Plasticidad - Retineo · 1.1- HIPÓTESIS FUNDAMENTALES DE LA PLASTICIDAD En Resistencia de...

Plasticidad Jorge Perelli Botello

PLASTICIDAD

Autor: Jorge Perelli Botello


Este documento es una recopilación de la teoría aplicada a la resolución de problemas de Plasticidad.

No tiene, por tanto, el rigor teórico que se puede encontrar en cualquiera de los conocidos y numerosos libros

que tratan de este asunto, ya que su objeto es constituir una guía de la teoría más importante e indispensable

para poder resolver los problemas más habituales de la materia.

Espero que sea interesante para todos los que lo usen y ruego que sean generosos en perdonar los errores,

que a buen seguro existen.


ÍNDICE

CAPÍTULO 1- CONCEPTOS E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES.

1.1- Hipótesis fundamentales.

1.2- Material plástico.

1.3- Ecuación constitutiva.

1.4- Ley de Hooke.

1.5- Sólido elastoplástico.

1.6- Sólido elástico perfectamente plástico.

CAPÍTULO 2- CABLES.

2.1- Ecuaciones a utilizar.

CAPÍTULO 3- FLEXIÓN PURA.

3.1- Conceptos fundamentales.

3.2- Régimen elástico.

3.3- Régimen elastoplástico.

3.4- Rotura.

3.5- Factor de forma.

3.6- Curvatura de una pieza.

3.7- Diagrama momento-curvatura.

3.8- Cálculo de movimientos.

CAPÍTULO 4- FLEXIÓN COMPUESTA.


4.2- Régimen elástico.

4.3- Régimen elastoplástico.

4.4- Rotura. Diagrama de interacción.

4.5- Comportamiento de secciones.


CAPÍTULO 5- FLEXIÓN SIMPLE.


5.2- Criterio de plastificación.

5.3- Distribución de tensiones.

5.4- Diagrama de interacción.

CAPÍTULO 6- MECANISMOS DE COLAPSO.

6.1- Introducción.

6.2- Tipos de rotura.

6.3- Método paso a paso.

6.4- Principio de los trabajos virtuales.


CAPÍTULO 1- CONCEPTOS E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES

1.1- HIPÓTESIS FUNDAMENTALES DE LA PLASTICIDAD

En Resistencia de Materiales se suponen pequeños movimientos y deformaciones, por lo que se trabaja con

las cargas aplicadas en la estructura sin deformar. Además, se supone que el material tiene una ley tensión-

deformación lineal en carga y descarga. Debido a lo anterior, en Resistencia de Materiales se admite el

Principio de superposición de cargas.

Cuando alguna de las hipótesis anteriores no se cumple, el problema elástico se vuelve no lineal, existiendo

varios tipos de no linealidad:

No linealidad geométrica: Grandes movimientos o deformaciones.

No linealidad del material: Ley tensión-deformación no lineal.

En Plasticidad se consideran las siguientes hipótesis:

1. No linealidad del material.

2. Deformaciones y movimientos pequeños, que no alteran la forma de la estructura.

3. Se acepta la hipótesis de Navier: las secciones al deformarse permanecen planas.

4. No se acepta el Principio de superposición. Esto supone que hay que tener en cuenta todas las cargas

y esfuerzos simultáneamente.


1.2- MATERIAL PLÁSTICO

Es aquél que no es elástico, porque sus deformaciones no son totalmente reversibles a partir de un cierto nivel

de tensiones (tensión de plastificación o fluencia).

La ley tensión-deformación no es igual en el proceso de carga que en el de descarga, al pasar de la tensión de

plastificación.

Por lo tanto, se producirá lo siguiente:

Estructuras isostáticas:

Deformaciones remanentes tras la descarga.

Tensiones residuales tras la descarga, si hay flexión.

Estructuras hiperestáticas:

Deformaciones remanentes tras la descarga.

Tensiones residuales tras la descarga, si hay flexión.

Esfuerzos y reacciones remanentes tras la descarga.


1.3- ECUACIÓN CONSTITUTIVA

Es la ecuación que relaciona tensiones y deformaciones para un material.

N N

La expresión de la deformación unitaria longitudinal es:

Y las ecuaciones constitutivas serán:

LL

)()(

gf


1.4- LEY DE HOOKE

Relaciona linealmente tensiones y deformaciones.

tg = E

La expresión analítica es:

Donde:

σ : Tensión (MPa o kN/m2).

E : Módulo de deformación longitudinal del material (MPa o kN/m2).

ε : Deformación unitaria longitudinal (adimensional).

E


1.5- SÓLIDO ELASTOPLÁSTICO

Es aquél que tiene una ley tensión-deformación de la siguiente manera:

A

B

C

D

E

p

e

r

O p

En esta ley se distinguen los siguientes tramos:

OA: Comportamiento proporcional. Cumple la Ley de Hooke.

OAB: Comportamiento elástico. Recupera deformaciones en la descarga.

BC: Escalón de fluencia.

CD: Endurecimiento por deformación.

E: Rotura del material.

Y los siguientes valores:

εp : Deformación de fluencia.

σp : Límite de proporcionalidad.

σe : Límite elástico.

σr : Tensión de rotura.

En la rama elástica se recupera toda la deformación con la descarga. En la rama plástica, queda una

deformación remanente.


1.6- SÓLIDO ELÁSTICO PERFECTAMENTE PLÁSTICO

Es aquél que se ajusta al siguiente diagrama tensión-deformación:

pt

pt r

pc

pc

En este tipo de material, se consideran las ramas plásticas como horizontales.

La ductilidad es la capacidad que tiene el material para deformarse en el escalón plástico antes de la rotura.

p

rDUCTILIDAD


CAPÍTULO 2- CABLES

2.1- ECUACIONES A UTILIZAR

En los problemas de cables se supone que el esfuerzo axil está aplicado en el centro de gravedad de las

secciones, lo que provoca tensiones uniformes en las piezas.

Las ecuaciones que se utilizan son las siguientes:

ECUACIÓN CONSTITUTIVA DEL MATERIAL:

Son diferentes en la rama elástica y en la plástica.

ECUACIONES CINEMÁTICAS:

ECUACIONES DE EQUIVALENCIA ESTÁTICA:

Son siempre válidas.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO:

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE MOVIMIENTOS:

Establecen las relaciones de compatibilidad en la estructura.

)( f

i

ii L

L

i

ii

T

000

MVH


CAPÍTULO 3- FLEXIÓN PURA

3.1- CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La flexión pura se produce cuando sólo existe momento flector (por ejemplo, en centro de luz de vigas con

sustentación y cargas simétricas, sin axiles ni cargas puntuales en el eje de simetría).

MG

y

Las expresiones de los esfuerzos son:

(suma de volúmenes de tensiones = 0)

Se supone que se cumple siempre la hipótesis de Navier-Bernouilli (las secciones planas y perpendiculares a

la directriz antes de actuar los esfuerzos, permanecen planas y perpendiculares a la directriz después de

deformarse).

dyN )(0

dyyM )(


3.2- RÉGIMEN ELÁSTICO

En régimen elástico, son válidas todas las fórmulas de Resistencia de Materiales.

y

s

i

s

f . n .

s E

i i E

La fórmula de Navier, con los ejes coincidentes en el centro de simetría, es:

La fibra neutra es la que tiene deformación nula. En flexión pura, en régimen elástico, la fibra neutra coincide

siempre con la fibra cobaricéntrica.

Se pasa a régimen elastoplástico cuando la fibra más tensionada ymax (la de mayor distancia al c.d.g.) alcance

la deformación de fluencia (εp). En ese instante, el momento se denomina momento elástico (Me).

En secciones rectangulares, pehbM

6

2

zIyMy )(

p

p

maxyI

M zpe


3.3- RÉGIMEN ELASTOPLÁSTICO

Cuando el momento actuante es superior al momento elástico, las fibras extremas no pueden aumentar su

tensión, por lo que son las interiores las que deben ir incrementándola. Sigue cumpliéndose la hipótesis de

Navier-Bernouilli (secciones planas y perpendiculares a la directriz antes de la deformación, permanecen

planas y perpendiculares a la directriz después de la deformación).

p

p

p

p

f . n .

p

p

s p

i p

En cambio, ya no tiene validez la fórmula de Navier: zIyMy )(

Secciones simplemente simétricas: son las que tienen un único eje de simetría, perpendicular al de flexión (por ejemplo, secciones en T). En régimen elastoplástico, en flexión pura, la fibra neutra no coincide con la

cobaricéntrica.

Secciones doblemente simétricas: son las que tienen, además del eje de simetría perpendicular al de flexión, el propio eje de flexión como eje de simetría (por ejemplo, secciones en doble T, rectangulares y

circulares). En régimen elastoplástico, en flexión pura, la fibra neutra coincide con la cobaricéntrica.


3.4- ROTURA

La rotura se produce cuando la fibra más tensionada alcanza εr. Si el material tiene una ductilidad finita:

p

p

p

p

f . n .

p

p

r

r

M r

p

p r

En caso de ductilidad infinita:

p

p

p

p

M p

Cuando existe curvatura infinita, como en el caso anterior, al momento de rotura se le denomina plástico. En

secciones rectangulares, el momento plástico es pphbM

4

2


3.5- FACTOR DE FORMA

Es el cociente entre el momento plástico y el momento elástico.

Es un valor adimensional, que depende de la geometría de la sección. Da una idea de si la pieza trabaja mejor

en régimen elástico (si el factor de forma es pequeño) o en régimen plástico (si el factor de forma es grande).

En secciones rectangulares: λ = 1.50

e

p

MM


3.6- CURVATURA DE UNA PIEZA

Es la pendiente del plano de deformaciones. La curvatura de una pieza se puede calcular siempre usando la

siguiente fórmula:

Donde: σp : Tensión de plastificación.

εp : Alargamiento de plastificación.

ye: distancia de la primera fibra plastificada a la fibra neutra.

E: Módulo de deformación longitudinal.

Χ: Curvatura.

ye

p

p

ye

p

p

f . n .

En régimen elástico:

En régimen elastoplástico o plástico: IE

M

e

p

e

p

yEy

IEM

yIEyM

yEy


3.7- DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA

El diagrama momento-curvatura de una pieza define su comportamiento resistente. Es, de alguna manera, la

generalización a la rebanada del comportamiento tensión-deformación del material.

Se utiliza también para calcular los movimientos de la pieza más allá del régimen elástico.

M

MM

M

e

e

r

p

1

EI

La parte elástica obedece a la ecuación IE

M


3.8- CÁLCULO DE MOVIMIENTOS

En Plasticidad sólo se suelen calcular movimientos en vigas isostáticas. Se utilizan las fórmulas de Bresse:

B

AAB dss)(

B

AAABAAB dsxxsxxvv )()()(

Lo mejor es utilizar el siguiente procedimiento:

1. Dibujar la ley de momentos flectores.

2. Transformar la ley de momentos flectores en ley de curvaturas.

3. Integrar numéricamente las fórmulas de Bresse.


CAPÍTULO 4- FLEXIÓN COMPUESTA


La flexión compuesta se produce cuando existe momento flector y axil.

MG

y N

El axil y el momento se suponen siempre aplicados en el centro de gravedad.

En flexión compuesta, se suelen tomar momentos con respecto a la fibra cobaricéntrica, y no sobre la fibra

neutra. En caso de hacerse esto último, habría que tener en cuenta los momentos provocados por el axil.

Se supone que se cumple siempre la hipótesis de Navier-Bernouilli (las secciones planas y perpendiculares a

la directriz antes de actuar los esfuerzos, permanecen planas y perpendiculares a la directriz después de

deformarse).

dyN )(

dyyM )(


4.2- RÉGIMEN ELÁSTICO

En régimen elástico, es válida la fórmula de Navier.

La distribución de tensiones se suele descomponer, para que sea más sencilla de analizar.

s

i

f . n .

p

p

G NM

G MG N

IyMNy

)(


4.3- RÉGIMEN ELASTOPLÁSTICO Se pasa a régimen elastoplástico cuando la fibra más deformada alcanza la tensión de plastificación.

Hay tres posibilidades.

s

i

f . n .

p

p pi

f . n .

ps

f . n .

pi

s p


4.4- ROTURA. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN

En flexión compuesta, se suele suponer ductilidad infinita.

Se tienen infinitos pares de esfuerzos que agotan la sección. Su representación gráfica constituye el

denominado diagrama de interacción.

M

Mp

pN

Na

b

SECCIONES NO BISIMÉTRICAS

SECCIONES BISIMÉTRICAS

Coeficiente de seguridad:

Secciones bisimétricas: El máximo valor del momento es Mp, es decir, el mismo que tiene en ausencia de

axil.

Secciones no bisimétricas: Una cierta cantidad de axil permite llegar a un momento mayor que Mp.

Mientras que en flexión pura el máximo momento está situando la fibra neutra en la fibra media de la

sección, en flexión compuesta el máximo momento se produce haciendo coincidir la fibra neutra con la

baricéntrica. Para resistir este momento, se precisa un cierto axil.

aba


4.5- COMPORTAMIENTO DE SECCIONES

SECCIONES DOBLEMENTE SIMÉTRICAS: En flexión pura (M) la fibra neutra coincide siempre con la fibra cobaricéntrica. En flexión compuesta (M+N) el máximo valor del momento flector es Mp, es decir, el mismo que en flexión pura.

M

M p

pN

N

SECCIONES SIMPLEMENTE SIMÉTRICAS:

Flexión pura (M):

En régimen elástico, la fibra neutra está en la fibra cobaricéntrica.

En régimen elastoplástico, la fibra neutra no coincide con la cobaricéntrica.

En régimen plástico, la fibra neutra coincide con la fibra media de la sección (la que

divide la sección en dos partes de igual área).

Flexión compuesta (M+N):

El máximo momento flector admisible por la sección es M > Mp, y la fibra neutra

coincidirá en este caso con la fibra cobaricéntrica.

M

M p

pN

N


CAPÍTULO 5- FLEXIÓN SIMPLE


La flexión simple se produce cuando existe momento flector y cortante. El momento flector produce tensiones

normales y el esfuerzo cortante tensiones tangenciales.

En secciones sometidas a cortante puro, que suelen ser las de los apoyos, se tiene:

QGy

(y)

Y las tensiones tangenciales se distribuyen según la fórmula de Colignon:

Donde:

Q: Cortante.

Mest: Momento estático, con respecto al centro de gravedad, de la zona exterior a la fibra

analizada.

I: Momento de inercia de la sección.

b: Ancho de la sección en la fibra analizada.

dyQ )(

bIMQ

y est

)(


5.2- CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN

El criterio de plastificación indica cómo se reparten las tensiones normales y tangenciales en una sección.

En general suele ser de la siguiente manera:

CRITERIO DE VON MISES: k = 3

CRITERIO DE TRESCA: k = 4

En caso de que no existan tensiones normales: kp

p

222pk


5.3- DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES

En general, la tensión tangencial máxima se produce en la fibra cobaricéntrica, lo que sucede en las secciones

más típicas (rectangular, T, doble T, circular). En las secciones triangulares se producen en la fibra central.

El criterio general es que sólo pueden existir tensiones tangenciales en las fibras que no hayan plastificado por

tensiones normales, y viceversa. Por tanto, el cortante sólo se repartirá en la zona de la sección que

permanece elástica después de aplicar el momento flector y el axil. En este caso, se usa la Fórmula de

Colignon en la parte no plastificada, como si las fibras plastificadas hubieran desaparecido.

Q

M > Me

p

p

En general, es preciso comprobar, con el criterio de plastificación dado, las fibras extremas, la fibra

cobaricéntrica y el resto de fibras más comprometidas (por ejemplo, las fibras de cambio de ancho en las

secciones en T y en doble T).

Aun existiendo en una misma sección algunas fibras plastificadas por momento flector y otras por esfuerzo

cortante, ello no significa que no existan fibras sin plastificar.


5.4- DIAGRAMA DE INTERACCIÓN

Se puede construir un diagrama con parejas de esfuerzos M-Q que agotan la sección. En general, el

agotamiento se produce sin plastificación de todas las fibras de la sección (como ocurría en flexión

compuesta). En una sección en T o en doble T, las alas suelen plastificar por momento flector y el alma por

cortante, pero entre ellas puede haber fibras sin plastificar.

El aspecto típico de un diagrama de interacción M-Q es:

M

Mp

pQ

Q

M'

En una sección rectangular: eMM ' 2

311

pp QQ

MM

con: pphbM

4

2

k

hbQ pp

32

En general, obtener un diagrama de interacción M-Q de forma analítica es inabordable, por lo que se suelen

tantear los valores más significativos (momento plástico, cortante que acompaña al momento que plastifica las

alas, cortante que acompaña al momento elástico y momento que acompaña al cortante plástico). En cada una

de estas situaciones, es preciso comprobar que ninguna fibra viola el criterio de plastificación, por lo que se

comprueban las habituales (extremas, cobaricéntrica y cambio de ancho).


CAPÍTULO 6- MECANISMOS DE COLAPSO

6.1- INTRODUCCIÓN. Cuando una sección alcanza su momento plástico (Mp), se convierte en una rótula plástica. Las rótulas

permiten el giro y soportan un momento Mp.

p

M

X

M p

X

pM M p M p M p

En el momento del colapso se desprecian las deformaciones elásticas frente a las plásticas. También se suele

despreciar la influencia de los esfuerzos cortantes y axiles en la plastificación. Se trabaja con un diagrama

momento-curvatura bilineal.

Las rótulas aparecen, por tanto, en las secciones de momento flector máximo que, en general, son:

Empotramientos. Apoyos intermedios. En secciones de aplicación de cargas puntuales. Nudos. En alguna sección donde exista una carga repartida.

Cuando existe una carga repartida, el trabajo se obtiene por el producto de la carga por el área desplazada.

L L L

ApdsypydspdWW

ydspdW

A = Área que se desplaza por la carga


6.2- TIPOS DE ROTURA

En general, el número de rótulas necesario para colapsar una estructura es: Pueden darse varios tipos de mecanismos: Rotura completa: Se produce cuando se cumple estrictamente la regla anterior.

GH = 3

Numero rótulas = 4

Rotura local: Cuando colapsa sólo una parte de la estructura, con un número de rótulas inferior al de la rotura completa.

GH = 3

Numero rótulas = 2

Rotura hipercompleta: Cuando se forman más rótulas de las necesarias para tener un mecanismos.

GH = 3

Numero rótulas = 6

NÚMERO DE RÓTULAS = GH + 1


6.3- MÉTODO PASO A PASO El procedimiento de obtención de mecanismos de rotura paso a paso consiste en calcular la ley de momentos

flectores como en Resistencia de Materiales, hasta que aparezca una sección cuyo valor sea Mp.

En el siguiente paso, esa sección tendrá una rótula plástica, y se busca la sección nueva en que se llega a Mp.

Se procede así hasta que se tenga un mecanismo.

Ejemplo: Obtener el mecanismo de colapso de la siguiente estructura.

A

P

B

C

Primer paso: Se halla el valor de P (P1) que forma la primera rótula plástica. La ley de momentos flectores es:

A

B C

M =3 P L

16A1

5 P LB

M = 132

Por tanto, como MA > MB, la primera rótula aparecerá en A.

163 1 LPMM PA

65 p

B

MM

Segundo paso: Ahora la estructura ha cambiado, ya que se ha formado una rótula plástica en A. Se procede

por incrementos de carga.

LM

P p

316

1


A B C

P LB

M = 24

2

P 2

La segunda rótula aparecerá en B, ya que es donde el momento suma de los dos estados es mayor.

pp

BBB MLPMMMM

465 221

Y, por tanto: LM

PPP p

6

21

La ley de momentos final se obtiene superponiendo las de los dos estados:

A

B C

pM

M p

Como ya se ha llegado a un mecanismo, la carga de rotura es:

LM

P p

32

2

LM

P pCRÍTICA

6


6.4- PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El principio de los trabajos virtuales establece que, en un mecanismo, la energía potencial liberada por las

cargas es igual a la energía elástica de deformación de las rótulas.

Con este método se sabe qué pasa en el momento del colapso, pero no cómo se comporta hasta entonces. Se

trabaja con un diagrama momento-curvatura de las secciones vertical en el tramo elástico y horizontal en el

plástico.

M

Mp

Las reglas de los movimientos virtuales son:

Debe haber trabajo positivo de las cargas exteriores. Puede haber alguna con trabajo negativo,

pero la suma de los trabajos de todas las cargas debe ser mayor de cero.

Debe haber giro en las rótulas plásticas.

Entre rótulas plásticas hay tramos rectos. Esto es así porque se desprecian las deformaciones

elásticas frente a las plásticas.

TEOREMA DEL MÍNIMO (O DEL MÁXIMO)

De todos los mecanismos de colapso posibles, el correcto es el de menor carga crítica.

plastext UW


NÚMERO DE POSIBLES MECANISMOS Si existen “m” posibles rótulas plásticas y “n” es el número necesario de rótulas para tener una rotura completa

(GH + 1), el número de posibles mecanismos completos es:

COMPROBACIONES A REALIZAR Una vez obtenida la carga crítica hay que comprobar que, en el mecanismo de colapso verdadero, no se

sobrepasa en ninguna sección el momento plástico Mp.

REGLAS IMPORTANTES Las reglas más importantes para aplicar correctamente el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) son las

siguientes:

Si existen en el mecanismo de rotura cables plastificados, a la energía elástica de deformación

de las rótulas hay que añadirle ΣTp ·u.

En los mecanismos es preciso que las cargas exteriores liberen energía potencial, y cuanto más

energía potencial se libere más probable es que sea el verdadero.

Si una sección plastifica debe deformarse. A la inversa, si se deforma es que ha plastificado.

En secciones donde actúa un momento exterior, hay un salto en la ley de momentos flectores.

En ellas hay dudas del lugar donde se formará la rótula plástica, y dependiendo de ello el

momento exterior liberará o no energía potencial.

Si al obtener la ley de momentos flectores en un mecanismo de colapso, no aparecen valores

superiores en valor absoluto al momento plástico Mp, el mecanismo supuesto es el correcto.

)!(!!

, nmnmC nm

Plasticidad - Retineo · 1.1- HIPÓTESIS FUNDAMENTALES DE LA PLASTICIDAD En Resistencia de...

Documents

Transcript of Plasticidad - Retineo · 1.1- HIPÓTESIS FUNDAMENTALES DE LA PLASTICIDAD En Resistencia de...