UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMEN DACQyP INGENERIA PETROLERA RAZONAMIENTO LOGICO (LOGICA-TEORIA DE CONJUNTOS) JOSE ANGEL GUERRA ROMAN PROFE: I.Q.P. JORGE LUIS ACOSTA PEREZ 1 SEMESTRE 17:00 A 19:00 HRAS. MARTES Y JUEVES. Cd. Del Carmen, Campeche, septiembre de 2011. 2 INDICE Introduccin3 Objetivos..4 BOLQUE ILOGICA5 *lgica..6 Proposiciones............7 *conectivo..8 conjugacin..8 -disyuncininclusiva..9 -disyuncinexclusiva.10 -implicacin11 -equivalencia.12 -negacin...13 Tablas de verdad14 Tablas de verdad de conectivas lgicas15 -conjugacin15 -disyuncin inclusiva.15 -disyuncin exclusiva.15 -implicacin.16 -equivalencia.16 -negacin16 Tipos de tablas..............17 BLOQUE II TEORIA DE CONJUNTOS......19 *Conjunto..20 Tipos de conjuntos22 Operaciones de conjuntos24 Conclusiones.25 Bibliografa26 Observaciones27 3 INTRODUCCION En este proyecto de investigacin podrs conocer mediante un marco terico y prctico sea atreves de sus ejemplos, lo que son las tablas deverdad como realizaras. Te aseguro que esta unidad te parecer ms fcil de lo que crees ya que como dijimos es unaunidad practica. Esto te ser til para asimilar cualquier problema de lgica. La lgica matemtica o lgica simblica es una ciencia que tiene como tarea primordial el estudio de la lgica ordinaria con mtodos matemticos.Lo que se entiende como mtodos matemticos es algo que podemos suponer suficientemente conocido, a un nivel aceptable, por cualquiera que haya seguido unos cuantos cursos de matemticas. En si lo que se entiende por lgica ordinaria o lgica natural merece y necesita un comentario. En primer lugar decir, que bsicamente, se compone de lenguaje ordinario y de unas sucesiones de frases de dicho lenguaje que se llaman deducciones. En este trabajo observaras la definicin de lgica y preposicin, adems observaras la realizacin de tablas de verdad y sus componentes. Encontraras ejemplos de cada tema expuesto que te ser muy fcil deentender. Un extenso surtido de informacin del tema expuesto. 4 OBJETIVOS El estudiante conocerque es una preposicin, distinguir entre una preposicin simple y una compuesta, conocerlas diferentes conectivas lgicas. Aprender a realizar una tabla de verdad y las reglas para resolverlas segn la conectiva lgica utilizada y del resultado encontrado distinguir del tipo que resulta: contradictoria, contingencia y tautolgica. Conocer que es un conjunto, los tipos de conjuntos y las operaciones de conjuntos . 5 BLOQUEILOGICA 6 1.1 Lgica La lgica es una ciencia formal y una rama de la filosofa que estudia los principios de la demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego antiguo (logike), que significa dotado de razn, intelectual, dialctico, argumentativo, que a su vez viene de (logos), palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio. La lgica examina la validez de los argumentos en trminos de su estructura, (estructura lgica), independientemente del contenido especfico del discurso y de la lengua utilizada en su expresin y de los estados reales a los que dicho contenido se pueda referir. Esto es exactamente lo que quiere decir que la lgica es una ciencia formal. La lgica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciadoso proposiciones) que son los elementos bsicos de transmisin de conocimiento humano. De manera informal, una proposicin se define como una frase que puede ser considerada Verdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas.

*mtodo inductivo: Es el razonamiento por el cual se logra el conocimiento que va de lo particular a lo general. Ejemplo:El meln es delicioso. El meln es una fruta. Por lo tanto todas las frutas son deliciosas. *mtodo deductivo: A la inversa del anterior, en este caso el conocimiento se obtiene de lo general a lo particular. Ejemplo: Todos los hombres son mortales. Daniel es hombre. Por la tanto Daniel es mortal. *mtodo analgico: Es aquel en que las conclusiones tienen el mismo grado de particularidad o generalidad de sus premisas. Ejemplo: La naranja es un ctrico. Los ctricos tienen vitamina C. Por lo tanto la naranja tiene vitamina C. 7 Proposiciones En el idioma cientfico, una proposicin se refiere a un enunciado que puede ser verdadero o falso, generalmente una oracin enunciativa, base de lo que constituye el lenguaje formal de la lgica simblica. Una proposicin lgica es Expresin enunciativa a la que puede atribuirse un sentido o funcin lgica de verdad o falsedad. Ejemplos: Miguel comi papas. Pedro es catlico. Luis naci en Oaxaca. Aunque existen lgicas de dos formas: las simples (atmicas) y las compuestas (moleculares). Ejemplos: Propensiones simples (atmicas). -tigres gano la final. -el trabaja medio turno. Proposiciones compuestas (moleculares). -juega futbol y mete goles. -f.calderon es presidente entonces gano las elecciones. 8 Conectivos. Conectivo Lgico: Es aquel que une dos proposiciones atmicas para formar una molecular Existen 5 tipos deconectivos, que a continuacin se muestran. a) conjuncin(y-.). Se llama conjuncin de dos proposiciones a la proposicin molecular unida por el conectivo lgico.....y....... Diagrama de Gant Simblicamente se representa: . Juan est aqu y Erika a salido Para llegar a una solucin: Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada Proposicin B= Erika ha salido Solucin: A . B O A . B. A= Juan est aqu 9 b) disyuncin inclusiva (o, o bien, u- v).

Se llama disyuncin inclusiva de dos proposiciones a la proposicin molecular unida por el conectivo lgico.....o....... Diagrama de Gant Simblicamente se representa:v Jessica est con Lemus o est con Argelia Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada Proposicin A= Jessica est con Lemus B= Jessica est con Argelia Se identifica el conector lgico y seune sustituye por su smbolo Solucin: A v B Se identifica el conector lgico y sesustituye por su smbolo 10 c) disyuncin exclusiva (oo-.). Se llama disyuncin exclusiva aquella en la cual la declaracin de una preposicin excluye ala otra definitivamente, oo o pas el examen o repito el ciclo.

Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada preposicin. A=paso el examen. B=repito el ciclo. Se identifica el conector lgico y se une sustituye por su smbolo. A.B. Paso el examenrepito el ciclo Proposicin 1conectorproposicin 2 oo 11 d) implicacin (sientonces, luego, implica, sigue-). Se dice que una proposicin estimplicada cuando una proposicin molecular unida por el conectivo lgico.....entonces.......

Diagrama de Gant, Implicacin Simblicamente se representa: Cinthya est enfadada entonces Argelia llego tarde Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada Proposicin A= Cinthya est enfadada B= Argelia lleg tarde Se identifica el conector lgico y sesustituye por cualquiera de sus smbolos Simbolizacin: A 12 e) equivalencia (si y solo si, solo, realmente, nicamente-). Se dice que una proposicin tiene una doble implicacin cuando la proposicin molecular est unida por el conectivo lgico si solo si... Abigail es feliz si solo si Alejandro est con ella Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada Proposicin A= Abigail es feliz B= Alejandro est con ella Se identifica el conector lgico y sesustituye por cualquiera de sus smbolos Aun que existe un sexto que es la negacin. Solucin: A B 13 f) negacin (no--,~). Se define como lo opuesto al valor de la proposicin Sintaxis:~ Diagrama de Gant Leonardo no gan la competencia Debido a que una proposicin debe ser siempre afirmativa, "no" dentro de la oracin es incorrecto. Para hacer que una proposicin sea negativa se realiza lo siguiente: 1. Se escribe la proposicin de manera afirmativa 2. Se antepone el smbolo ~ Paris no est en Francia a). Se escribe la proposicin de manera afirmativa: Paris est en Francia b). Se simboliza la proposicin:G= Pars est en Francia c). Se niega la proposicin~G Por lo que se concluye~G= Pars no est en Francia 14 TABLAS DE VERDAD Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposicin compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos 1880, pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921. El procedimiento para construir una tabla de verdad es el siguiente: 1.-se escribe la preposicin molecular deseada y a su izquierda las variables. a.b 2.-para saber el nmero de hileraso filas que tendr la tabla, se aplica la formula2donde n significa el nmero de variables. Ejemplo:2 =2a+b=2=4*Para ordenar los trminos se comienza Siempre dederechaa izquierda. a B 1 v V 2 v F 3 f V 4 f f 15 Tablas de verdad de las conectivas lgicas Conjuncin La conjuncin es verdadera si y solo si ambas preposiciones atmicas son verdaderas de otra forma la conjuncin ser falsa. La tabla de verdad de la conjuncin es la siguiente: Disyuncin inclusiva La disyuncin inclusiva es verdadera cuando una de las dos o ambas alternativas son verdaderas. La tabla de verdad de disyuncin inclusiva es la siguiente: xyx v y vVV VFV FVV FFF Disyuncin exclusiva La disyuncin exclusiva es verdadera cuando sus dos alternativas tienen valores diferentes, es decir unas es verdadera y otea falsa. La tabla de disyuncin exclusiva es la siguiente: cdc.d VVF VFV aba.b VVV VFF FVF FFF 16 FVV FFF ImplicacinLa implicacin es siempre verdadera, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Latabla de implicacin es la siguiente: Mnmn VVV VFF FVV FFV EquivalenciaLa equivalencia es verdadera si y solo si las dos proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad, de otra forma es falsa. La tabla de equivalencia es la siguiente: jiji VVV VFF FVF FFV NegacinLa negacin es aquella que contradice el resultado de verdad de la variable sealada. La tabla de negacin es la siguiente: g~g VF FV 17 Tipos de tablas Existen tres tipos de tablas resultado de la conjugacin de las conectivas lgicas: 1.-contradictorias. Son aquellas donde el resultado de la tabla de verdad es falsa. Ejemplo: (p.q).~(pvq) pq(p.q).~(pVq) VVVFFV VFFFFV FVFFFV FFFFVF 143 2 2.-contingencia. Son aquellas cuando el resultado de la tabla es vareado o lo que es lo mismo que el resultado es verdadero y falso. Ejemplo: (pvq).(pr) PqR(pvq).(pr) VVVVVV VVFVFF VFVVVV VFFVFF FVVVFF FVFVVV FFVFVF FFFFFV 132 18 3.-tautologica. Son aquellas donde el resultado de la tabla da todo como verdadero. Ejemplo: (pq)|(pq).(qp)| Pq(pq)|(pq).(qp)| VVVVVVV VFFVFFV FVFVVFF FFVVVVV 45132 19 BLOQUEII TEORIA DE CONJUNTOS 20 2.1 conjunto En matemticas, un conjunto es una coleccin de objetos considerada como un objeto en s. Los objetos de la coleccin pueden ser cualquier cosa: personas, nmeros, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la coleccin es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los nmeros naturales, si consideramos la propiedad de ser un nmero primo, el conjunto de los nmeros primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Un conjunto queda definido nicamente por sus miembros y por nada ms. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Adems, cada elemento puede aparecer de manera idntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idnticos repetidos. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Mircoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta, Naranja} GeorgCantor, uno de los fundadores de la teora de conjuntos, dio la siguiente definicin de conjunto: [...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda coleccin de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley. Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: nmeros, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras maysculas. La propiedad ms bsica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido nicamente por sus elementos. Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, A = B. Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, A = B. A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A. 21 Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los nmero naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Adems, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con nmeros. Los conjuntos son un concepto bsico, en el sentido de que no es posible definirlos en trminos de nociones ms elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuicin y a la lgica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemtica: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemticos, como los nmeros y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introduccin de axiomas y conduce a la teora de conjuntos. 22 TIPOS DE CONJUNTOS Conjunto vacio Es aquel que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo. Aqu diremos de un conjunto semejante que es vacio y se le denotara por el smbolo.(C) Ejemplo: si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 aos, A es vacio segn las estadsticas conocidas. A={X es el nmero de personas mayores de 2oo aos} Conjunto universal Se denomina as al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo. Primitivamente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, pero en la actualidad est demostrado que este conjunto no existe. Al presente se debe dejar en claro sobre cul conjunto se est tratando. Si tratamos conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sera el que estuviera formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo (o referencial) es el conjunto vaco. El conjunto universal se indica con la letra U y algunas veces se indica con la letra S. En un problema que slo involucra nmeros naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos los nmeros naturales: {1, 2, 3, 4, . . .}. Cualquier otro subconjunto involucrado, como el conjunto de los nmeros pares {2, 4, 6, . . .}, se toman de este conjunto universal. Veamos un ejemplo ms claro: Sean los conjuntos: E = { mujeres }F = { hombres } Existe otro conjunto que incluir a los conjuntos E y F, que sera el conjunto U : U = {seres humanos } 23 Nomenclaturasy conjuntos universales El conjunto entendidocomo un concepto primitivo denotado por letras maysculas: A,B,C.X,Y,Z;y que esta compuesta por los elementos sealados por letras minsculas:a,b,c..x,y,z., .La pertenencias de estos a un conjunto y la inclusin de un conjunto se expresa por: aeASe lee a pertenece al conjunto de A aeA Se lee a no pertenece al conjunto de A AcB Se lee a es un subconjunto de B A_B Se lee Aes un subconjunto o igual al conjunto de B A.B Se lee el conjunto de A no es parte del conjunto B Unconjuntosepuedeexpresarporextensin,esdecirenumerandotodossuselementosobien porcompresin,sealandolascaractersticascomunesdetodoselementosmedianteun clasificador: A={a,b,c,d,e.} por extensin A={xeR/x=2n,n eN } Clasificador que se lee A es el conjunto de todos los x reales tal que x es un numero par . 24 OPERACIONES DE CONJUNTOS Las operaciones principales entre conjuntos son: Unin e interseccin AB={x/xeAvxe B } Se lee es conjunto de los elementos que pertenecen a A y tambin pertenecen a B AB={x/xeA.xeB } Se lee es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y tambin pertenecen a B Tambinrequerimosdelcomplementodeunconjuntooseaeldeaquelloselementosdelconjunto universal que no pertenecen al conjunto: C(A)={xeU/ xeB} Diferencia La diferencia entre dos conjuntos Ay B est dada por: A-B={x/xeA.xeB} 25 CONCLUSIONES Los mtodos para sacar una preposicin son: *mtodo inductivo. * mtodo deductivo. *mtodo analgico. Los tipos de conectivos: *conjuncin. *disyuncin inclusiva. *disyuncin exclusiva. *implicacin. *equivalencia. Cada conectivo cuenta con uno tipo de tabla de verdad propio. Que nos dar una cierta respuesta de verdad o falsedad. Los conjunto son una coleccin o listado de objetos o caractersticas bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

26 BIBLIOGRAFIA *Labra, Jos E., Lgica proposicional, noviembre, 1998, pag.55-60. *Contreras, Ana E., metodologa de la investigacin, 2010, ed.ST, pag.81-83. www.ihs.edu.pe/recursos, matematicos.com www.wikipedia.com, 2011. www.mitecnologico.com 27 OBSERVACIONES