición 3.1.2 Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta aplicados en problemas de su entorno 3.2 Determina el ángulo entre dos rectas para la solución de problemas 3.2.1 Encuentra el ángulo formado entre dos rectas, utilizando el concepto de pendiente 3.2.2 Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el concepto de pendiente

TEMARIO

Competencias de la unidad:

Al término de esta unidad, el estudiante:

Construye e interpreta modelos sobre la línea recta como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Temario:

3.1 Conoce la línea recta para su aplicación en diversas situaciones 3.1.1 Reconoce la recta como lugar geométrico que permitan determinar su posición 3.1.2 Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta aplicados en problemas de su entorno 3.2 Determina el ángulo entre dos rectas para la solución de problemas 3.2.1 Encuentra el ángulo formado entre dos rectas, utilizando el concepto de pendiente 3.2.2 Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el concepto de pendiente

59

3.1 Conoce la línea recta para su aplicación en diversas situaciones

3.1.1 Reconoce la recta como lugar geométrico que permitan determinar su posición 3.1.2 Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta aplicados en problemas de su entorno

Sesión

17

Conoce la pendiente de una recta, su posición, ángulo de inclinación y la relación entre ellos.

Aprendizajes a lograr

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

Evaluación diagnóstica

La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es el cociente: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

1.- Una recta que pasa por los puntos A(3,5) y B(-2,4). Su pendiente es:____________________ 2.- Dos rectas son paralelas si sus pendientes son: a) Recíprocas b) iguales c) recíprocas y de signo contrario d) su producto=1 3.- Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son: a) Recíprocas b) iguales c) recíprocas y de signo contrario d) su producto=1

60

La recta como lugar geométrico.

Toda recta en el plano cartesiano tiene su representación gráfica como una ecuación de primer grado.

Las siguientes son ecuaciones de primer grado. Cada una representa a una recta distinta en el plano cartesiano: x=4, y=2/3x, y=-2, y=3x+2

La primera ecuación representa a una recta paralela al eje y; la segunda representa a una recta que pasa por el origen; la tercera representa a una recta paralela al eje x y la cuarta representa a una recta que corta a los dos ejes.

Ecuaciones y propiedades de la recta

La expresión simbólica (algebraica) de la recta es sumamente útil para representar una gran variedad de problemas, muchos de ellos de tipo de variación proporcional directa. En aspectos mercantiles, de producción, en repartos, cambios de moneda y aspectos de la economía, se usan diversas formas de representación de la línea recta.

Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A

modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se compra de Pan en

mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en esta”.

“En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía”

Es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y “n” la cantidad de personas que se encuentran en la casa.

Con una persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería:

P (1) = 2(1) + 3 = 5, de la misma forma

P (2) = 2(2) + 3 = 7

P (3) = 2(3) + 3 = 9

4.- Dos rectas tienen de pendientes 5 y -1/5, respectivamente, por lo que las rectas son _____________________pues, esas pendientes son____________________________ . 5.- Dos rectas tienen de pendientes 1/5 y 1/5, respectivamente, por lo que las rectas son______________________________, pues esas pendientes son___________________________________________________________________

6.- Si las pendientes de dos rectas son m1=0 y m2 = ∞, las rectas

son_____________________, pues la primera recta es_______________________, y la segunda recta es______________________________________________________

61

P (4) = 2(4) + 3 = 11

Por lo tanto podemos deducir que P(n) = 2n + 3 representa la cantidad a comprar cuando en mi casa se encuentran “n” Personas.

De esta forma Y = 2x + 3 representa la ecuación de la recta, la cual nos muestra la cantidad de pan que debe comprarse en mi casa.

Gráficamente:

La siguiente gráfica describe la relación entre la distancia recorrida y la cantidad de combustible consumido por tres automóviles. El consumo de gasolina de cada automóvil es constante.

Recuerda que: el rendimiento de un automóvil es la cantidad de kilómetros recorridos con un litro de gasolina.

Si el rendimiento de un automóvil es constante, la distancia recorrida y la cantidad de gasolina que se consume son cantidades directamente proporcionales

I.-De acuerdo con la información de la gráfica:

a) ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil C con 13 de gasolina?______________________

b) Si el automóvil C recorriera 204 km, ¿cuántos litros de gasolina consumiría?____________

c) ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil A con un litro de gasolina?__________________

62

d) ¿Qué distancia recorre cada automóvil con tres litros de gasolina?

Automóvil A__________ Automóvil B ____________ Automóvil C______________

Comparen sus respuestas, contesten y comenten:

a) Por cada litro de gasolina que consume cada automóvil, ¿cuántos kilómetros recorre?

Automóvil A ____________Automóvil B____________ Automóvil C______________

b) ¿Qué automóvil tuvo un mejor rendimiento?____________________________

II.- Responde lo que se te pide a continuación:

a) Completa las siguientes tablas para encontrar la distancia recorrida por el automóvil A y por el automóvil C, a partir de la cantidad de gasolina consumida.

Cantidad de

gasolina

(en litros)

Distancia recorrida

(en Km)

Cantidad de

gasolina

(en litros)

Distancia recorrida

(en Km)

5 100 5 60

6 6

7 7

8 8

9 9

10 200 10 120

Automóvil A Automóvil C

II.- Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro al

décimo litro de gasolina consumida.

Distancia

recorrida

Cantidad de

gasolina

consumida

Cociente de la cantidad de Kilómetros recorridos entre

la cantidad de gasolina consumida

Automóvil A

Automóvil C

Sesión

18

63

III.- Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro al

séptimo litro de gasolina consumida.

Distancia

recorrida

Cantidad de

gasolina

consumida

Cociente de la cantidad de Kilómetros recorridos entre

la cantidad de gasolina consumida

Automóvil A

Automóvil C

Comparen sus respuestas y contesten lo que sigue.

a) Cómo son los cocientes que encontraron en las tablas para el automóvil A, distintos o iguales___________________________

b) Cómo son los cocientes que encontraron en las tablas para el automóvil C, distintos o iguales___________________________

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorrida por el automóvil A, a partir de la gasolina que consumió?

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorrida por el automóvil A, a partir de la gasolina que consumió?

Conclusión_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ángulo de inclinación y pendiente de la recta.

Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:

a partir de su ecuación,

a partir de dos de sus puntos

a partir del ángulo que forma con uno de los ejes y su distancia al origen,

etc. Para poder desarrollar todas estas formas, primero debemos definir algunos conceptos relacionados.

Sesión

19

64

Definición de Inclinación La inclinación de una recta es el menor ángulo positivo (medido en el sentido positivo)

que ésta forma con el eje de las abscisas (x). La siguiente gráfica muestra la inclinación a de la recta.

Algunas veces conoceremos dos de los puntos por donde pasa la recta. A partir de estos dos puntos siempre podremos calcular Δx y Δy.

Con estos dos valores podemos calcular otro valor que nos ayude a caracterizar la recta. En particular, el cociente Δy/Δx nos dará información

valiosa acerca de la inclinación de la recta.

Definición de Pendiente

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(X1, Y1) y Q(X2, Y2) se denota por la letra m y se calcula con la siguiente fórmula:

La pendiente de una recta es igual a la tangente de su inclinación. Para reconocer cómo caracteriza a una recta su pendiente nos ayudará mucho la siguiente gráfica:

65

La pendiente (m) de una recta es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal, también se le conoce como la razón de cambio en la posición de un punto en el plano cartesiano.

Supongamos los extremos de un segmento son: A (4,2) B (5,3), por lo que su pendiente se calcula como:

12

12

xx

yy

ABm

11

4523

ABm

1ABm

Gráfica correspondiente:

Ejercicio no. 1

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar la pendiente de una recta cuando se tienen dos puntos de ella, resolver el siguiente ejercicio:

Grupo

Trazar la recta que pasa por cada par de puntos en el plano cartesiano y encontrar la pendiente de la recta. a) A (3,4) y B (5,-3) b) B (1,1) y V (8,1) c) C (-2,3) y F (-2,-3) d) D (2,-3) y E (0,0) e) E (2,-1) y H (-2,-1) f) F (-1,-1) y G (6,6) g) G (-2,-3) y S (10,1) h) A (4,-4) y U (-2,0)

66

Ejercicio no. 2

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar el ángulo de inclinación de una recta cuando se tienen dos puntos de ella, resolver el siguiente ejercicio.

Grupo

1. Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación que forman con el eje “x”, las rectas que pasan por cada par de puntos siguientes:

a). A (1,3), B (5,9) b). A (1,1), B (-4,-4) c). A (2,6), B (-6,7) 2. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de las rectas horizontales?

3. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos verticales?

4. Determinar la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 60º

con el eje “x”.

5. Determina la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 120º

con el eje “x”

67

3.2 Determina el ángulo entre dos rectas para la solución de problemas 3.2.1 Encuentra el ángulo formado entre dos rectas, utilizando el concepto de

pendiente

3.2.2 Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el

concepto de pendiente

Angulo de intersección entre dos rectas, podemos encontrar una fórmula para calcular el menor ángulo que se forma entre dos rectas que se cortan.

Si es el ángulo (medido en contra de las manecillas del reloj) formado entre dos rectas

L1, L2, cuyas pendientes son m1 y m2, respectivamente, entonces:

donde m1, es la pendiente de la recta que sirve de lado inicial del ángulo y m2, es la pendiente de la recta que sirve de lado terminal del ángulo. Considerando la siguiente figura:

.

Calcula el ángulo formado por las siguientes rectas: x+3y-2= 0 y 2x-3y+5= 0

El primer paso es calcular las pendientes de dichas rectas.

m1=

m2=

=

Aplicando la fórmula:

Determina el ángulo formado entre dos rectas. Conoce las condiciones para que dos rectas sean paralelas o

perpendiculares.

Aprendizajes a lograr

EJEMPLO

68

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: _______________________________________________

Tarea no. 1

α = 52⁰ 8‘

A continuación se te presentan una serie de ejercicios, utilizando la fórmula de la pendiente y con ayuda del plano cartesiano, trazar la recta correspondiente a cada par de puntos y encontrar su pendiente:

1. Los puntos A (9,3) y B (-2,0).

2. Dados los puntos B (-1,4) y C (5,2)

3. Los puntos A (-6,-4) y B (-5,3)

69

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: _______________________________________________

Tarea no. 2

Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (3,4) y B(− 1, 2).

2. Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta cuya gráfica es:

Una recta pasa por el punto A(− 3,4) y B(2,y), encuentra la ordenada del punto B, si la pendiente de la recta es −1.

Encuentra tres puntos colineales con el punto K(2,3), si la recta por donde pasan tiene una pendiente igual a −4 .

Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos R (1,− 1) y S(5, 6).

Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos M (2,3) y N(− 7, 9)

Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos U (− 4,6) y V (1, 6)

70

Conoce las condiciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando

el concepto de pendiente

Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales y recíprocamente, si dos rectas tienen sus pendientes iguales son paralelas.

Si dos rectas son tienen la misma pendiente, debemos subir en el sentido del eje y la misma cantidad por cada unidad en el sentido del eje x que avancemos. Por eso son paralelas.

Sesión

20

Analiza las siguientes preguntas y comenta con tus compañeros.

Evaluación diagnóstica

¿Has visto las vías del Ferrocarril? ¿Qué representan, pueden ser rectas?, comenta

con tus compañeros de grupo.

Un ejemplo de rectas paralelas son las vías del ferrocarril, observa la siguiente

imagen

71

Condición de paralelismo: Si m1 y m2, son

las pendientes de las rectas L1 y L2, y tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto al eje X, entonces m1 = m2.

implica que L1 II L2.

Si dos rectas son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es el recíproco con signo

contrario de la pendiente de la otra recta y recíprocamente.

Condición de perpendicularidad:

Si m1 y m2, son las pendientes de las rectas L1 y L2, entonces, m1 = 1/2, implica que m2= -2 Observa que en caso de que m1 =0, tenemos que la pendiente de la recta L2 no está definida, dado que es vertical. Lo mismo ocurre en el caso de que m2 = 0. Entonces, m1 no estará definida.

Con los ejemplos anteriores se puede hacer un análisis del comportamiento de la pendiente de

una recta y se concluye en el siguiente cuadro.

ANG. DE INCL. PENDIENTE GRAFICA

Grafica pendiente Angulo de inclinación

Si m > 0 la función es creciente ( al aumentar los valores de x, aumentan los de y)

El ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo entre 0° y 90°

Sesión

18

72

Si m < 0 la función es decreciente ( al aumentar los valores de x, disminuyen los de y)

el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso entre 90°y 180°

Si m=0

Cuando la recta es constante tiene pendiente nula

Ángulo de inclinación es 0° o 180°

Pendiente no definida

Angulo de inclinación es de 90°

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

X

Y

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

X

Y

x

y

x

y

73

Pendiente Tipo de recta

Positiva Recta ascendente

negativa Recta descendente

cero Recta horizontal

No definida Recta vertical

I.- Responder los siguientes cuestionamientos y realicen la gráfica correspondiente.

1. Mencione los criterios para que dos rectas sean paralelas___________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Utilizando el concepto de pendiente, ¿cómo demostrarías que dos rectas son paralelas?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Con el método que describiste en la pregunta anterior, comprueba que las siguientes parejas de rectas definidas por los puntos, son paralelas.

a) L1: A (− 5,2) y B (− 2,4) L2: C (− 2,1) y D (1,3)

b) L1: S (3,− 4) y T (0,2) L2: U (6,1) y V (3,7

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Menciona los criterios para que dos rectas sean perpendiculares____________________

__________________________________________________________________________

5. ¿Cómo demostrarías que dos rectas son perpendiculares?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sesión

21 Ejercicio no. 3

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios

Grupo

74

6. Utilizando el método que describiste en la pregunta anterior, comprueba que las siguientes parejas de rectas definidas por los puntos, son perpendiculares.

a) L1: M (5,1) y N (0,3) L2: P (2,− 1) y Q (4,4)

b) L1: D (2,3) y E (6,4) L2: F (4,2) y G (3,6)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

II.- Contesta correctamente lo que se te pide.

1. De acuerdo a estas dos afirmaciones completa la tabla para que se cumpla que las rectas son paralelas o perpendiculares, según sea el caso.

I. Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales (m1 = m2).

II. Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario (m1m2= –1).

Pendiente de la recta L1 Pendiente de la recta L2 Las rectas son:

m1=-1 paralelas

m2=-2 perpendiculares

m1=5 paralelas

m2=-3/4 perpendiculares

m1=-1/2 paralelas

m2=6 perpendiculares

m2=-5/6 perpendiculares

m1=-3/4 paralelas

m2=3/4 paralelas

m1=-2/8 perpendiculares

2. Demuestre, utilizando el concepto de pendiente, que un triángulo es rectángulo

75

.

Realiza las siguientes actividades Tarea no. 3

2

1. Utiliza el concepto de pendiente para comprobar que los puntos A(3,− 1) , B(− 3,2) y C(1,0) son colineales.

2. Utiliza el concepto de pendiente para comprobar que los puntos M(0,− 2), N(4,5), O(− 1,2) y P(5,1) son vértices de un paralelogramo.

3. Comprueba si la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(5,− 1) es perpendicular a la recta que pasa por C(− 4,− 1) y D(0,2)

4. Demuestra que las diagonales del cuadrado formado por los puntos J(1,− 3), K(6,− 3), L(6,2) y D(1, 2), son perpendiculares.

5. Considera el triángulo formado por los puntos C(1,− 2), D(8,1) y E(3,5) . Sea F y G los puntos medios de los segmentos CE y DE respectivamente, muestra que el segmento FG es paralelo al segmento CD (FG // CD).

6. Demuestra que el triángulo de vértices R(1,2) , S(3,4) y T(− 1,6) es isósceles y halla uno de los ángulos iguales.

7. Los puntos T (− 2,4) , U(1,6) y V(5,−1) son vértices del paralelogramo TUVW, el cuarto vértice W es opuesto a U. Determina las longitudes de las diagonales del paralelogramo y los ángulos interiores del paralelogramo.

8. Dos automóviles empiezan a transitar por un distribuidor vial. El automóvil A se dirige de Oeste a Este y empieza a subir en el punto (− 5,0) y llega al punto más alto del puente en (1,2) . El automóvil B transita de Este a Oeste y empieza en el punto (14,0) , el punto más alto del puente de su carril es (1,4) .

Encuentra:

a) Los ángulos de inclinación de cada uno de los puentes.

b) ¿Cuál de ellos tiene mayor altura?

c) La distancia que recorre cada automóvil, desde que inician en los puentes hasta el punto más alto de cada uno de ello.

76

Bloque IV Utiliza distintas

formas de la

ecuación de una

recta

77

Competencias de la unidad:

Al término de esta unidad, el estudiante:

Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la recta al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la recta.

Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la recta, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio.

Temario:

4.1 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la recta aplicados a diferentes contextos 4.1.1 Resuelve la ecuación pendiente-ordenada al origen para la solución de problemas 4.1.2 Resuelve la ecuación punto-pendiente para la solución de problemas 4.1.3 Resuelve la ecuación punto-pendiente para la solución de problemas 4.2 Conoce la ecuación general y normal de una recta en situaciones reales 4.2.1 Transforma la ecuación normal a general y viceversa para la solución de problemas . 4.2.2 Obtén la distancia de un punto a una recta y entre dos rectas paralelas para la solución de problemas. 4.2.3 Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas cotidianos.

78

4.1 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la recta aplicados a diferentes contextos

4.1.1 Resuelve la ecuación pendiente-ordenada al origen para la solución de problemas

4.1.2 Resuelve la ecuación punto-pendiente para la solución de problemas.

4.1.3 Resuelve la ecuación dados dos puntos y la forma simétrica para lo solución de problemas

Forma pendiente ordenada al origen

Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B (0, b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b.

Conociendo este punto es muy sencillo encontrar la ecuación de la recta.

Considera una recta que pasa por los puntos A(x,y) y B (0,b), como se muestra en la figura:

Observa que en la ecuación y = m x + b, cuando x = 0 tenemos que y = b. Esto nos dice que la recta pasa por el punto B (0, b).

Sesión

22

Sesión

23

Las siguientes son ecuaciones de primer grado. Cada una representa a una recta distinta en el plano cartesiano: x=4, y=2/3x, y=-2, y=3x+2

Analiza cada recta, explica en qué puntos pasan, ejes en los cuales se intersecta y todo lo relacionado con ellas de acuerdo a los temas que anteriormente se explicaron.

Analiza las siguientes preguntas y comenta con tus compañeros.

Evaluación diagnóstica

79

Calculando su pendiente

Despejando y, y ordenando los términos:

A partir de esta interpretación geométrica del valor de b de la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen, fácilmente podemos graficar la recta: y = m x + b.

Para este fin, empezamos dibujando un punto en (0, b). A partir de ese punto y con la interpretación geométrica de la pendiente:

, podemos avanzar m unidades verticalmente por cada unidad que

avancemos hacia la derecha.

Si m es positivo la recta subirá, si m es negativo la recta bajará y si m = 0 tendremos una recta horizontal.

La coordenada b, se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta al eje y

Y=3X+2, donde m=3 y b=2

Y= -5X+3, donde m= -5 y b=3

Y= -3x, donde m= -3 y b=0

Si la recta está escrita en otra forma, podemos escribirla en forma principal y luego identificar m y b.

Por ejemplo. Determinar la pendiente y la ordenada al origen (b) en la ecuación 2x+y-8=0.

Primero despejamos tenemos que acomodarla de la forma Y=mx+b, de donde Y=-2x+8 su pendiente es m=-2 y su ordenada al origen es B=8

Ejemplo.

Calcula la ecuación de la recta con pendiente m = 3 que corta al eje y en el punto B (0, 5).

Deducimos que b=5, m=3

Sustituyendo los datos en la ecuación tenemos:

Y=mx+b

Y=3x+5

80

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x1, y1) y que tiene pendiente m es:

y – y1 = m(x – x1 )

Debido a que esta ecuación se encuentra a partir de esos datos se conoce como la ecuación en la forma punto-pendiente.

Ejemplo. Recta que pasa por el punto P (3, 2) con pendiente m = 2.

Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores de los datos conocidos:

( y - y1 ) = m ( x - x1 )

( y – 2 ) = 2 ( x - 3 )

y - 2 = 2x - 6

y = 2x – 6 + 2

y = 2x – 4

Graficamos la recta

Observa que si x = 0, entonces, y = -4.

Además, m=2, por lo que por cada unidad que avancemos en la dirección del eje x debemos subir 2 en la dirección del eje y.

Sesión

24

De manera individual dar solución a los siguientes ejercicios.

Ejercicio no. 1

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, 5) con pendiente m = 2.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, 5) con pendiente m = -2.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (0,-5) con pendiente m = 3.

81

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B (3, 4).

Este problema es diferente a los anteriores aquí se cuenta con dos puntos y no se tiene la pendiente y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos los cuales ya los tenemos.

Para este fin, primero debemos conocer la pendiente.

Primero, utilizamos la fórmula para calcular la pendiente de una recta conocidos dos puntos por los que pasa.

Una vez calculada la pendiente, tendremos que elegir un punto de entre los dos) y la pendiente

de la misma, podremos utilizar la ecuación en su forma punto-pendiente y finalmente

obtendremos su ecuación

( y - y1 ) = m ( x - x1 )

( y – 2 ) = 1( x - 1 )

y - 2 = 1x - 1

y = x – 1 + 2

y = x +1

Es claro que podemos sustituir en la ecuación el valor de m a partir de las coordenadas de los puntos por los cuales pasa la recta. Así obtenemos la ecuación en su forma dos puntos.

Ecuación de la recta en su forma dos puntos

La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) es:

Observa también que la ecuación de la recta en su forma punto pendiente sustituimos el valor de m en función de las coordenadas de los dos puntos por donde pasa.

Forma simétrica

Ahora vamos a utilizar una forma más de la ecuación de la recta.

La ecuación de la recta que estudiamos en la sección anterior solamente nos daba información acerca de la intersección con el eje y.

Sería mucho mejor tener una forma de la ecuación que nos diera información sobre las intersecciones con los dos ejes y no solamente con uno.

Entonces, en este caso deseamos escribir la ecuación de manera que nos incluya las intersecciones con los ejes.

82

Recuerda que con dos condiciones nosotros podemos determinar de manera única la ecuación de la recta. Nosotros conocemos dos puntos por donde pasa la recta, que corresponden a las intersecciones de la recta con los ejes: A(a, 0) y B (0, b).

A partir de estas condiciones vamos a encontrar la ecuación de la recta y vamos a tratar de reconocer esa información conocida.

(

)

(

)

Ahora podemos dividir ambos lados de la igualdad entre ab y así obtener:

, de donde,

Esta es la ecuación de la recta en su forma simétrica.

Ejemplo.

Encuentra la ecuación de la recta que corta al eje x en x = 3 y al eje y en y = 5.

Sabemos que la recta pasa por los puntos A (3, 0) y B (0, 5).

En este caso sustituimos los valores en la ecuación:

,

Esta ecuación es muy sencilla de graficar.

Ubica los puntos A (3, 0) y B (0, 5) en el plano y traza la recta que pasa por éstos.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta en su forma simétrica que tiene pendiente 3/2 y que intersecta al eje y en (0, 2). Grafica la recta a partir de su ecuación.

Vamos a proceder como hicimos para encontrar la ecuación en la forma simétrica en la introducción de esta sección.

Utilizamos la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen, y de ahí encontramos la forma simétrica:

y = m x + b y= (3/2) x + 2, multiplicamos por 2 toda la ecuación 2y = 3x + 4 2y-3x=4 o bien -3x + 2y =4

83

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 4 y obtenemos:

,

,

Ahora conocemos la intersección de la recta con el eje x, y ésta es: a = - 4/3.

De manera individual dar solución a los siguientes ejercicios.

Ejercicio no. 2

1. Transforma la ecuación de la recta y = 2 x - 4 a su forma simétrica.

2. Encuentra la ecuación de la recta (forma simétrica) que pasa por el punto P(3, 2) y tiene pendiente m = 1/3.

3. Encuentra la ecuación de la recta (forma simétrica) que pasa por los puntos P(3, 2) y Q(1, 6).

84

Luis fue a comprar refrescos. Cada refresco costaba $5.00 pesos y además, había quedado a deber $12.00 pesos al tendero. Encuentra la ecuación de la recta que modela esta situación.

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3/2 y que interseca al eje y en B (0, 2). Grafica la recta a partir de su ecuación.

De manera individual dar solución a los siguientes ejercicios.

Ejercicio no. 3

Resuelve los siguientes problemas, que te ayudaran a la comprensión de los temas anteriores.

Tarea no. 1

Un inversionista desea comprar una parte de un terreno que tenga un metro más del doble de largo que de ancho. Si a es el ancho, ¿cuál es la ecuación que modela esta situación?

Se sabe que 0° Centígrados equivalen a 32° Farenheit. Por otra parte, 100° Centígrados equivalen a 212° Farenheit. Encuentra la ecuación que sirve de conversión entre una escala de temperatura y otra.

x

y

x

y

Sesión

25

85

4.2 Conoce la ecuación general y normal de una recta en situaciones reales.

4.2.1 Transforma la ecuación normal a general y viceversa para la solución de problemas

Forma general

La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas.

En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación de una recta dada.

Por ejemplo, en el caso de la ecuación de la recta en la forma simétrica, en caso de que cualquiera de las intersecciones fuera, bien a = 0, bien b = 0, la ecuación simétrica no puede escribirse.

En el caso de la ecuación vertical, no puede escribirse ni en forma punto-pendiente, ni en forma pendiente-ordenada al origen.

Esto se debe a que la recta vertical no tiene definida la pendiente. (¿Por qué?)

Así que surge la necesidad de estudiar una clase más de forma de la recta.

Considera la ecuación de la recta en su forma simétrica:

Si multiplicamos ambos lados por ab obtenemos:

, Ahora que hemos transformado la ecuación para evitarnos las fracciones, podemos

cambiar los nombres de los coeficientes y escribir:

Esta es la ecuación de la recta en su forma general, donde A, B, C Є R,

y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente.

Haciendo transformaciones algebraicas a la forma general se puede obtener:

Sesión

26

Determina la ecuación normal de una recta Trasforma la ecuación Normal a general de una recta.

Aprendizajes a lograr

86

Por similitud de esta expresión con la forma pendiente ordenada al origen y=mx+b, vemos

que:

y

Da la ecuación de la recta en la forma general si corta a los ejes en los puntos T (4,0) y U (0,-6)

Una recta pasa por el punto M (5,4) y es perpendicular a la recta 2x-4y=5. Da la ecuación de la recta en su forma general.

Da la pendiente y las intersecciones de la recta x-4y=8 con los ejes coordenados

Da la forma general de la recta y= (2/5) x-4

Ejemplo 1

Hallar la ecuación (forma general) de la recta que pasa por los puntos A (7, 1) y B (3, 8).

Primero encontraremos la pendiente de la recta.

Después utilizaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Después sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación en forma general de la recta que tiene pendiente m = 3 y pasa por el punto P (-1, 3).

Empezamos sustituyendo los valores en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

y - y1 = m(x - x1)

y - 3 = 3 (x - (-1))

y - 3 = 3 x + 3

-3 x + y - 6 = 0

3 x - y + 6 = 0

Se sugiere que el coeficiente de x sea positivo. Por eso se multiplicó la ecuación por -1 al final.

Ejemplo 3

Transforma la ecuación de la recta en forma simétrica:

a la forma general.

Encuentra la ecuación en su forma general de la recta que pasa por el punto P (5, 4) y es paralela a la recta: 3 x + 2 y - 5 = 0.

El siguiente ejemplo requerirá que recuerdes la condición de perpendicularidad entre dos rectas.

Encuentra la ecuación (forma general) de la recta que es perpendicular a la recta 5 x-3 y+21 = 0 y que pasa por el punto P (7,-1).

87

Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa.

Toda ecuación de la recta puede ser escrita en la forma general.

Ejemplo 1: Transformar la siguiente ecuación a su forma general

, o bien , donde A=2, B=-3 y C=-24

Forma normal de la ecuación de la recta

A esta ecuación se le conoce por convención como la forma normal de la ecuación de la recta.

Cabe mencionar, que no suele usarse reportando valores del ángulo, sino los valores numéricos que corresponden a las funciones seno y coseno del ángulo involucrado.

Ejemplo, si el seno de w y el coseno de w valen -4/5 y -3/5, respectivamente, y si p=5, entonces la forma normal de la ecuación se debe escribir así:

(

) (

) o bien (

) (

)

Transformación de la forma general a la forma normal

En términos prácticos, y obviando la demostración, podemos decir que para transformar una

ecuación dada en su forma general a su forma normal, basta con dividirla entre √ . En

símbolos,

√

Puesto que el procedimiento implica dividir cada término de la ecuación general entre el radical, el signo de éste se designa como sigue:

1.- Contrario al de C si C≠0

2.- Igual que el de B si C=0

3.- Igual que el de A si C=B=0

Ejemplo: Convertir la siguiente ecuación en su forma normal:

Escribamos primero los valores de A; B y C

A=1 , B=3 y C=-5.

Calculemos el valor del radical √

√ = √ = √

Escojamos el signo del radical. El signo debe ser contrario al de C, o sea, positivo.

Dividamos por último cada término entre √

Sesión

27

88

(

√ ) (

√ )

√ Es la forma normal de la ecuación dada y de la cual saltas vista que

el coseno y el seno del ángulo son positivos y valen

√ y

√

4.2.2 Determina la distancia de un punto a una recta y entre dos rectas paralelas para la solución de problemas 4.2.3 Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas cotidianos

Distancia entre un punto y una recta.

Una de las aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta, es el cálculo de la distancia de un punto a una recta, observa el dibujo:

Determina la distancia entre dos rectas

Aprendizajes a lograr

Sesión

28

De manera individual dar solución a los siguientes ejercicios.

Ejercicio no. 4

Transforma las ecuaciones siguientes a su forma normal.

1. 2x-7y-10=0

2. 4x-3y-20=0

3. X+3y-5=0

4. 8x+10y=0

5. 3x-y+1=0

6. Expresar la ecuación x 8 en las formas pendiente ordenada al origen y en su forma simétrica

7. Expresar la forma general de la recta 3x-2y=-1 en las formas pendiente ordenada al origen y en su forma simétrica

89

Fórmula para calcular la distancia entre un punto a una recta:

Primero se aplica la fórmula donde el numerador es la misma ecuación de la recta y como denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de X y de Y, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación, haciendo las operaciones correspondientes.

Aplicando la fórmula anterior resuelve los siguientes ejercicios en equipos de 2 integrantes.

Encuentra la distancia en cada caso de un punto a una recta.

(-3,5) , 3x-2y-8=0

(6,-2) , 5x-6y-1=0

Encuentra el valor del radio de una circunferencia, cuyo centro es el punto C (-2, 4) y es tangente a la recta x – 4y +6 = 0

(-3 , 2) , x+y-2=0

Después de la exposición del profesor, en equipos de dos integrantes completa la tabla siguiente.

Grupo

Ejercicio 5

90

Aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta, determina la distancia entre la recta 5x+3y+4=0 y el punto (2,5)

Distancia entre rectas paralelas

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas: R: 2x – y + 1 = 0 y S: - 4x +2y – 3 = 0.

Relacionando ambas rectas con la fórmula general

R: Ax + By + C = 0 y S: Ax + By + C’ = 0, los coeficientes de “x” y de “y” son iguales, si las rectas son paralelas y sus coeficientes no son iguales esto se puede conseguir que el coeficiente de la x y de y sea el mismo, siendo únicamente el término que varía es el independiente C y C’. La fórmula es:

d (R,S) = | C – C’ | / √( A2 + B2 )

Por lo tanto nuestras rectas R y S son paralelas y los coeficientes no coinciden, lo que tenemos que hacer es hacer coincidir los coeficientes tanto de x como de y.

Dividimos la primera ecuación entre el coeficiente de x

R:

= 0 R:

= 0

Dividimos la segunda ecuación entre el coeficiente de x

S:

S: x – ½ y + ¾ = 0

Entonces ya tenemos la forma deseada, los coeficientes de x y de y coinciden y los términos independientes son diferentes eso es lo que ocurre cuando las rectas son paralelas. Entonces calculamos la distancia de R a S:

d(R,S) =

√ d(R,S) =

√

d(R,S) =

√ d(R,S) =

√

d(R,S) = √

Sesión

29

En forma individual resuelve el siguiente ejercicio

Individual Ejercicio no. 6

91

Encuentra la distancia entre las siguientes rectas:

5x-y-22=0

5x-y+20=

Aquí se describen las indicaciones para el ejercicio Después de la exposición del profesor, en equipos de dos integrantes encontrar la distancia entre los siguientes pares de rectas

Grupo

En forma individual resuelve el siguiente ejercicio

Individual Ejercicio 8

Ejercicio 7

Encuentra la distancia entre los siguientes pares de rectas paralelas :

A) x + 2 y + 3 = 0

x + 2y -13 = 0

B) x - 3 y + 5 =0

x – 3 y – 2 = 0

C) -10 x + 2 y - 6 = 0.

5 x – y + 7 = 0

d) -6 x -2 y + 19 = 0

- 3 x – y + 7 = 0

92

Bloque V Aplica los

elementos y las

ecuaciones de una

circunferencia

93

Competencias de la unidad:

Al término de esta unidad, el estudiante:

Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la circunferencia.

Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio

Temario:

5.1 Identifica la circunferencia como lugar geométrico para ubicar su aplicación en su entorno 5.1.1 Conoce la definición de la circunferencia como lugar geométrico en su aplicación en tu entorno. 5.1.2 Identifica los elementos asociados a una circunferencia 5.2 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la circunferencia para solucionar problemas 5.2.1 Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y fuera del origen, dada una situación problemática 5.2.2 Encuentra la ecuación general de la circunferencia a partir de ecuación ordinaria o viceversa, dada una

situación problemática

94

5.1 Identifica la circunferencia como lugar geométrico para ubicar su aplicación en su entorno.

5.1.1 Conoce la definición de la circunferencia como lugar geométrico en su aplicación en tu entorno

5.1.2 Identifica los elementos asociados a una circunferencia

Sesión

30

Resuelve los siguientes ejercicios

Evaluación diagnóstica

1. La distancia del origen a un punto P cualquiera en el plano cartesiano está dada por la relación:

a) OP=(X-0)2+(Y-0)2 c) OP2=(X-0)2+(Y-0)2

b) OP2=(X-0)2-(Y-0)2 d) OP=(X-0)2-(Y-0)

2. En la ecuación x2+y2=16, el radio vale:

a) 4 b) 16 c) 0 d) 1

3. La circunferencia expresada por la ecuación x2+y2=10, tiene el centro por coordenadas:

a) (0,0) b) (10,10) c) (10,0) d)(5,5)

4. La longitud de una circunferencia x2+y2=25 es:

a) 31.416 b) 25 c) 15.708 d)0

5. Al hacer cortes a un cono recto, para obtener un círculo, el plano de corte debe ser:_______________________________________

Conoce el concepto de circunferencia Identifica los elementos de una circunferencia

Aprendizajes a lograr

95

La circunferencia como lugar geométrico

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto en el plano que se desplaza conservando su distancia a otro punto fijo llamado centro.

La circunferencia es la curva que determina un área denominada círculo

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior

Elementos asociados a una circunferencia

En la circunferencia se encuentran segmentos y rectas notables

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

96

x

y

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Cerca del centro de un pueblo (o) ha ocurrido una explosión y se ha tenido que delimitar un área de rescate. El lugar de la explosión es el punto C (6,2) y; S (6,4) es uno de los puntos límites.)

Dar una ecuación que exprese el límite del desastre.

¿Cuál es la distancia del centro de la explosión al centro del pueblo?

Considera que el lado de cada cuadrito de la cuadrícula es de 100mts.

Analizar los siguientes ejercicios y describir la respuesta

Ejercicio no. 1

97

El radio medio de la luna es de 1,738 Km. Calcula la longitud de su

circunferencia_________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Cómo el diámetro de la luna es 3/11 del diámetro de la tierra, ¿de cuántos km es el diámetro de la tierra?___________________________________________________________________

1. De acuerdo a la figura, expresa en el paréntesis las letras que describen cada elemento

de la circunferencia.

x

y

O

A

B C

D

E

F

G

Radio ( )

Tangente ( )

Cuerda ( )

Diámetro ( )

Secante ( )

Origen ( )

En forma individual contesta la siguiente actividad

Individual Ejercicio no.2

Sesión

31

98

2. Contesta lo siguiente.

a) ¿A cuántos radios equivale un diámetro?

b) ¿Cuántos radios tiene una circunferencia?

c) ¿Cuál es la mayor cuerda que se puede trazar en una circunferencia?

d) ¿Cómo son entre sí las tangentes trazadas por los extremos de un diámetro?

e) ¿Cómo son entre sí los radios de una circunferencia?

f) Si dos cuerdas son iguales, ¿cómo son las distancias al centro del círculo?

5.2 Desarrolla las diferentes formas de la ecuación de la circunferencia para solucionar problemas

5.2.1 Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y fuera del origen dada una situación problemática.

5.2.2 Encuentra la ecuación general de la circunferencia a partir de ecuación ordinaria o viceversa, dada una situación problemática.

Determina la ecuación ordinaria y general de la circunferencia.

Aprendizajes a lograr

Contesta brevemente las siguientes preguntas

Evaluación diagnóstica

1. Describe el concepto de circunferencia____________________________________

_____________________________________________________________________

________________________________________________________________

2. Menciona los elementos de la circunferencia y describe cada uno de ellos

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________

99

Obtención de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

El caso particular más sencillo para esta ecuación se obtiene cuando el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas.

Entonces, C (h, k) es C (0, 0) y la ecuación de la circunferencia se reduce a:

Esta es la ecuación que vamos a estudiar para iniciar el estudio de la circunferencia.

Como su nombre lo dice su centro es el origen de coordenadas (0,0), lo que faltaría por conocer es su radio. Usando un punto arbitrario de coordenadas P (y) sobre la circunferencia y aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que el radio r es la hipotenusa.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a:

Características de la ecuación con centro en el origen:

1. Ambas variables aparecen con exponente dos, y sus coeficientes son siempre la

unidad.

2. En el segundo miembro de la igualdad aparece el radio con signo necesariamente

positivo. Si el radio fuera ceo, entonces el lugar geométrico no podría ser una

circunferencia, sólo indicaría el origen.

100

La ecuación , corresponde a una circunferencia con radio 6 con centro en el origen. ¿Cuáles de los siguientes puntos son internos a la circunferencia?

A (0, 0), B (1, 1) C (2, 2) D (3, 3) E (4, 4) F (5, 5)

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto P (6, 8).____________________________________________________________

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 5.

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos: (4,-3) y (-4, 3). Encuentra la ecuación de la circunferencia.

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios

Grupo

Ejercicio 3

101

Relaciona cada ecuación con su figura, escribiendo la letra correcta en el paréntesis.

a)

( )

b)

( ) ( )

C)

(

)

d)

( )

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

102

e)

( )

f)

g)

( )

Completa la siguiente tabla

Centro

C(h,k)

Radio r Ecuación de la circunferencia (forma canónica)

C(0,0) 5

C(0,0) 3

C(0,0) 2

C(0,0) 1

C(0,0) 10

C(0,3) 7

x

y

x

y

103

Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen dada una situación

problemática

Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen.

Si trasladamos el centro de la circunferencia h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba, obtenemos una circunferencia que está fuera del origen.

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (h, k) y radio r es:

Sea C (h,k) el centro de la circunferencia que no coincide con el origen.

Sea P(x,y) un punto de la circunferencia

Sea r el radio

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (2,-3) y radio r = 4.

Ya sabemos que el centro es C (2,-3) y el radio es 4.

Solamente debemos sustituir los datos en la fórmula:

Sesión

32

104

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (4, 2) y es tangente al eje x

.

Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (-2, 2) y que pasa por el punto P (1, 1)

Calcula la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 2 x - y - 2 = 0, y que tiene su centro en el punto C (0, 3).

105

Ecuación general de la circunferencia

Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva.

Ahora vamos a ir un paso más. Vamos a desarrollar los binomios y vamos a escribir la ecuación igualada a cero.

La ecuación general de la circunferencia es:

, donde los coeficientes D, E, F son números reales.

Conversión de forma ordinaria a forma general

Siempre que calculábamos la ecuación de una circunferencia nos quedábamos con la forma ordinaria.

Ahora vamos a empezar a convertir de la forma ordinaria a la forma general.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen en la forma general.

Ya sabemos que la forma ordinaria es:

Lo único que debemos hacer es desarrollar los binomios y simplificar:

Entonces, si conocemos el centro de la circunferencia C (h, k) y su radio r, podemos fácilmente convertir de la forma ordinaria a la forma general usando la siguiente definición:

, , y

Transforma la ecuación de la circunferencia a la forma general.

Desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos:

8 8

8 8

8

Sesión

33

106

Sesión

34

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios.

Grupo

Expresar la ecuación de la circunferencia 𝑥 𝑦 8, en su forma general

Expresar la ecuación de la circunferencia 𝑥 𝑦 , en su forma general

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro C(-3,4) y radio r=10

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦 8

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦

Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro

𝑥 𝑦

𝑥 8

Ejercicio 4

107

Conversión de la forma general a la ordinaria

Ejemplo

Convertir la ecuación general a su forma ordinaria la ecuación:

Se agrupan los términos en x y los términos en y, y transponiendo el término numérico -2 al

segundo miembro:

Completando trinomios cuadrados perfectos en x y en y

Factorizando TCP y simplificando el segundo miembro

36 forma ordinaria

1.- Realiza el procedimiento para encontrar las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias:

Sesión

35

Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno, entregarlos a tu profesor para su revisión.

Tarea no. 2

a) 8𝑥 8𝑦 𝑥 𝑦

b) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

c)𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 8

d)𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

e)𝑥 𝑦 8𝑥 𝑦

f)𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

g)𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

108

5.2.3 Desarrolla la ecuación de la circunferencia dados tres puntos, dada una situación

problemática

La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria (x-h)2 + (y-k)2 = r2, contiene tres constantes arbitrarias independientes que son: h, k y r; de la misma manera, la ecuación de la circunferencia en su forma general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 contiene también tres constantes arbitrarias independientes que son: D, E y F; por lo anterior, la ecuación de la circunferencia en cualquiera de sus formas (ordinaria y general) se obtiene al determinar los valores de las tres constantes respectivas.

Dadas tres condiciones independientes que den lugar a tres ecuaciones independientes, las cuales están en función de las tres constantes arbitrarias, al resolver el sistema de las ecuaciones, se demuestra que geométrica y analíticamente la ecuación de la circunferencia queda determinada.

Las tres condiciones independientes que determinan la ecuación de una circunferencia, pueden ser: tres puntos por donde pasa la curva, dos puntos y una recta, un punto y dos rectas, tres rectas.

En este bloque solo trabajaremos con ejemplos donde se den como datos tres puntos, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que

pasa por los tres puntos

A (-2,2), B (4,1) y C (1, -6). Solución: Como los tres puntos están sobre la circunferencia, sus

coordenadas deben de satisfacer la ecuación general, en donde se deben determinar las constantes D, E y F. Con base a lo anterior, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondientes a los puntos dados. Al sustituir el punto A (-2,2), en la ecuación general, resulta:

8 la llamamos ec. 1 Al sustituir el punto B (4,1) en la ecuación general, resulta:

La llamamos ec. 2

Sesión

36

109

Al sustituir el último punto C (1, 6) en la ecuación general, resulta:

La llamamos ec. 3

Si la ecuación 1 se multiplica por dos, resulta: 8

Al resolver 1 y 2 como sistema de ecuaciones simultaneas tenemos:

ec. 4 Si la ecuación 3 se multiplica por dos resulta:

Al resolver el sistema de ecuaciones 1 y 3 tenemos:

8

8 ec. 5 Si la ecuación 4 se multiplica por (-1), resulta:

Por suma o resta de las ecuaciones 4 y 5, resulta:

8

Al sustituir el valor de E =

en cualquiera de las ecuaciones 4 y 5, resulta:

(

)

110

Al sustituir los valores de E y F en cualquiera de las ecuaciones originales, resulta:

(

)

Al sustituir los valores de las constantes D, E y F en la ecuación general de la circunferencia,

resulta:

Ahora deberás convertir esta ecuación a la forma ordinaria como se trabajo en el tema anterior: C (_____, _____) r =___________ Traza la gráfica:

x

y

111

1. A(5,4), B(-2, 3) y C(-4,1)

2. A(1,3), B(2, 1) y C(-1,-3)

3. A(-2,2), B(4, -1) y C(6,4)

4. A(1,-1), B(5,3) y C(-3,5)

5. A(5,3), B(6,2) y C(3, -1)

Determinar la ecuación en su forma general, ordinaria; centro y de cada circunferencia que pasan por los puntos que se indican.

Tarea no. 3

112

Bloque VI

Aplica los

elementos y

las ecuaciones

de la parábola

113

Competencias

Construye e interpreta modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de

situaciones reales, hipotéticas y teóricas.

Interpreta tablas, graficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola.

Temario

6.1 Identifica una parábola como lugar geométrico para relacionarlo en su entorno. 6.1.1 Conoce la definición de la parábola como lugar geométrico relacionándola en tu entorno. 6.1.2 Identifica los elementos asociados a una parábola y el comportamiento de los parámetros h, k y p. 6.2 Determina la ecuación ordinaria de la parábola en situaciones relacionadas en tu entorno. 6.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. 6.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana. 6.3 Resuelve la ecuación general de la parábola relacionadas en tu entorno. 6.3.1 Obtén la ecuación general de una parábola a partir de la ecuación ordinaria o viceversa, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana. 6.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la parábola en problemas de tu entorno

114

6.1 Identifica una parábola como lugar geométrico 6.1.1 Conoce la definición de la parábola como lugar geométrico relacionándola en tu entorno. 6.1.2 Identifica los elementos asociados a una parábola y el comportamiento de los parámetros h, k y p.

A continuación se te presentan una serie de preguntas de situaciones reales las cuales deberás contestar y plasmarla en un Dibujo, luego comenta los resultados con el grupo.

Evaluación diagnóstica

Sesión

37

1. Describe el movimiento de la pelota en un partido de beisbol cuando es lanzada por un jardinero hacia home, realiza el dibujo.

2. Describe el movimiento del balón en un partido de básquetbol cuando se lanza para anotar un tiro de tres puntos, realiza el dibujo.

3. Describe el famoso gol de tiro libre del jugador brasileño Roberto Carlos en un partido de futbol, realiza el dibujo.

4. Describe el movimiento de la pelota en un partido de tenis, realiza el dibujo.

5. Dibuja el movimiento común que realizaron las pelotas en los puntos anteriores desde tu perspectiva e indica como nombrarías esta figura.

Conoce la definición de la parábola como lugar geométrico y relaciónala en tu entorno.

Identifica los elementos asociados a una parábola.

Aprendizajes a lograr

115

En esta unidad, se desarrollara el tema de la parábola, la cual podemos encontrar en diversas aplicaciones, por citar algunas, se encuentran, en los puentes colgantes, el más famoso de todos es el que está en San Francisco Cal., en las antenas parabólicas, en las linternas o faros de los autos, en la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad, en construcciones, etc., en las siguientes imágenes se aprecia mejor su aplicación en la vida cotidiana.

La definición de parábola es la siguiente: es el conjunto de puntos del plano que son equidistantes del punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz, en la siguiente gráfica se puede apreciar mejor su definición:

Lista de materiales:

1. Una tabla de madera de fibracel o triplay 2. Una escuadra 3. Dos clavos o tachuelas 4. Un hilo 5. Un lapiz

Sesión

38

En equipo de tres o cuatro integrantes conseguir los siguientes

materiales para realizar la actividad descrita. Realizar los comentarios

en plenaria.

Grupo

Ejercicio 1

116

Instrucciones:

Nos vamos a ayudar de una escuadra y una recta (también sirve otra regla) sobre la que va a deslizar.

Necesitamos que la cuerda tenga la misma longitud que el lado mayor de la escuadra. Vamos afijar la cuerda mediante los clavos al extremo (A) de la escuadra y al foco (F) Con el lápiz tensar la cuerda, manteniéndolo siempre junto al lado de la escuadra. Comienza a moverlo, deslizando sobre la cuerda, manteniéndola tensa, a la vez que

marcas con el lápiz sobre el papel. A la vez debes deslizar la escuadra sobre la recta (d). Desde un extremo al foco habrás

obtenido media parábola. Si pasas ahora al otro lado del foco y repites la misma operación obtendrás la otra mitad

de la parábola.

Enseguida deberas realizar la siguiente tarea.

Investiga las aplicaciones de la parábola en su entorno y la forma de cómo se han utilizado, entregar un reporte al asesor.

Tarea de investigación no. 1

117

Elementos asociados a una parábola

En la siguiente grafica se indican los elementos de la parábola.

Una vez que sabes donde se ubican los elementos de la parábola deberás de realizar la siguiente actividad:

Elemento Definición

Vértice

Foco

Sesión

39

Integrados en equipo definan los siguientes conceptos, comentar en el

grupo las respuestas

Grupo

Ejercicio 2

118

Directriz

Lado Recto

Eje Focal

Parámetro

“p”

Es importante que se tome en cuenta la siguiente igualdad:

Lado Recto (LR) = 4p

Con esta fórmula se puede obtener la longitud del segmento de recta que es perpendicular al eje focal, que pasa por el foco de la parábola y que une dos puntos de la misma. En la siguiente gráfica se observa el Lado Recto cuatro veces mayor que el valor del parámetro “p”.

119

Los parámetros h, k representan las coordenadas del vértice de la parábola y se analizará su comportamiento en el tema de la parábola con vértice fuera del origen.

6.2 Determina la ecuación ordinaria de la parábola en situaciones relacionadas en tu entorno.

6.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen.

6.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice

fuera del origen, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana.

La parábola, en sí misma, es independiente de los ejes coordenados; sin embargo su orientación, respecto a éstos modifica su ecuación o representación analítica, por tal motivo, es necesario en este momento determinar la forma algebraica, asociándola a la ubicación de su vértice y de su eje de simetría.

Determina la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen y fuera del origen

Aprendizajes a lograr

Sesión

40

120

Una parábola la podemos encontrar de las siguientes maneras:

1. Con vértice en el origen y abierta hacia la derecha

Igualando las distancias de la directriz al punto “P” y del punto “P” al foco “F”, queda de la

siguiente manera: d (P, directriz) = d (P, F)

x - (-p) = √ x

x + p = √

Despejando la raíz

(x + p)2 = (x – p)2 + y2

Desarrollando

x2 + 2xp + p2 = x2 – 2xp + p2 + y2

Reagrupando términos

2xp + 2xp = x2 + p2 + y2 – x2 –p2

Sumando términos semejantes

4xp = y2

Es decir la ecuación final es:

y2 = 4px

121

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “X” y ramas o

astas hacia la derecha.

2. Con vértice en el origen y abierta hacia la izquierda.

Procediendo de la misma forma que en la anterior llegamos a:

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “X” y ramas o

astas hacia la izquierda.

3. Con vértice en el origen y abierta hacia arriba.

Realizando un procedimiento similar al utilizado en el punto 1 con la variante de la coordenada

del foco únicamente ya que es otra se obtiene.

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “Y” y ramas o

astas hacia arriba.

y2 = -4px

x2 = 4py

122

Solamente falta definir el caso de la parábola con vértice en el origen y ramas o astas

hacia abajo, la cual deberás de realizar siguiendo las instrucciones de la siguiente

actividad.

Para graficar la parábola, se tienen que detectar los elementos que la forman como son: vértice,

foco, eje focal, parámetro “p”, lado recto y directriz, así como

se muestra en el ejemplo siguiente:

Trazar la gráfica de la parábola cuyo vértice es el origen y la

coordenada del foco es F (0,2) y determina su ecuación.

1. Se ubican los puntos en el plano cartesiano, inmediatamente debemos de identificar que

la parábola abre hacia arriba por las coordenada del foco.

Sesión

41

Completa la siguiente tabla y encuentra la ecuación faltante

Ejercicio no. 3

123

2. Se traza la directriz a la misma distancia que hay del vértice al foco que son 2 unidades, por lo tanto p=2, además si el foco está ubicado arriba del vértice, la directriz deberá trazarse debajo del vértice, como se muestra en la siguiente gráfica.

3. Ahora se trazan los extremos del lado recto, el cual mide 8 unidades, usando la fórmula del lado recto vista anteriormente tenemos que : (Lado Recto) LR = 4p LR = 4(2) LR = 8 Esta medida se cuenta desde el foco cuatro unidades hacia la izquierda y cuatro hacia la derecha, se marcan los puntos y se traza la figura pasando por los puntos marcados como se muestra en la figura.

4. Por observación se determina que el eje focal es el eje “Y”, y la ecuación de la directriz

es: x = -2

Igualando a cero resulta x+2 = 0 siendo esta la ecuación de la directriz.

5. Por último la ecuación ordinaria de esta parábola es x2 = 8y

Igualando a cero queda: x2 – 8y = 0

124

Completa la siguiente tabla considerando, que en todos los casos el vértice de la parábola se encuentra en el origen, por lo que su coordenada es V (0,0)

Eje de

simetría

Parámetro

“p”

Coordenadas

del

Foco

Ecuación de

la directriz

Ecuación

ordinaria de la

parábola

Gráfica

(esbozo)

X

5

Y

3

F(0,3)

y + 3 = 0

x2-12y =0

Y

-1

y2 + 12x = 0

Sesión

42

Integrados en equipo completar la tabla y entregarla al maestro para su

revisión.

Grupo

Ejercicio 4

125

x2 + 20y = 0

2

x + 2 = 0

F(-6,0)

x – 6 = 0

a) y2 = 20x

b) x2 = 32y

c) y2 = 16x

d) x2 = 12y

e) y2 = 24x

f) Vértice en el origen y directriz x = 4

g) Vértice en el origen y directriz y = 1

h) Vértice (0,0) y foco (2,0)

i) Vértice en el origen y directriz x = -5

j) Vértice (0,0) y foco (-3,0)

Determina los elementos de la parábola y realiza su gráfica en papel cuadrícula. Entregar los ejercicios al profesor para su revisión.

Tarea no. 2

126

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen, en

diferentes situaciones de tu vida cotidiana.

Material:

a) Una hoja blanca

b) Un plumón

Instrucciones:

Una vez que se tengan los materiales se

procede a dibujar un punto sobre la hoja de la

siguiente manera:

A continuación se hacen todos los dobleces

posibles de tal manera que el borde de la hoja

coincida con el punto que se marcó en la hoja:

Sesión

43

Determina la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértices fuera del origen.

Aprendizajes a lograr

Realiza una parábola siguiendo las instrucciones que a continuación se indican, presenta el trabajo a el profesor.

Ejercicio no. 5

127

Ahora con el plumón se marca justamente

en el dobles de la hoja:

Mientras más dobleces se hagan más

precisa queda la figura de la parábola

Al final debemos obtener lo siguiente:

Cuando la ubicación de la parábola respecto a los ejes coordenados elegidos corresponda al vértice fuera del origen, y su eje focal sea paralelo a los ejes coordenados, se presentan los casos que a continuación se describen enseguida.

1. Con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje X y ramas o astas hacia la derecha. Sea el vértice V (h, k), entonces el foco es el punto F (h + p, k) como se observa en la figura.

Sesión

44

128

Para llegar a la ecuación de esta parábola debemos primero igualar las distancias que hay del punto P a la directriz con la distancia que hay del punto P hasta el foco. De la siguiente manera: d (P, directriz) = d(P,F)

x – (h-p) = √

x – h + p = √

(x – h + p)2 = ( Desarrollando en ambos lados

X2 + h2 + p2 – 2xh + 2xp – 2hp = x2 + h2 +p2 – 2xh – 2xp + 2hp + (y-k)2

Reagrupando términos

2xp + 2xp – 2 hp – 2hp = x2 + h2 + p2 – x2 – h2 – p2 – 2xh + 2xh + (y-k)2 Sumando términos semejantes 4xp – 4hp = (y – k)2

Factorizando 4p(x-h) = (y – k)2

Es decir, la ecuación es: Ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo sobre el eje “X” y ramas o astas hacia la derecha.

2. Con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje X y ramas o astas hacia la izquierda. Sea el vértice V (h, k), entonces el foco es el punto F (h - p, k) como se observa en la figura.

(y- k)2 = 4p (x – h)

129

Igualando las distancias como en el punto anterior y procediendo de la misma forma que en el punto anterior se obtiene la ecuación y queda de la siguiente manera.

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo sobre el eje “X” y ramas o astas hacia la izquierda.

3. Con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje “Y” y ramas o astas hacia arriba.

Sea V (h, k) el vértice, entonces el foco seria el punto F (h, k + p), como se observa en la siguiente figura:

Realizando un procedimiento similar al utilizado en el punto 1 con la variante de la coordenada del foco únicamente ya que es otra se obtiene.

Ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo sobre el eje “Y” y ramas o astas hacia arriba.

Solamente falta definir la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en fuera del origen, eje focal paralelo al eje “Y” y ramas o astas hacia abajo, la cual deberás de realizar siguiendo las instrucciones de la siguiente actividad.

(y – k)2 = -4p (x – h)

(x-h)2 = 4p (y – k)

130

Como se puede observar, cada una de las ecuaciones depende del valor de las coordenadas del vértice y del valor de “p”, lo que significa que para poder encontrar la ecuación de una parábola es necesario conocer:

a) Las coordenadas del vértice. b) El valor de “p”. c) Hacia donde abre.

El punto c) es importante, porque de esta manera podemos saber la forma que deberá tener la ecuación. En los ejemplos siguientes se analizarán algunos casos de la parábola con vértice fuera del origen.

Obtener la ecuación ordinaria de la parábola que tiene vértice en (2,3) y Foco en (2,7).

Se ubican en el plano cartesiano el vértice, el foco y se marcan, posteriormente se puede determinar el parámetro o

la distancia “p” que es la que hay del vértice al foco, en este caso son 4 unidades, misma distancia que será también del vértice a la directriz, así como se muestra en la figura:

Sesión

45

Completa la siguiente tabla y encuentra la ecuación de la parábola, los elementos y realiza el bosquejo de la gráfica.

Ejercicio no. 6

131

Ahora se traza la directriz y se obtiene el valor del Lado Recto con la formula LR = 4p Sustituyendo resulta LR= 4(4) LR = 16, que es la distancia que pasa por el foco, marcando ocho unidades a la derecha y ocho a la izquierda como se aprecia en la figura. Al final deberás unir los extremos del lado recto con el vértice y veras formada la parábola.

La ecuación de esta parábola en base a los datos que se obtuvieron, son los siguientes: V (2,3) F (2, 7) Lado Recto = 16 Ecuación de la directriz: y + 3 = 0 Ecuación ordinaria de la parábola: (x– 2)2 = 16(y – 3)

132

Obtener la ecuación de la parábola que tiene foco en el punto (-4, 5) y ecuación de la directriz x – 2 = 0. Se grafica el foco en el plano cartesiano y la directriz, la cual es una recta paralela al eje Y, que cruza por x = 2, como se

muestra en la figura.

Ahora se ubica el vértice en medio del foco y de la directriz, como la distancia del foco a la directriz son seis unidades, el vértice se ubicara a tres unidades del foco y la recta x - 2 = 0, como se aprecia en la figura:

Se observa que el parámetro “p” es igual a 3, usando la fórmula del Lado Recto, resulta LR = 4p, sustituyendo LR= 4(3) = 12 LR = 12 Que son las unidades que pasan por el foco contando seis unidades hacia arriba y seis hacia abajo como se observa en la siguiente gráfica:

Sesión

46

133

Une los extremos del Lado Recto con el vértice y se formará la parábola que se está buscando. La ecuación de esta parábola en base a los siguientes datos que se obtuvieron, son: V (-1, 5) F (-4, 5) Lado Recto = 12 Ecuación de la directriz x – 2 = 0 Ecuación ordinaria de la parábola (y – 5)2 = -12 (x + 1)

Completar las siguientes tablas de la parábola con vértice fuera del origen, dados algunos datos

y realiza la gráfica:

Sesión

47

Integrados en equipo de tres o cuatro integrantes llena la siguiente tabla, al final se deberá entregar al asesor para su revisión y aclaración de las dudas.

Grupo

Ejercicio 7

134

135

136

137

138

1. Vértice (2, 7) y Foco (6, 7) 2. Foco (4, 6) y ecuación de la directriz x + 6 = 0 3. Lado recto es la distancia entre los puntos (3, -4) y (3, 6) 4. Vértice (5, 3), p= 5 5. Lado recto es la distancia entre los puntos (-2, 5) y (10,5) 6. Foco (0,5) y directriz el eje X 7. Foco (1, -3) y directriz y – 3 = 0 8. Vértice (-5,2) y F (-2, 2)9.

9. Foco (0,

) y ecuación de la directriz 5y + 7 = 0 10.

10. Vértice (4,

) y ecuación de la directriz 3x – 1 = 0

Sesión

48

Encuentra la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones que se indican, realiza su gráfica en hojas milimétricas, entrega el reporte.

Tarea no. 3

139

2.

x

y

En los siguientes ejercicios, encuentra la ecuación ordinaria de la parábola dada su gráfica.

Ejercicio no. 8

140

6.3 Resuelve la ecuación general de la parábola relacionadas en tu entorno.

6.3.1 Determina la ecuación general de una parábola a partir de la ecuación ordinaria o

viceversa, en diferentes situaciones de tu vida cotidiana.

Desarrolla lo siguiente: Despeja ``y´´ de la siguiente ecuación (x + 2)2 = 16(y-4) obtener la que se pide:

a) Completa la siguiente tabla:

X y

-2

-1

0

1

2

3

b) Ubica las coordenadas en el siguiente plano, uniendo los puntos forma la grafica,

puedes agregar más valores de `x´ si consideras necesario.

x

y

Sesión

49

Determina la ecuación general de una parábola a partir de la ecuación ordinaria o viceversa.

Aprendizajes a lograr

141

c) Las coordenadas del vértice son: ____________________ d) El Lado Recto mide: ______________________ e) Como relacionas las coordenadas del vértice y la distancia al que tiene este del foco

con la ecuación de la parábola: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Si se desarrolla la ecuación (x – h)2 = 4p(y- k), se obtendría una ecuación de la forma: X2 + DX + EY + F = 0 La cual representa la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje Y.

Al desarrollar la ecuación (y – k)2 = 4p (x – h) se obtiene una ecuación de la forma: Y2 + DX + EY + F = 0 La cual representa la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje X. Para obtener los elementos de una parábola dada en forma general se deben seguir una serie

de pasos que se describen en el siguiente ejemplo:

Obtener los elementos y la gráfica dada una ecuación en forma general de la parábola. y2 + 12x – 10y + 37 = 0

Pasos: 1. Agrupar los términos de la variable elevada al cuadrado del lado izquierdo de la igualdad y

el resto del lado derecho. y2 + 10y = -12x – 37

2. Completar el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo, sumando en ambos lados de la igualdad la misma cantidad para que ésta no se altere.

y2 + 10y +

-12x – 37 +

y2 + 10y + 25 = -12x – 37 + 25

3. Al factorizar en ambos lados resulta: ( y – 5)2 = -12x – 12 ( y – 5)2 = -12(x + 1)

4. Encontrar las coordenadas del vértice Vértice (-1, 5) 5. Encontrar el valor de “p”

4p = -12

Sesión

50

142

p =

p = -3

El valor del parámetro p es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz. Lo que indica el signo “ es que la parábola abre hacia la izquierda con eje focal paralelo al eje X.

El valor del Lado Recto es 12. 6. Encontrar las coordenadas del foco

Debido a que la forma de la coordenada es F (h + p, k) Sustituyendo valores queda F (-1-3, 5) = F (-4, 5)

7. Encontrar la ecuación de la directriz X = h – p X = -1 – (-3) = -1 + 3 X = 2 X – 2 = 0

8. Encontrar la ecuación del eje focal y = k y= 5 y – 5 = 0

9. Graficar.

143

En ocasiones se requiere de la ecuación general de la parábola dada su forma ordinaria, en el siguiente ejemplo se analiza un caso.

Obtener la ecuación general de la parábola dada su forma ordinaria,

(x - 3)2 = 16(y – 5)

Pasos:

1. Se desarrolla en ambos lados x2 - 6x + 9 = 16y – 80

2. Se iguala a cero la ecuación x2 – 6x + 9 -16y + 80 = 0

3. Se reduce en términos semejantes x2 – 6x – 16y + 89 = 0 Siendo esta la ecuación general de la parábola.

4. La grafica es:

Sesión

51

144

Encuentra los elementos y su respectiva gráfica de la parábola de las ecuaciones generales que se muestran a continuación, deberás usar hojas milimétricas o bien de cuadricula para graficar.

1. x2 + 8x + 6y + 34 = 0 2. y2 + 10y – 3x + 28 = 0 3. y2 – 6x + 8y + 4 = 0 4. x2 – 4x – 2y + 10 = 0 5. y2 – 8x = 0 6. y2 – 32x = 0 7. 4x2 + 12x + 48y – 159 = 0 8. y2 + 20x = 40 9. x2 + 4y = 7 10. 3y2 – 24x – 60y + 388 = 0

1. (x – 2)2 = 8(y + 4)

2. (y + 5)2 = -20(x -1)

3. x2 = 12(y + 3)

4. y2 = -16(x – 7)

5. (x + 1)2 = 24y

Sesión

52

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios.

Grupo

Ejercicio 9

Determina la ecuación de la parábola, sus elementos y su gráfica dada su forma ordinaria.

Tarea no. 4

145

6.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la parábola en problemas.

1. Un atleta de salto de longitud registra la marca de su salto en 8 m, si su altura máxima que alcanzo del suelo es 3 m, Determina la ecuación que especifique la trayectoria del atleta,

2. Frente a la casa de Luis existe un pequeño cerro de forma de parábola, el cual según su padre cuando era niño se dio a la tarea de medirlo, y el padre siempre recordaba esa hazaña, diciendo que media 75 m de alto y 120m de ancho, a Luis se le ocurrió determinar la ecuación de dicho cerro, para demostrarle a su papá que el cerro seguía arrojando datos, encuentra la ecuación que halló Luis según la figura que realizó.

Sesión

53

Integrados en equipo dar solución a los siguientes ejercicios sobre la

parábola y deberán diseñar un problema real tomado de tu comunidad y

exponerlo frente al grupo.

Grupo

Ejercicio 10

146

3. Un jugador de futbol americano hace un pase de anotación a su receptor que se ubica en la zona de anotación, el jugador se encuentra en la yarda 40 de su campo al momento de realizar el pase, la altura máxima que alcanza el balón es de 30 yardas, traza la grafica que describe el viaje del balón y encuentra la ecuación que describe la trayectoria del ovoide.

4. Un cable de alta tensión se encuentra sostenido de dos postes de 20m de altura que se encuentran a una distancia de 80 m uno de otro, el cable que pende de los postes tiene forma parabólica y el punto central más bajo esta a una altura de 15 m sobre el suelo. Determina la ecuación de la parábola que describe el cable.

5. Determina la ecuación del cable si se encuentra a: a) 10 m sobre el piso. b) 5 m sobre el piso c) 0 m

Compáralas y expón los resultados obtenidos en el grupo.

147

Bloque VII Aplica los

elementos y

las

ecuaciones

de la elipse

148

COMPETENCIAS

Construye e interpreta modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas

derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la elipse.

TEMARIO

7.1.1 Conoce la definición de la elipse como lugar geométrico, relacionándola en tu vida cotidiana. 7.1.2 Identifica los elementos asociados a una elipse y la función de los parámetros: a, b y c, en la gráfica. 7.2 Utiliza distintas ecuaciones de la elipse para resolver diversos problemas cotidianos. 7.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse Horizontal y vertical con centro en el origen en situaciones cotidianas. 7.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse Horizontal y vertical con centro fuera del origen, en situaciones cotidianas. 7.3 Resuelve la ecuación general de la elipse para realizar diversos problemas Cotidianos. 7.3.1 Obtén la ecuación general de una elipse a partir de la ecuación ordinaria o viceversa en situaciones de tu vida cotidiana. 7.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la elipse en problemas de tu entorno.

149

7.1 Identifica una elipse como lugar geométrico

7.1.1 Conoce la definición de la elipse como lugar geométrico, relacionándola en tu vida cotidiana.

7.1.2 Identifica los elementos asociados a una elipse y la función de los parámetros a, b y c, en la gráfica.

A continuación se te presentan una serie de preguntas que deberás de contestar y después comentar sus respuestas frente al grupo.

Evaluación diagnóstica

Sesión

54

Define la elipse como lugar geométrico Identifica los elementos asociados a una elipse Conoce la función de los parámetros a, b, c en la gráfica.

Aprendizajes a lograr

1. Construye un cono con una hoja de papel y realiza un corte exacto para

formar una elipse. Realiza el dibujo del corte y como se ve si se observa

desde arriba

2. Alguna vez has escuchado el termino excentricidad, explica que con tus

palabras su definición.

3. Haz una lista de formas elípticas que observes en tu entorno.

4. Describe una forma de medirlas y encontrar sus elementos.

5. ¿Cuántos elementos tiene una elipse y nómbralos?

150

Realiza lo siguiente:

Consigue los siguientes materiales para poder realizar la siguiente actividad:

Materiales:

1. Una hoja blanca, una hoja de papel cascaron o una tabla. 2. Dos tachuelas o dos clavos. 3. Un hilo 4. Un lápiz 5. Un plumón

Procedimiento:

Primero se divide la hoja en cuatro partes como se muestra en la figura, luego se marcan dos puntos a la misma distancia del centro:

Se toma el hilo o cuerda y se amarra a las tachuelas o clavos como se muestra:

Se clavan en los puntos marcados fijamente como se muestra:

Sesión

55

151

Con el lápiz se tensa la cuerda y se mueve el lápiz siguiendo la posición de la cuerda:

Se realízala parte de arriba primero y después la de abajo:

Con el marcador se repasa el trazo del lápiz para tener una mejor vista de la elipse:

Acabas de formar una elipse y a continuación estudiaras sus elementos y características.

152

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias, a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante mayor que la distancia entre los focos.

Los elementos de una elipse se muestran en la siguiente figura:

1. C representa el centro de la elipse. 2. V1 y V2 representan a los vértices. 3. F1 y F2 representan a los focos. 4. Eje mayor es el segmento de recta que une a V1 y V2 5. Eje menor es el segmento que une los puntos más cercanos de la elipse, es

perpendicular al eje mayor y pasa por el centro. 6. Eje focal es el segmento que une F1 y F2 7. Semi-eje mayor es la distancia que existe entre el centro de la elipse y uno de sus

vértices, se denota con “a”. 8. Semi-eje menor es la distancia que existe entre el centro de la elipse y uno de los puntos

más cercanos a la elipse, se denota con “b”. 9. Semi-eje focal es la distancia que existe entre el centro de la elipse y uno de sus focos,

se denota con “c”. 10. Al segmento de recta LR perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y

que une dos puntos de la elipse se llama lado recto.

Tomando en cuenta las distancias de C a V1 resulta = “a”

La distancia de cualquiera de los dos focos a C resulta = “c”

Lo que significa que la distancia de V1 al F1 más la distancia de V1 al F2 es = 2a

Por lo que 2a es la constante de la que habla la definición.

Otros datos importantes que resultan son:

2a es la longitud del eje mayor.

Sesión

56

153

2b es la longitud del eje menor.

2c es la longitud del eje focal.

De esto último resulta una formula usada y conocida por todos, el teorema de Pitágoras que se aplica en la siguiente figura y muy necesaria aplicarla en los problemas de la elipse.

Al formarse los triángulos rectángulos se obtiene que:

a2 = b2 + c2

Investiga formas elípticas de objetos que se encuentran en la comunidad, los deberán medir, identificar sus elementos y hacer su gráfica, al final deberán exponer sus resultados y entregar un reporte a su asesor.

Tarea de investigación no. 1

154

7.2 Utiliza distintas ecuaciones de la elipse. 7.2.1 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse horizontal y vertical con centro en el origen, en situaciones cotidianas. 7.2.2 Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse horizontal y vertical con centro fuera del origen, en situaciones cotidianas.

Se presentan dos casos de la elipse con centro en el origen, el primero cuyo eje focal coincide con el eje X, donde los focos F1 y F2 están sobre el eje X y el centro es el origen, que se encuentra en el medio del segmento que une a los focos, resulta tener las coordenadas F1(c, 0) y F2 (-c, 0), en donde c es una constante positiva.

Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse y por definición dicho punto debe de satisfacer la condición geométrica:

Distancia de P al F1 + Distancia de P al F2 = 2a

Gráficamente queda expresado:

Sesión

57

Determina la ecuación ordinaria de la elipse horizontal y vertical con centro en el origen.

Determina la ecuación ordinaria de la elipse horizontal y vertical con centro fuera del origen.

Aprendizajes a lograr

155

Algebraicamente se expresa de la siguiente forma:

√ √

Se desarrolla la expresión y se simplifica y se llega a la siguiente ecuación

Ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor coincide con el eje X.

Si el eje mayor coincide con el eje Y tenemos que:

Algebraicamente se expresa de la siguiente forma una vez desarrollando la igualdad de las distancias.

Ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor coincide con el eje Y

Existen dos variables importantes en las elipses que son:

La longitud del lado recto, que se obtiene con la formula LR =

156

La otra es la excentricidad que se denota con por lo tanto

√

Puesto que , la exentricidad de una elipse es menor que la unidad

A continuación se analizara un ejemplo de la elipse con centro en el origen.

Encontrar la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones y realiza la grafica

C (0,0), F (0, -5) y semi-eje mayor igual a 7

Lo que se hace primero es ubicar las coordenadas.

Sesión

58

157

Se indican las coordenadas simétricas del otro extremo.

Se obtiene el valor del semi-eje menor usando la fórmula del teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

Despejando b2

b2 = a2 – c2

Sustituyendo valores b2 = 72 - 52

Resulta b = √

b = 4.89

Es la medida del semi-eje menor de esta parábola como se muestra en la figura.

Por último se obtiene el valor del Lado Recto usando la fórmula LR =

LR=

= 6.85

Esta medida pasa por el foco dividiendo entre dos esta cantidad contando la mitad para la izquierda y la otra para la derecha, como se indica en la figura:

158

Finalmente se unen los puntos que se trazaron quedando de la siguiente manera:

La ecuación de esta elipse es:

+

= 1

159

Sesión

59

Determinar los elementos de la Elipse con centro en el origen. Entregar

el reporte a tu profesor.

Grupo

Ejercicio 1

160

Sesión

60

Determina las ecuaciones de cada elipse que se indica, entregar el trabajo al profesor

Ejercicio no. 2

161

1. Focos y Vértices

2. C (0, 0), F y eje mayor igual a 12

3. Lado Recto igual a 5, y vértice

4. Focos y excentricidad

5. Vértices y Lado Recto igual a 9

Ecuación ordinaria de la elipse horizontal y vertical con centro fuera del origen, en situaciones cotidianas.

Existen dos casos que se pueden presentar el primero es cuando el eje mayor es paralelo al eje X.

En la siguiente figura se muestra una elipse con centro en C (h, k).

Las coordenadas de los vértices y de los focos serían las siguientes:

V1 (h – a, k) V2 (h + a, k)

F1 (h – c, k) F2 (h + c, k)

Sesión

61

Encuentra la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones y realiza la gráfica correspondiente.

Tarea no. 1

162

Al indicar un punto P(x, y) sobre la elipse como se muestra en la figura:

Si se aplica la definición de la elipse

Distancia del punto P al F1 más la distancia de P al F2 es igual a 2a

d (PF1) + d(PF2) = 2a

Entonces como las distancias son:

d(PF1) = √ d(PF2) = √

Se realizan las operaciones algebraicas necesarias se llega a la siguiente ecuación:

–

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen en C (h, k) y eje mayor paralelo al eje X.

El segundo caso es cuando el eje focal es paralelo al eje Y, con centro C (h, k) que se muestra en la figura:

163

Las coordenadas de los vértices y de los focos serían las siguientes:

V1 (h, k - a) V2 (h, k - a)

F1 (h, k - c) F2 (h, k + c)

Los cuales se indican en la figura siguiente:

Si se indica un punto P(x, y) sobre la elipse y si se aplica la definición y se procede similarmente como en el caso anterior resulta que la ecuación resultante es la siguiente:

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen en C (h, k) y eje mayor paralelo al eje Y.

Encontrar la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones, además realiza su gráfica. Centro C (2,4), V1 (8,4), F1 (6, 4)

1. Primero se ubican las coordenadas en el plano

Sesión

62

164

2. Inmediatamente después se indican el V2 y el F2, que se ubican a la misma distancia del centro que el V1 y F1, como se muestra en la figura:

3. Se busca el valor del semi-eje focal “b”, con la formula:

a2 = b2 + c2

Se despeja “b” b = √

Sustituyendo b = √

Resulta: b = √ = 4.47

4. Se obtiene el Lado Recto

LR =

Sustituyendo LR =

= 6.66

5. Se obtiene la excentricidad

Sustituyendo

= 0.66

Siempre

165

6. Al ubicar todos los valores en el plano cartesiano quedan de la siguiente manera:

7. Se unen los puntos y se forma la siguiente gráfica:

8. La ecuación de la gráfica es:

Encuentra los elementos de la elipse y su gráfica de la siguiente ecuación

Sesión

63

Resuelve el siguiente ejercicio con la ayuda del profesor

Ejercicio no. 3

166

7.3 Resuelve la ecuación general de la elipse 7.3.1 Determina la ecuación general de una elipse a partir de la ecuación ordinaria o viceversa, en situaciones de tu vida cotidiana

Sesión

64

Obtiene la ecuación general de la elipse a partir de la ecuación ordinaria.

Aprendizajes a lograr

Menciona brevemente los elementos de la elipse dada su ecuación ordinaria y representarlos en una gráfica.

Evaluación diagnóstica

Representación de los elementos y gráfica de una elipse

167

En los temas anteriores aprendimos a encontrar los elementos de la elipse dada su ecuación ordinaria, también al observar solo su gráfica obtuvimos sus elementos, en este tema se presenta la elipse en su forma general, la cual se describe de la siguiente manera:

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Con A B y con signos iguales

Si se quieren obtener los elementos de una elipse dada su ecuación general es necesario seguir los siguientes pasos que se describen en el ejemplo:

Encuentra los elementos de la elipse cuya ecuación en forma general es:

4x2 + 9y2 – 16x + 36y + 16 = 0

1. Agrupar los términos que contengan a las variables del lado izquierdo y las constantes del lado derecho.

4x2 + 9y2 – 16x + 36y = -16

2. Agrupar, primeramente los términos de “x” en orden descendente en las potencias, seguidos de los términos de la variable “y” en el mismo orden. 4x2 – 16x + 9y2 + 36y = -16

3. Factorizar los términos de “x” y de “y”

4(x2 – 4x) + 9(y2 + 4y) = -16

4. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 4(x2 – 4x + 4) + 9(y2 + 4y + 4) = -16 + 16 + 36

4(x2 – 4x + 4) + 9(y2 + 4y + 4) = 36

5. Factorizar para ambas variables como un binomio al cuadrado 4(x – 2)2 + 9(y + 2)2 = 36

6. Dividir entre el valor del lado derecho toda la ecuación, para convertir en uno el lado derecho de la igualdad.

168

–

+

=

–

Resulta la Ecuación ordinaria de la elipse

7. Una vez que se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse se tienen que encontrar los

elementos tal como se estudio en los temas pasados, empezando con el centro:

C (2, -2)

8. Obtener “a”:

√

9. Obtener “b”

√

10. Obtener “c”

Despejando de “c” de tenemos:

√

√

√

11. Encontrar los vértices

V1 (h – a, k) = V1 (2 – 3, -2) = V1 (-1, -2)

V2 (h + a, k) = V2 (2 + 3, -2) = V2 (5, -2)

12. Encontrar los focos F1 (h – c, k) = F1 (2 – 2.23, -2) = F1 (-0.23, -2)

F2 (h + c, k) = F2 (2 + 2.23, -2) = F2 (4.23, -2)

169

13. Calcular la excentricidad

14. Calcular el Lado Recto

15. Realizar la gráfica:

1. 8

2.

3.

4. 8

5. 8

Sesión

65

Determinar la ecuación ordinaria de la elipse, dada su forma general,

realiza su gráfica y entregar el trabajo a el profesor para la evaluación.

Grupo

Ejercicio 4

170

1.

2. 8

3.

4.

5. 8

En ocasiones se pide obtener la ecuación general de la elipse

dada su forma ordinaria, para obtenerla se analizará el

siguiente ejemplo.

Obtener la ecuación general de la elipse dada la siguiente

ecuación en forma ordinaria,

1. Se suman las fracciones del lado izquierdo de la ecuación tomando como común

denominador el producto de 36 por 16.

2. Se pasa multiplicando el 576 a lado derecho

3. Se desarrollan los binomios

4. Se multiplica por 16 y 36 cada binomio desarrollado

5. Se iguala a cero la ecuación y se reducen los términos semejantes resultando la

ecuación general de la elipse la siguiente expresión:

Sesión

66

Encontrar todos los elementos de la elipse y elabora la gráfica. Entregar la tarea al profesor para su evaluación.

Tarea no. 3

171

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

Obtener la ecuación general de la elipse dada su forma ordinaria, entregar a el asesor para su evaluación.

Ejercicio no. 5

Obtener la ecuación general de la elipse dada su forma ordinaria. Entregar la tarea al profesor para su evaluación.

Tarea no. 4

172

5.

6.

7.

8.

9.

10.

7.3.2 Aplica las distintas formas de las ecuaciones de la elipse en problemas de tu entorno.

a) Una de las lunas de Júpiter giran a su alrededor siguiendo una órbita elíptica, la

excentricidad = 0.65 y la longitud del eje mayor de esta orbita es de 68,972 millas. ¿Cuál es la distancia más cercana del planeta a la luna y cuál es la más lejana?

Sesión

67

173

b) El arco de un puente es semieliptico, con eje mayor horizontal que mide 45 m y la parte más alta del arco mide 15 m, como se muestra en la figura, encuentra la altura que hay a 8 m del centro hacia la izquierda

c) Después de un juego de rugby el profesor dejo como castigo a los perdedores que encontraran la ecuación algebraica en su forma ordinaria y general del balón con el que jugaron el partido, los jugadores tuvieron que buscar ayuda con estudiantes que tuvieran conocimientos de geometría analítica para poder cumplir con la tarea, las medidas del balón son: 2a = 40 cm y 2b = 24 cm

174

d) Encontrar la ecuación de la trayectoria elíptica del planeta Plutón, que tiene excentricidad de 0.2481, girando alrededor del sol y el sol está ubicado en un foco a una distancia del centro de 12,000,000 de millas.

175

Bibliografìa:

Fleming, Walter y Varberg Dale. Algebra y Trigoometrìa con Geometrìa Analìtica. Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A 1991.

Kindle, Joseph H. Geometrìa Analìtica, Limusa, Mèxico, 1990.

Magaña, Cuellar Luis y Pedro Salazar V. Geometrìa Analìtica Plana, Compañìa Editorial Nueva

Imagen, Mèxico, 2004.

Steen, Frederick H. y Donald H. Ballou, Geometrìa analìtica, Publcaciones Culural, Mèxico,

1998.

Torres Alcaraz Carlos. Geometrìa Analìtica. Mèxico, Santillana, Mèxico, 1998.

Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):

No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones

Sí No Ponderación Calif.

1 Resolvió el total de los 0.75

176

Evaluación del desempeño (ejercicios)

En equipo

No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones

Sí No Ponderación Calif.

1 Se integró al equipo. 0.6

2 Mostró interés por el 0.7

177

Elaboradores:

178

Gilberto Perea Mendoza Masiaca

Alfonso Mitre Carbajal Yécora

Jose Ernesto Palomares Acosta Bahía de Lobos

Jorge Mario Almada López Puerto Libertad