El Péndulo

El Péndulo es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,...), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.

Un péndulo, palabra que deriva de la palabra latina "péndulos", es decir, "colgar", es un cuerpo que cuelga desde un punto fijo que, cuando es retraído y liberado nuevamente, se balancea. Es la primera evidencia visual directa de la rotación de la tierra que no se base en el movimiento circular de las estrellas en el cielo. Casi todos los museos importantes de ciencia tienen un péndulo que puedes ver en movimiento.

HistoriaEl físico y astrónomo italiano Galileo Galilei descubrió el principio del movimiento oscilatorio del péndulo. El descubrió el péndulo en 1581. En sus experimentos, Galilei estableció que el tiempo que le toma al movimiento oscilatorio de un péndulo de determinado tamaño permanece igual aunque su arco, o amplitud, disminuya. A través del péndulo, Galilei descubrió el isocronismo, la característica más importante del péndulo, que los hace útiles para medir el tiempo.Las fuerzas del pénduloEn los péndulos actúan diferentes fuerzas. La inercia (la resistencia de un objeto físico) del péndulo es lo que hace que el péndulo se mueva hacia afuera y arriba. La fuerza hacia abajo de la gravedad, que es la fuerza que causa que dos objetos se acerquen, es la que hace que el péndulo vaya hacia atrás. Otra fuerza es la resistencia al aire, que determina la velocidad del péndulo, y hace que el péndulo se balancee en pequeños arcos.

Cómo funciona un pénduloUn llamado péndulo simple consiste en una masa, o peso conocido como plomo, colgando de una cuerda, o cable, de determinado largo y fijado en un punto pivote. Cuando es cambiado de su posición inicial a un ángulo inicial y es liberado, el péndulo se balancea hacia adelante y atrás libremente con un movimiento periódico. Todos los péndulos simples deben tener el mismo periodo, que es el tiempo que le toma hacer un círculo hacia la izquierda y hacia la derecha, sin importar su ángulo inicial.

Tipos de Péndulo

Doble péndulo

En general, un doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el

segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de

dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior.

Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, con

dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de

libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado

por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta

energía, su movimiento es caótico.

Péndulo Balístico

Un péndulo balístico es un dispositivo que permite determinar la velocidad de

un proyectil.

Este péndulo está constituido por un bloque grande de madera, de masa M,

suspendido mediante dos hilos verticales, como se ilustra en la figura. El proyectil,

de masa m, cuya velocidad v se quiere determinar, se dispara horizontalmente de

modo que choque y quede incrustado en el bloque de madera. Si el tiempo que

emplea el proyectil en quedar detenido en el interior del bloque de madera es

pequeño en comparación con el período de oscilación del péndulo (bastará con

que los hilos de suspensión sean suficientemente largos), los hilos de suspensión

permanecerán casi verticales durante la colisión. Supongamos que el centro de

masa del bloque asciende a una altura h después de la colisión. Entonces,

conocidos las masas del proyectil y del bloque y el ascenso de este después del

choque, la velocidad del proyectil viene dada por

Péndulo cicloidal

La cicloide es la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda

sobre una línea recta. Si en un plano vertical construimos una trayectoria cicloidal,

de base horizontal y con la concavidad dirigida hacia arriba, como se muestra en

la Figura, tal trayectoria es tautócrona para el punto C; i.e., el tiempo que empleará

una partícula P en resbalar (bajo la acción de la gravedad) hasta llegar a la

posición de equilibrio estable C es independiente de la posición inicial de la

partícula sobre la trayectoria cicloidal. Las oscilaciones alrededor de la posición de

equilibrio son rigurosamente isócronas en una trayectoria cicloidal como la

anteriormente descrita, y el periodo de las oscilaciones, que es independiente de

la amplitud de las mismas, viene dado por

Péndulo cónico

Consideremos un péndulo cónico consistente en una pequeña esfera de

masa m que se mueve sin fricción en una circunferencia horizontal con una

celeridad constante v, suspendida de un hilo de longitud L que forma un ángulo

constante θ con la vertical.

Sobre la masa m actúan dos fuerzas: su propio peso, mg, y la tensión del hilo, T.

La componente horizontal de la tensión del hilo proporciona la aceleración

centrípeta,  , asociada con el movimiento circular. La componente vertical de la

tensión se compensa exactamente con el peso de la masa m. La aplicación de la

segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical nos permite

escribir:

(1)

(2)

Péndulo de Foucault

Con el péndulo de Foucault, este físico demostró que cada vez que el péndulo se

movía, esto no sucedía por ningún tipo de fuerza, sino simplemente porque la

Tierra estaba rotando. Este péndulo varía dependiendo si está ubicado en el

hemisferio norte o sur. Hoy en día, este péndulo se encuentra en el Museo de

Historia Natural de Cleveland.

Este péndulo pesa aproximadamente 125 kilos, y se mueve durante unas dos

horas antes de que la gravedad gane a la inercia. Jones y Griesmer inventaron un

imán electromagnético como forma de contrarrestar fuerzas de menor importancia

como la fricción del alambre y la resistencia del aire. Aunque no fue construido

para ser un reloj, su oscilación es bastante regular, con 6,2 segundos para la ida y

la vuelta.

Péndulo de Newton

Como decíamos, se trata de cinco bolas de acero de idéntica forma y peso que se hallan en posición pendular, suspendidas de dos marcos que están a la misma distancia por sendos hilos de igual longitud e inclinación, de tal suerte que las bolas, cuando están en reposo, quedan unas alineadas y en contacto con las otras de forma simétrica.

Al poner en movimiento las bolas, comprobamos que sólo las dos de los extremos se mueven, mientras que las tres del medio permanecen quietas. Esto es lo que demuestra el principio de conservación de la energía: las tres bolas del centro almacenan la energía proporcionada por la de un extremo y la transmiten a la que se encuentra en el otro.

Péndulo de pohl

El péndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un muelle helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal.

El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magnético producido por una bobina en el anillo de cobre. Como se estudia en la página titulada “Corrientes de Foucault (I)” el momento de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotación y de sentido contrario a ésta.

La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas corrientes es también proporcional al campo magnético. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina.

La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excéntrica unida a una biela. La biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo está unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilación forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente están conectados por el muelle helicoidal.

El péndulo de Pohl es un péndulo de torsión constituido por un volante o disco metálico (v.g., cobre) que puede rotar alrededor de un eje y que, mediante un resorte espiral, recupera su posición de equilibrio, oscilando alrededor de ésta

Puesto que el péndulo de Pohl es una variante del péndulo de torsión,

la frecuencia angular y período de sus oscilaciones libres vienen dados por las

mismas expresiones; esto es,

donde   es el coeficiente de torsión del resorte espiral, cuyo valor depende de su

forma y dimensiones y de la naturaleza del material e   es el momento de

inerciadel volante.

Péndulo de torsión

Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta

una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke,

el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento

torsional M aplicado, de modo que

(1)

donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor

depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material.

Péndulo Esférico

Existen dos integrales o constantes de movimiento: la energía E y la componente

del momento angular paralela al eje vertical Mz. La función lagrangiana viene dada

por:

Donde   es el ángulo polar y   es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo

con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el

lagrangiana anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento

angular y lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular

Así, podemos reescribir la lagrangiana como:

de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional.

El péndulo físico

Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. 

En la Figura 1 se representa la oscilación en un instante dado:

Figura 1

La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. En la misma Figura se representan las fuerzas que actúan sobre el cuepo rígido. Si el momento de inercia repecto a un eje ue pasa por O del

cuerpo rígido es  , la segunda ley de Newton de rotación da como resultado,

Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los

10º),  , por tanto,

es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es:

el periodo y la frecuencia propios serán: