Medición de La Aceleración de La Gravedad Mediante Un Péndulo

7/25/2019 Medicin de La Aceleracin de La Gravedad Mediante Un Pndulo

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Axel Caino, Laboratorio 1 B, FCEyN, UBA, 2016

Medicin de la aceleracin de la

gravedad mediante un pendul

Por Axel Caino, Laboratorio 1 B, FCEyN, UBA, 2016

En este trabajo vamos a medir la aceleracin de la gravedad utilizando un pndulo con diferentes

longitudes. Dicho clculo se realizar con herramientas estadsticas de regresin lineal y luego

contrastaremos los resultados obtenidos con el valor histrico calculado por el hombre de la

aceleracin de la gravedad al nivel del mar.

1. Introduccin

Nuestro trabajo consiste en tratar de calcular la aceleracin de la gravedad mediante un pndulo

construido manualmente (la cual est explicada en el Trabajo Prctico 2 con Manuel Almada *1) al

cual vamos a ir varindole la longitud de su hilo y ver cmo va evolucionando el perodo del

mismo. Como ya vimos en dicho trabajo, al apartar el pndulo de la posicin de equilibro estable*2

(y suponiendo se encuentra en un plano vertical con respecto a la Tierra) comienza a oscilar con

un perodo determinado debido a la accin de su propio peso, y, al analizar este perodo en

distintas condiciones iniciales creemos nos va a permitir calcular la aceleracin gravitatoria

conociendo la longitud del hilo y dicho perodo. El diagrama de cuerpo libre del pndulo se puede

observar en la Figura 1, donde se aprecian las fuerzas presentes en el sistema (el peso y la normal,

que corresponde a la tensin del hilo que sostiene la pesa).

Figura 1. Diagrama de cuerpo libre de un pndulo, donde se observa la componente del peso en direccin radial (mg.cos ) y la

componente tangencial (mg.sen ).


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Entonces surge la pregunta: Es posible, dadas las condiciones ambientales y del experimento,

lograr una buena aproximacin de la aceleracin de la gravedad?A continuacin, iremos

desarrollando todo lo necesario para responder esta pregunta.

Para realizar las mediciones del perodo vamos a trabajar de otra manera al trabajo prctico

realizado con Manuel Almada Medicin del perodo de un pndulo*. En este caso, para efectuarla medicin del perodo vamos a utilizar un sistema de adquisicin de datos (D.A.Q.) en el cual el

sensor utilizado es el Photogate, como se mostrar en la seccin 2. Desarrollo experimental.,

donde detallar cmo se llev a cabo el experimento, los materiales y precauciones a tomar. En la

seccin 3. Resultadosse expondrn los resultados obtenidos y sus respectivos clculos, para luego

hacer un anlisis de los mismos en 4. Anlisis de resultadosy finalmente abordar las conclusiones

obtenidas en 5. Conclusiones.

A continuacin vamos a mencionar las herramientas tericas que vamos a utilizar y en qu nos

basamos para realizar los clculos.

En este experimento vamos a trabajar con ngulos pequeos, lo cual nos va a simplificar los

clculos como veremos a continuacin. Con pequeos nos referimos a que el seno de un ngulo

en radianes es aproximadamente igual a .

El error del seno va a ser una de las hiptesis principales y nos vamos a guiar por la siguiente

relacin:

Tabla 1. Muestra la relacin del error porcentual del ngulo en radianes con respecto a su seno. Se puede apreciar que para ngulos

mayores a 30 grados el error porcentual supera el 5%.

Nosotros utilizaremos ngulos menores a 10 ya que consideramos (por motus propia) que el error

no es significante para nosotros (del orden del 0,5%). Luego se demostrar por qu carece de

sentido tomar ngulos menores.

Como vamos a utilizar estos ngulos pequeos (donde el error es menor al 5%), podemos decir

que el perodo de un pndulo para pequeas oscilaciones *4viene dado por la siguiente frmula:


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A simple vista en la ecuacin, se puede ver que el perodo depende de la longitud del hilo y de la

aceleracin gravitatoria, siempre y cuando las oscilaciones sean pequeas. De acuerdo a esto, la

aceleracin gravitatoria la vamos a calcular con los perodos y las distintas longitudes del hilo ya

que despejando de la misma se obtiene g:

Vamos a tomar como referencia para la contrastacin la aceleracin gravitatoria calculada por el

hombre de aproximadamente 9,78 m/s2*4.

Pero para nuestro caso la frmula que finalmente vamos a utilizar es la siguiente:

(1)

donde creemos que la relacin entre el perodo elevado al cuadrado (T2) con respecto a la longitud

del hilo (l) debe ser lineal.

Para calcular el perodo T del pndulo vamos a utilizar la diferencia entre los tiempos de una

misma posicin y direccin del vector velocidad del mismo:

(2)

Dentro del trabajo vamos a trabajar con regresiones lineales para averiguar la aceleracin

gravitatoria.

Enestadstica la regresin lineal o ajuste lineal es unmodelo matemtico usado para aproximar la

relacin de dependencia entre unavariable dependiente Y, lasvariables independientes Xiy un

trminoaleatorio . Este modelo puede ser expresado como:

donde:

: Variable dependiente, explicada o regresando.
https://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_dependientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoriedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aleatoriedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_dependientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica


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: Variables explicativas, independientes o regresores.

: Parmetros, miden la influencia que las variables explicativas

tienen sobre el regrediendo (Y), donde es la interseccin o trmino "constante",

las son los parmetros respectivos a cada variable independiente, y es el

nmero de parmetros independientes a tener en cuenta en la regresin.

En nuestro caso vamos a utilizar a la longitud del hilo como variable independiente y al perodo

elevado al cuadrado como variable dependiente. El trmino aleatorio por el momento lo vamos a

dejar de lado y vamos a tener en cuenta la propagacin de los errores. Con estos datos vamos a

tratar de obtener (mediante esta regresin lineal) la pendiente de la curva del perodo cuadrado

en funcin de la longitud, lo cual nos va a brindar informacin sobre la aceleracin gravitatoria.

La regresin lineal va a ser hecha por una PC con el programa OriginLab, el cual nos permitir

ahorrar algunas de las cuentas.

Luego necesitamos herramientas tericas para los errores, con lo cual vamos a utilizar el mtodo

de Mnimos cuadrados, el cuales una tcnica deanlisis numrico en la que, dados un conjunto

de pares ordenados - variable independiente, variable dependiente - y una familia de funciones, se

intenta encontrar lafuncin continua,dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos

(un "mejor ajuste") en este caso experimentales, de acuerdo con el criterio demenor error

cuadrtico. Dicho error cuadrtico es el que utilizamos en trabajos anteriores*1con la diferencia

de que le aplicamos raz cuadrada. Consiste en realizar las derivadas parciales de la frmula a la

cual se le desea propagar error con respecto a todas las variables utilizadas, como se puede ver en

la siguiente frmula:

(3)

Este delta de la funcin nos va a permitir dar un intervalo donde se va a encontrar el valor

calculado donde los extremos del mismo son el valor +/- el delta.

Entonces repasando los objetivos son:

-Calcular la aceleracin del pndulo utilizando herramientas estadsticas.

-Contrastar la aceleracin calculada con la de la gravedad.
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


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Con estos objetivos planteamos nuestras hiptesis tericas en las cuales nos vamos a basar y

queremos contrastar:

-La aceleracin del pndulo va a ser aproximada con la gravitatoria (al nivel del mar).

-El perodo del pndulo no depende de la masa.

Luego consideramos ciertas hiptesis experimentales:

-El hilo es inextensible y de masa despreciable

-La pesa del pndulo est uniformemente distribuida

Luego, en la seccin 2. Desarrollo experimental y en la seccin 5. Conclusionesdiscutiremos a

cerca de las hiptesis mencionadas.

2. Desarrollo experimental:

2.1 Materiales:

Los materiales utilizados se citan a continuacin y se puede observar un esquema del experimento

en la Figura 2:

1) Soporte de aproximadamente 2 metros de altura (S) con divisiones en centmetros (C)2) Anexo superior al soporte para poder insertar el hilo del pndulo (A)

3) Hilo de 150 +/- 1 cm (H)

4) Pesa de 500 +/- 0,01 g (P)

5) Cinta mtrica de 5 +/- 0,0001 m

6) Lpiz para marcar el soporte del pndulo

7) Photogate (F)

8) Soporte para el Photogate (R) ajustable en altura

9) SensorDAQ

10) Cables de conexin del Photogate

11) Computadora con OriginLab y MotionDAQ


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Figura 2. Esquema del experimento. Se puede apreciar el soporte (S) con divisiones (C), el agujero para colocar el pndulo (A), el pndulo

(constituido por la pesa P y el hilo H), el Photogate (F) y el soporte del Photogate (R). La lnea en gris indicada por M representa la

marca del hilo hecha con lpiz sobre el soporte, para darnos una idea del ngulo desde el cual lanzamos.

2.2 Desarrollo del experimento:

Para comenzar hay que tener en cuenta los materiales a utilizar. Una vez que los tenemos en

disposicin comenzamos a armar el soporte del pndulo. Cuando lo tenemos ya preparado atamos

el hilo a la pesa y lo colocamos en el agujero del soporte, teniendo en cuenta al atarlo de dejar una

longitud de aproximadamente 120 cm de hilo (en nuestro caso no excede los 120 cm ya que el

soporte del pndulo es de esa altura). Una vez armado el pndulo colocamos el soporte del

Photogate, enganchando el mismo de acuerdo a la altura del pndulo deseada.

Con el experimento montado conviene medir primero la longitud en la que qued el hilo desde el

agujero del soporte hasta la mitad de la pesa (nosotros consideramos que la pesa es una esfera

con masa uniformemente distribuida, con lo cual el baricentro se encuentra en el centro*5, y se

puede considerar concentrada toda la masa en dicho centro, por lo que tomamos la medida hasta

all) para saber la longitud a la que estamos realizndolo. Una vez que tomamos las medidas

alejamos el pndulo de su posicin de equilibrio hasta algn ngulo deseado (en nuestro caso 5,

los cuales pueden ser medidos por un transportador o con trigonometra, pero no consideramos

necesario dar con demasiada precisin el ngulo, ya que como vimos antes, lo que nos importa es

que sea menor a 10). Luego marcamos con un lpiz el recorrido del hilo sobre la regla para que al

variar la longitud del hilo en los prximos pasos respetemos el ngulo inicial. Con la ayuda de otra

persona, ajustamos la posicin del Photogate para que no choque con el pndulo y llegue a tomar

la posicin del pndulo para el ngulo que tomamos.


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Abrimos el MotionDAQ y lo configuramos (en nuestro caso para 2500 mediciones por segundo,

que fue la frecuencia donde no obtuvimos resultados intermedios en las cadas de potencial).

Dejamos el pndulo en libertad y comenzamos a medir con la PC (gracias al programa

MotionDAQ). Una vez que realizamos las mediciones podemos repetir con la longitud inicial

deseada las veces que queramos guardando los datos en la PC. Cuando consideramos suficientelas mediciones variamos la longitud del hilo (ya sea mayor o menor, segn queramos medir ms o

menos longitud del hilo) como se puede ver en la Figura 3.

Nosotros vamos a utilizar 10 longitudes diferentes hasta un mnimo de 50 cm.

Es importante ajustar la posicin del soporte del Photogate y del mismo Photogate para adecuarse

a la nueva posicin del pndulo. Volvemos a realizar las mediciones en las distintas longitudes

hasta que se considere necesario.

Una vez que tenemos recolectados todos los datos en la PC (gracias al MotionDAQ, los exportamos

al OriginLab).

Figura 3. Variacin de posicin del hilo con respecto de la longitud inicial (A) disminuyendo la longitud del hilo a B y C.

2.3 Precauciones a tomar y consideraciones de hiptesis:

Es muy importante prestarle atencin al armado del experimento para que se adecue a las

condiciones de un pndulo ideal lo mejor posible.

-En primer lugar conviene que el soporte del pndulo tenga una base firme para que no oscilejunto con el movimiento del pndulo.

-El agujero donde va colocado el pndulo debe ser tal que no permita movimiento del hilo, para

acercarnos al caso ideal de un centro de rotacin puntual.

-La separacin del pndulo con respecto al soporte tiene que ser la suficiente que haga que no

choque la pesa con el mismo y no excesiva para que al marcar la posicin del pndulo en el ngulo

inicial no cometamos error por el paralaje.


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-Al dejar en libertad el pndulo es conveniente que la oscilacin se produzca en un plano y que la

pesa no gire sobre su eje.

Con respecto a las hiptesis experimentales podemos afirmar que el hilo es inextensible a los

efectos de nuestras incertezas en la medicin. Cuando realizamos la medicin del hilo con y sinpeso (tiramos de una de las puntas) el hilo no cedi longitud con respecto a nuestra ltima

medicin de la cinta mtrica, con lo cual su extensibilidad la podemos considerar despreciable, ya

que el error en la medicin es por lo menos de 10 veces menor orden de magnitud que el error de

la cinta mtrica. La masa la consideramos despreciable ya la medicin de la pesa en la balanza no

cambi cuando agregamos el hilo arriba de la misma, con lo cual el error de apreciacin de la

balanza es mucho mayor que el peso del hilo.

Por otro lado vamos a considerar la pesa como uniforme (medimos con un calibre en varios

lugares de la misma y nos dio el mismo dimetro). Con respecto a la distribucin de masa la vamos

a considerar uniforme, pero no tenemos manera de comprobarlo, si bien depende de lascondiciones de fabricacin y desgaste.

3. Resultados

Con los datos exportados en el OriginLab los enviamos a una tabla y automticamente se colocan

en dos columnas: una representa el voltaje y el otro el tiempo de dicho voltaje. Una vez que

tenemos los datos de las mediciones seleccionamos las columnas y las pasamos a un grfico de

voltaje en funcin del tiempo como muestra la Figura 4.

Figura 4. Grfico del OriginLab de voltaje en funcin del tiempo.


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Luego para observar los datos en el grfico presionamos en el botn Data Reader (flecha negra

de la Figura 5) y colocamos el cursor en algn punto cercano a la cada de potencial (flecha verde

de la Figura 5) donde leeremos los potenciales donde indica la flecha gris de la Figura 5. Con estos

datos estamos en condiciones de comenzar con los clculos.

Figura 5. Imagen del OriginLab donde se indica en primer lugar el Data Reader (flecha negra) el cual permite seleccionar los puntos del

grfico, la flecha verde que indica el punto seleccionado, y el display donde marca en X el tiempo y en Y el voltaje.

Una vez que tenemos los grficos preparados podemos tomar los perodos restando la diferencia

de tiempo entre los ltimos puntos antes de la cada de tensin (o los primeros de cada subida,

depende de cul se prefiera elegir, pero considerando o slo los primeros o slo los ltimos). Lo

importante es que cada la diferencia entre los puntos sea, por as decirlo simtrica (o sea que los

puntos a tomar representen fsicamente una misma posicin del pndulo coincidiendo en la

direccin de movimiento del mismo, con lo cual estaramos midiendo el perodo. Se puede

observar en la Figura 6a continuacin:

Figura 6. El grfico representa el voltaje en funcin del tiempo, donde el tiempo t indicado representa el perodo del pndulo.

Como tenemos distintas longitudes de hilo, vamos a tener tantos grficos como longitudes de hilo

medidas (en nuestro caso 10).

Obtenemos as los perodos de cada seccin restando los ltimos puntos antes de la cada, o sea

b y a (de la Figura 7) con la frmula (2).


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Figura 7. Grfico de voltaje en funcin del tiempo de donde extraemos los tiempos de las cadas de potencial para sacar los perodos. Los

perodos se pueden obtener de a y b (en gris) o a y b (en marrn) segn se prefiera.

Luego de obtener los perodos los colocamos en una columna, contrastados contra la longitud del

pndulo que corresponde a cada uno creamos otra columna con los perodos elevados al

cuadrado:

Tabla 2. Tabla donde ubicamos las distintas longitudes de pndulo contra los distintos perodos calculados para cada una, y dichos

perodos elevados al cuadrado.

Estos perodos al cuadrado los vamos a utilizar para el despeje de g, los cuales van a estar en

funcin de la longitud, como indica la frmula (1). Si enviamos estos datos a un grfico del perodo

cuadrado en funcin de la longitud, y realizando un ajuste lineal de los mismos vamos a obtener la


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pendiente de la curva, que va a representar a . En la Figura 8se puede observar la recta final

al realizar el ajuste lineal.

Figura 8. Ajuste lineal de los perodos elevados al cuadrado en funcin de la longitud del hilo. Se puede observar que la pendiente es

0,04169 s2/cm, que pasado a metros sobre segundos al cuadrado corresponde a .

Del grfico entonces obtenemos que la pendiente de la recta ms representativa de todos lospuntos es 0,04169 s

2/m. Gracias a la frmula (1) realizamos el despeje de gen funcin de la

pendiente de la curva:

y obtenemos el valor 9,47m/s2.

Para calcular el error de la aceleracin vamos a utilizar la frmula (3)pero reemplazando por las

variables de la aceleracin: T2 y l.De dicha frmula obtenemos que el error de g es:

Pero para ello primero hay que calcular el error de T, reemplazando las variables de la ecuacin

(2) (o sea t1 y t2) en la ecuacin (3)nos queda:


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Para cada valor del perodo nos va a quedar un delta del perodo distinto, con lo cual utilizamos elde mayor error, para asegurarnos una cota superior con respecto al resto. En este caso es0,00157

s.

Con este delta del perodo vamos a calcular del delta del perodo al cuadrado:

Con lo que nos queda que el delta del perodo al cuadrado mximo (por el criterio recinnombrado) es 0,031 s

2.

Con todos estos datos de los errores vamos a la frmula del delta de la aceleracin gravitatoria y

obtenemos que el error es 0,07 m/s2. Con lo cual nuestro intervalo de g + g es 9,47 m/s2 0,07

m/s2.


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4. Anlisis de resultados:

Como vimos en la seccin anterior, gracias a las frmulas estadsticas y los clculos realizados para

pequeas oscilaciones pudimos obtener el valor de la gravedad y su error asociado:9,47 m/s2

0,07 m/s2. Afirmamos entonces que cumplimos con nuestro primer objetivo de obtener un valor

de la gravedad gracias a mtodos estadsticos (en este caso regresin lineal). Comparando esteintervalo con el de la gravedad obtenida por el hombre (aproximadamente 9,78 m/s2) nuestro

valor centrar difiere con el de la gravedad en aproximadamente 3,17%, con lo cual nuestro

segundo objetivo consideramos se ha logrado y en una buena medida.

5. Conclusiones:

A partir de los resultados obtenidos podemos decir que a partir de un pndulo fsico construido

por nosotros mismos es posible obtener aproximadamente la aceleracin gravitatoria. Adems

aprendimos que para valores pequeos de un ngulo (en radianes), el seno difiere en menos del

5%.

Por otro lado, nuestro valor de la gravedad presenta diferencias con el valor histrico de la

gravedad calculado por el hombre. Consideramos que este error se debe en primer lugar a que la

frmula del perodo en funcin de la longitud funciona para ngulos pequeos y como ya vimos,

nuestro valor de 5,17 ya difiere en un 0,5% del valor real del seno. En segundo lugar, nuestro

pndulo no es un pndulo ideal y est sujeto a fluctuaciones de diversos ndices como incertezas,

por ejemplo la inexactitud de los dispositivos utilizados (Photogate y SensorDAQ), el soporte con

las divisiones en centmetros y adems, la extensibilidad del hilo, la distribucin de masa de la

pesa, rozamientos con el aire y mecnicos. Consideramos que la mayora de estos errores estnsiendo considerados en la propagacin de los mismos.

Gracias a este trabajo pudimos aprender los conceptos tericos de la regresin lineal y aplicarlos

para obtener la pendiente de la recta que nos brind lo necesario para el clculo de la aceleracin

gravitatoria y su error asociado. Dicho error fue calculado gracias a herramientas estadsticas que

debieron ser aprendidas y afianzadas para realizar los clculos.

Entonces concluimos que a travs de un pndulo es posible medir la aceleracin gravitatoria con

una buena aproximacin.


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6. Agradecimientos:

Se agradece la colaboracin de Manuel Almada, cuya persona fue con la cual realic este

experimento.

7. Referencias:

*1Manuel Almada y Axel Caino, Medicin del perodo de un pndulo, Laboratorio 1B, Facultad de

Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, 2016.

*2https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nico

*3http://www.tandar.cnea.gov.ar/~sacanell/PenduloSimple.pptx pgina 5,pgina 5

*4https://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio

*5http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mechanics/sphshell.html

7.1 Bibliografa:

http://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple#/media/File:Moglfm1309_pendulosimple.jp

g

http://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/FEI/manuales/compuerta_infrarroja.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttp://www.tandar.cnea.gov.ar/~sacanell/PenduloSimple.pptx%20p%C3%A1gina%205http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mechanics/sphshell.htmlhttp://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdfhttps://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple#/media/File:Moglfm1309_pendulosimple.jpghttps://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple#/media/File:Moglfm1309_pendulosimple.jpghttp://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/FEI/manuales/compuerta_infrarroja.pdfhttp://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/FEI/manuales/compuerta_infrarroja.pdfhttps://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple#/media/File:Moglfm1309_pendulosimple.jpghttps://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple#/media/File:Moglfm1309_pendulosimple.jpghttp://www.uv.es/zuniga/3.2_Propagacion_de_errores.pdfhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mechanics/sphshell.htmlhttp://www.tandar.cnea.gov.ar/~sacanell/PenduloSimple.pptx%20p%C3%A1gina%205https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nico

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