Representacin logartmica

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Papel logartmico 50 mm. La frmula que nos da la posicin,en cm, para un valor n que queremos representar es: x = 1 +5*log10(n). Dicha frmula se puede aplicar tanto al eje X comoal eje Y, pero es especca de cada tipo de papel logartmico. Laslneas ms gruesas se llaman lneas de dcada pues representanpotencias de 10, y en este caso estn separadas 50 mm.

Una representacin logartmica es una representacingrca de una funcin o de un conjunto de valores num-ricos, en la que el eje de abscisas y el eje de ordenadastienen escala logartmica. o semi curvas linealesSi la representacin se hace manualmente, se empleapapel logartmico,[1] que posee la escala con las marcasadecuadas para este tipo de representaciones. Se empleanlogaritmos decimales, de base 10.

1 UsosLos datos que siguen una variacin similar a una funcinpotencial, y=axn, o aquella serie de datos cuyo rangoabarca varios rdenes de magnitud son apropiados parauna representacin logartmica. Por ello, este tipo de re-presentacin es muy usada en ciencias e ingeniera.

0.1

1

10

100

0.1 1 10 100

f(x) = x^3f(x) = x^2

f(x) = x

Representacin logartmica de las funciones potenciales y=x(azul), y=x2 (verde), y=x3 (rojo). Ntese la escala logartmicaen cada uno de los ejes, en la cual las marcas no estn igualmenteespaciadas.

Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la ex-presin y = axb podr representarse en forma de lnearecta, log(y) = b log(x) + log(a) , si usamos represen-tacin logartmica ya que ambas expresiones son equiva-lentes.

2 EjemploComo ejemplo de representacin logartmica vamos a re-presentar los datos del periodo de revolucin de algunosplanetas en funcin del semieje mayor de su trayectoria(leyes de Kepler), que aparecen en la tabla inferior.

3 Interpretacin de una represen-tacin logartmica

Si tanto los ejes vertical y horizontal de una grca estnen escala logartmica, es llamada representacin logart-mica. La ecuacin de una recta en una escala logartmicasera:

1

2 3 INTERPRETACIN DE UNA REPRESENTACIN LOGARTMICA

Representacin logartmica de la ecuacin F(x) = (x10 1020),que se puede expresar como la lnea: log(F(x)) = 10 log(x) +20.

log10(F (x)) = m log10(x) + b;

F (x) = (xm)(10b);

dondem es la pendiente y b es la ordenada en el origen opunto de interseccin con el eje vertical.

3.1 Pendiente de una grca logartmica

Para calcular la pendiente de una grca logartmica se calculael cociente entre sus incrementos.

Para hallar la pendiente de la grca, dos puntos son se-leccionados en el eje X, digamos x1 y x2. Usando la ecua-cin anterior:

log[F (x1)] = m log(x1) + b ;

y

log[F (x2)] = m log(x2) + b :

La pendiente m se encuentra tomando la diferencia:

m =log(F2) log(F1)log(x2) log(x1) =

log(F2/F1)log(x2/x1)

;

donde F1 es la abreviatura de F(x1) y lo mismo para F2.La gura de la derecha ilustra la frmula. Ntese que lapendiente en el ejemplo de la gura es negativa. La fr-mula tambin proporciona una pendiente negativa, comopuede verse en la siguiente propiedad de los logaritmos:

log(x1/x2) = log(x2/x1) :

3.2 Bsqueda de la funcin correspondien-te a la grca logartmica

El procedimiento anterior se invierte ahora para encon-trar la forma de la funcin F(x) a partir de su grca co-nocida. Para encontrar la funcin F, se elige un punto jo(x0, F0), donde F0 es la abreviatura de F(x0), en algn lu-gar de la lnea recta en el grco anterior, y adems algnotro punto arbitrario (x1, F1) en la misma grca. Luego,a partir de la frmula de la pendiente arriba indicada:

m =log(F1/F0)log(x1/x0)

lo que conduce a

log(F1/F0) = m log(x1/x0) = log[(x1/x0)m] :

Tenga en cuenta que 10log10( F1 ) = F1. Por lo tanto, la gr-ca se puede invertir para encontrar:

F1F0

=

x1x0

mo

F1 =F0

(x0)mxm

lo que signica que

F (x) = const xm:

En otras palabras, F es proporcional a x elevado a la po-tencia de la pendiente de la lnea recta de su grco loga-rtmico. En concreto, una lnea recta en una grca loga-rtmica que contiene los puntos (F0, x0) y (F1, x1) tendrla siguiente expresin:

3F (x) = F0

x

x0

log(F1/F0)log(x1/x0)

Por supuesto, la inversa tambin es cierta: toda funcinde la forma

F (x) = const xm

tendr una lnea recta en su representacin grca loga-rtmica, donde la pendiente de la lnea es m.

3.3 Estimacin de valores en una represen-tacin logartmica

Unmtodo para la determinacin exacta de los valores enun eje logartmico es el siguiente:

1. Medir la distancia desde el punto de la escala a lalnea de dcada inmediata inferior, con una regla.

2. Dividir esta distancia por la longitud de una dcada(la distancia entre dos lneas de dcada, cualesquie-ra. Por ejemplo de 10 a 100; de 20 a 200; de 30 a300; etc).

3. El valor correspondiente al punto escogido ser elvalor de la dcada inmediata inferior multiplicadopor 10a, donde a es el valor encontrado en el paso 2.

Ejemplo: Cul es el valor que se encuentra a medio ca-mino entre las dcadas 10 y 100 en un eje logartmico?Puesto que es el punto medio el que nos interesa, el co-ciente calculado tras los pasos 1 y 2 es 0,5. La dcada in-mediata inferior a dicho punto es 10, por lo que el punto amitad de camino entre 10 y 100 tendr el valor 10(100,5)= 103,162 31,62.Para estimar donde se encuentra un determinado valor enun eje logartmico, se utiliza el mtodo siguiente:

1. Medir la distancia entre dcadas consecutivas conuna regla. Se puede utilizar cualquier unidad (cm,pulgada...).

2. Hallar el logaritmo del cociente entre el valor de in-ters y la dcada inmediata inferior y se multiplicapor el nmero determinado en el paso uno.

3. Usando lasmismas unidades que en el paso 1, cuentetantas unidades como resultado del paso 2, a partirde la dcada inferior.

Ejemplo: Para determinar dnde se encuentra el valor 17en un eje logartmico, primero se utiliza una regla paramedir la distancia entre 10 y 100, que son las dcadas opotencias de 10 inmediatas inferior y superior al valor 17.

Supongamos que en este caso la distancia entre 10 y 100sea de 30 mm. Se debe utilizar la misma regla en todo elproceso.log (17/10) 30 mm = 6,9 mmEntonces el valor x=17 est a 6,9mmde distancia, a partirdel valor x=10 (en el eje correspondiente).

4 Interpolacin logartmica

La interpolacin de valores en una representacin loga-rtmica es muy similar a la interpolacin de valores linea-les. En la interpolacin lineal, los valores se determinan atravs de relaciones de igualdad. Por ejemplo, en la inter-polacin lineal, una lnea que incrementa la ordenada en1 unidad por cada 2 unidades de incremento de la absci-sa tiene una relacin (tambin conocida como pendiente)de 1/2. A n de determinar la ordenada (o abscisa) de unpunto en particular, debemos conocer su abscisa (u or-denada). El clculo de la ordenada correspondiente a unaabscisa de 12 en el siguiente ejemplo es el siguiente:12 =

y12

donde y es la ordenada desconocida. Se puede calcularfcilmente que y es igual a 6.En la interpolacin logartmica,[2] una relacin entre va-lores logartmicos es igual a una proporcin entre valoreslineales. Por ejemplo, considrese una grca logartmica(de base 10) que representa una determinada variable, yque mide 50 mm entre dos dcadas consecutivas, como100 y 1000. Cul es el valor correspondiente a un puntosi el valor en el grco est situado a 29 mm por enci-ma del valor correspondiente a 100? Para resolver esteproblema, es necesario utilizar una denicin logartmi-ca bsica:log(A) log(B) = log(A/B)Las lneas de dcada son los valores que representan laspotencias enteras de la base de logaritmos empleada, eneste caso 100=1, 101=10; 102=100; 103=1000... y sonimportantes en la interpolacin logartmica. Busque la l-nea de la dcada inmediata inferior al punto de la grcaque queremos leer.La proporcin entre los valores lineales, o relacin lineal,se calcula como la distancia desde la lnea de la dca-da inmediata inferior hasta el valor de inters (29 mmen este ejemplo, en el que la lnea de dcada inferior es100) dividido por la distancia entre dos lneas de dcadaconsecutivas (la lnea de dcada superior es 1000 en esteejemplo, y la distancia entre 100 y 1000 era 50 mm). Porlo tanto, la relacin lineal es:29 mm/50 mm = 0,58Observe que las unidades (milmetros en este caso) se eli-minan de la ecuacin, porque ambas medidas estn en lasmismas unidades. La conversin a una sola unidad antes

4 6 REFERENCIAS

de calcular la proporcin es necesaria si las medicionesse hicieron en diferentes unidades.La relacin logartmica utiliza las mismas medicionesgrcas que la relacin lineal. La diferencia entre ellogaritmo de la dcada superior (1000) y el logaritmode la dcada inferior (100) representa la misma distanciagrca que la distancia entre las dos lneas de dcada enla relacin lineal (50 mm). Por lo tanto, el denominadorde la relacin logartmica (la parte inferior de la fraccin)es:log(1000) - log(100)El numerador de la relacin logartmica (la parte supe-rior de la fraccin) representa la misma distancia grcaque el nmero de unidades entre el valor de inters y lalnea de dcada inferior en relacin lineal (29 mm). Lodesconocido en esta relacin es el valor de inters, quedeniremos como X. Por lo tanto, la parte superior dela fraccin es:log(X) - log(100)La relacin logartmica es:log(X)log(100)

log(1000)log(100)La relacin lineal es igual a la relacin logartmica. Porlo tanto, la ecuacin para determinar el valor buscado enparticular es:2950 =

log(X)log(100)log(1000)log(100)

Esta ecuacin se puede reescribir usando la denicin lo-gartmica antes mencionada:2950 =

log X100log 1000100

log(1000/100)= log (10) = 1, por lo tanto:2950 = log X100Con el n de eliminar el logaritmo del lado derecho de laecuacin, ambas partes deben ser usados como exponen-tes del nmero 10, es decir, 10 a la potencia de 29/50 y10 a la potencia de log (X/100). La funcin logaritmoy la funcin exponencial de base 10 son inversas y seanulan entre s, dejando:10

2950 = X100

100;58 = X100

3; 802 = X100

y nalmente X = 380,2 es el valor buscado

5 Vase tambin

Representacin semilogartmica

6 Referencias[1] Introduccin a la metodologa experimental. Carlos

Gutirrez Aranzeta. Editorial Limusa, 2006. ISBN:9681855000. Pg. 195

[2] New formulas for Logarithmic interpolation. Schoolscience and mathematics, Volumen 59. School Scienceand Mathematics Association (U.S.), Central Associationof Science and Mathematics Teachers (U.S.) 1959. Pag.32

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