Problema Estaticamente Determinado. Determine la ecuacion de la elastica de la viga de rigidez cons-tante, sometida a la fuerza concentrada.

Solucion:1. Analisis del problemaLa ecuacion de la elastica debe estar definida porpartes, debido a que la viga tiene dos tramos decontinuidad.

2. Sistema de referenciaSe elige como origen del sr al punto A.

3. DCL

4. Ecuaciones de equilibrio disponibles

ΣFx = 0 → ⊕Ax = 0

ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay − P + NB = 0

ΣMA = 0 � ⊕−P

(L4

)+ NBL = 0

NB =P

4⇒ Ay =

3

4P

4. Metodo de seccionespara 0 ≤ x ≤ L

4

M =3

4Px

para L4≤ x ≤ L

M =P

4(L− x)

5. Integracion de las ED

yI −→

⎧⎪⎨⎪⎩EI d2y

dx2 = −34Px

EI dydx

= −38Px2 + C1

EIy = 324Px3 + C1x + C2

yD −→

⎧⎪⎨⎪⎩EI d2y

dx2 = −P4

(L− x)

EI dydx

= P8

(L− x)2 + C3

EIy = − P24

(L− x)3 + C3x + C4

6. Condiciones de frontera y ecuaciones de continuidad.

y(0) = 0

y(L) = 0

yI (�L/4) = yD (L/4)

dyIdx

∣∣x=L/4 =

dyDdx

∣∣x=L/4

evaluando las condiciones de frontera y ecuaciones de continuidad

y(0) = 0 −→ 0 =C2

y(L) = 0 −→ 0 =C3L + C4

yI (�L/4) = yD (L/4) −→ − 3

24P (

L

4)3 + C1

L

4= − P

24(L− L

4)3 + C3

L

4+ C4

−→ PL2

64+

C1

4= − 3

4C3

dyIdx

∣∣x=L/4 =

dyDdx

∣∣x=L/4 −→ −3

8P (L/4)2 + C1 =

P

8(L− L/4)2 + C3

−→ C1 =3PL2

32+ C3

resolviendo simultaneamente para las constantes de integracion

C3 = − 5

128PL2

C1 =7

128PL2

finalmente, la ecuacion de la elastica es

yI −→ EIy = − 3

24Px3 +

7

128PL2x 0 ≤ x ≤ L

4

yD −→ EIy = − P

24(L− x)3 − 5

128PL2x +

5

128PL3 L

4≤ x ≤ L

Problema Estaticamente Indeterminado 3.4-16 Timoshenko. Una viga doblemente empotrada tiene suempotramiento izquierdo girado un pequeno angulo θ (ver figura). Determine las reacciones para la viga.

Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un problema indeterminado

2. Sistema de referencia Se elige como origen del sral punto A.

3. DCL

4. Ecuaciones de equilibrio disponibles

ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay + By = 0 (1.2)

ΣMA = 0 � ⊕−MA + ByL + MB = 0 (1.3)

5. Grado de indeterminacionIncognitas: Ay, By, MA, MB: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0, ΣM = 0: 2Grado de indeterminacion: 2

6. Eleccion de las redundantesBy, MB

7. Expresar las demas reacciones en terminos delas redundantes

Ay = −By

MA = ByL + MB

8. Metodo de seccionespara 0 ≤ x ≤ L

M = ByL + MB − Byx

9. Integracion de la ecuacion diferencial de laelastica

EId2y

dx2= Byx−ByL−MB

EIdy

dx=

By

2x2 − ByLx−MBx + C1

EIy =By

6x3 − By

2Lx2 − MB

2x2 + C1x + C2

10. Condiciones de frontera

y(0) = 0 y(l) = 0θ(0) = θ θ(L) = 0

11. Evaluar las condiciones de frontera

y(0) = 0 → 0 =C2

θ(0) = θ → EIθ =C1

θ(L) = 0 → 0 =By

2L2 −ByL

2 −MBL + C1

→ 0 = − By

2L2 −MBL + EIθ (1.4)

y(L) = 0 → 0 =By

6L3 − By

2L3 − MB

2L2 + EIθL

→ 0 = − By

3L2 − MB

2L + EIθ (1.5)

multiplicando (1.5) por -2 y sumando con (1.4)

{0 = −By

2L2 −MBL + EIθ

0 = 2By

3L2 + MBL− 2EIθ

0 =ByL

2

6− EIθ

By =6EI

L2θ

sustituyendo By en (1.2)

Ay = −6EI

L2θ

sustituyendo By en (1.5)

0 = −6EI

3L2L2θ − MB

2L + EIθ

MB

2L = −EIθ

MB = −2EI

Lθ

sustituyendo By y MB en (1.3)

MA =6EI

L2θL− 2EI

Lθ

MA =4EI

Lθ

0.1. Metodo de Area de Momentos

Problema Indeterminado. Para la viga continua de dos claros con un empotramiento mostrada en lafigura determinar todas las reacciones.

Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un sistema hiperestatico

2. DCL y sistema de referencia

3. Ecuaciones de equilibrio disponibles

ΣFx = 0 → ⊕Ax = 0

ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay − qL + NB + NC = 0 (1)

ΣMA = 0 � ⊕MA + NB

L2− qL2

2+ NCL = 0 (2)

5. Grado de hiperestaticidadIncognitas: Ay NB NC MA: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0 ΣM = 0: 2Grado de hiperestaticidad: 2

6. Eleccion de las redundantesNB, NC

7. Separar la viga original en Estructura primaria yEstructuras secundarias

7. Determinar la funcion M/EI de la estructuraprimaria

para 0 ≤ x ≤ L

M = −q(L− x)2

2

8. Determinar la funcion M/EI de las estructuraecundarias

Estructura secundaria para NB

para 0 ≤ x ≤ L2

M = −NB(L2− x)

para L2≤ x ≤ L M = 0

Estructura secundaria para NC

para 0 ≤ x ≤ LM = NC(L− x)

9. Trazar en un solo diagrama M/EI para las estruc-turas primaria y secundarias.

10. Plantear las ecuaciones de compatibilidad deacuerdo ala geometrıa de deformacion

En la siguiente figura se muestra la viga deformadacon rectas tangentes en B y en C.

se pueden plantear las siguientes ecuaciones decompatibilidad

δB/A = −xAAB = 0

δC/A = −xAAC = 0

desarrollando las ecuaciones de compatibilidad

δB/A = 17L56

( 748

qL3

EI) − 2L

6(12L2NBL2EI

) − L4(L2NCL2EI

)L3(12L2NCL2EI

)

δB/A = 17384

qL− NB

24− 5NC

48(3)

δC/A = 3L4

( qL3

6EI) − (L

2+ L

3)(1

2L2NBL2EI

) − 2L3

(L2NCLEI

)

δC/A = qL8− 5

48NB − NC

8(4)

de (4)

NC = 38qL− 5

16NB (5)

Sustituyendo (5) en (3)

17384

qL− NB

24− 5

48(38qL− 5

16NB) = 0

NB = 47qL

NC = 1156qL

sustituyendo los valores de NB y de NC en (1) y (2)

Ay = qL− 47qL− 11

56qL

Ay = 1356qL

MA = −27qL2 + qL2

2− 11

56qL2 = 0

MA = qL2

56

0.1. Metodo de Superposicion

Para la viga continua de dos claros con un empotramiento mostrada en la figura.

(a) determinar todas las reacciones;

(b) trazar los diagramas de fuerzas internas;

La viga es prismatica y homogenea.

Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un sistema hiperestatico

2. DCL y sistema de referencia

3. Ecuaciones de equilibrio disponibles

ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay + NB + NC − wL = 0 (1)

ΣMA = 0 � ⊕−MA + NBL− wL(3

2L) + NC(2L) = 0 (2)

5. Grado de hiperestaticidadIncognitas: Ay, NB, NC , MA: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0, ΣM = 0: 2Grado de hiperestaticidad: 2

6. Eleccion de las redundantesNB, NC

7. Definir la Estructura primaria y las EstructurassecundariasEstructura primaria

yP = wLx2

12EI(9L− 2x) 0 ≤ x ≤ L

yP = w24EI

(x4 − 8Lx3 + 24L2x2 − 4L3x + L4) L ≤ x ≤ 2L

Estructura secundaria 1

yS1 = −NBL2

6EI(3x− L) L ≤ x ≤ 2L

Estructura secundaria 2

yS2 = −NCx2

6EI(6L− x) 0 ≤ x ≤ 2L

8. Plantear las ecuaciones de compatibilidad deacuerdo ala geometrıa de deformacion.De la viga original se pueden plantear las siguientesecuaciones de compatibilidad

yT (L) = yP (L) + yS1(L) + yS2(L) = 0

yT (2L) = yP (2L) + yS1(2L) + yS2(2L) = 0

desarrollando las ecuaciones de compatibilidadwL3

12EI(9L− 2L) − NBL2

6EI(3L− L) − NCL2

6EI(6L− L) = 0

7wL4

12EI− NBL3

2EI− 5NCL3

6EI= 0

7wL− 4NB − 10NC = 0 (3)

w24EI

(16L4 − 64L4 + 48L4 − 8L4 + L4) − NBL2

6EI(6L− L) − 4NCL2

6EI(6L− 2L) = 0

41wL24EI

− 5NB

6EI− 8NC

3EI= 0

41wL− 20NB − 64NC = 0 (4)

multiplicando (3) por -5 y sumando con (4)

{−35wL + 20NB + 50NC = 0

41wL− 20NB − 64NC = 0

6wL− 14NC = 0

NC =3wL

7

sustituyendo NC en (3)

NB = 19wL28

qL

finalmente, sustituyendo los valores de NB y deNC en (1) y (2), se llega a

Ay = −3wL

28

MA =wL2

28

2.2 Metodo de Pendiente-Desviacion. Para la viga continua (EI=cte) sujeta a las cargasmostradas en la figura, obtenga:

(a) los momentos de extremo las vigas separadas;

(b) las reacciones en cada claro;

(c) las reacciones totales;

(d) muestre en un DCL las reacciones totales en la viga completa.

Solucion:1. Analisis del problemaSolo hay que aplicar las ecuaciones de pendiente desviacion tres veces porque es el numero declaros.

2. Separar la viga segun su numero de claros

3. Aplicacion de las ecuaciones dependiente-desviacionTramo AB

MA =EI

2(0 + θB − 0)− 16

3

MA =EI

2θB − 16

3(1.2)

MB = −EI

2(0 + 2θB − 0)− 16

3

MB = −EIθB − 16

3(1.3)

Tramo BC

MB = EI(2θB + θC − 0)− 4

3

MB = 2EIθB + EIθC − 4

3(1.4)

MC = −EIθB − 2EIθC − 4

3(1.5)

Tramo CD

MC =2EI

3(2θC + 0)− 3

MC =4EI

3θC − 3 (1.6)

MD = −2EI

3θC − 3 (1.7)

4. Resolver simultaneamente las ecuacionespara MA, MB, MC , MD, θB y θC .Igualando (1.3) y (1.4)

−EIθB − 16

3= 2EIθB + EIθC − 4

3−3EIθB −EIθC = 4 (1.8)

Igualando (1.5) y (1.6)

−EIθB − 2EIθC − 4

3=

4EI

3θC − 3

−EIθB − 10

3EIθC = −5

3(1.9)

Multiplicando (1.9) por -3 y sumando con(1.8) {

−3EIθB − EIθC = 4

3EIθB + 10EIθC = 5

θC =1

EI

sustituyendo θC en (1.9)

−EIθB − 10EI

3

1

EI= −5

3

θB = − 5

3EI

sustituyendo θB en (1.2)

MA =EI

2

(− 5

3EI

)− 16

3

MA = −37

6[kN ·m]

sustituyendo θB en (1.3)

MB = EI

(− 5

3EI

)− 16

3

MB = −11

3[kN ·m]

sustituyendo θC en (1.6)

MC =4EI

3

1

EI− 3

MC = −5

3[kN ·m]

sustituyendo θC en (1.7)

MD = −2EI

3

1

EI− 3

MD = −11

3[kN ·m]

5. Reacciones parcialesEn la siguiente figura se muestran los momentos de extremo y lasreacciones verticales.

haciendo equilibrio para cada una de las vigas separadas se llega a lo siguiente:

ay =69

8[kN ]

nB =59

8[kN ]

by = 5 [kN ]

nC = 3 [kN ]

cy =16

3[kN ]

nD =20

3[kN ]

6. Reacciones totales

Ay =69

8[kN ]

NB =99

8[kN ]

NC =25

3[kN ]

Dy =20

3[kN ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Fuerza Cortante

x

V

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−6

−4

−2

0

2

Momento Flexionante

x

M