Prcticas 0 a 7

lgebra

Exactas Ingeniera

2013

Prctica 0

1

PRCTICA 0 NOTA A LOS ALUMNOS: Los temas que se incluyen en esta prctica se suponen conocidos por ustedes.

Debido a que el conocimiento de los mismos ser necesario a lo largo de todo el curso, es

fundamental que a modo de repaso, resuelvan estos ejercicios consultando bibliografa y/o

al docente.

Ejercicio 1.- Calcular

1 1 1 1 12 1 1 1 1a)1 ( ) b) ( ) (1 2 )2 3 4 5 24 9 5 4 5

+ + + + +

1 2 1( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 39 6 4c) d) ( ) ( 1 ) 2( ) (3( ) ( ))1 2 3 6 5 9 18 5 4 3 7 14(5 )7

+ + + + +

+

Ejercicio 2.- Verificar las igualdades

3 1 1 3( : ) ( : )4 3 3 4a) 24,3 b) 21 5 2( )9 6 9

= =

Ejercicio 3.- Calcular 1 12 1 22 21 1 1 1 1 1 1 1 1a) ( ( ) ) b) ( : ) c) ( : ) d) ( : )

8 4 2 27 3 27 3 27 3 +

Ejercicio 4.- Ordenar de menor a mayor

Ejercicio 5.- Si tuviera que elegir la parte ms grande de una fortuna F, cul de las dos

fracciones elegira, 2

2

1de de ?1

nn F Fn n

+

1 12 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1a) ; ; ; ; b) ; ;5 6 7 9 15 5 8 10009 3 2 1 1c) ; ; ; ; 2 ; 3 3 ; 3 ; ; ; ; ( ) ; (100) ; (100)5 4 9 7 17

2

Ejercicio 6.- Analizar la validez de las siguientes proposiciones; dar un contraejemplo para

las que no son vlidas

2 2 2 22

2 2

2

2 2 0

2 (2 )

2

a) 0 ; 0 i) 01b) ( ) j) 0

c) k) 0

d) l) ( ) 0e) (2 ) 2 m) 1 0

f ) (2 ) 2 n) 36 6 0

g) 0 o) (5 5) 5 0

1 1 1h) p)

n

m n m n

m n m n

n n

n

a b a b a b a a a a

a b a b a aa

a b a b a a a

a a a a aa a

a a a

a a a aa

a cbca b a b b dd

+

= = + = + =

+ = + = = = = = = =

+ =

= + =+

Rtas: V, F, F, F, V, F, V, F, V, F, F, V, V, V, F, F.

Ejercicio 7.- Una solucin se dice ms concentrada que otra si tiene mayor proporcin

entre la sustancia activa y el diluyente que la otra. El boticario tiene un botelln de 1 litro y

medio donde 1/5 es sustancia activa y un bidn de 2 litros donde 2/3 es sustancia activa.

En cul de los dos envases la solucin es ms concentrada?

Ejercicio 8.- El precio de un equipo de audio con el 15 % de descuento es de $ 3417. Cul

era el precio original?

Ejercicio 9.- Resolver las ecuaciones.

a) 6 x2 6x 12 = 0 b) 9 x2 12 x + 4 = 0 c) 2 x2 7 x + 3 = 0 d) 15 x2 = 8x 1 e) 3 x2 5x = 2 f) x2 + 2 x 2 = 0

Ejercicio 10.- Hallar dos nmeros cuyo producto sea 4 y que sumen 6.

Ejercicio 11.- Representar en el plano

A1 = (2,2) A2 = (3,1) A3 = (1,4) A4 = (2,0) A5 = (1/4,1/2)

A6 = (1,1/4) A7 = ( 2 ,1) A8 = ( 2 ,1) A9 = ( 2 ,1) A10 = ( 2 ,1)

A11 = (0,1) A12 = (3,1+ 2 )

Prctica 0

3

Ejercicio 12.- Representar en el plano los siguientes conjuntos

A1 = { (x,y) / x = 1 } A2 = { (x,y) / x 2 } A3 = { (x,y) / y < 2 } A4 = { (x,y) / 3 < y < 2 } A5 = { (x,y) / x =1, y < 2 } A6 = { (x,y) / x = y }

A7 = { (x,y) / x = 2y } A8 = { (x,y) / x = 2 y + 1} A9 = { (x,y) / x .y < 0 } A10 = { (x,y) / x . y = 0 } A11 = A4 A6 A12 = A2 A7 A13 = A3 A10 A14 = A3 A4 A15 = (A8 A3) A9

Ejercicio 13.- Definir algebraicamente los siguientes conjuntos del plano

a) b)

c) d)

Ejercicio 14.- Sean los siguientes subconjuntos del plano

A = {(x,y) / 1/2 x 2 ; 1 y 1 } B = {(x,y) / x2 + y2 1 } C = {(x,y) / x = y } D = {(x,y) / x 1/3 ; y 1/2 }

E = { (x,y) / 0 < x < 22 ; 0 < y <

22 }

Hallar grficamente AB; AB; BC; AD; AD; BD; EB; EB; AE. Verificar que E B.

y

x3

y

x

2

x

y

x

y

4 6

4

Ejercicio 15. - Sea S la circunferencia de radio 1 y centro en el origen. Sea un ngulo, 0 < 360 , con vrtice en el origen, uno de cuyos lados coincide con el semieje positivo de

las x. Sea P el punto donde el otro lado de interseca a S.

Si P = (x,y), se define

cos = x ; sen = y. a) Cunto valen sen 90 ; cos 180 ; cos

270 ; sen 180 ?

b) Decidir si son positivos o negativos sen 37 ; cos 224 ; sen 185.

c) Para todo se tiene sen2 + cos2 = 1. Por qu? Deducir que 1 sen 1 y que 1 cos 1. d) La longitud de la circunferencia de radio 1 es 2 . Hallar la longitud del arco que corresponde a los siguientes ngulos:

= 30 = 45 = 60 = 72 = 300 = 210 = 270 = 750 = 432 = 90 Graficar en cada caso dichos ngulos y arcos en la circunferencia de radio 1.

e) Sabiendo que

o o o o o0 0 30 / 6 45 / 4 60 / 3 90 / 2

sen 0 1/ 2 2 / 2 3 / 2 1

cos 1 3 / 2 2 / 2 1/ 2 0

# # # # #

y que sen( ) sen cos sen coscos( ) cos cos sen sen

= =

Calcular: sen 7/12 cos 5/12 sen /12 cos 3/4 sen 5/6 cos 7/6

f) Hallar sabiendo que

i) sen 1/ 2

cos 3 / 2

= = ii)

sen 2 / 2

cos 2 / 2

= = iii) sen 3 / 2

cos 1/ 2

= =

x

y

y P

x 0

S

1

Prctica 1

5

PRCTICA 1

VECTORES EN R2 y EN R3

DEFINICIONES Y PROPIEDADES Una flecha, que sirve para representar cantidades fsicas (fuerzas, velocidades), es un

vector.

Para dar un vector necesitamos un origen (A) y un extremo (B)

que lo determinan totalmente, proporcionando su direccin,

longitud y sentido.

Vectores equivalentes son los que tienen igual direccin, longitud y sentido.

Los vectores de la

izquierda son todos

equivalentes a v.

Los vectores se pueden sumar.

La suma (v + w), de v y w es equivalente

a una de las diagonales del paralelogramo

de lados v y w.

Tambin se puede multiplicar un vector por un nmero (escalar).

El resultado es un vector de igual direccin que el dado, el nmero afecta la longitud y el

sentido del vector.

En el plano R2 los puntos estn dados por pares de nmeros reales (sus coordenadas); para

dar un vector bastar dar dos pares de nmeros reales que caractericen su origen y su

extremo.

v

wv

v + w

v2v

vv

6

AB=v JJJG est dado por A = (1,2) y B = (5,3) OC=w JJJG est dado por O = (0,0) y C = (2,1)

Algo anlogo se puede decir en el espacio de tres dimensiones R3; ahora, cada punto, en

particular el origen y el extremo de un vector, estar dado por una terna de nmeros reales.

AB=v JJJG est dado por A = (2,4,3) y

B = (4,10,6)

OCJJJG

est dado por

O = (0,0,0) y

C = (2,0,0)

En adelante trabajaremos con vectores cuyo origen O tiene todas sus coordenadas iguales a

cero (O = (0,0) en R2, O = (0,0,0) en R3 ) identificando entonces el punto A con la flecha

OAJJJG

.

Dados A y B en R2, A = (a1,a2) y B = (b1,b2), definimos

la suma A + B = (a1 + b1, a2 + b2) y

el producto por un escalar c R c A = (ca1, ca2).

Anlogamente, en R3, si A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3)

C

B

A2

3

1

2O x5

y

1

B

Av

CO

y

z

x

Prctica 1

7

la suma A + B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3) y

el producto por un escalar c R c A = (ca1, ca2, ca3).

Propiedades:

1) A + (B + C) = (A + B) + C

2) A + B = B + A

3) Si c R, c (A+B) = c A + c B 4) Si c1 R y c2 R, (c1 + c2 ) A = c1 A + c2 A y (c1 c2 ) A = c1 ( c2 A) 5) O + A = A

6) 1 A = A

7) A + (1) A = O Notacin A = (1) A

8) 0A = O

En este contexto,

a) ABJJJG

es equivalente a CDJJJG

si y slo si D C = B A ; en particular,

ABJJJG

es equivalente a OPJJJG

si y slo si P = B A.

b) ABJJJG

y CDJJJG

son paralelos o tienen igual direccin si existe k en R, k 0 tal que

B A = k ( D C).

Si k > 0, ABJJJG

y CDJJJG

tienen igual sentido; si k < 0, ABJJJG

y CDJJJG

tienen sentidos opuestos.

LONGITUD DE UN VECTOR

En R2, si v = (v1, v2), la norma o longitud de v, que notaremos v , es 2 21 2v v= +v

Anlogamente, en R3, si v = (v1, v2, v3) la norma o longitud de v es 2 2 21 2 3v v v= + +v

Propiedades:

1) Si A = O, entonces A = 0; si A O, entonces A > 0.

v

v1

v2

8

2) A = A 3) Si c R Ac = c A . 4) Desigualdad triangular: BA + A + .B Si A y B son dos puntos de R2, la distancia entre A y B es la longitud del vector B A

(equivalente a ABJJJG

) y se nota

d(A,B) = B A

Anlogamente, en R3, la distancia entre dos puntos A y B es

d(A,B) = B A Un vector A se dice unitario si A = 1.

NGULO ENTRE DOS VECTORES

Llamaremos ngulo entre A y B al ngulo (A,B) que determinan los dos vectores y verifica 0 (A,B) .

PRODUCTO INTERNO O ESCALAR

Dados dos vectores A y B llamaremos producto interno (o escalar) de A y B al nmero real

cosBABA = ( = (A,B) ). Propiedad:

2 2 21 ( )2

A B B A B A = + En particular si A y B son vectores en el plano, A = (a1,a2) y B = (b1,b2)

A B = a1b1+ a2 b2

B A

B

A

A

B

Prctica 1

9

En R3 , si A = (a1,a2,a3) y B = (b1,b2,b3)

A B = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 Observaciones: 1) El producto escalar de dos vectores es un nmero real.

2) A A A= Propiedades:

PE1.- A B = B A PE2.- A (B +C) = A B + A C = (B + C) A PE3.- Si k R, (kA) B = k (A B) = A (kB)

PE4.- Si A = O , A A = 0. Si A O, A A > 0 PE5.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz: A B A B De PE5 se deduce que si A y B son ambos distintos de cero, vale

1 1A BA B

Propiedad: el ngulo entre dos vectores A y B ( = (A,B)) es el nico ngulo entre 0 y que verifica cos A B

A B =

Diremos que dos vectores A y B son ortogonales o perpendiculares si A B = 0.

PRODUCTO VECTORIAL

Si A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) son vectores de R3, el producto vectorial de A y B es:

A B = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1) Observacin: El producto vectorial de dos vectores de R3 es un vector de R3. Propiedades:

PV1.- A B = B A PV2.- A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A PV3.- Si k R, (k A) B = k (A B) = A (k B)

10

PV4.- A A = O PV5.- A B es perpendicular a A y a B PV6.- BA 2 = A 2 B 2 (AB)2 PV7.- BA = A B sen donde es el ngulo formado por A y B. Observacin:

De PV7 se deduce que BA es el rea del paralelogramo de vrtices O, A, B, A + B.

RECTAS

Dados en el plano R2 un vector A y un punto P la ecuacin paramtrica de la recta L que

pasa por P en la direccin de A es:

X = t A + P (t R).

Si A = (a1, a2) y P = (p1, p2),

se escribe: (x, y) = t (a1, a2) + (p1, p2)

1 12 2

x t a py t a p

= + = +

Si c = a2 p1 a1 p2, la recta L es el conjunto de soluciones de la ecuacin a2 x a1 y = c

Para describir una recta en R2 podemos utilizar la ecuacin parmetrica X = t A + P

(donde X = (x, y)) o utilizar la ecuacin implcita a x + b y = c.

Dados en R3 un vector A y un punto P la ecuacin paramtrica de la recta L que pasa por P

en la direccin de A es:

X = t A + P (t R).

Si A = (a1, a2, a3) y P = (p1, p2, p3) tenemos

(x, y, z) = t (a1, a2, a3) + (p1, p2, p3)

1 1

2 2

3 3

x t a py t a pz t a p

= + = + = +

L

A

P

Prctica 1

11

Si c = a2 p1 a1 p2 y d = a3 p2 a2 p3, la recta L es el conjunto de soluciones del sistema

2 1

3 2

a x a y ca y a z d

= =

Para describir una recta en R3 podemos utilizar la ecuacin paramtrica X = t A + P (donde

X = (x, y, z)) o un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incgnitas.

NGULO ENTRE DOS RECTAS

Para definir el ngulo entre dos rectas usamos sus vectores direccin, eligiendo entre los

ngulos que stos forman, el nico tal que 0 / 2. Dos rectas en R2 en R3 son perpendiculares si sus direcciones lo son.

Dos rectas en R2 en R3 son paralelas si sus direcciones lo son.

PLANOS EN R3

Dados un vector N y un punto Q de R3, la ecuacin del plano que pasa por Q y es

perpendicular a N es : (X Q ) N = 0 El plano es el conjunto de todos los puntos X tales que (X Q ) es perpendicular a N.

Diremos que N es un vector normal al plano.

Si X = (x1,x2, x3) y N = (a,b,c), la ecuacin resulta:

: a x1 + b x2 + c x3 = d donde d = Q N Dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son.

Una recta es paralela a un plano si el vector direccin de la recta y el vector normal al

plano son perpendiculares.

Dados un punto P y un plano cuya normal es N, se define distancia de P a como la distancia de P a P, donde P es el punto de interseccin del plano con la recta de direccin N que pasa por P.

Si Q es un punto en el plano, esta distancia es: ( )

d( , )Q P N

PN

= .

Si P = (x0, y0, z0) y : ax + by + cz = k entonces: 0 0 02 2 2

d( , )ax by cz k

Pa b c

+ + = + + .

12

En el desarrollo de la prctica, para simplificar la notacin, suprimiremos las flechas arriba

de los vectores.

VECTORES EN Rn

Llamaremos punto o vector en el espacio Rn a la n-upla

X = (x1, x2, x3, ..., xn) donde x1, x2, x3, ..., xn son nmeros reales.

Estos nmeros son las coordenadas de X.

Si A = (a1, a2, a3, ..., an) y B = (b1, b2, b3, ..., bn)

decimos que A = B si y slo si a1 = b1, a2 = b2 , a3 = b3, ..., an = bn.

Definimos la suma A + B = (a1+b1, a2+b2,..., an + bn) y

el producto por un escalar c R c A = (ca1, ca2, ca3, ..., can).

Propiedades:

1) A + (B + C) = (A + B) + C

2) A + B = B + A

3) Si c R, c (A+B) = c A + c B 4) Si c1 R y c2 R, (c1 + c2 ) A = c1 A + c2 A y (c1 c2 ) A = c1 ( c2 A) 5) O + A = A

6) 1 A = A

7) A + (1) A = O Notacin A = (1) A

8) 0A = O

Llamaremos norma de A = (a1, a2, a3, ..., an) al nmero

2 2 21 2 ... nA a a a= + + +

Propiedades:

1) Si A = O, entonces A = 0; si A O, entonces A > 0. 2) A = A 3) Si c R Ac = c A . 4) Desigualdad triangular: BA + A + .B

Prctica 1

13

Si A = (a1, a2, a3, ..., an) y B = (b1, b2, b3, ..., bn), llamaremos distancia entre A y B a la

longitud del vector AB

2 2 21 1 2 2d( , ) ( ) ( ) ( )n nA B B A b a b a b a= = + + + "

Si A = (a1, a2, a3, ..., an) y B = (b1, b2, b3, ..., bn) llamaremos producto escalar de A y B al

nmero real

A B = a1b1+ a2 b2+ ... + anbn Propiedades:

PE1.- A B = B A PE2.- A (B +C) = A B + A C = (B + C) A PE3.- Si k R, (kA) B = k (A B) = A (kB)

PE4.- Si A = O , A A = 0. Si A O, A A > 0 PE5.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz: A B A B Dados en Rn un vector A y un punto P la ecuacin paramtrica de la recta L que pasa por P en la direccin de A es:

X = t A + P (t R).

EJERCICIOS Ejercicio 1.- Efectuar las operaciones indicadas.

a) A + B; A + 2 B; A B; A + (1/2) B; A 3 B, si A = (3,2) y B = (2,4)

b) A 3 B; A + C B; 2 A 2 (C + B), si A = (1,2,0); B = (2,0,0) y C = (1,1,1)

Ejercicio 2.- Hallar, si es posible, x; y; z tales que

a) (x, x +1) = (3, y) b) (2 x + y, x 2 y) = (1,3)

c) (2,4) = (2 x + y, x 2 y) d) (1,2,3) = x (2,4,3) + y (1,2,12) + z (0,0,3)

Ejercicio 3.- Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB para

a) A = (2,1); B = (4,1) b) A = (1,0,5); B = (2,4,7)

14

Ejercicio 4.- Calcular la longitud de los vectores

(3,0); (2,1); (3,4); )3,3,3( ; (2,3,0); 3 (2,3,6)

Ejercicio 5.- Graficar en el plano el conjunto S = {(x, y) R2 / ),( yx = 1}

Ejercicio 6.- Hallar la distancia entre A y B si

a) A = (1,3); B = (4,1) b) A = (4,2,6); B = (3,4,4) c) A = (1,2,3); B = (3,2,0)

Ejercicio 7.- Determinar todos los valores de k tales que

a) A = 2 si A = (1, k, 0)

b) d (A , B) = 2 si A = (1,1,1); B = (k,k,2)

c) A = 1 si A = k (2,2,1)

Ejercicio 8.- Si v = (2,1,1); w = (1,0,2); u = (2,2,1), calcular

a) b) c) 3 3+ + +v w v w v w

d) v u e) 1 ww

f) + v w u

Ejercicio 9.- En cada caso encontrar los dos vectores unitarios paralelos a A

a) A = (3,1) b) A = (0,3,0) c) A = (2,3,6) d) A = (a,b,c)

Ejercicio 10.- a) Sean A = (1,2); B = (1,2); C = (2,1); D = (1,0); E = (0,0); F = (x, y)

Calcular A B; A C; A E; B C; B ( C + D); (D C ) A; F A; F E

b) Sean A = (1,1,1); B = (1,1,0); C = (2,1,1); D = (2,3,1); E = (1,0,2)

Calcular A B; A C; A (B + C); A (2 B 3 C); A D; A E; D (A + E )

Ejercicio 11.- a) Encontrar y representar en el plano todos los vectores (x, y) ortogonales a

i) A = (1,2) ii) E1 = (1,0) iii) E2 = (0,1)

b) encontrar todos los vectores (x, y, z) de R3 ortogonales a i) E1 = (1,0,0) ii) E2 = (0,1,0) iii) E3 = (0,0,1)

Prctica 1

15

iv) E1 y E2 v) E1 y E3 vi) E2 y E3

Ejercicio 12.- Dados A = (1,2) y B = (3,4), hallar todos los vectores (x, y) de R2 tales que

A (x, y ) = A B

Ejercicio 13.- a) Encontrar un vector ortogonal a (1,1) de longitud 8, es nico?

b) encontrar todos los vectores ortogonales a (0,0,1) de longitud 1; dibujarlos.

c) Encontrar un vector que sea ortogonal a A y a B si A = (1,2,1) y B = (2,0,1)

Ejercicio 14.- Hallar el ngulo que forman A y B en los siguientes casos

a) A = (1,1); B = (1,0) b) A = (1,2); B = (2,1)

c) A = (1, 3 ); B = (2,2 3 ) d) A = (2,1,1); B = (1,1,2)

Ejercicio 15.- En cada caso, encontrar B tal que

a) si A = (1,1), (A , B) = / 4 y B = 2 b) si A = (1,0), (A , B) = / 3 y B = 1 Ejercicio 16.- Sea A un vector de longitud 3. Si B es un vector tal que (A , B) = / 4 y (A B) es ortogonal a A, calcular .B

Ejercicio 17.- Encontrar una ecuacin paramtrica de

a) la recta que pasa por (1,3,1) y tiene direccin (1,2,2)

b) la recta que pasa por (1,1) y (2,3)

c) la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta que contiene a

A = (2,2,1) y B = (3,2,1)

d) dos rectas distintas L1 y L2 que pasen por (2,1,2) y sean perpendiculares a la recta

L : X = (2,2,2) + (1,0,1)

Ejercicio 18.- Encontrar la interseccin de cada par de rectas

a) X = (2,2,2) + (1,0,0) X = (1,1,1) + (0,1,1) b) X = (1,3,1) + (0,1,2) X = (2,1,0) + (1,1,2) c) X = (2,2,1) + (3,0,2) X = (2,1,1) + (1,1,2)

16

Ejercicio 19.- Si A = (1,2,2); B = (1,1,2); C = (2,2,1), calcular

A B; B A; A C; A (B C); (A B) C; (A B) A ; (A B) C

Ejercicio 20.- Hallar v, de norma 1, que sea ortogonal a A = (1,1,1) y a B = (1,1,1)

Ejercicio 21.- Calcular el rea de

a) el paralelogramo de vrtices O, A, B y (A + B ) si A = (2,1,0) y B = (1,5,0)

b) el tringulo de vrtices A = (1,3,2); B = (1,5,0) y C = (1,1,2)

Ejercicio 22.- Dar una ecuacin del plano . a) es perpendicular a N = (1,2,1) y pasa por P = (5,3,3) b) contiene a los puntos A = (2,1,3); B = (2,1,1) y C = (3,3,2) c) contiene a los ejes x e y d) es paralelo al plano : 3x + y 4z = 2 y pasa por el punto P = (1,1,2)

Ejercicio 23.- Sean : 2x y + 3z = 5; : x + 3y z = 2 L : X = (1,1,1) + (1,0,2); L : X = (3,5,1) + (0,1,2).

Calcular: L ; L ; .

Ejercicio 24.- Sean L: X = (k2 +1, k, k+7) y : x + 2 y 3 z = 2. Determinar todos los valores de k para los cuales L =

Ejercicio 25.- Si L : X = (1,1,3) + (0,2,1) y A = (1,2,3), a) hallar una ecuacin del plano que contiene a L y al punto A b) hallar una ecuacin de la recta L perpendicular a que pasa por A c) calcular L y L .

Ejercicio 26.- a) Dar una ecuacin del plano que contiene a las rectas L: X = (1,2,1) + (3,0,0) y L: X = (2,4,2) + (0,1,1) b) Si L: X = (1,2,0) + (1,1,1), dar una ecuacin del plano que contiene a L y tal que la recta L: X = (1,0,1) + (1,2,3) es paralela a .

Prctica 1

17

Ejercicio 27.- Sean : x1 + x2 + x3 = 5 y L: X = (1,1,2). Hallar una recta L contenida en que sea perpendicular a L. Es nica?

Ejercicio 28.- Sea : 3x1 2 x2 + 4x3 = 1 a) Dar las ecuaciones de dos rectas L1 y L2 , contenidas en y perpendiculares entre s b) Dar la ecuacin de una recta L contenida en que sea perpendicular a la recta L: X = t (2,3,1) + (2,1,2)

Ejercicio 29.- Hallar la distancia entre P = ( 2,2,1) y el plano que contiene a las rectas

L: X = (1,2,1) + (1,3,2) y L: X = (2,1,3) + (3,2,5)

Ejercicio 30.- Sea P = (2,1,1)

a) si : x1 + x2 x3 = 3, cul es el punto de a menor distancia de P? b) si L: X = (1,3,1) + (2,2,0), cul es el punto de L a menor distancia de P?

Ejercicio 31.- Sean L: X = (2, 3,1) y : x1 + 2 x2 = 0. Determinar a) todos los puntos de R3 que estn a distancia 5 de

b) todos los puntos de L que estn a distancia 5 de .

Ejercicio 32.- Si 1: 3 x1 + 2 x2 6 x3 = 1 y 2: 3 x2 + 4 x3 = 3, hallar todos los puntos P de R3 que verifican

a) d (P, 1 ) = d (P, 2 ) b) d (P, 1 ) = d (P, 2 ) = 2

EJERCICIOS SURTIDOS 1. Demostrar las siguientes igualdades e interpretarlas geomtricamente

2 2 2

a) 0

b) 0 ( )

= + =+ = + =

A B A B A B

A B A B A B Teorema de Pitgoras

2. Sean la recta : (2,1, 1) (1, 1,2) + L y los puntos A = (1,0,2) y B = (3,1,6). Hallar todos los puntos PL tales que el tringulo ABP es rectngulo en P.

18

3. Sean P=(1,2,0) , Q=(2,1,1) y L:(1,1, 1)+(0, 1,3). Dar una ecuacin del plano que contiene a la recta paralela a L que pasa por P, y a la recta paralela a L que pasa por Q.

4. Sean el plano : 2 2 1 + =x y z , (1,1,1)=A y (3,2, 1)= B . Hallar todos los puntos y C D tales que ABCD es un cuadrado.

5. Sean 1 : (0,1, 1) (0, 1,0) + L y 2 : (1,1,1) (2,3,0)+L .

Encontrar, si es posible, un plano tal que ( , ) 2 6 =d P para todo 1P L y para todo 2P L .

6. Sean 1 : 3 2 4x y z + = , y 2 el plano que contiene a los puntos A=(0,1,1), B=(3,1, 1) y C=(3,0,1). Hallar todos los puntos del plano 1 que estn a distancia 2 del plano 2 . 7. Sean 1 : 7 5 2 0 =x y z , 2 : 5 4 0 =x y z , y L la recta que pasa por los puntos P = (2,3, 3) y Q = (1,2, 1). Hallar todos los planos que verifican simultneamente: i) 1 2 = ii) ( , ) 14 =d R para todo R L . 8. Sean 21 : ( , , 1)+ k k k kL ; 2 : (4,1, 1) (2 ,0,2 ) + k kL y : 2 2 3 + =x y z . Hallar todos los k R para los cuales ( , ) ( , ) = d P d Q para todo 1P L y todo 2Q L 9. Sean 1 2 3: 3 1x x x + = , : (0, 2,1) (1,2,3) +L y P=(1,1,2). Encontrar una recta 'L que satisfaga simultneamente: )P 'i L ) 'ii L L ) ' es paralela a iii L .

10. Dadas L:(1,2,1)+(0,1,1) y L:(2,1,2)+(1,1,0), hallar todos los planos tales que L= y d(P, )= 2 para todo P L. 11. Sean L1:(1,2,2)+(0,1,1); L2:(0,1,1)+(2,1,1) y L3:(1,3,1)+(0,5,0). Encontrar, si es posible, una recta L tal que L1L2L ; L3L y LL3 . 12. Sean en 3R el plano 1 2 3: 2 2 4x x x + = , P=(2,2,2) y Q=(1,0,1). Determinar un plano ' que contenga a P, a Q, y al punto R de tal que d(P,R)=d(P, ).

Prctica 2

19

PRCTICA 2 SISTEMAS LINEALES Y MATRICES

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incgnitas es un conjunto de m ecuaciones

lineales en las variables 1 2( , ,..., )nx x x :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

.........................

.................................................................

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

donde las a y las b con subndices representan constantes.

Cuando bi = 0 para todo i, 1im, se dice que el sistema es homogneo. Una n-upla 1 2( , ,..., )ns s s es una solucin del sistema si y slo si al reemplazar xi por si,

1in, se satisface cada una de las m ecuaciones. Un sistema se dice incompatible si no tiene ninguna solucin.

Un sistema se dice compatible si tiene alguna solucin.

Si un sistema compatible tiene solucin nica es determinado, y si tiene infinitas soluciones

es indeterminado.

Por matriz ampliada o matriz aumentada del sistema, entendemos el arreglo rectangular de

nmeros:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

a a a b

" #" #

# # # # #" #

En general, dados los nmeros naturales n y m, se llama matriz de m filas y n columnas con

coeficientes reales, al arreglo rectangular A=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

""

# # #"

, donde ija R.

Abreviadamente A = ( )ija .

20

Llamamos filas de A a las n-uplas ( )1 2, , , con 1,...,i i i inA a a a i m= = Llamamos columnas de A a las m-uplas ( )1 2, , , con 1,...,j j j mjA a a a j n= =

Con esta notacin, ( )1

21 2, , , y tambin n

m

AA

A A A A A

A

= =

" # .

Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto

de soluciones.

Propiedad: Las siguientes operaciones sobre las ecuaciones de un sistema dan lugar a un

sistema equivalente al dado:

1- Multiplicar una de las ecuaciones por una constante no nula.

2- Intercambiar dos de las ecuaciones.

3- Sumar un mltiplo de una de las ecuaciones a otra ecuacin.

Las anteriores operaciones sobre las ecuaciones se corresponden con las siguientes

operaciones sobre las filas de la matriz aumentada del sistema. Se denominan operaciones

elementales sobre las filas:

1- Multiplicar una de las filas por una constante no nula.

2- Intercambiar dos de las filas.

3- Sumar un mltiplo de una de las filas a otra fila.

El mtodo de eliminacin de Gauss para resolver sistemas lineales, consiste en llevar la

matriz aumentada del sistema planteado, va la aplicacin sistemtica de operaciones

elementales sobre sus filas, a la forma escalonada en las filas reducida, que a continuacin

describiremos. La resolucin del sistema resultante, que es equivalente al original, es

inmediata.

Se dice que una matriz se encuentra en la forma escalonada en las filas reducida, si se

cumplen las siguientes condiciones:

1- Si una fila no consta nicamente de ceros, entonces su primer coeficiente no nulo es un 1

(a este 1 se lo denomina 1 principal).

2. Si existen filas que constan slo de ceros (filas nulas), se agrupan en la parte inferior de

la matriz.

Prctica 2

21

3- Si dos filas sucesivas son no nulas, el 1 principal de la fila inferior se presenta ms a la

derecha que el 1 principal de la fila superior.

4- Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las dems posiciones.

Si una matriz tiene slo las propiedades 1, 2 y 3 se dice que est en la forma escalonada en

las filas.

Llamamos rango fila (o rango) de la matriz A al nmero de filas no nulas que tiene la

matriz escalonada en las filas equivalente a A.

En el conjunto de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales, notado Rmn,

estn definidos la suma y el producto por escalares, de la siguiente manera:

Si A = ( )ija Rmn , B = ( )ijb Rmn y k R, entonces A +B = ( )ij ija b+ Rmn kA = ( )ijka Rmn Es decir, suma y producto por escalares se calculan coordenada a coordenada, en forma

anloga a como se hace en Rn .

Si A = ( )ija Rmn y B = ( )ijb Rns se define el producto de A por B como AB = C = ( )ijc Rms

donde ijc es igual al producto escalar de la fila i de A por la columna j de B

ijc = (fila i de A) . (columna j de B)

Es posible calcular AB slo si la cantidad de columnas de A coincide con la cantidad de

filas de B.

Propiedades del producto.

- Es asociativo: (AB)C = A(BC)

- Es distributivo: A(B+C) = AB + AC

(A+B)C = AC + BC

22

- La matriz identidad I =

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

" "" "

# # % # ## # % # #

" "" "

Rnn , verifica AI = IA para toda

matriz cuadrada A Rnn . La matriz I es el elemento neutro para este producto.

Notacin: El sistema

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

.........................

.................................................................

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

puede escribirse AX = B, con A = ( )ija Rmn , X = 1n

x

x

# Rn1 , B =

1

m

b

b

# Rm1 .

En adelante identificaremos X Rn1 con x Rn y B Rmx1 con b Rm . As el sistema

se escribir Ax = b.

Propiedades: Sean A Rmn , b Rm ,

S0 = { }/n A =x x 0R Sb = { }/n A =x x bR a) Si x S0 e y S0 , entonces x + y S0. Si x S0 y k R , entonces kx S0.

Esto dice que la suma de dos soluciones de un sistema homogneo es tambin solucin del

mismo, y que los mltiplos de una solucin son tambin soluciones.

b) Si x Sb e y Sb , entonces x y S0.

Prctica 2

23

Esto es, la diferencia entre dos soluciones de un sistema no homogneo, es solucin del

sistema homogneo asociado.

c) Sea s una solucin particular del sistema Ax = b (s Sb), entonces

Sb = S0 + s = y Rn / y = x + s , con x S0.

Esto significa que cualquier solucin del sistema Ax = b puede obtenerse sumando una

solucin particular del sistema con una solucin del sistema homogneo asociado.

Una matriz cuadrada A Rnn se dice inversible si existe B Rnn tal que AB = BA = I .

Cuando B existe, es nica y la notamos B = A1.

Propiedad: Si A Rnn y C Rnn son inversibles, entonces AC es inversible y vale

(AC) 1 = C1A1.

Diremos que dos matrices son equivalentes por filas si puede obtenerse una de la otra por

medio de una sucesin finita de operaciones elementales sobre las filas.

Propiedad: Si A Rn(n , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) A es inversible.

b) Ax = b tiene solucin nica, cualquiera sea b Rn.

c) Ax = 0 tiene nicamente la solucin trivial.

d) A es equivalente por filas a I Rnn.

24

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Dado el sistema lineal

S 1 2 3

1 2 4

1 3 4

2 23 0

2 3 1

x x xx x xx x x

+ + = + = + + =

Cules de las siguientes 4-uplas son soluciones de S? y del sistema homogneo asociado?

x = (2,2,1,0) y = (1,1,1,4) z = (0,0,0,0)

u = (2, 53 , 10

3,7) v = (1, 1

3, 1

3,0) w = (1, 2,3, 7)

Ejercicio 2.- Determinar, si existen, a y b para que (2, 2,1) sea solucin de

1 2 3

2 3

1 2 3

2 14

(2 ) 3

x ax xax bx

bx x a b x

+ + = = + + =

Ejercicio 3.- Obtener un sistema equivalente al dado, cuya matriz ampliada sea escalonada

en las filas reducida.

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 22 2 1

2 2 0

x x xx x xx x x

+ + = + + = + + =

b) 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 2 13 3 5 3 0

2 2 2 2 2 2

x x x x xx x x x xx x x x x

+ + + + = + + + + = + =

Prctica 2

25

Ejercicio 4.- Resolver por el mtodo de eliminacin de Gauss el sistema cuya matriz

aumentada es ( )A b# .

a) A =

1 2 3 12 2 2 31 1 0 41 1 3 3

= (1,2, 1,0)= (0,0,0,0)

bb

b) A =

1 1 2 12 1 1 01 1 2 10 2 4 2

= (1,2,1,2)= (2,0, 1,1)= (0,0,0,0)

bbb

c) A = 2 1 21 3 21 2 0

= (5,3,2)= ( 1,1,2)= (2,1,1)= (0,0,0)

bbbb

d) A = 1 2 1 20 1 0 30 2 3 1

= (2,1,2)= (0,0,0)= (1,0,0)= (0,1,0)

bbbb

e) A = 1 2 1 21 1 1 01 0 1 2

= (3,1, 1)= (0, 1, 2) = (0,0,0) = (1,1,2)

bbbb

f) A =

1 2 3 1 42 4 6 2 1

0,1 0,2 0,3 3 22 4 0 2 1

= (1,2,3,2)= (1, 3,0,3)

bb

Ejercicio 5.- Determinar si el sistema tiene soluciones no triviales, sin resolverlo.

26

a) 1 21 2

00

x xx x

+ = = b) 1 2 3

2 3

2 00

x x xx x

+ = + =

c)

1 2 3 4

2 4

3 4

4

2 0000

x x x xx x

x xx

+ + = = + = = d) 11 1 12 2 13 3 14 4

21 1 22 2 23 3 24 4

00

a x a x a x a xa x a x a x a x

+ + + = + + + =

Ejercicio 6.- Mostrar tres elementos de cada uno de los conjuntos siguientes.

a) S1 = { }3 3 / , 1 , 3ij jiA a a i j = R (matrices simtricas)

b) S2 = { }3 3 / 1, 1 , 3ij jiA a a i j + = R

c) S3 = { }3 3 / , 1 , 3ij jiA a a i j = R (matrices antisimtricas)

d) S4 = 4

4 4

1

/ 0iii

A a=

= R (matrices de traza nula)

e) S5 = { }3 4 / tiene alguna fila nulaA AR

f) S6 = { }3 3 / 0, si ijA a i j = >R (matrices triangulares superiores)

Ejercicio 7.- Efectuar, cuando sea posible, los clculos indicados.

A = 2 21 31 0

, B =

1 2 32 0 01 1 0

, C =

1 1 12 1 10 1 0

, D =

2 10 2 , E =

2 2 11 1 0

Prctica 2

27

i) BA ii) BC iii) CB iv) AB v) BA C

vi) ED vii) DA viii) EA + D ix) AE + 3C

Ejercicio 8.- Dadas A = 1 3 21 1 17 7 5

y B =

2 1 10 1 13 3 3

, hallar

a) la tercera fila de AB

b) la tercera columna de BA

c) el coeficiente c32 de C = BAB

Ejercicio 9.- Determinar todas las matrices B que verifican:

a) 1 20 1 B =

1 00 1

b) 1 12 2

B = 1 00 1

c) 1 2 3 34 5 6 = 61 2 3 3

B

d)

12

2 11 1 01 1 1 = 1 0 20 2 3 0 0 2

B

28

e) 1 1 0 2 11 1 1 = 3 00 2 3 1 2

B

Ejercicio 10.- Hallar todas las matrices 2 2A R tales que 2 1 2 1= .2 1 2 1

A A

Ejercicio 11.- Hallar todas las matrices 2 2X R tales que AX + B = BX + A.

a) 2 1 1 0

= = 1 1 2 2

A B

b) 2 1 1 0

= = 1 5 2 2

A B

Ejercicio 12.- Determinar cules de las siguientes matrices son inversibles; exhibir la

inversa cuando exista.

1 0 3 0 1 2 1 2 = = = =

0 1 0 3 0 1 1 2A B C D

2 1 1 2 1 1 = 0 1 1 = 0 1 1

3 1 1 2 0 0

E F

1 1 1 1= = +

0 2 0 2G H G H

Ejercicio 13.- Sea A = 1 3 20 1 11 0 1

. Decidir si A1 es solucin del sistema

Prctica 2

29

1 5 4 1 2 0

= 1 1 0 0 1 1

X .

Ejercicio 14.- Sea 3 3 A R .

Si 1 0 13 y 1 son soluciones de = 41 2 5

Ax , hallar 4 soluciones de

1= 4

5

Ax .

Ejercicio 15.- Sean (1,3,1), (2,2,4) y (2,0,4) soluciones de un sistema lineal no homogneo.

a) Hallar dos rectas distintas tales que todos sus puntos sean soluciones del sistema

homogneo asociado.

b) Econtrar un plano tal que todos sus puntos sean soluciones del sistema no homogneo.

Ejercicio 16.- Sea 3 3 A R .

0 2 1 1 02 y 1 son soluciones de = 2 y 1 es solucin de = 0 .2 1 2 2 1

A A

x x

Encontrar una recta de soluciones del sistema 1 0

= 2 + 0 .2 1

A

x

Ejercicio 17.- Sean 1 1 1 1

1 1 1 4 = , = 2 1 1 0

0 1 2 31 3 3 1

A B y { }40 / = A= x x 0RS .

30

Encontrar todos los 0

2 tales que = 3

4B

x xS .

Ejercicio 18.- Dadas 5 1 2

= 2 1 3 y = 33 2 1 1

aA a

a

+ c , determinar todos los valores de a

para los cuales el sistema Ax = c es compatible.

Resolver el sistema para alguno de los valores de a hallados.

Ejercicio 19.-

a) Encontrar todos los valores de k R para los cuales el sistema S tiene solucin nica.

S

21 2 3

2 3

3

( 1) 0( 1) 0

( 2) 0

k x x kxk x x

k x

+ + = + = + =

b) Determinar todos los valores de k para los cuales el sistema S admite solucin no trivial

S

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

( 1) 2 3 0( 2) 4 0

2 ( 4) 02 3 0

k x x kx xx k x kx xx x kx k xx x kx x

+ + + = + + + + = + + + = + + =

Ejercicio 20.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales los sistemas cuyas

matrices ampliadas se dan a continuacin son compatibles.

Prctica 2

31

a) 1 3 12 a b

## b) 2

1 3 30 1 1 2

ba a b + +

##

c) 1 3 3 22 3 3 2

0 1 1a a b a

+ +

###

d) 1 1 22 4 4 2

2 0 12 1

a ba

a

+

###

Ejercicio 21.- Resolver el sistema para todos los valores de b.

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

2 22 2

3 3 2 2

x bx x x bx bx xx bx x x b

+ + = + + = + + =

Ejercicio 22.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales (2,0,1) es la nica

solucin del sistema 1 2 3

1 2 3

2 3

2 2 23

2 3 3

x ax xx x bx

x x

+ = + = =

Ejercicio 23.- Hallar todos los valores de k para los cuales

M = {(1,1,0,0)+(2,0,1,0) , R} es el conjunto de soluciones del sistema

1 2 3

2 22 4

3 4

2 0 ( 1) 2 1

( 1) 4 1

x x xk x x k

k x x k

+ = + = + + + =

32

Ejercicio 24.- Determinar, para todos los valores reales de a y b, si el sistema cuya matriz

ampliada es 1 1 1

1 2 21

aa a a

a a b

+

###

es compatible determinado, compatible

indeterminado o incompatible.

Ejercicio 25.- Encontrar todos los valores de a y b para los cuales el sistema cuya matriz

ampliada es 1 1 1

1 1 11

aa

a a b

###

tiene como conjunto solucin una recta.

EJERCICIOS SURTIDOS

1. Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + A + I = 0.

Demostrar que A1 = I A.

2. Determinar ,a bR para que (1, 1,2, 1) sea solucin del sistema cuya matriz

aumentada es 1 2 1 2

2 2 0 2 24 5 4

aba b

###

.

Para los valores hallados resolver el sistema.

3. Se considera el sistema

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 3 22 1

02 3 5 7

= + + + = + + = =

ax x cx xx ax bx cxx cx ax bx

bx ax cx x

Hallar los valores de , , a b c R para los cuales (2, 1, 1,2)= X es solucin del sistema.

Prctica 2

33

4. Encontrar una matriz X que satisfaga la ecuacin

0 1 1 2 1 0

2 1 61 1 1 0 1 0

1 1 20 3 2 1 2 1

= X X

5. Se sabe que 110

y

311

son soluciones del sistema =Ax b . Hallar alguna solucin de

=Ax b que tambin sea solucin de 1 2 32 2 9 + =x x x .

6. Hallar todos los valores de k R para los cuales el conjunto de soluciones del sistema 2 122 2

+ + = + + = + =

x ky zkx y kz k

y kz k es una recta contenida en el plano 4 2 4 + =x y z .

7. Se sabe que 211

es solucin de

03 1

2

= Ax y que

120

es solucin de

02 1

2

= Ax .

Encontrar cuatro soluciones distintas del sistema 012

= Ax .

8. Hallar todos los valores de aR tales que {(2,0,3)} es el conjunto de soluciones del

sistema 1 2 3

1 2 32

1 2 3

53 3

x x xx ax xx x ax a

+ = + + = + + =

9. Sean 2 3 62 2 61 1 3

A =

, 3 3B R una matriz inversible y 3 3C R tales que BC=A.

Hallar las soluciones del sistema 2 2B C B=x x 3( )Rx .

34

10. Hallar todos los valores de ,a bR para los cuales el sistema

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3: 2 2 1

2 2

x x ax x bS x x ax x

x x x x b

+ + = + + = + + = es compatible indeterminado.

Resolver el sistema para alguno de los valores hallados.

11. Sean 4 0 01 00 1 2

A k =

y 0 0 30 3 03 0 0

B =

.

Hallar todos los valores de kR para los cuales el sistema 2A B= x x x tiene infinitas soluciones. Resolver el sistema para alguno de los valores de k hallados.

12. Se sabe que (1,2,0) y (3,0,1) son soluciones de un sistema no homogneo S. Hallar una

solucin de S que sea tambin solucin del sistema 1 2

1 2 3

1 2 3

32 24 3 8

x xx x xx x x

+ = + + = + + =

13. Sean en 4R los sistemas

1 2 4

1 1 2 3

1 2 3 4

3 12 2

3 3 2 3 5

x x xS x x x

x x x x

+ = + = + + = y 1 22

1 3

2 4x xS

x ax b+ = + =

Hallar todos los valores de ,a bR para los cuales S1 y S2 tienen infinitas soluciones comunes. Para los valores hallados encontrar todas las soluciones comunes.

Prctica 3

35

PRCTICA 3 DETERMINANTES

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Una permutacin del conjunto { }1, 2,..., n es un arreglo de estos nmeros en cierto orden, sin omisiones ni repeticiones. Para denotar una permutacin cualquiera se escribir

1 2( , ,..., )nj j j , donde ji es el i-simo elemento de la permutacin. Se dice que ocurre una

inversin en una permutacin 1 2( , ,..., )nj j j siempre que un entero mayor precede a uno

menor. Diremos que una permutacin es par, si el nmero total de inversiones es un

nmero par, y diremos que es impar si el nmero total de inversiones es impar.

Sea n nA R , 11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

=

""

# # #"

Por producto elemental tomado de A se entiende cualquier producto de n elementos

tomados de A, sin que dos cualesquiera de ellos provengan de una misma fila ni de una

misma columna.

Una matriz n nA R admite n! (n!=n(n1)(n2)...3.2.1) productos elementales. Estos son de la forma

1 21 2.....

nj j nja a a donde 1 2( , ,..., )nj j j es una permutacin de { }1, 2,..., n .

Se denomina producto elemental con signo tomado de A a un producto elemental

1 21 2.....

nj j nja a a multiplicado por +1 por 1 segn la permutacin 1 2( , ,..., )nj j j sea respectivamente par o impar.

Se define el determinante de A como la suma de todos los productos elementales con signo

tomados de A.

Notamos det( )A A= = 1 21 2 ..... nj j nja a a Propiedades: Si A es una matriz cuadrada que contiene una fila de ceros, det( )A = 0.

Si A es una matriz triangular de nn, det( )A es el producto de los elementos de la diagonal, es decir det( )A = 11 22 ..... nna a a .

36

Propiedad: Sea n nA R Si Aes la matriz que se obtiene cuando una sola fila de A se multiplica

por una constante k, entonces det( ) det( )A k A= . Si Aes la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas de A, entonces

det( ) det( )A A= . Si Aes la matriz que se obtiene al sumar un mltiplo de una de las filas

de A a otra fila, entonces det( ) det( )A A= . Si m nA R , la matriz transpuesta de A es la matriz t n mA R que tiene como filas a las columnas de A.

Propiedades: Si n nA R , entonces det( ) det( )tA A= . Si , y n n n nA B k R R R , entonces det( ) det( )nkA k A= det( ) det( )det( )AB A B= A es inversible si y slo si det( )A 0.

Si A es inversible, entonces 1 1det( )

det( )A

A = .

DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR COFACTORES.

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento ija se denota ijM y se define

como el determinante de la submatriz que queda al eliminar de A la i-sima fila y la j-sima

columna. El nmero ( 1)i j ijM+ se denota ijC y se conoce como cofactor del elemento ija .

Se puede calcular el determinante de una matriz n nA R multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos que resulten.

Es decir: para cada 1 y 1 ,i n j n 1 1 2 2det( ) ...j j j j nj njA a C a C a C= + + +

(desarrollo por cofactores a lo largo de la j-sima columna)

y

1 1 2 2det( ) ...i i i i in inA a C a C a C= + + + (desarrollo por cofactores a lo largo de la i-sima fila)

Si n nA R y ijC es el cofactor de ija entonces la matriz

Prctica 3

37

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

C C CC C C

C C C

""

# # #"

se conoce como matriz de cofactores tomados de A. La transpuesta de esta matriz se

denomina adjunta de A y se denota adj(A).

Propiedad: Si A es una matriz inversible, entonces 1 1det( )

adj( )A

A A = .

REGLA DE CRAMER.

Si A =x b es un sistema de n ecuaciones con n incgnitas tal que det( )A 0, entonces la nica solucin del sistema es 1 2( , ,..., )nx x x con

11

det( )det( )

AxA

= , 22 det( )det( )AxA

= , ..... , det( )det( )

nn

AxA

=

donde jA es la matriz que se obtiene al reemplazar la j-sima columna de A por b.

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Calcular los siguientes determinantes, desarrollando por cofactores por las

filas y columnas indicadas.

a)

2 0 5 10 2 4 20 0 1 51 3 3 0

por tercera filapor primera columna

b)

3 0 0 04 0 6 05 8 1 02 3 0 6

por segunda filapor tercera columna

c)

5 0 1 0 02 0 3 1 01 1 0 0 00 0 1 0 01 0 3 0 1

por cuarta filapor quinta columna

38

Ejercicio 2.- Calcular los siguientes determinantes, desarrollando por cofactores por la fila

o columna ms conveniente.

a)

1 2 1 00 0 1 01 5 0 20 0 3 1

b)

1 0 4 03 0 5 60 5 9 00 0 4 0

c) 2 0 54 0 10 0 7

d)

2 0 1 0 40 0 0 6 30 7 0 0 05 4 0 0 20 0 0 2 0

Ejercicio 3.- Calcular los determinantes de las siguientes matrices usando propiedades.

a) 2 0 13 2 20 0 0

b)

2 0 04 1 00 2 5

c)

1 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 00 4 0 4 01 0 0 0 5

Ejercicio 4.- Determinar los valores de k para los cuales det(A) = 0.

a) 2 4

2 4k

Ak

+ = b) 2

2 10 1 20 0 2

kA k

k

= c) 2

3 09 0

3 3 1

=

kA k

Ejercicio 5.- Sea 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

= , tal que det(A) = 7.

Calcular los determinantes de las siguientes matrices.

a) 13 11 12

23 21 22

33 31 32

a a aa a aa a a

b)

11 12 11

21 22 21

31 32 31

a a aa a aa a a

c) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

222

a a aa a aa a a

d)

11 12 13

21 11 22 12 23 13

31 32 33

3 3 3a a a

a a a a a aka ka ka

+ + +

Prctica 3

39

Ejercicio 6.- Sean 1 0 32 2 11 0 1

A =

y 2 1 10 1 80 0 1

B =

.

Calcular det( )AB det( )A B+ 10det( )A 5 5det( )A B A Ejercicio 7.- Sin calcular la matriz inversa, decidir si son inversibles las matrices dadas.

a) 2 13 1

b) 2 1 12 1 13 2 2

c)

2 3 10 0 11 1 1

d)

1 0 0 00 2 2 32 0 0 13 0 3 2

Ejercicio 8.- Determinar todos los valores reales de x para los cuales la matriz es inversible.

a) 1 2

2 2x

x+ b)

2 3 21 2 41 1x x

+ c)

1 1 32 1 22 1 4

x

x

+

Ejercicio 9.- Si 3 3 y det( ) 15A A =R , calcular a) det(2 )A b) 1det((3 ) )A c) 1det(3 )A

Ejercicio 10.- Determinar en cada caso todos los valores de kR para los cuales el sistema tiene solucin nica.

a) 1 3

1 2

1 2 3

12 2 32 2

x xx xx x kx

+ = + = + + =

b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 0(2 2) 2 0

( 2) ( 3) 2 0

x x xk x kx xk x k x x

+ = + + = + + + =

c) 1 2 3

1 2 3

1 2

3 23 3

2 1

x x kxx kx xx x

+ = + = + =

Ejercicio 11.- Encontrar el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y resolver el sistema para el valor hallado.

1 2 3

22 3

1 2 3

2 44 0

3 3

x x xa x x

x x x a

+ = + = + + =

40

Ejercicio 12.- Determinar los valores de k para los cuales el sistema tiene: i) ninguna solucin ii) solucin nica iii) infinitas soluciones

a) 1 3

1 2 32 2

1 3

12 2 3

( 3) 1

x xx x x

k x x k k

+ = + = = +

b) 1 2 3

1 2 32

1 2 3

2 32 3 2 2

4 ( 8) 14

x x xx x xx x k x k

+ + = + + = + + = +

c) 1 2 3

22 3

21 2 3

0( 1) ( 1) 1( 2) 2

+ = + + = + + + =

kx x xk x k x

kx k x x

Ejercicio 13.- Sea 2 0 22 11 0

A a aa

= + . Encontrar todos los valores de a para los cuales el

sistema A =x x admite solucin no trivial.

EJERCICIOS SURTIDOS

1. Sea 3 31 0 10 1 4 y 2 3 2

A B =

R tal que det( ) 2.AB = Calcular 1det( )B .

2. Sea 3 32 2 11 2 2 y 2 1 2

A B =

R tal que det( ) 3.B =

Hallar todas las soluciones del sistema (BA)x = Bx.

3. Sea 0 1

0 2 21 0 1

aA a

= . Decidir para qu valores de a el sistema

2( 2 )A A+ =x 0 tiene solucin no trivial.

4. Sean 1 1 00 41 1 2

= A k y

2 1 11 10 1 2

= B k .

Hallar todos los k R tales que 1 1det( ) det( )4

=BA BA .

Prctica 4

41

PRCTICA 4

ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real V, o espacio vectorial sobre R, es un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones: suma y producto por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades. EV1.- Si u V y v V, entonces la suma u + v V.

EV2.- Si k R y v V, entonces el producto kv V.

EV3.- Si u, v y w V, entonces (u+v)+w = u+(v+w)

EV4.- Existe un elemento en V, notado 0, tal que 0+u = u+0 = u para todo u V.

EV5.- Para cada elemento u V existe u V tal que u+(u) = u+u = 0.

EV6.- Si u y v V, entonces u+v = v+u.

EV7.- Si u y v V y c R, entonces c(u+v) = cu+cv.

EV8.- Si a y b R y v V, entonces (a+b)v = av+bv.

EV9.- Si a y b R y v V, entonces (ab)v = a(bv).

EV10.- Si u V, entonces 1u = u (1 R)

Notacin: uv = u+(v)

Si V es un espacio vectorial real valen las siguientes propiedades.

a) 0v = 0 para todo v V.

b) k0 = 0 para todo k R.

42

c) (1)v = v para todo v V.

d) (v+w) = vw para todo v y w V.

e) k(vw) = kvkw para todo v y w V, k R.

f) kv = 0 si y slo si k = 0 v = 0.

SUBESPACIOS

Sea V un espacio vectorial real, y sea W un subconjunto de V. W es un subespacio de V si se satisfacen las siguientes tres condiciones:

- El vector 0 de V pertenece a W .

- Si u y v son elementos de W , entonces su suma u+v pertenece a W .

- Si v es un elemento de W y c es un nmero real, entonces el producto cv pertenece a W .

Observacin: W es un espacio vectorial real.

Propiedad: Si S y T son subespacios de un espacio vectorial V, entonces la interseccin

ST es un subespacio de V.

Propiedad: El conjunto de soluciones de un sistema homogneo con n incgnitas es un subespacio de nR .

COMBINACIONES LINEALES

Sean V un espacio vectorial sobre R y v1, ..., vn elementos de V. Se dice que un vector w es una combinacin lineal de v1, ..., vn si se puede expresar en la forma w = k1v1 + ... + knvn , donde k1, ..., kn son nmeros reales. Si todo elemento de V es una combinacin lineal de v1, ..., vn decimos que { }1,..., nv v genera V o que { }1,..., nv v es un conjunto de generadores de V.

1

/r

i i ii

k k=

= v RW es un subespacio de V que se denomina subespacio generado por { }1,..., rv v y se nota W = 1,..., rv v .

Prctica 4

43

Propiedad: Si W es un subespacio de V y 1,..., rv v son vectores de W , entonces

1,..., rv v W . O sea 1,..., rv v es el menor subespacio de V que contiene a los vectores 1,..., rv v .

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Sea V un espacio vectorial sobre R, y sean 1,..., nv v elementos de V.

Decimos que { }1,..., nv v es linealmente dependiente si existen nmeros reales 1,..., na a , no todos iguales a cero, tales que 1 1 ... n na a+ + =v v 0 .

Decimos que { }1,..., nv v es linealmente independiente si y slo si se satisface la siguiente condicin: siempre que 1,..., na a sean nmeros reales tales que 1 1 ... n na a+ + =v v 0 , entonces

1 ... 0na a= = = .

Propiedad: Sea V un espacio vectorial sobre R, y sean 1 2 3 4, , ,v v v v vectores de V. Son equivalentes:

a) { }1 2 3 4, , ,v v v v es linealmente independiente. b) { }1 2 3 4, , , con , 0, es linealmente independiente.k k k v v v v R c) { }1 2 2 3 4, , , con , es linealmente independiente.k k+ v v v v v R Propiedad: Si { }1 2, ,..., nv v v es linealmente independiente y 1 2, ,..., nw v v v entonces

1 2, ,..., ,nv v v w es linealmente independiente.

Propiedad: Si w es combinacin lineal de 1 2, ,..., kv v v , entonces

1 2 1 2, ,..., , , ,...,k k=v v v w v v v .

El rango fila de una matriz A es igual al mximo nmero de filas linealmente independientes de A.

El rango columna de una matriz A es igual al mximo nmero de columnas linealmente independientes de A.

Propiedad: El rango fila de A es igual al rango columna de A, y lo notamos rgA.

De aqu en ms, cuando decimos espacio vectorial entenderemos espacio vectorial sobre R.

44

BASES

Una base de un espacio vectorial V es una sucesin de elementos 1,..., nv v de V tales que:

a) { }1,..., nv v genera V b) { }1,..., nv v es linealmente independiente Se dice que un espacio vectorial V, diferente de cero, es de dimensin finita si contiene una

sucesin finita de vectores que forman una base de V.

Propiedad: Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V de dimensin finita tienen el mismo nmero de vectores. Si V es un espacio vectorial de dimensin finita, la dimensin de V es el nmero de

vectores que tiene cualquier base de V. Si V= 0, entonces V no tiene base y se dice que su dimensin es cero.

Propiedad: La dimensin de { }10 / 0n A= =x xRS , es igual a n rgA . SUMA DE SUBESPACIOS

Sea V un espacio vectorial, y sean S y T subespacios de V; se define la suma de S y

T como S + T = { }/ , con y = + v v s t s tV S T . Propiedades: a) S + T es un subespacio de V.

b) Si dimV = n, entonces dim(S+T) = dimS + dimT dim(ST).

Sea V un espacio vectorial. Si S y T son subespacios de V que verifican simultneamente:

S+T = V y ST = 0, entonces V es la suma directa de S y T, y se nota V = ST.

En general, si W V verifica W = S + T y ST = 0, se dir que W es la suma

directa de S y T , y se notar W = ST.

COORDENADAS

Sea V un espacio vectorial, y B = { }1,..., nv v una base de V. Si 1 1 ... n na a= + +v v v , entonces ( )1 ,..., na a son las coordenadas de v con respecto a la base B, y notamos ( ) ( )1B ,..., na a=v

Prctica 4

45

Observacin: Las coordenadas de un vector dependen de la base. Recuerde que cuando se da una base { }1,..., nv v , importa el orden en que se dan los vectores.

ESPACIO EUCLDEO

Llamamos espacio eucldeo de dimensin n al espacio vectorial Rn con el producto

interno 1 2 1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ...n n n nx x x y y y x y x y x y = + + + . Si S es un subespacio de Rn , el conjunto { }/ 0 para todo n = x x s sR S se llama el complemento ortogonal de S y se nota S .

Propiedades: S es un subespacio de Rn .

{ }. = 0S S dim dim y .nn = =RS S S S ( ) =S S

Si 1 2, ,..., r= v v vS , w es ortogonal a v para todo vS si y slo si

0 para 1 .i i r = w v Observacin: Si { }1 2, ,..., es una base de rv v v S , para hallar S basta buscar n-r vectores linealmente independientes que sean ortogonales a todos los vi.

Si 1 2 1 2 1 con y ,= + v s s s s sS S se llama la proyeccin ortogonal de v sobre S.

Propiedad: La proyeccin ortogonal de v sobre S es el punto de S que est a menor

distancia de v, es decir que 1 . v s v s s S

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Determinar cules de los siguientes conjuntos son subespacios.

a) ( ){ }31 2 3 1 2 3, , / 2 0= + =x x x x x xRW b) ( ){ }21 2 1 2, / 0x x x x= + RW

46

c) { }2 2 11 22/ 0A a a= + =RW d) ( ){ }21 2 1 2, / 0x x x x= =RW e) { }3 / (1, 2,1),= = v vR RW f) 2 1

1 1/ .

2 1X X X

= = RW

g) { }/ . 0n= =v w vW R donde w es un vector fijo de nR . h) El plano que contiene a los puntos (2, 4, 1) , (6, 4,5) y (5,2,3) .

Ejercicio 2.- Decidir cules de los vectores dados pertenecen al subespacio S.

a) (1, 2, 4)= S 1 14 2

( , ,1)= u ; (2, 4,4)= v ; (0,0,0)=w

b) (1, 1,3) , (2,1, 1)= S (0, 3,2)= v ; ( 1, 5,11)= w

c) (1, 1, 2, 4) , (2,1,3, 1), (0, 2,1,0)= S (3, 2,4,3)=v ; (0, 1,0,1)= w

Ejercicio 3.- Hallar aR para que el vector w pertenezca al subespacio S . a) (1, 2,1), ( 1,3, 2)= S (2, ,0)a=w b) (1,0,0,1), (0, 2,1, 1), (1, , 1,0)a= S (1, 1,2,3)= w

Ejercicio 4.- Decidir si el conjunto de vectores dado genera V.

a) V=R3 { }(1,1,1) , (3, 2,1) , (1,1,0) , (1,0,0) b) V=R3 { }(1, 2, 1) , (0,1, 1) , (2,5, 3) c) V=R4 { }(1, 1,0,1) , (1, 1, 1, 2) , (0,1, 2,1) , (1,3,1,3) d) V=R22

1 0 1 1 1 0, ,

0 2 1 1 1 0

Prctica 4

47

Ejercicio 5.- Hallar un conjunto de generadores del subespacio S.

a) { }3 1 2 3/ 4 0x x x= + =x RS b) { }5 1 2 5 2 3 4/ 4 2 0x x x x x x= + = + =x RS c) 2 2

1 1 1 1/ . .

2 1 2 1 = =

X X XRS

d) 2 21 2

/ . 0, con 2 4

X A X A = = =

RS

Ejercicio 6.- Encontrar un sistema de ecuaciones cuyo conjunto de soluciones sea S.

a) (1,0,1)=S b) (0,1, 2, 1) , (1,0,1,0)= S c) (1,1,1,1) , (2,1,0, 1) , (1,0,1,1)= S

d) 1 2 1 1 0 1

, ,0 1 2 0 1 0

= S

Ejercicio 7.- Estudiar la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores.

a) { }(2,1, 2) , (1, 3,0) , (5, 1, 4) b)

1 3 1 3 0 1 0 2, , ,

3 1 0 3 1 0 1 1

c) { }(5, 4,3, 2,1) d) { }(0, 2,1, 1), (1,0,0,1), (1,3, 2,1), (2,1, 3, 4)

Ejercicio 8.- Determinar los valores reales de k para los cuales el conjuntos de vectores es

linealmente independiente.

a) { }(0,1, 2) , (1, 1, ) , (1, 3,0)k b) { }(1, 1,3) , ( , 1, 4) , ( 1, 1, )k k k k k k + + + +

48

c) 1 0 1 2 1 1 2 3

, , ,0 1 2 0 0 0

k kk k k

+

Ejercicio 9.- Sea { }1 2 3, ,v v v un conjunto de vectores linealmente independientes. a) Determinar si { }1 2 3, ,w w w es un conjunto linealmente independiente. i) 1 1 32= +w v v ; 2 1 2 32 3= +w v v v ; 3 2 32= +w v v ii) 1 1 2 3= + w v v v ; 2 1 22 3= w v v ; 3 2 35 2= w v v b) para qu valores de es { }1 3 1 2 2 3, 3 , 3 + +v v v v v v linealmente independiente? Ejercicio 10.- Hallar base y dimensin de los siguientes subespacios.

a) { }2 1 2/ 6 2 0x x= =x RS b) { }3 1 2 3/ 3 0x x x= + =x RS c) { }4 1 3 1 2 4 1 2 3 4/ 2 2 2 0x x x x x x x x x= = + + = =x RS

d) 4 11 0 1 1

/ 0 1 2 12 1 4 1

= =

RS x x 0

e) 2 21 2 1 2

/1 1 1 1

X X X = =

S R

f) (1, 2,3) , (3,1,0)=S

g) 32

(2,8, 3) , ( 1, 4, )= S

h) (1, 1, 2,1) , (2,1,1,1), (1, 2, 1,0), (0,1,1,1)= S

i) 2 1 1 0 0 1 3 1

, , ,1 0 1 2 1 4 2 2

= S

Prctica 4

49

Ejercicio 11.- Decidir si el conjunto de vectores dado es base del subespacio

{ }4 1 2 4/ 2 0x x x= + =x RS . a) { }(1,1,0,0) , (0, 2,0,1) b) { }(1,1,0,0) , (0, 2, 1,1) , (2,0,0, 1) c) { }(1,1,0,0) , (0, 2, 1,1) , (1, 1,0,1) d) { }(1,1,0,0) , (0, 2, 1,1) , (3,1,1, 1)

Ejercicio 12.-Sea { }4 1 2 3/ 2 0x x x= + =x RS . Hallar una base B de S tal que todos los vectores de B tienen todas sus coordenadas distintas de 0.

Ejercicio 13.- Determinar la dimensin de kT para todos los valores de kR . a) (0, 1, ) , (1, 1,0) , ( 3,0,1)k k= T b) 1 2 3 4 1 3 1 2 3 42 , , 2 3 2k k= + + + +v v v v v v v v v vT , donde { }1 2 3 4, , ,B = v v v v es una base de un espacio vectorial V. Ejercicio 14.- Extender, si es posible, el conjunto de vectores a una base de 2 2R .

a) 1 0 3 1

,1 0 1 0

b) 1 1 0 2 1 1

, ,3 2 1 1 1 1

c) 1 1 0 1 3 2

, ,1 1 1 2 4 5

Ejercicio 15.- Hallar una base de V que contenga a una base de S.

a) 4=RV { }4 1 2 3 2 4/ 0x x x x x= + = =x RS b) 3 2=RV { }3 2 11 31 12 21 22 11 22 32/ 0X x x x x x x x x= + = + = + =RS c) 5=RV (1, 2,0,1, 1) , (2,1,1,0,0) , (1, 1,1, 1,1)= S

50

Ejercicio 16.- Extender, si es posible, el conjunto { }(1, 1,0,1) , (0,1,0, 1) a base de 4R con vectores del subespacio T.

a) { }4 2 4/ 0x x= + =x RT b) { }4 1 3/ 0x x= + =x RT Ejercicio 17.- Extraer, si es posible, dos bases de V, del conjunto de vectores dado.

a) V=R3 { }(1,0, 1) , (0,1,1) , (1,1,0) , (2,1, 4) b) V=R3 { }(2,0,0) , (0, 1, 4) , (2,1, 4) , (1, 1, 4) c) V=R22

1 1 1 1 1 1 1 0 1 2, , , ,

1 1 1 0 0 0 0 0 3 4

Ejercicio 18.- Determinar si los subespacios S y T son iguales.

a) (1,0, 2) , (1,1, 1)= S { }3 1 2 3/ 2 3 0x x x= =x RT b) (0,1,0) , (1,1,3)=S (2, 2,6) , (1,1,1)=T

c) { }4 1 2 3 4 1 4/ 2 0x x x x x x= + = + =x RS { }4 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4/ 3 2 2 0x x x x x x x x x x= + = + = + =x RT d) (1, 1,0, 2)= S { }4 1 2 3 2 4 3/ 2 0x x x x x x= + + = + = =x RT e) { }2 2 11 22 11 12/ 2 0A a a a a= + = + =RS 2 1 1 0;0 2 0 1 = T

Ejercicio 19.- Hallar base y dimensin de S T . a) { }4 1 2 3 4 2 3 4/ 2 2 0x x x x x x x= + + = + =x RS { }4 1 4/ 2 0x x= + =x RT b) { }4 1 2 3 2 4/ 2 0x x x x x= + = + =x RS ( 1,0,1,1), ( 2, 2,1, 4)= T

Prctica 4

51

c) { }4 1 2 3 4/ 2 2 3 0x x x x= + + =x RS (1, 1,0,0), (0,1, 1,0), (0,1,0, 1)= T d)

1 1 0 1 0 0, ,

2 1 1 1 1 1 = S

{ }2 2 11 21 22/ 0A a a a= + =RT e) (2,1,0) , (1,1, 1)= S (0,1, 2) , (1,3, 1)= T

Ejercicio 20.- Hallar base y dimensin de +S T .

a) (1, 1,0,1) , (2,1,1,1)= S (3,0, 2, 2)=T

b) (2,1, 1) , (1,0,3)= S { }3 1 2 3/ 2 0x x x= + + =x RT

Ejercicio 21.- Sean { }4 1 2 4 1 3 4/ 2 2 0x x x x x x= + = + =x RS y (1,3,1, 1);(0,1, 2, 2)= T .

a) Hallar una base de +S T .

b) Escribir (3,5,7,1)=v como = +v s t , con s S y t T , de dos maneras distintas.

Ejercicio 22.- Sean { }3 1 2 3/ 0x x x= + + =x RS , (0,1, 2);(1, 1,1)= T y (3,1,2)=v . Hallar s S y t T tales que ,v s t .

Ejercicio 23.- Sean { }4 1 2 4 1 3/ 2 0x x x x x= + = + =x RS y { }4 2 3 1 3 4/ 2 3 3 0x x x x x= + = + + =x RT . Hallar una base de R4 que contenga a una base

de S y a una base de T.

Ejercicio 24.- Sea { }1 2 3 4, , ,B = v v v v base de un espacio vectorial V y sean 1 2 2 32 ,= + +v v v vS y 3 4 1 2 4,= + + +v v v v vT .

a) Hallar base y dimensin de S T y de +S T . b) Hallar un vector +v S T tal que v S y v T .

52

Ejercicio 25.- Decidir si + =HS T . a) { }4 1 3 2 3 4/ 2 0x x x x x= + = + =x RS , (1, 2,1,0);(0,0,1, 1)= T ,

{ }4 1 2 3 4/ 0x x x x= + + =x RH b) { }5 3 4 1 5 1 2 5/ 2 2 0x x x x x x x= = + = + =x RS , (1, 2,1,1,0);(0,1, 2,3,1)= T ,

{ }5 1 2 5/ 2 0x x x= + =x RH c) (1,0,1,3);(2, 2, 2,3)=S , (3, 2,3,6);(0,0,1,0)=T , (1,1,0, 1);(2,1,1, 2);(0,1,1,1)= H

Ejercicio 26.- Hallar dos subespacios distintos T y T tales que = = V S T S T .

a) 4=RV (1, 2,1,0) , ( 1,3,1,1)= S

b) 5=RV { }5 1 3 4 5 1 2 2 3 4 5/ 2 3 2 0x x x x x x x x x x= + + = = + + =x RS c) { }4 1 2 3 4/ 2 0x x x x= + + =x RV (1, 1,0, 1) , (1, 1,1,0)= S

Ejercicio 27.- Sean 1 0 1 1

,0 1 2 0 = S y { }2 2 11 12 21/ 0A a a a= = =RT .

a) Probar que 2 2 = R S T .

b) Escribir 3 3

como con y 5 0

= = + w w s t s tS T .

Ejercicio 28.- Sean { }3 1 2 3 2 3/ 2 0x x x x x= + + = =x RS y { }3 1 2 3 1 2/ 2 0x x x x x= + = + =x RT . Hallar un subespacio W tal que

3 y = RT W S W .

Ejercicio 29.- Sea { }4 2 1 3/ 0x x x= = + =x RS . Encontrar un subespacio 4T R que verifique simultneamente: 4(1,0, 1,1) y = + =RS T S T .

Prctica 4

53

Ejercicio 30.- Sean { }4 1 3 4 1 2 3 4/ 0x x x x x x x= + = + + + =x RS y { }4 1 2 3 4 1 2 3 4/ 2 0x x x x ax bx cx dx= + + + = + + + =x RT Determinar todos los valores reales de a, b, c, d para los cuales la suma +S T no es directa.

Ejercicio 31.- Sean { }5 1 2 3 4 5/ 2 0x x x x x= + =x RH , { }5 1 2 3 4 5 / 2 0x x x x x= + + + + =x RH , (1,0,0,1,0);(0,0,1,0,0);(1, 1,1,1,1)= W , { }5 1 2 3 4 5/ 2 0x x x x x= = =x RS y { }5 1 2 3 4 5 / 2 0x x x x x= + = + + =x RS .

Encontrar un subespacio 5RT que verifique simultneamente: =HS T ; =HS T ; { }0 T W .

Ejercicio 32.- Encontrar todos los vectores de 3R que son ortogonales a todos los vectores del conjunto { }(1,0, 1);( 1,1,3) .

Ejercicio 33.- Encontrar el complemento ortogonal del subespacio S .

a) { }4 1 2 3 4 1 4/ 2 0x x x x x x= + + = + =x RS . b) (1,1,3);(2,1, 1)= S

c) (2,1, 2,0);(1,0, 2,1);(3,1, 4,1)=S

Ejercicio 34.- En 3R , encontrar el complemento ortogonal de:

a) el eje x;

b) el plano coordenado yz;

c) el plano de ecuacin 1 2 33 2 0x x x+ = ; d) la recta de ecuacin ( 1,2,5)X = .

54

Ejercicio 35.- Sea (2,0,0,3,1);(0,1,1, 1,0)= S . Hallar una base de S , y dar un sistema de ecuaciones cuyo conjunto de soluciones sea el subespacio S .

Ejercicio 36.- a) Sean 1 2 3: 6 4 0x x x + = y P = (7,5,9). Hallar el punto Q que est ms prximo al punto P. Calcular la distancia del punto P al plano . b) Sean : ( 2,4,1) L y P = (4,1,8). Hallar el punto QL que est ms prximo al punto P. Calcular la distancia del punto P a la recta L .

Ejercicio 37.- Sean en R3 las bases B={ }(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) B={ }(0,0,1) , (1,0,0) , (0,1,0) y B={ }(3,1, 2) , (0,1, 1) , (2,0,0) Hallar las coordenadas con respecto a las bases B, B y B de:

a) (4,1,3) b) 31 2 3( , , )x x x R

Ejercicio 38.- Hallar las coordenadas de la matriz 1 13 2

en la base

B=1 2 0 1 1 1 1 1

, , ,1 1 1 2 0 1 0 3

Ejercicio 39.- Sea B={ }1 2 3, ,v v v una base de R3. Determinar si { }1 2 3, ,w w w es linealmente independiente, si 1 2 3, ,w w w son los vectores de R

3 cuyas coordenadas

respecto de B son:

a) (2,3,1), (0,2,1) y (0,0,3) respectivamente.

b) (3,1,1), (1,0,2) y (5,1,3) respectivamente.

Prctica 4

55

Ejercicio 40.- Sea B={ }1 2 3 4, , ,v v v v una base de R4 y sea 1 2 3 1 4 1 2 3 4, , 3 2k k= + + + + +v v v v v v v v vT .

Determinar todos los valores de k en R para los cuales dim 3k =T .

Ejercicio 41.- Se sabe que B={ }1 2 3, ,w w w es una base de R3 y que las coordenadas de los vectores (0,1,1), (1,0,1) y (1,1,1) en la base B son, respectivamente, (1,2,2), (1,1,1) y (1,1,0). Hallar la base B.

Ejercicio 42.- Sea { }3 1 2 3/ 2 0= + =x x xx RS . Hallar una base B de R3 que contenga a una base de S y a una base de S , y tal que que vector (0,5,2) tenga coordenadas (0,1,4) en la base B.

EJERCICIOS SURTIDOS

1. Sea { }1 2 3 4; ; ;=B v v v v una base de un espacio vectorial V . Sean 1 3 4 22 ;= v v v vS y 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4; 2 ;= + + + + + k k kv v v v v v v v v v v vT . Hallar todos los valores de k R para los cuales =S T V .

2. Sean (1, 2,0,1);(0, 1,1,0)= S y { }4 1 2 3 4 1 3 4/ 2 0= + = =x x x x x x xxT R . Hallar, si existe, un subespacio W de modo que se verifique simultneamente:

dim( ) 1 =S W ; dim( ) 1 =T W ; dim(( ) ) 1+ =S T W ; dim 2=W

3. Sean en 4R los subespacios (2,1,0,1)=S , { }4 1 2 3 4/ 2 0= + =x x x xxH R y { }4 1 2 4 2 3 4/ 2 0= + + = + =x x x x x xxW R .

Hallar, si es posible, un subespacio T que verifique simultneamente:

=S TH y {0} T W .

56

4. Sean (1, 2,1,0);(0,3,0, 2)=S y (1,1,1,1);(3, 1,3, 4)= T . Hallar una base de 4R que contenga a una base de S y a una base de T .

5. Sean en 4R los subespacios (1,0,1, 2);(1,1,0, 1)= W ,

{ }41 1 2 3 4/ 2 0= + =x x x xxH R y { }42 1 2 3 4/ 0= + + =x ax x bxxH R . Hallar , a b R y un subespacio S tales que se verifique simultneamente:

1 =W S H y 2 =W S H .

6. Sean { }51 1 2 3 1 5/ 2 0;4 0x x x x x= + + = + =xS R y { }5 2 22 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4/ 3 0; 2 5 3 0; 2 0x x x x k x x x x x k x x x kx= + + = + + = + =xS R .

Hallar todos los kR para los cuales 1 2=S S .

7. Sean { }1 2 3; ;=B v v v , { }2 3 1 3 2' ; ;= + B v v v v v y { }2 3 1 3 1'' ; ;= + + B v v v v v bases de un espacio vectorial V y sean y v w tales que (1, 1,1)= Bv y ' (2,0, 1)= Bw . Hallar "(2 )+ Bv w .

8. Sean en 4R el subespacio { }4 2 3 4 1 2 3 4/ 2 0= + = + + + =x x x x x x xxS R y la base { }(1,1,1,1);(1,1, 2,0);(1, 2,0,0);(2,0,0,0)=B .

Hallar todos los vectores v que pertenecen a S y cuyas coordenadas en la base B son de la forma (a,b,a,b).

9. Sean en 4R los subespacios { }1 2 4 2 3/ 2 0x x x x x= + + = + =4x RS y (5,5, 1, 1);(3,1,0, 1)= T . Hallar un subespacio W de 4R , W T de manera que se

verifique simultneamente: =S W S T y + =S W +S T .

Prctica 4

57

10. Sea { }1 2 3 4, , ,B = v v v v base de un espacio vectorial V. Sean 1 2 3 4 2 3 42 2 ,= + + +v v v v v v vS y 1 2 3 1 32 ,= + + +v v v v vT . Hallar un subespacio tal que ( ) =W V W S T V .

11. Sea (1,1,0, 2);(0, ,1, 1);(1,0, 1, ); (0, 1, 1, 2)a b b= S . Hallar todos los valores de a y b tales que (1, 1,1,0) = S .

12. Sean (1, 2,1,1)=S , { }41 1 2 3 4/ 2 0x x x x= + =x RH y { }42 1 2 3 4/ 2 0x x x x= + + =x RH .

Hallar, si es posible, una base de 4R que contenga a una base de S , a una base de 1H y a

una base de 2H simultneamente.

13. Sean (1, 1,0,0);(0,0,0,1);( ,0,1, 1)a= W y (1,1,1,0);(2,0,1,1)=S . Determinar a R y un subespacio H de dimensin 2, tal que + =S H W .

14. Sean (1, 1,1,0); (0, 2, 1, 2)= S , { }4 1 2 4/ 0x x x= + + =x RH y la base B={(1,0,1,0); (0,1,0,1); (0,2,0,0); (1,0,1,0)}. Hallar un subespacio 4 de RT tal que =T S H , y para todo v T , las coordenadas de v en la base B son de la forma (a,b,a,b).

15. Sean { }3 3 11 22 33/ 0A a a a= + + =RT , 3 3 , I =RS S donde I es la matriz identidad. Calcular dim( )+S T .

Si 1 2 01 2 21 1 3

B =

, hallar y tales que S T B S T = +S T .

58

16. La matriz 2 36 3 tiene coordenadas (1,2,0,3) en la base

1 0 0 0 0 1; ; ;

1 1 0 1 1 0a b

Bc d

= . Calcular las coordenadas de

1 33 2 en la base B

17. Sean B={(1,1,0,2);(0,1,2,0);(2,1,1,0);(0,0,0,1)} y { }1 2 4 2 3 4/ 2 0x x x x x x= + = =4x RS . Hallar todos los 4v R tales que v S y las

coordenadas de v en la base B son de la forma (a,0,b,0).

Prctica 5

59

PRCTICA 5

TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una transformacin lineal f : V W es una funcin que satisface las siguientes dos propiedades:

TL1: Si u V y v V, f (u + v) = f (u) + f (v) TL2: Si k R y u V, f (ku) = kf (u)

Son transformaciones lineales:

La funcin nula 0: V W dada por 0(v) = 0, para todo v V. La funcin identidad id : V V, dada por id(v) = v, para todo v V.

Propiedades: Cualquier transformacin lineal f : V W satisface: a) f (0) = 0

b) f (v) = f (v) para todo v V c) f (v w) = f (v) f (w) para todos v y w V d) f (a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = a1 f (v1) + a2 f (v2) + ... + an f (vn) para todos aiR, vi V

Si f : V W, S V, T W, w W , notamos: f (S) = { w W / w = f (s) , con s S } f 1(w) = { v V / f (v) = w } f 1(T) = { v V / f (v) T }

Propiedades:

Si S es subespacio de V, entonces f (S) es subespacio de W.

Si T es subespacio de W, entonces f 1(T) es subespacio de V.

60

Teorema. Si { v1, v2, ..., vn } es una base de V, y w1, w2, ..., wn son vectores (no necesa -

riamente distintos) en W, entonces hay una nica transformacin lineal f : V W tal que f (v1) = w1, f (v2) = w2, ..., f (vn) = wn.

Este teorema nos dice que una transformacin lineal est completamente determinada por

los valores que toma en una base.

Si f : V W es una transformacin lineal, llamamos: ncleo de f al conjunto Nu f = { v V / f (v) = 0 } imagen de f al conjunto Im f = { w W / w = f (v) , con v V } Observacin: Im f = f (V).

Propiedades: Si f : V W es una transformacin lineal, entonces: a) Nu f es un subespacio de V.

b) Im f es un subespacio de W.

c) Si {v1, v2, ..., vn} es un conjunto de generadores de V, entonces {f (v1), f (v2), ..., f (vn)}

es un conjunto de generadores de Im f .

d) Si {f (v1), f (v2), ..., f (vr)} es linealmente independiente, entonces {v1, v2, ..., vr} es

linealmente independiente.

Decimos que una transformacin lineal f : V W es: monomorfismo si es inyectiva, esto es, si verifica f (v) = f (w) v = w. epimorfismo si es suryectiva, esto es, si Im f = W. isomorfismo si es biyectiva, es decir, si es monomorfismo y epimorfismo.

Propiedades: Si f : V W es una transformacin lineal, entonces: a) f es monomorfismo Nu f = {0}.

Prctica 5

61

b) Si f es monomorfismo y { v1, v2, ..., vr } es linealmente independiente, entonces

{ f (v1), f (v2), ..., f (vr) } es linealmente independiente.

c) f es isomorfismo si y slo si: Si { v1, v2, ..., vn } es base de V, entonces

{ f (v1), f (v2), ..., f (vn) } es base de W.

Teorema de la dimensin

Si f : V W es una transformacin lineal, entonces dim V = dim Nu f + dim Im f

Propiedades:

Si f : V W y g : W U son transformaciones lineales, la composicin g fD : V U, dada por (g D f )(v) = ( ( ))g f v , es transformacin lineal. Si f : V W es isomorfismo, la funcin inversa f 1: W V , que cumple

1f f D = idW y f 1 D f = idV, es isomorfismo. Si f : V W y g : W U son isomorfismos, g fD es isomorfismo y se verifica:

1 1 1( )g f f g =D D .

Una transformacin lineal p : V V es un proyector si p p p=D . Propiedad: Si p : V V es un proyector, entonces V = Nu p Im p Para todo v Im p, p(v) = v

Dada la transformacin lineal f : Rn Rm, existe una nica matriz A Rmn tal que f puede escribirse en la forma

1

21 2( , , , )n

n

xx

f x x x A

x

= # , f (x) = Ax

62

Esta matriz A tal que f (x) = Ax se denomina matriz de la transformacin lineal f , y

escribimos ( )A M f= .

Propiedad: Las columnas de ( )M f son un conjunto de generadores de Im f .

Si A Rmn , el rango columna de A es la dimensin del subespacio generado por las columnas de A ;

el rango fila de A es la dimensin del subespacio generado por las filas de A .

Teorema: Si A Rmn, entonces rango fila de A = rango columna de A

Esta igualdad nos permite hablar de rango de A, que notaremos rg A.

Propiedad: dim Im f = rg ( )M f .

Teorema: Si A Rmn, la dimensin del subespacio de soluciones de Ax = 0 es n rg A.

Sean B = { v1, ..., vn } base de un espacio vectorial V de dimensin n y B = { w1, ..., wm}

base de un espacio vectorial W de dimensin m.

Si f : V W es una transformacin lineal y f (vj) = a1jw1 + ... + amjwm, 1jn , llamamos matriz asociada a f en las bases B y B, a la matriz de mn:

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

n

nBB

m m mn

a a aa a a

M f

a a a

=

""

" " " ""

Notar que en la columna j de ( )BBM f estn las coordenadas de f (vj) en base B.

Prctica 5

63

La matriz ( )BBM f es tal que si v V, ( )( ) ( ( ))BB B BM f f=v v .

Observacin: Si f : Rn Rm y E y E son las respectivas bases cannicas, ( ) ( )EEM f M f= .

Notacin: Si W = V y B = B, escribimos ( )BM f en lugar de ( )BBM f .

Propiedad: rg ( )BBM f = dim Im f ; de esto se deduce que el rango de una matriz asociada a

una transformacin lineal no depende de las bases elegidas.

Propiedad: Matriz de la composicin:

Sean U, V y W espacios vectoriales, y sean B, B y B bases de U, V y W respectivamente.

Si f : U V y g : V W son transformaciones lineales, se tiene: ( ) ( ) ( )BB B B BBM g f M g M f=D

Propiedad: Si f : V W es un isomorfismo y B y B son bases de V y W respectivamente, 1 1

( ) ( ( ))B B BBM f M f = .

Si B y B son dos bases del espacio vectorial V, llamamos matriz de cambio de base de B a

B, a la matriz ( )BB BBC M id= .

Propiedad: 1 ( )B B BBC C=

Propiedad: Si f : V V es una transformacin lineal y B y B son bases de V, ( ) ( )B BB B B BM f C M f C=

o, en virtud de la propiedad anterior, 1

( ) ( ) ( )B B B B B BM f C M f C=

64

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Determinar si la funcin f es transformacin lineal.

a) f : R3 R2 , f (x1, x2, x3) = (x1 x2, 2x1) b) f : R2 R3 , f (x1, x2) = (x1 x2, 0, 0)

c) f : R2 R32 , f (x1, x2) = 1 1 2

1

0 00

x x x

x

d) f : R23 R32 , f (A) = At

Ejercicio 2.- Hallar la expresin de la transformacin lineal f.

a) f : R3 R4 tal que f (1,0,0) = (2,1,1,1), f (0,1,0) = (3,1,1,0) y f (0,0,1) = (0,0,4,1). b) f : R3 R3 tal que f (1,1,1) = (0,3,1), f (1,0,1) = (2,1,1) y f (1,1,0) = (3,2,4). c) f : R2 R22 tal que f (1,1) = 2 1

3 0 y f (1,1) =

0 12 1 .

Ejercicio 3.- Decidir si existe una transformacin lineal f que satisface: a) f : R3 R2 , f (1,2,0) = (3,4) , f (2,0,1) = (1,1) , f (0,4,1) = (7,7) b) f : R3 R3 , f (1,1,1) = (2,3,4) , f (0,1,1) = (1,2,1) , f (1,2,2) = (1,1,5) c) f : R2 R3 , f (1,1) = (2,1,1) , f (1,0) = (0,2,0) , f (5,2) = (4,8,2)

Ejercicio 4.- Hallar una base y la dimensin de Nu f y de Im f .

a) f : R3 R3 , f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 x2, 2x2 + x3) b) f : R4 R4 , f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3, 0, x2 +2x3, x1 + x2 + x3 ) c) f : R3 R22 , f (x1, x2, x3) = 2 3 1 3

1 2 2 3

x x x xx x x x + +

Ejercicio 5.- Sea f : R3 R2 la transformacin lineal f (x1, x2, x3) = (x1 x2, x2 + x3) y sean v = (2,3) ; S = (1, 2,1) ; T = { x R2 / 3x1 2x2 = 0 }. Hallar f (S), f 1(v) y f 1(T).

Prctica 5

65

Ejercicio 6.- Calcular dim Nu f y dim Im f .

a) f : R3 R5 monomorfismo b) f : R4 R3 epimorfismo c) f : R4 R4 f (x) =2x

Ejercicio 7.- Sea B = {v1, v2, v3} una base de V. Sea f : V V una t.l. tal que: f (v1) = v1 v2 v3 ; f (v2) = av2 + v3 ; f (v3) = v1 + v2 + av3.

Determinar todos los valores de a para los cuales f no es monomorfismo. Para cada uno de

ellos calcular el ncleo de f.

Ejercicio 8.- Definir una transformacin lineal que verifique las condiciones enunciadas.

a) f : R2 R2 tal que Nu f = { x R2 / x1 + 2x2 = 0 }, Im f = (1,0) b) f : R4 R4 tal que Nu f = { x R4 / x1 + x2 + x4 = x2 + x3 = 0 } c) f : R3 R4 tal que (1,1,2) Nu f , Im f = (1,0,1,1), (2,1,0,1) d) f : R4 R2 tal que (1,0,1,3) Nu f y f es epimorfismo e) f : R4 R4 tal que Nu f = Im f = (2,1, 1,0), (0,1,0,1) f) f : R3 R3 tal que f no es monomorfismo y (1,1,1) Im f g) f : R4 R4 tal que Nu f = Im f y f (3,2,1,1) = f (1,2,0,1) 0.

Ejercicio 9.- Sean S1 = { x R4 / 2x1 x2 + x3 x4 = 0 ; x1 3x3 + x4 = 0 } ; S2 = { x R4 / 2x1 x2 x3 + x4 = 0 } ; T1 = (1,0,1), (0,1,1) ; T2 = (2,1,3), (0,0,1) . Hallar una transformacin lineal f : R4 R3 que verifique simultneamente: f (S1) T1 ; f (S2) T2 ; dim Nu f = 1.

Ejercicio 10.- Hallar h = g fD , t = f gD y determinar el ncleo y la imagen de f, g, h y t. a) f : R3 R2 , f (x1, x2, x3) = (x1, x1 + x2 x3), g : R2 R3 , g (x1, x2) = (x1 x2, x1, x2). b) f : R3 R3 la transformacin lineal tal que f (0, 0, 1) = (0, 1, 1) , f (0, 1, 1) = (1, 0, 1) , f (1, 1, 1) = (1, 1, 0)

g : R3 R3 , g (x1, x2, x3) = (2x1 + x3, x2 x3, 2x1 + x2)

66

Ejercicio 11.- Hallar la funcin inversa del isomorfismo f.

a) f : R3 R3 f (1, 1, 1) = (1, 1, 1) , f (2, 0, 1) = (1, 1, 0) , f (0, 1, 0) = (0, 0, 1) b) f : R2 R2 f (x1, x2) = (x1 , x1 x2) c) f : R23 R32 f (A) = At

Ejercicio 12.- Sea S = { x R4 / x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0, x1 x3 + x4 = 0 }. Definir una t.l. f : R4 R4 tal que S Nu f Im f y f (1,0,1,0) = (1,0,1,0).

Ejercicio 13.- Sea g : R3 R4 la t.l. g (x1, x2, x3) = (x1 x2, x3, x1 + x3, x1). Definir, si es posible, una t.l. f : R4 R4 tal que:

f 0 , f gD = 0 y Nu f + Im f = R4

Ejercicio 14.- Sean S = { x R4 / x1 x2 x3 = x1 + x3 x4 = 0} y T = { x R4 / 2x1 x2 x4 = 0}. Definir una t. l. f : R4 R4 que verifique simultneamente Nu f = S y Nu f fD = T.

Ejercicio 15.- Definir un proyector p tal que

a) p : R2 R2 , Nu p = ( 1, 2) e Im p = ( 1,1) . b) p : R3 R3 , Nu p = (1,1, 2) . Es nico? c) p : R4 R4 , Nu p = (1,1,1,1), ( 1,0,1,1), (1, 2,3,3) , Im p = (1, 2,0,1), ( 1,1, 4, 2)

Ejercicio 16.- Escribir la matriz ( )M f .

a) f : R3 R2 f (x1, x2, x3) = (x1 + 4x2 3x3, x1 + x3) b) f : R2 R4 f (x1, x2) = (x1 + x2, 2x1 + x2, x1 + 3x2, x1) c) f : R3 R4 tal que f (1,0,0) = (2,3,1,1); f (0,1,0) = (2,1,3,2); f (0,0,1) = (0,1,2,1). d) f : R3 R3 tal que f (2,0,0) = (4,2,2) ; f (0,4,0) = (1,1,1) ; f (0,0,3) = (0,0,1).

Prctica 5

67

Ejercicio 17.- Sea f : R3 R3 tal que ( )M f = 1 2 13 1 22 0 2

.

a) Calcular f (1, 2, 1); f (5, 7, 2); f (0, 0, 1).

b) Hallar bases de Nu f e Im f.

Ejercicio 18.- En cada caso hallar ( )BBM f .

a) f : R3 R3 f (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 x3, x1 +2x2 + x3) B = B = E

b) f : R2 R2 f (x1, x2) = (x1 2x2, x1) B = {(1,0), (1,1)} B = {(1,1), (0,1)}

c) f : R3 R2 f (x1, x2, x3) = (x1 x2, x1 + x2 + x3) B = {(1,1,2), (0,2,1), (0,0,1)} B = {(2,1), (1,1)}

d) f : R4 R3 f (x1, x2, x3, x4) = (x1 x3, 2x4, x2 + x3) B = {(1,1,2,0), (0,2,1,1), (0,0,2,1), (0,0,0,1)} B = E Ejercicio 19.- Sean B = {v1, v2, v3}, B = {v1 + v2, v2 + v3, v1 + v3} y

B = {(1,2,1), (0,1,1), (1,3,1)} bases de R3, y sea f : R3 R3 la t.l. tal que f (v1) = (2,3,2), f (v2) = (0,2,3), f (v3) = (1,2,0).

Hallar ( )BEM f , ( )BBM f , ( )B EM f y ( )B BM f .

Ejercicio 20.- Sea f : V V tal que ( )BM f = 1 4 52 1 00 3 1

y sean B = {v1, v2, v3} y

B = {v1 + v2 v3, v1 + 2v3, v2} bases de V. Hallar ( )B BM f , ( )BBM f y ( )BM f .

Ejercicio 21.- Sea f : R22 R22 la t.l. definida por f (X) = AX con A = 2 13 1

. Calcular ( )EM f .

68

Ejercicio 22.- Sea f : R3 R4 tal que ( )BBM f = 1 1 11 0 21 2 00 1 1

, con

B = {(0,0,2), (0,1,1), (2,1,0)} y B = {(1,0,0,0), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (0,1,1,1)}

a) Calcular f (0,2,1)

b) Hallar una base de Im f y una base de Nu f. Ejercicio 23.- Sea p : R2 R2 un proyector que no es idnticamente nulo y es distinto de la identidad. Probar que existe una base B de R2 tal que ( )BM f =

1 00 0 .

Ejercicio 24.- Sea f : R4 R3 la transformacin lineal tal que la matriz de f en las bases

B = {v1, v2, v3, v4} y B = {w1, w2, w3} es ( )BBM f = 1 3 1 02 2 1 11 1 1 1

.

a) Calcular: f (v1 2v3) ; f (v3 + v4)

b) Dar bases de Nu f e Im f.

c) Calcular f 1(w1)

Ejercicio 25.- Sea f : R3 R3 tal que ( )BBM f = 1 1 00 2 11 0 a

con

B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} y B = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}.

Hallar todos los valores de a para los cuales f (1,2,1) = (0,1,6). Ejercicio 26.-

a) Sea f : R3 R3 tal que ( )M f = 2 4

2 11 1

kkk

.

Encontrar todos los valores de k para los cuales f no es un monomorfismo.

Prctica 5

69

b) Sean B = {v1, v2,