El Pndulo y; Anlisis De Motor CD

Instituto Politcnico NacionalEl Pndulo y; Anlisis De Motor CDTeora del Control 3

Esteban Ramn Mercado Santana03/02/2015

El PnduloEl Modelo del pndulo:

Dnde: a=?, b=?, c=?Considere: l=1, m=3, =2, g=9.8Objetivo: Ilustrar la sensibilidad a condiciones iniciales, a valores de entrada, Cules son las diferencias entre un sistema No-lineal y uno Lineal?

DesarrolloPara comenzar a trabajar lo primero que se observa es que tenemos que encontrar los valores de a,b y c. Para encontrarlos se busc en la literatura cual es el modelo del pndulo y se encontr que:

Dnde: J = Momento de inercia= = Coeficiente de friccin m= Masa g= Gravedad l= Longitud T= ParAl comparar ambos modelos (A, B), se pueden deducir dos cuestiones. La primera es que en el modelo A no est acompaada de ningn otro operador, es decir que no incluye a J como lo hace el modelo B. De igual manera en el modelo A l par (T) est acompaado de la variable c lo que no sucede en el modelo B.

Para llevar ambos modelos a una forma similar lo primero que se hizo fue quitar el Momento de inercia (J) a la segunda derivada de teta, del modelo B:

De esta manera, nuestro nuevo modelo C ahora tiene la misma forma que el modelo A al igualar ambos modelos tenemos que:a b c

Dnde:a= , b= , c=Al sustituir utilizando los valores proporcionados por el profesor:a= 9.8, b=2/3, c=1/3Y al sustituir en el modelo A

Ya que se ha encontrado a, b y c, se deben de formular las ecuaciones de estado, para esto se tom como espacio de estado al ngulo y la velocidad angular .

Nuestras Ecuaciones de estado nos quedan como:

Sistema No-lineal

Una vez que se tienen las ecuaciones de estado se puede comenzar a trabajar con Matlab, lo siguiente que se va a hacer es llevar las ecuaciones a una forma de bloques en simulink.Ahora para poder la sensibilidad de nuestro sistema vamos a comenzar fijando nuestro pndulo en Movimiento Libre, es decir que el par de entrada va a ser cero.Se colocan las condiciones iniciales de

Figura 1: Este cuadro de dialogo corresponde a la entrada, en la imagen se puede ver como el valor se est fijando en cero, es decir que el Par de entrada no existe por lo tanto el pndulo est en movimiento libreFigura 2: Este bloque de dialogo corresponde a el integrador(X1) aqu se puede ver cmo es que se fija el ngulo inicial (condiciones iniciales en Figura 3: Este bloque corresponde al integrador (x2) y en la imagen se puede apreciar que las condiciones iniciales para este son 0.

Se coloco tambin un Scope en y comenzamos a ver el movimiento oscilatorio del penduloScope ()Scope ()

Grafica 1: Se puede ver el movimiento oscilatorio de forma natural del pendulo. El oscilamiento tarda aproximadamente 10s en sesarGrafica 2: Nos muestra la velicdad angular que al haber comenzado el sistema en un angulo la velocidad comienza en un punto medio y no en el tope de la misma.

De esta manera se va a ir variando la velocidad inicial de dos en dos hasta llegar a ocho y se va a observar la evolucin del sistema. Incrementode VelocidadScope ()Scope ()

2Al iniciar la velocidad en 2 la forma oscilatoria del pndulo se mantiene constante, esta velocidad parece no afectar en lo mnimo a nuestro modelo.

Aqu nos muestra como la velocidad angular est iniciando precisamente en dos y pese al ciclo que se recorri el tiempo estimado de oscilacin contina siendo el mismo.

4Aqu el espacio entre oscilaciones incrementa un poco pero todava no llega a ser considerable

La velocidad ha llegado al tope de la misma, a partir de aqu si continuamos incrementando el sistema debe de mostrar oscilaciones errticas y poco comunes.

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Es en este incremento donde se observa de manera concisa como la velocidad angular comienza a entrar en conflicto con la salida, es decir el ngulo. Si iniciar de manera a tan elevada velocidad el comportamiento es poco fluido aunque en cierto tiempo se estabiliza y regresa a la oscilacin habitual.

La velocidad ha alcanzado el mximo normal en el que se puede iniciar el sistema en la grfica anterior, en esta se muestra como se est iniciando de una forma que el sistema no aguanta y es de esta manera que la oscilacin acta de manera impropia.

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Aqu la onda inicial se ha hecho de una mucho mayor amplitud y de igual manera la primera pendiente ya no se mueve de manera continua sino que su forma se ha vuelto inconsistente

De igual manera que el incremento anterior la velocidad angular nos muestra haber sobrepasado el lmite normal hace ya algunos valores y comienza a afectar la misma oscilacin del sistema que hasta ahora haba parecido permanecer constante. Podemos decir que si continuamos incrementando la misma en cierto punto el sistema va a alcanzar una completa inestabilidad.

Se puede ver como la velocidad angular va modificando el comportamiento del sistema de manera que en el Scope (X1) que nos muestra la salida del sistema, al iniciar en una velocidad elevada va a oscilar de una manera errtica, esto se puede imaginar al tomar un pndulo y acelerarlo, el mismo pndulo se va a tambalear hasta llegar a su forma oscilatoria comn. En el Scope(x2) que nos muestra directamente la velocidad angular se puede ver de manera an ms clara el momento en el que la oscilacin comienza a ser errtica. Ahora se van a colocar las condiciones iniciales en cero y la entrada se va a ir moviendo de 0 a -10. Se observara una vez ms la evolucin del sistema. Scope ()Scope ()

Aqu se puede ver como nuestra entrada directamente crea una seccin linear en la grfica del sistema lo cual se puede traducir en un tiempo ms grande al momento de terminar con las oscilaciones. Una velocidad constante seguida de nuestra oscilacin habitual es el resultado de meter cierta entrada (escaln) al sistema.

En este comportamiento se puede ver que la entrada esta vez da un impulso inicial al sistema de tal manera que a pesar de que regresa a su oscilacin tpica, el tiempo se prolonga. Ahora que se ha revisado el comportamiento del sistema No-lineal, se va a linealizar el mismo y comparar ambas formas.El sistema lineal nos queda de la forma:

Sistema Lineal

Al simular el modelo ya linealizado se puede observar la grfica de la forma

Donde podemos ver que nos muestra de manera ms clara el tiempo y la posicin en que el modelo responde, aunque a diferencia del sistema No-lineal no muestra el comportamiento de manera tan real.Tambin se ha linealizado utilizando Matlab y no de manera manual como anteriormente, esto para comprobar y a la vez comparar los resultados de la linealizacin.

Sistema No-Lineal VS Sistema Lineal

El sistema No-lineal nos muestra de manera ms real y prxima el comportamiento del sistema

El sistema Lineal nos muestra de manera ms clara los tiempos y los valores que va a ir tomando nuestro sistema.

Conclusin Al final se ha llegado a la conclusin de que, mientras los sistemas No-lineales nos muestran un comportamiento ms grafico o aproximado a la realidad del sistema, los sistemas lineales muestran las velocidades y tiempos de respuesta de maneras ms claras y comprensibles.

Anlisis de un Motor de CD. Lazo Abierto.

Figura 1

La Tensin (Eo), al ser este un sistema de lazo abierto se comport de manera directa, como si se tratase de una multiplicacin. La velocidad angular wo fue, aproximadamente, 4 veces la Tensin. Esto se debe a que el voltaje afecta directamente el sistema y es por esto que puede llevar al mismo a un determinado valor, siendo ste valor siempre dependiente del comportamiento intrnseco de nuestro motor. En la grfica 1 se puede observar la relacin entre la entrada (igual a 3) y la salida (igual a 12).

Grafica 1

Las perturbaciones en el caso del motor se pueden describir como las cargas que impiden que gire el rotor de manera normal. Al hacerse presentes, la velocidad angular se ve afectada inmediatamente y esto se observa en la grfica 2, mientras ms grande sea la carga nuestra velocidad va a disminuir cada vez ms. Para compensar esta carga extra que no se haba tomado en cuenta en el caso anterior lo adecuado es aumentar la Tensin en nuestro motor.

Grafica 2Esto tambin nos sirve para plantearnos un par de preguntas Cunta carga puede soportar un Motor? Cunta Tensin puede aguantar para compensar las cargas?Ambas preguntas hablando de manera tcnica se pueden responder diciendo que depende del motor, esto es cierto aunque independientemente de si nuestro motor puede cargar una tonelada o cien, el hecho de que pueda hacer esto depende de nuestro modelo fsico, si nosotros tomamos la simulacin y comenzamos a incrementar cada vez ms la carga del mismo, el sistema se va a sobre amortiguar hasta tal punto de que el motor no se mueva. Respondiendo la segunda pregunta se puede decir que en teora vamos a poder meter al sistema Tensiones tan grandes que van a compensar las enormes cargas aunque prcticamente esto se puede volver complicado debido a las cuestiones de diseo del mismo motor.Como se haba mencionado en el primer punto, la salida de nuestro sistema, en lazo abierto, se ve nicamente afectada por el comportamiento interno de l mismo, por eso, al verse modificada nuestra variable , la salida es diferente, aun cuando se tiene la misma entrada. Este cambio, el cual corresponde a una modificacin interna al motor, cambia la proporcin entre la Entrada y la Salida. Si se desea mantener los mismos valores en la salida, se tiene que compensar con la Tensin.

Grafica 3 Lazo Cerrado.

Figura 2En esta ocasin la entrada no continua directamente haca el sistema, en lugar de eso sirve como una referencia del valor al cual queremos que nuestra salida llegue. As, de esta manera, si deseamos que nuestra salida tenga un valor de 12 nuestra referencia debe de ser Doce. Esto es gracias a nuestra retroalimentacin y una compensacin (error) que se crea entre la referencia y nuestra retro alimentacin que es alimentada por el valor final, haciendo variar de esta manera los valore del sistema para que la salida siempre no del valor que deseamos. En la grfica 4 se observa cmo es que el sistema se optimiza, teniendo respuestas ms rpidas y un tiempo de asentamiento mucho ms pequeo.

Grafica 4

Esta manera en la que optimizamos el sistema agregando una retroalimentacin y una respectiva K se puede volver ms sofisticada cuando en lugar de solo usar un compensador se utiliza un sistema de control PID (Proporcional, Integrativo y Derivativo) el cual nos va a servir cada una de sus partes para que el sistema se desempee de una manera an ms ptima. Para que este PID sea completamente eficiente se debe de sintonizar de manera correcta. En la Grafica 5 se observa un comportamiento no tan bueno como el descrito pero, esto se debe a que el PID no se encuentra sintoniza correctamente, los valores utilizados son los que Simulink coloca de manera predeterminada, al nosotros sintonizar este PID de manera correcta el sobretiro de la Grafica debe de desaparecer y el tiempo de asentamiento debe de reducirse lo cual nos indicara que el sistema es ms rpido.

Grafica 5En este caso las perturbaciones, a diferencia del Lazo Abierto, afectan muy poco a nuestro valor final ya que, como la retroalimentacin compara la salida con la referencia y es el error de estas dos las que dan la entrada al sistema, incluso cuando hay perturbaciones se logran compensar sin que sean estas perceptibles o significativas en el comportamiento del sistema, como podemos observar en la Grafica 6.

Grafica 6

Al igual que el punto anterior, aun al cambiar la naturaleza de nuestro sistema, la retroalimentacin lleva la salida a nuestro valor deseado casi de manera perfecta, siendo el error un mnimo. Sin duda la retroalimentacin es fundamental para un control en un sistema.

Grafica 7Sintonizacin Al momento de sintonizar un Controlador PID, se tienen diversos mtodos, desde analticos hasta software. En seguida se explica en qu consisten algunos de estos mtodos, de manera que se puede determinar la mejor manera de sintonizar un compensador de esta clase:Por tanteo: Este mtodo consiste en introducir nmeros aleatorios a nuestro controlador PID con el objetivo de ver el comportamiento que tiene nuestro sistema con cada distinto valor y de esta manera guiarnos para llegar al mejor comportamiento posible. Este mtodo tiene el gran inconveniente de que, al ser meramente intuitivo, se puede llegar a causar vibraciones/ruido en nuestra seal de salida, as como brincos/sobretiros no deseados.

Grafica 8

En esta grafica se puede observar el sistema sintonizado mediante tanteo.

PID Tuning: Es una de las herramientas que nos brinda MatLab. En esta el programa toma un modelo desde SimuLink o desde el Space Work y sintoniza el controlador de manera automtica, siendo tan verstil como para que el usuario pueda determinar el mtodo numrico por el cual se desea sintonizar. El inconveniente de este mtodo, son las versiones de MatLab en las que est disponible y las versiones con las que es compatible. Esta aplicacin es tan poderosa que se puede introducir el tiempo de respuesta que se desea, as como la eliminacin de ruido (filtros pasa bajos, pasa altos o pasa banda)

Mtodo Matemtico, Ziegler-Nichols: Este es el mtodo analtico que se puede utilizar para prcticamente cualquier sistema pero, se deben cumplir ciertas condiciones, por ejemplo: Al introducir una entrada escaln al sistema, si este tiene una curva de retraso en forma de s, se puede utilizar el primer mtodo de Zieglers-Nichols; se calculan las ganancias P, I y D mediante relaciones entre la curva de retraso s y el punto de flexin de la curva.

Grafica 9Mediante la Ganancia crtica: La Ganancia Critica es la ganancia proporcional en la cual el sistema comienza a oscilar de manera constante. En base a esta Ganancia se calculan el resto de las ganancias. El Mtodo Ziegler-Nichols es experimental pero el clculo es meramente analtico. Mediante el mtodo de Oscilaciones Constantes, se tiene que:ControladorKcTiTd

P5

PI4.5454545450.92592593

PID5.8823529410.555555560.13888889

En esta tabla podemos observar los valores para la sintonizacin que se han obtenido mediante el mtodo de la Ganancia Critica.

Tabla 1