SOLUCIONARIO DEL BALOTARIO

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales

2do Parcial (3ra versión)

• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares • Transformada de Laplace • Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de

Laplace • Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden • Series de Fourier • Ecuaciones en Derivadas Parciales

Roberto Cabrera V. [email protected]

06/02/2009

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial

Roberto Cabrera V.

- 2 -

Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales II Parcial

i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares: Ø Método de Frobenius

ii. Transformada de Laplace:

Ø Teoremas Ø Transformada de Laplace de algunas funciones Ø Transformada inversa de Laplace

iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de

Laplace: Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ø Ecuaciones integro diferenciales

iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales:

Ø Método de Eliminación Ø Método de los operadores diferenciales Ø Método de Laplace Ø Método de los valores y vectores propios.

v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden:

Ø Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador Ø Aplicaciones de circuitos eléctricos

vi. Series de Fourier

Ø Definición de la serie de Fourier Ø Serie de Fourier de una función par e impar Ø Convergencia de una serie de Fourier Ø Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier

vii. Problema de la ecuación del calor

viii. Anexos:

Ø Problemas propuestos Ø Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Ø Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones


Roberto Cabrera V.

- 3 -

Método de Frobenius

1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:

, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental. Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este caso , entonces , por lo tanto es un punto singular. Lugo se verifica si es singular regular.

i) (existe)

ii) (existe)

Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular. La fórmula de la ecuación indicial indica:

, se obtiene que: Las raíces de la ecuación indicial son: , y . Asumiendo la solución como:

Obteniendo la 1ra y 2da derivada:

Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:

Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:

Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo un cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.


Roberto Cabrera V.

- 4 -

La nueva ecuación queda así:

Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:

Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:

Igualmente los coeficientes de

Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.

En este caso si puede ser igual a cero. La ecuación de recurrencia es:

Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:

Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la primera solución:


Roberto Cabrera V.

- 5 -

Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:

Reemplazando los coeficientes en la solución

Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:

=


Roberto Cabrera V.

- 6 -

2) Resuelva:

• ( ) 0,033 02

2

22 ==+−+ xdealrededory

dxdy

xxdxyd

x

singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )( )

( )( )[ ] ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

−−

++−+=

∴

−−

+++−=

=

−++−=

−=

==∫

=∫

=

=∴

+−+−=⇒−=−=→=

=−=→=

−=−=→=

=

=≥−

−=→=≥−=→=

≥−+

−=→=−++−+−+

=−==→=−−→=−−

=−++−+−++−−

=−++−+−+

=++−+−+

=++−++−++

=++−+−++

∑

∑

∫ ∑∫∑

∫∫∫∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

−−

−−

∞+

=

−−

−−

∞+

=

−−−−−

∞+

=

−−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

∞+

=

+−

∞+

=

+−

∞+

=

+

∞+

=

++∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

+∞+

=

++∞+

=

+

+∞

=

++∞

=

−++∞

=

−+

3

21

231

2

3

21

23

3

31233

0

33

2

33

26

33

26

31

32

1

)(

12

301

323

0102

3

012

001

12

11

11

21210

110

11

0

0

1

0

000

1

0

00

12

0

22

2!1

22ln

2!1

2ln

2

!1

2!1

...!3!2!1

1!33

3

!222

!111

3

1;2

11;3

1;3

0113

13013013

011313

0113

013

0331

0331

n

nnx

n

nnx

n

nnx

n

nnx

xx

x

xx

x

dxx

xdxxp

x

1

nn

nn

nnnn

n

rnnn

r

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

nnx

xx

exxy

xy

nnxx

xx

ex

dxnxx

xxexdxnx

exxy

dxxe

exdxexex

exdxex

eexdx

y

eyxy

exCxyxxx

xCxyCC

Cn

CCCn

CCCn

r utilizando será soluciónprimera la

2n para definida esta no nnC

CrnnC

Cr

nrnC

CCrnCrnrn

enterorrrrrrCrr

xCrnCrnrnxCrr

xrnCxCrnrn

xrnCxCrnrn

xCxrnCxrnCxrnrnC

xCxrnCxxxrnrnCx


Roberto Cabrera V.

- 7 -

3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto 0x0 =

• ( ) ( ) 1132

22 =+−+− y

dxdy

xdxyd

xx

singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

11ln

11

)(

11ln

11

ln)(

111

11)(

lnln11ln1)(

1

1

11

1

ln

1

11ln

11

)(

1ln

11

)(

1ln1

11

11

11

11

1

11

...13

2

1

0

0;0

0;1

1311131

00

01131

01131

0131

0311

0131

21

2211

2

21

2

2

22

1

2

22

2211

21

122

21

22

13

21

)(

12

01320

0103

02

01

11

2112

2102

01

20

2

11

2

0

0

12

0

00

1

00

1

0

00

1

0

22

2

−+

−+

−=

−=

−−

−

+−=+=

−=−=−

−

−==

+−==−

−

−−=−=

−=

−−

−−

−−=→+=

−+

−=

−=→

−=

−

−−

=∫

−=

∫=

−=∴++++=⇒=→=

=→=

=→=

=

≥=→=

≥++

+++−++=→++−+++−++

==→=−

=++−+++−+++−

=++−+++−++

=+−+++−++

=++−++−++−−++

=++−+−++−

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑

−−−

−−−

+

++

∞+

=

++

∞+

−=

++

∞+

=

+

∞+

=

−+∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+

+∞

=

++∞

=

−++∞

=

−+

xx

xx

kx

kxy

xx

xx

xx

xxxyuyuxy

xdxdxxxxxx

dxWyxg

u

xxxdxxdxxxxx

xxdx

Wyxg

u

xxxxx

x

x

xx

xWyuyuxy

xx

kx

kxy

xx

Cxydxxx

dx

x

xxx

dxex

ex

dxy

eyxy

xCxyxxxxCxyCCn

CCn

CCn

r utilizando será soluciónprimera la

nCCr

nrn

CrnrnrnCCrnCrnrnrn

rrCr

xCrnCrnrnrnxCr

xCrnxCrnrnrn

xCrnxCrnrnrn

xCxrnCxrnCxrnrnCxrnrnC

xCxrnCxxrnrnCxx

p

p

h

x

dxxx

xdxxp

1

nn

nnnn

n

rnnn

r

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn


Roberto Cabrera V.

- 8 -

Transformada de Laplace Halle:

• ( ) ( ){ }ttsenteL t 2cos24364 35 +−+ Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }

{ } { } ( ){ } ( ){ }

42

161236

54

42

164

3!3

65

14

2cos24364

2cos243642cos24364

2cos24364

224

224

35

3535

35

++

+−+

−=

++

+−+

−=

+−+=

+−++=+−+

+−+

ss

sss

ss

sss

tLtsenLtLeL

tLtsenLtLeLttsenteL

ttsenteL

t

tt

t

Halle

• ( ) ( ){ }teetL tt 2cosh2 42 −++ Por la propiedad de linealidad tenemos que: ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }teLeLteLetL

teLeLteLetL

teLettL

teLetLteetL

teetL

tttt

tttt

tt

tttt

tt

2cosh44

2cosh44

2cosh44

2cosh22cosh2

2cosh2

42

42

42

4242

42

−

−

−

−−

−

+++=

+++=

+++=

++=++

++

Aplicando el primer teorema de la traslación: { } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )621

20219295

44

41

14

1

14

1

!22cosh44

2cosh44

3

234

22342

42

++−

+−++=

−+

++

−+

−+

−=+++

+++

−

−

sss

ssss

s

ssss

teLeLteLetL

teLeLteLetL

tttt

tttt


Roberto Cabrera V.

- 9 -

Demuestre: • Demuestre el primer teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )asFsFdttfe

ass sidttfe

dttfeetfeL :Entonces

sFdttfetfLTenemos

asFtfeL entoncessFtfL Si

ts

tas

atstat

st

at

−===

−=→=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∞−

∞−−

∞−

∞−

0

0

0

0

:

,

Halle:

• ( ) ( ){ }ttsenhL cos23 Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]teLteLteLteL

teLteLteLteL

teeeeL

tee

LttsenhL

ttsenhL

tttt

tttt

tttt

tt

coscos3cos3cos81

coscos3cos3cos81

cos3381

cos2

cos2

cos2

6226

6226

6226

3223

3

−−

−−

−−

−

−+−=

−++−+=

−+−=

−=

Aplicando el primer teorema de la traslación:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )3712545437121854648

16

6

12

23

12

23

16

681

coscos3cos3cos81

2222

24

2222

6226

+++++−+−+−

=

++

+−

++

++

+−

−−

+−

−=

−+− −−

ssssssssss

s

s

s

s

s

s

s

s

teLteLteLteL tttt


Roberto Cabrera V.

- 10 -

• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f(0)-sF(s)

lexponencia orden de es tf que asumiendo Pfe pero

Pfefdttfes

dttfesfPfe

dttfesetfdttfe

tfvdttfdv

dte-sdu eu :partes por Integrando

dttfedttfetf'LTenemos

fssFtf'L entoncessFtfL Si

sP

P

sP

P

st

PstsP

P

PstPst

P

Pst

P

st-st

Pst

P

st

=

=

+−=

+−=

+=

=→=

=→=

==

−==

−

∞→

−

∞→

∞−

−−

∞→

−−

∞→

−

∞→

−

−

∞→

∞−

∫

∫

∫∫

∫∫

0lim

lim0

0lim

lim'lim

'

'lim':

0,

0

0

00

0

00

• Encuentre la transformada de la función tf(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ]

( ){ } ( )sFdsd

ttfL

dtttfe

dttfte

dttfes

dttfedsd

sFdsd

:tenemos igualdad la de lados ambos Derivando

sFdttfetfLTenemos

sFdsd

ttfL entoncessFtfL Si

st

st

st

st

st

−=→

−=

−=

∂∂

=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∫

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

0

0

0

0

0

:

,


Roberto Cabrera V.

- 11 -

• ( ){ }attL cos2 Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:

( ){ }( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )322

22

222

2222222

222

22

222

2

2

222

2

32

222

)(1cos

cos

as

ass

as

sasasass

as

sadsd

ass

dsd

sFdsd

attL

attL

+

−=

+

−+−+−=

+

−=

+

=

−=


Roberto Cabrera V.

- 12 -

Halle:

• ( )

t

tL

cos

Usando la propiedad de la transformada de la derivada

( )

( ) ( ) ( )

{ } ( )( ) ( ){ }

( ) ( ){ }( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) s

21

s

23

s

23

23

n

nn

es

e2s

st

tL

e2s

sss2s

sssstsenL

tttt

tttttsen

nt

t senque sabemospotencias de seriePor

t sende datransforma la Encuentro

tsenLst

tL

tsensLt

tL

fssFtfL

0f(0) además t

t(t)f' entonces ,tsentf Si

t

tL

41

41

41

3

2

2

2

2

29

27

25

23

27

25

23

21753

0

212

2cos

...!3

21

!22

1

21

1

....!7

29

!5

27

!3

25

23

....!7!5!3

....!7!5!3

!121

2cos

2

cos

)0()('

,2

cos

cos

−−

−

∞+

=

+

==

=

+−+

−=

+Γ

−Γ

+Γ

−Γ

=

+−+−=+−+−=

+−

=

=

=

−=

===

∑

ππ

π

π


Roberto Cabrera V.

- 13 -

• Encuentre la transformada de la integral de f(t)

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( )ssF

stfL

duufL

:que tenemos Despejando

duufLstfL

gtgLstgL

:que sabemosEntonces

0g(0)y f(t)(t)g' entonces ,duuftg Si

ssF

duufL entoncessFtfL Si

t

t

t

t

==

=

−=

===

=

=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

0

)0('

,

• Encuentre la transformada f(t)/t

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ } { }

{ } { }

{ } ( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫

∫

∞

∞

∞

∞

=

=−=

−=

=

==

=

=

s

s

s

s

duufttf

L

duufduuf (t)gL

:que tenemos lados ambos Integrando

(t)gLdsd

(t)fL

g(t)tL(t)fL

:que sabemosEntonces

g(t)t(t)f entonces ,ttf

tg Si

duuFttf

L entoncessFtfL Si ,


Roberto Cabrera V.

- 14 -

Halle:

• ( )

∫ − θθθ

θ dseneteLt

t

0

44 31

( )

( ){ } ( )

( )

( ){ }

( ) ( )

( ){ }( ){ }

( )

( ){ } ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222

0

44

222

2

224

4

4

0

4

0

4

4

0

44

43

arctan

254844

3

4243

1

34

arctan

2583

234

arctan2

1)(

34

arctan2

1)(

34

arctan23

4arctan

2583

)(

2583

94

33)(

3)(

)(

31

)(,)(

31

)(

,31

4

31

−

−+−+−−

+−

=−=

+

−++

+=

+−−==

+−==

+−=

+=

++==

=

++=

++==

=

=

=

==

=

−=

−=

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

−

∞∞∞

−

−

∞

−−

−

−

s

s

sssssGdseneteL

s

s

sssss

sdsd

thtLsG

sss

sMH(s)

sudu

uuduuX

)x(LM(s)

uuuseneLuX

:es traslación de teorema primer el por que seneLuX

duuX)x(

L M(s)hallamos donde De

seneLsM sissM

dseneLH(s) Encuentro

sHdsd

thtL

:que sabemosdatransforma la de derivada la de teorema el por

dsenetL es que G(s) encontrar Debo

sGtgeL

:que tenemos traslación la de teorema primer el Por

dseneteL

tt

sss

s

t

t

t

tt

πθθθ

ππ

π

πθθ

θ

θ

θθ

θθ

θθθ

θθθ

θθθ

θ

θ

θ

θθ

θ

θ


Roberto Cabrera V.

- 15 -

• Demuestre el segundo teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

sFeduufeeatfa-tL

duufeatfa-tL

uty 0uat Cuando

dudty a-tuaut Si

dtatfeatfa-tL :Entonces

dtatfa-teatfa-tLTenemos

sFeatfa-tL entoncessFtfL Si

assuas

aus

a

st

st

as

−∞

−−

∞+−

∞−

∞−

−

==−

=−

∞=→∞==→=

==→+=

−=−

−=−

=−=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

:

,

µ

µ

µ

µµ

µ

• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0

122;2=

+<<+

+<<=−

nntn

ntnetft

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( )

( )

{ }

+

+=

+=

+=

+=

−=

−+−+−=−+−+−=

−+−+−=

+=

−+−+−=

+

+

∞+

=

−−−−−−−−

−

∑

1212

1

111

1111)(

...11

...1

)(

...)(21

....

21

21

0

432432

543210

5432102

s

s

s

s

sn

n

s

ssssssss

t

es

esGf(t)L

ese

eses

sG

eeeess

ese

se

se

ssG

ttttttLsG

sGf(t)L que tenemos traslación la de teorema primer el Por

ttttttetf

µµµµµµ

µµµµµµ


Roberto Cabrera V.

- 16 -

• ( ) ( ) ( )

+ tttsen

ttsenL δµπ3

)(4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 31

1223

)(

3)3(13

lim3

11

22

11

122

)(4

)(4

cos22

)(44

cos22

44cos

22

4cos

444cos

44

)()(4

3)(

3)(

3)(

24

4

0

0

24

224

444

4

4

44

4

+

++

=

+

===

++

=

+

++

=

−+

−=

−+

−

−+

−=

−+

−=

+−

=

−

+

=

+

+

−

→

−

−−

−

ss

etttsen

ttsenL

ttsen

etttsen

L

:impulso función la utilizo datransforma segundala araPss

ess

se

ttsenLttLttsentL

tsenttsensenttsen

: escalón al multiplica que función la desplazar debo Pero

sFettfL

:traslación la de teorema segundoel utilizo datransforma primera la araP

tttsen

LttsenLtttsen

ttsenL

tttsen

ttsenL

s

t

s

ss

s

π

π

ππ

πππ

π

π

ππ

π

δµ

δ

µπµπµππ

ππππππππ

µπ

δµδµ

δµ


Roberto Cabrera V.

- 17 -

• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica

Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:

( )

( ){ }

( ){ }

( )( ) ( )

( )

( ){ } ( )

( ){ } ( )( )111

11

11

1)cos()(

11

:Re1

)cos()()(

)cos()()(1

)()()cos()(

)()cos(

)cos()cos()(

)cos()(

)(1

1

)(1

1

20

0)(

222

0

22

2

2

02

2

02

+−=

++

−=

+−−

−=

+−−

=

−−=+

+−−=

=→=

−=→=

−−=

−=→=

−=→=

−=

−=

<<

<<=

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−−

−−

∫

∫∫∫

∫∫

∫

∫

sese

etgL

sttsense

etgL

emplazandos

ttsensedttsene

ttsensedttsenes

dttsenestsenesetdttsene

tsenvdttdv

esdueu :partes por Integro

dttesetdttsene

tvdttsendv

esdueu :partes por Integro

dttsenee

tgL

dttgee

tgL

2 periodo con enteperiodicam extendida t

ttsentg

s

s

s

st

s

stst

st-st

st-st-st-st

st-st-

st-st-st

st-st-

sts

sts

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππππ


Roberto Cabrera V.

- 18 -

• Demuestre el teorema de la convolución

{ } { } { }

{ } { }

dtduutgufeS donde

SdtduutgufedtduutgufeduutgufL

:que lo por g(t)LG(s) f(t)LF(s) donde

sGsFduutgufL

tgtfduutgufsGsFL entoncestgG(s)Ly tfF(s)L Si

M

t

t

u

stM

MMt

t

u

stt

ut

stt

t

t1-1-

∫ ∫

∫ ∫∫∫∫

∫

∫

= =

−

∞→

∞

= =

−

=

∞

=

−

−=

=−=

−=

−

==

=

−

=−===

0 0

0 0000

0

0

)()(

lim)()()()()()(

,

)()()()(

)(*)()()()()(),()(

La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es: Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( ) { }{ } )()()()()()(

),(,),(

0

)()(

)()(

111

01

,,

,,

)()()()(

000 0

0 00 0

0 0

sGsFdvvgeduufedvduvgufe

dvduvuKSlim entoncesdvduvuKS

Mvu

Mvuvgufev)K(u, función otra Definamos

dvduvgufeS donde De

vt

ut

vu

uu

vutu

J

:es cióntransforma la de Jacobiano el Donde

dv duvutu

vgufedt duutgufeS

svsu

v u

vus

v uMM

M

v

M

uM

vus

M

v

vM

u

vusM

R

vus

R

stM

uvtu

===

==

>+

≤+=

=

==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

∂∂

=−=

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∫∫∫∫

∞ −∞ −∞

=

∞

=

+−

∞

=

∞

=∞→

= =

+−

=

−

=

+−

+−−

0 M 0 M

t-u=v


Roberto Cabrera V.

- 19 -

Halle:

• ( )

+−

222

1

as

sL

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )aatsent

aatsen

ataa

atatsentatsen

a

aat

ataa

atsentatsen

a

duausen

ata

duau

atsena

duauausenata

duauatsena

duausenatauatsenaua

dua

utasenau

asass

L

atsena

atasas

sL

:que tenemos nconvolució de integral el Usando

as

sL

tt

tt

t

t

2

2cos

12

cos2

1

42cos1

cos1

42

21

22

cos1

22cos11

coscos1

cos1

coscoscos1

cos1

1*cos

1

2

00

00

2

0

02222

1

22221

222

1

=

−

+=

−−

+=

−

+=

−=

−=

−=

++

=

++

+

∫∫

∫∫

∫

∫−

−

−


Roberto Cabrera V.

- 20 -

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada de Laplace

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ yyytyyyy

{ } { } { } { } ( ){ }

{ }{ }{ }{ }

( ){ }

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ }( )

)(2)cos(22)(

1

2

1

21

22

1)()(

1

2

1

21

22

1)(

2121211113103

1112211

3103)(

1

3103)(21

1103)(254

110)(2)(5)(43)(

Re1

cos

)(

)()0()('

)()0(')0()(''

3)()0('')0(')0()('''

cos102'5''4'''

2

2211

22

222222

2222

2

2

22

223

223

2

22

323

tsentteeety

s

s

sssLsYLty

s

s

ssssY

2E -1,D -2,C 2,B -1,A donde De

32E2C2BA

105E2DC3B2A

34E5D2C3B2A

0E4DC3B2A

0DBA

:ecuaciones de sistema siguienteel Tenemos

2E2C2BAs5E2DC3B2As4E5D2C3B2AsE4DC3B2AsDBA310s3s

ssEDsssCsssBssAss

s

EDs

s

CsB

sA

sss

sssY

s

sssYss

s

ssYsss

s

ssYssYsYssYs

:dastransforma las emplazandos

stL

sYyL

ssYyssYyL

sYsysysYsyL

sYsysyyssYsyL

:necesarias dastransforma las Encuentro

tLyLyLyLyL

Laplace de datransforma la Aplicando

ttt

2342

+−−+−=

+

+−+

+−

++

+−

==

+

+−+

+−

++

+−

=

=====

=+++

=++++

=++++

=++++

=++

+++++++++++++++++++++=++

+++++++++++++=++→

+

++

++

++

+=

+++

++=

+

++=++

+=−+++

+=+++−

+=

=

=−=

=−−=

−=−−−=

=+++

−−−

−−


Roberto Cabrera V.

- 21 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0

20;84,4

2

2

==

>

<<+−==+ yy

t

ttthdondethy

dtyd

πππ

{ } { } ( ){ }

{ }{ }( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }

( ){ }

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

−−−+++−=

+

−++

++−=

−====

=

=

=+

=+

+++++=

+++++=

++

++=+

•

====

−=

=

=+

=+

+++++=−+

+++++=−+

++

++=+−+

•

++

+−+

=

+−+

=+

++−

=+−

++−

=

−++−=+−−=

=

−=−−=

=+

−

−

−

−

−

222

2)(2

)2()2cos()(

411

411

)(

1,00Re

44

04

0

0

444

444

444

1,Re

44

84

0

2

44482

44482

44482

44

4482

)(

4482)(4

14

84)(42)(

:Re

14

84

2)(484)(84)()(

)(

2)()0(')0()(''

4''

2

222

22

23

222

2222

233

2223

2222

3

222

22

3

22

2

32

22

22

22

2

2020

22

ππµππ

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

ππµπµπµµ

π

π

π

π

π

π

ππ

tsentt

tsent2-2t2ty

sse

ss2-2

ss2

sY

DC1,B,A :que tenemos sistemael solviendo

B

A

DB

CA

BsAsDBsCA

sDCssBsAs

sDCs

sB

sA

ss

D2-2C-1,B,2A :que tenemos sistemael solviendo

B

A

DB

CA

BsAsDBsCAss

sDCssBsAsss

sDCs

sB

sA

ssss

:parciales fracciones Encuentross

ess

sssY

se

sss

sYs

se

sssYssYs

emplazandos

ess

thL

ttLttLtttLthL

sYyL

ssYsysysYsyL


thLyLyL


s

s

s

s

s


Roberto Cabrera V.

- 22 -

• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:

Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:

Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:

Despejando Y(S):

Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:

i)

ii)

iii) Entonces

iv)


Roberto Cabrera V.

- 23 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:

• ( )tttyduutyuy

t

δ−+=−∫ 6)(2)()(

3

0

{ } ( ){ }

{ }

{ }

( ){ }

tttys

sY

tttys

sY

sss

ss

sY

ss

sYsY

ssYsY

emplazando

tL

sst

L

sYtyL

sYtytyLduutyuyL


tLt

LtyLduutyuyL


t

t

−=→−=

+=→+=

+−±

=

−−±

=

=

−+−

−+=

=

==

=

==

−

−

+=

−

∫

∫

)()(1

1)(

)()(1

1)(

2

4442

2

1442

)(

01

)(2)(

11

)(2)(

:Re

1

16

!36

)()(

)()(*)()()(

6)(2)()(

222

121

4

44

4

4

2,1

4

42

42

44

3

2

0

3

0

δ

δ

δ

δ


Roberto Cabrera V.

- 24 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:

• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ yyyytty

{ } ( ){ } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } ( ) [ ]( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ( )

t

t

ety

KKey

KetysK

sY

KssYsds

sYsY

sss

sYsY

ssYsYss

ssYsYss

sYsssYss

sYsYsssYssYsYs

emplazando

sYyL

sYsssYssYsYssYytL

yssYdsd

yssYtyLyLytL

ssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


yLytLtyL


2

)0(2

2

2

2

22

)(

11)0(

)(2

)(

)ln(2ln)(ln2)(

)('2)(

)('

)()('2

0)()('2

0)(222)('2

0)(21)(2)('21)(2)('

:Re

)(

1)(2)('2)(')(21)('21

)0()(2)0()('2''21

1)(2)(')0(')0()(''''

02'21''

=

=→==

=→−

=

+−−=−

−=

−−=

=−−

=−−−

=−++−++−

=−−++++−−

=

−++=++−=−

−+−=−=−

+−−=−−−=−=

=−−+

∫ ∫


Roberto Cabrera V.

- 25 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables: • ( ) 13'2'' −=++− tyytty

{ } ( ){ } { } { } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } [ ] ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

{ } { }

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) { }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) { }

( )( ){ } ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) tkduutuek

tytkttek

ty

ts

Ltg

tek

tfekss

kLttf

sssk

Lssdsd

LttfssLtf

tgtfsGsFLs

ssLsss

L

sk

Lsss

Lsk

sss

Lty

sYLtysk

sss

sY

ksskskssYs

dss

ks

dsss

skssYs

dsss

skssusYsu

seesu

sssks

sYs

sY

ssks

sYssYss

ss

kksYsssYss

ss

sYksYsssYkssYsYs

emplazandoss

ssLtL

sYyL

ksYsssYssYsYkssYytL

yssYyssYdsd

yLtyLytL

kssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


LtLyLytLtyL


t ut

tt

kk

kk

kk

k

k

sdss

2

0

12

1

21

11

11

113131

12

312

31

221

2

31

22

2

31

122

2

3

23

212

1

212

3

21

2ln22

3

21

2

21

2112

2112

22

11

122

13)(*

13)(

1)(

13)(13

1)1(

3)(

)1(113

1ln)(1ln)(

)(*)()()(1

1ln1ln

1ln1ln)(

)()(1ln

)(

1ln1ln3ln)(

11

31

131

)(

131

)(

131

)(2

)('

31)(14)('1

12)(3122)('

1)(32)(12)(')(2)('

:Re

1111

)(

2)(12)(')(')()(2'2

)0()(2)0()('2''2

)(2)(')0(')0()(''''

13'2''

11

11

11

1

1

+−+−

=→++−

=

=

=

+−=→+−=

+−

−=

−−+

−=

−−=→−=

==

−=

−

+

−

=

+−

=

=→+−

=

+−=+−+=

−

+=

−++−

=

−++−

=

===

−++−

=+

−−=−−−−

−=++++−−++−

−=+−−+−−+−−

−=−=−

=

−−+−=+−−=+

−+−−=+=+

+−−=−−−=−=

−=++−

∫

∫∫

∫

−

−

−−−

−−−

−−−

−

∫


Roberto Cabrera V.

- 26 -

Método de eliminación

1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

=+++

=−−+ −

)2(eyx2'y'x

)1(eyx'y'x2t

t

Restando: (1)-(2); Se obtiene:

tt eeyxx −=−− −23' Despejando y :

223

2' tt eexx

y−−

+−=

Reemplazando y en (1):

2e

2e)sentCtcosC(

23tcos

2C

sent2

Cy

tcosCsentC'x

2e

2e

2x3

2'xy

sentCtcosCxir01r

0]1r[e

exsi

0x''x02x

2''x

e2

e2e

2x3

2'xx

2e

2e

2'x3

2''x'x2

e2

e2e

2x3

2'xx

2e

2e

2x3

2'x'x2

tt

2121

21

tt

21

2,1

2

2rt

rt

ttttt

ttt'tt

−

−

−−−

−−−

−++−+−=⇒

+−=

−+−=⇒

+=⇒

±=⇒

=+⇒

=+⇒

=⇒

=+⇒=+⇒

=+−+−−++−+⇒

=

−+−−−

−+−+

tsenh2

ee;

2e

2e

tcosksentky

2e

2etcos

2C3

2Csent

2C3

2Cy

tttt

21

tt

K

12

K

21

21

=−

−++=⇒

−+

−+

−−=

−−

−

Pero

443442144 344 21

Solución:

++=

+=

senhttcosksentkysentCtcosCx

21

21


Roberto Cabrera V.

- 27 -

2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t. 1 2 De la primera ecuación despejamos y; Reemplazando y en la segunda ecuación: Multiplicando la ecuación por 3; Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes: Resolviendo la ecuación 3 con x=ert; Ecuación Característica

Ahora encontremos y:

( ) ( )'31

32

xxy −=

tt eCeCx −+= 24

1 tt eCeCx −−= 2

414'

x2ydtdy

y3x2dtdx

−−−−====

−−−−====

3x́

x32

y

dtdx

31

)x2(31

y

−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

x23x́

x32

3´´x

x́32

3´´x

x́32

dtdy

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

0x4x́3´´xx6x́x2´´xx́2

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

[[[[ ]]]] 04r3re 2rt ====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

;ececx

ex,ex

1r,4r

0)1r)(4r(

04r3r

t2

t41

t2

t41

21

2

−−−−

−−−−

++++====⇒⇒⇒⇒

========⇒⇒⇒⇒

−−−−========⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒


Roberto Cabrera V.

- 28 -

⇒ Reemplazando x, y x’ en y:

⇒ [ ] [ ]tttt eCeCeCeCy −− −−+= 24

124

1 431

32

tt eCeCy −+−= 24

132

* Encuentre la solución particular del problema anterior dado: x (0)=8, y (0)=3 Del ejercicio anterior: tt eCeCx −+= 2

41

tt eCeCy −+−= 24

132

Como x (0)=8, entonces: 8= C1+C2 1 Como y (0)=3, entonces:

2132

3 CC +−= 2

Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo el sistema se obtiene: C2=5, C1=3 ⇒ La solución particular es: tt eex −+= 53 4 tt eey −+−= 52 4


Roberto Cabrera V.

- 29 -

Método de los operadores diferenciales

1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

=+++−

=+++−t

22

12

22

12

ex)4D4D(x)D2D(tx)D2D(x)4D4D(

=++−

=++−t

22

1

212

ex)2D(x)2D(Dtx)2D(Dx)2D(

Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:

( )[ ][ ]

( )( )( )

[ ]

;cex''

;cebx'

;cebtax

:ular xión partico la solucEncontrand;eCeC)t(x

;2r;04r

;04re

;e)t(x

;0)t(x4)t(''xogénea:homión o la solucEncontrand

;e43t1)t(x4)t(''x

;e43t1)t(x)4D(

;e3t44)t(x)4D(4

;)4D(4

e3t44)t(x

)4D(4e3t44

)4D(4e2t42e2

D4D)4D(et212D)t(x

D)2D)(2D()2D)(2D(Det)2D(2D

)2D(D)2D(D)2D()2D(e)2D(Dt)2D(

)2D()2D(D)2D(D)2D(

)2D(e)2D(Dt

)t(x

t1p

t1p

t1p

1p

t2

t21h1

2,12

2rt

rt1

11

t11

t1

2

t1

2

2

t

1

2

t

2

tt

222

t

1

2

t

22

t2

2

2

2t

1

=

+=

++=

+=

±==−

=−

=

=−

+−−=−

+−−=−

−+=−−

−−−+

=

−−−+

=−−−++−

=−−−−++

=

−−+−+−++

=−+−+−

+−+=

+−

+−

++

=

−

( )

;e43

t1ce3bt4a4

;e43

t1cebta4ce

tt

ttt

+−−=−−−

+−−=++−

+−−=− :obtiene se ,e43t1(t)4x(t)''x endoReemplazan t

11


Roberto Cabrera V.

- 30 -

[ ] ( )

( )

( )

;12e

81

eCeC)t(x

;12e

81x

;81

a;121

b

;a4be3

;bea4be

;be''x

;be'x

;beax

;eCeC)t(x

;2r

;21

4e

)t(x4)t(''x

;21

4e

)t(x)4D(

;2e)t(x)4D(4

;)4D(4

2e)4D(42e2e

)4D(41e)2D(

)t(x

)4D(41e2e)2D(

)4D(4Dte)2D()2D(

)4D(4t)2D(De)2D(

)2D()2D(D)2D(D)2D(

e)2D(Dt)2D(

)t(x

:),t(

tt2

2t2

12

t

p2

t

tt

tp2

tp2

tp2

t22

t21h2

2,1

t

22

t

22

t2

2

2

t

2

tt

2

t

2

2

tt

2

t

2

t2

2

2

t

2

2

+++=

+=

==

−−=−−

−−=+−

−−=−

=

=

+=

+=

±=

−−=−

−−=−

+=−−

−−+

=−−++−

=−−−−−

=

−−−−−

=−−

−−−=

−−−−−

=

+−

+−

−

−

=

−

−

21

4e

21

4e

:21

4e

(t)4x(t)''x en x doReemplazan

:particular solución la oEncontrand

Kramer de regla la usando x solución la encontrar a procede se Ahora

t

t

t

222p

2

La solución es:

+++=

−+++=

−

−

;12e

81eCeC)t(x

;e41t

41

41eCeC

tt2

2t2

12

tt2

t21(t)x1


Roberto Cabrera V.

- 31 -

2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:

=++−

−=−++

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(

21

21

( )( ) ( )

;senttcosCex

;senttcosx

;9AB8;7BA8

;sent7tcos9tcosAB8sentBA8;0BsenttcosAtcosBAsent8

;0xx8

;tcosBAsent'x;BsenttcosAx

;Cex

;81r

;01r8;re'x

;ex

;0xx8

;sent7tcos9xx8

tcos9sent7xx8

tcos9sent7x)1D8(tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(

cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(

)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(

)2D(por2)3D(por1Multiplico

t81

2

p2

2'

2

2

2

t81

2

rt2

rt2

2'

2

2'

2

2'

2

2

22

22

22

1

21

++=

+=

==

=+

−=+−

−=+++−

=+++−

=+

+−=

+=

=

−=

=+

=

=

=+

−=+

−=−−

−=−−

−++−=++−+−

+=++−+

−

−−=−−+−+

+∧−

−

−

:es particular solución La

1,B 1,A:sistema el oResolviend


Roberto Cabrera V.

- 32 -

Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:

++=

+−=

+−=

−−

++=

−−=

−−=−

=++−

−=−++

=++−

−=−++

−

−

−

−

;senttcosCex

;sent2tcosCe3x

;sent2tcosCe3x

t;cos4sentsenttcosCe3x

t;cos4sentx3x;tcos4sentx3x5

tcos4x2'xx3'x;sentx'xx2'x

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(

t81

2

t81

1

t81

1

t81

1

21

21

2211

2211

21

21

:es sistema del solución La

:obtiene se (2), y (1) Restando(2) (1)


Roberto Cabrera

- 33 -

Método de Laplace 1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.

=−−

=+−

;cos'4

;2'3'

tyyx

sentyxx

;0)0(

;0)0(

=

=

y

x

Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:

+=−−−

+=+−−

;1

)()0()()(4

;1

1)(2)(3)0()(5

2

2

ss

syyssysx

ssysxxsx

+=+−

+=+−

−

−

1)()1()(4

11

)(2)()3(

)3(

)4(

2

2

ss

syssx

ssysxs

s

Sumo 1 y 2, entonces se obtiene:

[ ]1

43)()1)(3(8 2

2

+−−

=+−+−sss

syss

[ ]1

)1)(4()(52 2

2

++−

=+−−s

sssyss

++

++−

+−=

++−−−

−=⇒52)1)(52(

)43()( 2222

2

sCs

ssBAs

sssss

sy

2()2())((

)1)(52(43

2

23

22

2

+−−+++

=++−

−−⇒

sssCDBsCA

sssss

−=+

−=+−

=−+

=+

⇒

4D5B3C5D2A

1C2DB0CA

Resolviendo el sistem

ð

+

−−+

+−

−−=

1s107s

1011

5s2s21s

1011

)s(y 22

−≈

(4

(

L [ ]'x -3 L [ ]x +2 L [ ]y = L [ ]sent L [ ]x4 - L [ ]'y - L [ ]y = L [ ]tcos

1 2

1 2

V.

1D

)1)(5)5()52(

2 ++++−+

sDBsCDA

a:

−=

−=

−=

=

;10/7D;10/11C

;2/1B;10/11A

+−

=+−−−

+−=−−

;1)3(

)()1)(3()()3

;1

4)(8)()3)(4

2

2

sss

sysssxs

ssysxs


Roberto Cabrera V.

- 34 -

( )[ ] 1s107s

1011

41s

s1011

21

)s(y 22 +

++

+−

−=

( )[ ] ( )[ ] 1s1

107

1ss

1011

41ss

1011

41s1

21)s(y 2222 +

⋅++

⋅++−

⋅−+−

⋅=

( )[ ]( )( )[ ] 1s

1107

1ss

1011

41s11s

1011

41s2

41)s(y 2222 +

⋅++

⋅++−+−

⋅−+−

⋅=

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] 1s1

107

1ss

1011

41s2

2011

41s1s

1011

41s2

41)s(y 22222 +

⋅++

⋅++−

⋅−+−

−⋅−

+−⋅=

ð Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):

[ ] )()(1 tysyL =− ;

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]

+

+

+

+

+−−

+−−

−

+−= −−−−−

1s1

L107

1ss

L1011

41s2

L2011

41s1s

L1011

41s2

L41

)t(y 21

21

21

21

21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos

1011t2sene

2011t2cose

1011t2sene

41)t(y ttt ++−−= −−−

( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos

1011t2cose

1011t2sene

103)t(y tt ++−−= −−

De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):

4)tcos(yy

)t(x++′

=

( ) ( ) ( ) ( )tcos107)t(sen

1011]t2cose)t2(sene2[

1011]t2senet2cose[

103)t(y tttt +−−−−−−=′ −−−−

( ) ( )tcos407)t(sen

4011t2sene

85)t2cos(e

51

4)t(y tt +−+=

′ −−

( ) ( )tsen407)tcos(

4011t2cose

4011)t2(sene

403

4)t(y tt ++−−= −−

La solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++−−=

+−+−=

−−

−−

tsen107tcos

1011t2cose

1011t2sene

103)t(y

tcos107)t(sen

101t2sene

2011)t2cos(e

403)t(x

tt

tt


Roberto Cabrera V.

- 35 -

2) Resolver

=+−

=++ −

t15Y3'X4''Ye15X3'Y''X t

con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.

Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones: [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

+−

+=

+

−

=

+

−=

−

++

+

−+

−=

++

+

−+

−=

++

+

−+

−=

=====

++

++

++=

++−−

=++−−

=

+

−−

=+

−−

=++

−+

+−

=+−

−+−

=

−−

−

−

+

=

=−+−

+=+−

=−−

+=−+

=−−−−−

+=−−+−−

=−−

=−+ −

222222

2

222222

222

22222

2

22

2

22

2

2224222

2

2

2

2

22

22

2

22

2

22

2

t

1s1

1ss

21s1s2

;tcos1s

s

;1s1

;1s

s15

1s1s2

15s1

151s

s1s1s2

s1

15

1ss

1s1s2

s1

15)S(X

1sEDs

1sCBs

sA

151s1ss

1ss151s1ss

15ss15)S(X

1ss

15ss15

1ss

151

1s15

1s2ss

151s

)1s(1s15

s41ss

s151s

1s15

1ss4s1s

1ss15

s1s

15

)S(X

;s15

)s(Y1s)S(sX4

;1s

15)S(sY)s(X1s

;s15

)S(Y)S(sX4)s(Ys

;1s

15)S(X)S(sY)s(Xs

;s15

)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys

;1s

15)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs

t15y'x4''ye15x'y''x

1-1-1-

1-

1-

1-1-1-1-

£££

£

£

££££x(t)

:X(S)a inversa Laplace de da transforma aplicando x(t) Obteniendo

:como expresamos lo X(s) tanto lo Por

0E 1,D -1,C 2,B -1,A

:son escoeficient losde valores losque obtiene se parciales fraccionesde suma la como X(s) Expresando

:Kramerde regla la Aplicando

££

££


Roberto Cabrera V.

- 36 -

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[ ]

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

tcos152

tcost2

senttsent1515

1ss15

1s1s215

s115

2tcost

2senttsent

2tcostsent

2tsent2

1s1s2

2tcostsent

1s1

2tcostsent

4)t(sen

2tcost

4)t(sen

2tcosu

4)tu2(sen

1s1

;du2

)tcos()tu2cos(du)ut(sen)u(sensent*sent

1s1s1

1s1

;2

tsenttcos*sent1s

s

;2

tsent4

)tcos(0

4)tcos(

2)t(tsen

tcos*sent

4)tu2cos(

2)u(usen

du2

)tu2(sen)t(sendu)utcos()u(sentcos*sent

;tcos*sent1s1s

s1s

s

222

22

22

t

022

t

0

t

02222

22

t

0

t

0

t

0

t

0

2222

++−+−=

+

+−+−=

++

+

−+

−=

+−=

−−

=

+

−

−=

+

−=

−−−=

−−

=

+

−−=−==

++=

+

==

+

=

−+−−=

−−=

−+=−=

=

++=

+

∫∫

∫∫

x(t)

£££x(t)

L

L

L

£L

L

£L

1-1-1-

1-

1-

1-

1-1-

1-

1-1-

Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:

( )

( )

+−−−+−=

++−+−=

==

+−−−−−+−=

+−−−=

+−−−=

++−+−−++−+=

−−+−=

−=

−+−−+=

++−+−=

−−=

=++

−

−

−

−

−

−

−

∫

;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

,0)0(y;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y

sent30tcos60tcost15tsent30e15y

;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y

;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y

;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x;tsent5.7tcost15'x

;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x

;x3''xe15'y

e15X3'Y''X

t

t

t

t

t

t

t

: essolucion La45;C entonces


Roberto Cabrera V.

- 37 -

Método de los valores y vectores propios

1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:

zyz

zyxy

zyxx

3'5'

4'

−=−+=

++−=

−

−

−

=

zyx

310151

114

'z'y'x

−

−

−

=

310

151

114

A det(A-λI)=0

[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(310

151114

)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=

λ−−

−λ−

λ−−

=λ−

0)3)(5)(4( =+−+ λλλ 41 −=λ 52 =λ 33 −=λ

4−=λ

=

−00

0

110191

110

zy

x

=−+

=+

09

0

zyx

zy …. zx

zy

10=

−=

−=

1

1

10

1υ

5=λ

=

−

−

−

0

0

0

810

101

119

z

y

x

=−

=+−

0

08

zx

zy ….. zxzy

== 8

=

1

8

1

2υ

3−=λ

=

−

−

0

0

0

010

181

111

z

y

x

=−

=++−

0

0

zx

zyx

z11

10

zzz10

zyx

−⇒

−⇒

z181

zz8z

zyx

⇒

⇒

z101

z0z

zyx

⇒

⇒


Roberto Cabrera V.

- 38 -

ttt ececectx 321332211)( λλλ υυυ ++=

ttt ececectx 3

35

24

1

1

0

1

1

8

1

1

1

10

)( −−

+

+

−

2) Resolver el sistema

X012011203

'X

−−

−

−

=

0

12

011

203

=

−−−

−−

−−

λλ

λ

0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λλλλ

04634

0)23(2)1)()(3(23 =−−−−−

=−−+++−

λλλλ

λλλλ

0674 23 =+++ λλλ 21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor: * 21 −=λ

≈

−−

−

00

0

212011

201

≈

−−

−

00

0

210210

201

−

00

0

000210

201

y= -2z x= 2z

−=

1

2

2

1v

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :

≈

+−−

−−

000

21300i21

)i22(206≈

+−−

−−

000

21120i21

)i22(206≈

+−−

+−

000

i21120i2120i22

=υ101

3


Roberto Cabrera V.

- 39 -

( )( )

.alesRez;zi21y3

;zi224x6

∈

+−=

+=

Entonces: .

Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de

i213 −−=λ es:

( )( ) ,i

022

31

2

3i21

i22

zyx

v

,

z

z3

i231

z3

i232

zyx

v

ba321321

+

−=

+−

+

=

=

=

+−

+

=

=

:3z si v, de forma la tenga que propio vector un usar Podemos

Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :

−= −

12

2ex t2

1

Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la siguiente forma iβ+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( );btseneatcosex

;btcoseatsenextt

3

tt2

β−β=

β+β=αα

αα

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2sene31

2t2cose

022

t2sene31

2t2cosex tttt

2

+

−=

−−

−−= −−−−

.alesRez

;z3

i231y

;z3

i232x

∈

+−=

+=


Roberto Cabrera V.

- 40 -

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2cose31

2t2sene

022

t2cose31

2t2senex tttt

3

+

−−=

−+

−−= −−−−

Por lo tanto la solución general es:

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2cose31

2t2seneC

022

t2sene31

2t2coseC

12

2eCx

;xCxCxCx

tt3

tt

2

t21

332211

+

−−+

+

−+

−=

++=

−−−−−


Roberto Cabrera V.

- 41 -

Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador

1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.

a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante

‘’t’’. b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t=π segundos.

Como no hay amortiguador C=0; En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación

π−δ−=

2t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.

La ecuación diferencial que representa al sistema es:

;2

t3Ky9dt

yd2

2

π−δ−=+

Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys

;2=tδ3y9

dtyd

s22

2

2

π−

−=+−−

−−=

+ LL

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

( )

;2

tu2

t3sent3cos)t(y

;9s

e39s

s9s

e39s

s)t(y

;9s

e39s

s9s

e3s)s(y

;e3s)s(y9s

;e3)s(y9s)s(ys

2

s2

22

s2

2

2

s2

22

2

s22

s2

s2

π−

π−−=

+−

+

=

+−

+=

+−

+=

+−

=

−=+

−=+−

π−

π−

π−

π−

π−

π−

1-1-1- LLL

)t(fKydtdy

Cdt

ydm 2

2

=++


Roberto Cabrera V.

- 42 -

a)

π≥

π−−

π<

=

2t

2t3sent3cos

2t;t3cos

)t(y

b)

m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y

,m22)4/3cos()4/(y

=−−−=π−π−π=π

−=π=π

2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definida así:

[ )( ]

∈−

∈=

4,2t;t1004002,0t;t100

)t(f

La ecuación diferencial que representa al sistema es:

);t(fKydtdy

cdt

ydm 2

2

=++

Asumiendo que la gravedad es 2s/m10 :

21020

gwm === Kg.

);t(fy4dtdy

6dt

yd2 2

2

=++

Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar la función f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cada uno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f

);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f

);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f

);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f

−−+−−−=

−+−−+−−−+−−−−−=

−+−+−−−+−+−−=

−+−−−+−−=

−+−−−−−+−−=

−−−−−+−−=

La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:

( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy

6dt

yd2 2

2

−−+−−−=++


Roberto Cabrera V.

- 43 -

Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2dtdy

3dt

yd

;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy

6dt

yd2

2

2

2

2

−−+−−−=

++

−−+−−−=

++

LL

LL

La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

++=

+++

++−

++=

+++

++−

++=

+−=++

+−=++

+−=+−+−−

−

−−

−−

−−

−−

−−

)1s(2ss50)t(y

;e)1s(2ss

50e)1s(2ss

100)1s(2ss

50)s(y

;e2s3ss

50e2s3ss

1002s3ss

50)s(y

;es50e

s100

s502s3s)s(y

;es50

es

100s50

)s(y2)s(sy3)s(ys

es50

es

100s50

)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys

21

1

y

s42

y

s22

y

2

s422

s22222

s42

s222

2

s42

s222

2

s42

s222

2

)s(3)s(2)s(1

L

444 3444 21444 3444 2144 344 21

Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:

Si ( )

)t(f)1s(2s

501 =

++−L , entonces

( )dud)(f

)1s(2ss50 t

0

u

02

1 ∫ ∫ θθ=

++−L

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

=+

=+

+++++

=

++

+=

++−−−

50B2A0BA

;1s2s

2s1sA1s2s

A)1s(2s

50 111 BB LLL

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: B = 501, A = -50;

( ) ( ) ( );50e50

2s50

1s50

)1s(2s50 t2t11 −−−− −=

+−

+=

++LL

Entonces:

( )( ) ;dud50e50d)(f

)1s(2ss50 t

0

u

0

2t

0

u

02

1 ∫ ∫∫ ∫ θ−=θθ=

++θ−θ−−L


Roberto Cabrera V.

- 44 -

[ ] ( )[ ] [ ]

[ ] [ ] ( )[ ]

[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50

;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50

;du2525e50du255025e50du25e50

t2tt

0

u2u

t2tt0

u2ut

0

u2u

t

0

u2ut

0

u0

u2ut

0

u0

2

−+−=++−

−−+−=+−=++−

++−=+−−+−=+−

−−−−

−−−−−−

−−−−θ−θ−

∫

∫

∫∫∫

Por lo tanto:

( );5.37t25e5.12e50)t(y

;5.37t25e5.12e50)1s(2ss

50

t2t1

t2t2

1

−+−=

−+−=

++−−

−−−L

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e

)1s(2ss50)t(y

);2t(u5.372t25e5.12e502e)1s(2ss

502)t(y

e)1s(2ss

502e)1s(2ss

100)t(y

4t24ts42

13

2t22ts22

12

s22

1s22

12

−−−+−=

++=

−−−+−=

++=

++=

++=

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

L

L

LL

Ahora y(t) es:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50

)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y

);t(y)t(y)t(y)t(y

4t24t

2t22tt2t

321

−−−+−+

−−−+−+−+−=

++=

−−−−

−−−−−−

Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( )

≥−+++−++

<≤−++−+

<≤−+−

=−−

−−

−−

;4t;350t100ee21e5.12ee21e50

;4t25.212t75e21e5.12e21e50

;2t05.37t25e5.12e50

)t(y84t242t

4t22t

t2t


Roberto Cabrera V.

- 45 -

3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine: a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.

b) La posición del objeto en t = 4π

segundos

a)

Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tanto f(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje de referencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg. La ecuación diferencial que representa al sistema es:

;0kydt

yd5 2

2

=+

Se debe encontrar el valor de k:

Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad 2m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la

masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular mediante:

lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m. Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

[ ]

;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5

;0y25dt

yd5

2

2

2

=+−−

=

+ LL

)t(fKydtdy

Cdt

ydm 2

2

=++


Roberto Cabrera V.

- 46 -

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3: Reemplazando las condiciones se obtiene:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )t5sen

151t5cos)t(y

;5s3

15s

s5s3

15s

s)t(y

;5s3

15s

s)s(y

31s)s(y5s

35s5)s(y25s5

;0)s(y2535s5)s(ys5

2222

22

2

2

2

+=

++

+=

++

+=

++

+=

+=+

+=+

=+−−

1-1-1- LLL

b) La posición del objeto en 4/π segundos es:

1528

1516

22

1511

22

22

151

22

4y

45sen

151

45cos

4y

−=

−=

+−=−−=

π

π−

π=

π


Roberto Cabrera V.

- 47 -

Aplicaciones de Circuitos Eléctricos

1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s. E 20 10 30 t

)(1

''' tQC

RQLQ ε=++ =20u(t-10)-20u(t-30)

)]t([]QC1[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll

−=++

−−

see

sQssQsQsss 3010

2 20)(100)(12)(

−=++

−−

se

se

sQssss 3010

2 20)()10012(

++−

++=

−−

)10012()10012(20)(

2

30

2

10

ssse

ssse

sQss


Roberto Cabrera V.

- 48 -

10012

1001

1001

11001210012

222

−=

−=

=

=++++⇒++

++

C

B

A

CsBsAAsAsssCBs

sA

++

+−

1001212

1001100

1

2 sss

s

++−

+++

−−

++−

+++

−= −

64)6(6

64)6(61

64)6(6

64)6(61

51

)(22

3022

10

sss

sess

ssesQ ss

[ ])()( 1 sQtQ −= l

)t(U)30t(8sene43)30t(8cose1

51

)t(U)10t(8sene43)10t(8cose1

51)t(Q

30)30t(6)30t(6

10)10t(6)10t(6

−−−−−

−−−−=

−−−−

−−−−

Cuando t=5s

0)5( =Q Condensador descargado Cuando t=20s

)10(8203

)10(8cos51

51

)( )10(6)10(6 −−−−= −−−− tsenetetQ tt

80203

80cos51

51

)20( 6060 seneeQ −− −−=

)993.0(203

)110.0(51

51

)20( 6060 −−−−= −− eeQ

coulombsxQ 251008.2)20( −=


Roberto Cabrera V.

- 49 -

2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga en cualquier instante de tiempo b) La corriente del circuito en t=20s.

( )( )

4

150 0 0

1 ' 0 0

2 10

R r Q

L H Q

C F−

= =

= =

= ×

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 10

0 10 10 10

0 10 10

'' ' 1/

'' 150 ' 5000 10

'' 150 ' 5000 10 10 100 100

'' 150 ' 5000 10 10 10 100

LQ RQ C Q V t

Q Q Q t t t

Q Q Q t t t t t t

Q Q Q t t t t t

µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ

+ + =

+ + = −

+ + = − + −

+ + = − − −

Encontrando la transformada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10 102

2 2

2 10 102 2

10 102 2

10 10 1000 ' 0 150 150 0 5000

10 10 100150 5000

10 10 10050 100

s s

s s

s s

e es Q s sQ Q s Q s Q Q s

s s s

s s Q s e es s s

s s Q s e es s s

− −

− −

− −

− − + − + = − −

+ + = − −

+ + = − −

§ ( ) ( )2 2

1/ 5003/ 5000010

1/1250050 100 50 1001/ 50000

ABA B C DCs s s s s s sD

= = −= + + + ⇒

=+ + + + = −

§

V(t)

100

0 10 t


Roberto Cabrera V.

- 50 -

Q(20segundos)=0

( ) ( )Q ti t

t∂

=∂

i(20segundos)=0


Roberto Cabrera V.

- 51 -

Series

De Fourier

Contenido:

Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par. Serie de Fourier de una función impar. Convergencia de una serie de Fourier. Extensiones pares e impares periódicas de una serie de Fourier


Roberto Cabrera V.

- 52 -

Serie de Fourier de una función f(x)

Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie de Fourier de f es la serie trigonométrica:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa

)x(fππππππππ

Donde:

.n,....,,,n,Nn

dxpxn

sen)x(fp

b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

p

p

n

p

p

n

p

p

321

1

1

10

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

−−−−

−−−−

−−−−

ππππ

ππππ

Series de Fourier cuando f(x) es par

Si la función f(x) es una función par se dice que:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3210

2

2

n

n

n

p

n

p

pxn

cosaa

)x(f

.n,....,,,n,Nn

;b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

ππππ

ππππ

Series de Fourier cuando f(x) es impar

Si la función f(x) es una función impar se dice que:

∑∑∑∑

∫∫∫∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

00

n

n

p

n

n

pxn

senb)x(f

.n,....,,,n,Nn

;dxpxn

sen)x(fp

b

a

a

ππππ

ππππ


Roberto Cabrera V.

- 53 -

1) Exprese la función f definida por

<<<<<<<<

<<<<<<<<====

1x0 ,x

0x1- ,)x(f

1 como un desarrollo en series de

Fourier.

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa


[ ] [ ]

23

23

21

1

21

1

1

00

10

201

1

0

0

1

1

1

0

0

=⇒=+=

+=+==

=

=

−

−−

−

∫∫∫

∫

a ,a

;xxxdxdxdx)x(fa

dx)x(fp

a

pp

p

( ) ( ) ( )

[ ]11111

1

0

1

00

1

222222

2222

1

022

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

−−π

=

π−

π−

=

=∈∀−=π

=∈∀=π

π

−ππ

+

ππ

+

ππ

=

ππ

+

−ππ

+

ππ−

−=

ππ

−

ππ

+

ππ

=

ππ

=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫∫∫

∫

−

−−

−

nn

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

)(nnn

)(a

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sennn

)ncos(n

)sen(nn

)n(sena

n)xncos(

n)sen(n

n)n(sen

a

dxn

x)sen(nn

x)sen(nx

nx)sen(n

a

nx)sen(n

v )dx xcos(ndv

dx,du xu

dxxncosxdxxncosdxxncos)x(fa

dxpxn

cos)x(fp

a


Roberto Cabrera V.

- 54 -

( ) ( ) ( )

π−=

=∈∀−=π

=∈∀=π

−ππ

+

ππ

−

ππ

−π

−=

ππ

+

−ππ

−

ππ

−π

−=

ππ

+

ππ

−

ππ

−=

ππ

−=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫∫∫

∫

−

−−

−

nb

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen

n)n(sen

n)cos(n

n)cos(n

nb

n)xn(sen

n)cos(n

n)cos(-n

nb

dxn

x)cos(nn

x)cos(nx

nx)cos(n

b

nx)cos(n

v )dx x(nsendv

dx,du xu

dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(fb

dxpxn

sen)x(fp

b

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

11

0

01

01

1

22

1

022

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Convergencia de una Serie de Fourier

Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− , entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto de continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:

)x(fLim)a(f

)x(fLim)a(f

:donde ,)a(f)a(f

ax

ax

+

−

→

+

→

−

+−

=

=

+2

Ejemplo:

<<π−

π<<+=

011

x- ,x

x0 ,x)x(f

En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la serie

de Fourier en x=0 es:

[ ] ( ) ( )∑∞

=

ππ

−π−−π

+=1

22

111

143

n

n xnsenn

xncos)(n

)x(f

1

1

02

112

==

−==

=+−

=+

+

−

→

+

→

−

+−

)x(fLim)a(f

)x(fLim)a(f

:donde ,)a(f)a(f

ax

ax


Roberto Cabrera V.

- 55 -

Extensión periódica de la función f(x) Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa


Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:

T.p nTEntonces np

Tf

trando , enconp

nπp

nπf

ando f:, despejp

nππf

πf, w, donde p

nπw

f

f

==

====

=⇒

==

2

2122

2

2

Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de manera talque

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa

)x(fππππππππ , y donde Rx ),x(f)px(f ∈=+ 2 .

Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a 2

)x(f)x(f +− + , si es

que f es discontinua en x.


Roberto Cabrera V.

- 56 -

2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.

<<

<<−=

2x1 0,

1x0 x,1f(x)

a) En términos de senos. Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x) Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener el desarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder a hacer una extensión periódica impar de f(x).

2pT donde 0xp- f(-x),-

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,

f

Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑∑∑∑

∫∫∫∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

00

n

n

p

n

n

pxn

senb)x(f

.n,....,,,n,Nn

;dxpxn

sen)x(fp

b

a

a

ππππ

ππππ

Encontrando los coeficientes:


Roberto Cabrera V.

- 57 -

( )

( )

( )

( )

[ ]

ππ

−π

=⇒

ππ

−π

=

−

ππ

−−π

−=⇒

ππ

−

π−

π−=⇒

ππ

−

ππ

−−=⇒

ππ

−=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

π=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫

242

242

02

410

2

24

21

2

22

22

1

22

2

1

21

20

21

2222

22

22

2222

1

022

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

2

0

0

nsen

nnb

nsen

nnn

sennn

b

;xn

senn

xncosx

nb

dxxn

cosn

xncos

nxb

;xn

cosn

dxxn

sendv

;dxdu,xu

;dxxn

senxb

dxxn

sen.dxxn

senxb

dxxn

f(x)sendxxn

f(x)senb

dxxn

f(x)senp

b

n

n

n

n

n

n

n

p

n

v

Ahora la función en términos de senos es:

∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

π

ππ

−π

=

π

ππ

−π

=

π=∴

==

122

122

1

2242

2242

n

nn

n

xnsen

nsen

nn)x(f

xnsen

nsen

nnpxn

senb)x(f

0a y 0,a :entonces ,impar es Como 0n


Roberto Cabrera V.

- 58 -

b) En términos de cosenos: Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos de cosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión periódica de forma par. Es decir:

2pT donde 0xp- f(-x),

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,

f

Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3210

2

2

n

n

n

p

n

p

pxn

cosaa

)x(f

.n,....,,,n,Nn

;b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

ππππ

ππππ

Encontrando los coeficientes 0n a,a :

( )

( )

21

2100

211

21

01

2

0

1

0

21

0

0

2

1

1

0

0

2

0

0

0

0

=

=

+−−=

−=−=

+−===

=

∫

∫∫∫

∫

a

xxdxxa

dx.dxxadx)x(fa

dx)x(fp

ap


Roberto Cabrera V.

- 59 -

( )

( )

( ) ( )

( )

[ ]

π−

π=⇒

π−

π=

−

ππ

−−π

=⇒

ππ

−

π−

π=⇒

ππ

+

ππ

−=

π−=⇒

ππ

=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

∫∫

∫

∫∫∫

∫

214

2141

24002

24

212

22

221

21

22

2

1

21

20

21

2

2

22

2222

1

022

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

0

ncos

na

ncos

nn

cosnn

a

xncos

nxn

senxn

a

dxxn

senn

xnsen

nxdx

xncosxa

xnsen

nv,dx

xncosdv

;dxdu,xu

;dxxn

cosxa

dxxn

cos.dxxn

cosxdxxn

cos)x(fa

dxP

xncos)x(f

pa

n

n

n

n

n

n

P

n

Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn = La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π−

π+=

π−

π=

=

=

π+=

122

22

0

1

0

2214

41

214

21

2

2

n

n

n

n

xncos

ncos

n)x(f

ncos

na

a

p

pxn

cosaa

)x(f


Roberto Cabrera V.

- 60 -

EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este problema viene dado por:

Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separación de variables, se asume la solución de la siguiente manera:

Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.

Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:

Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lo de “y”.

Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:

La solución para esta ecuación se asume como : Se obtiene: Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma: Para

, por lo tanto las raíces son:

Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para

, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :


Roberto Cabrera V.

- 61 -

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del radical.

, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda , donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo que si puede suceder es que Donde , luego se despeja

Ahora es :

Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:

Como , entonces:

Expresando en sumatoria:

Ahora se usa la condición inicial :

Donde:


Roberto Cabrera V.

- 62 -

Se procede a integrar por partes:

Otra vez por partes:

La solución es:


Roberto Cabrera V.

- 63 -

Transformada de Laplace de ciertas funciones

Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones


Roberto Cabrera V.

- 64 -

Problemas propuestos

1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0. Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego halle por cualquier método la segunda solución linealmente independiente. a) ;0yx4'y''xy 3 =+−

b) ;0y)x43('xy4''yx4 22 =−+− c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+− d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−− e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−

f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2 =−+−− g) 0xy'y2''xy =−+

h) 0y)2x('xy4''yx 22 =+++ 2.-) Halle: a) [ ]( )[ ][ ][ ]( )[ ];3e5

;t5senh4t5cosh3;)tcossent(

;1t

;t5sen2sen10

2t2

2

22

−

−

−

+

L

LLL

L

b) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :

;tcoset t2 −

( )

;t3cost2sen5

;e

t2sent

;tcos1t2

;t2senht5

t2

3

4

3

−

−

c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :

( );)t2sentcos3(

;t2sene2

;t3cosht5senh10;t2cost2sen5;t2tsen3cos6

2

2t3

−

−

[ ][ ][ ][ ]( )[ ];e2t

;t4sene2

;et

;t4cosh

;)t2(cos4

t2

t3

t32/3

2

2

+

−

LLLLL


Roberto Cabrera V.

- 65 -

d) Halle:

e) Halle:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]

;due

u2sent

;senhtt

;sente si f(t),)t('ft

;tcost

;t2cos2t2sen3t

t

0u2

2

3

t2

22

=

−

∫ −

−

L

L L

LL

f) Halle:

[ ];

ttsen

;t2tsen2cost5

;t

t3senh

;t

btcosatcos

;t

ee

2

2

1

btat

−

−

−

−−

L

L

L

L

L

g) Halle:

( )

;duu

senu

;duue1

;dueuu

t

t u

tu2

−

+−

∫

∫

∫−

−

0

0

0

L

L

L( )

( ) ;dusenhuu

;duu3cos

t2

t2

∫

∫

0

0

L

L

;)1t(1t

e1

;)t(t

t2sen

)1t(

−δ

−−

δ

−−

L

L

;5t2t

)t()3t(32

2

++δ−+L

[ ][ ][ ][ ][ ];)5t(u)3t(

;)t(u)t(sen;)1t(uet

;)2t(u)t(senh.te

;)t(u)t(3coste

2

t32

t2

t2

−−

π−

−

−

π−π−

−

−

LLLLL


Roberto Cabrera V.

- 66 -

3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:

≥

<≤

<≤

<≤

=

≥

<≤+

<≤

<≤−

=

=3 t , 0=3t=2 sent; 5-

=2t =; 0=t0 sent; 5

g(t)

15 t; 015t10; 5t

10t5; 05t0; 1t

f(t)

4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de cada una de ellas: a)

b)

c)

d)

≥

<≤−

<≤

<≤

=

9 t; 09t6; 20 6t3 ; 10

3t0 ; 5

h(t)


Roberto Cabrera V.

- 67 -

5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:

( )

( )

( )

( )( )

( )

2s3sse)S(F

se)S(F

1s1)S(F

2s1s11s15s5)S(F

;)3s)(2s(1s

4s2)S(F

;1ss

1)S(F

;s11ln)S(F

;as

s)S(F

;3s2

1)S(F

;3s2s

7s3)S(F

;16s8s

2s4)S(F

20s4s4s6)S(F

;s

1)S(F

;3s

1)S(F

;2s

s)S(F

;s1)S(F

;9s

1)S(F

2

s2

2

s2

5

3

2

2

23

2

222

2

2

2

2/3

2

2

4

2

++=

=

+=

−+−−

=

−−+−

=

+=

+=

+=

+=

−−+

=

+++

=

+−−

=

=

−=

+=

=

+=

−

−

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ;5s2ss2)S(F

;1s9sln)S(F

;1s

1sln)S(F

);1scot(ar)S(F

;25s6s

se4)S(F

;4s

36s40s3s3)S(F

;1s

1)s(F

;4s

s)s(F

;1s2s

1)s(F

;3ss

2s)s(F

;1ss

1)s(F

;bsasln

s1)s(F

1s2sln

s1)s(F

;1s2sln)s(F

2s2s

1s)s(F

5s2se)S(F

22

2

2

2

2

2

s2

22

23

32

22

2

5

2

3

22

22

22

2

s2

+−=

++

=

−+

=

+=+−

=

−

+−−=

+=

+=

−+=

++

=

+=

++

=

++

=

++

=

++

+=

+−=

−

−


Roberto Cabrera V.

- 68 -

6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace:

( )

2; y(0) (t) y'

y(t)

10) y(sent;-y(t)(t) y'

0;(0) y'1, y(0)y2y''ty'

2;(0) y'1, y(0)yty'' y'

0)( y'1, y(0)'ty'

(0)y' y(0)y' y'

-2(0) y'1, y(0)y' y'

9(0) y'1, y(0)tey'' y'

-4(0) y'5, y(0)10y7y'' y'

t

0

t

0

t

0

t

==θθ−

+=θθ−θ+

=−=θθ−θ+

===+−

===+−

=π==++

==π−δ+π−=+

==π−−=+

=−==+

==+=+−

∫

∫

∫

θ− ;tde)(y2)j

;3td)t)((y)i

d)t(sen)(y)h

;2t)g;1)f

;;0ty'ty2)e.0);2t(e)t(u44)d

);2t(ut2sen3t2sen3)c;25)b

;sent7tcos9)a

t

32

t2

7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con respecto a t.

8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) 0(0)y'(0)x'x(0) , 2y(0)

2(0)x' 1,x(0) :dadas

====

=++−

=−+

=++−

−=−++

==

=+++−

=+++−

;0y2Dx

;0yx2D)c

;tcos4y2Dx3D;senty1Dx2D

)b

;ey4D4DxD2D

;tyD2Dx4D4D)a

2

2

t22

22

9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

=++−

=−+

−−=

+−=

;02''

;045'' )

;cos4'

;23' )

yyx

yxxe

tyxy

sentyxxd

0;z(0)(0)y'y(0) 0;y2z''y' ===

=++

=+−− ;sentz2y2'z'y)a

0;(0)'z' 4,z(0)

2;(0)y' -1,y(0)

-1.z(0) 1,y(0)

===−

==−=+−

==

=−

−=++

−

−

−

;sent'z''ty

;tcos3te''z3''y3)c

;ez'y

;e)1t('tzzty)b

t

t

t

=++

=−+

−=

=

1;yy'x'

;5x'y'x)b

;yx2'y,y3'x

)a


Roberto Cabrera V.

- 69 -

10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

−

−=

−=

=−−

=++

=

−

−

=

610

,'X1236

)c

;0y3x5'y2

;0)b

201

,X122212221

)a

X(0) X

5y3x2x'

X(0) X'

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. El resorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire) 2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Un amortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definida así:

[[ 4).-f(tf(t) 2,4)t 100t-400

0,2)t =

∈

∈= ;

;t100)t(f

3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de un sistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con una fuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5 segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesar definitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.

a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos? 4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y un condensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema es perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo. 2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:

a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.

Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos. Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir el conocimiento, los cuales pongo a continuación: Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez. Dedicado a todos mis compañeros politécnicos. Roberto Cabrera Velasco.


Roberto Cabrera V.

- 70 -

Referencias

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica

Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998

SOLUCIONARIO DEL BALOTARIO

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