Porcentajes y Proporción Compuesta

8/9/2019 Porcentajes y Proporcin Compuesta

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Tutorial

MT-m2

Matemtica 2006Tutorial Nivel Medio

Porcentajes y proporcin compuesta

Mat

em

tica

1

23

45

678

9012345678

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2CEPECH Preuniversitario, Edicin 2006

Matem

tica

2006 Tutorial

Porcentajes y Proporcin compuesta

Marco Terico

1. Porcentajes: corresponde siempre a una proporcin directa. Se representa como:

a% =a

100

Explicaremos un mtodo prctico para resolver problemas de porcentaje.Siempre lo que va a continuacin de la palabra de corresponde al 100%.Por lo tanto, independiente al tipo de ejercicio, lo aplicamos utilizando proporcin directa.

Ejemplos:

a) Calcular el 20% de 80.

En este caso lo que va despus de la palabra de es 80, por lo tanto, corresponde al 100%y 20% es porcentaje, el espacio libre corresponde a x.

Aplicando proporcin directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje.

Cantidad %80 100 (Multiplicamos cruzado)x 20

100

x =80

20

(Despejando x) x =

80 20

100(Simplificando)

x = 16 El 20% de 80 es 16

Observacin: a% de b = b% de a

b) Qu porcentaje es 30 de 40?

En este caso lo que va despus de la palabra de es 40, por lo tanto, corresponde al 100%y 30 es cantidad, el espacio libre corresponde a x.


Cantidad % 40 100 (Multiplicamos cruzado)

30 x


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M

t

t i

2 0 0 6

40x = 30100 (Despejando x)

x =30 100

40(Simplificando)

x = 75% El 75% de 40 es 30

c) De qu nmero,12 es el 40%?

En este caso lo que va despus de la palabra de es qu nmero, por lo tanto, xcorresponde al 100% , 12 es cantidad y 40 es porcentaje.


Cantidad % x 100 (Multiplicamos cruzado)

12 4040x = 12 100 (Despejando x)

x =12 100

40(Simplificando)

x = 30 30 es el nmero en que 12 es el 40%

2. Porcentajes sucesivos:corresponden a: p% del q% de a

Se resuelve transformando los porcentajes a fraccin y la palabra de por multiplicacin.

Ejemplo:

Calcular el 20% del 60% del 75% de 25

20

100

60

100

75

100 25 (Simplificando y multiplicando fracciones)

1

5

3

5

3

4 25 =

9

4

El 20% del 60% del 75% de 25 es 94

3. Proporcin compuesta: es aquella en que intervienen ms de dos variables.

Ejemplo: 5 operarios producen en 7 das 400 unidades de un producto. Cuntas unidades delmismo producto pueden producir 14 operarios en 9 das?


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2006 Tutorial

Nuestras variables son: operarios, das y unidades.

Explicaremos un mtodo muy til para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incgnita almedio, que en este caso es unidades.

Operarios Unidades Das (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable5 400 7 con la incgnita, que en este caso es unidades)

14 x 9 (Operarios y unidades son directamente proporcionales,unidades y das son tambin directamenteproporcionales)(Siguiendo el orden de las flechas)

5x7 = 14 4009 (Despejando x)

x =14 400 9

5 7

(Simplificando)

x = 1440 1440 unidades pueden producir 14 operarios en 9 das

4. Modelo de ejercicio: explicaremos cmo enfrentar ejercicios del tipo:

Pedro trabajando solo demora 4 horas en pintar una pieza, Juan trabajando solo demora 6 horasen pintar la misma pieza. Cunto demorarn si lo hacen juntos?

Haremos el anlisis en base a 1 hora:

Pedro demora 4 horas, en 1 hora har1

4del trabajo.

Juan demora 6 horas, en 1 hora har1

6del trabajo.

Si trabajan juntos demoran x horas, en 1 hora harn 1x

del trabajo.

1

4+

1

6=

1

x/ 12x (Multiplicando por el mnimo comn mltiplo entre los

denominadores, 12x)

12x 1

4 + 12x1

6 = 12x1

x (Simplificando y multiplicando)

3x + 2x = 12 (Reduciendo trminos semejantes)


x = 125

(Dividiendo)

x = 2,4 Juntos demorarn 2,4 horas



5

M

t

t i

2 0 0 6

Ejercicios

1. Calcular el 33,3 % del 75% de 60

A) 9

B) 10C) 15D) 45E) Ninguno de los valores anteriores

2. En un curso de 35 alumnos, faltaron a clases 14 de ellos. Qu porcentaje asisti?

A) 0,40%B) 0,60%C) 40%

D) 60%E) 75%

3. Marcela compr un pantaln con un 20% de descuento y pag por l $12.000. Cul era elprecio del pantaln antes del descuento?

A) $ 9.600B) $ 15.000C) $ 18.000D) $ 20.000

E) $ 20.2004. Un agente de seguros recibe $ 350.000 de sueldo, ms un 15% de comisin por las ventas.

Cunto debe vender para ganar $ 800.000?

A) $ 120.000B) $ 402.500C) $ 1.150.000D) $ 2.750.000E) $ 3.000.000

5. Se tiene un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 10cm y 30cm. En qu porcentajevara su rea si los catetos aumentan en un 20%?

A) Aumenta en un 20%B) Aumenta en un 30%C) Aumenta en un 44%D) Aumenta en un 60%E) Ninguno de ellos


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6. Si el precio de un artculo con IVA incluido es $ 35.700. Cul es el precio del artculo sinIVA, considerando que el IVA es el 19%?

A) $ 24.917B) $ 25.783

C) $ 28.917D) $ 30.000E) $ 32.783

7. x es 40% ms grande que z y z es 60% ms pequeo que y. Cul es la relacinentre x e y?

A) x = 7yB) x = 25yC) 23x = 14y

D) 24x = 25yE) 25x = 14y

8. Un artculo cuesta $ 3.000 y se quiere vender con un 25% de ganancia. En cunto habraque venderlo?

A) $ 3.500B) $ 3.600C) $ 3.750D) $ 3.800E) $ 4.000

9. Una constructora estima que son necesarios 20 obreros para terminar una obra en 6 meses,trabajando 10 horas diarias. Cuntos obreros necesitaran para terminar la obra en 4 meses,trabajando 6 horas diarias?

A) 8 obrerosB) 18 obrerosC) 22 obrerosD) 50 obrerosE) 55 obreros

10. Si 5 mquinas logran envasar 70 yoghurts en 24 minutos. En cunto tiempo sern envasados140 yoghurts por 6 mquinas?

A) 40 minutosB) 48 minutosC) 50 minutosD) 58 minutosE) Ninguno de ellos



7

M

t

t i

2 0 0 6

11. 7 personas trabajando 8 horas diarias durante 10 das, repararon5

8del total de una casa.

Cuntos das, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la casa?

A) 5 dasB) 6 dasC) 7 dasD) 8 dasE) 16 das

12. Con los datos del ejercicio anterior, si se duplica el nmero de personas y se disminuye a lamitad las horas diarias, cunto tiempo demoran en reparar la casa?

A) 3 dasB) 10 das

C) 12 dasD) 14 dasE) 16 das

13. En una casa hay comida para alimentar 1 adulto durante 8 semanas. Esta misma comida,alcanzara para alimentar 1 nio durante 24 semanas. Si se quiere alimentar al nio y aladulto al mismo tiempo, para cuntas semanas alcanza esta comida?

A) 6 semanasB) 8 semanas

C) 10 semanasD) 14 semanasE) 15 semanas

14. Un hombre puede hacer un jardn en A das y otro hombre en B das. Si juntos lo puedenhacer en C das, la ecuacin que expresa la cantidad de trabajo realizado por los 2 hombresen 1 da es:

A) C=1

A+

1

B

B) C= 1A + B

C)1

C=

A + B

AB

D)1

C=

AB

A + B

E) C=1

AB


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2006 Tutorial

15. Un estanque de agua tiene 3 llaves, la primera lo llena en 6 horas, la segunda lo llena en 4horas y la tercera lo vaca en 12 horas. Cuntas horas demora en llenarse el estanque si seabren las 3 llaves al mismo tiempo?

A) 2 horas

B) 3 horasC) 5 horasD) 8 horasE) 10 horas

Respuestas

Preg. Alternativa

1 C2 D

3 B

4 E

5 C

6 D

7 E

8 C

9 D

10 A

11 B

12 E

13 A

14 C

15 B



9

M

t

t i

2 0 0 6Solucionario

Solucionario

1. La alternativa correcta es la letra C)

33,3 % del 75% de 60

Transformando cada porcentaje a fraccin y la palabra de por multiplicacin:

33,3 % = 13

75% = 34

1

3

3

4 60 = (Simplificando)

15

El 33,3 % del 75% de 60 es 15

2. La alternativa correcta es la letra D)

El total de alumnos que es 35 corresponde al 100%, si faltaron 14 alumnos, entonces asistieron21 alumnos.

Aplicando proporcin directa:


21 x


x =21 100

35(Simplificando)

x = 60

El porcentaje de alumnos que asisti es el 60%

3. La alternativa correcta es la letra B)

El precio sin descuento corresponde al 100% y el precio con descuento corresponde al 80%( 100% - 20%).



12000 80


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2006 Solucionario


x =12000 100

80(Simplificando)

x = 15000

El precio del pantaln sin descuento es $ 15.000

4. La alternativa correcta es la letra E)

Sea x: ventas

Al sueldo se le suma la comisin que es el 15% de las ventas y se obtiene $ 800.000

15% de x =15

100 x (Transformando 15% a fraccin y la palabra de

cambindola por multiplicacin)

350000 + 15100

x = 800000 (Simplificando)

350000 +3

20 x = 800000 / 20 (Multiplicando por el mnimo comn mltiplo, 20)

20350000 + 203

20 x = 20800000 (Simplificando y multiplicando)

7000000 + 3x = 16000000 (Despejando x)

3x = 16000000 7000000 3x = 9000000

x =9000000

3(Dividiendo)

x = 3000000

Debe vender $ 3.000.000 para ganar $ 800.000


10

30

rea = 10 302

(Simplificando)

Area = 150

Aumentando 10 en un 20% : 10 + 20% de 10 (Transformando 20% a fracciny cambiando la palabra de pormultiplicacin)



11

M

t

t i

2 0 0 6

10 +1

5 10 (Simplificando)

10 + 2

12

El cateto 10 aumentado en un 20% es 12

Aumentando 30 en un 20% : 30 + 20% de 30 (Transformando 20% a fraccin y cambiandola palabra de por multiplicacin)

30 +1

5 30 (Simplificando)

30 + 6

36 El cateto 30 aumentado en un 20% es 36

Entonces obtenemos un nuevo tringulo de catetos 12 y 36

12

36

rea =12 36

2(Simplificando)

rea = 216

Entonces el rea inicial ( 150) es el 100% y el rea resultante al aumentar los catetos en un20% (216) es el x%



216 x


x =216 100

150(Simplificando)

x = 144

La nueva rea es el 144%, como el rea inicial es el 100%, aumenta en un 44% (144-100)


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El precio sin IVA corresponde al 100%, entonces, el precio con IVA corresponde al 119%(100% + 19% ), ya que: Precio con IVA = Precio sin IVA + IVA

119% = 100% + 19%



35700 119

119x = 35700 100 (Despejando x)

x =

35700 100

119 (Simplificando)x = 30000

El precio sin IVA es $ 30.000


x es 40% ms grande que z :

x = z + 40% de z (Transformando 40% a fraccin y cambiando la

palabra de por multiplicacin)

x = z +2

5z (Sumando fracciones)

x = 5 z + 2 z

5(Reduciendo trminos semejantes)

x =7z

5

z es 60% ms pequeo quey :

z =y - 60% dey (Transformando 60% a fraccin y cambiando la

palabra de por multiplicacin)

z =y -3

5y (Sumando fracciones)

z =5 y - 3 y

5(Reduciendo trminos semejantes)

z = 2y

5



13

M

t

t i

2 0 0 6

Entonces 1) x =7z

5y 2) z =

2y

5(Reemplazando z en 1) )

x = 75

2y

5 x = 14

y

25 25x = 14y

8. La alternativa correcta es la letra C)El precio del artculo corresponde al 100% y el precio con un 25% de ganancia al 125%(100% + 25% )



x 125

100x = 3000 125 (Despejando x)

x = 3000 125100

(Simplificando)

x = 3750

El precio con ganancia es $ 3.750


Nuestras variables son: obreros, meses y horas.La incgnita es obreros, entonces, la ubicamos al centro.

Meses Obreros Horas (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable6 20 10 con la incgnita, que en este caso es obreros)4 x 6 (Meses y obreros son inversamente proporcionales,

obreros y horas son tambin inversamenteproporcionales)(Siguiendo el orden de las flechas)


x =6 20 10

46(Simplificando)

x = 50

Se necesitan 50 obreros para terminar la obra en 4 meses trabajando 6 horas diarias.


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2006 Solucionario

10. La alternativa correcta es la letra A)

Nuestras variables son: mquinas, minutos y yoghurts.

La incgnita es minutos, entonces, la ubicamos al centro.

Mquinas Minutos Yoghurts (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable5 24 70 con la incgnita, que en este caso es minutos)6 x 140 (Mquinas y minutos son inversamente proporcionales,

minutos y yoghurts son directamente proporcionales)(Siguiendo el orden de las flechas)

6 x70 = 524140 (Despejando x)

x =5 24 140

670(Simplificando)

x = 40

En 40 minutos sern envasados 140 yoghurts por 6 mquinas.


Nuestras variables son: personas, das, horas y casa.

Personas Das Horas Casa (Como se repar 58

de la casa, entonces falta reparar 38

)

7 10 8

5

8 (No se consideran las variables: personas y horas, ya queson constantes)7 x 8

3

8

Entonces nuestras variables son: das y casa.

Das Casa (Corresponde a una proporcionalidad directa)

105

8(Multiplicamos cruzado)

x3

8

5

8x = 10

3

8(Despejando x)

x = 103

8

8

5(Simplificando)

x = 6 Faltan 6 das para terminar de reparar la casa.



15

M

t

t i

2 0 0 6


Por el ejercicio anterior sabemos que se demoraron16 das en reparar la casa, ya que, se habandemorado 10 das en reparar

5

8de la casa y faltaban 6 das para terminar de repararla.

Nuestras variables son: personas, das y horas.Las personas se duplican, entonces son 14 y las horas se disminuyen a la mitad, por lo tanto son 4.

La incgnita es das, entonces, la ubicamos al centro.

Personas Das Horas (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable7 16 8 con la incgnita, que en este caso es das)

14 x 4 (Personas y das son inversamente proporcionales,das y horas son tambin inversamente proporcionales)(Siguiendo el orden de las flechas)


x =7 16 8

144(Simplificando)

x = 16

Se demoran 16 das en reparar la casa, 14 personas trabajando 4 horas diarias.

13. La alternativa correcta es la letra A)

Haremos el anlisis en base a 1 semana:

Para un adulto hay 8 semanas de comida, en 1 semana se comer1

8

Para un nio hay 24 semanas de comida, en 1 semana se comer1

24

Si comen juntos hay x semanas de comida, en 1 semana se comern1

x

1

8+

1

24=

1


denominadores, 24x)

24x 1

8+ 24x

1

24= 24x

1

x(Simplificando y multiplicando)

3x + x = 24 (Reduciendo trminos semejantes) 4x = 24 (Despejando x)

x =24

4(Dividiendo)

x = 6

Alcanza para 6 semanas, si se quiere alimentar al nio y al adulto, al mismo tiempo.


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2006 Solucionario


Haremos el anlisis en base a 1 da:

Un hombre hace un jardn enA das, en 1 da har1

Adel jardn.

Otro hombre lo hace en Bdas, en 1 da har 1B

del jardn.

Si trabajan juntos demoran Cdas, en 1 da harn1

Cdel jardn.

1

A+

1

B=

1

C(No aparece as la respuesta)

(Sumando las fracciones)

B + A

AB=

1

C

La ecuacin que representa la cantidad de trabajo realizado en 1 da es 1C

= A + BAB


Haremos el anlisis en base a 1 hora:

La primera llave llena el estanque en 6 horas, en 1 hora llenar1

6del estanque.

La segunda llave llena el estanque en 4 horas, en 1 hora llenar1

4del estanque.

La tercera llave vaca el estanque en 12 horas, en 1 hora vaciar1

12 del estanque.

Si se abren las 3 llaves al mismo tiempo lo llenan en x horas, en 1 hora llenarn1

xdel

estanque.

1

6+

1

4-

1

12=

1


denominadores,12x)

12x 1

6+ 12x

1

4- 12x

1

12= 12x

1

x(Simplificando y multiplicando)

2x + 3x - x = 12 (Reduciendo trminos semejantes)


x =12

4(Dividiendo)

x = 3

Se demorarn 3 horas en llenar el estanque, las 3 llaves abiertas al mismo tiempo.

Porcentajes y Proporción Compuesta

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