Escuela Superior de Ingeniería Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias ExtractivasQuímica e Industrias Extractivas

20102010

INSTITUTO POLITÉCNICO INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALNACIONAL

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

““DISTRIBUCIONES DISCRETAS”DISTRIBUCIONES DISCRETAS”

TEMAS ANTECEDENTES

Estadística Descriptiva

Población y muestra

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Análisis Combinatorio

Fundamentos probabilidad

Axiomatización y teoremas básicos

INTRODUCCIÓN

Uniforme Binomial Geométrica Hipergeométrica De Poisson

Exponencial Beta Gamma Ji cuadradaT student Normal

Variable aleatoria (VA)

Discretas (p. ej. núm. de goles marcados,

núm. de pulsaciones, etc.)

Continuas (p. ej. peso, temperatura,

Tiempo, etc.)

INTRODUCCIÓNFunción de Probabilidad f(x)Consideremos una VAD, que toma los

valores  x1, x2, ..., xn. Supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que p(X=x1) = p1 , p(X=x2) = p2, p(X=x3) = p3, ..., p(X=xn) = pn , en general p(X=xi) = pi

La función de probabilidad  f(x)  de la VA es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi. DICHO DE OTRA FORMA ES LA ESTIMACIÓN PUNTUAL DE PROBABILIDAD. )()( xXpxf

INTRODUCCIÓNFunción de Distribución F(x)

)()( xXpxF

En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la VA tome exactamente un determinado valor; sino la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado.

INTRODUCCIÓN

Función de Probabilidad f(x)

Función de Distribución F(x)

Distribución de probabilidad discreta.

Características:

1. Es generada por una variable discreta (X).  

X NO admite valores intermedios entre dos valores específicos.

x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc. 2. Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma X deben ser 0≤ P(xi) ≤ 1 3. P(S) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma X debe ser igual a 1.

INTRODUCCIÓN

Para resolver problemas de modelos discretos se recomienda seguir tres pasos:

1) Definir la variable aleatoria en estudio.

2) Identificar el modelo al que pertenece la variable definida.

3) Ejecutar el modelo correspondiente, para el cálculo de probabilidades.

INTRODUCCIÓN

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico. A uno de los resultados se le denomina arbitrariamente “éxito” y al otro “fracaso”.

Experimento de Bernoulli

Consiste en repetir n veces un experimento de Bernoulli, teniendo en cuenta que las condiciones no varían y que cada uno de los experimentos es independiente.

Proceso de Bernoulli

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNUNIFORMEUNIFORME

Un experimento aleatorio se llama Uniforme, cuando todos los valores posibles de éste tienen la misma probabilidad.

Por ejemplo:Resultados al lanzar un dado

Sea X una variable finita, la cual posee n valores específicos x1, x2,…, xn cada valor con una probabilidad de 1/n. Esto es, que su función de probabilidad esta definida por:

nxf

1)( Para x= 1,2,3,…,n

Si seleccionamos aleatoriamente un foco de una caja que contiene cinco focos, de 40, 60, 75, 100 y 150 Watts. Sea X los Watts del foco seleccionado, entonces una variable aleatoria discreta con:

EJEMPLO

2.051

)( xf

El experimento consta de cinco elementos equiprobables.

MODELOMODELOUNIFORMEUNIFORME

150100,75,60,40 yx

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNBINOMIALBINOMIAL

Un experimento aleatorio se llama Binomial, cuando cumple con las siguientes condiciones:

1).- El experimento consta de n (no mas de 30) pruebas independientes.

2).- Cada prueba tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.

3).- La probabilidad de éxito en una prueba es p y la de fracaso es su complemento.

Si p y 1-p son las probabilidades de éxito y fracaso respectivamente en cada ensayo, entonces, la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos en un orden específico se da por la siguiente ecuación:

Entonces el número de formas en que podemos obtener x éxitos en n ensayos, es el número de combinaciones de x objetos seleccionados de un conjunto de n objetos (n,x) así llegamos a lo siguiente:

xnx pp )(1

,)( xnqxpxCnxP Para x= 0,1,2,3,…,n

Donde:

n = número de ensayos realizados. p = probabilidad de éxito. q = (1-p) = probabilidad de fracaso.x = numero de éxitos n - x = número de fracasos.

)!(!

!xnx

nnCx

,)( xnqxpxCnxP

Un Inspector de Calidad analiza 5 muestras, todas con las mismas características. De acuerdo con las especificaciones, la probabilidad de que una muestra con esas características esté dentro de especificación es de 3/5. Determinar la probabilidad de que cumplan:

a. Las cinco muestras.b. Al menos tres.c. Sólo dos.d. A lo mas una.

EJEMPLO

,54.06.05)( xxxCxXP

x= 0,1,2,3,4,5

MODELOMODELOBINOMIALBINOMIAL

Al analizar las muestras encontramos que la variable es dicotómica.El experimento consta de cinco

ensayos, cada uno de ellos determina si la muestra cumple o no. Por las condiciones del problema vemos que los ensayos son independientes.

La probabilidad de ocurrencia del éxito (que cumpla), se conserva constante en cada muestra e igual a 3/5. Teniendo como complemento el fracaso, con probabilidad de 2/5.

EJEMPLOa. Para P(X = 5)

07776040605 05

55...)( CXP

b. Para , o lo que es lo mismo,

1 – P (X < 3) = 1 – P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

= 1 – (0.01024 + 0.0768 + 0.2304) = 0.68256

c. P (X = 2) = 0.2304

d. = P (X = 0) + P(X=1) = 0.01024 + 0.0768= 0.08704

)3( XP

)1( XP

EJEMPLO (EXCEL)

ÁREAS DE APLICACIÓN“El Ingeniero Químico Industrial está muy interesado en la proporción de defectuosos en un proceso industrial. A menudo, las mediciones de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución binomial. Ésta se aplica en cualquier situación industrial donde el resultado es dicotómico y los resultados del proceso son independientes, y la probabilidad de éxito o fracaso es importante”

DISTRIBUCIÓDISTRIBUCIÓNN

DE POISSONDE POISSONEste modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervaloscontinuos; de tiempo, áreas, volúmenes, etc.

Antes de seguir, cabe mencionar que el modelo de Poisson es discreto puesto que en sus experimentos sólo nos interesará la cantidad de resultados que pueden ocurrir en un intervalo (de los antes mencionados), más no la continuidad del intervalo.

La distribución de probabilidades para una variable aleatoria Poisson está dada por:

!*

)(xex

xXP

Para x= 0,1,2,3,…,n

λ>0

Donde, λ = np es el número de eventos en una unidad dada de tiempo, área o volumen.

e = 2.71828...

EJEMPLOEn la inspección de una lamina metálica de ACERO ASTM A285 rolada, el numero de imperfecciones localizadas es en promedio 8 por hora.

Calcular la probabilidad de que durante un periodo de 10 minutos un inspector encuentre:

a. Ninguna imperfección.b. Dos imperfecciones.c. Mas de dos imperfecciones.d. Menos de cuatro imperfecciones.

Determinando lambda: 8 imperfecciones/hora = 0.1333 imperfecciones/minuto Entonces; 0.1333 imperfecciones/minuto * 10 minutos = 1.333

λ = 1.333

En un cierto periodo de tiempo ocurren n sucesos.

MODELOMODELODE POISSONDE POISSON

EJEMPLO

2637.0!0

0333.1333.1)0(

e

XPa.

b. 2343.0!2

2333.1333.1)2(

e

XP

c. 1505.0)2(1)2( XPXP

d. 9535.0)3()4( XPXP

EJEMPLO (EXCEL)

ÁREAS DE APLICACIÓN

“El modelo de Poisson tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde se desea optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el área de Investigación de operaciones”.

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNGEOMÉTRICAGEOMÉTRICAUn experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple

con:

1.- El experimento consta de ensayos independientes.

2.- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso.

3.- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q = 1− p , y se mantienen constantes de ensayo en ensayo.

4.- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo.

Si consideramos una secuencia infinita de ensayos de Bernoulli, sea la variable aleatoria X el número de ensayos hasta que el primer éxito es obtenido.

Tenemos que cuando X=x corresponde a x-1 fracasos y un éxito.

1);()( xpqpxgxf

Para x= 1,2,3,…,n

01882.05049

501

)4(14

Xf

EJEMPLOEn un proceso de fabricación, se sabe que, en promedio, uno de cada 50 artículos está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto artículo que se inspecciona sea el primer artículo defectuoso que se encuentra?.

El experimento consta de cuatro ensayos, cada uno de ellos determina si el artículo esta defectuoso. Por las condiciones del problema vemos que los ensayos son independientes.

Al inspeccionar los artículos sólo puede ocurrir: que sea o no defectuoso, es decir éxito o fracaso.

La probabilidad, que sea defectuoso, se conserva constante p=1/50

El experimento termina cuando ocurre el primer éxito, es decir, el primer defectuoso.

MODELOMODELOGEOMÉTRICOGEOMÉTRICO

“Situaciones en que los Ingenieros ó Administradores intentan determinar cuán ineficiente es un sistema durante el periodo de tiempo utilizado. Claramente, las pruebas se realizarían antes de que estas representen un costo. Si hay una alta probabilidad de que el sistema falle, entonces se deben hacer planes para rediseñarlo”.

ÁREAS DE APLICACIÓN

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNHIPERGEOMÉTRICAHIPERGEOMÉTRICA

Un experimento aleatorio se llama Hipergeométrico si

cumple con las condiciones:

1.- El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N en el cual sus elementos estándivididos en dos clases de tamaños m y N − m.

2.- Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote.

3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra detamaño n.

La variable aleatoria hipergeométrica X, representa el número de éxitos de una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos, de los que k se denominan “éxitos” y N-k “fracasos”.

NCnxnCkNkCx

xf)()(*

)( Para x= 0,1,2,3,…,n

EJEMPLOLotes de 50 componentes, cada uno se denomina aceptable si no contiene más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de 6 componentes al azar y rechazar todo el lote si se encuentra algún componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?

El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N en el cual sus elementos estándivididos en dos clases de tamaños m y N − m.

Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote.

Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra de tamaño n.

MODELOMODELOHIPERGEOMÉTRICOHIPERGEOMÉTRICO

2895.0

650

16350

13

)1(

XP

ÁREAS DE APLICACIÓN

“La distribución hipergeométrica se aplica con cierta frecuencia en el control estadístico de calidad de una fabricación en serie. Así pues, si el lote bajo control contiene elementos buenos y elementos defectuosos, cuando tomamos una muestra de tamaño n sin reemplazo, estaremos interesados en saber el número de elementos buenos que han aparecido en la muestra, para así determinar la calidad del proceso de fabricación”.