Material de Geometría Analítica

La geometría analítica, es la parte de las matemáticas que establece una

conexión entre el Algebra y la Geometría Euclidiana.

1. Sistemas de coordenadas rectangulares.

El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro

cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un

punto O llamado origen.

Los ejes X y Y se llaman ejes coordenadas y dividen al plano en cuatro

regiones llamadas cuadrantes.

Observa que los cuatro cuadrantes se enumeran siempre en sentido

contrario a las manecillas del reloj.

Abscisas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje

vertical o eje Y.

La x es positiva cuando este a la derecha del eje Y. La x es negativa cuando

este a la izquierda del eje Y.

Ordenadas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje

horizontal o al eje X.

La y es positiva cuando está por encima del eje X. La y es negativa cuando

está por debajo del eje X.

Actividad.

1.- Las coordenadas sirven para fijar la posición de un _______________

2.- La distancia de un punto al eje Y se llama _______________

3.- La distancia de un punto al eje X se llama _______________

4.- La pareja ordenada de números reales (X, Y) son las _______________ de

un punto.

5.- ¿Cuál es la abscisa de 𝑃(2,3)? _______________

6.- ¿Cuál es la ordenada de 𝐴(4,3)? _______________

7.- ¿En qué cuadrante está un punto si sus coordenadas son negativas?

_______________

8.- ¿En qué cuadrante está un punto cuya abscisa es negativa y cuya

ordenada es positiva? _______________

9.- ¿En qué cuadrante se encuentra el punto 𝐵(−5,0)? _______________

10.- ¿Cuáles son los signos de las coordenadas en cada uno de los

cuadrantes?

Abscisa: X Ordenada: Y

Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante II

Cuadrante IV

11.- Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos.

12.- Ubica los puntos en el plano.

2. Distancia entre dos puntos en el plano.

Para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano

cartesiano se recurrirá a la siguiente figura:

La distancia entre los puntos 𝑃1 y 𝑃2 se puede obtener mediante la

construcción de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 𝑥2 − 𝑥1 y

𝑦2 − 𝑦1 respectivamente.

Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente:

𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Actividad.

Determinar la distancia entre los siguientes pares de puntos cuyas

coordenadas son:

1.- 𝐴(4,1), 𝐵(3, −2) 2.- 𝐶(−7,4), 𝐷(1, −11) 3.- 𝐸(−1, −5), 𝐹(2, −3)

4.- 𝐺(0,3), 𝐻(−4,1) 5.- 𝐼(2, −6), 𝐽(2, −2) 6.- 𝐾(−3,1), 𝐿(3, −1)

Determinar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos

coordenados:

1.- 𝐴(−2,5), 𝐵(4,3), 𝐶(7, −2) 2.- 𝑀(0,4), 𝑁(−4,1), 𝑂(3, −3)

Verificar que los puntos 𝐴(−2, −3), 𝐵(−4, −5), 𝐶(−1, −6), son los vértices de un

triángulo isósceles.

La longitud de un segmento es de 13𝑢 y las coordenadas de uno de sus

extremos son 𝐴(8,6), obtén la ordenada del otro extremo si su abscisa es −4

3. Área de un polígono

Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), 𝑃3(𝑥3, 𝑦3), … , 𝑃𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) los vértices de un polígono. El

área (𝐴) del polígono, es una función de las coordenadas de los vértices

que viene dada por la expresión:

𝐴 =1

2

|

|

|

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑥3

. .

. .

. .𝑥𝑛 𝑦𝑛

𝑥1 𝑦1

|

|

|

Actividad.

Determinar el área de los siguientes polígonos definidos por los puntos:

1.- 𝐴(−4, −5), 𝐵(2,1), 𝐶(−1,3) 2.- 𝐷(6,2), 𝐸(−1,7), 𝐹(−4,1)

3.- 𝐺(−4,0), 𝐻(0,0), 𝐼(0, −3) 4.- 𝐽(−3,1), 𝐾(−2,5), 𝐿(2,4), 𝑀(1,0)

5.- 𝑁(−4,1), 𝑂(−2,4), 𝑃(5,5), 𝑄(3,2) 6.- 𝑅(−7,1), 𝑆(−5,4), 𝑇(2,3), 𝑈(0, −5) 𝑦 𝑉(−4, −3)

Demostrar que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo y

determinar su área.

1.- 𝐴(2, −2), 𝐵(−8,4), 𝐶(5,3) 2.- 𝐷(0,9), 𝐸(−4, −1), 𝐹(3,2)

3.- 𝐺(3, −2), 𝐻(−2,3), 𝐼(0,4) 4.- 𝐽(−2,8), 𝐾(−6,1), 𝐿(0,4)

4. División de un segmento

Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los extremos de un segmento de recta, entonces la

razón en que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦) divide al segmento 𝑃1𝑃2 en dos partes

proporcionales se define como:

Por geometría, los triángulos ∆𝑃1𝑃𝑄 y ∆𝑃𝑃2𝑅

son semejantes, la proporcionalidad que

existe entre sus lados es:

𝑃1𝑃

𝑃𝑃2 =

𝑃1𝑄

𝑃𝑅 =𝑄𝑃

𝑅𝑃2

Por otro lado: 𝑃1𝑄 = 𝑥 − 𝑥1, 𝑃𝑅 = 𝑥2 − 𝑥

𝑄𝑃 = 𝑦 − 𝑦1, 𝑅𝑃2 = 𝑦2 − 𝑦

Entonces:

Para determinar la razón dados los extremos y el punto de división se

emplea:

𝑟 =𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥 𝑜 𝑟 =

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦

Para encontrar el punto de división dados los extremos y la razón se

utiliza:

𝑥 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

𝑟 + 1 ; 𝑦 =

𝑦1 + 𝑟𝑦2

𝑟 + 1

Importante:

Si el punto de división 𝑃 esta entre los puntos 𝑃1 y 𝑃2 la razón es positiva.

Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón

es negativa.

Actividad.

Determinar la razón en que el punto 𝑃 divide al segmento de recta de

extremos 𝑃1 y 𝑃2

1.- 𝑃1(0,2), 𝑃2(−2,4), 𝑃(2,0) 2.- 𝑃1(3,5), 𝑃2(−1,4), 𝑃(−5,3)

3.- 𝑃1 (1

2,

3

4) , 𝑃2(2,1), 𝑃 (

1

3,

13

18) 4.- 𝑃1(−5,1), 𝑃2(4,3), 𝑃 (−3,

13

9)

Encuentra las coordenadas de un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) según los elementos dados.

1.- 𝑃1(4,1), 𝑃2(5, −2), 𝑟 = −2 2.- 𝑃1(−2,3), 𝑃2(4,5), 𝑟 =2

3

3.- 𝑃1(0,5), 𝑃2(6, −1), 𝑟 = 5 4.- 𝑃1 (−2

3, 0) , 𝑃2(0,4), 𝑟 =

1

2

Graficar y determinar las coordenadas que dividen al segmento en 4 pares.

𝐴(−3,2) 𝐵(1,6)

Graficar y determinar las coordenadas de los puntos que dividen al

segmento en 3 partes.

𝐶(4,2) 𝐷(−5,7)

Graficar y determinar las coordenadas de los puntos que dividen al

segmento en 5 partes.

𝐸(−3,2) 𝐹(1,6)

5. Punto medio

El punto medio del segmento de recta, es aquel punto que lo divide en dos

segmentos iguales.

Por tanto, las coordenadas del punto medio son:

𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2)

Actividad.

Determinar las coordenadas del punto medio definido por los puntos:

1.- 𝐴(3,5), 𝐵(2, −1) 2.- 𝐴(0,4), 𝐵(3,7)

3.- 𝐴(−1,3), 𝐵(9,11) 4.- 𝐴(5, −7), 𝐵(11, −4)

5.- 𝐴 (1

2, 1) , 𝐵 (

1

3, 2) 6.- 𝐴 (

2

3, −2) , 𝐵 (

1

4, 1)

Si el punto medio de un segmento de recta es 𝑃𝑚(1, −3) y un extremo del

segmento es 𝑃1(7, −1), ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?

6. Inclinación de una recta

La inclinación de una recta es el menor de los ángulos que dicha recta

forma con el semieje X positivo y se mide, desde el eje X a la recta, en sentido

contrario a las manecillas del reloj.

Pendiente: La pendiente de una recta se define como la tangente del

ángulo de inclinación y se calcula con la siguiente expresión:

tan 𝜃 =𝑐. 𝑜

𝑐. 𝑎

tan 𝜃 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Para calcular la magnitud del ángulo se despeja de la siguiente manera:

tan 𝜃 = 𝑚

𝜃 = tan−1(𝑚)

Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de

inclinación, son los siguientes.

Si 𝑚 > 0 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) entonces, el

ángulo es agudo

Si 𝑚 < 0 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) entonces, el

ángulo es obtuso

Si 𝑚 =

𝑐

0 entonces, el ángulo es

recto

Si 𝑚 = 0 entonces, el ángulo es

llano

Actividad.

Determinar la pendiente de los siguientes pares de puntos.

1.- 𝐴(−3,5), 𝐵(2,7) 2.- 𝐶(4, −2), 𝐷(7, −2) 3.- 𝐸(−1,2), 𝐹(4, −5)

4.- 𝐺(8, −2), 𝐻(0, −1) 5.- 𝐼(0,4), 𝐽(−3,0) 6.- 𝐾(−5,1), 𝐿(1, −3)

7.- 𝑀 (1

2, 7) , 𝑁 (3, −

3

2) 8.- 𝑂 (

3

5,

2

3) , 𝑃 (−

3

5,

3

4) 9.- 𝑄(5, √3), 𝑅 (3, −

3

2)

Encontrar la medida de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan

por los siguientes puntos.

1.- 𝐴(5,7), 𝐵(2,4) 2.- 𝐶(−1,2), 𝐷(−2,3) 3.- 𝐸(7, −1), 𝐹(7,4)

Los vértices de un triángulo son los puntos 𝐺(2, −2), 𝐻(−1,4), 𝐼(4,5). Determinar

la pendiente para cada uno de sus lados.

La pendiente de una recta es 3. Si la recta pasa por los puntos 𝐴(2, −1) y el

punto 𝐵, cuya ordenada es −5, ¿Cuál es el valor de su abscisa?

Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵.

Si el punto 𝐴 tiene las coordenadas (3, −2) y la ordenada de 𝐵 es −1,

encuentra su abscisa.

7. Líneas paralelas y perpendiculares

Si dos líneas rectas 𝑙1 y 𝑙2 son paralelas si sus pendientes son iguales.

𝑚1 = 𝑚2

Si dos líneas rectas 𝑙1 y 𝑙2 son perpendiculares entre sí, cuando el producto

de sus pendientes es -1.

𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1

𝑚1 =−1

𝑚2

Actividad.

Demostrar si la recta 𝑙1 que pasa por los puntos 𝐴(3, −1) y 𝐵(−6,5) es paralela

o perpendicular a la recta 𝑙2 que pasa por los puntos 𝐶(0,2) y 𝐷(−2, −1)

Demostrar que la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,1) y 𝐵(1, −4), es

paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐶(8, −7) y 𝐷(5, −2)

Demuestra que los cuatro puntos 𝐴(−3,1), 𝐵(−2,5), 𝐶(2,4) 𝑦 𝐷(1,0), son los

vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares.

Demostrar por medio de pendientes, que los puntos

𝐴(1,1), 𝐵(5,3), 𝐶(8,0) 𝑦 𝐷(4, −2) son vértices de un paralelogramo.

8. Ángulo entre dos rectas

El ángulo 𝛼, medido en sentido contario al de las manecillas del reloj, desde

la recta 𝑙1, de pendiente 𝑚1 a la recta 𝑙2 de pendiente 𝑚2 es:

tan 𝛼 =𝑚2 − 𝑚1

1 + 𝑚2𝑚1

Importante:

Para la correcta obtención del ángulo formado por dos rectas es necesario

hacer de manera adecuada la selección de 𝑚1 y de 𝑚2, para ilustrar el

procedimiento se obtendrá el valor del ángulo alfa.

Toso ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo

tanto el ángulo se mide como se índice en la figura.

La selección de las pendientes se hará de la siguiente manera:

𝑚1 Es siempre la pendiente donde comienza el ángulo, en este caso 2, 𝑚2

es siempre la pendiente donde termina el ángulo, por lo tanto 𝑚2 será −3

Actividad.

En los siguientes ejercicios determina los ángulos interiores de los triángulos.

1.- 𝐴(4,2), 𝐵(0,1), 𝐶(6, −1) 2.- 𝐷(−3, −1), 𝐸(4,4), 𝐹(−2,3)

3.- 𝐺(−2,1), 𝐻(3,4), 𝐼(5, −2) 4.- 𝐽(−4,1), 𝐾(2,3), 𝐿(1, −4)

¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del paralelogramo, cuyos

vértices son los puntos 𝐴(1,3), 𝐵(2,6), 𝐶(7,8), 𝐷(6,5)?

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta

final tiene una pendiente de −3, determine el valor de la pendiente de la

recta inicial.

9. Línea recta

La línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que al tomar

dos puntos diferentes 𝑃1 y 𝑃2, y obtener el valor de la pendiente, esta resulta

siempre ser la misma.

Ecuación de la recta punto-pendiente de la recta.

Sea el punto 𝐴 de coordenadas (𝑥1, 𝑦1) y "𝑚" una pendiente dada, la

ecuación de la recta se puede obtener a partir del concepto de pendiente

como se muestra a continuación.

𝑚 =𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

𝑚(𝑥 − 𝑥1) = 𝑦 − 𝑦1

Ecuación de la recta punto- pendiente:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Al desarrollar esta ecuación, se llega a la ecuación de la recta en su forma

general, que puede ser expresada con el siguiente formato:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Actividad.

En los siguientes ejercicios determinar la ecuación de la recta en su forma

general, que satisfaga con las siguientes condiciones.

1.- 𝐴(1,3), 𝑚 = 2 2.- 𝐵(5,3), 𝑚 = −2

3.- 𝐶(3, −2), 𝑚 = 1 4.- 𝐷(0, −5), 𝑚 = −4

5.- 𝐸(2,0), 𝑚 =1

2 6.- 𝐹(−4,5), 𝑚 =

3

2

7.- 𝐺(−1, −6), 𝑚 = −5

3 8.- 𝐻(0,0), 𝑚 = −

4

5

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

Sean 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos

conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Calculando su pendiente:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)

Actividad.

En los siguientes ejercicios determine la ecuación de la recta que

determinan los siguientes pares de puntos en su forma general.

1.- 𝐴(0,0), 𝐵(3,1) 2.- 𝐵(0,0), 𝐶(−4,3)

3.- 𝐷(1,1), 𝐸(4,3) 4.- 𝐹(5,1), 𝐺(1,4)

5.- 𝐻(−5,2), 𝐼(3,2) 6.- 𝐽(4,1), 𝐾(−2, −5)

7.- 𝐿 (5,1

2) , 𝑀 (−1,

3

4) 8.- 𝑂 (−

1

3, −

1

4) , 𝑃 (−

2

5,

1

5)

Ecuación pendiente- ordenada al origen.

Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen

(intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde:

𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑏 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

Esta forma también se le conoce

como forma simplificada o

reducida.

Actividad.

Observa y completa las siguientes ecuaciones expresadas tanto en su forma

pendiente- ordenada como en su forma general:

Forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 Forma general 𝒎

Pendiente

𝒃

Ordenada al origen

𝑦 = −3

5𝑥 − 2

3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

𝑦 = −3

4𝑥 + 3

2𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0

𝑦 = −2𝑥

1

2 −5

En las siguientes ecuaciones generales, obtener la ecuación pendiente-

ordenada al origen y graficarla.

1.- 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2.- 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0

3.- 3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 4.- 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0

5.- 5𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 6.- 2𝑥 − 5𝑦 − 30 = 0

7.- 4𝑥 + 9𝑦 − 63 = 0 8.- 2𝑥 + 7𝑦 − 4 = 0

Ecuación simétrica de la recta.

La forma simétrica de la recta determina las intersecciones de la recta con

los ejes y tiene la forma.

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

Actividad.

Transformar en su forma simétrica las siguientes ecuaciones.

1.- 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 2.- 2𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0

3.- 𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0 4.- 𝑥 + 8𝑦 − 4 = 0

5.- −3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 6.- 3𝑥 + 5𝑦 − 10 = 0

7.- 1

2𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 8.- −

2

5𝑥 +

1

3𝑦 − 4 = 0

Graficar las siguientes rectas y posteriormente transformarlas a su forma

general.

1.- 𝑥

4+

𝑦

5= 1 2.-

𝑥

7+

𝑦

8= 1

3.- 𝑥

6+

𝑦

7= 1 4.-

𝑥

10+

𝑦

−11= 1

5.- 𝑥

−2+

𝑦

−3= 1 6.-

𝑥

−5+

𝑦

−7= 1

Rectas paralelas.

Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente.

𝑚1 = 𝑚2

Actividad.

Obtener la ecuación de la recta que pasa por 𝐴(−3, −1) y es paralela a la

recta 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0

Una recta pasa por el punto 𝐴(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos 𝐶(−2,2) y 𝐷(3, −4). Hallar su ecuación.

Rectas perpendiculares.

Son aquellas rectas que cumplen con 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1

Actividad.

Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 y

pasa por 𝐷(−2, −1)

Demostrar que las rectas cuyas ecuaciones son 3𝑥 + 2𝑦 = 11 y 3𝑦 + 2𝑥 = 6

son perpendiculares

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐾(10,2) y es

perpendicular a la recta 4𝑥 − 6𝑦 = 12

10. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) a una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 esta dada por

la fórmula:

𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶|

√𝐴2 + 𝐵2

Actividad.

Determinar la distancia del punto a la recta indicada.

1.- 𝑃(1,4), 2𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0 2.- 𝑁(−2,5), 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0

3.- 𝐺(−1,7), 12𝑥 + 5𝑦 + 26 = 0 4.- 𝑅(−3, , −7), 𝑦 − 3 = 0

11. Circunferencia

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de

tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es

constante:

Definición:

𝑑𝐶𝑃 = 𝑟 → √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

Elementos: 𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑟: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝑃(𝑥, 𝑦): 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Ecuación de la circunferencia.

Forma canónica

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio 𝑟, esta

dada por la fórmula:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Forma ordinaria

La ecuación de la circunferencia con centro en el puto 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟, esta

dada por la fórmula:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Forma general

Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la

ecuación ordinaria.

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 𝐶

Actividad.

Obtener la ecuación en su forma general de la circunferencia.

1.- 𝐶(0,0) , 𝑟 = 4 2.- 𝐶(0,0) , 𝑟 =√3

2

3.- 𝐶(3, −4), 𝑟 = 6 4.- 𝐶(5, −3), 𝑟 = √6

5.- 𝐶(5, −12), 𝑟 = 13 6.- 𝐶(−1, −6), 𝑟 = 8

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa

por el punto (6,0)

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, −4) y pasa

por el origen

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (4, −1) y que

pasa por (−1,3)

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro a

𝐴(−1,5) y 𝐵(−5, −7)

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (−2,3) que es tangente a

la recta 20𝑥 − 21𝑦 − 42 = 0

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴(7, −5) y

cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7𝑥 − 9𝑦 − 10 = 0 y

2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0

Obtención del centro y radio a partir de la ecuación general.

A partir de la ecuación general pueden determinarse las coordenadas del

centro y la longitud del radio; esto se realiza completando los trinomios

cuadrados y simplificando.

El siguiente ejemplo muestra el procedimiento:

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 − 11 = 0

Inicialmente se agrupan “x” y “y”, el termino independiente se coloca del

lado derecho.

𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 + 8𝑦 = 11

Ahora se completan cuadrados tanto para “x” como para “y”, se suma la

misma cantidad que se utiliza para completar el trinomio del lado derecho.

𝑥2 − 6𝑥 + (6

2)

2

+ 𝑦2 + 8𝑦 + (8

2)

2

= 11 + (6

2)

2

+ (8

2)

2

Desarrollando y simplificando:

𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 8𝑦 + 16 = 11 + 9 + 16

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 36

Una vez llegando a la ecuación canónica se obtienen las coordenadas del

centro y la longitud del radio.

𝑥 − 3 = 0 𝑦 + 4 = 0 𝑥 = 3 𝑦 = −4

𝐶(3, −4)

𝑟2 = 36

𝑟 = √36 𝑟 = 6

Actividad.

Encontrar las coordenadas de centro y la longitud del radio de las

circunferencias siguientes.

1.- 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0 2.- 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 12𝑦 + 36 = 0

3.- 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 4.- 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0

5.- 2𝑥2 + 2𝑦2 + 12𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 6.- 3𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑥 + 5𝑦 = 0

Demostrar que las circunferencias 4𝑥2 + 4𝑦2 − 16𝑥 + 12𝑦 + 13 = 0 y

12𝑥2 + 12𝑦2 − 48𝑥 + 36𝑦 + 55 = 0 son concéntricas.

12. Parábola

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de

tal manera que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta fija,

llamada directriz.

𝑃𝐹 = 𝑃𝐷

Elementos:

𝑉: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

𝐹: 𝐹𝑜𝑐𝑜

𝐷𝐷´ : 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝐿𝑅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑝: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧)

De acuerdo con el signo del parámetro se determina la concavidad de la

parábola:

Formulas.

Parábola horizontal con vértice en el

origen

Ecuación canónica: 𝑦2 = 4𝑝𝑥

Foco: 𝐹(𝑝, 0)

Directriz: 𝑥 + 𝑝 = 0

Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|

Ecuación del eje: 𝑦 = 0

Parábola vertical con vértice en el

origen

Ecuación canónica: 𝑥2 = 4𝑝𝑦

Foco: 𝐹(0, 𝑝)

Directriz: 𝑦 + 𝑝 = 0

Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|

Ecuación del eje: 𝑥 = 0

Actividad.

Hallar todos los elementos de la parábola y trace la gráfica.

1.- 𝑦2 = 4𝑥 2.- 𝑥2 = −12𝑦

3.- 𝑦2 + 12𝑥 = 0 4.- 𝑥2 − 16𝑦 = 0

5.- 20𝑦 − 𝑥2 6.- 5𝑥2 = 64𝑦

Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisfaga

las condiciones y traza la gráfica.

1.- Foco en (3,0) 2.- Foco en (−4,0)

3.- La directriz 𝑥 + 4 = 0 4.- La directriz 𝑦 − 4 = 0

5.- 𝐿𝑅 = 10 y abre hacia la derecha 6.- 𝐿𝑅 = 8 y abre hacia arriba

Formulas.

Parábola horizontal con vértice (h,k)

Ecuación canónica: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘)

Foco: 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘)

Directriz: 𝑥 + 𝑝 = ℎ

Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|

Ecuación del eje: 𝑦 = 𝑘

General: 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Parábola vertical con vértice (h,k)

Ecuación canónica: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘)

Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝)

Directriz: 𝑦 + 𝑝 = 𝑘

Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|

Ecuación del eje: 𝑥 = ℎ

General: 𝐴𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Actividad.

Determina todos los elementos de la parábola y trace la gráfica.

1.- 𝑦2 + 8𝑥 + 8 = 0 2.- 𝑥2 + 4𝑦 + 8 = 0

3.- 𝑦2 − 12𝑥 − 48 = 0 4.- 𝑥2 + 4𝑥 + 16𝑦 + 4 = 0

5.- 𝑥2 + 10𝑥 − 20𝑦 + 25 = 0 6.- 𝑦2 + 8𝑦 + 6𝑥 + 16 = 0

7.- 𝑦2 + 8𝑦 + 20𝑥 + 56 = 0 8.- 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 19 = 0

9.- 4𝑥2 − 12𝑥 − 16𝑦 + 41 = 0 10.- 16𝑦2 + 8𝑦 − 24𝑥 + 49 = 0

Escribe la ecuación de la parábola con base a los datos proporcionados.

1.- 𝑉(3,2), 𝐹(3,4) 2.- 𝑉(−6, −4), 𝐹(0, −4)

3.- 𝑉(2,4), 𝐹(−3,4) 4.- 𝑉(3, −1), 𝐹(3, −5)

5.- 𝑉(4,1), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 2 6.- 𝑉(4,1), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = −3

7.- 𝑉(4, −2), 𝐿𝑅 = 8; 𝑎𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 8.- 𝑉(1,2), 𝐿𝑅 = 8; 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

9.- 𝐹(2, −3), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 6 10.- 𝐹(−2,2), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = 4

13. Elipse

Lugar geométrico de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) tales que la suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es igual a una constante (2𝑎).

𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2

= 2𝑎

𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑉1, 𝑉2: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝐹1, 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠

𝐵1, 𝐵2: 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑉1𝑉2 = 2𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟)

𝐹1𝐹2 = 2𝑐 (𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙)

𝐵1𝐵2 = 2𝑏 (𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜)

𝑒 =𝑐

𝑎< 1 (𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

Condición: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝑎 > 𝑏 , 𝑎 > 𝑐

Donde: 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 ; 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 ; 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

Elementos y ecuación.

Elipse horizontal con centro en el origen

Ecuación canónica: 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1

Vértices: 𝑉(±𝑎, 0)

Focos: 𝐹(±𝑐, 0)

Extremos del eje menor: 𝐵(0, ±𝑏)

Elipse vertical con centro en el origen

Ecuación canónica: 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1

Vértices: 𝑉(0, ±𝑎)

Focos: 𝐹(0, ±𝑐)

Extremos del eje menor: 𝐵(±𝑏, 0)

Actividad.

Determina todos los elementos de la elipse y trace la gráfica.

1.- 𝑥2

25+

𝑦2

9= 1 2.-

𝑦2

25+

𝑥2

9= 1

3.- 𝑥2

169+

𝑦2

144= 1 4.-

𝑦2

9+

𝑥2

4= 1

5.- 𝑦2

25+

𝑥2

16= 1 6.-

𝑥2

49+

𝑦2

25= 1

7.- 𝑥2 + 4𝑦2 = 4 8.- 2𝑥2 + 3𝑦2 = 12

9.- 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36 10.- 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400

Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.

1.- 𝐹(±4,0), 𝑉(±5,0) 2.- 𝐹(0, ±8), 𝑉(0, ±17)

3.- 𝐿𝑟 = 5, 𝑉(±10,0) 4.- 𝐹(0, ±6), 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 8

5.- 𝐹(±5,0), 𝑒 =5

8 6.- 𝑉(±5,0), 𝐵(0, ±4)

Formulas.

Elipse horizontal con centro (h,k)

Ecuación: (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

Vértice: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

Foco: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘)

Extremos del eje menor: 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)

General

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Donde 𝐴 ≠ 𝐶 pero ambas

cantidades son de mismo

signo.

Elipse vertical con centro (h,k)

Ecuación: (𝑥−ℎ)2

𝑏2 +(𝑦−𝑘)2

𝑎2 = 1

Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Extremos del eje menor: 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)

Actividad.

Determina todos los elementos de la elipse y trace la gráfica.

1.- (𝑥−3)2

16+

(𝑦−2)2

9= 1 2.-

(𝑥−5)2

169+

(𝑦+5)2

49= 1

3.- (𝑦+3)2

36+

(𝑥−6)2

16= 1 4.-

(𝑥+5)2

9+

(𝑦−1)2

4= 1

5.- 𝑥2

16+

(𝑦−2)2

25= 1 6.-

(𝑥−4)2

4+

(𝑦−3)2

9= 1

7.- 𝑥2 + 16𝑦2 − 10𝑥 + 64𝑦 + 73 = 0 8.- 4𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 − 6𝑦 − 11 = 0

9.- 4𝑥2 + 9𝑦2 − 8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 0 10.- 5𝑥2 + 9𝑦2 + 30𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0

Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.

1.- 𝑉1(−2,3), 𝑉2(8,3) 𝑦 𝐹1(−1,3), 𝐹2(7,3)

2.- 𝑉1(−2, −5), 𝑉2(−2,3) 𝑦 𝐹1(−2, −4), 𝐹2(−2,2)

3.- 𝑉1(0,0), 𝑉2(8,0) 𝑦 𝐵1(4,3), 𝐵2(4, −3)

4.- 𝐵1(3,2), 𝐵2(3,6) 𝑦 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 10

5.- 𝑉1(−4,5), 𝑉2(16,5) 𝑦 𝑒 =4

5

6.- 𝑒 =2

3 𝑦 𝐹1(0,0) 𝐹2(0, −4)

7.- 𝑉1(−4,6), 𝑉2(−4, −4) 𝑦 𝑢𝑛 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝐹1(−4, −3)

8.- 𝐹1(−9, −2), 𝐹2(−3, −2) 𝑦 𝑒 =3

5

14. Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal

manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos

puntos fijos, llamados focos, es siempre constante.

𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑉1, 𝑉2: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝐹1, 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠

𝐵1, 𝐵2: 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜

𝑉1𝑉2 = 2𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙)

𝐹1𝐹2 = 2𝑐 (𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙)

𝐵1𝐵2 = 2𝑏 (𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜)

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜)

𝑒 =𝑐

𝑎> 1 (𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑)

𝑙1 𝑦 𝑙2: 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠

Condición: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑐 > 𝑏 , 𝑐 > 𝑎

Donde: 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 ; 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2

Elementos y ecuación.

Hipérbola horizontal con centro en el origen

Ecuación canónica: 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

Vértices: 𝑉(±𝑎, 0)

Focos: 𝐹(±𝑐, 0)

Extremos del eje conjugado: 𝐵(0, ±𝑏)

Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 ; 𝑦 = −

𝑏

𝑎𝑥

Hipérbola vertical con centro en el origen

Ecuación canónica: 𝑦2

𝑎2 −𝑥2

𝑏2 = 1

Vértices: 𝑉(0, ±𝑎)

Focos: 𝐹(0, ±𝑐)

Extremos del eje menor: 𝐵(±𝑏, 0)

Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 =𝑎

𝑏𝑥 ; 𝑦 = −

𝑎

𝑏𝑥

Actividad.

Determina todos los elementos de la hipérbola y trace la gráfica.

1.- 𝑥2

81−

𝑦2

9= 1 2.-

𝑦2

8−

𝑥2

5= 1

3.- 𝑦2

16−

𝑥2

4= 1 4.-

𝑥2

36−

𝑦2

64= 1

5.- 𝑥2

25−

𝑦2

9= 1 6.- 𝑥2 −

𝑦2

4= 1

7.- 9𝑥2 − 4𝑦2 = 36 8.- 4𝑥2 − 9𝑦2 = 36

9.- 4𝑥2 − 5𝑦2 − 20 = 0 10.- 5𝑥2 − 6𝑦2 + 30 = 0

Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.

1.- 𝑉(0, ±3) 𝑦 𝐹(0, ±5) 2.- 𝐹(±4,0), 𝑉(±5,0)

3.- 𝐿𝑟 =8

3, 𝑉(±3,0) 4.- 𝑉(±6,0), 𝑒 =

√5

2

5.- 𝐹(±5,0), 𝐸𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 8 6.- 𝐹(0, ±13), 𝐸𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 = 24

Formulas.

Hipérbola horizontal con centro (h,k)

Ecuación: (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

Vértice: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

Foco: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘)

Extremos del eje conjugado: 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)

Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 − 𝑘 =𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ) ; 𝑦 − 𝑘 = −

𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

Hipérbola vertical con centro (h,k)

Ecuación: (𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1

Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Extremos del eje conjugado: 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)

Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 − 𝑘 =𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ) ; 𝑦 − 𝑘 = −

𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

General 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Donde 𝐴 𝑦 𝐶 de signo contrario.

Determina todos los elementos de la hipérbola y trace la gráfica.

1.- (𝑥+2)2

16−

(𝑦−3)2

9= 1 2.-

(𝑦−3)2

16−

(𝑥+2)2

9= 1

3.- (𝑥−4)2

25−

(𝑦−5)2

25= 1 4.-

(𝑦+2)2

36+

(𝑥−1)2

25= 1

5.- 𝑥2 − 4𝑦2 − 2𝑥 + 16𝑦 − 7 = 0 6.- 9𝑥2 − 4𝑦2 + 18𝑥 − 24𝑦 + 9 = 0

7.- 9𝑥2 − 16𝑦2 + 36𝑥 + 32𝑦 − 124 = 0 8.- 4𝑥2 − 9𝑦2 − 4𝑥 + 18𝑦 − 44 = 0

9.- 4𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑦 − 40 = 0 10.- 𝑥2 − 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0

Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.

1.- 𝐶(−2,2), 𝑉1(4,2), 𝐹1(6,2), 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋

2.- 𝑉1(3,1), 𝑉2(−3,1) 𝑦 𝐹1(5,1), 𝐹2(−5,1)

3.- 𝑉1(−4,4), 𝑉2(−4, −6) 𝑦 𝐹1(−4,5), 𝐹2(−4,7)

4.- 𝑉1(−1,3), 𝑉2(3,3), 𝑒 =3

2

5.- 𝐹1(8,2), 𝐹2(−2,2) 𝑦 𝑒 =5

4

6.- 𝐶(−3,2), 𝑉(1,2) 𝑦 𝑒𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 = 4