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Calculo

TEMA:

PERIDODO ACADEMICO:

UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA

11.3 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO (Tema 1)

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIOEl concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual cero.La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros. Ese valor representa su velocidad, ya que (velocidad = distancia o desplazamiento/tiempo o longitud del intervalo de tiempo).

Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales se explican a continuación. Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.

Razón de cambio promedioNuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos

fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.Por ejemplo razón de cambio de s con respecto a t en el intervalo de t = 1 a t = 3.

Ahora consideremos que el intervalo de tiempo es de solo 1 segundo (esto es t = 1), entonces para el intervalo más corto de t = 1 a t = 1 + At = 2, se tiene f (2) = 22 = 4, por lo que

Vprom = ∆ s∆ t =

f (2 )−f (1)∆t =

4−11 =3 m

s

Razón de cambio instantáneaLa razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con

respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva. El límite de la velocidad promedio, cuando ∆ t →0, se define como la velocidad instantánea (o simplemente velocidad), v, en el tiempo = 1. A este límite se le llama también la razón de cambio instantánea de s con respecto a t en t = 1:

V = lim∆t →0

vprom=lim

∆ t →0∆ s

∆t=lim

∆ t → 0

f (+∆ t )−f (1)∆ t

Si se piensa en ∆ t como h, entonces el limite a la derecha es simplemente la derivada de s con respecto a t en t = 1.

ESTIMACION DE ∆ y MEDIANTE EL USO DE dy

dx¿

¿

Suponga que y=f ( x ) y dxdy

=8 cuando x = 3. Estime el cambio en y si x cambia 3 a 3.5.

Se tiene dydx = 8 y ∆ x=3.5−3=3.5 . El cambio en y está dado por ∆ y y, a partir de la

ecuación 3. ∆ y ≈ dydx

∆ x=8 (0.5 )=4 .

Se destaca que, como ∆ y=f (3.5 )−f (3 ) , se tiene f(3.5) = f(3) + ∆ y . Por ejm, si f(3) = 5, entonces f(3.5) puede estimarse como 5 + 4 = 9.

DETERMINACION DE RAZON DE CAMBIO

Encuentre la razón de cambio de y = x4 con respecto a x y evalúela cuando x = 2 y cuando x = -1. Interprete los resultados:

Razón de cambio: dxdy

=¿ 4x3 = 4(2)3= 32

dydx

=¿ 4(-1)3 = -4

RAZON DE CAMBIO DEL PRECIO CON RESPECTO A LA CANTIDAD

Sea p = 100 – q2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando vale 5?

dpdq

=dpdq

¿q2) = -2q

dpdq q=5 = -2(5) = -10

RAZONES DE CAMBIO RELATIVA Y PORCENTUAL

Determinar las razones de cambio relativo y porcentual de

y=f ( x )=3 x2 – 5x + 25 cuando x = 5

F(x) = 6x – 5

F’ (5) = 6(5) – 5 = 25 y f(5) = 3(5)2 – 5(5) + 25 = 75, la razón de cambio relativa de y cuando x = 5 es:

f ' (5)f (5)

=2575

≈ 0.333

Al multiplicar (0.333)(100%) se obtiene la razón de cambio porcentual que es: 33%

12.3 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA Medio en el cual se mide la relación entre un cambio en el precio y el correspondiente cambio en la cantidad, indicando la sensibilidad de la cantidad demandada con un cambio en el precio.

f (q+h)−qq

× 100 %

La elasticidad puntual de la demanda se da por la fórmula:

η=n (q )=

pq

dpdq

η= pq

× dqdp

Al momento de calcular la elasticidad se obtienen números reales, debido a los cambios relativos que suceden, cuando hay un incremento en el precio existe una disminución en la cantidad, así mismo ocurre si hay una disminución en el precio existirá un incremento en la cantidad.

Existen tres categorías de elasticidad:

Si |η|>1la demanda es elástica, si hay un cambio porcentual en el precio hay un cambio porcentual mayor en la cantidad.

Si |η|=1 la demandatieneelasticidad unitaria, hay un cambio porcentual igual

Si|η|<1la demandaes inelástica, ocurre un cambio porcentual menor.

La elasticidad e ingreso

Los cambios que ocurren en la demanda afectan a los ingresos. Si la demanda es elástica un precio menor aumentara el ingreso, si la demanda es inelástica un precio mayor hará disminuir a los ingresos y si hay elasticidad unitaria un precio menor deja sin cambio el ingreso total.

drdp

=q (1+η)

Ejemplos:

1. p=40−2q; q=5

η=

pq

dpdq

η=

40−2 qq

−2

η=

40−2(5)5

−2

η=

305

−2

η=−3 Es elástica

3. q = 1200 - 150q; p = 4

η= pq

× dqdp

η= p1200−150 p

×−1501

η= −150 p1200−150 p

η=−150(4)

1200−150(4)

η=−1 Tiene elasticidad unitaria

13. q=(p−50)2; p=10

η= pq

× dqdp

η= p( p−50)2 × 2( p−50)

1

η= p(2 p−100)( p−50)2

η=2(10)2−100 (10)

(10−50)2

η=−12 Inelástica

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS

(Tema Nª 2)

La derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula

Donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Función logarítmica

Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial

existe una única solución x , asumiendo que y que b no es solución de la ecuación . Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.10 Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).11

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

REGLAS DE DERIVACION DE LOGARITMOS

A. Reglas para la derivada de funciones logaritmo natural

B. Reglas para la derivada de funciones logaritmo común

 

C. Derivación logarítmica

A veces resulta favorable utilizar logaritmos para derivar otras funciones mediante el proceso de derivación logarítmica. La derivación logarítmica consiste de cuatro pasos, estos son:

1) Tomar los logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación y simplificar.

2) Usar derivación implícita.

3) Resolver para la derivada de y respecto a x.

4) Sustituir para y.

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

La derivación logarítmica se usa para derivar: una función con muchos factores, como se ilustra en el primer ejemplo, y para una función con base y exponente ambas funciones de x

Derivada de la función logarítmica

Tenemos una función , por la definición de derivada:

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

Que podemos trasformar en:

Como si tiende a cero tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

Y por la definición del número e, tenemos que:

O, lo que es lo mismo:

En el caso particular del logaritmo natural:

(Tema 3)

Derivada de

funciones

exponen

La derivada de funciones exponenciales es cuando una variables esta elevada a un exponente que puede ser una constante o una variable.

La derivada de una función exponencial en base de una constante elevada a un exponente ( constante) es igual al exponente multiplicado por la variable elevado al exponente menos 1

F(x)= nx

F(x)=xnx−1

EJEMPLO:

F(x)= 53

F(x)=3*53−1

F(x)=152

Derivada de funciones exponencial natural: es la función que a cada número real A le hace corresponder la potencia A x donde X es un exponente.

f ( x )=aX

f ' ( x )=aX . Lna

EJEMPLO:

f(x)= 3x

f’(x)= 3x . ln 3

La regla de la cadena aplicada a la derivación de una función exponencial

F(x)= au(x)

F’(x)= au(x) . Lna. u '(x )

Derivada de

funciones

exponen

EJEMPLO:

F(x)=53 x2+1

F(x)= 53 x2+1 ( ln5 ) (6 x )

Función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.

e= 2.71828…….. Numero irracional

f(x)=ex

f ’(x)=ex

EJEMPLO:

f(x)=x2. ex

f ´(x)= 2x.ex+x2 . ex

f´(x)= x. ex (2+x )

Función exponencial con base e y con exponente u de x

F(x)= eu ( x )

F’(x) = eu ( x ) . u' ( x )

EJEMPLO:

F(x)=esenx

f ’(x)= esenx . cosx

(Tema 5)

El objetivo de este método para estimar la solución de una ecuación f(x) = 0 es producir una sucesión de aproximaciones que se acerquen a la solución (iteraciones). Escogemos el primer número X0 de la secuencia y luego en circunstancias favorables el método hace el resto moviéndose paso a paso.

Este método consiste en una función que es complicada encontrar cual es el valor exacto de la raíz, entonces, lo que vamos hacer es tomar un valor f(x) = 0 que

Metodo de Newton

creemos puede estar cerca de la raíz y a partir de ese punto aplicamos el método que consiste en ir haciendo una serie de aproximación sucesivas hasta que llegamos al valor casi exacto de la raíz.

Explicación gráfica:

Tenemos en color rosado (x0,f(x0)) a la que le queremos encontrar la raíz por el método de newton gráficamente podemos observar que la raíz es el punto de color rosado ya que es el punto donde la recta se corta con el eje x

Procedimiento del método:

Cogemos un punto al cual lo llamamos x0 y trazamos una tangente a la gráfica y vemos el punto de corte con el eje x y obtenemos x1 , en este punto Ex1 volvemos a repetir el mismo procedimiento y obtenemos x2,en este punto volvemos a trazar la recta tangente a la función y calculamos el punto de corte con el eje x y obtenemos x3 en esto consiste el método de new que a partir de x0 obtenemos x1,x2,x3, es decir en cercanos a la ra

EJEMPLO:

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORTEMA 6

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada

Para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

Ejemplos:

Obtener la primera, segunda y tercera derivada de la siguiente función:

Encontrar la segunda derivada de la siguiente función:

F (x)= x2−1x2+1

F left (x right ) =

Primera derivada:

F ' ( x )= a' .b−a . b 'b2 =

2 x . ( x2+1 )−( x2−1 ) . 2 x(x2+1)2 = 4 x

(x2+1)2

Segunda derivada

F”(x)=4 x

( x2+1 )2 =a' .b−a . b'

b2 = 4. ( x2+1 )−4 x .2 ( x2+1 ) .2 x

( ( x2+1 )2 )2

¿ 4 ( x2+1 ) .(( x2+1 )−4 x2)(x2+1)4 =

4 (x2+1−4 x2)(x2+1)3

¿ 4 (1−3 x2)(x2+1)3 Rta.