PRIMOS A

CARLOS GIRALDO OSPINA Lic. Matemáticas, USC, Cali, ColombiaNÚMEROS PRIMOS – HACIA LA CONQUISTA DE LOS INDÓMITOS

Derechos de Autor Registrados y Reservados===================================================================================

INTRODUCCIÓN

Construir un camino en territorio selvático es tarea difícil en toda la significación del término dificultad, a medida que avanzamos nos vemos forzados a regresar a algún punto de la senda construida y a desviarnos en otra dirección apuntando hacia la meta trazada. El escenario de los números primos es, en el universo de las matemáticas, uno de esos territorios selváticos que se ha resistido a las acometidas de la inteligencia humana permitiendo tan solo la colonización de ínfimos espacios.

Los genios antes nombrados, y otros, han aportado importantes observaciones y demostraciones gracias a las cuales es posible adentrarse con buen margen de optimismo en el enmarañado escenario de los números primos con la esperanza de colonizar otros espacios.

En este texto cimentaremos en términos matemáticos sistemáticos el proceso de Eratóstenes para la elaboración del listado de números primos y, a partir de él, estaremos en condiciones de acceder a procesos más veloces que nos permitirán descubrir hechos tan sorprendentes como la construcción de cuadrados mágicos con solo primos y procesos demostrativos de conjeturas famosas como la de los primos gemelos, la de Goldbach, la de n2 + 1, la del producto de factoriales sucesivos y otras. Además, nos encontraremos definiendo la función prima, función que precisa la cantidad de primos menores que N; aproximantes gaussianas a la función prima, ubicación de N lnN como la función que define la cantidad de primos existentes en el intervalo N2, (N+1)2 así como otras expresiones cuantificadoras de primos.

Se ha procurado que la explicación de cada tema sea accesible a todos los aficionados a recorrer la fascinante senda de los números, en este recorrido no se requieren conocimientos de matemática superior; es suficiente el bagaje matemático de la secundaria y el buen sentido.

¡Bienvenidos al territorio selvático de los números primos!

1



Números primos: balance de nuestra ignorancia.

Un día, en medio de la efervescencia de mis conflictos laborales me dirigí hacia la biblioteca colegial, busqué un libro que versara sobre asuntos matemáticos y ante mis ojos apareció el tomo 12 de la GRAN ENCICLOPEDIA DEL SABER, SALVAT EDITORES S.A. Barcelona 1975. Dediqué especial atención al tema que encabeza esta página. Aquel artículo, de autoría de Joaquín Navarro, sería el principal motivante de este libro que, sin duda, encenderá especiales controversias en el mundo matemático.

Confiado en los conocimientos de quien escribía algo de trascendencia internacional comencé creyendo en la verdad de todo lo planteado por Joaquín Navarro.

La creencia duró muy poco, para empezar me había disgustado el tratamiento dado a Goldbach en el sentido de que no había hecho un aporte ni siquiera mediocre a la historia de las matemáticas siendo que el hecho de observar lo que no han captado miles de ojos ante el mismo fenómeno es ya un aporte de por sí significativo.

Dice J. N. " Euler encontró que n2 - n + 41 da números primos para 1, 2, 3, ... hasta llegar a la estupenda suma de 40 . . . Algo más dura la ilusión con n2 - 79n +1601, que da primos hasta n = 79 . . . "

Apliqué derivadas a las dos funciones anteriores, analicé otros detalles de las mismas, encontré que la segunda equivale a un traslado de la primera a otro sitio del plano cartesiano, y por tanto, la ilusión no podía durar algo más. Como ambas representan parábolas equivalentes entonces ambas generan los mismos números primos aunque para valores distintos de n La segunda da primos hasta n = 80 pero no da 80 primos seguidos y distintos sino los mismos 40 de la primera (simetría parabólica).

Plantea J. N. "... Fue precisamente de la observación de las listas de números primos de donde partió el genial Gauss, dándose cuenta de que la cantidad de primos menores que N es sensiblemente igual a NlnN ... la conclusión de Gauss era del todo empírica ..."

En VIAJE EN ATPG HACIA EL INFINITO (Tema de este texto) decidí trasladarme a la época de Gauss y analizar las peripecias de aquel matemático en lo concerniente a la determinación d la formula NlnN.

Veamos lo que encontré:

1. La elaboración del listado de primos se realizaba (y creo que hoy también) utilizando el fatigante proceso de la Criba de Eratóstenes, proceso que impide obtener un listado grande en tiempo prudencial.

2. El procedimiento de Meissel para determinar la cantidad exacta de primos menores que N es posterior a la muerte de Gauss.

3. No existían aparatos mecánicos ni electrónicos que facilitaran el trabajo al respecto.

2



4. La fórmula NlnN no se avizora mediante la simple ojeada de un listado de números primos y menos si dicho listado es pequeño.

5. Gauss realizó un estudio comparativo y analítico de curvas empleando el pequeño listado de primos a su disposición.

6. El tamaño del listado de números primos lo condujeron a concluir que la cantidad de primos menores que N marcharía alrededor de NlnN cuando N , lo cual es cierto… pero estará lejos de NlnN aunque N sea pequeño o muy grande… pues el infinito se haya demasiado lejos.

7. La conclusión de Gauss no fue empírica en parte ni del todo pero… las condiciones anteriores y su intuición le fallaron en cuanto a la proyección de la fórmula hacia el infinito, en el sentido de que aun para valores inmensos de N la proximidad de se encuentra a distancia enorme de … por no decir infinita (¡Los números primos aún no han sido totalmente domesticados, a pesar de los excelentes instrumentos teóricos y tecnológicos a nuestro alcance!)

Continua J. N. "Tchebychev probó que entre n y 2n-2 existe siempre por lo menos un número primo, ... Breusch redujo después del intervalo que contiene un primo al que media entre n y 9n8, e Inghan en 1932 encontró el intervalo comprendido entre n3 y (n+1)3 "

Examiné el intervalo de Breusch y me vi. en la necesidad de desecharlo dado que entre 32 y (9 - 32)/8, o sea entre 32 y 36 no existe ningún número primo. Supuse que quien transcribió el artículo cometió algún error y el intervalo de Breusch debe ser el que media entre n y 9(n+3)/8 el cual es verdadero para todo nN. Un análisis más detallado me permite afirmar que el intervalo n, 9n/8 es verdadero para n47. ¿Se equivocó Breusch o hubo un error de transcripción?

A pesar de las incongruencias dejo plasmada mi deuda de gratitud para con Joaquín Navarro quien gracias a su balance me despejó el camino para transitar con paso seguro por la tortuosa senda de los números primos.

Por último, deseo que mi balance acerca de los números sea de mucha satisfacción para los lectores de esta obra y las demás puestas a consideración del mundo matemático.

FACTORIAL PRIMO

Denominaremos factorial primo a la productoria de primos sucesivos desde 2 hasta P, emplearemos mayúscula para evitar la confusión con

P P P nú mero primo! , 2 3 5 7 11 13

Para denotar un factorial primo específico emplearemos la notación

Ejemplo:

3



P! constituye un concepto de fundamental importancia en los diferentes temas que se tratarán en este texto y. por tal motivo, queda sobrentendido su significado en lo sucesivo.

TEOREMA DE INFINITUD DE LA SERIE DE NÚMEROS PRIMOS

La serie de números primos es infinita

DEMOSTRACIÓN EUCLIDIANA

1. ..................................................................................................................... hipótesis

2. , u es primo o compuesto......................................................................................según 1.

3. Si u es primo, entonces habría un número primo mayor que P, es decir, dado un número primo tan grande como se desee implica que existe un primo mayor.

4. Supóngase que u es compuesto.

5. Si u es compuesto entonces debe ser divisible por algún número primo Q > P dado que en caso contrario el residuo sería 1, no admisible por ser u compuesto.

6. Dado un primo P, tan grande como se desee, siempre existe otro mayor que él ............ según 3. y 5.

h.q.d.

Ejemplos.

1. Si u = P5! + 1 = 31, 31>5, 31 es primo. Además, entre 5 y 31 existen otros números primos.

2. Si u = P17! + 1 = 510 511, u es compuesto por ser 510 511 = 19 97 277, todos factores primos mayores que 17.

3. En ambos ejemplos observamos que existen otros números primos entre P y u, con independencia de que u sea primo o compuesto.

DIVISIÓN Y NÚMEROS PRIMOS

Sean q, P!, n y r, respectivamente, el dividendo, divisor, cociente y residuo de una división, entonces sabemos que

1. q = P!n + r, 0 r P!

2. Si r = 0 entonces la división es exacta y, por tanto, q es múltiplo de P!

4



3. Si P! y r contienen factores comunes entonces P!n + r es factorizable y, en consecuencia, q sería número compuesto.

Ejemplos: q = 30n + 5 = 5(6n + 1)

q = 210n + 91 = 7(30n + 13)

4. La sustitución de 1 por P! + 1 nos permitirá escoger los números tutelares a partir de una ubicación rectangular de números P!n + r sin que el 1 sea residuo para cualquier valor de P, es decir, emplearemos r = P! + 1 en lugar de r = 1. Cada fila del rectángulo que veremos más adelante corresponderá a un valor de {n} = {0, 1, 2, 3........, P - 1}.

TEOREMA GENERATRIZ DE NÚMEROS PRIMOS (TGP)

Si q > P!, q primo entonces q = P!n + r, 1 < r < P! r = P! + 1

DEMOSTRACIÓN

1. Sea q cualquier número primo mayor que P! ............................................................... hipótesis

2. q no es divisible por P! .................................................................................................. según 1.

3.q rP n r

! , 0 ............................................................................................................... según 2.

4. q = P!n + r................................................................................................................... según 3.

5. r = P! + 1 q = P!(n +1) + 1.................................................................................... según 4.h.q.d.

Ejemplo del Teorema Generatriz de números primos:

P = 3 P3! = 6, q = 6n + 5 q = 6n + 7 = 6(n + 1) + 1

Recordemos que evitamos emplear el 1 como residuo para fines que se comprenderán poco a poco.

CRIBA DE ERATÓSTENES Y TGP

La criba de Eratóstenes es un proceso eficiente para listar primos pequeños; sin embargo, se torna inviable cuando queremos listar primos menores que un n grande. Nuestro objetivo consiste en transformar dicho proceso en algo más inteligente y que descarte múltiplos de primos hacia el infinito al igual que cuando solo se escriben los impares se han descartados los múltiplos de 2.

Con el fin de mostrar que la Criba de Eratóstenes se fundamenta en el TGP escribiremos los números en filas y columnas.

5



Primera etapa

El 2 es número primo, lo encerramos en un círculo y descartamos los números pares (ubicados debajo del 2). Escribimos debajo del 3 los demás números impares hasta la cota que deseemos avanzar para seleccionar los primos.

Los pares de nuestra tabla son de la forma 2n + 2 = 2(n + 1) y los impares, segunda columna, tienen el formato 2n + 3; esta última expresión genera todos los primos mayores que 2.

La función F(n) = 2n + 3 es una función no factorizable y tampoco es una función múltiplo (existen funciones múltiplos no factorizables en su formato original). En virtud de la infinitud de la serie de primos y dado que dicha función genera todos los números impares mayores que 1 se concluye que la misma genera todos los primos mayores que 2.

La tabla anterior indica que no se requiere censar los números pares para obtener el listado de primos.

Segunda etapa

Se selecciona el 3, segundo primo, y a partir de su cuadrado se tachan los múltiplos de 3 no múltiplos de 2 (los pares ya no aparecen en la tabla).

Veamos lo que sucede en términos del TGP: En términos del TGP se tachan los múltiplos de 3 de la forma 6n + 3 = 3(2n + 1), los cuales contienen a 3 como factor común nN, dichos múltiplos aparecen en la columna rosada debajo del 3. Si en este paso se procede con inteligencia sería suficiente con escribir las dos columnas en blanco, es decir, los números de la forma 6n + 5 y 6n + 7, los cuales cubren a todos los números que no contienen a 2 y/o 3 como factores primos.

Las funciones 6n + 5 y 6n + 7 generan los números primos mayores que 3 y gozan de las mismas propiedades que la función 2n + 3.

Los primos mayores que 3 aparecen en las columnas tuteladas por 5 y por 7.

Tercera etapa

Aunque en la segunda etapa hemos progresado, e igual lo haremos en la tercera, la realidad es que en estas etapas aun somos rudimentarios en el empleo del proceso de Eratóstenes.

6

2

4

3

5

6

8

7

9

10

12

11

13

…

…

…

…

2

3

9

15

21

27

…

…

…

5

11

17

23

29

…

…

…

7

13

19

25

31

…

…

…



Se selecciona el 5 y a partir de su cuadrado se procede a tachar los múltiplos del mismo que no han sido desechados en las dos etapas anteriores. Aplicando el TGP esta etapa se puede visualizar de la siguiente forma:

De acuerdo con el TGP en esta etapa se descartan los números de la forma 30n + 5 = 5 (6n +1) y los de forma 30n + 25 = 5(6n + 5). Dichos múltiplos de 5 no han sido tachados en las etapas anteriores. Al llegar a este punto quedan suprimidos todos los múltiplos de 5.

En la tabla de la tercera etapa, los números no descartados conforman conjuntos disyuntos definidos por las funciones 30n + 7, 30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19, 30n + 23, 30n + 29 y 30n + 31.

Como hemos planteado al comienzo, en la Criba de Eratóstenes subyace la aplicación del TGP pero de forma burda, tediosa y poco inteligente.

Veremos cómo transformar la Criba de Eratóstenes en un proceso más ágil, sistemático y aplicable a una cantidad inmensamente menor de números para la elaboración de un listado de primos consecutivos.

Dicho proceso puede convertirse en un programa de ordenador e, incluso, habría permitido un proceso mecánico en tiempos anteriores al computador electrónico para obtener un listado de primos mayor al acumulado por los matemáticos hasta el siglo pasado.

SISTEMATIZACIÓN DEL LISTADO DE PRIMOS

El proceso sistematizado para la elaboración del listado de primos se fundamenta en el TGP. Aunque de forma rudimentaria, la Criba de Eratóstenes posee igual fundamento.

Realizaremos el listado en tres fases o etapas y luego haremos la generalización para la fase que se desee. La fase quedará definida por el primo seleccionado (el cual tutela la primera columna) y la consiguiente eliminación de sus múltiplos. Cada fase se caracteriza por tener, en cada columna, un solo múltiplo del primo que define la fase y dicha propiedad es la que permite la sistematización del proceso.

7

2 3

5

35

65

95

125

155

7

37

67

97

127

157

11

41

71

101

1927131

161

13

43

73

103

133

163

17

47

77

107

137

167

19

49

79

109

139

169

23

53

83

103

143

173

25

55

85

115

145

175

29

59

89

119

149

179

31

61

91

121

151

181



Cada fase determina un conjunto finito de números para listar el conjunto de primos incluidos en dicho conjunto… las etapas subsiguientes abarcan una mayor cantidad de números.

Estructurada una fase, no es necesario comenzar de nuevo cada que se desee continuar en la ampliación del listado de primos: motivo por el cual diremos que el proceso tiene salto al infinito.

Fase 3: P3

P3! + 1 = 2 3 + 1 = 7

1. Se selecciona el 3 como primo y se procede a eliminar sus múltiplos. El 2 ya estará seleccionado y se habrán eliminado los números pares mayores que 2. En realidad, en este proceso no se eliminan dichos múltiplos de 2 ni de 3, simplemente no se trabaja con ellos.

2. 2 será el sumando columnar, valor agregado sucesivamente hacia abajo.

3. 3 será el primer primo de la fila tutelar (primera fila)

4. 2 + 1 será el último número que tutele columna y último de fila tutelar.

5. P3! + 1 = 2 3 + 1 = 7 será la cota de avance, último número de la última columna y el que define el total de filas de la fase.

6. Dado que en esta fase el primero y el último número tutelar coinciden entonces habrá una sola columna terminal en 7

Al 3 se le ha agregado sucesivamente el sumando columnar (2) hasta obtener la cota (7) sin que aparezcan múltiplos de 3, excepto el 3. Se prescinde del 3 y los demás números, en este caso son primos, conforman la fila tutelar de la siguiente fase.

Fase 5: P5

P5! + 1 = 2 3 5 + 1 = 31

1. Se selecciona el 5 como primo tutelar de la primera columna y se eliminan sus múltiplos de fase para conformar la fila tutelar de la siguiente etapa.

2. Sumando columnar: 2 3 = 6

8

3

2

5

7

Fase 3: P3



3. Ultimo número tutelar (define la columna final): 2 3 + 1 = 7

4. Cota de avance: P5! + 1 = 2 3 5 + 1 = 31. Repetimos que la cota de avance es el último número de la columna final y, por consiguiente, de la última fila.

Fase 7: P7

P7! + 1 = 2 3 5 7 + 1 = 211

1. Se selecciona el 7 como primo tutelar de la primera columna y se eliminan sus múltiplos de fase para conformar la fila tutelar de la siguiente etapa.

2. Sumando columnar: 2 3 5 = 30

3. Ultimo número tutelar (define la columna final): 2 3 5 + 1 = 31

4. Cota de avance: P7! + 1 = 2 3 5 7 + 1 = 211.

9

2 3 5

177 1311 3119 2923

161

131

101

41

71

191

163

133

103

43

73

193

157

97

37

67

187

169

139

109

49

79

199

173

143

113

53

83

203

167

137

107

47

77

197

179

149

119

59

89

209

181

151

121

61

91

211

127

Fase 7: P7

7

3 2

5

1311

1917

23 25

3129

Fase 5: P5

A los números tutelares, en recuadro verde, se les ha agregado el sumando columnar (6) hasta la cota de avance (31).

Se eliminan 5 y 25: los demás números, en este caso todos son primos, conformarán la fila tutelar de la siguiente fase en la que ya no existirán múltiplos de 2, 3 ni de 5.



En recuadro rosado aparecen los múltiplos de 7, exceptuando el mismo, con amarillo aparecen los demás números compuestos no múltiplos de 7. Excepto 7 y sus múltiplos los demás números conformarán la fila tutelar de la fase 11.

Los múltiplos de 7 se obtienen multiplicando a 7 por sí mismo y por cada uno de los números tutelares que le siguen. De igual forma se obtienen los múltiplos de los demás números tutelares si sus productos aparecen en la tabla. El proceso es igual para todas las fases.

Si el objetivo es el de listar los primos menores que 211 o los menores que Pk! + 1, siendo k el primo de la fase correspondiente entonces eliminamos los múltiplos de k y de los demás números tutelares que aparezcan en la tabla.

Eliminado el 7 y sus múltiplos en la tabla anterior, obtendremos los números tutelares de la fase 11 en la cual se conformarán 48 columnas y 11 filas (la fase define el número de filas), dado que en dicha tabla se eliminan 8 celdas de un total de 7 8 = 56 números.

Obsérvese que para hacer el listado de primos menores que 211 no se requiere el acostumbrado y fatigante proceso de Eratóstenes.

FASE k: Pk

Sean h, k dos números primos consecutivos, h < k, y la fase Pk , definida por

Pk! + 1 = 2 3 5 7 ....... h k + 1 = H!k + 1

De acuerdo con el proceso anterior sabemos que:

1. k es el primo que inicia la fila tutelar

2. H! + 1 es el último número tutelar o primer número de la columna final

3. Pk! + 1= H!k + 1 es la cota de avance o número final de la columna terminal

4. H! es el sumando columnar

5. Por tanto, el número de filas desde H! + 1 hasta Pk! + 1 queda definido por la expresión

6. La fase h habrá generado los residuos r desde k hasta H! + 1 que conforman la fila de números tutelares de la fase k

7. Se eliminan k y sus múltiplos para la fase siguiente. Si se desea obtener los primos, desde k hasta K! +1, se eliminan todos los números compuestos contenidos en la fase.

10



LISTADO DE PRIMOS FASE 11

P11 + 1 = 2311

Por razones de comodidad y de espacio el listado de primos fase 11 no aparece con la fila tutelar en una sola página, pero puede observarla al comienzo sin los números; dicha fila la hemos repartido en cuatro partes. En esta fase comienzan a aparecer compuestos en la fila tutelar.

Los números primos aparecen en casilleros blancos, los múltiplos de 11 (excepto 11) aparecen en casilleros rojos y los demás compuestos en casilleros amarillos.

Si usted desea pasar a la fase 13 es necesario que elimine los múltiplos de 11 pero no los demás números compuestos. Primos y compuestos no múltiplos de 11 (en amarillo) conformarán la fila tutelar fase 13, es decir,

Fase 13: P13 + 1 = 30031 es el último número de la última columna, que comienza con 2311

La fase 13 contendrá 13 filas incluida la tutelar.


11

1311 17 19 3723 29 31 41 43 47 53

221 223 227 241229 233 239 247 251 253 263257

431 433 437 451439 443 449 457 461 463 473467

1061 1063 1067 10811069 1073 1079 1087 1091 1093 11031097

851 853 857 871859 863 869 877 881 883 893887

641 643 647 661649 653 659 667 671 673 683677

1901 1903 1907 19211909 1913 1919 1927131

1931 1933 1937

2111 2113 2117 21312119 2123 2129 2137 2141 2143 21532147

1691 1693 1697 17111699 1703 1709 1717 1721 1723 17331727

1481 1483 1487 15011489 1493 1499 1507 1511 1513 15231517

1271 1273 1277 12911279 1283 1289 1297 1301 1303 13131307




12

7161 6759 10773 79 83 10389 97 101

271269 277 281 283 299289 293 307 311 313 317

481479 487 491 493 509499 503 517 521 523 527

11111109 1117 1121 1123 11391129 1133 1147 1151 1153 1157

901899 907 911 913 929919 923 937 941 943 947

691689 697 701 703 719709 713 727 731 733 737

19511949 1957 1961 1963 19791969 1973 1987 1991 1993 1997

21512159 2167 2171 2173 21892179 2183 2197 2201 2203 2207

17411739 1747 1751 1753 17691759 1763 1777 1781 1783 1787

15311529 1537 1541 1543 15591549 1553 1567 1571 1573 1577

13211319 1327 1331 1333 13491339 1343 1357 1361 1363 1367

323319 331 347 361349 353 359341337 373367

139109 113 137121 127 131 143 157 163151149

533529 541 557 571559 563 569551547 583577

11631159 1171 1187 12011189 1193 119911811177 12131207

953949 961 977 991979 983 989971967 1003997

743739 751 767 781769 773 779761757 793787

20031999 2011 2027 20412029 2033 203920212017 20532047

22132209 2221 2237 22512239 2243 224922312227 22632257

17931789 1801 1817 18311819 1823 182918111807 18431837

15831579 1591 1607 16211609 1613 161916011597 16331627

13731369 1381 1397 14111399 1403 140913911387 14231417




Para elaborar un listado de primos se puede proceder con la fase que se desee, tal como se hará con la fase 7 para obtener los primos menores que l0081. Entre mayor sea la fase, menor será el total de números naturales que se examinen para acometer la tarea, lo cual implica ahorro de tiempo y un listado mayor de primos.

En la fase 13, por ejemplo, tan solo se trabaja con menos del 20.8% de los naturales y en la fase 23 ya estaremos listando menos del 17.1% de naturales, porcentaje que es inferior a la mitad de los números impares.

INEXISTENCIA DE FUNCIÓN POLINÓMICA PRIMA CONTINUA E INFINITA

TEOREMA

No existe función polinómica que genere una serie continua e infinita de números primos.

DEMOSTRACIÓN

1. Sea f(m) = a0 + a1 m + a2 m2 + . . . + ak mk donde los coeficientes y a0 son números enteros, k, m N .

2. Sea m = a0 n

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1847 18611849 1853 1859 189118891867 18791871 1873 1877

1637 16511639 1643 1649 168116791657 16691661 1663 1667

1427 14411429 1433 1439 147114691447 14591451 1453 1457

2057 20712059 2063 2069 210120992077 20892081 2083 2087

2267 22812269 2273 2279 231123092287 22992291 2293 2297

377 391379 383 389 421419397 409401 403 407

179167 169 173 187 191 193 211197 199 209181

587 601589 593 599 631629607 619611 613 617

1217 12311219 1223 1229 126112591237 12491241 1243 1247

1007 10211009 1013 1019 105110491027 10391031 1033 1037

797 811799 803 809 841839817 829821 823 827



3. f(m) = a0 + a0 a1 n + a02 a2 n2 + . . . + a0

k ak nk

4. f(m) = a0 (1 + a1 n + a0 a2 n2 + . . . + a0k - 1 ak nk)

5. a0 es un factor de f(m) ,es decir, f(m) es función múltiplo para m = a0 n

CONSECUENCIA

Resultan infructuosos todos los esfuerzos encaminados a obtener una función polinómica que produzca una serie continua e infinita de primos.

De conformidad con demostraciones de Dirichlet se obtienen funciones que generan infinitos primos pero las series no son continuas, es decir, en la sucesión se interponen números compuestos.

La función f(n) = n2 - n + 41 empleada por Euler para obtener números desde n = 0 hasta n = 40 era previsible que generaría número compuesto para n = 41, la no observancia de tan notorio hecho hizo creer a Euler (según algunos biógrafos) que había encontrado la función que genera una serie continua e infinita de primos.

Sin embargo, algunas consideraciones conllevan a conjeturar que f(n) = n2 - n + 41 y sus equivalentes generan la serie continua más larga de primos (40 primos).

¿Podría el lector encontrar una función que al menos genere 41 primos en forma continua?

Existe, al menos, una función polinómica que iguala a la de Euler en cuanto al total de primos en un intervalo continuo de naturales.

14

PRIMOS A

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