PROBABILIDAD

EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene el resultado de una observación.

Experimento Determinstico.- Cuando el resultado de la observación es determinado en forma precisa. Ejemplo:1. Lanzar una pelota en un tanque de

agua y ver si flota o se hunde.2. Soltar una piedra en el aire.

Experimento Aleatorio (EA).- Cuando los resultados de la observación no se pueden predecir con exactitud, antes de realizar el experimento. Ejemplos:1. EA: Resultado del examen final en

el curso de estadística por parte de un estudiante.

2. EA: Resultado del lanzamiento de una moneda.

3. EA: Lanzar un dado y ver el número aparece en la cara superior.

Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un EA. Ejemplos:1. EM = {A, D} 2. EM = {C, S}3. EM = {1,2,3,4,5,6}4. EA = Si lanzamos 2 monedas al

mismo tiempo; Hallar el EM.EM = {cc, cs, sc, ss}

Método del Árbol

5. EA: Si lanzamos 3 monedas al mismo tiempo. Hallar EMEM = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}Por el método del árbol es:

6. Si lanzamos 2 dados al mismo tiempoHallar EM

Evento.- Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinación de resultados además son subconjuntos de un espacio muestral.Ejemplo: Sea el exp: Lanzar una moneda dos veces. Determinar los siguientes eventos.A1: Ocurre cara en el primer lanzamiento.A2: Ocurre sello en el segundo lanzamiento.A3: Ocurre por lo menos una cara.A4: Ocurre los mismo en ambos lanzamientos.

Solución

EM = {CC, CS, SC, SS} los eventos son:A1 = {(c,c),(c,s)} A2 = {(c,c),(s,s)}A3 = {(c,c),(s,c), (c,c)} A4 = {(c,c),(s,s)}

1 M

2 M3 M

sss

sccs

css

cccc

Tipos de EventosA) Evento Seguro (U).- De todas maneras debe ocurrirB) Evento Imposible ( ).- Es el evento que no va a ocurrir.C) Evento Complementario ( ).- Si A

es un evento del espacio muestral, se llama complemento del evento A, al evento que ocurre si A no ocurre.

D) Eventos Mutuamente Excluyentes.- Dos o mas eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos anula la ocurrencia de los demás.Ejemplo: Selección de un profesor de la universidad “x” según categoría docente.EM = {Principal, Asociado, Auxiliar,

A1 A2 A3

Jefe de Practica} A4

Los 4 son mutuamente excluyentes, porque al seleccionar un docente, anulando el resto de los eventos.

Eventos Independientes.- Dos eventos son independientes si ambos no tienen ninguna relación entre si.Ejemplo: Sean los eventosX = 1er alumno apruebe el examen de EstadísticaY = 2do alumno apruebe el examen de Estadística X e Y son independientes porque al ocurrir el vento x, este no influye para que el vento Y ocurra.

Probabilidad.- Es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente pueden ocurrir.

Tipos de Probabilidad

A) Probabilidad Clásica o Apiori.- Es posible conocer el resultado con anterioridad, es decir sin llevar a cabo el experimento y sólo basado en un razonamiento lógico.Formula: P(A)=___Casos Favorables__

Total de Cosas PosiblesEjemplo 1: Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda.

SoluciónEM = {c, s}

A1 = {c} P(A) = = 50%

Ejemplo 2: Hallar la probabilidad de obtener el nº 2 en el lanzamiento de un dado.Sol. EM = {1,2,3,4,5,6}

P(B) =

Ejemplo 3: Hallar la probabilidad de obtener al menos un sello en el lanzamiento de 2 monedas.Sol. EM = {cc, cs, sc, ss}

P(A) =

Ejemplo 4: Hallar la probabilidad de obtener 2 caras y 1 sello en el lanzamiento de 3 monedas.Sol. EM = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

P(A) =

Ejemplo 5: Si lanzamos 2 dados ¿Cuál es la Probabilidad de obtener, la suma sea igual a 7?

B) Probabilidad de Frecuencia Relativa o A posteriori.- Se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento, al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos.P(A) = Nº de veces que ocurre el evento A Nº total de veces que se repito el exp.

Axiomas básicos i) P(A) > 0 ii) 0 < P(A) < 1iii) P(EM) = 1 iv) P( )= 0

EjemploEn una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de Lima cuadrada, se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de su trabajo. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante, este haya sido despedido de su trabajo.

Solución

P(B) =

1. Regla de la Suma de ProbabilidadesA) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes la Probabilidad de ocurrencia de A o B es:P(AUB) = P(A) + P(B)

Ejemplo: De 200 niños examinados por una nutricionista se encontró que 80 padecían de desnutrición leve; 50 padecían de desnutrición (crónico) y 70 normales. Si de los niños examinados se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que padezca de desnutrición leve o crónica?

Solución

B) Si los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o B es:P(AUB) = P(A) + P(B) -

GráficamenteP(A ∩ B) = Ø

Ejemplo: De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males.Hallar la Probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis Solución

2. Regla sobre Probabilidad Condicional Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la aparición previa de otro. Su formula es:

si P(A)

Ejemplo: En una comunidad se llevó a cabo una encuesta a 600 familias para determinar si la leche subsidiada por el estado es consumida por la población de bajos recursos. Los resultados son; 420 familias perciben ingresos igual o por debajo de IMV, 70 familias solo consumían leche subsidiada por el estado y 30 familias de las que perciben IMV, consumían leche subsidiada por el estado.Si se selecciona una familia al azar ¿Cuál es la probabilidad de que esta familia consuma leche subsidiada, dado que perciben ingresos iguales o inferiores al IMV.Solución

A B

3. Regla de la Multiplicación de ProbabilidadSe utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultáneamente de dos eventosA) Si los eventos A y B son

dependiente:Su fórmula es:

Ejemplo: En un estudio se encontró que la probabilidad deque se incremente el empleo en el asentamiento humano “X” es de 35%, de que se incremente el consumo de artículos de 1era necesidad es de 5% y el incremento el consumo de artículos de 1era

necesidad dado el incremento del empleo, es de 10% ¿Cuál es la probabilidad de que se incrementa el empleo y el consumo de artículos de 1era

necesidad?Solución

B) Si los eventos A y B son independiente:Se debe cumplir P(B/A) = P(B) P(A∩B) Ejemplo: En la urbanización “Los Pinos” la probabilidad de que una persona sea mayor de

18 años de edad es de 45% y la probabilidad de que consuma carne es de 15% y la probabilidad de que consuma carne, dado que es mayor de 18 años de edad es de 15%. Si seleccionamos una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma carne y tenga más de 18 años de edad?Solución