CALCULO INTEGRAL (ARQ)

Sesión 6.1:•Integral definida•Propiedades de la Integral definida.•Cálculo de Integrales Definidas.

CALCULO DE ÁREAS

A2

A4

A3

A1

INTEGRAL DEFINIDA Y

El concepto de integral definida (según Riemann) está fundamentalmente relacionado con el cálculo de áreas de regiones planas, en particular el área determinada por:

El Problema del Área

La gráfica de la curva y = f (x), las rectas x = a , x = b y el eje X.

Integral Definida: Partición

Llamamos partición de [a , b] a cualquier colección de puntos del intervalo,

nn xxxxP ;;...; 110 Siendo

bxxxxa nn 110 ...

x1 x2 xn-2 xn-1x0 xn

Integral Definida: Suma de Riemann

una función continua definimos la suma de Riemann de f respecto a la partición P de [a , b] como el número.

RbafDado ,:

n

iiii xxfPfS

11;

Siendo iii xx ;1

S (f ; P) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el área de la región limitada por la curva y = f (x), las rectas: x = a, x = b y el eje OX .

n = 3 rectángulosn = 6 rectángulosn = 12 rectángulosn = 24 rectángulosn = 48 rectángulosn = 99 rectángulos

Integral Definida: Definición

Consideramos la partición P n de [a , b] como:

Decimos que f es integrable si existe el

b

n

abna

n

aba

n

abaaPn

)(;...

2;;

lim ( ; )nn

S f P

Entones definimos

( ) lim ( ; )b

na nf x dx S f P

ba ;

b

a

dx)x(f

Integrando

Límites

Superior

e Inferior

No tiene significado, indica respecto a qué variable se integra.

Donde:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:

( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

Propiedad de linealidad

2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:

( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

( ; )c a b

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.

Ejemplo:

Si:

y se quiere hallar:

31 1 - 2

10 x )(

2

xx

xxf

3 1 32

0 0 1( ) (2 1)f x dx x dx x dx

3

0( )f x dx

3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendrá:

( ) ( )b b

a ag x dx f x dx

Teorema de comparación

Integral Definida: Propiedades

Si

Ejemplos:

,3)(3

1

dxxf 5)(2)(2

1

3

1

dxxgydxxg

Encuentre:

3

1

)(3)(2.1 dxxgxf

3

2

)(.2 dxxg

b

a

0 dx f(x) entonces

b,xa cuando 0,f(x) Si .4

b

a

a)-M(b dx f(x) a)-m(b

b,xa cuando M, f(x) m Si 5.

Ejemplo: Usando la propiedad 5, estime entre qué valores se encuentra:

4

1dxx

DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:

1. ( ) 0a

af x dx

2. ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx

Integral Definida: Teoremas Fundamentales

Si

( ) ( ) ;x

aG x f t dt a x b

f es continua sobre [a ; b], entonces

baxxfxG ;;)()(

Sea G la función definida por:

G

es diferenciable sobre [a ; b] y

1° Teorema Fundamental del Cálculo

Integral Definida: Teoremas Fundamentales

Ejemplos del Teorema Fundamental del Cálculo (I)

Halle la derivada de las siguientes funciones:

x

dttxg1

202 1)(.1

2

2 )cos()(.2x

dttxg

CONSECUENCIA

Sea g una función diferencial en [a;b] y f es continua en el rango de g, entonces:

)('))(()()(

xgxgfdttfdt

dxg

a

Integral Definida: Teoremas Fundamentales

Calcule la derivada de:

1.

2.

2

3

)(x

dttsen

xe

dtt1

3

Integral Definida: Teoremas Fundamentales

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

, entonces

Sea Rbaf ;: continua. Si RbaF ;:

es diferenciable y si

baxxfxF ;;)()(

:;, baba

Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.

2° Teorema Fundamental del Cálculo

Ejemplo: Evaluar las integrales

01. (1 cos )x dx

3

02. 1x dx

2

213.

1

xdx

x

1

204.

1

dt

t

2 ( )

05. cos( )sen xe x dx

4

6.ln( )

e

e

dx

x x