50 anales de mecnica y electricidad / marzo-abril 2004

Bsicamente, los elementos que componenuna catenaria (Figura 2) son: Hilo de contacto. Es el elemento que seencuentra en contacto con el pantgrafo.Debe tener una geometra tal que el roza-miento entre ste y el pantgrafo sea lo masuniforme posible de forma que la captacinde energa sea ptima. Hilo sustentador. Es el elemento superiorque desde un punto de vista mecnico so-porta el peso del hilo de contacto. Pndolas. Son los elementos verticales queadecuadamente situados se encargan de ga-rantizar la geometra adecuada en el hilo de

contacto transmitiendo parte del peso de es-te al sustentador. Falso sustentador. Es un elemento que noaparece en todos los tipos de catenarias yque tiene como misin aumentar y uniformi-zar la rigidez del conjunto mediante la aplica-cin de una tensin adicional. A la pndolaque va unida al falso sustentador se le deno-mina habitualmente pndola en Y. Grifas. Son los elementos que sirven paraunir las pndolas al falso sustentador e hilode contacto.

La geometra formada por los elementosanteriores que se encuentra entre dos postescontiguos se denomina vano, su longitud de-pende del tipo de catenaria y oscila de formaaproximada entre los 40 y los 60 metros, alconjunto de vanos situados entre dos puntosde aplicacin de tensin al hilo de contacto ysustentador se le denomina cantn.

Las condiciones sobre la geometra del hi-lo de contacto dependen del tipo de catena-ria, as las catenarias para trenes de alta velo-cidad exigen habitualmente un hilohorizontal, mientras que otras exigen unadeterminada contraflecha en el centro delvano. La forma de sta est relacionada conla velocidad de circulacin del tren.

El auge de la alta velocidad en el ferrocarrileuropeo supone un reto tecnolgico sin pre-

Actualmente existen diversos sistemas que permiten alimentar elctricamente trenes,ya sea mediante corriente alterna o corriente continua. El ms empleado hoy en da sedenomina catenaria1 y toma el nombre de la curva que aproximadamente forma unode los cables que lo conforman. Por lo tanto, en la tecnologa ferroviaria bajo la denomi-nacin catenaria se engloba a todo el conjunto de elementos que constituyen la lneade transporte y suministro de energa elctrica a los trenes (ver Figura 1). La captacinde energa se realiza por medio de un elemento de frotacin denominado pantgrafo.

Figura 1: Configuracin clsica de una catenaria

Un modelo para el clculo de

catenarias ferroviarias

Un modelo para el clculo de

catenarias ferroviarias

Oscar Lpez Garca

Doctor Ingeniero Industrial. Profesor

del Departamento de Fluidos y Calor

e Investigador en el Instituto de Inves-

tigacin Tecnolgica de la ETSI-ICAI.

Sus campos de conocimiento son la

mecnica del medio continuo, sistemas

de energa elica, mecnica de la frac-

tura y fatiga, materiales inteligentes y

el mtodo de los elementos finitos.

Alberto Carnicero Lpez

Doctor Ingeniero Industrial del ICAI

prom. 1995. Profesor del Departa-

mento de Ingeniera Mecnica e Inves-

tigador en el Instituto de Investigacin

Tecnolgica de la ETSI-ICAI. Sus cam-

pos de conocimiento estn relaciona-

dos con la aplicacin de mtodos nu-

mricos a la resolucin de problemas

de dinmica de estructuras y mecni-

ca de medios continuos, as como el

modelado de materiales inteligentes

para su empleo en actuadores o sen-

sores.

Vctor Torres Toledo

Ingeniero Tcnico Industrial del ICAI

y actualmente estudia quinto curso

de Ingeniera Industrial en ICAI.

1 Catenaria proviene de la palabra latina catena , que significa cadena y hace referencia a la forma que adquiere una cadena o cualquier cable al ser sus-pendida entre dos puntos fijos.

cedentes en el desarrollo de los sistemas fe-rroviarios que deben cumplir con requisitoscada vez ms exigentes. Los mtodos tradicio-nes de clculo de catenarias son claramenteinsuficientes para abordar este reto hacindo-se necesario el desarrollo de mtodos avanza-dos de clculo que permitan obtener solucio-nes prximas a las ptimas antes de procedera su validacin experimental. El principal pro-blema a resolver es la obtencin de la res-puesta dinmica en el fenmeno de interac-cin entre la catenaria y el pantgrafo. Laresolucin de este problema requiere comopaso previo el clculo de la catenaria tensa ylas correspondientes dimensiones del pendo-lado. Realizar este clculo empleando elemen-tos finitos exige un elevado tiempo de compu-tacin debido a las no linealidades existentes ya la necesidad de remallar la geometra en ca-da una de las iteraciones. Por otro lado la re-solucin del problema de interaccin dinmicarequiere una formulacin en elementos finitoso el empleo de otros mtodos que a da dehoy no estn suficiente contrastados o exten-didos. Los resultados presentados aqu son losprimeros obtenidos en el desarrollo de unproyecto que pretende optimizar la geometrade catenarias para trenes de alta velocidad.

Los mtodos tradicionales de clculo dependolado realizan algunas hiptesis de caraa simplificar los clculos, que, hoy en da, conlos medios de clculo existentes pueden evi-tarse. Entre ellas cabe destacar la aproxima-cin de la forma de la catenaria por una pa-rbola, que produce resultados razonables,igualar la tensin de los cables a la tensinhorizontal, o la realizacin de los clculos va-no a vano, que como se ver mas adelanteproduce unos resultados distintos de los quese obtendran si el clculo se realizara sobretodo el cantn.

A continuacin se presentan, sin entrar enla formulacin matemtica empleada, algunosde los resultados obtenidos por los autorescon un modelo basado en las ecuacionesexactas de la catenaria y que actualmente es-tn desarrollando. El modelo tiene por objetodimensionar de una forma rpida, robusta yprecisa el pendolado de un cantn completodadas unas condiciones de flecha a cumplirpor el hilo de contacto. Este modelo ademsser empleado para la obtencin de una ma-lla de elementos finitos que se emplear pos-teriormente para la resolucin del problemade la interaccin dinmica entre la catenaria yel pantgrafo con objeto de optimizar la geo-metra de la catenaria.

El modelo es vlido para catenarias com-pensadas, sometidas a cargas en un nico pla-no, con postes o mnsulas a distintas alturas ycon posibilidad de eliminar el falso sustentador.Se trata por tanto de un modelo bidimensio-nal, pero que puede ser extendido fcilmente,en caso de querer considerar el descentra-miento de la catenaria, a tres dimensiones.

Base del modelo desarrolladoEl modelo desarrollado toma como incg-

nitas las posiciones de las grifas y formula lasecuaciones de equilibrio en cada una de ellasen funcin de su posicin. En la Figura 3 sepueden ver todas las variables consideradas yque son expresadas en funcin de las posicio-nes de las grifas. El resultado es un sistema deecuaciones no lineal que a partir de los valo-res de geometra de la catenaria (longitud y

Un modelo para el clculo de catenarias ferroviarias 51

Figura 2. Elementos habituales en una catenaria.

Hilo de Contacto

Pndola en Y

Hilo Sustentador

Falso sustentadorGrifa superior

Brazo de Atirantado

Pndola Grifa inferior

Amarre del Falso sustentador

Figura 3. Fuerzas consideradas en el equilibrio.

Peso sustentadorpor la izquierda

Peso sustentadorpor la derecha

Tensin sustentador por la izquierda

Tensin superior de la pndolaTensin sustentador por la derecha

Peso grifa superior

Peso grifa inferior

Peso de la pndola

Tensin hilo de contactopor la derecha

Peso hilo de contacto por la derechaPeso hilo de

contacto por la izquierda

Tensin inferior de la pndola

Tensin hilo de contacto por la derecha

nmero de vanos, posicin de las pndolas,etc.), tensiones y pesos de los distintos ele-mentos, determina las posiciones finales de las

grifas y por tanto la longitud de las pndolas,imponiendo unas condiciones determinadasen las posiciones de las grifas del hilo de con-tacto (horizontal, parbola vano a vano, etc.).

Comparativa con CRU 220 y otrosejemplos

A continuacin se presentan los resultadosobtenidos para el dimensionamiento de unacatenaria con una geometra CRU 220 cuyascaractersticas (aparecen en la Tabla 1).

Las longitudes de las pndola obtenidas conel modelo pueden verse en la Tabla 2.

Un aspecto a destacar de stos resultadoses que el valor de las longitudes de las pndo-las no es igual en el primer y ltimo vano queen los vanos centrales. Por lo tanto las dimen-siones del pendolado no son iguales calculan-do vano a vano, como hacen los mtodos tra-dicionales, que calculando un cantn entero.

A continuacin se comparan los valoresobtenidos, con los datos de longitud de laspndolas calculados mediante dos mtodostradicionales de clculo de pendolado vano avano, que emplean para su formulacin lasecuaciones de equilibrio de momentos en elapoyo y realizan la aproximacin de la curvacatenaria por una parbola. El segundo mtodorealiza adems diversas iteraciones para teneren cuenta las variaciones el peso debidas a lamodificacin en la longitud de las pndolas porlo que se supone que es ms exacto que elprimero. Para mas detalles ver la referencia 1.Para la comparativa se han elegido las longitudesen los vanos centrales del cantn.As mismo, sepresentan los resultados en el caso de emplearun solo vano para calcular el pendolado.

Como se observa en la Tabla 3, existen pe-queas diferencias entre las longitudes calcula-das por los distintos mtodos. Una de las cau-sas de estas diferencias es la consideracin,por parte de los mtodos tradicionales, del hi-lo de contacto exclusivamente como un pesomuerto, cuando realmente la tensin de stedisminuye el peso muerto del mismo por loque tiene un efecto inmediato sobre la longi-tud de las pndolas. El cuadro adems mues-tra la gran diferencia que existe entre realizarel clculo vano a vano o de todo el cantn.

De cara a mostrar la versatilidad del mode-lo se presentan diversos resultados de casosde cantones ficticios con diversas condicionessobre el hilo de contacto y los apoyos. As enla Figura 5 se muestra un cantn que presen-ta una condicin de horizontalidad en el hilode contacto, los apoyos se encuentran a dife-rentes alturas en cada vano y el pendolado

52 anales de mecnica y electricidad / marzo-abril 2004

Longitud del vano 52 m

Peso lineal del sustentador 1.414 kg/m

Peso lineal del hilo de contacto 1.07 kg/m

Nmero de hilos de contacto 2

Tensin mecnica en el sustentador 1.620 kg

Tensin mecnica en hilo de contacto 1.530 kg

Flecha inicial en el centro del vano 20 cm

Grifa sustentador 120 g

Grifa hilo de contacto 350 g

Peso lineal de la pndola 0.1 kg/m

Tabla 1. Datos CRU 220

Pndola (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cantn 1 1083 938 825 744 693 676 690 737 815 923 1065

Cantn 2 1062 918 808 729 680 665 680 729 808 918 1062

Cantn 3 1062 918 808 729 680 665 680 729 808 918 1062

Cantn 4 1065 923 815 737 690 676 693 744 825 938 1083

Tabla 2. Pendolado de una CRU 220

Figura 4. Pendolado de una CRU220

Nmero Equilibrio Equilibrio Modelo Modelo de momentos momentos propuesto propuesto

pndola modificado (varios vanos) (un vano)

1 1081 1084 1062 1083

2 935 939 918 938

3 823 827 808 825

4 743 746 729 744

5 695 698 680 693

6 681 681 665 676

7 695 698 680 693

8 743 746 729 744

9 823 827 808 825

10 935 939 918 938

11 1081 1084 1062 1083

Tabla 3. Comparativa CRU 220

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

tambin es diferente en cada vano. En la Figu-ra 6 se muestra un cantn de cuatro vanosen el que se a impuesto que el hilo de con-tacto describa una parbola en todo el can-tn; y por ltimo, en la Figura 7 se ha simula-do un cantn de 8 vanos que presenta unapendiente del 20 %.

Catenarias con falso sustentadorUn elemento esencial hoy en da en las ca-

tenarias para trenes de alta velocidad es elfalso sustentador (ver Figura 2). A continua-cin se presenta un ejemplo dnde se anali-za la influencia de la existencia de falso sus-tentador en el compor tamiento de lacatenaria y su importancia cuando se trabajaen alta velocidad.

Los datos de la catenaria analizada son losmismos que los de la CRU 220 pero con la laflecha inicial nula (ver Figura 8). El falso sus-tentador esta amarrado a 8 m y tiene unatensin de 500 kg. En la Tabla 4 se presentanlos valores de las longitudes de las pndolaspara esta catenaria con y sin falso sustenta-dor as como la diferencia entre ellas.

A la vista de los resultados cabe comentarque las pndolas de los vanos con falso susten-tador son ms largas que las de la catenariaque no los tiene. Este resultado coincide con loque cabe esperar ya que el cable sustentadordel vano con Y tiene una posicin ms elevadaque el del vano que carece de este elemento.

La diferencia negativa de la primera pndo-la es debida a que la posicin horizontal esdiferente en ambas pndolas y por lo tantono son comparables. Para entender mejor elefecto del falso sustentador sobre el com-portamiento de la catenaria es necesario in-troducir un nuevo concepto: la flexibilidad oelasticidad de una catenaria.

Aplicacin al clculo de la elasticidad de catenarias

Como una aplicacin mas avanzada, el mo-delo, puede tambin emplearse para deter-minar la denominada elasticidad de la catena-ria. La elasticidad de una catenaria se definecomo la elevacin que experimenta la cate-naria cuando se le aplica una fuerza verticalhacia arriba de 1N. La elasticidad no es cons-tante a lo largo de todo el vano siendo nor-malmente mxima en el centro del mismo.Se trata adems de un parmetro altamenteno lineal, no slo por el propio comporta-miento de la catenaria, sino tambin por elposible pandeo de las pndolas, por lo que sedebe calcular para distintos valores de fuerza

Un modelo para el clculo de catenarias ferroviarias 53

Figura 5. Cantn con apoyos a distinta altura e hilo de contacto horizontal

Figura 6. Cantn con condicin parablica sobre el hilo de contacto

Figura 7. Cantn con hilo de contacto en pendiente del 20 %

Figura 8. Ejemplo de catenaria con falso sustentador

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0

-0,50 50 100 150 200 250 300

1101009080706050403020100

0 48 96 144 192 240 288 336 384

1,5

1

0,5

0

-0,5

-10 48 96 144 192

1,5

1

0,5

00 64 128 192 256 320 384 448 512 576

de empuje ya que la extrapolacin de resul-tados es inviable. Normalmente el valor quese emplea para comparar distintas catenariases de 100 N. Este parmetro pretende daruna idea de la bondad del diseo ante el pa-so del pantgrafo, sin embargo, debido a queno es constante en todo el vano no resultasuficiente y se hace necesario definir el llama-do coeficiente de variacin que da una ideade la regularidad del parmetro de elasticidada lo largo del vano. Conviene recordar que la

catenaria ideal presenta una flexibilidad cons-tante en todos sus puntos. De esta forma, lafuerza de contacto entre la catenaria y elpantgrafo resultara mucho ms homogneaobtenindose una mejor captacin de ener-ga y un menor desgaste en la catenaria.

En la Figura 9 se muestra el efecto que lacontraflecha tiene sobre la trayectoria del pan-tgrafo. Como se puede ver la introduccinde contraflecha disminuye el recorrido delmismo. La existencia de falso sustentador, tieneun efecto mucho mas acusado. En la Figura 10,se compara una catenaria de Alta Velocidadcon y sin falso sustentador. Como se puedeapreciar la curva de elasticidad del cantn confalso sustentador (en color rojo) es mas suave,especialmente en la zona de los apoyos, por lotanto el pantgrafo vera una catenaria mashomognea lo que repercute, como se ha co-mentado anteriormente, en un menor desgas-te, una mejor captacin de la energa y la posi-bilidad de una velocidad de circulacin mayor.

ConclusionesEn este artculo se ha hecho una breve des-

cripcin cualitativa de un modelo mecnico decatenaria desarrollado por los autores. Actual-mente el modelo se est empleando con re-sultados muy satisfactorios para dimensiona-miento de pndolas, clculo de flexibilidades,anlisis de sensibilidad y la obtencin de unamalla de elementos finitos para la resolucindel problema de la interaccin dinmica entrela catenaria y el pantgrafo. Con relacin a es-te ltimo punto el empleo de este modelopermite reducir el tiempo de clculo de la ge-ometra en equilibrio de algunos minutos aunos pocos segundos. El modelo adems pue-de ser extendido a otro tipo de configuracio-nes como puentes colgantes o lneas de trans-porte de energa elctrica.

AgradecimientosLos resultados que se presentan en este

ar tculo se enmarcan dentro del proyectoOptimizacin del diseo elctrico y mecni-co de catenarias de trenes de alta velocidadque los autores estn realizando en la actua-lidad con financiacin parcial del Ministeriode Fomento.

54 anales de mecnica y electricidad / marzo-abril 2004

Figura 9. Comparativa del efecto de la contraflecha en un CRU220

Figura 10. Comparativa del efecto de la tensin en el falso sustentador

Pndola (mm)

Vano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 Con Y 1040 970 896 843 811 799 809 840 891 964 1032

Sin Y 1083 917 788 695 639 619 635 688 777 903 1065

Diferen. -43 53 108 148 172 181 174 152 114 61 -33

2 Con Y 1022 961 888 835 804 793 804 835 888 961 1022

Sin Y 1062 898 771 680 625 607 625 680 771 898 1062

Diferen. -40 63 117 155 179 186 179 155 117 63 -40

3 Con Y 1022 961 888 835 804 793 804 835 888 961 1022

Sin Y 1062 898 771 680 625 607 625 680 771 898 1062

Diferen. -40 63 117 155 179 186 179 155 117 63 -40

4 Con Y 1024 964 891 840 809 799 811 843 896 970 1032

Sin Y 1065 903 777 688 635 619 639 695 788 918 1083

Diferen. -41 61 114 152 174 181 172 147 108 53 -52

Tabla 4. Comparativa de pendolados con y sin falso sustentador.

J. Montesinos y M. Carmona. Tecnologa de la catenaria.Mantenimiento de Infraestructura RENFE. 2002.

C.Asenjo. Modelos para el clculo mecnico de catenarias fe-rroviarias. Proyecto fin de carrera en la ETSI-ICAI. 2003.

Bibliografia

0,45

0,4

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

00 52 104 156 208

Con contraflecha Sin contraflecha

Sin falso sustentador (315Kg) Con falso sustentador

Tray

ecto

ria

pant

gra

fo (

mm

)

0,45

0,4

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

00 64 128 192 256

Flex

ibili

dad

(mm

/N)