Tema I. Matrices y determinantes

1. Matrices sobre un cuerpo2. Operaciones con matrices3. Determinante de una matriz cuadrada4. Menor complementario y adjunto5. Clculo de determinantes6. Inversa de una matriz cuadrada7. Rango de una matriz

2007 Carmen Moreno Valencia

1. Matrices sobre un cuerpoDefinicin. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto de mn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas,

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

=

"""

# # # % #"

Matrices 2 A = ( aij), i=1, 2, ..., m; aijKj=1, 2, ..., n.

El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa aij,

Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices sobre K de m filas y n columnas.

Ej.

3 2

1 21 ( )

1 22

M

R

2. Producto por escalares

Matrices 3 Matriz Fila: A M1xn(K)

3 1

13 ( )

2

A M

= R

( ) 1 31 1 ( )A M = R Matriz Columna: AMmx1(K)

Matriz cuadrada de orden n: AMnxn(K). Tiene el mismo nmero de filas que de columnas

Diagonal Principal de A la forman los elementos de la forma aii (iguales subndices)

Matrices 4

Matriz cuadrada diagonal: Sus nicos elementos no nulos son los de la diagonal principal. Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad)Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: aii=1; aij=0, ij

Matriz triangular Una matriz cuadrada A = ( aij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien por debajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, aij = 0 para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j

Matrices 5 Dos matrices, A,B Mmxn(K) son igualescuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n

3

1 2 12 4 3 ( )0 1 0

A M =

R

Una submatriz de A es 3 21 22 4 ( )0 1

B M

= R

Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej.

2. Operaciones con matrices1. Suma

Sean A,B Mmxn(K). A = ( aij), B = ( bij) A+B = ( cij) Mmxn(K) con cada cij=aij+bij

i=1,..., m, j=1,...,nEj.

2 3

2 3

1 1 0 0 0 1, ( )

2 1 0 2 1 1

1 1 1( )

4 2 1

A B M

A B M

= = + =

R

R

Matrices 6 (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano El elemento neutro

1,..,1,..,

0 00 (0)

0 0i mj n==

= =

"# % #"

La opuesta de A:11 1

1,..,1,..,

1

( )n

ij i mj n

m mn

a aA a

a a==

= =

"# % #

"2. Producto por escalares

K, A Mmxn(K)( ) ( )1,.., 1,..,1,.., 1,..,

11 1

1

i m i mij ijj n j n

n

m mn

A a a

a a

a a

= == =

= = = =

"# % #

"

(Mmxn(K), +, ): Espacio vectorial sobre KEjemplo

Matrices 73. Producto de matrices

AMmxn, BMnxp , se define la matriz producto C= A B = (cij), Mmxpcij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + . . . + ain bnj

1

k n

ik kjka b

=

==

Ejemplo

AB: n de Columnas de A = n Filas de B

Matrices 8Propiedades Asociativa A(BC)=(AB)CDistributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC (AB)=(A)B=A(B)

(Mn(K), +, ): Anillo unitarioUnidad del anillo: In: A In= InA=A

El producto de matrices no es conmutativo:

4. Matriz traspuestaDada A = ( aij) Mmxn(K), la matriz Traspuesta de A, At=(bij) Mnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m

Matrices 9

Propiedades

(A+B)t=At+Bt (AC)t=CtAt

(At)t=A (A)t=(A)t

Sean A, BMmxn(K) , C Mnxp (K).

Una matriz cuadrada es simtrica siA = At, (aij = aji para todos i, j) Sus elementos tienen simetra respecto de la diagonal principal.

Matrices 10

Una matriz cuadrada es antisimtrica siA = -At, (aij = -aji para todos i, j) Los elementos de la diagonal principal son nulos

0 1 2 0 1 21 0 1 , 1 0 12 1 0 2 1 0

tA A = =

A = -At : A Antisimtrica9 Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica:

A=(aij), 2 2ij ji ij ji

ij

ij ij

a a a aa

b c

+ = + == +

( ) :2

ji iji j ji ij

a aLa matriz b es simetrica b b

+= =

( ) :2

ji ijij ji ij

a ala matriz c es antisimetrica c c

= = Luego, (aij)=(bij)+(cij)

y

Matrices 113. Determinante de una matriz cuadrada

Sea A Mn(K), el determinante de A, es un elemento de K dado por la aplicacin:

det : ( )det( ) :

nM K KA A A

= =6

1 (1) 2 (2) ( )( ) n nSnsg a a a

=

En det(A) aparecen n! sumandos

Determinantes de orden dos

11 12

21 22

a aA

a a =

{ }2 1 21 2 1

2 2

,

1 2( ) 1

1 2

1 2(1 2) ( ) 1

2 1

S

i sg

sg

= = = = + = = =

2n =S2, car(S2)=2!=2

21 1 2 2

1 2

1 (1) 2 (2)

1 1 (1) 2 (2) 2 1 (1) 2 (2)

( )

( ) ( )S

A sg a a

sg a a sg a a

= =

= == + =

Matrices 12

11 22 12 21 11 22 12 21( 1) ( 1)a a a a a a a a= + + =

11 12A 11 22 21 1221 22

a aa a a a

a a

= =

2 3A 2 3 4 ( 3) 18

4 3 = = =

Ejemplo

3n =

Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

= S3, car(S3)=3!=6

Matrices 13{ }3 1 2 3 4 5, 61 3 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

, , , ,

1 2 3( ) 1

1 2 3

1 2 3(2 3) ( ) 1

1 3 2

1 2 3(1 2) ( ) 1

2 1 3

1 2 3(1 2 3) ( ) 1

2 3 1

1 2 3(1 3 2) ( ) 1

3 1 2

1 2 3(1 3) ( ) 1

3 2 1

S

i sg

sg

sg

sg

sg

sg

= = = = + = = = = = = = = = + = = = + = = =

= = =

= =3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 (1) 2 (2) 3 (3)

det( )

( )S

a a aA A a a a

a a a

sg a a a

1 2 3

4 5 6

11 22 33 11 23 32 12 21 33

12 23 31 13 21 32 13 22 31

( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= + + + +

+ + + + + =

Matrices 14

11 22 33 12 23 31 21 32 13

13 22 31 12 21 33 23 32 11

( )( )a a a a a a a a aa a a a a a a a a

= + + + +

1 -2 34 5 -2 = 5+0+(-12) 0+(-8)+2 =10 -1 1

( )-( )

Ejemplo

Matrices 15Propiedades de los determinantesSea A Mn(K) 1.

tA A=2. Si en un determinante hay una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo.

3.11 1 11

1 1

1 1

n in

i in i in

n nn n nn

a a a a

a a a a

a a a a

=

" " " "# # # #" " " "

# # # #" " " "

Matrices 16

5. Si se intercambia una fila por otra, el determinante cambia de signo

6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(A)=0

11 1 11 1 11 1

1 1 1 1

1 1 1

n n n

i i in in i in i in

n nn n nn n nn

a a a a a a

a b a b b b a a

a a a a a a

= ++ +

" " " " " "# # # # # #

" " " " " "# # # # # #

" " " " " "

4.

7. Si a una fila se le suma una combinacin lineal de las restantes filas, el determinante no vara.

8. Si A, BMn(K), AB A B=9. Si una fila es combinacin lineal de las restantes filas, el determinante es cero

10. (desarrollo de A a travs de los elementos de una fila cualquiera). El Aviene dado por la suma de los productos de los elementos de la fila i por sus correspondientes adjuntos:

A = ai1Ai1+ ai2Ai2+ ai3Ai3+...+ ainAin=

1

k n

ik ikka A

=

== donde los Aik son los correspondientes adjuntos

11. ai1Aj1+ ai2Aj2+ ai3Aj3+...+ ainAjn=0 (ij)La suma de los productos de los elementos de una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0

Matrices 17

Matrices 184. Menor complementario y adjunto

Sea AMn(K), y aij un elemento de A. Se llama menor complementario del elemento aij, y se nota ij, al determinante de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A.

Se llama adjunto del elemento aij, y se nota Aij, al valor: Aij=(-1)i+j ijMatriz adjunta de A, Adj(A)=(Aij), matriz de los adjuntos.

Definiciones

Matrices 19

11

1 310

3 1 = = 12 0 3 31 1 = = 13

0 11

1 3 = =

21

2 28

3 1 = =

32

1 23

0 3 = =

23

1 21

1 3 = =

31

2 24

1 3 = =

22

1 23

1 1 = =

33

1 21

0 1 = =

1 2 20 1 31 3 1

A =

Ejemplo

Menores Complementarios

Adjuntos A11=+11=-10 A12=-12=3 A13=+13=1A21=-21=-8 A22=+22=3 A23=-23=-1A31=+31=4 A32=-32=-3 A33=+33=-1 Adjunta de A: 10 3 1

( ) 8 3 14 3 1

Adj A =

5. Clculo de determinantes Matrices 209rdenes dos y tres: Definicin / Sarrus

9Orden mayor o igual tresMtodo del Pivote / Desarrollo por la fila del pivote (prop. 10)

1 Elegir un elemento como pivote (1), (a11)

11 1

1

n

n nn

a a

Aa a

="

# % #"

2 Obtener ceros en la fila (columna) del pivote, sumando combinaciones lineales de la columna (fila) del pivote (prop. 7)

11

1

0 0

n nn

a

A

a a

="

# % ## % #" "

3 Desarrollar el determinante por la fila (columna) del pivote.(prop. 10)

Matrices 21

11 11 12 1 11 110 0 nA a A A A a A= + + + =Orden n Orden n-1

Ejemplo

1 3

2 1 4

1 0 1 21 1 2 1

1 3 2 22 1 0 1

C C

C C

+

+

=

1 0 0 01 1 3 1

1 3 1 02 1 2 3

=

1 111

1 3 11 ( 1) 3 1 0 19

1 2 3A += = =

Por triangulacinTransformar el det(A) en el determinante de una matriz triangular = a11...ann

Matrices 22

1 2

5 1 3

1 1 11 1 0

5 3 5

F F

F F

+

+ =

P2 31 1 10 2 10 2 0

F F+=

1 1 10 2 1 1 2 1 20 0 1

= = =

Ejemplo

6. Matriz inversa (Mn(K),+,) Anillo Unitario (no cuerpo)AMn(K) es regular si existe BMn(K) tal que AB=BA=In (B es la inversa de A: B=A-1) En otro caso, A es singular

Teorema Sea AMn(K). (1)A posee inversa si y slo si A0(2)En ese caso, 1 1 ( )tA adj A

A =

Matrices 23Ejemplo

7. Rango de una matriz Sea AMmxn(K). Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A. se llama rango de A al mayor orden posible de un menor no nulo de A.

r(A)=r(At) r(A)min{m,n} Si a una fila (columna) se le suma una c.l.del resto (o un mltiplo de otra), el rango no vara.

9 Propiedades

Matrices 24 Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(A) coincide con el de la submatriz obtenida al eliminar dicha fila (columna) de A

En resumen, el rango de A no vara alrealizar operaciones elementales sobre A, tales como: Intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar a una fila un mltiplo de otra o una c.l. de las restantes..Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal principal: aij=0, i>j. Su rango=nfilas no nulas completamente

= =

3 2 1 50 1 1 4

, ( ) 40 0 7 40 0 0 1

A r A

Ejemplos de matrices escalonadas:

Matrices triangulares

2 1 4 1 00 0 0 2 90 0 0 0 1

B =

r(B)=3

Mtodo de Gauss

Para obtener el rango de una matriz A

Transformar A AescalonadaOperaciones elementales

Matrices 25

NP

P

+

+

+

= =

32

1 2

1 3

2 3

1 0 -11 0 -1 3 31 2 -3 1 0 2 -2 21 3 -4 0 0 3 -3 3

1 0 -1 30 2 -2 2 0 0 0 0

F F

F F

F F

A

A

Ejemplo

r(A)=r(A)=2

Matrices 26

10r(A)1Rango dos?

r(A)2Rango tres?

Luego el rango es dos

Algoritmo de clculo del rango